ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
TRẦN NGỌC TÂM
¨
TÍNH LIÊN TỤC HOLDER CỦA NGHIỆM VÀ
¨
ĐẶT CHỈNH HOLDER CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG
Ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số ngành: 62460112
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
TP. Hồ Chí Minh - Năm 2017
'
$
Công trình này được hoàn thành tại trường Đại Học Khoa học Tự Nhiên
Tp. Hồ Chí Minh.
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Lâm Quốc Anh
GS.TSKH. Phan Quốc Khánh
Phản biện 1: TS. Nguyễn Bá Thi
Phản biện 2: TS. Nguyễn Đình Tuấn
Phản biện 3: TS. Nguyễn Hồng Quân
Phản biện độc lập 1: PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy
Phản biện độc lập 2: TS. Nguyễn Đình Tuấn
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Cơ sở đào tạo tại trường
Đại học Khoa học Tự Nhiên - HCM vào lúc
ngày tháng
năm
Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:
1. Thư viện Tổng hợp Quốc gia Tp.HCM.
2. Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên - HCM.
&
%
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1
Tính liên tục của ánh xạ
1.1.1
Tính liên tục của ánh xạ đa trị
Trong phần này, xét X, Y là các không gian tô pô Hausdorff và ánh xạ đa trị
Q:X
Y.
Định nghĩa 1.1.1
(a) Q được gọi là nửa liên tục trên tại x0 nếu với mọi lân cận
U của Q(x0 ) thì tồn tại một lân cận N của x0 sao cho Q(N ) ⊆ U .
(b) Q được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 nếu với mọi tập con mở U của Y với
Q(x0 ) ∩ U = ∅ thì tồn tại một lân cận N của x0 sao cho ∀x ∈ N thì Q(x) ∩ U = ∅.
(c) Q được gọi là liên tục tại x0 nếu nó vừa nửa liên tục trên vừa nửa liên tục dưới
tại x0 .
(d) Q được gọi là liên tục trên tập con A ⊆ X nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ A.
1.1.2
Tính liên tục H¨lder của ánh xạ
o
Xét X, Y, M là các không gian metric, l, α > 0 và θ ≥ 0.
Định nghĩa 1.1.2
(i) Ánh xạ g : X → Y được gọi là l.α-H¨lder tại x nếu tồn tại
o
¯
một lân cận N của x sao cho với mọi x1 , x2 ∈ N thì d(g(x1 ), g(x2 )) ≤ ldα (x1 , x2 ).
¯
(ii) Ánh xạ g : X → Y được gọi là l.α-H¨lder calm tại x nếu tồn tại một lân cận N
o
¯
của x sao cho với mọi x ∈ N thì d(g(x), g(¯)) ≤ ldα (x, x).
¯
x
¯
1
(iii) Ánh xạ g : X × X × M → Y được gọi là l.α-H¨lder, θ-đều trên A ⊆ X tại µ ∈ M
o
¯
nếu tồn tại một lân cận N của µ sao cho với mọi µ1 , µ2 ∈ N và x, y ∈ A, x = y
¯
thì d(g(x, y, µ1 ), g(x, y, µ2 )) ≤ ldα (µ1 , µ2 )dθ (x, y).
(iv) Ánh xạ g : X × X × M → Y được gọi là l.α-H¨lder calm, θ-đều trên A ⊆ X tại
o
µ ∈ M nếu tồn tại một lân cận N của µ sao cho với mọi µ ∈ N và x, y ∈ A, x = y
¯
¯
thì d(g(x, y, µ), g(x, y, µ)) ≤ ldα (µ, µ)dθ (x, y).
¯
¯
(v) Ánh xạ đa trị Q : X
Y được gọi là l.α-H¨lder tại x nếu tồn tại một lân cận
o
¯
N của x sao cho với mọi x1 , x2 ∈ N thì H(Q(x1 ), Q(x2 )) ≤ ldα (x1 , x2 ).
¯
(vi) Ánh xạ đa trị Q : X
Y được gọi là l.α-H¨lder calm tại x nếu tồn tại một lân
o
¯
cận N của x sao cho với mọi x ∈ N thì H(Q(x), Q(¯)) ≤ ldα (x, x).
¯
x
¯
1.2
Tính đơn điệu và các khái niệm liên quan
Xét X, Y là các không gian metric, A là một tập con khác rỗng của X, C là nón
lồi, đóng, có đỉnh, phần trong khác rỗng trong Y và l, α > 0.
Định nghĩa 1.2.1 Xét hàm số g : X × X → R. Khi đó, g được gọi là
(i) đơn điệu trên A nếu với mọi x, y ∈ A thì g(x, y) + g(y, x) ≤ 0.
(ii) tựa đơn điệu trên A nếu với mọi x, y ∈ A và x = y thì,
[g(x, y) < 0] =⇒ [g(y, x) ≥ 0].
(iii) giả đơn điệu trên A nếu với mọi x, y ∈ A và x = y thì,
[g(x, y) ≥ 0] =⇒ [g(y, x) ≤ 0].
(iv) l.α-H¨lder đơn điệu mạnh trên A nếu với mọi x, y ∈ A và x = y thì,
o
g(x, y) + g(y, x) + ldα (x, y) ≤ 0.
(v) l.α-H¨lder giả đơn điệu mạnh trên A nếu với mọi x, y ∈ A và x = y thì,
o
[g(x, y) ≥ 0] =⇒ [g(y, x) + ldα (x, y) ≤ 0].
Định nghĩa 1.2.2 Ánh xạ g : X × X → Y được gọi là C-đơn điệu trên A nếu với mọi
x, y ∈ A thì g(x, y) + g(y, x) ∈ −C.
2
1.3
Tính lồi và các khái niệm liên quan
Xét X, Y là các không gian metric tuyến tính, ∅ = A ⊆ X, C là một nón lồi, đóng,
có đỉnh và phần trong khác rỗng trong Y và m, h, β > 0.
Định nghĩa 1.3.1 Hàm số g : X → R được gọi là lồi trên A nếu với mọi x1 , x2 ∈ A
và t ∈ [0, 1] thì,
g(tx1 + (1 − t)x2 ) ≤ tg(x1 ) + (1 − t)g(x2 ),
(1.1)
và g được gọi là lõm nếu (1.1) được thay bởi,
g(tx1 + (1 − t)x2 ) ≥ tg(x1 ) + (1 − t)g(x2 ).
Định nghĩa 1.3.2 Hàm số g : X → R được gọi là affine trên A nếu với mọi x1 , x2 ∈ A
và t ∈ [0, 1] thì g(tx1 + (1 − t)x2 ) = tg(x1 ) + (1 − t)g(x2 ).
Định nghĩa 1.3.3 Xét ánh xạ g : X → Y có giá trị véc tơ. Khi đó.
(i) g được gọi là C-lồi trên A nếu với mọi x1 , x2 ∈ A và t ∈ [0, 1] thì,
tg(x1 ) + (1 − t)g(x2 ) ∈ g(tx1 + (1 − t)x2 ) + C,
(1.2)
(ii) g được gọi là C-tựa lồi trên A (ở đây A không nhất thiết lồi) nếu với mọi x1 , x2 ∈ A
và t ∈ [0, 1] thì tồn tại x3 ∈ A sao cho
tg(x1 ) + (1 − t)g(x2 ) ∈ g(x3 ) + C.
Ánh xạ g được gọi là C-lõm (C-tựa lõm) trên A nếu −g là C-lồi (C-tựa lồi) trên A.
Định nghĩa 1.3.4 Ánh xạ đa trị Q : X
Y được gọi là lồi trên tập con lồi A nếu
với mọi x1 , x2 ∈ A và t ∈ [0, 1] thì,
Q(tx1 + (1 − t)x2 ) ⊇ tQ(x1 ) + (1 − t)Q(x2 ),
và Q được gọi là lõm nếu (1.3) được thay bởi,
Q(tx1 + (1 − t)x2 ) ⊆ tQ(x1 ) + (1 − t)Q(x2 ).
3
(1.3)
Định nghĩa 1.3.5 Hàm số g : X → R được gọi là m-lồi mạnh trên A nếu với mọi
x1 , x2 ∈ A và t ∈ (0, 1) thì,
1
g((1 − t)x1 + tx2 ) ≤ (1 − t)g(x1 ) + tg(x2 ) − mt(1 − t)d 2 (x1 , x2 ).
2
Định nghĩa 1.3.6 Xét hàm số g : X → R. Khi đó,
(i) g được gọi là h.β-lồi mạnh trên A nếu với mọi x1 , x2 ∈ A và t ∈ (0, 1) thì,
g((1 − t)x1 + tx2 ) ≤ (1 − t)g(x1 ) + tg(x2 ) − ht(1 − t)dβ (x1 , x2 ).
(ii) g được gọi là h.β-giống lồi mạnh trên A (ở đây A không nhất thiết phải lồi) nếu
với mọi x1 , x2 ∈ A và t ∈ (0, 1) thì tồn tại z ∈ A sao cho
g(z) ≤ (1 − t)g(x1 ) + tg(x2 ) − ht(1 − t)dβ (x1 , x2 ).
Hàm số g được gọi là h.β-lõm mạnh (giống lõm mạnh) trên A nếu −g là h.β-lồi
mạnh (giống lồi mạnh) trên A.
1.4
Bài toán cân bằng
Cho X là không gian tô pô, A là một tập con khác rỗng của X và f : A × A → R
là hàm giá trị thực. Bài toán cân bằng vô hướng, được phát biểu như sau:
(EP) Tìm x ∈ A sao cho với mọi y ∈ A thì f (¯, y) ≥ 0.
¯
x
Bài toán đối ngẫu của (EP) như sau:
(DEP) Tìm x ∈ A sao cho với mọi y ∈ A thì f (y, x) ≤ 0.
¯
¯
4
Chương 2
Tính liên tục H¨lder của nghiệm
o
bài toán cân bằng vô hướng
Trong chương này, ta thiết lập điều kiện đủ cho tính liên tục H¨lder của ánh
o
xạ nghiệm chính xác của bài toán cân bằng vô hướng bằng các giả thiết về tính
lồi mạnh. Sau đó, ta thiết lập điều kiện đủ cho tính liên tục H¨lder của ánh xạ
o
nghiệm xấp xỉ của bài toán này bằng các giả thiết về tính lồi (lõm). Giả sử rằng
các tập nghiệm luôn khác rỗng trong lân cận của điểm đang xét.
2.1
Tính liên tục H¨lder của nghiệm chính xác
o
Xét X là một không gian metric tuyến tính, Λ, M là các không gian metric
và A ⊆ X là tập con khác rỗng. Xét K : Λ
A là ánh xạ đa trị có giá trị lồi
khác rỗng và f : A × A × M → R là hàm giá trị thực. Với mỗi (λ, µ) ∈ Λ × M , ta
xét bài toán cân bằng phụ thuộc tham số và bài toán đối ngẫu của nó như sau:
(EP) Tìm x ∈ K(λ) sao cho với mọi y ∈ K(λ) thì f (¯, y, µ) ≥ 0.
¯
x
(DEP) Tìm x ∈ K(λ) sao cho với mọi y ∈ K(λ) thì f (y, x, µ) ≤ 0.
¯
¯
Ký hiệu hai tập nghiệm của (EP) và (DEP) lần lượt là S(λ, µ) và S d (λ, µ).
Định lý 2.1.1 Xét (EP), giả sử các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
¯
(i) K là l.α-H¨lder liên tục trên một lân cận N của λ;
o
5
(ii) tồn tại một lân cận U của µ sao cho với mọi x ∈ K(N ) và µ ∈ U thì f (x, ·, µ)
¯
là h.β -lồi mạnh và m.1-H¨lder trên conv(K(N ));
o
(iii) với mọi µ ∈ U thì f (·, ·, µ) đơn điệu trên K(N ) × K(N );
(iv) f là n.γ -H¨lder trên U , θ-đều trên K(N ) với θ < β .
o
Khi đó, trên N × U , S là đơn trị và với mọi (λ1 , µ1 ), (λ2 , µ2 ) ∈ N × U thì,
ρ(S(λ1 , µ1 ), S(λ2 , µ2 )) ≤
4ml
h
1
β
α
d β (λ1 , λ2 ) +
n
h
1
β−θ
γ
d β−θ (µ1 , µ2 ).
Định lý 2.1.2 Giả sử rằng các giả thiết (i), (iv) và (iii) giống như trong Định
lý 2.1.1 với f được thay thế bởi −f và điều chỉnh giả thiết (ii) như sau:
(iid ) tồn tại một lân cận U của µ sao cho với mọi x ∈ K(N ) và µ ∈ U , f (·, x, µ)
¯
là h.β -lõm mạnh và m.1-H¨lder liên tục trên conv(K(N )).
o
Khi đó, ta có kết luận tương tự như của Định lý 2.1.1 cho S d .
Định lý 2.1.3 Với K(λ) ≡ K , giả sử các điều kiện sau đây được nghiệm đúng:
(i) tồn tại một lân cận U của µ sao cho với mọi x ∈ K và µ ∈ U , f (x, ·, µ) là
¯
h.β -giống lồi mạnh trên K ;
(ii) với mọi µ ∈ U thì f (·, ·, µ) đơn điệu trên K × K ;
(iii) f là n.γ -H¨lder trên U , θ-đều trên K với θ < β .
o
Khi đó, với mỗi µ ∈ U , (EP) có nghiệm duy nhất x(µ) và với mọi µ1 , µ2 ∈ U ,
ρ(S(µ1 ), S(µ2 )) ≤
n
h
1
β−θ
γ
d β−θ (µ1 , µ2 ).
Định lý 2.1.4 Với K(λ) ≡ K , giả sử rằng các giả thiết (ii) và (iii) của Định lý
2.1.3 được giữ lại với f được thay bởi −f và điều chỉnh giả thiết (i) như sau:
(id ) tồn tại một lân cận U của µ sao cho với mọi x ∈ K và µ ∈ U , f (·, x, µ) là
¯
h.β -giống lõm mạnh trên K .
Khi đó, trên U , ánh xạ nghiệm của (DEP) là đơn trị và thỏa mãn điều kiện
H¨lder tương tự như trong Định lý 2.1.3.
o
6
2.2
Tính liên tục H¨lder của nghiệm xấp xỉ
o
Xét X, Y, Z là các không gian định chuẩn, A ⊆ X là tập con khác rỗng và
Λ ⊆ Y, M ⊆ Z là các tập con lồi, khác rỗng. Xét K : Λ
A là ánh xạ đa trị có
giá trị lồi, bị chặn và khác rỗng và f : A × A × M → R. Với mỗi (λ, µ) ∈ Λ × M ,
ta xét bài toán cân bằng phụ thuộc tham số sau đây:
(EP) Tìm x ∈ K(λ) sao cho với mọi y ∈ K(λ) thì f (¯, y, µ) ≥ 0.
¯
x
Ký hiệu S(ε, λ, µ) là tập nghiệm xấp xỉ của (EP).
Định lý 2.2.1 Xét (EP), giả sử rằng các điều kiệu sau đây được thỏa mãn:
(i) K là l.α-H¨lder tại λ0 , tức là tồn tại một lân cận N của λ0 sao cho với mọi
o
λ1 , λ2 ∈ N ,
K(λ1 ) ⊆ K(λ2 ) + lB(0, ||λ1 − λ2 ||α );
(ii) tồn tại một lân cận U của µ0 sao cho với mọi y ∈ K(N ) và µ ∈ U , f (·, y, µ)
là lõm trên K(N );
(iii) với mọi x, y ∈ K(N ), f (x, y, ·) là h.β -H¨lder trên U ;
o
(iv) với mỗi µ ∈ U và x ∈ K(N ), f (x, ·, µ) là q.δ -H¨lder trên K(N ).
o
Khi đó, với mỗi ε > 0, S liên tục H¨lder trên [¯, +∞) × N × U :
¯
o
ε
H(S(ε1 , λ1 , µ1 ), S(ε2 , λ2 , µ2 )) ≤ k1 |ε1 − ε2 | + k2 ||µ1 − µ2 ||β + k3 ||λ1 − λ2 ||αδ ,
với k1 , k2 , k3 là các số dương và phụ thuộc vào ε, l, α, h, β, q, δ .
¯
Hệ quả 2.2.1 Giả sử các điều kiện sau đây được nghiệm đúng:
(i) K là l-Lipschitz tại λ0 , tức là, tồn tại một lân cân N của λ0 sao cho với
mọi λ1 , λ2 ∈ N ,
K(λ1 ) ⊆ K(λ2 ) + lB(0, ||λ1 − λ2 ||);
7
(ii) tồn tại một lân cận U của µ0 sao cho với mọi (λ, µ) ∈ N × U và y ∈ K(N )
thì f (·, y, µ) lõm K(N );
(iii) với mọi x, y ∈ K(N ), f (x, y, ·) là h-Lipschitz trên U ;
(iv) với mọi µ ∈ U và x ∈ K(N ), f (x, ·, µ) là q -Lipschitz trên K(N ).
Khi đó, với mỗi ε > 0, S liên tục Lipschitz trên [¯, +∞) × N × U :
¯
ε
H(S(ε1 , λ1 , µ1 ), S(ε2 , λ2 , µ2 )) ≤ k1 |ε1 − ε2 | + k2 µ1 − µ2 + k3 λ1 − λ2 ,
với k1 , k2 , k3 là các số dương và phụ thuộc vào ε, l, h và q .
¯
Hệ quả 2.2.2 Với K(λ) ≡ K là một tập con lồi và bị chặn của A, giả sử các
điều kiện sau đây được thỏa mãn:
(i) tồn tại một lân cận U của µ0 sao cho với mọi µ ∈ U và y ∈ K thì f (·, y, µ)
lõm K ;
(ii) với mọi x, y ∈ K thì f (x, y, ·) là h.β -H¨lder trên U .
o
Khi đó, với mỗi ε > 0, S liên tục H¨lder trên [¯, +∞) × U :
¯
o
ε
H(S(ε1 , µ1 ), S(ε2 , µ2 )) ≤ k1 |ε1 − ε2 | + k2 ||µ1 − µ2 ||β ,
với k1 , k2 > 0 và phụ thuộc vào ε, h và β .
¯
Hệ quả 2.2.3 Với K(λ) ≡ K là một tập con lồi và bị chặn của A, giả sử các
điều kiện sau đây được thỏa mãn:
(i) tồn tại một lân cận U của µ0 sao cho với mọi µ ∈ U và y ∈ K thì f (·, y, µ)
lõm trên K ;
(ii) với mọi x, y ∈ K , f (x, y, ·) là h-Lipschitz liên tục trên U .
Khi đó, với mọi ε > 0, S liên tục Lipschitz trên [¯, +∞) × U :
¯
ε
H(S(ε1 , µ1 ), S(ε2 , µ2 )) ≤ k1 |ε1 − ε2 | + k2 ||µ1 − µ2 ||,
với k1 , k2 > 0 và phụ thuộc vào ε và h.
¯
8
Chương 3
Tính liên tục H¨lder của nghiệm
o
bài toán cân bằng véc tơ
Trong chương này, ta nghiên cứu tính liên tục H¨lder của ánh xạ nghiệm bài
o
toán cân bằng véc tơ, bao gồm ánh xạ nghiệm chính xác và ánh xạ nghiệm xấp
xỉ. Ta cũng giả sử rằng tập nghiệm của các bài toán đang xét luôn khác rỗng
trong lân cận của điểm đang xét.
3.1
Tính liên tục H¨lder của nghiệm bài toán cân
o
bằng véc tơ
Xét X, Y là các không gian metric tuyến tính, Λ, M là các không gian metric
và A là tập con khác rỗng của X . Trong không gian Y có trang bị một nón thứ
tự C lồi, đóng, có đỉnh và phần trong khác rỗng. Xét K : Λ
A là ánh xạ đa
trị có giá trị lồi khác rỗng và f : A × A × M → Y là hàm giá trị véc tơ. Với mỗi
(λ, µ) ∈ Λ × M , ta xét bài toán cân bằng véc tơ phụ thuộc tham số và bài toán
đối ngẫu của nó như sau:
(SVEP) Tìm x ∈ K(λ) sao cho với mọi y ∈ K(λ) thì f (¯, y, µ) ∈ C.
¯
x
(DSVEP) Tìm x ∈ K(λ) sao cho với mọi y ∈ K(λ) thì f (y, x, µ) ∈ −C.
¯
¯
Ta ký hiệu các tập nghiệm của các bài toán (SVEP) và (DSVEP) lần lượt là
Π(λ, µ) và Πd (λ, µ).
9
Định nghĩa 3.1.1 Một ánh xạ g : X → Y được gọi là C -l.α-H¨lder đối với
o
e ∈ intC tại x nếu tồn tại một lân cận U của x sao cho với mọi x1 , x2 ∈ U thì,
¯
¯
g(x1 ) − g(x2 ) + ldα (x1 , x2 )e ∈ C.
Định nghĩa 3.1.2 Một ánh xạ g : X × X × M → Y được gọi là C -l.α-H¨lder đối
o
với e ∈ intC tại µ, θ-đều trên A ⊆ X nếu tồn tại một lân cận U của µ sao cho
¯
¯
với mọi µ1 , µ2 ∈ U và x, y ∈ A : x = y thì,
−g(x, y, µ1 ) + g(x, y, µ2 )) + ldα (µ1 , µ2 )dθ (x, y)e ∈ C.
Định nghĩa 3.1.3 Cho ánh xạ g : X → Y . Khi đó,
(i) g được gọi là h.β -lồi mạnh đối với e trên tập con lồi A nếu với mọi x1 , x2 ∈ A
và t ∈ (0, 1) thì,
(1 − t)g(x1 ) + tg(x2 ) − g((1 − t)x1 + tx2 ) − ht(1 − t)dβ (x1 , x2 )e ∈ C.
(ii) g được gọi là h.β -giống lồi mạnh đối với e trên A (ở đây A không nhất thiết
phải lồi) nếu với mọi x1 , x2 ∈ A và t ∈ (0, 1) thì tồn tại z ∈ A sao cho
(1 − t)g(x1 ) + tg(x2 ) − g(z) − ht(1 − t)dβ (x1 , x2 )e ∈ C
Ta nói rằng g là h.β -lõm mạnh (giống lõm mạnh) đối với e trên A nếu −g là
h.β -lồi mạnh (giống lồi mạnh) đối với e trên A .
Sau đây, ta phát biểu điều kiện đủ cho tính liên tục H¨lder của ánh xạ nghiệm
o
của bài toán (SVEP).
Định lý 3.1.1 Xét bài toán (SVEP), giả sử các điều kiện sau đây được thỏa
mãn.
¯
(i) K là l.α-H¨lder trên một lân cận N của λ;
o
(ii) tồn tại một lân cận U của µ sao cho với mọi x ∈ K(N ) và µ ∈ U thì f (x, ·, µ)
¯
là h.β -lồi mạnh và C -m.1-H¨lder đối với e trên conv(K(N ));
o
10
(iii) với mọi µ ∈ U thì f (·, ·, µ) đơn điệu trên K(N ) × K(N );
(iv) f là C -n.γ -H¨lder đối với e trên U , θ-đều trên K(N ) với θ < β .
o
Khi đó, trên N × U , ánh xạ nghiệm của (SVEP) là đơn trị và thỏa mãn điều
kiện H¨lder sau đây: với mọi (λ1 , µ1 ), (λ2 , µ2 ) ∈ N × U thì,
o
ρ(Π(λ1 , µ1 ), Π(λ2 , µ2 )) ≤
4ml
h
1
β
n
d (λ1 , λ2 ) +
h
α
β
1
β−θ
γ
d β−θ (µ1 , µ2 ).
Chuyển sang bài toán (DSVEP), ta cũng có kết quả sau.
Định lý 3.1.2 Giả sử rằng các giả thiết (i), (iv) và (iii) giống như trong Định
lý 3.1.1 với f được thay thế bởi −f và điều chỉnh giả thiết (ii) như sau:
(iid ) tồn tại một lân cận U của µ sao cho với mọi x ∈ K(N ) và µ ∈ U , f (·, x, µ)
¯
là h.β -lõm mạnh và C -m.1-H¨lder đối với e trên conv(K(N )).
o
Khi đó, ta có kết luận tương tự như trong Định lý 3.1.1 cho ánh nghiệm Πd của
bài toán (DSVEP).
Trong trường hợp K(λ) ≡ K (K là tập khác rỗng) thì giả thiết lồi mạnh trong
(ii) của Định lý 3.1.1 có thể giảm nhẹ thành tính giống lồi mạnh.
Định lý 3.1.3 Với K(λ) ≡ K , giả sử các điều kiện sau đây được nghiệm đúng.
(i) tồn tại một lân cận U của µ sao cho với mọi x ∈ K và µ ∈ U , f (x, ·, µ) là
¯
h.β -giống lồi mạnh đối với e trên K ;
(ii) với mọi µ ∈ U thì f (·, ·, µ) đơn điệu trên K × K ;
(iii) f là C -n.γ -H¨lder đối với e trên U , θ-đều trên K với θ < β .
o
Khi đó, với mỗi µ ∈ U , (SVEP) có nghiệm duy nhất x(µ) thỏa điều kiện H¨lder
o
trên U : với mọi µ1 , µ2 ∈ U ,
ρ(Π(µ1 ), Π(µ2 )) ≤
n
h
1
β−θ
γ
d β−θ (µ1 , µ2 ).
Ta có kết quả tương tự cho bài toán đối ngẫu.
11
Định lý 3.1.4 Với K(λ) ≡ K , giả sử rằng các giả thiết (ii) và (iii) của Định lý
3.1.3 được giữ lại với f được thay bởi −f và điều chỉnh giả thiết (i) như sau:
(id ) tồn tại một lân cận U của µ sao cho với mọi x ∈ K và µ ∈ U , f (·, x, µ) là
¯
h.β -giống lõm mạnh đối với e trên K .
Khi đó, trên U , ánh xạ nghiệm của (DSVEP) là đơn trị và thỏa mãn điều kiện
H¨lder tương tự như trong Định lý 3.1.3.
o
3.2
Nghiên cứu tính liên tục H¨lder của ánh xạ
o
nghiệm xấp xỉ bài toán cân bằng véc tơ yếu
bằng phương pháp vô hướng hóa
Xét X, Λ, M là các không gian định chuẩn, A ⊆ X là tập con khác rỗng. Xét
Y là không gian định chuẩn tuyến tính và Y ∗ là không gian đối ngẫu của nó,
C ⊂ Y là một nón lồi, đóng, có đỉnh và intC = ∅. Ánh xạ đa trị K : Λ
A có
giá trị lồi, đóng, khác rỗng và f : A × A × M → Y là một hàm có giá trị véc tơ.
Với mỗi (λ, µ) ∈ Λ × M , ta xét bài toán cân bằng véc tơ yếu như sau:
(WEP): Tìm x ∈ K(λ) sao cho với mọi y ∈ K(λ) thì f (¯, y, µ) ∈ −intC.
¯
x
/
Với mỗi (λ, µ) ∈ Λ × M , ε ≥ 0 và e ∈ intC , ta kí hiệu
Π(ε, λ, µ) = {x ∈ K(λ) : f (x, y, µ) + εe ∈ −intC, ∀y ∈ K(λ)}.
/
Xét C ∗ = {ξ ∈ Y ∗ : ξ(y) ≥ 0, ∀y ∈ C} là nón đối ngẫu của C . Với mỗi e ∈ intC
∗
cho trước thì Be = {ξ ∈ C ∗ : ξ(e) = 1} là một cơ sở comapact yếu∗ của C ∗ .
∗
Với mỗi ξ ∈ Be , ta ký hiệu
Πξ (ε, λ, µ) = {x ∈ K(λ) : ξ(f (x, y, µ)) + ε ≥ 0, ∀y ∈ K(λ)},
là ξ -nghiệm hữu hiệu của (WEP).
Bổ đề 3.2.1 Nếu với mỗi x ∈ K(Λ) và µ ∈ M , f (x, ·, µ) là C -tựa lồi trên K(Λ) thì
Π(ε, λ, µ) =
Πξ (ε, λ, µ).
∗
ξ∈Be
12
∗
Định lý 3.2.1 Xét (WEP), giả sử rằng với mỗi ξ ∈ Be , ξ -nghiệm hữu hiệu tồn
tại trong một lân cận của điểm đang xét (λ0 , µ0 ) ∈ Λ × M . Giả sử thêm rằng các
điều kiện sau được nghiệm đúng
(i) K là l.α-H¨lder tại λ0 , tức là tồn tại một lân cận U của λ0 sao cho với mọi
o
λ1 , λ2 ∈ U ,
K(λ1 ) ⊆ K(λ2 ) + l λ1 − λ2
α
B(0, 1);
(ii) tồn tại một lân cận V của µ0 sao cho với mỗi y ∈ K(U ) và µ ∈ V thì
f (·, y, µ) là C -lõm trên K(U );
(iii) với mọi x, y ∈ K(U ) thì f (x, y, ·) là h.β -H¨lder trên V ;
o
(iv) với µ ∈ V và x ∈ K(U ) thì f (x, ·, µ) là q.δ -H¨lder trên K(U ).
o
∗
¯
¯
¯ ¯
Khi đó, với mọi ε > 0 và ξ ∈ Be thì tồn tại các lân cận N (ξ) của ξ , Nξ (λ0 ) của λ0
¯
và Nξ (µ0 ) của µ0 sao cho Πξ (·, ·, ·) liên tục H¨lder trên [¯, +∞) × Nξ (λ0 ) × Nξ (µ0 ),
o
ε
¯
¯
¯
tức là,
H(Πξ (ε1 , λ1 , µ1 ), Πξ (ε2 , λ2 , µ2 )) ≤ k1 |ε1 − ε2 | + k2 ||µ1 − µ2 ||β + k3 ||λ1 − λ2 ||αδ ,
¯
với ξ ∈ N (ξ), (εi , λi , µi ) ∈ [¯, +∞) × Nξ (λ0 ) × Nξ (µ0 ), i = 1, 2 và k1 , k2 , k3 là các số
ε
¯
¯
dương phụ thuộc vào ε, l, α, h, β,...
¯
∗
Định lý 3.2.2 Xét (WEP), giả sử rằng với mỗi ξ ∈ Be thì ξ -nghiệm hữu hiệu
tồn tại trong một lân cận của điểm đang xét (λ0 , µ0 ) ∈ Λ × M . Giả sử thêm rằng
(i) K là l.α-H¨lder tại λ0 , tức là, tồn tại một lân cận U của λ0 sao cho với
o
mọi λ1 , λ2 ∈ U ,
K(λ1 ) ⊆ K(λ2 ) + l λ1 − λ2
α
B(0, 1);
(ii) tồn tại một lân cận V của µ0 sao cho với mọi y ∈ K(U ) và µ ∈ V thì
f (·, y, µ) là C -lõm trên K(U );
(iii) với mọi x, y ∈ K(U ) thì f (x, y, ·) là h.β -H¨lder trên V ;
o
(iv) với mỗi µ ∈ V và x ∈ K(U ) thì f (x, ·, µ) là C -lồi và q.δ -H¨lder trên K(U ).
o
13
Khi đó, với mọi ε > 0 thì tồn tại các lân cận mở N (λ0 ) của λ0 và N (µ0 ) của µ0
¯
sao cho Π(·, ·, ·) liên tục H¨lder trên [¯, +∞) × N (λ0 ) × N (µ0 ), tức là,
o
ε
H(Π(ε1 , λ1 , µ1 ), Π(ε2 , λ2 , µ2 )) ≤ k1 |ε1 − ε2 | + k2 ||µ1 − µ2 ||β + k3 ||λ1 − λ2 ||αδ ,
với (εi , λi , µi ) ∈ [¯, +∞) × N (λ0 ) × N (µ0 ), i = 1, 2 và k1 , k2 , k3 là các số dương và
ε
phụ thuộc vào ε, l, α, h, β,...
¯
3.3
Tính liên tục H¨lder của ánh xạ nghiệm xấp xỉ
o
bài toán cân bằng véc tơ
Xét X, Λ, M là các không gian định chuẩn, A ⊆ X là một tập con khác rỗng.
Cho Y là một không gian định chuẩn tuyến tính được trang bị một nón thứ tự
lồi, đóng, có đỉnh và phần trong khác rỗng C . Xét ánh xạ đa trị K : Λ
A có
giá trị khác rỗng và bị chặn và f : A × A × M → Y là hàm giá trị véc tơ. Với mỗi
(λ, µ) ∈ Λ × M , ta xét hai bài toán cân bằng véc tơ phụ thuộc tham số yếu và
mạnh sau đây:
Tìm x ∈ K(λ) sao cho với mọi y ∈ K(λ) thì f (¯, y, µ) ∈ −intC.
¯
x
/
(WVEP)
(SVEP)
3.3.1
Tìm x ∈ K(λ) sao cho với mọi y ∈ K(λ) thì f (¯, y, µ) ∈ C.
¯
x
Tính lồi, lõm giảm nhẹ của hàm véc tơ
Ta ký hiệu [a, b] = {x ∈ Y | x ∈ (b − C) ∩ (a + C)} và ∆ = [−ζ, 0] ⊂ Y là một tập
con cho trước.
Định nghĩa 3.3.1 Một ánh xạ f : X → Y được gọi là C -lõm tổng quát trên
tập con lồi A ⊆ X nếu, với mọi x1 , x2 ∈ A, t ∈ [0, 1], và f (x2 ) ∈ C thì,
f (tx1 + (1 − t)x2 ) ∈ tf (x1 ) + C.
Mệnh đề 3.3.1 Nếu f là C -lõm trên tập con lồi A thì f là C -lõm tổng quát
trên A.
14
Định nghĩa 3.3.2 Một ánh xạ f : X → Y được gọi là ∆-lõm loại 1 trên tập
con lồi A ⊆ X nếu với mọi x1 , x2 ∈ A, t ∈ [0, 1] và z ∈ ∆ thì
[f (x1 ) ∈ z + C, f (x2 ) ∈ C] ⇒ [f (tx1 + (1 − t)x2 ) ∈ tz + C],
(3.1)
và f được gọi là ∆-lõm loại 2 trên tập con lồi A nếu (3.1) được thay bởi
[f (x1 ) ∈ z − intC, f (x2 ) ∈ C] ⇒ [f (tx1 + (1 − t)x2 ) ∈ tz − intC].
/
/
Mệnh đề 3.3.2 Nếu f là C -lõm tổng quát trên tập con lồi A thì f vừa là ∆-lõm
loại 1 vừa là ∆-lõm loại 2.
3.3.2
Tính liên tục H¨lder của ánh xạ nghiệm xấp xỉ
o
Với e ∈ intC và ε > 0 cho trước, ta ký hiệu ∆ = [−¯e, 0]. Với mỗi (ε, λ, µ) ∈
¯
ε
(0, ε) × Λ × M , ta ký hiệu các tập nghiệm xấp xỉ của (WVEP) và (SVEP) là
¯
Πw (ε, λ, µ) và Πs (ε, λ, µ).
Định nghĩa 3.3.3 Một ánh xạ f : X → Y được gọi là l.α-H¨lder đối với e ∈ intC
o
tại x0 ∈ X , nếu tồn tại một lân cận V của x0 sao cho với mọi x1 , x2 ∈ V thì
f (x1 ) ∈ f (x2 ) + l x1 − x2
α
[−e, e].
Định lý 3.3.1 Xét bài toán (WVEP) và giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa
mãn:
(i) K là l.α-H¨lder tại λ0 , tức là tồn tại một lân cận U của λ0 sao cho với mọi
o
λ1 , λ2 ∈ U thì,
K(λ1 ) ⊆ K(λ2 ) + l λ1 − λ2
α
B(0, 1);
(ii) tồn tại một lân cận V của µ0 sao cho với mỗi (y, µ) ∈ K(U ) × V thì f (·, y, µ)
là ∆-lõm loại 2 trên K(U );
(iii) với mọi x, y ∈ K(U ) thì f (x, y, ·) là h.β -H¨lder đối với e trên V ;
o
(iv) với mỗi µ ∈ V và x ∈ K(U ) thì f (x, ·, µ) là q.δ -H¨lder đối với e trên K(U ).
o
15
Khi đó, với mọi ε ∈ (0, ε) thì Πw là liên tục H¨lder trên (ˆ, ε) × U × V .
ˆ
¯
o
ε ¯
Định lý 3.3.2 Xét bài toán (SVEP) và giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa
mãn:
(i) K là l.α-H¨lder tại λ0 , tức là tồn tại một lân cận U của λ0 sao cho với mọi
o
λ1 , λ2 ∈ U thì
K(λ1 ) ⊆ K(λ2 ) + l λ1 − λ2
α
B(0, 1);
(ii) tồn tại một lân cận V của µ0 sao cho với mỗi (y, µ) ∈ K(U ) × V thì f (·, y, µ)
là ∆-lõm loại 1 trên K(U );
(iii) với mọi x, y ∈ K(U ) thì f (x, y, ·) là h.β -H¨lder đối với e in V ;
o
(iv) với mỗi µ ∈ V và x ∈ K(U ) thì f (x, ·, µ) là q.δ -H¨lder đối với e trên K(U ).
o
Khi đó, với mọi ε ∈ (0, ε) thì Πs là liên tục H¨lder trên (ˆ, ε) × U × V .
ˆ
¯
o
ε ¯
Nếu Y = R, C = R+ và e = 1, (WEP) và (SEP) trùng nhau và quy về bài
toán cân bằng vô hướng đã xét ở Chương 3. Trong trường hợp đặc biệt này, ta
có kết quả sau.
Hệ quả 3.3.1 Xét bài toán (EP) và giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn.
(i) K là l.α-H¨lder liên tục tại λ0 , tức là tồn tại một lân cận U của λ0 sao cho
o
với mọi λ1 , λ2 ∈ U thì
K(λ1 ) ⊆ K(λ2 ) + l λ1 − λ2
α
B(0, 1);
(ii) tồn tại một lân cận V của µ0 sao cho với mọi (y, µ) ∈ K(U ) × V thì f (·, y, µ)
là ∆-lõm trên K(U );
(iii) với mọi x, y ∈ K(U ) thì f (x, y, ·) là h.β -H¨lder liên tục trên V ;
o
(iv) với mọi µ ∈ V và x ∈ K(U ) thì f (x, ·, µ) là q.δ -H¨lder liên tục trên K(U ).
o
Khi đó, ánh xạ nghiệm xấp xỉ của bài toán (EP) là liên tục H¨lder trên (ˆ, ε) ×
o
ε ¯
U ×V.
16
Chương 4
Tính đặt chỉnh H¨lder của bài toán
o
cân bằng
Trong chương này, ta trình bày tính đặt chỉnh H¨lder của bài toán vô
o
hướng và mở rộng ra cho bài toán tựa cân bằng véc tơ. Ta giả sử rằng tập
nghiệm của các bài toán luôn khác rỗng trong lân cận của điểm đang xét.
4.1
Tính đặt chỉnh H¨lder của bài toán cân bằng
o
vô hướng
Xét X, Λ, M là các không gian metric. Ánh xạ đa trị K : Λ
X có
giá trị khác rỗng và f : X × X × M → R là hàm giá trị thực. Với mỗi
(λ, µ) ∈ Λ × M , ta xét bài toán cân bằng phụ thuộc tham số sau đây:
(EP) Tìm x ∈ K(λ) sao cho với mọi y ∈ K(λ) thì f (¯, y, µ) ≥ 0.
¯
x
Với ε ≥ 0 và (λ, µ) ∈ Λ × M , ta ký hiệu tập nghiệm xấp xỉ của bài
toán (EP) là S(ε, λ, µ).
Định nghĩa 4.1.1 Bài toán (EP) được gọi là đặt chỉnh H¨lder tại điểm
o
¯ ¯
(λ, µ) nếu hai điều kiện sau đây được thỏa mãn:
¯ ¯
(i) S(0, λ, µ) là tập đơn phần tử;
¯ ¯
(ii) ánh xạ nghiệm xấp xỉ S liên tục H¨lder calm tại (0, λ, µ).
o
17
¯ ¯
Với h > 0, β ≥ 1 và điểm đang xét (λ, µ) ∈ Λ × M , tồn tại một lân cận
¯
¯
¯
U (λ) của λ, V (¯) của µ sao cho với mọi µ ∈ V (¯) và x = y trên K U (λ) ,
µ
¯
µ
(M)
hdβ (x, y) ≤ d(f (x, y, µ), R+ ) + d(f (y, x, µ), R+ ).
¯
¯
Định lý 4.1.1 Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:
¯
¯
(i) tồn tại các lân cận U (λ) của λ và V (¯) của µ sao cho với mọi x, y ∈
µ
¯
¯
K(U (λ)) thì f (x, y, ·) là n1 .δ1 -H¨lder calm tại µ;
o
¯
¯
(ii) với mọi x ∈ K(U (λ)) và µ ∈ V (¯) thì f (x, ·, µ) là n2 .δ2 -H¨lder trên
µ
o
¯
K(U (λ));
¯
(iii) f (·, ·, µ) thỏa điều kiện (M) trên K(U (λ));
¯
¯
¯
(iv) K là l.α-H¨lder calm tại λ trên U (λ).
o
¯ ¯
Khi đó, bài toán (EP) đặt chỉnh H¨lder tại (λ, µ).
o
4.2
Tính đặt chỉnh H¨lder của bài toán tựa cân
o
bằng véc tơ
Xét X, Λ, M là các không gian metric và Y là một không gian định
chuẩn. Cho ∅ = A ⊆ X và C ⊆ Y là một nón lồi, đóng, có đỉnh với phần
trong khác rỗng. Xét f : A × A × M → Y và K : A × Λ
A có giá trị
khác rỗng. Xét hai bài toán tựa cân bằng yếu và mạnh sau đây:
(WQEP) Tìm x ∈ K(¯, λ) sao cho với mọi y ∈ K(¯, λ) thì
¯
x
x
f (¯, y, µ) ∈ −intC.
x
(SQEP) Tìm x ∈ K(¯, λ) sao cho với mọi y ∈ K(¯, λ) thì f (¯, y, µ) ∈ C.
¯
x
x
x
Định nghĩa 4.2.1 Điểm x ∈ K(˜, λ) được gọi là ε-nghiệm ứng với e ∈
˜
x
intC của (WQEP) ((SQEP)) nếu với mọi y ∈ K(˜, λ),
x
f (˜, y, µ) + εe ∈ −intC
x
18
(f (˜, y, µ) + εe ∈ C).
x
- Xem thêm -