Tài liệu Toan 12

VÊn §Ò : Bµi Gi¶ng Hµm Sè §ång BiÕn-Hµm Sè NghÞch BiÕn NguyÔn §øc Hu©n.0979236484 A.Lý thuyÕt: Cho hµm sè y=f(x) x¸c ®Þnh trªn D xÐt chiÒu biÕn thiªn cña HS: -C¸ch gi¶i:muèn x¸c ®Þnh chiÒu biÕn thiªn cña hs ta cÇn c¨n cø vµo dÊu cña y'. -C¸c bíc tiÕn hµnh: +B 1 :T×m TX§,x¸c ®Þnh y'. +B 2 :LËp b¶ng xÐt dÊu y'. +B 3 : KÕt luËn. -Chó ý: nÕu y'  0 x  D  HS ®ång biÕn x  D . NÕu y'  0 x  D  HS nghÞch biÕn x  D . -VÝ dô:xÐt chiÒu biÕn thiªn cña hs y= 1 x 3  2 x 2  8 x  7 . 3 B.C¸c d¹ng bµi tËp. 1.D¹ng 1: cho y=g(x,m), t×m ®k ®Ó hµm sè lu«n ®ång biÕn. -Híng gi¶i: a.NÕu hs cã d¹ng y'=f(x)= ax 2  bx  c ( a  0 ), hoÆc y'=f(x)/k(x) th× ®Ó  a 0 .   0 hµm sè lu«n ®ång biÕn y'  0 x  R   (dùa vµo ®Þnh lý   0  a. f ( x ) 0 ). b.Muèn cm 1 hs kh«ng thÓ ®ång biÕn ta cÇn cm y'=0 cã 2 No  -Bµi to¸n : Bµi 1:cho y= x 3  3 2m  1 x 2 1 m 6 1 6  12m  5 x  2  0 t×m m ®Ó hµm sè lu«n ®ång biÕn.kq(- ) Bµi 2: (§¹i häc thñy lîi 1997) T×m m ®Ó : y= m  1 x 3  mx 2 3   3m  2  x ®ång biÕn x  R .KQ: m  2 Bµi 3: T×m  ®Ó y= 1 x 3  1  sin   cos   x 2 3 2  3 sin 2 .x  1 4 lu«n ®ång biÕn. KQ: 7 12  k    11  k 12 . Bµi 4:Cho y= x 3   m  1 x 2   2m 2  3m  2  x  2m 2m  1 CMR hµm sè nµy kh«ng thÓ ®ång biÕn. 2.D¹ng 2: cho hs y=g(x,m) t×m m ®Ó hs ®ång biÕn x    ;  - Híng gi¶i:®Ó hs®b víi -Bµi to¸n : Bµi 1:t×m ®k cña m ®Ó hs y= x 3 x   2;   x    ;      0   af    0 1 2 s  2  x  x     m  1 x 2  2m 2  3m  2 x  2m 2m  1 ®ång biÕn KQ:-2  m  3 2 Bµi 2:Cho y= 1 x 3 3 KQ: m  1  m x  1 .t×m m ®Ó hs : a.lu«n ®ång biÕn. KQ: m  0 . b.hs®b x  1;   Bµi 3:T×m m ®Ó hµm sè y= 2 x 2  1  m  x  1  m xm ®ång biÕn x  1;   HD:do   2 m  1 2  0 nªn xÐt   0  m  1 (tháa m·n)  0 .................................. 3.D¹ng 3: cho hs y=g(x,m) t×m m ®Ó hs ®ång biÕn x    ;  . Híng gi¶i:t¬ng tù d¹ng 2. -Bµi to¸n : Bµi 1:(§¹i häc quèc gia HN B.2000) Cho y= x 3  3mx 2  m  1 .T×m m ®Ó hs ®ång biÕn x    ;0 KQ: m 0 . Bµi 2:Cho y= x 3  3( 2m  1) x 2  (12m  5) x  2 . T×m m ®Ó hs ®ång biÕn x    ;1 . 4.D¹ng 4: Cho hs y=f(x,m) t×m m ®Ó hs ®ång biÕn x    ;   .Víi y'= f  x, m   ax 2  bx  c -    0  y' o.x  R    0   Híng gi¶i : * NÕu a>0 :®kbt  0     x1 x2  af     0    S   2  f    0  f   0 * NÕu a<0 :®kbt  x1      x2   -Bµi to¸n : Bµi 1: t×m a ®Ó hs y=  a 7 12 x3   a  1 x 2   a  3 x 3 ®ång biÕn x   0;3 . KQ: . Bµi 2: Cho y= x 2  m  x   m t×m m ®Ó hs ®ång biÕn x  1;2  . 5.D¹ng 5: cho hs y=g(x,m) t×m m ®Ó hs nghÞch biÕn x    ;  . - Híng gi¶i :xÐt dÊu t¬ng tù nh trªn. - Bµi to¸n : 2 2 Bµi 1: T×m m ®Ó hs y= x  2ax  3a nghÞch biÕn x  1;   . 2a  x Bµi 2:(§¹i häc ngo¹i th¬ng Hµ Néi 1997) T×m m ®Ó y= x 3  3x 2   m  1 x  4m .NghÞch biÕn trªn   1;1 m  10 Bµi 3:( Häc viÖn tµi chÝnh 2001) KQ: m  3 . KQ: KQ: 2 3 Cho y=  m  1 x  2mx   m  m  2 xm .T×m m ®Ó hs nghÞch biªn trªn TX§. VÊn §Ò 3. §iÓm Tíi h¹n Cña Hµm Sè . 1.§Þnh nghÜa: cho hs y=f(x) x¸c ®Þnh trªn D sè nÕu f'( x0 )=0 hoÆc f'( x0 ) kh«ng x¸c ®Þnh. x0  D .§iÓm x0 2.Bµi tËp: Bµi 1: t×m ®iÓm tíi h¹n cña hµm sè: y= 3x  Bµi 2: t×m ®iÓm tíi h¹n cña hµm sè: y= 3 x 2  x  5 . ®îc gäi lµ ®iÓm tíi h¹n cña hµm 3 5. x VÊn §Ò 4.Cùc TrÞ Cña Hµm Sè. 1.§Þnh nghÜa: -Hµm sè y=f(x) ®¹t cùc ®¹i t¹i x0  f( x0 )>f(x) x  D . -Hµm sè y=f(x) ®¹t cùc tiÓu t¹i x0  f( x0 )0  xi cùc tiÓu. NÕu y"( xi )<0  xi cùc ®¹i. VD 1 : T×m cùc trÞ cña hµm sè:y= x 4  2 x 2  1 . VD 2 : T×m cùc trÞ cña c¸c hµm sè: a.y=  x 2  6 x  1 b.y=2 x 3  3 x 2  12 x  5 b.y= x 3.D¹ng to¸n : 3.1.D¹ng 1:T×m ®k ®Ó hs ®¹t cùc tiÓu t¹i x= x0 . -C¸ch gi¶i: +B 1 :T×m TX§,x¸c ®Þnh y',y". +B 2 : ®k 4 4  x3  3 d.y= x 2  2x  2 1 x  y '  x0   0    y"  x0   0 +B 3 : Gi¶i hÖ nµy ®Ó t×m m. Bµi 1: Cho y= x 3 3 Bµi 2: Cho  mx 2  ( m 2  m  1) x  1 .T×m y  1  m  x 4  mx 2  2m  1 . m ®Ó hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i x=1.KQ:  T×m m ®Ó hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i x=1. 3.2.D¹ng 2: T×m ®k ®Ó hs ®¹t cùc ®¹i t¹i x= x0 . KQ:m= 2 . 3 -C¸ch gi¶i: +B 1 :T×m TX§,x¸c ®Þnh y',y".  y '  x0   0    y"  x0   0 +B 2 : ®k +B 3 : Gi¶i hÖ nµy ®Ó t×m m. Bµi 3: Cho y= x 2  mx  2 x 1 . T×m m ®Ó hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i x=3.KQ:  . 3.3.D¹ng 3: T×m ®k ®Ó hs ®¹t cùc trÞ t¹i x= x0 . +B 1 :T×m TX§,x¸c ®Þnh y'. +B 2 :Gi¶i y'  x0  =o t×m ra m. +B 3 :Thay gi¸ trÞ cña m vµo y'.Sau ®ã dùa vµo b¶ng biÕn thiªn xÐt dÊu cña y'.  KL. Bµi 4: Cho y= x Bµi 5: Cho 3.  2mx 2  3mx  1 3 y= x 3  ax 2  bx  3a  2 Bµi 6: Cho y= x >m. 3 3 3  x2  mx .T×m 2 .T×m m ®Ó hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x=1. KQ:m=-1. . T×m a,b ®Ó hµm sè cã cùc trÞ b»ng 4 t¹i x=1. KQ:a=o,b=- m ®Ó hµm sè ®¹t cùc ®¹i,cùc tiÓu t¹i c¸c ®iÓm cã hoµnh ®é KQ: m<-2. Bµi 7: Cho y =  m  1 x  2mx   m  m  2 .  m  1 . T×m m ®Ó hµm sè ®¹t cùc ®¹i,cùc 2 tiÓu 3 xm trong kho¶ng (0;2) . 3.4.D¹ng 4: c¸ch chøng minh 1 hµm sè cã cùc trÞ: - Híng gi¶i :chøng minh y' ph¶i ®æi dÊu khi qua c¸c nghiÖm ®ã. Bµi 8:CMR:Hµm sè sau cã cùc trÞ m :y= x 3      mx 2  m 2  1 x  m 2  1 3 y= x 3  3 m  1 x 2   2m 2  3m  2  x  m m  1 Bµi 9: Cho . T×m m ®Ó hµm sè ®¹t cùc trÞ. 3.5.D¹ng 5:C¸ch viÕt PT§T qua cùc ®¹i,cùc tiÓu: cña hµm sè y= ax 3 bx 2  cx  d . -C¸ch gi¶i: +B 1 :T×m TX§,x¸c ®Þnh y'. +B 2 :Gi¶i ®k y'  x0  =o cã 2n 0 ph©n biÖt. +B 3 :ViÕt y(x)=y'(x).p(x)+Ax+B. +B 4 :CM y=Ax+B lµ PT§T cÇn t×m. +B 5 :KL. Bµi 10:T×m täa ®é vµ viÕt PT§T qua c¸c ®iÓm cùc trÞ cña hµm sè sau:y= x  3x  6 x  8 . KQ:y=-6x+6.C§:(1- 3 ;6 3 ).CT:(1+ 3 ;-6 3 ) Bµi 11:(Häc viÖn kÜ thuËt mËt m· 99). Cho y= x 3  3 m  1 x 2  2(m 2  7 m  2) x  2m m  2  .T×m m ®Ó hs cã cùc ®ai,cùc tiÓu vµ viÕt PT§T qua cùc trÞ. Bµi 12: T×m m ®Ó y=2 x 3  3 m  1 x 2  6m(1  2m) x .cã C§,CT thuéc d:y=-4x KQ:m=1. 3 2 Bµi 13:(§H Thñy Lîi-98) Cho y= x ®æi m. 2  mx  m x 1 .CMR:kho¶ng c¸ch gi÷a 2 ®iÓm cùc trÞ lµ kh«ng