Tài liệu Tổng hợp một số bài tập về nhóm hữu hạn

PHẦN I: MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Khi nghiên cứu các hệ vật lý, một trong những tính chất đặc biệt được quan tâm trước hết là tính đối xứng. Từ tính chất đối xứng này ta có thể suy ra các định luật bảo toàn. Lý thuyết nhóm cho phép ta nghiên cứu các cách đối xứng trong không gian, từ không gian 3 chiều tới không gian 4 chiều hoặc nhiều hơn. Vì vậy lý thuyết nhóm có nhiều ứng dụng trong vật lý và đây là một môn học trong chương trình bậc đại học. Trong quá trình học vật lý, việc giải bài tập có vai trò rất quan trọng, hoạt động này giúp người học hiểu sâu kiến thức, biết phân tích và vận dụng chúng một cách linh hoạt. Đồng thời việc giải bài tập là một hình thức củng cố, ôn tập, hệ thống hóa kiến thức và biến kiến thức đó thành vốn riêng của người học. Khi nhập môn lý thuyết nhóm, có rất nhiều bạn gặp khó khăn trong việc giải bài tập của học phần này. Vì vậy tôi chọn đề tài “Tổng hợp một số bài tập về nhóm hữu hạn” với mục đích tổng hợp một số bài tập về nhóm hữu hạn để hiểu và nắm vững các đặc điểm cũng như tính chất của các nhóm hữu hạn thường dùng trong vật lý. Tôi hi vọng đề tài này có thể là tài liệu tham khảo cho những bạn bước đầu làm quen với bộ môn lý thuyết nhóm. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về các nhóm hữu hạn. Giải một số bài tập về nhóm hữu hạn. 3. Đối tƣợng nghiên cứu Một số bài tập về nhóm hữu hạn. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Đưa ra cơ sở lý thuyết của nhóm hữu hạn. Giới thiệu một số bài tập về nhóm hữu hạn cùng cách giải các bài tập đó. 1 5. Các phƣơng pháp nghiên cứu Phương pháp vật lý lý thuyết và vật lý toán. 6. Cấu trúc khóa luận Gồm 2 chương: Chương 1: Nhóm hữu hạn. Chương 2: Một số bài tập. 2 PHẦN II: NỘI DUNG CHƢƠNG 1: NHÓM HỮU HẠN 1.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ VÍ DỤ Định nghĩa Một tập hợp G : a, b, c,... được gọi là một nhóm nếu có một toán tử ∙, được gọi là phép nhân nhóm, mà toán tử này cùng với các phần tử của G thỏa mãn các điều kiện sau: (i) Tính kín: Với a, b  G thì a  b  G . (ii) Tính kết hợp: Với a, b, c  G thì a   b  c    a  b   c . (iii) Tồn tại phần tử đơn vị: Trong số các phần tử của G, có một phần tử đơn vị e sao cho: a  e  a với a  G . (iv) Tồn tại phần tử nghịch đảo: Với mỗi a  G có một phần tử nghịch đảo a 1  G sao cho: a  a 1  e . Từ các tiên đề trong định nghĩa nhóm, ta có thể rút ra được các hệ quả như: e1  e; a 1  a  e; e  a  a với a  G . Ví dụ 1: Tập hợp các số thực R với phép cộng tạo thành một nhóm. Tập R với phép nhân thông thường tạo thành một nhóm. Nhưng không phải bất kì phép nhân nào với một tập hợp cho trước đều tạo thành một nhóm vì không thỏa mãn đồng thời bốn tính chất trên. Ví dụ: Tập R với phép nhân thông thường, tập hợp các vectơ trong không gian ba chiều với phép nhân vô hướng,…  Nhóm Abelian: là nhóm mà phép nhân nhóm đòi hỏi có tính chất giao hoán: 3 a b  b  a với a, b  G  Nhóm tuần hoàn: là một nhóm có thể được sinh ra từ một tập hợp sinh chỉ gồm một phần tử a. Nếu nhóm được viết theo lối nhân thì mỗi phần tử của nhóm là một lũy thừa của a, còn khi nhóm được viết theo lối cộng thì mỗi phần tử của nhóm là một bội của a.  Hạng của nhóm: là số phần tử của nhóm (nếu nhóm là hữu hạn). Nhóm mà số phần tử của nhóm là hữu hạn được gọi là nhóm hữu hạn, ngược lại là nhóm vô hạn.  Bảng nhân nhóm: là một bảng thể hiện luật nhân nhóm của các phần tử trong nhóm. e a b ……… e e a b ……… a a a.a a.b ……… b b b.a b.b ……… ….. ….. ….. ….. ……… Ví dụ 2: Nhóm đơn giản nhất chỉ gồm một phần tử đơn vị e. nghịch đảo của e chính là e và luật nhân nhóm là ee=e. Rõ ràng ta thấy rằng tất cả các tiên đề của nhóm đều được thỏa mãn. Số 1 với phép nhân thông thường tạo thành nhóm này, kí hiệu là C1. Ví dụ 3: Nhóm đơn giản tiếp theo có 2 phần tử, trong đó có một phần tử đơn vị. Ta biểu thị nhóm này bởi e, a . Tùy theo tính chất của e, ta phải có ee=e và ea=ae=a. Vậy chỉ còn aa cần được xác định. Hoặc aa=e, hoặc aa=a. Khả năng thứ hai là không thể vì nếu nhân cả 2 vế với a-1 thì dẫn tới a=e. 4 Luật nhân nhóm được tóm tắt ngắn gọn qua bảng 1.1. Nhóm này được kí hiệu là C2. Rõ ràng các số +1 (e) và -1 (a) hình thành nhóm này cùng với phép nhân thông thường. Bảng 1.1: Bảng nhân nhóm của C2 e a e e a a a e Ví dụ 4: Chỉ có duy nhất một nhóm ba phần tử C3 với bảng nhân nhóm được 1 đưa ra ở bảng 1.2. Vì a-1=b nên ta có thể biểu thị 3 phần tử này bởi e, a, a  với đòi hỏi rằng a3=e.   i 2 /3 , e  i 2 /3 với luật nhân Các ví dụ cụ thể về nhóm C3 là: (i) các số 1, e thông thường, (ii) các toán tử đối xứng của tam giác đều trong mặt phẳng, tức là các phép quay bởi góc 0, 2 / 3, và 4 / 3 . Bảng 1.2: Bảng nhân nhóm của C3 e a b e e a b a a b e b b e a Ví dụ 5: Nhóm không tuần hoàn đơn giản nhất là hạng 4. Nó thường được gọi là nhóm bốn hoặc nhóm nhị diện và kí hiệu bởi D2 . Nếu ta biểu thị bốn phần tử này là e, a, b, c , bảng nhân được đưa ra ở bảng 1.3. Bốn phần tử này tương ứng với các phép biến đổi đối xứng trong hình 1.1: (i) giữ hình không đổi, (ii) phép chiếu lên trục thẳng đứng (1,3), (iii) phép chiếu lên trục nằm ngang (2,4) và (iv) phép quay quanh tâm một góc  trong mặt phẳng. 5 1 2 4 3 Hình 1.1: Dạng đối xứng D2. Bảng 1.3: Bảng nhân nhóm của D2 e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e Ví dụ 6: Nhóm không Abelian nhỏ nhất là hạng 6. Nó được tạo ra từ các phép biến đổi đối xứng dạng hình học hình 1.2. 1 3’ 2’ 2 1’ Hình 1.2: Dạng đối xứng D3. 6 3 Đây là nhóm nhị diện D3 bao gồm: (i) phép biến đổi đơn vị, (ii) phép chiếu xuống các trục (1, 1’), (2, 2’), (3, 3’), (iii) phép quay quanh tâm với các góc 2 / 3 và 4 / 3 . Các phép chiếu làm đổi chỗ hai điểm, chiếu thêm lần nữa ta sẽ trở lại hình ban đầu. Ví dụ chiếu xuống trục (3, 3’) làm đổi chỗ của 1 và 2,… Do đó ta biểu thị ba toán tử chiếu này là (12), (23), (31). Các phép quay (theo chiều kim đồng hồ) với góc 2 / 3 và 4 / 3 dẫn tới hoán vị tuần hoàn của cả ba điểm, sẽ được biểu thị lần lượt là (321) và (123). Ta nhận thấy rằng có một và chỉ một sự tương ứng giữa các phép biến đổi đối xứng và các hoán vị của ba điểm này hình thành nhóm hoán vị S3. Có thể dễ dàng kiểm tra rằng nếu thực hiện các phép biến đổi (12) và (123) liên tiếp thì tùy thuộc vào thứ tự áp dụng sẽ cho kết quả là (31) hoặc (23). Điều đó chứng tỏ đây là nhóm không Abelian. Bảng 1.4: Bảng nhân nhóm của D3 (hay S3) e (12) (23) (31) (123) (321) e e (12) (23) (31) (123) (321) (12) (12) e (123) (321) (23) (31) (23) (23) (321) e (123) (31) (12) (31) (31) (123) (321) e (12) (23) (123) (123) (31) (12) (23) (321) e (321) (321) (23) (31) (12) e (123) 1.2 NHÓM CON Định nghĩa: Một tập con H của nhóm G cùng với luật nhân của G hình thành một nhóm con của G. Ví dụ 1: Nhóm bốn D2 có ba nhóm con riêng biệt bao gồm các phần tử e, a , e, b và e, c . 7 Ví dụ 2: Nhóm S3 có bốn nhóm con riêng biệt như sau: e, 12 , e,  23 , e, 31, và e, 123 , 321 . Ba nhóm con đầu là nhóm hạng 2, nhóm còn lại là nhóm hạng 3. Tập hợp bất kì các ma trận n  n khả nghịch bao gồm ma trận đơn vị và các ma trận có tính kín dưới phép nhân ma trận, hình thành một nhóm ma trận. Một số nhóm quan trọng thường dùng sau: (i) Nhóm tuyến tính tổng quát GL(n) bao gồm tất cả các ma trận n  n khả nghịch. (ii) Nhóm Unita U(n) bao gồm tất cả các ma trận unita, tức là các ma trận n  n U thỏa mãn U U   1 . (iii)Nhóm Unita đặc biệt SU(n) bao gồm các ma trận unita với định thức đơn vị. (iv) Nhóm trực giao O(n) bao gồm các ma trận trực giao thực, hoặc các ma T trận n  n thực thỏa mãn O O  1 . Rõ ràng SU(n) và O(n) là các nhóm con của U(n); U(n) lại là nhóm con của GL(n). 1.3 BỔ ĐỀ SẮP XẾP VÀ NHÓM ĐỐI XỨNG ( NHÓM HOÁN VỊ ) Sự tồn tại thành phần nghịch đảo của mỗi phần tử là tính chất đặc trưng của nhóm. Hệ quả trực tiếp của tính chất này là bổ đề sắp xếp. Bổ đề sắp xếp: Nếu có p, b, c  G và pb  pc thì b  c. 1 Chứng minh: Nhân trái cả hai vế với p thì ta có: p 1 pb  p 1 pc 1 Mà p p  e do đó eb  ec hay b  c .(đpcm) Kết quả này có nghĩa là: Nếu b và c là những phần tử khác nhau của G thì pb và pc cũng khác nhau. Bởi vậy nếu tất cả các phần tử của G được sắp xếp theo một trật tự và đều nhân trái với cùng một phần tử p thì thứ tự của kết quả 8 cũng đúng với thứ tự sắp xếp ban đầu. Tất nhiên kết quả cũng giống như vậy nếu ta áp dụng phép nhân phải. Hãy xét trường hợp với nhóm hữu hạn hạng n. Ta biểu thị các phần tử của nhóm là  g1 , g 2 ,..., g n  . Nhân mỗi phần tử này với một phần tử không đổi h thì kết quả là hg1 , hg 2 ,..., hg n    g h1 , g h 2 ,..., g hn  ở đây  h1 , h2 ,..., hn  là một hoán vị của các số 1, 2,..., n  được xác định bởi h. Từ đó ta tìm được bản chất mối quan hệ giữa phần tử h  G và một hoán vị được đặc trưng bởi  h1 , h2 ,..., hn  . Một hoán vị tùy ý của n đối tượng sẽ được biểu thị bởi 1 p  p1 3  p3  2 p2 n  pn  , ở đây mỗi phần tử trong hàng đầu tiên được thay thế bởi một phần tử tương ứng ở hàng thứ hai. Tập hợp n! hoán vị của n đối tượng hình thành một nhóm Sn, gọi là nhóm hoán vị hay nhóm đối xứng. Không khó để nhận thấy rằng kết quả thứ hai của sự đổi chỗ sẽ dẫn tới một hoán vị. Điều này định nghĩa phép nhân nhóm. Phần tử đơn vị tương ứng việc không có sự đổi chỗ, tức là 1 2  n  e  1 2  n  Lấy nghịch đảo từ p ta được p p 1   1 1 p2  pn   2  n Một kí hiệu thích hợp và ngắn gọn hơn cho phép hoán vị là cơ sở trong cấu trúc tuần hoàn có thể được giải thích rõ ràng nhất trong ví dụ sau: Xét hoán vị của sáu đối tượng 9 1 2 3 4 5 6 p  3 5 4 1 2 6 Vì 1 được thay thế bởi 3, 3 được thay thế bởi 4, 4 được thay thế bởi 1nên ba đối tượng này hình thành một chu kì-3 và được kí hiệu là (134). Tương tự, 2 và 5 hình thành một chu kì-2, được kí hiệu là (25). Số 6 không bị xáo trộn, nó có dạng chu kì-1, được kí hiệu là (6). Các kí hiệu tuần hoàn (134)(25)(6) đã xác định rõ phép hoán vị. Với kí hiệu này, phần tử đơn vị bao gồm n chu kì-1 và nghịch đảo của  p1 , p2 ,..., pm  là những số giống như vậy trong cấp nghịch đảo, tức là  pm , pm1 ,..., p1  . Rõ ràng rằng vị trí tuyệt đối của một số trong chu kì là không quan trọng, chỉ cần kể đến bậc tuần hoàn. Phép đẳng cấu: Hai nhóm G và G được gọi là đẳng cấu nếu tồn tại một và chỉ một sự tương ứng giữa các phần tử của chúng. Các phần tử này đều tuân theo luật nhân nhóm. Nói cách khác, nếu gi  G  gi  G và g1 g 2  g3 trong G thì g1g 2  g3 trong G  và ngược lại. Ví dụ: (i) Nhóm A bao gồm các số 1, i cùng với phép nhân thông thường   2 i /4 , e4 i /4 , e6 i /4 , kí hiệu đẳng cấu với nhóm tuần hoàn hạng 4, C4  1, e A  C4 ; (ii) Nhóm nhị diện D3 đẳng cấu với nhóm đối xứng S3, D3  S3 . Định lí 1.1 (Cayley): Mọi nhóm G hạng n đẳng cấu với một nhóm con của Sn. Chứng minh: Bổ đề sắp xếp đã đưa ra một sự tương ứng từ G tới Sn: 1 a  G  pa    a1 2  n   Sn , a2  an  (1.3-1) ở đây chỉ số ai  được xác định từ việc định nghĩa đơn vị. gai  agi , i  1, 2,..., n . 10 (1.3-2) Đặt ab=c trong G. Ta có sự tương ứng: 1 pa pb    a1  b1   ab1 2  n  1 2  n   a2  an   b1 b2  bn  b2  bn   1 2  n   1   ab2  abn   b1 b2  bn   ab1 2 ab2  n    abn  Nhưng theo công thức (1.3-2) thì g ab  agbi  a  bgi    ab  gi  cgi  g ci i Ta kết luận rằng vế phải của phương trình trên là đúng 1 pc    c1 2  n  c2  cn  Vậy ab=c trong G dẫn tới papb=pc trong Sn; nói cách khác ánh xạ a  G  pa  Sn tuân theo phép nhân nhóm. Nó chỉ ra rằng các hoán vị 1 pa    a1 2  n  a2  an  với mọi a  G hình thành một nhóm con của Sn, mà nhóm con này đẳng cấu với G. 2 Ví dụ 1: Nhóm tuần hoàn hạng 3 C3 : e, a, b  a  là đẳng cấu với nhóm con của S3 gồm các phần tử e, 123 ,  321 . Ta thực hiện ví dụ này dựa vào chứng minh tổng quát ở trên. Nếu có ba phần tử của C3 là (g1, g2, g3) thì nhân trái với e (=g1) cho ta một tập hợp không đổi. Vì vậy e  C3  e  1 2  3  S3 . Tiếp theo nhân các phần tử nhóm với a (=g2) làm cho tập hợp được sắp xếp lại (a, b, e)=(g2, g3, g1). Do đó tập hợp của các số (a1, a2, a3) là (2, 3, 1) và ta thu được 11  1 2 3 a  C3  pa     S3 2 3 1   Theo kí hiệu tuần hoàn thì pa=(123). Tương tự như vậy, nhân với b (=g3) cho ta (g3, g1, g2), do đó (b1, b2, b3)=(3, 1, 2) và b  C3  pb   321  S3 . Rõ ràng hai nhóm trên là hoàn toàn đẳng cấu. Ví dụ 2: Nhóm nhị diện  D2 : e, a, b, c đẳng cấu với nhóm con của S4 bao gồm các phần tử e, 12  34  , 13 24  , 14  23 . Hơn nữa, các kí hiệu tuần hoàn xuất hiện trong một hoán vị bất kì kết hợp với một phần tử cho trước của nhóm phải có cùng kích thước. Điều này rõ ràng đúng trong tất cả các ví dụ trên. Kết quả này đưa ra một hệ quả đó là: Nếu hạng n của nhóm là một số nguyên tố thì nhóm con tương ứng của Sn chỉ gồm các chu kì-n. Định lí 1.2: Nếu hạng n của nhóm là một số nguyên tố thì nhóm đó phải đẳng cấu với Cn. 1.4 LỚP LIÊN HỢP VÀ NHÓM CON BẤT BIẾN Các phần tử của một nhóm G có thể được chia thành các lớp liên hợp và các lớp kề. Các cách cấu thành khác nhau để sắp xếp các phần tử của nhóm sẽ sử dụng trong việc nghiên cứu cấu trúc của nhóm và lý thuyết biểu diễn. Các phần tử liên hợp: Một phần tử b  G được gọi là liên hợp với a  G 1 nếu tồn tại một phần tử khác p  G sao cho b  pap . Ta sẽ biểu thị mối quan hệ này bằng kí hiệu . Ví dụ: Trong nhóm hoán vị S3  e, 12  ,  23 ,  31 , 123 ,  321 với luật nhân nhóm được thể hiện ở bảng 1.4. Phần tử (12) liên hợp với phần tử (31) vì  2312  23   31 . Cũng giống 1 như vậy (123) liên hợp với (321) vì 12 12312    321 . 1 12 Sự liên hợp là một mối quan hệ tương đương: Trong đó aa i) Mỗi phần tử liên hợp với chính nó ii) Nếu ab (phản xạ). thì b  a (đối xứng). iii) Nếu a  b và b  c thì a  c (bắc cầu). Ba tính chất này có thể thiết lập một cách dễ dàng. Ta sẽ kiểm tra lại tính chất cuối cùng: Nếu ab 1 và b  c thì tồn tại p, q  G sao cho a  pbp 1 1 1 và b  qcq dẫn tới a  pqcq p   pq  c  pq  1 hay a  c . Điều này được hiểu là một mối quan hệ tương đương bất kì sẽ cho ta một cách phân loại các phần tử của một tập hợp. Lớp liên hợp: Các phần tử của một nhóm liên hợp với nhau thì hình thành một lớp. Mỗi phần tử của một nhóm chỉ thuộc một lớp. Phần tử đơn vị hình thành một lớp với chính nó. Ví dụ: Nhóm S3 ở trên có thể chia thành 3 lớp như sau: Lớp đơn vị  1  e , lớp chu kì-2  2  12  ,  23 ,  31 và lớp chu kì-3  3  123 ,  321 . Ví dụ này minh họa cho kết quả tổng quát của các nhóm đối xứng: Các hoán vị có cùng cấu trúc tuần hoàn thuộc cùng một lớp. H1 (123) M2 ζ1 M1 (321) (123) (23) (31) (321) (123) (321) e (31) e (12) M e (23) (12) H2 13 (31) (23) (12) ζ2 Hình 1.3: (a) Các lớp kề trái của H1 (b) Các lớp kề trái của H2 (c) Các lớp của S3.  1 Nếu H là một nhóm con của G và a  G , thì H   aha ; h  H  cũng hình thành một nhóm con của G. H  được gọi là một nhóm con liên hợp với H. Rõ ràng rằng, nếu H và H  liên hợp với nhau thì chúng có cùng số phần tử. Nhóm con bất biến: Nhóm con H của G được gọi là nhóm con bất biến nếu H đồng nhất với tất cả các nhóm con liên hợp của nó. 2 2 3 Ví dụ: (i) Nhóm con H  e, a  của nhóm C4  e, a, a , a  là nhóm con   bất biến; (ii) Nhóm con H  e, 123 ,  321 của nhóm S3 là một nhóm con bất biến. Mọi nhóm G có ít nhất hai nhóm con bất biến tầm thường: e và chính G. Nhóm đơn điệu và bán đơn điệu: Một nhóm là đơn điệu nếu nó chỉ chứa các nhóm con bất biến tầm thường. Một nhóm là bán đơn điệu nếu nó không chứa bất kì một nhóm con bất biến Abelian nào. Ví dụ: (i) Nhóm tuần hoàn Cn với n là số nguyên tố là nhóm đơn điệu; (ii) Cn với n không phải là số nguyên tố không là nhóm đơn điệu, cũng không là nhóm bán đơn điệu; (iii) Nhóm S3 không đơn điệu, cũng không bán đơn điệu, nó có một nhóm con bất biến Abelian là e, 123 ,  321 . 1.5 LỚP KỀ VÀ NHÓM THƢƠNG Lớp kề: Nếu gọi H  h1 , h2 ,... là một nhóm con của G và p là một phần tử của G ( p  H ) thì tập hợp các phần tử pH   ph1 , ph2 ,... được gọi là lớp kề trái của H. Tương tự như vậy, Hp  h1 p, h2 p,... được gọi là lớp kề phải của H. Các lớp kề của H không phải là các nhóm con vì chúng không chứa phần tử đơn vị. Số các phần tử của mỗi lớp kề chính là hạng của nhóm con H. Điều này như một hệ quả của bổ đề sắp xếp. 14 Bổ đề: Hai lớp kề trái của một nhóm con H hoặc là trùng nhau hoàn toàn, hoặc là không có phần tử nào chung. Chứng minh: Gọi pH và qH là hai lớp kề. Giả sử phi  qh j với một số 1 1 hi , h j  H thì q p  h j hi là một phần tử của H. Điều này chỉ ra rằng q 1 pH phải trùng với H, tức là q 1 pH  H . Suy ra pH=qH. Tuy nhiên nếu không tồn tại hi, hj thỏa mãn phi  qh j thì pH và qH phải được định nghĩa khác nhau. Với một nhóm con H cho trước hạng nH, các lớp kề trái riêng biệt của H chia các phần tử của nhóm lớn G thành tập hợp các nhóm con hạng nH. Định lí 1.3 (Lagrange): Hạng của một nhóm hữu hạn phải bằng một số nguyên lần hạng của nhóm con bất kì của nó.   Ví dụ: Xét nhóm hoán vị S3: (i) Nhóm con H1 : e, 123 ,  321 có một lớp   kề M : 12  ,  23 ,  31 thu được bằng cách nhân trái (12) hoặc (23) hoặc   (31) với các phần tử của H; (ii) Nhóm con H 2 : e, 12  có hai lớp kề trái: M :  23 321 thu được bằng cách nhân (23) hoặc (321) với các phần tử 1 của H2, và M 2 :  31123 thu được bằng cách nhân (31) hoặc (123) với các phần tử của H2. Như vậy ta đã minh họa việc phân chia các phần tử của S3 theo các lớp kề và lớp trong hình 1.3. Xét các lớp kề của một nhóm con bất biến H như các phần tử của một nhóm mới. Phép nhân của hai lớp kề pH và qH được định nghĩa là một lớp kề 1 có chứa tất cả các tích phi qh j   pq  hk ở đây hk   q hi q  h j  H với hi , h j  H và p, q  G . Từ pH  qH   pq  H , rõ ràng rằng: (i) H=eH đóng vai trò của phần tử đơn vị; (ii) p-1H là nghịch đảo của pH; 15 (iii) pH   qH  rH    pH  qH   rH   pqr  H . Nhóm thương: Nếu H là một nhóm con bất biến của G, tập hợp các lớp kề cùng với luật nhân pH  qH   pq  H hình thành một nhóm, gọi là nhóm thương của G. Nhóm thương được kí hiệu là G/H, và có hạng nG / nH . 2 Ví dụ: Xét nhóm con bất biến H  e, a  của nhóm tuần hoàn C4. H và lớp 3 kề M  a, a  hình thành nhóm thương C4/H. Áp dụng luật nhân của các lớp kề miêu tả ở trên, rõ ràng rằng HM=M=MH, HH=H và MM=H. Ta thấy rằng cả nhóm con H và nhóm thương C4/H đều hạng 2 và đẳng cấu với C2. 1.6 TÍCH TRỰC TIẾP Tích trực tiếp: Gọi H1 và H2 là các nhóm con của G với các tính chất sau: (i) Mọi phần tử của H1 giao hoán với mọi phần tử của H2, tức là h1h2  h2 h1 h1  H1 , h2  H 2 (ii) Mọi phần tử g  G có thể được viết duy nhất dưới dạng g  h1h2 , ở đây h1  H1 và h2  H 2 . Trong trường hợp này, G được gọi là tích trực tiếp của H1 và H2; kí hiệu là G  H1  H 2 .   6 1 2 3 4 5 Ví dụ: Xét nhóm C6 với các phần tử e  a , a , a , a , a , a , và các nhóm     3 2 4 con H1  e, a , H 2  e, a , a . Tiêu chuẩn (i) ở trên được thỏa mãn vì C6 là nhóm Abelian và (ii) có thể được kiểm tra qua bảng 1.5. Ta có e  ee, a1  a3a 4 , a 2  ea 2 , a3  a3e, a 4  ea 4 , a5  a3a 2 . Ở đây trong mỗi đẳng thức, thừa số bên vế trái là tích trực tiếp của H1 và H2. Vì H1 đẳng cấu với C2 ( H1  C2 ), H2 đẳng cấu với C3 ( H 2  C3 ) nên ta thu được C6  C2  C3 . 16 Bảng 1.5: Bảng nhân nhóm của C6 e a1 a2 a3 a4 a5 e e a1 a2 a3 a4 a5 a1 a1 a2 a3 a4 a5 e a2 a2 a3 a4 a5 e a1 a3 a3 a4 a5 e a1 a2 a4 a4 a5 e a1 a2 a3 a5 a5 e a1 a2 a3 a4 Nếu G  H1  H 2 thì cả H1 và H2 phải là các nhóm con bất biến của G. Lí do đó là: Nếu g  h1h2  G, h1và a1  H1 ; h2  H 2 thì ga1 g 1  h1h2a1h2 1h11  h1a1h11  H1 g và a1 . Tương tự như vậy ta 1 cũng có ga2 g  H 2 g  G và a2  H 2 . Bây giờ có thể hình thành nhóm thương G/H2 (G/H1) và chứng minh rằng nó đẳng cấu với H1 (H2), tức là G / H 2  H1  G / H1  H 2  . Điều này không quá ngạc nhiên khi dựa vào các thuật ngữ như “tích” và “thương”. Tuy nhiên phải kiểm tra lại tất cả các nhận định này. Ví dụ ngược lại với điều trên là không đúng, nếu H là một nhóm con bất biến của G và H   G / H thì không thể dẫn tới G  H  H  . Ta đưa ra trường hợp cụ thể như S3 có nhóm con bất biến H  e, 123 ,  321 , nhóm thương S3/H đẳng cấu với nhóm con bất kì H i  e,  jk  ( i, j, k = hoán vị tuần hoàn của 1, 2, 3). Nhưng S3 không phải là tích trực tiếp của H và Hi vì các phần tử của H và Hi không giao hoán. 17 CHƢƠNG 2: MỘT SỐ BÀI TẬP 2.1 BÀI TẬP VỀ BẢNG NHÂN NHÓM Bài tập 1: Từ các tiên đề của định nghĩa nhóm, chứng minh các tính chất sau: 1 1 (i) e  e , (ii) a a  e , (iii) ea  a với a  G . Giải: (i) Vì e  G do đó theo tiên đề (iv) của định nghĩa nhóm, tồn tại phần tử 1 nghịch đảo e  G sao cho e e 1  e . Mặt khác theo tiên đề (iii) thì ee  e . Do đó e 1  e 1 1 1 1 (ii) Ta có a a  a  a e  mà e  a  a  do đó 1 1 a 1a  a 1  a a 1  a 1      a 1  a a 1  a 1  1  a 1e  a 1   a 1  a 1   e 1 1 1 Vậy a a  e . (iii) Ta có: e a   a a 1  a  a  a 1a   a e  a Vậy ea  a . Bài tập 2: Chỉ ra rằng có duy nhất một nhóm hạng ba, từng bước xây dựng bảng nhân nhóm của nhóm này. Giải: Nhóm hạng ba thì có 3 phần tử , trong đó chắc chắn có phần tử đơn vị e, hai phần tử còn lại ta gọi là a, b. Như vậy G  e, a, b . 18 Rõ ràng ta có: a  b  e vì:  Nếu a  b  b thì nhân phải hai vế với b 1 ta có: a  b  b 1  b  b 1  a  e  e  a  e (vô lí).  Nếu a b  a 1 thì nhân trái hai vế với a ta có: a 1  a  b  a 1  a  e  b  e  b  e (vô lí). Vậy a  b  e . Tương tự như vậy thì b  a  e . 1 Nhân trái a váo hai vế của a  b  e thì ta được a 1  a  b  e  a 1  e  b  a 1  b  a 1 .  Do đó chỉ có duy nhất một nhóm hạng ba G  e, a, b  a Xây dựng bảng nhân nhóm: e  e  e; e  a  a  e  a; eb  b e  b a b  b a  e   a  a  e thì a  b  vô lí  a  a  b vì   a  a  a thì a  e  vô lí   b  b  e thì b  a  vô lí  b  b  a vì   b  b  b thì b  e  vô lí  Từ đây ta có luật nhân của C3 được thể hiện qua bảng 2.1. Bảng 2.1: Bảng nhân nhóm của C3 e a b e e a b a a b e b b e a 19 1 . Bài tập 3: Hãy xây dựng bảng nhân nhóm của nhóm tuần hoàn C4. Giải:  4 1 2 3 Nhóm tuần hoàn C4 gồm các phần tử như sau: C4  e  a , a , a , a với a  e 1 i 2 /4  ; a 2  ei 4 /4 ; a3  ei 6 /4 . Ta thấy e  e  e; e  a2  a2  e  a2 e  a1  a1  e  a1 ; e  a3  a3  e  a3 a1  a 2  a 2  a1  a3 ; a1  a3  a3  a1  e a 2  a3  a3  a 2  a1 a1  a1  a 2 ; a 2  a 2  e; a3  a3  a 2 Do đó nhóm tuần hoàn C4 có bảng nhân 2.2: Bảng 2.2: Bảng nhân nhóm của C4 e a1 a2 a3 e e a1 a2 a3 a1 a1 a2 a3 e a2 a2 a3 e a1 a3 a3 e a1 a2 Bài tập 4: Xây dựng bảng nhân nhóm của nhóm hoán vị ba phần tử S3. 1 Giải: Nhóm S3 có 3!=6 phần tử như sau: S3  e, 12  ,  23 , 31 , 123  , 321 3’ 2’ Trong đó: (12) là phép hoán vị của 1 và 2. (23) là phép hoán vị của 2 và 3. (31) là phép hoán vị của 3 và 1. 20 2 1’ 3