Tài liệu Tổng hợp lý thuyết và bài tập nguyên hàm có đáp án chi tiết

Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí Chủ đề 4.1. NGUYÊN HÀM A. KIẾN THỨC CƠ BẢN I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT 1. Nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số f  x  xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F  x  được gọi là nguyên hàm của hàm số f  x  trên K nếu F '  x   f  x  với mọi x  K . Định lí: 1) Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G  x   F  x   C cũng là một nguyên hàm của f  x  trên K . 2) Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K thì mọi nguyên hàm của f  x  trên K đều có dạng F  x   C , với C là một hằng số. Do đó F  x   C , C  là họ tất cả các nguyên hàm của f  x  trên K . Ký hiệu  f  x  dx  F  x   C . 2. Tính chất của nguyên hàm Tính chất 1:   f  x  dx   f  x  và  f '  x  dx  f  x   C Tính chất 2:  kf  x  dx  k  f  x  dx với k là hằng số khác 0 . Tính chất 3:   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx   3. Sự tồn tại của nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f  x  liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K . 4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp Nguyên hàm của hàm số sơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp  u  u  x    dx  x  C  du  u  C x  dx  1 1 x  C    1  1 1 u  du  1 1 u  C    1  1 1  x dx  ln x  C  u du  ln u  C  e dx  e  e du  e x x  a dx  x C ax  C  a  0, a  1 ln a  sin xdx   cos x  C  cos xdx  sin x  C 1  cos 2 x 1  sin 2 x u u  a du  u C au  C  a  0, a  1 ln a  sin udu   cos u  C  cos udu  sin u  C 1 dx  tan x  C  cos dx   cot x  C  sin 2 u 1 2 u du  tan u  C du   cot u  C Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí II. PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 1. Phƣơng pháp đổi biến số Định lí 1: Nếu  f u  du  F u   C và u  u  x  là hàm số có đạo hàm liên tục thì  f u  x  u '  x  dx  F u  x   C Hệ quả: Nếu u  ax  b  a  0  thì ta có  f  ax  b  dx  1 F  ax  b   C a 2. Phƣơng pháp nguyên hàm từng phần Định lí 2: Nếu hai hàm số u  u  x  và v  v  x  có đạo hàm liên tục trên K thì  u  x  v '  x  dx  u  x  v  x   u '  x  v  x  dx Hay  udv  uv   vdu B. KỸ NĂNG CƠ BẢN - Tìm nguyên hàm bằng phương pháp biến đổi trực tiếp. - Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số. - Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần. C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Nguyên hàm của hàm số f  x   x3  3x  2 là hàm số nào trong các hàm số sau? A. F  x   x 4 3x 2   2x  C . 4 2 B. F  x   x4  3x 2  2 x  C . 3 C. F  x   x4 x2   2x  C . 4 2 D. F  x   3x 2  3x  C . Hƣớng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm. Câu 2. Hàm số F  x   5x3  4 x 2  7 x  120  C là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây? A. f  x   15x 2  8x  7 . C. f  x   B. f  x   5x 2  4 x  7 . 5 x 2 4 x3 7 x 2   . 4 3 2 D. f  x   5x 2  4 x  7 . Hƣớng dẫn giải: Lấy đạo hàm của hàm số F  x  ta được kết quả. Câu 3. Họ nguyên hàm của hàm số: y  x 2  3x  1 là x Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí x3 3 x3 3 A. F  x    x 2  ln x  C . B. F  x    x 2  ln x  C . 3 2 3 2 3 x 3 1 C. F  x    x 2  ln x  C . D. F  x   2 x  3  2  C . 3 2 x Hƣớng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm. Câu 4. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x    x  1 x  2  x3 2 2  x  2x  C . 3 3 x3 2 C. F  x   2 x  3  C . D. F  x    x 2  2 x  C . 3 3 Hƣớng dẫn giải: f  x    x  1 x  2   x 2  3x  2 . Sử dụng bảng nguyên hàm. A. F  x   Câu 5. x3 3 2  x  2x  C . 3 2 B. F  x   Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   2 2 3   2 là hàm số nào? 5  2x x x 3 A. F  x    ln 5  2 x  2ln x   C . x B. F  x    ln 5  2 x  2ln x  3 C. x 3 C. F  x   ln 5  2 x  2ln x   C . x D. F  x    ln 5  2 x  2ln x  3 C . x Hƣớng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm. 4.1.2. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC. Câu 6. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  sin 2 x 1 A.  sin 2 xdx   cos 2 x  C . 2 1 B.  sin 2 xdx  cos 2 x  C . 2 C.  sin 2 xdx  cos 2 x  C . D.  sin 2 xdx   cos 2 x  C . Hƣớng dẫn giải  sin 2 xdx  Câu 7. 1 1  sin 2 xd (2 x)   2 cos 2 x  C . 2   Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  cos  3x   . 6    1 A.  f ( x)dx  3 sin  3x  6   C .   C.  f ( x)dx   3 sin  3x  6   C .   1 Hƣớng dẫn giải: Câu 8.      f ( x).dx  sin  3x  6   C .   D.  1   B.  f ( x)dx  6 sin  3x  6   C .   1  1      f ( x)dx  3  cos  3x  6  d  3x  6   3 sin  3x  6   C .       Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  1  tan 2 x . 2 Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí x x A.  f ( x)dx  2 tan  C . B.  f ( x)dx  tan  C . 2 2 C. 1 x  f ( x)dx  2 tan 2  C . x  f ( x)dx  2 tan 2  C . D.  x d  x 1 dx x 2 Hƣớng dẫn giải: f ( x)  1  tan 2  nên   2    2 tan  C . x x 2 cos 2 x 2 cos 2 cos 2 2 2 2 Câu 9. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  1   sin  x   3  . 2   A.  f ( x)dx   cot  x  3   C .   C.  f ( x)dx  cot  x  3   C .     f ( x)dx   3 cot  x  3   C .   D.    1 B.  f ( x)dx  3 cot  x  3   C .    1    dx  dx  3      cot  x    C . Hƣớng dẫn giải:    3    sin 2  x   sin 2  x   3 3   Câu 10. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  sin 3 x.cos x . A. C.  f ( x)dx  sin 4 x C . 4 B.  f ( x)dx  sin 2 x C . 2  D. sin 4 x C . 4  Hƣớng dẫn giải  sin 3 x.cos x.dx   sin 3 x.d (sin x)  f ( x)dx   f ( x)dx   sin 2 x C . 2 sin 4 x C. 4 4.1.3. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, LÔGARIT. Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  e x  e x .  f  x  dx  e C.  f  x  dx  e A. x  e x  C . x  e x  C . Hƣớng dẫn giải:  e x  e x  dx  e x  e x  C .  f  x  dx  e D.  f  x  dx  e x B.  e x  C . x  e x  C . Câu 12. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  2 x.32 x . A. C. x  1 2 f  x  dx    . C .  9  ln 2  ln 9  1 2 f  x  dx    . C .  3  ln 2  ln 9 B. x D. x  1 9 f  x  dx    . C .  2  ln 2  ln 9  1 2 f  x  dx    . C .  9  ln 2  ln 9 x Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí Hƣớng dẫn giải:  2 .3 2 x x x x 1 2 2 dx     dx    . C 9  9  ln 2  ln 9 Câu 13. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  e x (3  e x ) là A. F ( x)  3e x  x  C . C. F ( x)  3e x  B. F ( x)  3e x  e x ln e x  C . 1 C . ex D. F ( x)  3e x  x  C . Hƣớng dẫn giải: F( x)   e x (3  e x )dx   (3e x  1)dx  3e x  x  C Câu 14. Hàm số F  x   7e x  tan x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?  e x  A. f  x   e x  7  . cos 2 x   B. f  x   7e x  C. f  x   7e x  tan 2 x  1 . 1   D. f  x   7  e x  . cos 2 x   1 . cos 2 x 1 e x x  e (7  )  f ( x) Hƣớng dẫn giải: Ta có g '( x)  7e  cos 2 x cos 2 x x Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  e4 x 2 . 1 2 x 1 C . B.  f  x  dx  e 1 4 x2 C . D.  f  x  dx  2 A.  f  x  dx  2 e C.  f  x  dx  2 e 2 x 1 C . 1 e2 x 1  C . 2x 1  C . 1 e4 x 2 dx   e2 x 1dx  e2 x 1  C . 2 4.1.4. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC. 1 Câu 16. Nguyên hàm của hàm số f ( x)  là 2x 1 Hƣớng dẫn giải:  A.  f  x  dx  2x 1  C . B.  f  x  dx  2 C.  f  x  dx  2x 1 C . 2 D.  f  x  dx  2 2x 1  C . 1 1 d  2 x  1 dx    2x 1  C . 2 2x 1 2x 1 1 Câu 17. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  . 3 x Hƣớng dẫn giải:   f  x  dx  2 3  x  C . C.  f  x  dx  2 3  x  C . A. Hƣớng dẫn giải:   f  x  dx   3  x  C . D.  f  x  dx  3 3  x  C . B. d 3  x  1 dx     2 3  x  C . 3 x 3 x Câu 18. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  2 x  1 . A. 1  f  x  dx  3  2x  1 2x  1  C . B. 2  f  x  dx  3  2x  1 2x  1  C . Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí 1 1 C.  f  x  dx   D.  f  x  dx  2x  1  C . 2x  1  C . 3 2 Hƣớng dẫn giải: Đặt t  2 x  1  dx  tdt t3 1  C   2 x  1 2 x  1  C . 3 3   2 x  1dx= t 2 dt  Câu 19. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  5  3x . 2 A.  f  x  dx   9  5  3x  C.  f  x  dx  9  5  3x  2  5  3xdx    f  x  dx   3  5  3x  D. 5  3x . Hƣớng dẫn giải: Đặt t  5  3x  dx   2 B. 5  3x  C .  f  x  dx   3 2 5  3x . 5  3x  C . 2tdt 3 2  5  3x  5  3x  C . 9 Câu 20. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  3 x  2 . A. C. 3  f  x  dx  4  x  2  f  x  dx  3 x2 C . 2  x  2 x  2 . 3 B. D. 3  f  x  dx   4  x  2  x2 C . 3 2 1   x  2 3  C . 3 3 x  2dx   x  2  3 x  2  C 4 f  x  dx  Hƣớng dẫn giải: Đặt t  3 x  2  dx  3t 2 dt . Khi đó  3 Câu 21. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  3 1  3x . A. C. 1  f  x  dx   4 1  3x   f  x  dx  3 1  3x  C . 1 1  3x  3 1  3x  C . 4 3 B.  f  x  dx   4 1  3x  D. f  x  dx   1  3x   Hƣớng dẫn giải: Đặt t  3 1  3x  dx  t 2 dt . Khi đó  3 1  3xdx    2 3 3 1  3x  C . C . 1 1  3x  3 1  3x  C 4 Câu 22. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   e3 x . A. 2 e3 x C 3  f  x  dx   3 e3 x f  x  dx  C 2 B.  f  x  dx  2 3 e3 x C 3x2 C. Hƣớng dẫn giải:  e3 x dx  Câu 23. Hàm số F  x    x  1 2 5  x  1 x  1 2 2 C. f  x    x  1 x  1 5 A. f  x   D.  2e 2 f  x  dx  C 3x  2 2 32x  3x  2 32x 2 e3 x e .d    .e  C  C 3 3  2  3 x  1  2016 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? B. f  x   5  x  1 x  1  C 2 D. f  x    x  1 x  1  C Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí 5 Hƣớng dẫn giải: F '  x    x  1 x  1 2 2 1 Câu 24. Biết một nguyên hàm của hàm số f  x    1 là hàm số F  x  thỏa mãn F  1  . 3 1  3x Khi đó F  x  là hàm số nào sau đây? 2 1  3x  3 3 2 C. F  x   x  1  3x  1 3 Hƣớng dẫn giải 2 1  3x  3 3 2 D. F  x   4  1  3x 3 A. F  x   x  B. F  x   x  1 d 1  3x  2  1  F  x     1dx     x  x 1  3x  C 3 3 1  3x  1  3x  2 2 F  1   C  3  F  x   x  1  3x  3 3 3 a Câu 25. Biết F ( x)  6 1  x là một nguyên hàm của hàm số f ( x)  . Khi đó giá trị của a bằng 1 x 1 A. 3 . B. 3 . C. 6 . D. . 6 3  Hƣớng dẫn giải: F '( x)  6 1  x   a  3 1 x 4.1.5. PHƢƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN   Câu 26. Tính F ( x)   x sin xdx bằng A. F ( x)  sin x  x cos x  C . B. F ( x)  x sin x  cos x  C . C. F ( x)  sin x  x cos x  C . D. F ( x)  x sin x  cos x  C . Hƣớng dẫn giải Phƣơng pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần Phƣơng pháp trắc nghiệm: d Cách 1: Dùng định nghĩa, sử dụng máy tính nhập  F ( x)   f ( x) , CALC ngẫu nhiên tại một dx số điểm x0 thuộc tập xác định, kết quả xấp xỉ bằng 0 chọn. Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng u và đạo hàm của u dv và nguyên hàm của v x sin x +  cos x 1 + +  sin x 0 Vậy F ( x)  sin x  x cos x  C . Câu 27. Tính  x ln  2 xdx . Chọn kết quả đúng:  1 2 x 2ln 2 x  2ln x  1  C . 4 1 C. x 2  2ln 2 x  2ln x  1  C . 4 Hƣớng dẫn giải A.   1 2 x 2ln 2 x  2ln x  1  C . 2 1 D. x 2  2ln 2 x  2ln x  1  C . 2 B. Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí Phƣơng pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần. Phƣơng pháp trắc nghiệm Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x)  f ( x)  F '( x)  f ( x)  0 . d  F ( x)   f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong tập xác định, dx nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn. Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng: u và đạo hàm của u dv và nguyên hàm của v 2 x ln x + Nhập máy tính 2 ln x x ln x (chuyển 2 qua dv ) x - x2 2 2 từ u ) x (nhận x 1 x 1 (chuyển 1 qua dv ) x + 0 x2 2 x 1 (nhận từ u ) 2 x x2 4 1 1 1 1 Do đó  x ln 2 xdx  x 2 ln 2 x  x 2 ln x  x 2  C = x 2  2ln 2 x  2ln x  1  C . 2 2 4 4 Câu 28. Tính F ( x)   x sin x cos xdx . Chọn kết quả đúng: 1 x A. F ( x)  sin 2 x  cos 2 x  C . 8 4 1 x C. F ( x)  sin 2 x  cos 2 x  C . 4 8 Hƣớng dẫn giải: 1 x B. F ( x)  cos 2 x  sin 2 x  C . 4 2 1 x D. F ( x)  sin 2 x  cos 2 x  C . 4 8 1 Phƣơng pháp tự luận: Biến đổi sin x cos x  sin 2 x rồi sử dụng phương pháp nguyên hàm 2 từng phần. Phƣơng pháp trắc nghiệm: Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x)  f ( x)  F '( x)  f ( x)  0 d  F ( x)   f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong tập xác định, dx nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn. Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng. Nhập máy tính x Câu 29. Tính F ( x)   xe 3 dx . Chọn kết quả đúng x A. F ( x)  3( x  3)e 3  C x x 3 3 e C 3 Hƣớng dẫn giải: C. F ( x)  x B. F ( x)  ( x  3)e 3  C D. F ( x)  x x3 3 e C 3 Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài li u trắc nghiệm miễn phí ệ x Phƣơng pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với u  x, dv  e 3 dx . Phƣơng pháp trắc nghiệm: Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x)  f ( x)  F '( x)  f ( x)  0 . d  F ( x)   f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong tập xác định, dx nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn. Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng. x Câu 30. Tính F ( x)   dx . Chọn kết quả đúng cos 2 x A. F ( x)  x tan x  ln | cos x | C . B. F ( x)   x cot x  ln | cos x | C . Nhập máy tính C. F ( x)   x tan x  ln | cos x | C . D. F ( x)   x cot x  ln | cos x | C . Hƣớng dẫn giải: Phƣơng pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với u  x, dv  1 dx cos 2 x Phƣơng pháp trắc nghiệm: Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x)  f ( x)  F '( x)  f ( x)  0 . d  F ( x)   f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong tập xác định, dx nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn. Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng. Nhập máy tính Câu 31. Tính F ( x)   x 2 cos xdx . Chọn kết quả đúng A. F ( x)  ( x2  2)sin x  2x cos x  C . B. F ( x)  2 x2 sin x  x cos x  sin x  C . C. F ( x)  x2 sin x  2 x cos x  2sin x  C . D. F ( x)  (2 x  x2 ) cos x  x sin x  C . Hƣớng dẫn giải: Phƣơng pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần với u  x2 ; dv  cos xdx , sau đó u1  x; dv1  sin xdx . Phƣơng pháp trắc nghiệm: Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x)  f ( x)  F '( x)  f ( x)  0 d  F ( x)   f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong tập xác định, dx nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn. Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng. Nhập máy tính Câu 32. Tính F ( x)   x sin 2 xdx . Chọn kết quả đúng 1 1 A. F ( x)   (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C . B. F ( x)  (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C . 4 4 1 1 C. F ( x)   (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C . D. F ( x)  (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C . 4 4 Hƣớng dẫn giải: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với u  x; dv  sin 2 xdx Phƣơng pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng hoặc sử dụng máy tính: Nhập d ( F ( x))  f ( x) , CALC ngẫu nhiên tại một số điểm x0 bất kỳ, nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì dx chọn đáp án đó. Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí Câu 33. Hàm số F ( x)  x sin x  cos x  2017 là một nguyên hàm của hàm số nào? A. f ( x)  x cos x . B. f ( x)  x sin x . C. f ( x)   x cos x . D. f ( x)   x sin x . Hƣớng dẫn giải: Phƣơng pháp tự luận: Tính F '( x) có kết quả trùng với đáp án chọn. Phƣơng pháp trắc nghiệm: Sử dụng định nghĩa F '( x)  f ( x)  F '( x)  f ( x)  0 d  F ( x)   f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong tập xác định, dx nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 chọn. 1  ln( x  1) Câu 34. Tính  dx . Khẳng định nào sau đây là sai? x2 1  ln( x  1) x 1  ln( x  1) x A. B.   ln C  ln C x x 1 x x 1 Nhập máy tính x 1 1  ln( x  1) D.   ln x  1  ln x  C 1  ln( x  1)   ln | x | C x x Hƣớng dẫn giải: Phƣơng pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với 1 1 u  1  ln( x  1); dv   2 dx hoặc biến đổi rồi đặt u  ln( x  1); dv   2 dx . x x Phƣơng pháp trắc nghiệm: Sử dụng máy tính kiểm tra bằng định nghĩa. 4.1.6. ÔN TẬP Câu 35. Hãy chọn mệnh đề đúng C.  A.  a x dx  ax  C  0  a  1 . ln a C.  f ( x).g ( x)dx   f ( x)dx. g( x)dx . B.  x dx  D.  x 1  C ,   R .  1 f ( x)  f ( x)dx . dx  g ( x)  g( x)dx Hƣớng dẫn giải: A đúng. B sai vì thiếu điều kiện   1; C, D sai vì không có tính chất.  Câu 36. Mệnh đề nào sau đây sai? 1 A.  sin xdx  cos x  C . B.  dx  ln x  C , x  0 . x ax  C , (0  a  1) . D.  a dx  ln a x C.  e x dx  e x  C . Hƣớng dẫn giải:  sin xdx   cos x  C Câu 37. Hàm số f ( x)  x3  x 2  3  1 có nguyên hàm là x x 4 x3   3x  ln x  C . 4 3 1 C. F ( x)  3x 2  2 x  2  C . x A. F ( x)  B. F ( x)  x 4  x3  3x  ln x  C . 3 D. F ( x)  x 4  x3  3x  ln x  C . 1 x 4 x3 Hƣớng dẫn giải: F ( x)   ( x3  x 2  3  )dx    3x  ln x  C x 4 3 2 Câu 38. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  tan x là Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí A. F  x   tan x  x  C . B. F  x    tan x  x  C . C. F  x   tan x  x  C . D. F  x    tan x  x  C .   1 dx  tan x  x  C x  Câu 39. Hàm số F ( x)  7sin x  cos x  1 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? Hƣớng dẫn giải:  1  f ( x)dx    cos  2 A. f  x   sin x  7 cos x . B. f  x    sin x  7 cos x . C. f  x   sin x  7 cos x . D. f  x    sin x  7 cos x . Hƣớng dẫn giải: F '( x)  7cos x  sin x 1 dx là x cos 2 x A. tan x  cot x  C . B. cot 2x  C . C. tan 2x  x  C . D.  tan x  cot x  C . 1 1   1 Hƣớng dẫn giải:  2 dx     2  dx  tan x  cot x  C 2 2 sin x cos x  cos x sin x  Câu 40. Kết quả tính  sin 2 Câu 41. Hàm số F ( x)  3x 2  1 1  2  1 có một nguyên hàm là x x 1 A. f ( x)  x3  2 x   x . x 1 C. f ( x)  x3  2 x  . x Hƣớng dẫn giải: Ta có 1 B. f ( x)  x3  x   x . x 1 1 x  x. D. f ( x)  x3  2 x   F ( x)dx    3x  2  1 1 1   2  1dx  x3  2 x  2  x  C x x x  cos x có một nguyên hàm F ( x) bằng sin 5 x 1 1 4 4 A.  . B. . C. . D. . 4 4 4 4sin x 4sin x sin x sin 4 x cos x 1 1 C Hƣớng dẫn giải:  f ( x)dx   5 dx   5 d (sin x)   sin x sin x 4sin 4 x Câu 42. Hàm số f ( x)  Câu 43. Kết quả tính  2 x 5  4 x 2 dx bằng A.  C. 1 6 1 6 5  4x  2 3 5  4x  2 3 3 5  4 x2   C . 8 3 1 D.  5  4 x2   C . 12 C . B.  C. Hƣớng dẫn giải: Đặt t  5  4 x 2  tdt  4 xdx 1 1 1 Ta có  2 x 5  4 x 2 dx    t 2 dt   t 3  C   2 6 6 5  4x  2 3 C Câu 44. Kết quả  esin x cos xdx bằng A. esin x  C . B. cos x.esin x  C . C. ecos x  C . D. e sin x  C . Hƣớng dẫn giải: Ta có  esin x cos xdx   esin x d (sin x) esin x  C Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí Câu 45. Tính  tan xdx bằng A.  ln cos x  C . B. ln cos x  C . Hƣớng dẫn giải: Ta có  tan xdx   C. 1 C. cos 2 x D. 1 C. cos 2 x D. 1 C . sin 2 x 1 d (cos x)   ln cos x  C cos x Câu 46. Tính  cot xdx bằng A. ln sin x  C . B.  ln sin x  C . Hƣớng dẫn giải: Ta có  cot xdx   Câu 47. Nguyên hàm của hàm số y  C. 1 C . sin 2 x 1 d (sin x)  ln sin x  C sin x x3 là x 1 A. 1 3 1 2 x  x  x  ln x  1  C . 3 2 B. 1 3 1 2 x  x  x  ln x  1  C . 3 2 C. 1 3 1 2 x  x  x  ln x  1  C . 6 2 D. 1 3 1 2 x  x  x  ln x  1  C . 3 4 Hƣớng dẫn giải: Ta có x3 1  x2  x  1  . Sử dụng bảng nguyên hàm suy ra đáp án. x 1 x 1 x2  2 x  3 Câu 48. Một nguyên hàm của hàm số f  x   là x 1 A. x2  3x  6 ln x  1 . 2 B. x2  3x  6 ln x  1 . 2 C. x2  3x  6 ln x  1 . 2 D. x2  3x  6ln  x  1 . 2 Hƣớng dẫn giải: f  x   Câu 49. Kết quả tính x2  2 x  3 6  x 3 . Sử dụng bảng nguyên hàm. x 1 x 1 1  x  x  3 dx bằng A. 1 x ln C. 3 x3 1 x C . B.  ln 3 x3 C. 2 x3 ln C . 3 x D. Hƣớng dẫn giải: Câu 50. Kết quả tính 1 2 x ln C . 3 x3 1 1 1 1      . Sử dụng bảng nguyên hàm. x  x  3 3  x x  3   x  x  3 dx bằng Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí 1 x 3 1 x3 A. ln B. ln C. C. 3 x 3 x C. 1 x ln C. 3 x3 Hƣớng dẫn giải: D. 1 1 1 1     . Sử dụng bảng nguyên hàm. x  x  3 3  x  3 x  Câu 51. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   1 là x  x2 2 1 x 1 A. F  x   ln C . 3 x2 C. F  x   ln 1 x ln C . 3 x 3 1 x2 B. F  x   ln C . 3 x 1 x 1 C. x2 Hƣớng dẫn giải: f  x   D. F  x   ln x 2  x  2  C . 1 1 1 1      . Sử dụng bảng nguyên hàm. x  x  2 3  x 1 x  2  2  1 x  Câu 52. Họ nguyên hàm của hàm số f  x     là  x  2 1 A. F  x     2ln x  x  C . x 1 C. F  x    2ln x  x  C . x 1 B. F  x     2ln x  x  C . x 1 D. F  x     2ln x  x  C . x 2 1 2  1 x  1 2x  x Hƣớng dẫn giải: f  x      2   1 . Sử dụng bảng nguyên hàm.  2 x x x  x  2 Câu 53. Nguyên hàm của hàm số f  x   1 với a  0 là x  a2 2 A. 1 xa ln C . 2a x  a B. 1 xa ln C . 2a x  a C. 1 xa ln C . a xa D. 1 xa ln C . a xa Hƣớng dẫn giải: 1 1  1 1      . Sử dụng bảng nguyên hàm. 2 x a 2a  x  a x  a  2 Câu 54. Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   trình F  x   x có nghiệm là A. x  1  3 . B. x  1 . x 8  x2 thoả mãn F  2   0 . Khi đó phương C. x  1 . D. x  0 . Hƣớng dẫn giải: Đặt t  8  x 2  t 2  8  x 2  tdt  xdx Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí x tdt 2  8  x2 dx   t  t  C   8  x  C . Vì F  2   0 nên C  2 . Ta có phương trình  8  x 2  2  x  x  1  3 Câu 55. Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f ( x)  A. ln 2  1 . B. ln 3 . 2 C. ln 2 . 1  x  1 dx  ln x  1  C , Hƣớng dẫn giải: 1 và F  2   1 thì F  3 bằng x 1 D. 1 . 2 vì F  2   1 nên C  1 . F  x   ln x  1  1, thay x  3 ta có đáp án. Câu 56. Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   ln 2 x  1. của F 2  e  là A. 8 . 9 B. 1 . 9 C. Hƣớng dẫn giải: Đặt t  ln 2 x  1  tdt   ln 2 x  1. 3 ln x t dx   t 2 dt  x 3  C  ln x 1 thoả mãn F 1  . Giá trị x 3 8 . 3 D. 1 . 3 ln x dx x ln 2 x  1 3   C . Vì F 1  1 nên C  0 3 3 8 Vậy F 2  e   . 9 Câu 57. Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   2 x  A.  cot x  x 2  2 16 1   thỏa mãn F    1 là 2 sin x 4 . C.  cot x  x2 . B. cot x  x 2  D. cot x  x 2  2 16 2 16 . . 2 1     Hƣớng dẫn giải:   2 x  2 dx  x 2  cot x  C . F    1 nên C   . 16 sin x   4 4.1.2. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC. Câu 58. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  cos2 x.sin x . A.  cos3 x f ( x)dx   C . 3 B.  cos3 x f ( x)dx  C . 3 C.  f ( x)dx   sin 2 x C . 2 D.  f ( x)dx  sin 2 x C . 2 Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí cos3 x Hƣớng dẫn giải:  cos 2 x sin xdx    cos 2 xd (cos x)   C 3 Câu 59. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  sin 2 x . cos 2 x  1 A.  f ( x)dx   ln sin x  C . B.  f ( x)dx  ln cos 2x 1  C . C.  f ( x)dx  ln sin 2 x  C . D.  f ( x)dx  ln sin x  C . Hƣớng dẫn giải d  sin x  sin 2 xdx 2sin x cos x cos x  dx   dx     ln sin x  C  cos 2 x 1 1  2sin 2 x  1 sin x sin x Câu 60. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  sin x.cos 2 x.dx . A. C. 2cos3 x  cos x  C . 3  f ( x)dx   cos3 x f ( x)dx   cos x  C . 3 1 1 1 1 B.  f ( x)dx  6 cos 3x  2 sin x  C . D.  f ( x)dx  6 cos 3x  2 sin x  C . Hƣớng dẫn giải 2 2  sin x.cos 2 xdx    2cos x 1 sin xdx    2cos x 1 d  cos x   2cos3 x  cos x  C 3 Câu 61. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  2sin x.cos3x . 1 1 1 1 A.  f ( x)dx  2 cos 2 x  4 cos 4 x  C . B.  f ( x)dx  2 cos 2 x  4 cos 4 x  C . C.  f ( x)dx  2cos D.  f ( x)dx  3cos 4 x  3cos2 x  C . 4 x  3cos2 x  C . 1 1 Hƣớng dẫn giải:  2sin x.cos3xdx    sin 4 x  sin 2 x  dx  cos 2 x  cos 4 x  C . 2 4 Câu 62. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  sin 3 x.sin 3x . 3  sin 2 x sin 4 x  1  sin 6 x    x C . 2 4  8 6  A.  f ( x)dx  8   B.  f ( x)dx  8   C.  f ( x)dx  8   D.  f ( x)dx  8   3  sin 2 x sin 4 x  1  sin 6 x    x C . 2 4  8 6  1  sin 2 x sin 4 x  3  sin 6 x    x C . 2 4  8 6  3  sin 2 x sin 4 x  1  sin 6 x    x C . 2 4  8 6  Hƣớng dẫn giải Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí 3sin x  sin 3x 3 .sin 3 xdx  sin x.sin 3xdx   4 3 1 3 1   2sin x.sin 3xdx   2sin 2 3 xdx    cos 2 x  cos 4 x  dx   1  cos 6 x  dx 8 8 8 8 3  sin 2 x sin 4 x  1  sin 6 x      x C 8 2 4  8 6  Câu 63. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  sin3 x.cos3x  cos3 x.sin 3x . 3 A.  f ( x)dx  16 cos 4 x  C . C.  f ( x)dx  16 sin 4 x  C . 3 3 B.  f ( x)dx  16 cos 4 x  C . D.  f ( x)dx  16 sin 4 x  C . 3 Hƣớng dẫn giải:  sin 3 cos 3x  3cos x  3sin x  sin 3x  .cos 3x  .sin 3x  dx x.cos3x  cos3 x.sin 3x  .dx    4 4   3 3     sin x.cos 3x  sin 3x.cos 3x  sin 3x.cos x  sin 3 x.cos 3 x  dx 4 4  3 3 3    sin x.cos3x  sin 3x.cos x  dx   sin 4 xdx  cos 4 x  C 4 4 16 Câu 64. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x)  sin 2 x    biết F    . 2 2 4 A. F  x   x sin x 1   . 2 2 2 B. F  x   x sin x 3   . 2 2 2 C. F  x   x sin x 1   . 2 2 2 D. F  x   x sin x 5   . 2 2 2 Hƣớng dẫn giải x 1 x 1  F ( x)   sin 2 dx   1  cos x  dx   sin x  C 2 2 2 2  1   1     F      sin  C   C  4 2 2 4 2 2 4 4.1.3. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT.  e x  Câu 65. Hàm số f ( x)  e x  ln 2  2  có họ nguyên hàm là sin x   A. F  x   e x ln 2  cot x  C . B. F  x   e x ln 2  cot x  C . 1 1 C . C . D. F  x   e x ln 2  2 cos x cos 2 x 1   Hƣớng dẫn giải:  f ( x)dx    e x ln 2  2 dx  e x ln 2  cot x  C sin x   C. F  x   e x ln 2  Câu 66. Hàm số f ( x)  3x  2x.3x có nguyên hàm bằng Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí 3x 6x A. B. 3x ln 3(1  2x ln 2)  C .  C. ln 3 ln 6 C. 3x 3x.2 x  C . ln 3 ln 6 Hƣớng dẫn giải:  D. 3x 6x  C. ln 3 ln 3.ln 2 3x 6x f ( x)dx    3  6 dx   C ln 3 ln 6 x x Câu 67. Một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x)  (e x  e x )2 thỏa mãn điều kiện F (0)  1 là 1 1 A. F ( x)   e2 x  e2 x  2 x  1 . B. F ( x)  2e2 x  2e2 x  2 x  1 . 2 2 1 1 1 1 C. F ( x)   e2 x  e2 x  2 x . D. F ( x)   e2 x  e2 x  2 x  1 . 2 2 2 2 1 1 Hƣớng dẫn giải: Ta có F ( x)   e2 x  e2 x  2 x  C , F (0)  1  C  1 2 2 Câu 68. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  2x 1 . x 1 A. F  x   2 x  3ln x  1  C . B. F  x   2 x  3ln x  1  C . C. F  x   2 x  ln x  1  C . D. F  x   2 x+ ln x  1  C . Hƣớng dẫn giải:  2x 1 3   dx    2   dx  2 x  3ln x  1  C x 1 x 1   Câu 69. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  A. F  x   2 x2  2 x  3 . 2x 1 1 5 2  2 x  1  ln 2 x  1  C . 8 4 C. F  x    2 x  1  ln 2 x  1  C . B. F  x   1 2  2 x  1  5ln 2 x  1  C . 8 D. F  x    2 x  1  ln 2 x  1  C . 2 2 Hƣớng dẫn giải:  2x 1  2 x2  2 x  3 5 1 5 2 dx      dx   2 x  1  ln 2 x  1  C  2x 1  2  2  2 x  1  8 4  Câu 70. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  A. F  x   x3  x . x2  1 x2  ln  x 2  1  C . 2 B. F  x   C. F  x   x 2  ln  x 2  1  C . x2  ln  x 2  1  C . 2 D. F  x   x 2  ln  x 2  1  C . d  x 2  1 x 2 x3  x 2x  x2  dx    x  2  dx      ln  x 2  1  C Hƣớng dẫn giải:  2 2 x 1 x 1  2 x 1 2  Câu 71. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  A. F  x   ln ln x  1  C . 1 . x ln x  x B. F  x   ln ln x  1  C . Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí C. F  x   ln x  1  C . D. F  x   ln x  1  C . Hƣớng dẫn giải: d  ln x  1 1 dx    ln ln x  1  C  x  ln x  1  ln x  1 Câu 72. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  e2 x . ex  1 A. F  x   e x  ln  e x  1  C . B. F  x   e x  ln  e x  1  C . C. F  x   ln  e x  1  C . D. F  x   e2x  e x  C . Hƣớng dẫn giải: d  e x  1  e2 x ex  dx    e x  x  dx  e x   x  e x  ln  e x  1  C  ex  1 e 1  e 1  4.1.4. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC. 1 . x 1 Câu 73. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)   f  x  dx  2 x  2ln 1  x   C . C.  f  x  dx  ln 1  x   C .  f  x  dx  2 x  2ln 1  x   C . D.  f  x  dx  2  2ln 1  x   C . A. B. Hƣớng dẫn giải Đặt t  1  x  x   t  1  dx  2  t  1 dt . 2 Khi đó 2  1  1 x dx   2  t  1 dt  1  2 1   dt  2  t  ln t   C1 t  t    x  1  ln 1  x  C1  2 x  2ln 1  x  C . (Với C  2  C1 và 1  x  0 ) x2 . x 1 Câu 74. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  2 A.  f  x  dx  3  x  4 x 1  C . B.  f  x  dx   x  4 C.  f  x  dx  2  x  1 x C . D.  f  x  dx  Hƣớng dẫn giải:  x 1 x 1  C . x 1  1 C . x 1 x2 1  2  dx    x  1   d  x  1  3  x  4  x  1  C x 1 x 1   Câu 75. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  2x 1 . 1 x 2 1 x  C . B.  f  x  dx  3  2 x  1 2 1 x  C . D.  f  x  dx  2 A.  f  x  dx   3  2x  1 C.  f  x  dx   3  2x  1 2 1 x  1 x  C . 1 C . 1 x Hƣớng dẫn giải Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí 2x 1 1    1  x dx    2 1  x  1  x  d 1  x    3 1 2 2  1  x  2  2 1  x  2  C    2 x  1 1  x  C 3 3 x Câu 76. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  . 3x 2  2 1 1 A.  f  x  dx  B.  f  x  dx   3x 2  2  C . 3x 2  2  C . 3 3 1 2 C.  f  x  dx  D.  f  x  dx  3x 2  2  C . 3x 2  2  C . 6 3 2 1 d  3x  2  1 dx    3x 2  2  C 2 2 6 3 3x  2 3x  2 x  Hƣớng dẫn giải: Câu 77. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  A.  f  x  dx   3  x C.  f  x  dx   3 1 1 2 x3 4  x2  8 4  x 2  C . .  f  x  dx  3  x D. 4  x2  C . B.  f  x  dx   3  x 1 2  8 4  x 2  C . 2 2  8 4  x 2  C . Hƣớng dẫn giải: Đặt t  4  x 2  x 2  4  t 2  xdx  tdt . Khi đó  x3 4  x2  4  t   tdt   2 dx    t 4  x2  4 t3  t  4 dt  3  4t  C 2 3 1 2  x  8 4  x 2  C 3 3 4.1.5. PHƢƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN  4  x2  C   Câu 78. Tính F  x    (2 x  1)e1 x dx  e1 x ( Ax  B)  C . Giá trị của biểu thức A  B bằng: A. 3 . B. 3 . C. 0 . Hƣớng dẫn giải: Phƣơng pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng. u và đạo hàm của u dv và nguyên hàm của v 2x 1 + e1 x + 2 e1 x + 0 e1 x D. 5 . Do đó F ( x)  (2 x  1)e1 x  2e1 x  C  e1 x (2 x  1)  C . Vậy A  B  3 . Câu 79. Tính F ( x)   e x cos xdx  e x ( A cos x  B sin x)  C . Giá trị của biểu thức A  B bằng A. 1 . B. 1 . C. 2 . D. 2 . Hƣớng dẫn giải: Phƣơng pháp trắc nghiệm: Sử dụng bảng u và đạo hàm của u dv và nguyên hàm của v x cos x + e + Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày + Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí sin x ex x +  cos x e + 1 Do đó F ( x)  e x sin x  e x cos x  F ( x)  C1 hay F ( x)  e x sin x  e x cos x  C . 2 Vậy A  B  1.   Câu 80. Tính F ( x)   2 x(3x  2)6 dx  A(3x  2)8  Bx(3x  2)7  C . Giá trị của biểu thức 12 A  11B là B. 1 . A. 1 . C. 12 . 11 D.  12 . 11 Hƣớng dẫn giải: Phƣơng pháp trắc nghiệm: Sử dụng bảng u và đạo hàm của u dv và nguyên hàm của v 2x (3x  2)6 + 2 0 Do đó F ( x)  1 (3x  2)7 21 1 (3x  2)8 504 + + 2 1 x(3x  2)7  (3x  2)8  C . Vậy 12 A  11B  1 . 21 252 Câu 81. Tính F ( x)   x2 x  1dx  ax 2 ( x  1) x  1  bx( x  1)2 x  1  c( x  1)3 x 1  C . Giá trị của biểu thức a  b  c bằng: 2 A. 7 Hƣớng dẫn giải: Phƣơng pháp tự luận: B. 2 7 C. 142 105 D. 142 105 Đặt u  x2 , dv  x  1dx ta được F ( x)   x 2 x  1dx  2 2 8 16 x ( x  1) x  1  x( x  1) 2 x  1  ( x  1)3 x  1  C 3 15 105 82 . 105 Phƣơng pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng u và đạo hàm của u dv và nguyên hàm của v Vậy a  b  c  x2 + ( x  1) 1 2 - 3 2 ( x  1) 2 3 + 5 4 ( x  1) 2 15 2x 2 0 F ( x)   x 2 x  1dx  7 8 ( x  1) 2 105 2 2 8 16 x ( x  1) x  1  x( x  1) 2 x  1  ( x  1)3 x  1  C 3 15 105 Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày