Tài liệu Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA TOÁN - CÔNG NGHỆ ---------- PHẠM THỊ NGUYỆT KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP TÍNH CHÉO HÓA CỦA MA TRẬN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG PHÚ THỌ - 2012 MỤC LỤC Danh mục ký hiệu............................................................................................ 1 Mở đầu……………………………………………………………………….. 2 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị …………………………………………….. 4 1.1. Ma trận của một ánh xạ tuyến tính.…………………………………… 4 1.2. Ma trận nghịch đảo.…………………………………………………… 5 1.3. Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở mới. Ma trận đồng dạng….. 6 1.4. Vectơ riêng - Giá trị riêng ……………………………………………. 7 Chương 2. Tính chéo hóa của ma trận ……………………………………. 12 2.1. Tính chéo hóa của ma trận ……………………………………………. 12 2.2. Chéo hóa đồng thời …………………………………………………… 21 2.3. Đa thức các tự đồng cấu, đa thức ma trận ……………………….… 23 2.4. Một số ví dụ………………………………………………………….... 26 Chương 3. Một số ứng dụng của ma trận chéo ……………….................... 35 3.1. Tính các lũy thừa của một ma trận vuông.............................................. 35 3.2. Xác định các dãy truy hồi tuyến tính với hệ số không đổi..................... 40 3.3. Giải một số phương trình ma trận.......................................................... 47 3.4. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc........................................ 51 Kết luận……………………………………………………………………… 57 Tài liệu tham khảo……………………………………………………........... 58 DANH MỤC KÝ HIỆU A ~ B : Ma trận A đồng dạng với ma trận B. Dn ( K ) : Tập hợp các ma trận chéo cấp n trên trường K. GLn ( K ) : Tập hợp các ma trận vuông cấp n khả nghịch trên trường K. L(V ) : Tập hợp các tự đồng cấu của không gian vectơ V. M n ( K ) : Tập hợp các ma trận vuông cấp n, có các phần tử thuộc trường K. χ A : Đa thức đặc trưng của ma trận vuông A. χ f : Đa thức đặc trưng của đồng cấu f. SpK ( f ) : Phổ của tự đồng cấu f hay tập hợp các giá trị riêng của đồng cấu f. SpK ( A) : Phổ của ma trận A hay tập hợp các giá trị riêng của A. L(e1 ,..., em ) : Không gian vectơ sinh bởi hệ các vectơ (e1 ,..., em ) . λ KGCR( f , 0 ): Không gian con riêng của tự đồng cấu f liên kết với giá trị riêng λ 0 . S n ( K ) : Tập hợp các ma trận đối xứng cấp n với hệ tử trong K . An ( K ) : Tập hợp các ma trận phản đối xứng)cấp n với hệ tử trong K . On ( ¡ ) : Tập các ma trận trực giao của M n ( ¡ ) . 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Ma trận được ứng dụng rộng rãi trong Toán học tính toán, Vật lý, Kinh tế và nhiều ngành khoa học khác. Trong Đại số tuyến tính, ma trận là công cụ để nghiên cứu ánh xạ tuyến tính. Chính vì vậy, ma trận và ánh xạ tuyến tính có liên hệ chặt chẽ với nhau. Khi cho hai cơ sở của hai không gian vectơ thì một ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian ấy cho ta một ma trận, ngược lại một ma trận xác định một ánh xạ tuyến tính duy nhất. Các giá trị riêng và vectơ riêng của một ánh xạ tuyến tính được xác định thông qua ma trận, do đó những không gian con bất biến ứng với những giá trị riêng cũng được xác định. Các giá trị riêng và vectơ riêng của ánh xạ tuyến tính là công cụ để đưa ma trận về dạng đơn giản hơn đó là ma trận chéo. Giá trị riêng và chéo hóa ma trận được khám phá ra năm 1926 bởi Augustin Luois Cauchy trong quá trình ông tìm ra công thức đơn giản hơn cho đường bậc 2. Cauchy đã chứng minh định lý phổ dụng cho các ma trận tự liên hợp, ví dụ như mỗi ma trận đối xứng đều chéo hóa được. Khi cho ma trận của một tự đồng cấu với một cơ sở nào đó, ta muốn tìm cơ sở mà đối với ma trận của tự đồng cấu đã cho ở dạng “đẹp nhất” – dạng chéo thì khi đó ta nói rằng ma trận đã cho chéo hóa được. Nếu ma trận A chéo hóa được thì việc nghiên cứu các tính chất (bảo toàn quan hệ đồng dạng) của ma trận A dẫn đến việc nghiên cứu các tính chất đó trên ma trận chéo và như vậy vấn đề sẽ trở nên đơn giản hơn nhiều. Ma trận chéo là một ma trận vuông mà các phần tử bằng không ngoại trừ các phần tử trên đường chéo chính. Việc đưa một ma trận về ma trận chéo gọi là chéo hóa ma trận. Ma trận chéo có ứng dụng rất quan trọng trong việc tính các lũy thừa của ma trận vuông, xác định các dãy truy hồi tuyến tính với hệ số không đổi và một số ứng dụng khác. Thông qua ma trận chéo mà việc giải nhiều bài toán trở nên đơn giản hơn. Như vậy, qua quá trình học tập và nghiên cứu, xuất phát từ tầm quan trọng của ma trận chéo và xuất phát từ nhu cầu bản thân, nhu cầu thực tế của nhiều sinh viên, tôi đã chọn đề tài: “Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng”. Thông qua việc nghiên cứu nội dung này, tôi đã có thêm điều kiện để củng cố các kiến thức đã học, đồng thời bổ sung nhiều điều bổ ích, rèn luyện khả năng nghiên cứu, làm việc khoa học. 2. Mục đích nghiên cứu - Mục đích khoa học công nghệ: Đưa ra điều kiện để một ma trận có thể chéo hóa một ma trận và các bước để chéo hóa một ma trận, ứng dụng của ma trận chéo. 2 - Sản phẩm khoa học công nghệ: Đề tài là tài liệu tham khảo cho các sinh viên ngành Toán trường Đại học Hùng Vương. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu véctơ riêng, giá trị riêng, ma trận chéo, tính chéo hóa của ma trận. - Nghiên cứu một số ứng dụng của ma trận chéo thông qua các bài toán cụ thể. 4. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc giáo trình, tài liệu liên quan đến vectơ riêng, giá trị riêng, tính chéo hóa được và ứng dụng của nó. - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ việc nghiên cứu tài liệu, giáo trình, rút ra được kinh nghiệm để giải các bài toán chéo hóa ma trận. 5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Ma trận. - Phạm vi nghiên cứu: Tính chéo hóa của ma trận và ứng dụng của ma trận chéo, tập trung chủ yếu trên trường số thực và trường số phức. 6. Bố cục của khóa luận Ngoài phần mở đầu, phần phụ lục, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung của khóa luận bao gồm có 3 chương: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 1.1. Ma trận của một ánh xạ tuyến tính. 1.2. Ma trận nghịch đảo. 1.3. Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở mới. Ma trận đồng dạng 1.4. Vectơ riêng - Giá trị riêng Chương 2. Tính chéo hóa của ma trận 2.1. Tính chéo hóa của ma trận 2.2. Chéo hóa đồng thời 2.3. Đa thức các tự đồng cấu, đa thức ma trận 2.4. Một số ví dụ Chương 3. Một số ứng dụng của ma trận chéo 3.1. Tính các lũy thừa của một ma trận vuông 3.2. Xác định các dãy truy hồi tuyến tính với hệ số không đổi 3.3. Giải một số phương trình ma trận 3.4. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc 3 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này trình bày một số khái niệm về ma trận của ánh xạ tuyến tính, ma trận nghịch đảo, ma trận đồng dạng... Ngoài ra các khái niệm về vectơ riêng, giá trị riêng và cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng cũng được nêu ra. Đây là những kiến thức trọng tâm để chuẩn bị cho phần nội dung chính ở chương sau. 1.1. Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa 1.1. Giả sử V và W là K - không gian vectơ với cơ sở lần lượt là r r r r r r  ε   ε1,ε 2 ,...,ε n  ,  ξ   ξ1,ξ 2 ,...,ξ m , f : V  W là một ánh xạ tuyến mà εr )) ξur ξ ξuu ξr ... ... ξuu ξr f ( 1  a11 1  a21 2   am1 m ur uur uur r f ( 2  a12 1  a22 2   am 2 m (1) ............................................ ur ur uur r f ( n  a1n 1  a2 n 1   amn m   Ma trận  a11 a12 a a22 A   21  .... ....   am1 am 2 .......... a1n  .......... a2 n  .......... ....   .......... amn  được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f đối với cơ sở ( ε) ξ) và ( . Có thể viết gọn các đẳng thức (1) như sau: ε ) ξ, m r r f ( j   aij i với mọi j  1, 2,..., n . i 1 ξ) Chú ý: Vì ( là cơ sở của W nên các thành phần aij được xác định duy nhất, do đó ma trận A được xác định duy nhất. Giả sử 1V : V  V là đồng cấu đồng nhất của không gian vectơ V và r r r  ε   ε1,ε 2 ,...,ε n  là một cơ sở bất kì trong V . Khi đó: εr )) εr0ε 0εr0ε ε ... ...... 0ε 0ε rε 1V ( 1  1    2 n r r r r 1V ( 2  1  2   n ........................................... r r r r 1V ( n  1   n 2  4 Do đó ma trận của 1V đối với ( ε) là: 1 0 ... 0   0 1 ... 0   I   ..................     0 0 ... 1 I được gọi là ma trận đơn vị. Ma trận I   aij  được gọi là ma trận đơn vị nếu: 1, khi i  j aij   0, khi i  j Nếu V và W là hai K -không gian vectơ dimV  n,dimW  m thì đồng cấu 0 có ma trận đối với mọi cơ sở của V và W là ma trận O kiểu (m, n) dưới đây :  0 0 ... 0   0 0 ... 0   O  ...................     0 0 ... 0  O được gọi là ma trận không, tức là ma trận mà mọi thành phần đều bằng 0. Kí hiệu tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ K - không gian vectơ V đến K - không gian vectơ W là HomK (V ,W ). Sau đây là mệnh đề nêu lên mối liên hệ giữa HomK (V ,W ) với M ( m ,n ) ( K ) Mệnh đề 1.1. Giả sử V và W là hai K -không gian vectơ và r r r r r r  ε   ε1,ε 2 ,...,ε n  ,  ξ   ξ1,ξ 2 ,...,ξ m lần lượt là cơ sở cố định của V và W .   Khi đó: a, Mỗi ma trận kiểu (m, n) xác định duy nhất một ánh xạ tuyến tính f :V  W . b, Có một song ánh φ : HomK (V ,W )  M ( m ,n ) ( K ). 1.2. Ma trận nghịch đảo Định nghĩa 1.2. Ma trận A  M n ( K ) được gọi là khả nghịch nếu tồn tại một ma trận B  M n ( K ) sao cho AB  I  BA . 5 B được gọi là ma trận nghịch đảo của A . Kí hiệu: B  A1 Định lí 1.2. Ma trận vuông A có nghịch đảo khi và chỉ khi A  0. 1.3. Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở mới. Ma trận đồng dạng Giả sử V là không gian vectơ n chiều trên trường K , trong đó α1 ,α 2 ,...,α n  (1) và α1 ,α2 ,...,αn  (1) là cơ sở. W là không gian vectơ m chiều trên trường K , trong đó chọn cơ sở β1,β 2 ,...,β m  (2) và β1 ,β2 ,...,βm  (2) Gọi A, B là ma trận của f đối với cặp cơ sở (1), (2) và (1),(2) . S, T là ma trận chuyển cơ sở từ (1) sang (1) và (2) sang (2) .  Tìm quan hệ giữa A, B, S, T. Ta có A  (aij ) mn , B  (bij ) mn S  ( sij ) n , S không suy biến. T  (tij ) m , T không suy biến. α ) β, 1,..., .(3) m Theo giả thiết f ( j   aij i j  n i 1 α ) β, 1,..., . (4) m f ( j   bij i j  n i 1 n αj   sij α i , j  1,..., n. (5) i 1 m βj   tijβ i , j  1,..., m. (6) i 1 Từ (5) ta có : α ) α (α ) β β (*) n n n m n m       f ( j  f   sij i    sij f i   sij   aki k      aki sij  k i 1  i1  i1  k 1  i1  k 1  Mặt khác thay (6) vào (4): α ) β β (**) m m m m     f ( j   bij   thi h     thibij  h i 1  h1  i1  h1  Vì 1 vectơ biểu thị qua cơ sở là duy nhất Từ (*) và (**) ta được n m i 1 i 1  aki sij   thibij , ( k  1,..., m; j  1,..., n; h  1,..., m ). Viết dưới dạng ma trận ta có: AS  TB  B  T 1AS . 6 Định lí 1.3. Giả sử f :V  W là ánh xạ tuyến tính có ma trận là A đối với cơ sở (1) trong V và cơ sở (2) trong W , ngoài ra trong V có cơ sở (1) và trong W có cơ sở (2) , với ma trận chuyển cơ sở là S, T. Khi đó ma trận của f đối với cơ sở (1) , (2) là B  T 1 AS . Định nghĩa 1.3. Hai ma trận A và B được gọi là đồng dạng nếu có một ma trận T sao cho B  T 1 AT . Kí hiệu A ~ B . Hệ quả 1.4. Hai ma trận đồng dạng khi và chỉ khi chúng là hai ma trận của cùng một tự đồng cấu. 1.4. Vectơ riêng - Giá trị riêng Định nghĩa 1.4. Giả sử V là một không gian vectơ, f : V  V là một tự đồng r r cấu. Vectơ α  0 của V được gọi là một vectơ riêng của f nếu tồn tại một số k  K sao cho f( α) r αr k . r Số k được gọi là giá trị riêng của f ứng với vectơ riêng α . Ta gọi tập hợp các giá trị riêng của f là phổ của f và kí hiệu SpK ( f ) . Nếu A là một ma trận của tự đồng cấu f thì giá trị riêng của f cũng được gọi là giá trị riêng của ma trận A . Ta gọi tập hợp các giá trị riêng của A là phổ của A , kí hiệu SpK ( A) (hay Sp ( A) ). Định nghĩa 1.5. Giả sử f : V  V là một tự đồng cấu của không gian vectơ V . Không gian con W của V được gọi là một không gian con bất biến đối với α) r r f nếu với mọi α  W ta đều có f ( W . r Mệnh đề 1.5. Giả sử V là một không gian vectơ, tập hợp gồm các vectơ 0 và các vectơ riêng ứng với giá trị riêng k của tự đồng cấu f : V  V là một không gian con bất biến của V và được gọi là không gian riêng ứng với giá trị riêng k . r r r Định lí 1.6. Nếu α1 , α 2 ,...,α p là những vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng đôi một phân biệt k1 , k2 ,..., k p của tự đồng cấu f thì chúng lập thành một hệ vectơ độc lập tuyến tính. Nhận xét: Giả sử dimV  n , B là một cơ sở của V, f  L(V ) và A  Mat B ( f ) là ma trận của f đối với cơ sở B. Khi đó: 7 i, λ  K là một giá trị riêng của f khi và chỉ khi λ là một giá trị riêng của A. ii, α V  {0} là một vectơ riêng của f khi và chỉ khi ma trận cột tọa độ của α α) đối với cơ sở B tức là Mat B ( là một vectơ riêng của A. iii, Các vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng λ cùng với vectơ 0 lập nên không λ ) gian vectơ con là Ker ( f  Id v . Định nghĩa 1.6. Giả sử ma trận của tự đồng cấu f : V  V đối với cơ sở  ε  là  a11 a12 a a22 A   21  .... ....   an1 an 2 .......... a1n  .......... a2 n  .......... ....   .......... ann  k được gọi là giá trị riêng của ma trận A nếu tồn tại x1 , x2 ,..., xn không đồng thời bằng 0 sao cho  x1   x1   x1  0      A M  k M hay ( A  kI )  M   M          xn   xn   xn  0  Nói cách khác n  aij x j  kxi j 1 hay với mọi i  1,2,..., n . a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  kx1 a x  a x  ...  a x  kx  21 1 22 2 2n n 2  ............................................. an1 x1  an 2 x2  ...  ann xn  kxn (1) (a11  k ) x1  a12 x2  ...  a1n xn  0 a x  (a  k ) x  ...  a x  0  22 2 2n n   21 1 ............................................... an1 x1  an 2 x2  ...  (ann  k ) xn  0 (2) r α là một vectơ riêng ứng với giá trị riêng k khi và chỉ khi tọa độ ( x1 , x2 ,..., xn ) của nó là nghiệm của hệ phương trình (2). 8 Định nghĩa 1.7. Giả sử  a11  k  a A  kI   21  ...   an1 A là một ma trận của tự đồng cấu f . Ma trận a1n  a22  k ... a2 n  được gọi là ma trận đặc trưng, còn đa ... ... ...   an 2 ... ann  k  a12 ... thức A  kI  (1) n k n  ...  A được gọi là đa thức đặc trưng của tự đồng cấu f . Kí hiệu: χ A là đa thức đặc trưng của A . CÁCH TÌM VECTƠ RIÊNG Tìm nghiệm của đa thức đặc trưng, tức là nghiệm của phương trình a11  k D a21 a12 ... a1n a22  k ... a2 n ... ... ... ... an1 an 2 ... ann  k  0(*) đó là các giá trị riêng. Thay mỗi giá trị riêng tìm được vào vị trí của k trong hệ (a11  k ) x1  a12 x2  ...  a1n xn  0 a x  (a  k ) x  ...  a x  0  21 1 22 2 2n n (**)  ...............................................  an1 x1  an 2 x2  ...  (ann  k ) xn  0 rồi giải hệ này. Mỗi nghiệm riêng của hệ là tọa độ của một vectơ riêng ứng với giá trị riêng ấy. Không gian nghiệm của hệ (**) xác định không gian riêng ứng với giá trị riêng vừa chọn. Ví dụ 1.1. Cho phép biến đổi tuyến tính f : ¡ 3  ¡ 3 có ma trận đối với cơ sở chính tắc là  1 2 2  A  1 0 3  1 3 0    Tìm các giá trị riêng của f và ứng với mỗi giá trị riêng tìm một vectơ riêng. Tìm các không gian con bất biến của f . 9 Giải. Giải phương trình 1 k 2 1 k 1 3 2 3  0 hay (k  3)(k 2  4k  3)  0 k Ta được k1  3, k2  1, k3  3. Với k1  3 , hệ phương trình (**) là hệ (1  (3)) x1  2 x2  2 x3  0   x1  (0  (3)) x2  3 x3  0  x  3 x  (0  (3)) x  0 2 3  1 4 x1  2 x2  2 x3  0 hay   x1  3 x2  3 x3  0 6 7 Giải hệ này được nghiệm tổng quát là ( c,  c, c) . 5 5 r Cho c  5 ta được một nghiệm riêng α1  (6, 7,5) . Không gian bất biến gồm tất cả các vectơ có dạng 6 7 ( c,  c, c) hay 5 5 r c (6, 7,5) . Đó là không gian sinh bởi α1 . 5 Với k2  1 , giải hệ 2 x2  2 x3  0   x1  x2  3 x3  0  x  3x  x  0 2 3  1 ta được nghiệm tổng quát  2c, c, c  . r Cho c  1 , được một nghiệm riêng α 2  (2,1,1) . αr Không gian bất biến tương ứng gồm các vectơ có dạng c(2,1,1)  c 2 . r Vậy không gian bất biến này sinh bởi α 2 . Với k3  3 , giải hệ 2 x1  2 x2  2 x3  0   x1  3 x2  3 x3  0  x  3x  3x  0 1 2 3  ta được nghiệm tổng quát:  0, c, c  . r Cho c  1 , được một vectơ riêng ứng với k3  3 là α3  (0,1,1) . Không gian α bất biến tương ứng gồm các vectơ r r (0, c, c )  c (0,1,1)  c 3 . Vậy không gian bất biến này sinh bởi α 3 . 10 có dạng r r r Vì ba vectơ riêng α1 , α 2 , α3 tương ứng với ba giá trị riêng phân biệt nên chúng độc lập tuyến tính. Vì dim ¡ 3  3 nên chúng tạo thành một cơ sở của ¡ 3 . Ví dụ 1.2. Cho một tự đồng cấu f : ¡ 3  ¡ 3 có ma trận đối với cơ sở chính tắc là  1 4 8  B   4 7 4   8  4 1    Tìm các giá trị riêng và với mỗi không gian con riêng tìm một cơ sở. Giải. Giải phương trình 1  k 4 8 4 8 7  k 4  0 hay (k  9) 2 (k  9)  0 4 1  k ta được: k1  9, k2  k3  9. Với k1  9 , giải hệ 10 x1  4 x2  8 x3  0  4 x1  16 x2  4 x3  0   8 x  4 x  10 x  0 1 2 3  Ta được nghiệm tổng quát:  2c, c,2c  . Vì hạng của ma trận của hệ phương trình bằng 2 nên không gian riêng W1 tương ứng (tức là không gian nghiệm) có dimW1  dim ¡ 3  2  1 . Do đó một vectơ riêng bất kì là một cơ sở, r chẳng hạn, với c  1 , α  (2,1,2) là một cơ sở. Với k2  k3  9 , giải hệ 8 x1  4 x2  8 x3  0  4 x1  2 x2  4 x3  0 hay 2 x1  x2  2 x3  0   8 x  4 x  8x  0 1 2 3  Ta được nghiệm tổng quát:  c1 , 2c1  2c3 , c3  . Hạng của ma trận của hệ phương trình này bằng 1 nên không gian riêng tương ứng W2 (không gian nghiệm) có dim W2  dim ¡ 3  1  2 . Một cơ sở của nó là một hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình. r Với c1  1, c3  0 ta có nghiệm riêng β1  1, 2,0  , với c1  0, c3  1 ta có r r r nghiệm riêng β 2   0, 2,1 . Hệ vectơ β1 ,β 2 là một cơ sở của W2 .  11  Chương 2 TÍNH CHÉO HÓA CỦA MA TRẬN Chương này trình bày nội dung chính của đề tài. Phần mở đầu là một số khái niệm về ma trận đường chéo, ma trận chéo hóa được. Tiếp theo đó là điều kiện chéo hóa một ma trận và các bước cơ bản để chéo hóa một ma trận. Ngoài ra, chéo hóa các ma trận đối xứng và chéo hóa đồng thời của một họ giao hoán các ma trận đối xứng cũng được đề cập đến ở đây. Cuối cùng là phần trình bày về đa thức của tự đồng cấu, đa thức của ma trận để nêu lên điều kiện cần và đủ để một ma trận chéo hóa được. Sau khi trình bày một vấn đề thường có một vài ví dụ minh họa cụ thể cho vấn đề đó. 2.1. Tính chéo hóa của ma trận Định nghĩa 2.1. Một ma trận vuông A  (aij ) thuộc M n ( K ) gọi là ma trận đường chéo khi và chỉ khi  a11 0  0 a 22 A  ... ...  0  0 0  ... 0  , ((aij )  0, khi i  j ) . ... ...   ... ann  ... Tập hợp các ma trận đường chéo cấp n với hệ tử trong K là Dn ( K ) . Định nghĩa 2.2. Một ma trận vuông được gọi là chéo hóa được nếu nó đồng dạng với một ma trận chéo. Ví dụ 2.1. Ma trận  8 5  A   10 7  chéo hóa được. Thật vậy, với  1 1   2 0  và B   T    ta có:  2 1   0 3  1 1  . Ta có B  T 1 AT nên A ~ B . T 1     2  1  2.1.1. Điều kiện để một ma trận chéo hóa được Định lí 2.1. Một ma trận vuông chéo hóa được khi và chỉ khi nó là ma trận của một tự đồng cấu có một hệ vectơ riêng là cơ sở của không gian. 12 Chứng minh ε) Coi A như ma trận của một tự đồng cấu f : V  V đối với cơ sở ( . A là ma trận vuông chéo hóa được khi và chỉ khi có một ma trận T sao cho  k1 0 0 k 1 1 T AT  B    ... ...  0 0 0 ... 0  ... ...   ... kn  ... ε) Điều này xảy ra khi và chỉ khi B là ma trận của f đối với một cơ sở (  ε ) ε ε) mà f ( j  k j j , với mọi j  1,2,..., n , nghĩa là (  là một cơ sở gồm những vectơ riêng. Hệ quả 2.2. Nếu A là ma trận vuông cấp n mà đa thức đặc trưng A  kI có n nghiệm phân biệt thì A chéo hóa được. Định lí 2.3. Giả sử A là một ma trận vuông cấp n ; k1 , k2 ,..., k p là các nghiệm của đa thức đặc trưng A  kI , mi là bội số của nghiệm ki , với i {1,2,..., p}, m1  m2  ...  m p  n , tức là: det( A  kI )  (1) n (k  k1 ) m1 (k  k2 ) m2 ...(k  k p ) mp và hạng ( A  ki I )  n  mi . Khi đó A chéo hóa được. Chứng minh Giả sử A là một ma trận của một tự đồng cấu f : ¡ n ¡ n đối với cơ sở chính tắc. Gọi Wi là không gian con riêng ứng với giá trị riêng ki . Vì hạng ( A  ki I )  n  mi nên dimW1  n  (n  mi )  mi . r r r Với mỗi i {1,2,..., p} , ta chọn một cơ sở ξ i1 ,ξ i 2 ,...,ξ imi của Wi . Hệ r r r r r r r r r vectơ ξ11 ,ξ12 ,...,ξ1mi ,ξ 21 ,ξ 22 ,...,ξ 2 m2 ,...,ξ p1,ξ p 2 ,...,ξ pm p (1),độc lập tuyến tính.     Thật vậy, giả sử r r r r r r r r11ξ11  ...  r1m1 ξ1mi  r21ξ 21  ...  r2 m2 ξ 2 m2  ...  rp1ξ p1  rp 2ξ p 2  ...  rpm p ξ pm p  0 . (2) r r r r Đặt αi  ri1ξ i1  ri 2ξ i 2  ...  rimi ξ imi , với mọi i {1,2,..., p} , (2) trở thành: r r r r (3) α1  α1  ...  α p  0 13 r Vì αi Wi nên nó là vectơ riêng ứng với giá trị riêng ki . Nhưng các ki là αr , αr ,...,αr } những giá trị riêng đôi một phân biệt của f . Ta có hệ vectơ { 1 2 độc p lập tuyến tính. Từ (3) suy ra r r r r r α i  ri1ξ i1  ri 2ξ i 2  ...  rimi ξ imi  0 . r r r Theo cách chọn, hệ ξ i1 ,ξ i 2 ,...,ξ imi độc lập tuyến tính. Do đó các hệ   rij  0 , với mỗi i {1,2,..., p} và j {1,2,..., m j } . Vì dim ¡ n  n và hệ (1) gồm n vectơ riêng độc lập tuyến tính nên nó là một cơ sở của ¡ n . Vậy A chéo hóa được. Ví dụ 2.2. Cho ma trận vuông cấp 2 thực hay phức a b A  c d Tìm điều kiện cần và đủ về các phần tử a, b, c, d để ma trận A chéo hóa được? Giải. Đa thức đặc trưng của ma trận A A  kI 2  ak c b  k 2  (a  d )k  ac  bd d k    a  d   4  ad  bc  2 Trường hợp 1. A là ma trận thực + Nếu   0 thì A có 2 giá trị riêng phân biệt nên A chéo hóa được + Nếu   0 thì A có một giá trị riêng duy nhất k0 . Để A chéo hóa được thì A uur uur phải có 2 giá trị riêng độc lập tuyến tính α1   x1 , x2  ; α 2   y1 , y2   x1   y1   0  . Khi đó ta có y2  x2   a  k0  x1  bx2  0  cx   d  k0  x2  0 ;  1  cy1   d  k0  y2  0  a  k0  y1  by2  0 Hai hệ phương trình trên có x1 x2 y1 y2  0 nên a  k0  b  0 và c  d  k0  0 , hay  a  k0  d  k0 ;   b0 c0 Suy ra a  d và b  c  0 . 14 Từ những điều trên ta suy ra điều kiện cần và đủ để ma trận thực A chéo hóa được là hoặc   0 hoặc a  d và b  c  0 . Trường hợp 2. A là ma trận phức Tương tự như trường hợp thực ta suy ra điều kiện cần và đủ để ma trận phức A chéo hóa được là hoặc   0 hoặc a  d và b  c  0 . Ví dụ 2.3. Chứng minh rằng ma trận vuông A giao hoán được với tất cả các ma trận vuông cùng cấp thì chéo hóa được. Giải. Gọi B là ma trận vuông cấp n : α ... α0 α α  α1 0 ... 0  0  2  ,  với mọi i  j B  (bij )   i j  ... ... ... ...     0 0 ... n  và A  (aij ) . Ta có AB  (cij ) , BA  (dij ) . Khi đó α n cij   aik bkj  aij .b jj  aij . k 1 j α n dij   bik akj  bii .aij  i aij k 1 Vì AB  BA nên ta có với mọi i  j thì α α (α α ) 0 0 aij . j  i aij  aij i  j   aij  Vậy ma trận A có dạng chéo. 2.1.2. Các bước chéo hóa ma trận Bước 1. Tìm các giá trị riêng của ma trận A (Tức là nghiệm của phương trình đặc trưng). Bước 2. Đối với mỗi giá trị riêng, ta tìm cơ sở (gồm toàn vectơ riêng) của không gian con riêng tương ứng bằng cách giải hệ phương trình ( A  kI ) x  0 . Bước 3. Lấy tất cả các cơ sở tìm được ở bước 2, nếu đủ làm cơ sở của E , thì chéo hóa được và ma trận dạng chéo gồm các giá trị riêng. Lưu ý: Trong trường hợp K  ¡ , ta có thể trình bày cụ thể hơn như sau: Bước 1. Tính các đa thức đặc trưng và tìm nghiệm của nó. 15 Nếu đa thức có một nhân tử là tam thức bậc hai vô nghiệm thì kết luận không chéo hóa được và dừng lại, ngược lại thực hiện bước 2. Bước 2. Phân tích đa thức đặc trưng thành dạng det( A  kI )  (1) n (k  k1 ) m1 (k  k2 ) m2 ...(k  k p ) mp Bước 3. Lần lượt với mỗi λ i , ta tìm được một cơ sở của không gian riêng ứng với giá trị riêng này bằng cách giải hệ phương trình: ( A  ki I ) x  0 và chú ý rằng, số chiều của không gian con riêng là si  n  rank ( A  ki I ) , nếu thấy si  mi thì kết luận ngay không chéo hóa được. Bước 4. Lấy cơ sở tìm được ở bước 3, lập ma trận S và S 1 AS là ma trận có dạng đường chéo. Ví dụ 2.4. Cho ma trận  1 2 2  A  1 0 3  1 3 0    a) Chéo hóa ma trận. b) Giả sử ma trận chéo vừa tìm được là B . Hãy tìm ma trận T để B  T 1 AT . Giải. Ở ví dụ 1.1 mục 1.4, ta đã thấy, nếu coi A như ma trận của tự đồng cấu f của ¡ 3 đối với cơ sở chính tắc thì f có ba giá trị riêng phân biệt là r k1  3, k2  1, k3  3. Các vectơ riêng tương ứng là : α1  (6, 7,5) , r r α 2  (2,1,1) , α3  (0,1,1) lập thành một cơ sở của ¡ 3 . Do đó, ta có  3 0 0  A ~ B   0 1 0   0 0 3   Gọi T là ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc của ¡ Vì r r r r α1  6ε1  7ε 2  5ε 3 r r r r α 2  2ε1  ε 2  ε3 r r r α3  ε 2  ε3 3 r r r sang cơ sở α1 ,α 2 ,α3 . r r r nên ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc sang cơ sở α1 ,α 2 ,α 3 là 16  6 2 0  T   7 1 1   5 1 1   Vậy B  T 1 AT . Ví dụ 2.5. Chéo hóa ma trận  1 1 1  A   1 1 1   1 1 1   Giải. Đa thức đặc trưng của A det( A  kI 3 )  1  k 1 1 1 1  k 1 1 1 1  k  (1  k )(k  2) 2 Đa thức đặc trưng có nghiệm k1  1, k2  2 (kép). Với k1  1 , giải hệ 2 x1  x2  x3  0  x1  x3  0  x1  x3    x1  2 x2  x3  0    x  x  2 x  0  x1  x2  0  x1  x2 3  1 2 Nghiệm tổng quát (a, a, a ) , a  ¡ , không gian riêng W1 tương ứng gồm r các vectơ có dạng (a, a, a ) hay W1 sinh bởi vectơ α1  (1,1,1) . Với k2  2 , giải hệ  x1  x2  x3  0   x1  x2  x3  0  x1  x2  x3  0 x x x 0  1 2 3 Nghiệm tổng quát ( a  b, a, b) , a, b  ¡ ,không gian riêng W1 tương ứng gồm các vectơ có dạng ( a  b, a, b) hay W1 sinh bởi vectơ r r α1  (1, 1, 0),α 2  (1, 0, 1) 1 1 1 1 0 0    1 Ma trận chuyển cơ sở T  1 1 0  và T AT   0 2 0  1 0 1   0 0 2      17 Bây giờ ta xét trường hợp đa thức đặc trưng của ma trận A có nghiệm bội. Chẳng hạn: 1 2 5 A   0 2 4  . 1 0 1   1 k Đa thức đặc trưng A  kI  0 2 2k 1 0 5 4   k 3  4k 2   k 2 (k  4) 1 k phương trình k 2 (k  4)  0 có nghiệm đơn k1  4 , nghiệm kép k2  k3  0 . Với k1  4 , không gian riêng W1 tương ứng gồm các vectơ có dạng (3c,2c, c) hay W1 sinh bởi vectơ (3,2,1) . Do đó dimW1  1 . Với k2  k3  0 , không gian riêng W2 tương ứng gồm các vectơ có dạng (c,2c, c) hay c(1, 2,  1) , tức là W2 sinh bởi vectơ (1, 2,  1) và dimW2  1 . Vì A chỉ có hai giá trị riêng k  0; k  4 nên nếu A chéo hóa được thì A đồng dạng với ma trận có dạng 0 0 0 0 0 0   B   0 0 0  hoặc C   0 4 0  0 0 4 0 0 4     r r r Nếu A đồng dạng với B thì ¡ 3 có một cơ sở ξ1 ,ξ 2 ,ξ 3 sao cho ξr ) 0r (ξr ) r r f ( 1   f 2 . Suy ra ξ1 ,ξ 2 thuộc không gian riêng W2 . Nhưng hai vectơ   này độc lập tuyến tính. Trái với nhận xét trên rằng dim W2  1 . Nếu A đồng dạng với C thì xét tương tự như A đồng dạng với B . Vậy A không chéo hóa được. Tóm lại, nếu số bội của nghiệm riêng lớn hơn số chiều của không gian riêng tương ứng thì ma trận không chéo hóa được. 2.1.3. Vấn đề chéo hóa ma trận đối xứng Định nghĩa 2.3. Một ma trận vuông A thuộc M n ( K ) được gọi là ma trận đối xứng (ma trận phản đối xứng) khi và chỉ khi At  A ( At   A ) . Tập hợp các ma trận đối xứng (ma trận phản đối xứng) cấp n với hệ tử trong K được kí hiệu là S n ( K ) ( An ( K )) . 18