Tài liệu Thiết bị giảm chấn sử dụng chất lỏng thiết lập bài toán và một số kết quả mô phỏng số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC Phan Thị Thu Phƣơng THIẾT BỊ GIẢM CHẤN SỬ DỤNG CHẤT LỎNG: THIẾT LẬP BÀI TOÁN VÀ MỘT SỐ KẾT QUẢ MÔ PHỎNG SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ LLL Hà Nội - 2008 ChuChuChuyênCCCChuyeCC ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC Phan Thị Thu Phƣơng THIẾT BỊ GIẢM CHẤN SỬ DỤNG CHẤT LỎNG: THIẾT LẬP BÀI TOÁN VÀ MỘT SỐ KẾT QUẢ MÔ PHỎNG SỐ Chuyên ngành: Cơ học chất lỏng Mã số: 60.44.22 LUẬN VĂN THẠC SĨ CƠ HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TSKH. Nguyễn Đông Anh LLL Hà Nội - 2008 ChuChuChuyênCCCChuyeCC MỤC LỤC Mở đầu…………………………………………………………………….….....1 Chương 1: Thiết lập mô hình …………………………………………………...9 1.1 Thiết lập mô hình và một số khái niệm………………………...........9 1.2 Hệ phương trình cho trường hợp 2 chiều…………………....….......19 1.2.1 Hệ phương trình với chất lỏng lý tưởng ………..………….19 1.2.2 Hệ phương trình với chất lỏng thực……………………......19 Chương 2: Giải số hệ phương trình cho trường hợp chất lỏng lý tưởng……......21 2.1 Phương pháp sai phân………………………………………...…...…21 2.1.1 Liên hệ phân tán thu nhận từ rời rạc hoá................................22 2.1.2 Rời rạc hoá..............................................................................24 2.2 Điều kiện biên và điều kiện ban đầu………………………………....26 2.3 Cách giải …………………………………….....................................27 2.4 So sánh kết quả tính bằng phương pháp số với phương pháp giải tích………….................................…………………...........................................28 2.5 Kết luận ……………………………………………………...............30 Chương 3: Giải số hệ phương trình 2D cho trường hợp chất lỏng thực………..31 3.1 Phương pháp sai phân……………………………………………..…31 3.2 Điều kiện biên và điều kiện ban đầu……………………………...….31 3.3 Cách giải………………………………………………………......…32 3.4 Kết luận................................................................................................33 1 Kết luận chung …………………………………………………………………34 Phụ lục…………………………………………………………………………. 35 Danh mục công trình của tác giả………………………………………………..42 Tài liệu tham khảo………………………………………………………………43 2 CHƢƠNG I THIẾT LẬP MÔ HÌNH 1.1 Thiết lập mô hình và một số khái niệm. Hiện tượng sóng sánh của chất lỏng trong bình chứa xuất hiện rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, đặc biệt là lĩnh vực vận tải chất lỏng. Do đó đã có nhiều công trình nghiên cứu sâu về vấn đề này. Các nghiên cứu cho thấy đây là một quá trình phi tuyến phức tạp. Sự tiêu tán năng lượng xảy ra do nhiều hiện tượng: hiện tượng gãy sóng (mặt thoáng chạm đáy), va đập vào các màng ngăn, hiện tượng nhớt ở lớp biên,… Trong khóa luận này, tác giả đề cập đến bài toán được thiết lập để mô tả hiện tượng dao động sóng sánh của chất lỏng xuất hiện trong bể chứa hình chữ nhật chịu tác dụng của kích động điều hòa theo phương ngang. - Xét bể chứa chữ nhật có chiều rộng 2R theo phương x với mức nước khi chất lỏng đứng yên trong bể là H. Bể chứa bị kích động điều hòa theo 2 phương x và y tương ứng là XG và YG. Hệ trục tọa độ được chọn như trong Hình 3. Để đơn giản hóa, ta đưa vào các giả thuyết sau: - Chất lỏng trong bể là không nén được, không nhớt và không rối - Áp suất trên bề mặt chất lỏng là hằng số - Thành bể là cứng và mực nước khi bể đứng yên là hằng số 9 Z  O X H R R Hình 3: Bể chứa và hệ tọa độ tương ứng Dưới đây là ký hiệu của các đại lượng dùng trong bài: a: biên độ dưới dạng không thứ nguyên của dao động của bể chứa g: gia tốc trọng trường H: mực nước trong bể khi bể chứa đứng yên k: số sóng k1: số sóng tham biến n: số đoạn chia theo phương x Oxyz: hệ tọa độ Đề-các gắn với bể chứa P: áp suất R: một nửa chiều rộng của bể theo phương x T: thời gian u, v, w: vận tốc tương ứng theo phương x, y, z q2 = u2 +v2 +w2 10 us, vs: vận tốc trên bề mặt, tương ứng theo phương x và y XG, YG: di chuyển của bể chứa theo phương x và y do kích động điều hòa gây ra : tỉ lệ giữa mực nước và một nửa chiều rộng bể chứa x: độ lớn của đoạn chia theo phương x : phương trình mặt thoáng : hệ số cản : mật độ chất lỏng : chu kỳ dao động của bể do lực điều hòa tác dụng : thế vận tốc  : tần số góc của di chuyển của bể chứa m : tần số góc tự nhiên bậc m Khi đó hệ phương trình liên tục và chuyển động mô tả như sau [9]: u v w   0 x y z (1) u u u u 1 p   u.  v.  w.  .  XG t x y z  x (2) v v v v 1 p   u.  v.  w.  .  YG t x y z  y (3) w w w w 1 p  u.  v.  w.  . g t x y z  z (4) trong đó dấu chấm là ký hiệu của đạo hàm theo thời gian. 11 Với chất lỏng có độ nhớt nhỏ, ảnh hưởng của ma sát trong chỉ đáng kể ở lớp biên sát biên cứng. Từ giả thiết này, chất lỏng ngoài lớp biên được coi như chất lỏng có thế, vì thế ta có thể đưa vào hàm thế . Giả sử hàm thế đưa vào này có dạng [9]   F  x, y, t  G  z  (5) trong đó F và G là những hàm ngẫu nhiên. Từ phương trình liên tục (1) ta thấy hàm thế  này thỏa mãn phương trình Laplace:   0 (6) Khi thay (5) vào điều kiện biên dướI đáy bể: w=0 tại z =  H ta có thể thu được hàm thế  dưới dạng[9]:   F  x, y, t  cos k  H+z  (7) Từ biểu thức này, các thành phần vận tốc được rút ra như sau: F  cosh k  H+z   x  F v cosh k  H+z    y  F w cosh k  H+z   y   F us  cosh k  H+   y   F vs  cosh k  H+   y   u 12 (8) trong đó k là hằng số thu được khi tách biến, và được gọi là số sóng; us và vs là các thành phần vận tốc trên mặt thoáng, tương ứng theo phương x và y. Khi cho trước số sóng k, ta sẽ tính được phân bố của vận tốc theo phương z. Để đơn giản hóa, ta đưa vào các xấp xỉ sau[9]: U s  U    U   U         X  X  z  X  z  z   X  z  trong đó X  x, y, t và U  u, v, w,q với kí hiệu   (9) z  có nghĩa là z  được thay vào sau khi đã tính đạo hàm riêng của U theo X hoặc z. Sử dụng các biểu thức (8) và (9) sau khi tích phân phương trình liên tục (1) và các phương trình chuyển động (2), (3), (4) theo z, từ z  H đến z   , rồi khử biến độc lập z từ các biến phụ thuộc, ta thu được một bài toán 2 chiều đặc trưng bởi các biến  , us , vs . Tích phân phương trình (1) theo z ta được[9]:   us    vs    H  H 0 t x y (10) với  và  được định nghĩa như sau:    TH    H   tanh kH  TH  tanh  k  H         tanh kH kH   13 (11) Sau đó ta tích phân phương trình (4) theo z và chọn hằng số tích phân sao cho p  p0 tại z   , khi đó ta thu được phương trình: p  p0  qs2  q 2  w  g   z     dz 2 z t (12) Thay phương trình (12) vào phương trình (2) và (3) để khử p, cho tại z   và sử dụng các biểu thức (8) và (9) để viết lại, ta nhận được các phương trình sau[9]: us  1 qs2   w    g      XG  t x 2 x x  t  z    vs  1 qs2   w    g       YG  t y 2 y y  t  z   (13) Từ phương trình (1) và các biểu thức (8), ta cũng thu được: 1  u v  w = -   tanh k  H  z  k  x y  (14) Sử dụng phương trình (14) để khử w trong hệ phương trình (13), ta nhận được hệ phương trình mới có dạng:   us vs    2  2   us  1  TH2 us2 1  TH2 vs2 g    TH2  gH  2  2    XG t x 2 x 2 x y  x  y  x   (15)   2  2   vs  1  TH2 us2 1  TH2 vs2 2   us vs  g    TH  gH  2  2    YG t y 2 y 2 y x  x  y  y   (16) 14 Bây giờ ta viết lại các phương trình (10), (15), (16) dưới dạng không thứ nguyên. Trước tiên, ta sử dụng các biến không thứ nguyên được định nghĩa như sau[9]:     u v    *  , u *  , v*  , *   R c c  cR    X Y X G *  G , YG *  G , k *  kR  R R  x*  x * y * z * t , y  , z  ,t  R R H t1 (17) Định nghĩa lại  1 thông qua số sóng phụ k * như sau: H R tanh k * 1   k *   (18) khi đó t1 và c trong (17) được cho bởi công thức: t1  R gH 1 , c  gH  1 (19) Sau đó ta dùng các biến và tham số không thứ nguyên này để viết lại các phương trình (10), (15), (16), như sau[9]:   u * v *       1 us *    1 vs *   * us * vs *        1  s  s     0 t * x * y *   1   x * y *   1  x * y *  (20) 15 us *  * 1  TH2 us*2 1  TH2 vs*2 TH2   us * vs *      t * x * 2 1 x * 2 1 x *  1 y * 2  2 *   * 2 *        1 XG* 2 2   x * y *  x * vs *  * 1  TH2 us*2 1  TH2 vs*2 TH2   us * vs *      t * y * 2 1 y * 2 1 y *  1 x *   2 *  2 *   *   2      1YG* 2 2   x * y *  y * (21) (22) Các phương trình (20), (21), (22) ở trên là hệ phương trình mô tả hiện tượng dao động phi tuyến của chất lỏng trong bể chứa. Để đơn giản và dễ nhìn hơn, chúng ta qui ước cách ký hiệu để mô tả các biến và các tham số không thứ nguyên và các đại lượng được viết cho mặt thoáng bằng chữ thường thay vì thêm chỉ số trên “*” và chỉ số dưới “s”, cụ thể như sau[9]:   u v       1 u    1 v   u v        1       0 t x y   1   x y   1  x y  2 u  1  TH2 u 2 1  TH2 v TH2   uv       t x 2 1 x 2 1 x  1 y          2  2  2    1 XG y  x  x 2 16 2 (23) (24) v  1  TH2 u 2 1  TH2 v 2 TH2   uv       t y 2 1 y 2 1 y  1 x 2  2   2     2  2     1YG y  y  x (25) Vậy hệ phương trình (23)-(25) là hệ phương trình mô tả hiện tượng dao động phi tuyến của chất lỏng trong bể chứa. * Sự liên hệ phân tán Liên hệ phân tán là mối liên hệ giữa số sóng k với tần số góc tương ứng. Khi khử các thành phần phi tuyến và các gia tốc lực trong các phương trình từ (23) đến (25), ta được hệ phương trình tuyến tính mô tả dao động tự do trên mặt thoáng chất lỏng:   u v    u v        1    0  t x y   1   x x    u   0  t x  v    0  t y  (26) Để thu được mối liên hệ phân tán này, thế vận tốc được giả thiết dưới dạng[9]:   f  x, y  eit cosh k 1+z  (27) Ta lại giả thiết rằng u và v trong phương trình (26) là vận tốc tại vị trí z  0 và từ (26), (27), ta có thể thu được phương trình sau: 2 f 2 f   2  2 1 f  0 2 x y  17 (28) Mặt khác hàm thế cũng thỏa mãn phương trình Laplace, nên ta có thể rút được mối liên hệ sau:  2 3 k k k 1 6 (29) với xấp xỉ thu được khi k  1. Có thể thấy rõ rằng sự phân tán của sóng trên mặt thoáng giảm dần khi  giảm. 18 1.2 Hệ phƣơng trình cho trƣờng hợp hai chiều Dưới đây ta sẽ thiết lập bài toán cho bể chứa chữ nhật với dòng chảy 2 chiều song song với mặt phẳng xz. 1.2.1 Hệ phương trình với chất lỏng lý tưởng Từ phương trình (23) đến (25), cho v  0 , phương trình (25) lúc này đồng nhất bằng không nên hệ phương trình cơ bản cho bể chứa hình chữ nhật như sau[9]:  u     1 u  u       1  0 t x   1  x  1 x (30) 2 u  1  TH2 u 2 2          1 XG 2 t x 2 1 x x x (31) Trong đó, điều kiện biên trên thành bể là: u  0 tại x  1 và x  1 Giải phương trình (28) với các điều kiện biên ở trên, ta thu được số sóng k m (trong đó m là một số nguyên dương). 2 Để tính sự phản hồi của dao động ở lân cận cộng hưởng bậc nhất, số sóng phụ k1 được chọn là k1   2 . 1.2.2 Hệ phương trình với chất lỏng thực Với chất lỏng thực, từ hệ phương trình (30)-(31), thêm thành phần u vào vế phải phương trình viết cho u, ta được hệ mới cho trường hợp hai chiều như sau[9]: 19  u     1 u  u       1  0 t x   1  x  1 x (30’) 2 u  1  TH2 u 2 2         u  1 XG 2 t x 2 1 x x x (31’) và điều kiện biên tại thành bể vẫn được viết như đối với trường hợp chất lỏng lý tưởng: u  0 tại x  1 và x  1 20 CHƢƠNG II GIẢI SỐ HỆ PHƢƠNG TRÌNH CHO TRƢỜNG HỢP CHẤT LỎNG LÝ TƢỞNG 2.1 Phƣơng pháp sai phân Một số mô hình toán học đã được đề cập để giải quyết hiện tượng sóng sánh của chất lỏng trong bình chứa, nhưng nói chung, do tính phức tạp của hiện tượng nên cần phải thực hiện các thí nghiệm vật lý để xác định. Trong trường hợp tổng quát, các phương pháp số được áp dụng để mô tả chuyển động sóng sánh của chất lỏng. Vì vậy, khi chất lỏng sóng sánh với biên độ lớn, trong những bình chứa có hình dạng phức tạp thì các phương pháp số là lựa chọn duy nhất. Để tính toán sự cộng hưởng dao động trong bể chữ nhật, các phương trình được rời rạc hóa thành các phương trình vi phân thường để giải số. Các phương trình (30) và (31) là viết cho số sóng k bất kỳ. Sóng trên mặt thoáng ban đầu thỏa mãn một tính chất phân tán phụ thuộc vào số sóng k. Nếu trong phương trình (30), thay k bằng k1, thành phần thứ 3, được gọi là phần phân tán sẽ mất đi và do đó không thể xem xét sự lan truyền của sóng trên bề mặt được nữa. Nhưng chúng ta cũng biết là phương pháp rời rạc hóa sẽ đưa ra được các tính chất phân tán khi truyền sóng qua hệ rời rạc. Vì thế, thay k bằng k1 trong các phương trình cơ bản (30) và (31) rồi khử thành phần phân tán, sự phân tán ban đầu của sóng trên mặt thoáng sẽ được thay thế bằng các thành phần rời rạc. Bằng cách này ta mới có thể xem xét đặc trưng phân tán. 21 2.1.1 Liên hệ phân tán thu nhận từ rời rạc hóa. Khử các thành phần phi tuyến và gia tốc trọng trường trong phương trình (30) và (31), thay k=k1, ta thu được hệ phương trình sau:  u  0 t x u   0 t x (32) Bể có chiều rộng bằng 2, được chia thành n đoạn cho u và n+1 đoạn cho  . Trong mỗi đoạn, các biến ui  i  1 ~ n  hay i  i  0 ~ n  được sắp xếp như trong Hình 6. Độ rộng của mỗi đoạn là x  2 (33) n Lần lượt tích phân hai phương trình (32) trên các đoạn i và ui , ta thu được hệ phương trình sau[9]:  di 1  dt   x  ui  ui 1    dui  1      dt  x i 1 i (34) Khử ui ở phương trình (34) và thay nghiệm chung dưới dạng [9] i   sinkxi   coskxi  sin t    (35) (trong đó  ,  ,  là hằng số ) vào phương trình nghiệm, ta được:  2 k x k 1 sin  n sin  k  2 k 3 x 2 2 6n trong đó phần xấp xỉ được lấy khi k  n . 22 (36) Đây chính là mối liên hệ phân tán thu được khi rời rạc hóa. Có thể thấy rằng sự lan truyền bị yếu đi khi n tăng lên. Bây giờ chúng ta sẽ tính số đoạn chia n để liên hệ (36) xấp xỉ được mối liên hệ (29). Ta có thể xem xét hai cách tính số đoạn chia, như sau [9]:  Trong trường hợp k  1, biểu thức xấp xỉ của phương trình (36) bằng chính phương trình (29), lúc này ta thu được n 1 (37)    Tỉ số của tần số góc tự nhiên bậc nhất 1 k1   2  với tần số góc tự nhiên bậc hai 2  k2    , được tính từ phương trình (36) sẽ bằng với giá trị tính được từ phương trình (29), từ đó rút ra được liên hệ[9]: n  (38) tanh 2arcos    2tanh    2  25 P/t (37) P/t (38) 20 15 10 5 0 0.05 0.175 0.3 0.425 0.55 0.675 0.8 Hình 4: Mối liên hệ giữa  và n 23 0.925 Hình 4 là biểu diễn mối quan hệ giữa n và  trong hai biểu thức (37) và (38). Ta có nhận xét sau: trong phương trình (37), n không tiến tới giá trị trung bình khi  lớn còn phương trình (38) đạt giới hạn tại n=2. Hình 5: Mối quan hệ phân tán [9] Hình 5 là biểu diễn mối quan hệ phân tán trong (29) và (36) với các giá trị được làm tròn để lấy tích phân trong (38) là n  10, 5, 4 và 4 tương ứng với   0.1;0.2 và 0.3. Ta có nhận xét là khi  càng lớn (hay k k càng lớn) thì sai 1 khác giữa hai phương trình (29) và (36) càng lớn. 2.1.2 Rời rạc hóa Sau khi thay k bằng k1 trong hai phương trình (30) và (31), ta được hai phương trình mới như sau: 24