Tài liệu Tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng

TRƢỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƢƠNG KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN ----------------------- ĐỖ THU HOÀI TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Sư phạm Toán . Phú Thọ, 2019 TRƢỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƢƠNG KHOA: KHOA HỌC TỰ NHIÊN ----------------------- ĐỖ THU HOÀI TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Sƣ phạm Toán học Giảng viên hƣớng dẫn: TS.Đặng Thị Phƣơng Thanh Phú Thọ, năm 2019 LỜI CẢM ƠN Trong suốt thời gian làm khóa luận tốt nghiệp, ngoài sự nỗ lực của bản thân, tôi còn nhận được sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Khoa học tự nhiên, Trường Đại học Hùng Vương. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo TS. Đặng Thị Phương Thanh Giảng viên Khoa Khoa học tự nhiên, trường Đại học Hùng Vương. Cô đã dành nhiều thời gian quý báu, tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tôi trong quá trình thực hiện khóa luận, đồng thời cô đã giúp tôi lĩnh hội được những kiến thức chuyên môn và rèn luyện cho tôi tác phong làm việc khoa học. Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến các thầy cô giáo là giảng viên của Khoa Khoa học tự nhiên, trường Đại học Hùng Vương, cùng gia đình, bạn bè là những người luôn sát cánh, ủng hộ, động viên và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập cũng như quá trình thực hiện và hoàn chỉnh khóa luận. Mặc dù đã cố gắng, song khóa luận không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô giáo và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Việt Trì, tháng 05 năm 2019 Sinh viên Đỗ Thu Hoài MỤC LỤC 1. Lý do chọn đề tài khóa luận ......................................................................................2 2. Mục tiêu khóa luận ....................................................................................................2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................................2 4. Phƣơng pháp nghiên cứu...........................................................................................3 5. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu .............................................................................3 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn...................................................................................3 7. Bố cục của khóa luận ................................................................................................3 CHƢƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ ..................................................................................5 1.1. Phƣơng trình vi phân ..............................................................................................5 1.1.1. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp một ........................................................6 1.1.2. Một số phương trình vi phân với phi tuyến tính cấp một ................................9 1.2. Hệ phƣơng trình vi phân ......................................................................................19 1.2.1. Hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính ...............................................................19 1.2.2. Hệ vi phân tuyến tính với hệ số hằng ............................................................21 1.2.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao ......................................................22 1.3. Phƣơng trình đạo hàm riêng .................................................................................24 CHƢƠNG 2: TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ...........29 2.1. Lí thuyết ổn định ..................................................................................................29 2.2. Tính ổn định của hệ tuyến tính.............................................................................29 2.3. Tính ổn định nghiệm của hệ tựa tuyến tính .........................................................33 2.4. Tính ổn định nghiệm của hệ phi tuyến tính .........................................................37 2.4.1. Phương pháp tuyến tính hóa ..........................................................................37 2.4.2. Phương pháp hàm Lyapunov .........................................................................40 CHƢƠNG 3. ...................................................................................................................45 TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM DỪNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG ...........................................................................................45 3.1. Tính ổn định của điểm dừng đối với phƣơng trình vi phân .................................45 3.2. Tính ổn định nghiệm dừng của phƣơng trình phản ứng - khuếch tán.................49 3.3. Tính ổn định của nghiệm dừng của phƣơng trình Navier – Stokes hai chiều......57 3.3.1. Các toán tử.....................................................................................................58 3.3.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm .......................................................................60 TÀI LIỆU THAM KHẢO ..............................................................................................67 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài khóa luận Nhiều vấn đề trong khoa học công nghệ đƣa đến việc giải một phƣơng trình vi phân thƣờng, phƣơng trình đạo hàm riêng. Chẳng hạn, trong bài toán tính độ lệch đứng của một dầm vô hạn dẫn đến giải một phƣơng trình vi phân thƣờng; các phƣơng trình truyền sóng, truyền nhiệt là phƣơng trình đạo hàm riêng. Vấn đề đặt ra là tìm lời giải cho các phƣơng trình vi phân, đạo hàm riêng do các vấn đề của khoa học và công nghệ đƣa đến. Có rất nhiều hƣớng tiếp cận dựa trên nhiều lí thuyết toán học khác nhau trong việc giải quyết và vấn đề trên nhƣ: chỉ ra điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm, sự ổn định nghiệm; giải tìm nghiệm đúng, nghiệm gần đúng, nghiệm suy rộng,.... Ổn định là một trong những lý thuyết quan trọng của lý thuyết định tính phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng và có nhiều ứng dụng để giải quyết nhiều bài toán thuộc các lĩnh vực vật lý, kỹ thuật, cơ học, kinh tế,…Việc nghiên cứu bài toán ổn định của các hệ động lực đƣợc bắt đầu từ cuối thế kỷ trƣớc bởi nhà toán học Nga A.M.Liapunov và ngày nay đã trở thành một hƣớng nghiên cứu không thể thiếu trong lý thuyết phƣơng trình vi phân tất định và ngẫu nhiên. Trong những năm gần đây, tính ổn định nghiệm đã đƣợc nghiên cứu cho một số lớp phƣơng trình nửa tuyến tính và một số lớp phƣơng trình trong cơ học. Do đó, đây đang là vấn đề rất thời sự và thu hút đƣợc sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong và ngoài nƣớc. Với mong muốn tìm hiểu thêm về vấn đề này nên tôi chọn nội dung: “ Tính ổn định nghiệm của phƣơng trình vi phân và phƣơng trình đạo hàm riêng”. 2. Mục tiêu khóa luận - Minh họa ứng dụng các kết quả lý thuyết bằng các ví dụ liên quan đến thực tiễn. - Chứng minh đƣợc tính ổn định của nghiệm dừng của phƣơng trình phản ứng khuếch tán. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu cơ sở lý thuyết về phƣơng trình vi phân, hệ phƣơng trình vi phân, phƣơng trình đạo hàm riêng và lý thuyết ổn định. - Nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phƣơng trình vi phân và phƣơng trình đạo hàm riêng. 2 4. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu giáo trình, tài liệu liên quan tới phƣơng trình vi phân, phƣơng trình đạo hàm riêng và lý thuyết ổn định,... - Phƣơng pháp tổng kết: Từ việc nghiên cứu tài liệu, giáo trình, tổng hợp và hệ thống hóa các kiến thức một cáchđầy đủ và khoa học - Một phƣơng pháp đặc trƣng trong nghiên cứu phƣơng trình vi phân, phƣơng trình đạo hàm riêng nhƣ: Phƣơng pháp đại số hóa, phƣơng pháp năng lƣợng,... 5. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu - Đối tƣợng nghiên cứu: Phƣơng trình vi phân và phƣơng trình đạo hàm riêng - Phạm vi nghiên cứu: Tính ổn định nghiệm. 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Khóa luận hệ thống các kiến thức cơ bản về phƣơng trình vi phân, phƣơng trình đạo hàm riêng và lý thuyết ổn định, từ đó, góp phần làm rõ hơn tính ổn định nghiệm của phƣơng trình vi phân và phƣơng trình đạo hàm riêng qua các ví dụ minh họa và bài tập. Khóa luận có thể là tài liệu tham khảo hữu ích đối với các sinh viên ngành toán khi học tập và nghiên cứu về phƣơng trình vi tích phân và lý thuyết ổn định. 7. Bố cục của khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận dự kiến gồm 3 chƣơng. Cụ thể nhƣ sau: Chương 1. Kiến thức cơ sở 1.1. Phƣơng trình vi phân 1.2. Hệ phƣơng trình vi phân 1.3. Phƣơng trình đạo hàm riêng 1.4. Lý thuyết ổn định Chương 2. Tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân 2.1. Tính ổn định nghiệm của hệ tuyến tính 2.2. Tính ổn định nghiệm của hệ tựa tuyến tính 2.3. Tính ổn định nghiệm của hệ phi tuyến tính 2.3.1. Phƣơng pháp tuyến tính hóa 3 2.3.2. Phƣơng pháp hàm Lyapunov Chương 3. Tính ổn định nghiệm dừng của phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng 3.1. Tính ổn định của điểm dừng đối với phƣơng trình vi phân 3.2. Tính ổn định của nghiệm dừng của phƣơng trình phản ứng - khuếch tán 3.3. Tính ổn định của nghiệm dừng của phƣơng trình Navier – Stokes hai chiều 4 CHƢƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1. Phƣơng trình vi phân Một phƣơng trình vi phân thƣờng (gọi tắt là phƣơng trình vi phân) là một phƣơng trình chứa ẩn hàm x  x(t ) của một biến độc lập t  , và những đạo hàm x, x, x,... của ẩn hàm. Cấp của một phƣơng trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm của ẩn hàm có mặt trong phƣơng trình. Nhƣ vậy, một phƣơng trình vi phân cấp n có dạng: F (t , x, x,..., x( n) )  0 (1.1) ở đó F là hàm đã biết. Phƣơng trình (1.1) gọi là tuyến tính nếu F là hàm tuyến tính đối với các biến x, x,..., x( n ) ; trong trƣờng hợp ngƣợc lại, phƣơng trình (1.1) gọi là phi tuyến. Phƣơng trình (1.1) gọi là ô-tô-nôm nếu F không phụ thuộc tƣờng minh vào t, tức là F  F ( x, x,..., x( n ) ) , và gọi là không ô-tô-nôm nếu F phụ thuộc tƣờng minh vào t. Nói riêng, một phƣơng trình vi phân cấp một có thể viết dƣới dạng F (t , x, x)  0 (1.2) Hàm x  x(t ), t  I gọi là nghiệm hiện (còn gọi là nghiệm tƣờng minh) của (1.2) nếu F (t , x(t ), x(t ))  0 trong I. Hệ thức  (t , x)  0 gọi là nghiệm ẩn của (1.2) nếu nó xác định một hoặc nhiều hàm x   (t ) thỏa mãn F (t , (t), (t))  0 . Mặc dù ta có thể không giải đƣợc tƣờng minh x từ hệ thức  (t , x)  0 nhƣng ta có thể tính đƣợc  (t )   t nếu  x  0. x Ta thƣờng giả thiết phƣơng trình (1.1) là giải đƣợc đối với đạo hàm cấp cao nhất, tức là có thể viết (1.1) dƣới dạng x( n )  f  t , x, x,..., x ( n1)  (1.3) trong đó hàm f là hàm đã biết. Khi đó, bằng cách đặt y1  x, y2  x,..., yn  x( n1) , ta có thể viết (1.1) dƣới dạng vi phân vectơ cấp một, hay một hệ phƣơng trình vi phân cấp 5 một, dạng y  F (t , y) , ở đó y  ( y1 , y2 ,..., yn ) . Vì vây, không giảm tính tổng quát, ta chủ yếu xét các phƣơng trình vi phân cấp một. Một họ hàm y(t; C1 , C2 ,..., Cn ) phụ thuộc vào t và n tham số C1 , C2 ,..., Cn (thay đổi trong tập M  n ) gọi là nghiệm tổng quát của phƣơng trình vi phân cấp n (1.3) nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau: - Thứ nhất: Mỗi hàm y(t , C1 , C2 ,..., Cn ) là một nghiệm của phƣơng trình vi phân (1.3) với mọi cách chọn tham số (C1 , C2 ,..., Cn )  M ; - Thứ hai: Mọi nghiệm của (1.3) đều có thể nhận đƣợc theo cách này. Trong ứng dụng, để đảm bảo tính duy nhất nghiệm hoặc để nghiệm mô tả chính xác hơn hiện tƣợng đang xét, ta thƣờng quan tâm đến nghiệm (1.3) thỏa mãn những điều kiện bổ sung nào đó, thƣờng là điều kiện ban đầu hoặc là điều kiện biên. Chẳng hạn, các điều kiện ban đầu đối với (1.3) có dạng x(t0 )  x0 , x(t 0 )  x1, x( n1) (t0 )  xn1 ở đó t0  ,  x0 , x1 ,..., xn1   n (1.4) cho trƣớc. Bài toán tìm nghiệm của phƣơng trình (1.3) thỏa mãn điều kiện (1.4) gọi là bài toán giá trị ban đầu hay bài toán Cauchy. Ta thƣờng phải tìm nghiệm x(t) trong một khoảng I nào đó chứa điểm t0. Một bài toán đối với phƣơng trình vi phân gọi là bài toán đặt đúng hay bài toán đặt chỉnh nếu nó tồn tại nghiệm, nghiệm là duy nhất và nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện đã cho. Nếu bài toán vi phạm một trong ba điều kiện này thì ta có bài toán đặt không đúng hay bài toán đặt không chỉnh. 1.1.1. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp một Phƣơng trình vi phân có dạng x  p(t ) x  q(t), (1.5) ở đó p(t) và q(t) là những hàm liên tục trên khoảng I  , gọi là một phương trình vi phân tuyến tính cấp một. Nếu q(t )  0 , phƣơng trình (1.5) gọi là thuần nhất; nếu trái lại, phƣơng trình gọi là không thuần nhất. Để giải phƣơng trình (1.5), ta đi tìm một hàm khả vi  (t),  (t)  0 với mọi t  I , gọi là nhân tử tích phân của (1.5), sao cho 6  (t ) x(t )   (t ) p(t ) x(t )  (  (t ) x(t )) (1.6) Khi đó ta có thể giải đƣợc phƣơng trình (1.5) bằng cách tích phân hai vế của đẳng thức    t  x  t      t  q  t  . Khai triển vế phải của (1.6), ta đƣợc  (t ) x(t )   (t ) p(t ) x(t)     t  x  t    t  x  t  . Giả sử x  t   0 và chia cả hai vế cho x(t), ta đƣợc d  (t )  p(t )dt .  (t ) Lấy tích phân cả hai vế của phƣơng trình này, ta đƣợc   t   exp  p t  dt  e P (t ) , với P(t )   p(t )dt . Để tìm nghiệm tổng quát của (1.4) ta lấy tích phân hai vế của hệ thức    t  x t     t  q t  và đƣợc   t  x  t   C     t  q(t )dt , ở đó C là hằng số. Thay   t   e P t  , ta đƣợc   x  t   e P (t ) C   e P (t ) q(t )dt , với P(t)   p(t )dt. (1.7) Nếu x(t) là nghiệm của (1.5) thì x(t) có dạng (1.7). Ngƣợc lại, dễ dàng chứng minh đƣợc với mọi C  , x(t) cho bởi (1.7) là một nghiệm của (1.5). Vì vậy, ta gọi x(t) cho bởi (1.7) là nghiệm tổng quát cuả (1.5). Nhƣ một trƣờng hợp đặc biệt của (1.7), khi q(t)  0 , nghiệm tổng quát của phƣơng trình thuần nhất tƣơng ứng x  p(t ) x  0 , cho bởi x  t   Ce  P t  , với P  t    p(t )dt , t  I 7 Để tìm nghiệm của (1.5) thỏa mãn điều kiện ban đầu x  t0   x0 , ta thay t  t0 , x  x0 vào (1.7) và tìm hằng số C . Cách khác là chọn nhân tử tích phân   t   e t t0 p s ds . Kết quả ta đƣợc   p (u) du  x  t et0 q( s )ds  , t  I  0 t0     t x t   e  t t0 p (s) d s Ví dụ 1.1. Tìm nghiệm tổng quát của phƣơng trình y  2 yx x (1.8) (1) Giải: Ta xét phƣơng trình thuần nhất tƣơng ứng : y  2 dy 2 y0  dx  ytn  Cx 2 x dy x Ta đi tìm nghiệm phƣơng trình không thuần nhất dƣới dạng y  C  x  x 2 Thay vào phƣơng trình (1) ta đƣợc: 2 1 C  x  x 2  2xC  x   C  x  x 2  x hay C   x   . x x Do đó C  x   ln x  C và nghiệm tổng quát của phƣơng trình (1) là: y   ln x  C  x 2 Ví dụ 1.2. Tìm nghiệm tổng quát của phƣơng trình: y  2x y  0 (2) và đƣờng 1  x2 cong tích phân đi qua điểm (1; 2). Giải: Theo công thức ta có nghiệm tổng quát của phƣơng trình (2) có dạng: 2xdx y  Ce  1 x2 x  Ce   C 1  x2   2  1 2 d Nghiệm đi qua điểm (1;2) là y  2e 1  ln 1 x 2  1  x2 8 Ví dụ 1.3. Hãy tích phân phƣơng trình y  1 y  3x x ( x  0) (3) và tìm nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu y(1) = 1. Giải:  ye  Theo công thức chung ta có: dx x dx   x dx   C  x 2 C  3 xe      x là nghiệm của phƣơng trình (3) Nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu y(1) = 1 có dạng dx ds x     s  y  e 1 1  3 e 1 d    1   x x  x  1 1 2 3 2 1  3 d   1  x  1  x x 1  x Vậy y  x 2 là nghiệm phải tìm. 1.1.2. Một số phương trình vi phân với phi tuyến tính cấp một a. Phương trình với biến số phân li Một phƣơng trình vi phân có dạng x  h( x) g  x  (1.9) gọi là phương trình vi phân với biến số phân li. Ta giả sử h(t) là hàm liên tục, không đồng nhất bằng 0 hoặc g(x) là hàm khả vi liên tục trên miền đang xét phƣơng trình. Dễ thấy, x = k là một nghiệm của hằng số của (1.9) khi và chỉ khi g(k) = 0. Do đó nếu x(t) là một nghiệm khác hằng số của (1.9) thì g  x  t    0 , và ta có thể chia cả hai vế của phƣơng trình (1.9) cho g(x) để đƣợc dx  h(t )dt . g ( x) Lấy tích phân hai vế ta đƣợc dx  g ( x)   h(t )dt C Biểu thức này gọi là tích phân tổng quát của phƣơng trình. 9 (1.10) Với mỗi giá trị xác định của C thì từ (1.10) ta xác định đƣợc một nghiệm x = x(t), gọi là một nghiệm riêng của (1.9). Ví dụ 1.4. Xét phƣơng trình: 2x 2y dx  dy  0. 2 1 x 1  y2 Có tích phân tổng quát là 2x 1 x    2 dx   2y dy  C. 1  y2  Hay ln 1  x 2  ln 1  y 2  c, c  0 .    Do đó 1  x 2 1  y 2  c, c  ec là tích phân tổng quát của phƣơng trình. Ví dụ 1.5. Xét phƣơng trình x 1  y 2 dx  y 1  x 2 dy  0 Giả sử 1  y 2 . 1  x 2  0. Chia hai vế của phƣơng trình cho biểu thức này ta đƣợc phƣơng trình biến số phân li xdx 1 x 2  ydy 1 y 2  0. Do đó tích phân của phƣơng trình là 1  x 2  1  y 2  c,  c  0  Hệ thức 1  y 2. . 1  x 2  0 cho ta các nghiệm y1  x   1, y2  x   1 1  x  1 và x1  y   1, x2  y   1 1  y  1 . Ví dụ 1.6. Xét phƣơng trình x 1  y 2  dx  y 1  x 2  dy  0 . Phân li biến số ta có xdx ydy   0. 2 1  x 1  y2 Tích phân tổng quát có dạng 10 1  x 1  y   c . 2 2 2 Tại gốc tọa độ hƣớng trƣờng không xác định. Không có đƣờng thẳng cong tích phân nào đi qua đó hoặc dần tới đó. Ví dụ 1.7. Tích phân phƣơng trình 2 y by  y 2 dy   b2  x 2  dy  0 Tìm đƣờng cong tích phân đi qua điểm (0; b). Giả sử y by  y 2  0 , phân li biến số ta có 2dx dy   0. 2 b x y by  y 2 2 Từ đây suy ra tích phân tổng quát là arctg x b y  c b y Ngoài ra từ phƣơng trình y by  y 2  0 ,ta tìm đƣợc các nghiệm y = 0, y = b nghiệm thứ nhất là nghiệm riêng, nghiệm thứ hai là nghiệm kì dị. b. Phương trình vi phân thuần nhất Phƣơng trình vi phân dạng x  f t, x  (1.11) gọi là phương trình thuần nhất nếu f là hàm thuần nhất bậc 0, tức là với mọi   , ta có f  t ,  x   f  t , x  . Để giải phƣơng trình thuần nhất (1.11), chọn   1 ta đƣợc t  x  x x  f  t , x   f  t ,  x   f 1,      .  t t Đƣa vào biến mới z  x hay x  zt , ta có x = z + tz, do đó ta nhận đƣợc phƣơng trình t với biến số phân li tdz   ( z )  z  dt. 11 Nếu t   z   z   0 , ta có dz dt dz    ln t  C  (z)  z t  (z)  z (1.12) dx x  có nghiệm tổng quát x = Ct. dt t Nếu  (z)  z  0 , ta có Nếu  (z)  z  0 có nghiệm z = z0 thì ngoài nghiệm tổng quát rút ra từ (1.12), ta còn nghiệm x = z0t. c. Phương trình vi phân hoàn chỉnh Phƣơng trình dạng M  t , x  dt  N  t , x  dx  0 (1.13) gọi là phương trình vi phân hoàn chỉnh (còn gọi là phương trình vi phân toàn phần) nếu tồn tại hàm số U(t,x) sao cho dU  Mdt  Ndx . Nếu (1.13) là phƣơng trình vi phân hoàn chỉnh thì nó có tích phân tổng quát dạng U ( x, t )  C . Ta có thể đƣa phƣơng trình (1.13) về dạng N  t , x   0 , hoặc dạng M t, x  dx  nếu dt N t, x  N t, x  dt  nếu M  t , x   0 trong miền đang xét. Điểm dx M t, x   t , x  mà M t , x   N t , x   0 gọi là điểm kì dị của phƣơng trình (1.13). * * * * * * Từ kết quả của giải tích cổ điển ta biết rằng nếu M và N là những hàm liên tục và có các đạo hàm riêng cấp một M N liên tục trong miền mở đơn liên D  ; x t 2 thì điều kiện cần và đủ để (1.13) là phƣơng trình vi phân hoàn chỉnh trong D là M N  trong D. x t (1.14) Nếu điều kiện (1.14) đƣợc thỏa mãn thì tích phân tổng quát của phƣơng trình (1.13) có thể viết dƣới dạng t x t x t0 x0 t0 x0  M  t , x  dt   N t0 , x  dx  C , hoặc  M t , x0  dt   N t , x  dx  C , trong đó  t0 , x0  là điểm bất kì trong D (khi các công thức này có nghĩa). 12 Ví dụ 1.8. Xét phƣơng trình vi phân y x y  Trƣớc hết ta nhận thấy rằng các đƣờng cong tích phân của phƣơng trình này chỉ có thể nằm trên góc tọa độ thứ nhất và thứ ba vì x và y phải là những giá trị có cùng dấu thì vế phải phƣơng trình sẽ đƣợc xác định. Đặt y = xz ta đƣa phƣơng trình đang xét về phƣơng trình xz  z  z . Với giả thiết x  0 , z  x  0 phƣơng trình đƣợc đƣa về dƣới dạng biến số phân li dx dz   0. x z x Tích phân phƣơng trình này là 2ln z  1  ln x  ln C1 (C1 > 0) hay   z 1 2 x  C1 . Trở lại biến y suy ra 2  y   1 x  C1 .  x   Từ đây, sau khi giản ƣớc ta đƣợc y  x  C nếu x > 0, y > 0;  y   x  C nếu x < 0, y < 0 ( C   C1 ) Xét trƣờng hợp z  z  0 . Ta có hai nghiệm của phƣơng trình này là z = 0,z = 1 tƣơng ứng với hai nghiệm của phƣơng trình ban đầu là y = 0, y = x ( x  0 ). Nghiệm y = 0 ( x  0 ) là nghiệm kì dị, còn y = x ( x  0 ) là nghiệm riêng. 13 Ví dụ 1.9. Tích phân phƣơng trình x 2  2 xy  y 2  dx   y 2  2 xy  x 2  dy  0 và tìm đƣờng cong tích phân đi qua hai điểm  2;2  . Đặt y = zx. Khi đó dy = zdx + xdz. Thế vào phƣơng trình, ta có ( x2  2 zx2  z 2 x 2 )dx  ( z 2 x 2  2 x 2 z  x 2 )( zdx  xdz )  0 hay là ( z 3  z 2  z  1)dx  ( z 2  2 z  1) xdz  0. Tích phân của phƣơng trình biến số phân li này ta đƣợc ln x  ln z  1  ln z 2  1  ln C1 hay là x( z 2  1) C z 1 (C  C1 ) . Trở lại biến cũ ta nhận đƣợc tích phân tổng quát của phƣơng trình ban đầu x2  y 2 C. x y Đây là họ các đƣờng tròn x 2  y 2  C  x  y   0 . Ngoài ra phƣơng trình còn có các nghiệm y + x = 0 (ứng với z + 1 = 0) Phƣơng trình trên không có nghiệm kì dị. Nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu y  2   2 có dạng  x  1 2   y  1  2 . 2 Ví dụ 1.10. Xét phƣơng trình 14  2 x  2 y  1 dx   x  y  1 dy  C ở đây đây định thức phải xét có dạng 2 2  2  2  0 . 1 1 Bởi vậy đặt z  x  y , ta đƣa phƣơng trình trên về dạng biến só phân li đƣợc: 3zdx -  z  1 dz  0. Tích phân phƣơng trình cuối ta có 3x  z  ln z  C. Trở lại biến cũ ta đƣợc tích phân tổng quát của phƣơng trình đang xét: 2 x  y  ln x  y  C . d. Phương trình Bernoulli Phương trình Bernoulli là phƣơng trình vi phân có dạng x ' p(t ) x  q(t) x (1.15) trong đó p,q là những hàm liên tục trên khoảng I  ,  là số thực bất kì. Nếu  là số thực bất kì thì vế phải của (1.15) có nghĩa khi x > 0, còn nếu  là số nguyên dƣơng thì không cần điều kiện x > 0. Nếu  = 0,1 hoặc q(t)  0 thì (1.15) là phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp một và ta đã biết cách giải. Ngoại trừ ba trƣờng hợp này, phƣơng trình Bernoulli là phƣơng trình phi tuyến tính. Ta chỉ ra rằng phép biến đổi z  x  1 sẽ chuyển phƣơng trình Bernoulli thành một phƣơng trình tuyến tính. Thật vậy, ta có z '     1 x  x ' , do đó z '     1 x   p  t  x  q  t  x   z '    1 x  1 p  t  x     1 q  t  15  z '    1 p  t  z     1 q  t  . Đây là một phƣơng trình vi phân tuyến tính. Nếu z > 0 là một nghiệm của phƣơng 1 trình này thì x(t )  z 1  t  là một nghiệm dƣơng của (1.15). Ví dụ 1.11. Xét phƣơng trình y  2xy  3x 2 y 2 (1.16) Đây là phƣơng trình Becnuli với   2 . Đặt z  y1  y 1 , ta đƣa phƣơng tình (1.16) về phƣơng tình tuyến tính z ' 2 xz  2 x3. . Tích phân phƣơng trình này ta có z  Ce x  1  x 2 . 2 Bởi vậy, nghiệm tổng quát của phƣơng trình (1.16) là y 1 Ce  x2  1  x2 . Nghiệm y  0 là nghiệm riêng vì   2  1. Dễ dàng kiểm chứng rằng, nghiệm đi qua điểm (0;1) có dạng y 1 . 1  x2 Ví dụ 1.12. Tích phân phƣơng trình y  Đây là phƣơng trình Becnuli với   x yx y 1  x2 1 . 2 1 Đặt z  y1  y 2  y . Ta đƣa phƣơng trình về dạng tuyến tính z  x 1 z  x. 2 2 2 1  x  Tích phân phƣơng trình cuối này ta đƣợc 16 z  C 4 1  x2  1 1  x2   3 Do đó, biểu thức y  C 4 1  x2  1 1  x2   3 là tích phân tổng quát của phƣơng trình. Nghiệm y  0 là nghiệm kì dị vì   1 1 . 2 e. Phương trình Riccati Phương trình Riccati là phƣơng trình có dạng x '  p  t  x2  q t  x  r t  trong đó p, q là các hàm liên tục trên khoảng I  (1.17) . Đặc biệt, khi p  t   0 ta đƣợc phƣơng trình tuyến tính, và khi r ( x)  0 ta đƣợc phƣơng trình Bernoulli. Bằng cách tính toán trực tiếp và chọn các hàm   t  ,   t  phù hợp, ta chứng minh đƣợc các tính chất sau đây của phƣơng trình Riccati: a, Bằng phép thế x    t  u ta có thể đƣa phƣơng trình Riccati (1.17) về dạng u '  u 2  q1  t  u  r1  t  b, Bằng phép thế x    t   v ta có thể đƣa phƣơng trình Riccati (1.17) về dạng v '  p  t  v 2  r2  t  Do đó nếu sử dụng cả hai phép thế trên, ta có thể đƣa phƣơng trình Riccati về dạng chính tắc y '   y 2  r  t  . Nói chung, ta không giải đƣợc phƣơng trình Riccati bằng phép cầu phƣơng. Tuy nhiên, nếu đã biết một nghiệm riêng u(t) của phƣơng trình Riccati (1.17), thì bằng cách đặt x  u  z , ta đƣa (1.17) về phƣơng trình Bernoulli đối với z và do đó có thể giải đƣợc nó. Đặc biệt, ta có thể giải phƣơng trình Riccati dạng x '  ax2  bt  trong hai trƣờng hợp   0 hoặc   2 . Cụ thể: Khi   0 , ta thu đƣợc phƣơng trình x '  ax 2  b . Đây là phƣơng trình phân li biến số. 17