Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97
Hình hoïc khoâng gian 2016
Bài 1. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C , cạnh huyền bằng 3a . Hình
chiếu vuông góc của S xuống mặt đáy trùng với trọng tâm của tam giác ABC và SB
a 14
.
2
Tính theo a thể tích khối chóp S . ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SAC .
Lời giải
Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB, AC .
Suy ra G CM BN là trọng tâm tam giác ABC .
Theo giả thiết, ta có SG ABC .
Tam giác ABC vuông cân tại C , suy ra CA CB
1
2
Ta có CM AB
AB
2
3a
2
và CM AB .
3a
1
a
, suy ra GM CM ;
2
3
2
S
a 10
; SG SB 2 GB 2 a .
2
1
9a2
Diện tích tam giác vuông ABC là S ABC CA.CB
.
2
4
1
3a 3
Thể tích khối chóp S . ABC là V S . ABC S ABC .SG
(đvtt).
3
4
Ta có d B, SAC 3d G, SAC .
BG BM 2 GM 2
M
A
B
K
N
Kẻ GE AC E AC .
G
E
C
Gọi K là hình chiếu của G trên SE ,
suy ra GK SE .
1
GE AC
AC SGE ,
Ta có
AC SG
suy ra AC GK .
2
Từ 1 và 2 , suy ra GK SAC nên d G, SAC GK .
Do GE AC suy ra GE BC . Ta có
Trong tam giác vuông SGE , ta có
BC
a
GE
NG 1
suy ra GE
3
BC
NB 3
2
SG.GE
a
GK
.
3
SG 2 GE 2
.
Vậy d B, SAC 3d G, SAC 3GK a 3 .
Bài 2. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB , A D . Tính thể
tích khối chóp S . ABCD và khoảng cách từ M đến mặt phẳng SCN .
Lời giải
Tam giác SAB đều và có M là trung điểm AB nên SM AB
Mà SAB ABCD theo giao tuyến AB nên SM ABCD .
S
Do SM là đường cao trong tam giác đều SAB cạnh a nên
SM
a 3
.
2
B
Diện tích hình vuông ABCD cạnh a là S ABCD a2 .
1
3
Thể tích khối chóp S . ABCD là V S . ABCD S ABCD .SM
(đvtt).
1|Trang
M
a3 3
6
A
C
K
E
N
D
http://thayhuy.net
Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97
Hình hoïc khoâng gian 2016
AMD
DNC
Ta có AMD DNC suy ra
.
ADM
DCN
ADM
90 0
DNC
90 0 suy ra
Mà
AMD ADM
Gọi E DM CN . Kẻ MK SE K SE .
CN DM
Ta có
CN SMD CN MK .
hay CN DM .
1
2
CN SM
Từ 1 và 2 , suy ra MK SCN nên d M , SCN MK .
Ta có DM AD 2 AM 2
Suy ra ME DM DE
a 5
; DE
2
3a 5
10
DC . DN
DC DN
2
2
a 5
5
.
.
Trong tam giác vuông SME , ta có MK
SM . ME
SM ME
2
2
3a 2
8
.
3a 2
Vậy d M , SCN MK
.
8
Bài 3. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với BC a , cạnh bên SA 2a . Hình
chiếu vuông góc của S trên mặt đáy trùng với tâm của đáy, mặt phẳng SBC tạo với đáy một
góc bằng 60 0 . Tính theo a thể tích khối chóp S . ABCD và khoảng cách giữa đường thẳng BC và
mặt phẳng SAD .
Lời giải
Gọi O AC BD . Theo giả thiết ta có SO ABCD .
Gọi M là trung điểm BC , suy ra OM BC .
BC OM
Ta có
BC SOM BC SM . Do đó
BC SO
.
600
SBC , ABCD SM
, OM SMO
Tam giác SAC có SO vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên cân tại S .
Suy ra SC SA 2a .
a 15
.
2
3a 5 ;
Trong tam giác vuông SOM , ta có SO SM . sin SMO
4
a
15
a
15
OM SM . cos SMO
; AB 2OM
.
4
2
a 2 15
Diện tích hình chữ nhật ABCD là S ABCD AB.BC
.
2
1
5a3 3
Thể tích khối chóp S . ABCD là VS . ABCD S ABCD .SO
(đvtt).
3
8
Trong tam giác vuông SMC , ta có SM SC 2 MC 2
2|Trang
http://thayhuy.net
Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97
Hình hoïc khoâng gian 2016
S
K
B
A
M
N
O
C
D
Ta có d BC, SAD d M , SAD 2d O, SAD .
Kéo dài MO cắt A D tại N , suy ra ON AD .
Kẻ OK SE K SE .
1
AD ON
Ta có
AD SON AD OK .
2
AD SO
Từ 1 và 2 , suy ra OK SAD nên d O, SAD OK .
Trong tam giác vuông SON , ta có OK
SO.ON
SO ON
2
2
SO.OM
SO OM
2
2
3a 5
8
.
3a 5
Vậy d BC , SAD 2d O, SAD 2OK
.
4
Bài 4. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông với AB BC a , cạnh bên SA 2a và
vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm AC . Tính theo a thể tích khối chóp S . ABC và khoảng
cách giữa hai đường thẳng SM và BC .
Lời giải
Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông cân tại B .
1
2
Diện tích tam giác vuông ABC là S ABC AB.BC
1
3
Thể tích khối chóp S . ABC là VS . ABC S ABC .SA
a2
2
.
S
a3
(đvtt).
3
Gọi N là trung điểm AB , suy ra BC MN nên BC SMN .
Do đó d BC, SM d BC, SMN d B, SMN d A, SMN .
Vì BC MN mà BC AB nên MN AB .
Kẻ AK SN K SN .
1
A
MN AB
Ta có
MN SAB ,
M
C
N
MN SA
suy ra MN AK .
K
B
2
Từ 1 và 2 , suy ra AK SMN nên
d A, SMN AK .
Trong tam giác vuông SAN , ta có AK
Vậy d BC, SM d A, SMN AK
3|Trang
2 a 17
17
SA. AN
SA AN
2
2
2 a 17
17
.
.
http://thayhuy.net
Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97
Hình hoïc khoâng gian 2016
Bài 5. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAD đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S . ABCD và khoảng cách
giữa hai đường thẳng SA và BD .
Lời giải
Gọi H là trung điểm A D , suy ra SH AD .
Mà SAD ABCD theo giao tuyến A D nên SH ABCD .
Ta có SH là đường cao trong tam giác đều SAD cạnh a nên SH
a 3
.
2
Diện tích hình vuông ABCD là S ABCD a 2 .
1
3
S
Thể tích khối chóp S . ABCD là VS . ABCD S ABCD .SH
a3 3
(đvtt).
6
C
D
x
F
K
H
O
E
B
A
Kẻ Ax BD . Khi đó d BD, SA d BD, SAx d D, SAx 2d H , SAx .
Kẻ HE Ax E Ax .
Gọi K là hình chiếu của H trên SE , suy ra HK SE .
HE Ax
Ta có
Ax SHE Ax HK .
1
2
Ax SH
Từ 1 và 2 , suy ra HK SAx nên d H , SAx HK .
AO a 2
.
2
4
SH . HE
a 21
Trong tam giác vuông SHE , ta có HK
.
2
2
14
SH HE
Gọi F là hình chiếu của H trên BD . Ta có HE HF
Vậy d BD , SA 2d H , SAx 2 HK
a 21
.
7
Bài 6. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a . Gọi M , N lần lượt là trung
điểm A D và DC . Hai mặt phẳng SMC và SNB cùng vuông góc với đáy, SB hợp với đáy một
góc bằng 60 0 . Tính theo a thể tích khối chóp S . ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng CM
và SB .
Lời giải
Gọi H CM BN . Ta có SMC SNB SH .
Mà SMC và SNB vuông góc với ABCD nên SH ABCD .
Do đó hình chiếu vuông góc của SB trên ABCD là HB nên
.
600 SB
, ABCD SB
, HB SBH
BNC
.
Ta có CMD BNC c c c , suy ra CMD
DCM
90 0 nên BNC
DCM
90 0 . Suy ra CM BN .
Mà CMD
4|Trang
http://thayhuy.net
Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97
Trong vuông BCN , ta có BN BC 2 NC 2 a 5 , suy ra
4a 3
Trong tam giác vuông SHB , ta có SH BH . tan SBH
5
Hình hoïc khoâng gian 2016
BC 2
4a
BH
.
BN
5
.
Diện tích hình vuông ABCD là S ABCD 4 a2 .
1
3
Thể tích khối chóp S . ABCD là VS . ABCD S ABCD .SH
16 a 3 15
(đvtt).
15
S
Gọi K là hình chiếu của H trên SB ,
suy ra HK SB .
1
MC BN
Ta có
MC SHB ,
MC SH
suy ra MC HK .
M
K
D
A
N
2
H
Từ 1 và 2 , suy ra HK là đoạn vuông góc chung
C
B
của CM và SB nên d CM , SB HK .
SH . HB
Trong tam giác vuông SHB , ta có HK
Vậy d CM , SB HK
SH HB
2
2
2a 15
5
.
2 a 15
.
5
Bài 7. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB 3a , BC 2a . Hình chiếu
vuông góc của điểm S trên mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm của tam giác BCD , góc giữa
mặt phẳng SBC và đáy ABCD bằng 60 0 . Tính theo a thể tích khối chóp S . ABCD và khoảng
cách giữa hai đường thẳng A D và SC .
Lời giải
Gọi G là trọng tâm tam giác BCD . Theo giả thiết SG ABCD .
BC SG
Kẻ GI BC I BC . Ta có
BC SGI BC SI . Do đó
BC GI
.
600
SBC , ABCD SI
, GI SIG
Trong tam giác ABC , ta có
GI
CG 1
AB CA 3
1
3
suy ra GI AB a .
a 3 .
Trong tam giác vuông SGI , ta có SG GI . tan SIG
Diện tích hình chữ nhật ABCD là S ABCD AB. BC 6 a 2 .
1
3
Thể tích khối chóp S . ABCD là VS . ABCD S ABCD .SG 2 a3 3 (đvtt).
S
K
D
C
O
A
Ta có d AD, SC d AD, SBC d A , SBC
I
G
B
AC
.d G , SBC 3d G , SBC .
GC
Gọi K là hình chiếu của G trên SI , suy ra GK SI .
5|Trang
1
http://thayhuy.net
Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97
Theo chứng minh trên BC SGI , suy ra BC GK . 2
Hình hoïc khoâng gian 2016
Từ 1 và 2 , suy ra GK SBC nên d G, SBC GK .
Trong tam giác vuông SGI , ta có GK
Vậy d AD, SC 3d G, SBC 3GK
SG.GI
SG 2 GI 2
a 3
2
.
3a 3
.
2
Bài 8. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , AB BC a , AD 2 a
. Cạnh bên SA a 2 và vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S . ABCD và khoảng
cách giữa hai đường thẳng CD và SB .
Lời giải
1
3a 2
.
2
2
1
a3 2
S ABCD .SA
(đvtt).
3
2
Diện tích hình thang ABCD là S ABCD AD BC AB
Thể tích khối chóp S . ABCD là VS . ABCD
Gọi M là trung điểm A D , suy ra MA MD a BC .
Suy ra BCDM là hình bình hành; ABCM là hình vuông.
Gọi I AC BM , do ABCM là hình vuông nên AI BM và AI
AC a 2
.
2
2
Do BCDM là hình bình hành nên BM CD suy ra CD SBM .
Ta có d CD, SB d CD, SBM d C, SBM d A, SBM .
S
Gọi H là hình chiếu của A trên SI ,
suy ra AH SI .
1
AI BM
Ta có
BM SAI ,
BM SA
suy ra BM AH .
H
2
Từ 1 và 2 , suy ra AH SBM nên
Trong tam giác vuông SAI , ta có AH
a 10
5
D
I
C
B
d A, SBM AH .
Vậy d CD, SB d A, SBM AH
M
A
SA . AI
SA AI
2
2
a 10
5
.
.
Bài 9. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB 2a , BC 2 a 3 ; cạnh bên
a 3
và vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm AB . Tính theo a thể tích khối chóp S . ABC
2
và sin của góc giữa hai mặt phẳng SMC , ABC .
SA
Lời giải
1
2
Diện tích tam giác vuông ABC là S ABC AB.BC 2a 2 3 .
1
3
Thể tích khối chóp S . ABC là VS . ABC S A BC .SA a3 (đvtt).
Trong tam giác AMC , kẻ đường cao AK K MC ,
suy ra AK MC .
6|Trang
1
http://thayhuy.net
Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97
MC AK
Ta có
MC SAK ,
MC SA
suy ra MC SK .
Hình hoïc khoâng gian 2016
S
2
.
Từ 1 và 2 , suy ra
SMC , ABC SK
, AK SKA
Ta có MKA ∽ MBC nên
MA MC
KA
BC
Trong tam giác vuông SAK , ta có
suy ra KA
MA.BC a 3
.
MC
2
SA
2
SA
sin SKA
2
2
SK
2
SA AK
C
A
.
K
2
Vậy SMC hợp với ABC một góc thỏa mãn sin
.
2
M
B
120 0 ; cạnh bên
Bài 10. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác cân AB AC a , BAC
SA a và vuông góc với đáy. Gọi P , Q lần lượt là trung điểm của SB và AC . Tính theo a thể
tích khối chóp S . ABC và góc giữa hai đường thẳng AP , BQ .
Lời giải
1
2
S
a2 3
.
4
3
Diện tích tam giác ABC là S ABC AB. AC. sin BAC
1
3
Thể tích khối chóp S . ABC là VS . ABC S ABC .SA
a3
12
(đvtt).
P
Trong mặt phẳng ABC dựng hình bình hành AQBE , suy ra
A
Q
AE BQ .
Do đó AP
, BQ AP
, AE .
Ta
có
I
AP
1
a 2
SB
;
2
2
E
B
a 7
.
2
1
a
Gọi I là trung điểm AB , suy ra PI SA ;
2
2
EA 2 EB 2 AB 2 3a 2
EI 2
; EP 2 EI 2 PI 2 a 2 .
2
4
4
Theo định lí hàm số côsin trong tam giác APE , ta có
AE BQ AB 2 AQ 2 2 AB. AQ. cos120 0
cos PAE
AP 2 AE 2 EP 2
5
0.
2. AP. AE
2 14
Vậy hai đường thẳng AP và BQ hợp với nhau góc thỏa mãn cos
5
2 14
.
Bài 11. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a , SO vuông góc
với đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm SA và BC . Tính theo a thể tích khối chóp S . ABCD và
góc giữa đường thẳng MN với mặt phẳng ABCD , biết MN
a 10
.
2
Lời giải
Kẻ MK SO , do SO ABCD , suy ra MK ABCD với K AO .
Khi đó NK là hình chiếu vuông góc của MN trên mặt phẳng ABCD . Do đó
.
MN
, ABCD MN
, NK MNK
7|Trang
http://thayhuy.net
C
Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97
Hình hoïc khoâng gian 2016
Xét tam giác SAO , ta có M là trung điểm SA và MK SO . Suy ra MK là đường trung bình của
3
3a 2
.
4
4
2
CN 2 CK 2 KN 2
a 10
Xét tam giác CNK , ta có
.
cos 450
KN
2
2CN .CK
4
tam giác SAO nên K là trung điểm AO . Suy ra CK CA
S
M
Trong tam giác vuông MNK , ta có
MK MN 2 KN 2
NK 1 ,
cos MNK
MN
2
a 30
a 30
, suy ra SO 2 MK
;
4
2
A
60 0 .
suy ra MNK
B
K
1
3
a
Thể tích khối chóp S . ABCD là VS . ABCD S ABCD .SO
3
6
N
O
30
D
C
(đvtt).
Vậy đường thẳng MN hợp với mặt đáy ABCD một góc 60 0 .
Bài 12. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a, AD a 3 . Hình chiếu
vuông góc của S lên mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC . Mặt phẳng SAC tạo với đáy
một góc 60 0 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh BC và SC . Tính thể tích khối chóp
S . ABCD và góc giữa đường thẳng MN với mặt đáy ABCD .
Lời giải
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC , theo giả thiết ta có SH ABCD .
Gọi F là hình chiếu của H lên AC , suy ra HF AC .
AC HF
Ta có
AC SHF AC SF .
AC SH
.
Do đó 600
SAC , ABCD SF
, HF SFH
Trong tam giác vuông ABC , kẻ BE AC E AC suy ra
BE
AB. BC
AB 2 BC 2
a 3
2
1
3
, suy ra HF BE
S
a 3
.
6
a
2
AB. AD a 2 3 .
.
Trong tam giác SHF , ta có SH HF . tan SFH
Diện tích hình chữ nhật ABCD là S ABCD
Thể tích khối chóp S . ABCD là VS . ABCD
1
a3 3
S ABCD .SH
3
6
N
(đvtt).
A
D
E
F
Ta có MN là đường trung bình của tam giác SBC nên
MN SB . Do đó
B
MN , ABCD SB, ABCD .
O
H
M
C
Do SH ABCD nên hình chiếu vuông góc của SB trên mặt đáy ABCD là HB .
Vì vậy
.
MN
, ABCD SB
, ABCD SB
, HB SBH
BD 2 a
.
3
3
SH 3
tan SBH
BH
4
Ta có BD AB 2 AD 2 2a ; BH
Trong tam giác SHB , ta có
.
3
4
Vậy đường thẳng MN tạo với mặt đáy ABCD một góc thỏa mãn tan .
8|Trang
http://thayhuy.net
Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97
Hình hoïc khoâng gian 2016
Bài 13. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Cạnh bên SA a 2 và vuông
góc với đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S . ABC và tìm tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối
chóp S . ABC .
Lời giải
a2 3
.
4
1
a3 6
(đvtt).
S ABC .SA
3
12
Diện tích tam giác đều ABC cạnh a là S ABC
Thể tích khối chóp S . ABC là VS . ABC
S
x
Gọi M là trung điểm BC ; H là tâm của tam giác đều ABC .
Kẻ Hx vuông góc với mặt phẳng ABC .
N
I
Khi đó Hx là trục của đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC và Hx SA .
Trong mặt phẳng SA, Hx , kẻ đường trung
trực của đoạn SA .
Gọi I Hx . Ta có
● I Hx nên IA IB IC .
● I nên IA IS .
A
C
H
1
M
B
2
Từ 1 và 2 , suy ra IA IB IC IS nên I là
tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABC .
2
3
Ta có AH AM
1
a 2
a 3
, IH NA SA
.
3
2
2
Bán kính mặt cầu R IA AH 2 IH 2
a 30
.
6
Bài 14. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S . ABCD và tìm tâm, bán
kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABCD .
Lời giải
Gọi H là trung điểm AB , suy ra SH AB .
Mà SAB vuông góc với đáy ABCD theo giao tuyến AB nên SH ABCD .
Ta có SH là đường cao trong tam giác đều SAB cạnh a nên SH
a 3
.
2
Diện tích hình vuông ABCD cạnh a là S ABCD a 2 .
1
3
Thể tích khối chóp S . ABCD là VS . ABCD S ABCD .SH
a3 3
6
(đvtt).
S
Gọi O AC BD , do ABCD là hình vuông nên O là tâm đường
tròn ngoại tiếp.
Kẻ Ox ABCD , suy ra Ox là trục của đường tròn ngoại tiếp
x
hình vuông ABCD và Ox SH .
Gọi G là trọng tâm tam giác SAB , do tam giác SAB đều nên G
cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp.
Trong mặt phẳng SH , Ox , kẻ Gy HO .
1
OH AB
Ta có
OH SAB .
OH SH
2
G
I
A
y
D
H
O
B
C
Từ 1 và 2 , suy ra Gy là trục của đường tròn
9|Trang
http://thayhuy.net
Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97
ngoại tiếp tam giác SAB .
Hình hoïc khoâng gian 2016
Gọi I Gy Ox . Ta có
● I Ox nên IA IB IC ID .
3
4
● I Gy nên IA IB IS .
Từ 3 và 4 , suy ra IA IB IC ID IS nên
I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABCD .
SH
a 21
.
3
6
2
Bán kính mặt cầu R IB BO 2 OI 2 BO2 GH 2 BO2
Bài 15. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , cạnh bên SA 2a và
vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm của CD . Tính theo a thể tích khối chóp S . ABCD và tìm
tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABE .
Lời giải
Diện tích hình vuông ABCD cạnh a là S ABCD a 2 .
1
3
Thể tích khối chóp S . ABCD là VS . ABCD S ABCD .SH
2 a3
(đvtt).
3
S
Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB .
Kẻ Jx ABCD , suy ra Jx là trục của đường
x
tròn ngoại tiếp tam giác AEB và Jx SA .
Trong mặt phẳng SA, Jx , kẻ đường trung trực
M
I
của đoạn SA . Gọi I Jx . Ta có
● I Jx nên IA IB IE . 1
● I nên IA IS .
A
F
2
Từ 1 và 2 , suy ra IA IB IE IS nên I
B
là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABE .
Bán kính mặt cầu R IA AJ 2 IJ 2 .
● IJ
D
J
E
C
SA
a.
2
1
2
● Ta có S ABE AB. AD
AB. AE . BE
4 AJ
, suy ra AJ
AE . BE 5a
.
2 AD
8
5a
a 89
Vậy R a2
.
8
8
2
Bài 16. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB a , AD 2a . Tam giác
SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Cạnh bên SA hợp với đáy một góc
30 0 . Gọi H là trung điểm AB . Tính theo a thể tích khối chóp S . ABCD và tìm tâm, bán kính mặt
cầu ngoại tiếp khối chóp S . AHC .
Lời giải
Ta có H là trung điểm AB , tam giác SAB cân tại S . Suy ra SH AB .
Mà SAB vuông góc với đáy ABCD theo giao tuyến AB nên SH ABCD .
Hình chiếu vuông góc của SA trên mặt đáy ABCD là HA nên
.
30 0 SA
, ABCD SA
, HA SAH
Trong tam giác SAH , ta có SH HA. tan SAH
a 3
6
.
Diện tích hình chữ nhật ABCD là S ABCD AB. AD 2 a2 .
10 | T r a n g
http://thayhuy.net
Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97
Hình hoïc khoâng gian 2016
1
3
Thể tích khối chóp S . ABCD là VS . ABCD S ABCD .SH
a
3
3
9
(đvtt).
Gọi J , r lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC .
Ta có r
AH . HC. AC AH .HC. AC
4S AHC
2S ABC
AB
BC 2 . AB 2 BC 2
2
2
AB
.
2
AB.BC
a 85
.
8
S
Kẻ Jx ABCD , suy ra Jx là trục của
x
đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC và Jx SH .
I
M
Trong mặt phẳng SH , Jx , kẻ đường trung
trực của đoạn SH . Gọi I Jx . Ta có
● I Jx nên IA IH IC .
A
D
H
1
2
● I nên IH IS .
J
C
B
Từ 1 và 2 , suy ra IA IC IH IS nên
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . AHC .
SH
777a
.
2
24
Bán kính mặt cầu R IH HJ 2 IJ 2 r 2
2
Bài 17. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , đường chéo AC a , tam giác
SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa SCD và đáy bằng 450 .
Tính theo a thể tích khối chóp S . ABCD và tìm tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABD
.
Lời giải
Gọi H là trung điểm AB suy ra SH AB .
Mà SAB vuông góc với ABCD theo giao tuyến AB nên SH ABCD .
Gọi M là trung điểm CD , do tam giác ADC đều cạnh a nên AM CD , suy ra HC CD . Do đó
.
45
SCD , ABCD SC
, HC SCH
0
AD 3 a 3
AM . tan SCH
a 3.
. Suy ra SH HC. tan SCH
2
2
2
2
a 3
Diện tích hình thoi ABCD là S ABCD 2S ABC
.
2
S
1
a3
Thể tích khối chóp S . ABCD là VS . ABCD S ABCD .SH
3
4
Ta có AM
(đvtt).
Do CA CB CD a nên C là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABD .
Kẻ Cx ABCD suy ra Cx là trục của đường tròn ngoại
x
G
A
tiếp ABD và Cx SH .
SA SB AB a nên tam
AB a
giác SAB đều.
D
H
a 3
Xét tam giác cân SAB , ta có SH 2
I
M
B
C
Gọi G là trọng tâm tam giác SAB nên G cũng
11 | T r a n g
http://thayhuy.net
Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97
Hình hoïc khoâng gian 2016
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB . Qua G
ta kẻ đường thẳng song song HC , suy ra là
trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB .
Gọi I Cx . Ta có
● I Cx nên IA IB ID . 1
● I nên IA IB IS .
2
Từ 1 và 2 , suy ra IA IB ID IS nên
I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABD .
2SH
2SH
13
2
2
.
HC
AM a
3
12
Bán kính mặt cầu R IS SG 2 GI 2
3
2
2
Bài 18. Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông với AB AC a , góc giữa
BC ' và mặt phẳng ABC bằng 450 . Gọi M là trung điểm của B ' C ' . Tính theo a thể tích khối
lăng trụ ABC. A ' B ' C ' và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ABC ' .
Lời giải
Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông cân tại A nên BC a 2 .
Ta có CC ' ABC nên 450 BC
', ABC BC
', BC C
' BC.
Suy ra tam giác BCC ' vuông cân tại C nên CC ' BC a 2 .
1
2
Diện tích tam giác ABC là S ABC AB. AC
a2
2
.
Thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' là V ABC . A ' B 'C ' S ABC .CC '
1
2
1
2
Gọi K là hình chiếu của C trên AC ' ,
Ta có d M , ABC ' d B ', ABC ' d C , ABC ' .
suy ra CK AC ' .
a3 2
(đvtt).
2
B'
A'
M
1
C'
CA AB
Ta có
AB ACC '
AB CC '
suy ra AB CK .
2
K
Từ 1 và 2 , suy ra CK ABC ' nên
d C, ABC ' CK .
A
B
Trong tam giác vuông ACC ' , ta có
CK
AC .CC '
AC 2 CC '2
1
2
Vậy d M , ABC ' CK
a 6
3
.
C
a 6
.
6
Bài 19. Cho lăng trụ ABC .A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB a , AC 2 a ; cạnh
bên AA ' a 2 . Hình chiếu vuông góc của A ' trên mặt đáy ABC trùng với chân đường cao hạ
từ B của tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của A ' C ' . Tính theo a thể tích khối lăng trụ
ABC . A ' B ' C ' và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng A ' BC .
Lời giải
Gọi H là chân đường cao hạ từ B trong tam giác ABC .
Theo giả thiết, suy ra A ' H ABC .
12 | T r a n g
http://thayhuy.net
Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97
Hình hoïc khoâng gian 2016
2
Trong tam giác vuông ABC , ta có BC AC 2 AB2 a 3 ; AH AB a .
AC
Trong tam giác vuông A ' HA , ta có A ' H AA '2 AH 2
1
2
Diện tích tam giác ABC là S ABC AB.BC
2
a 7
.
2
a2 3
2 .
Thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' là V ABC. A ' B ' C ' S ABC . A ' H
a3 21
(đvtt).
4
M
A'
C'
B'
K
H
A
C
E
B
Ta có d M , A ' BC 1 d C ', A ' BC 1 d A , A ' BC .
2
2
AC
AC
4
Mà d A, A ' BC
d H , A ' BC
d H , A ' BC d H , A ' BC .
HC
AC AH
3
2
Suy ra d M , A ' BC d H , A ' BC .
3
Kẻ HE AB E BC , suy ra HE BC .
1
Gọi K là hình chiếu của H trên A ' E , suy ra HK A ' E .
BC HE
Ta có
BC A ' H
BC A ' HE
suy ra BC HK .
2
Từ 1 và 2 , suy ra HK A ' BC nên d H , A ' BC HK .
Do HE AB nên theo Talet, ta có HE CH 3 suy ra HE 3 AB 3a .
AB
CA
Trong tam giác vuông A ' HE , ta có HK
2
3
Vậy d M , A ' BC HK a
7
37
4
4
A ' H.HE
2
A ' H HE
2
3a 7
2 37
4
.
.
Bài 20. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB AC a . Biết rằng
A ' A A ' B A ' C a . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' và khoảng cách giữa hai
đường thẳng BB ' , A ' C .
Lời giải
Từ giả thiết suy ra A ' cách đều ba điểm A , B, C nên A ' thuộc trục đường tròn ngoại tiếp của
tam giác ABC . Gọi I là trung điểm BC , do tam giác ABC vuông tại A nên I là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC . Suy ra A ' I ABC .
Trong tam giác vuông ABC , ta có BC AB 2 AC 2 a 2 . Suy ra BI
Trong tam giác vuông A ' IB , ta có A ' I A ' B 2 BI 2
13 | T r a n g
a 2
.
2
a 2
.
2
http://thayhuy.net
Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97
Diện tích tam giác ABC là S ABC
Hình hoïc khoâng gian 2016
1
a2
AB. AC
2
2
.
Thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' là V ABC . A ' B ' C ' S ABC . A ' I
a3 2
(đvtt).
4
Ta có d BB ', A ' C d BB ', AA ' C d B, AA ' C 2d I , AA ' C .
B'
Gọi E là trung điểm AC , suy ra IE AB nên IE AC .
Gọi K là hình chiếu vuông góc của I trên A ' E ,
suy ra IK A ' E .
1
C'
A'
IE AC
AC A ' IE
Ta có
AC A ' I
uy ra AC IK .
2
B
Từ 1 và 2 , suy ra IK AA ' C nên
K
I
C
E
A
d I , AA ' C IK .
1
2
a
2
Do IE là đường trung bình của tam giác ABC nên IE AB .
Trong tam giác vuông A ' IE , ta có IK
Vậy d BB ', A ' C 2d I , AA ' C 2 IK
A ' I . IE
A ' I IE
2
2
a 6
6
.
a 6
.
3
Bài 21. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3a . Hình chiếu vuông góc của
C ' trên mặt phẳng ABC là điểm H thuộc cạnh BC thỏa mãn HC 2 HB . Mặt phẳng ACC ' A '
tạo với đáy một góc 60 0 . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' và côsin của góc giữa hai
đường thẳng AH , BB ' .
Lời giải
Từ giả thiết có C ' H ABC .
Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên AC suy ra HK AC .
AC HK
Ta có
AC C ' HK AC C ' K .
AC C ' H
ACC ' A ' ABC AC
Do C ' K ACC ' A ', C ' K AC 600
ACC ' A ', ABC C
' K , HK C
' KH .
HK ABC , HK AC
2 BC
Trong HKC , ta có HK HC sin 60 0
sin 60 0 a 3 .
3
Trong tam giác C ' HK , ta có C ' H HK . tan C
' KH 3a .
Diện tích tam giác đều ABC là S ABC
9a2 3
.
4
Thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' là V ABC . A ' B 'C ' S ABC .C ' H
14 | T r a n g
27 a3 3
(đvtt).
4
http://thayhuy.net
Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97
Hình hoïc khoâng gian 2016
B'
A'
C'
B
A
H
K
Do AA ' BB ' nên
C
BB
', AH AA
', AH .
Ta có AH AB 2 BH 2 2 AB.BH . cos 600 a 7 ;
AA ' CC ' CH 2 C ' H 2 a 13 ;
A ' H C ' H 2 A ' C '2 3a 2 .
Áp dụng định lí hàm số côsin trong tam giác A ' AH , ta có
cos A
' AH
AA '2 AH 2 A ' H 2
91
.
2 AA '. AH
91
Vậy côsin của góc giữa hai đường thẳng BB ' và AH bằng
15 | T r a n g
91
.
91
http://thayhuy.net
- Xem thêm -
.PDF 
15 
435 
74 
