Tài liệu Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kì 2

Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II TÀI LIỆU ÔN TẬP HỌC KỲ II LỚP 12- NĂM HỌC 2016-2017 MÔN: GIẢI TÍCH Quảng Nam, tháng 2 năm 2017 Trần Thông sưu tầm và biên soạn Facebook: Hội Toán Bắc Nam Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II A. TÍCH PHÂN PHẦN 1: TÓM TẮT LÝ THUYẾT I.Nguyên hàm 1.Định nghĩa. Cho hàm số f ( x) xác định trên K (K là đoạn, khoảng, nửa khoảng). Hàm số F ( x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K, nếu F '( x)  f ( x) , với mọi x  K . Định lý. Giả sử F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên khoảng K. Khi đó a. Với mỗi hằng số C, hàm số G( x)  F ( x)  C cũng là một nguyên hàm của f ( x) . b. Ngược lại, nếu G(x) là một nguyên hàm của f ( x) thì tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C. c. Họ tất cả các nguyên hàm của f ( x) là  f ( x)dx  F ( x)  C , trong đó F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) , C là hằng số bất kỳ. d. Bảng các nguyên hàm cơ bản. Nguyên hàm của một số hàm số thƣờng gặp Nguyên hàm các hàm số sơ cấp thƣờng gặp Nguyên hàm của hàm số hợp u  u( x)  kdx  kx  C, k  R  kdu  ku  C, k  R x  dx  1 .x 1  C (  1) 1  u  du  1 .u 1  C (  1) 1   dx  ln x  C ( x  0 ) x  du  ln u  C ( x  0 ) u  dx  2 x C x  du  2 u C u  e dx  e x x  a dx  x  e du  e C u ax  C (0  a  1). ln a u  a du  u C au  C (0  a  1). ln a  cos xdx  sin x  C  cos udu  sin u  C  sin xdx   cos x  C  sin udu   cos u  C dx  cos 2 x  tan x  C ; dx  sin 2 x   cot x  C . Trần Thông sưu tầm và biên soạn du  cos 2 u  tan u  C ; du  sin 2 u   cot u  C Facebook: Hội Toán Bắc Nam Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II Ngoài ra còn một số công thức thƣờng gặp là. k  (ax  b) dx  1 (ax  b) k 1  C , (a  0, k  1); a k 1 1 1 ax b e C; a 1  sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C e ax  b 1  ax  b dx  a ln ax  b  C , a  0. 1  cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C dx  2. Một số tính chất của nguyên hàm Định lý. Nếu F ( x), G( x) tương ứng là một nguyên hàm của f ( x), g ( x) thì a.  f '( x)dx  f ( x)  C b.  [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx  F ( x)  G( x)  C ; c.  a.f(x)dx  a  f ( x)dx  aF( x)  C (a  0) . 3. Một số phƣơng pháp đổi nguyên hàm a. Phƣơng pháp đổi biến số Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lý sau: Cho hàm số u  u( x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y  f (u) liên tục sao cho f [u ( x)] xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f, tức là  f (u)du  F (u)  C thì  f [u( x)]dx=F[u( x)]+C . b. Phƣơng pháp tích phân từng phần Một số dạng thƣờng gặp: Dạng 1.  P( x).e ax b dx ,  P( x)sin(ax  b)dx ,  P( x) cos(ax  b)dx Cách giải: Đặt u  P( x), dv  eax b dx (dv  sin(ax  b)dx, dv  cos(ax  b)dx) Dạng 2.  P( x) ln(ax  b)dx Cách giải: Đặt u  ln(ax  b), dv  P( x)dx. II. Tích phân 1.Định nghĩa Cho hàm f ( x) liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) thì hiệu số F (b)  F (a) được gọi là tích phân của f ( x) từ a đến b b và ký hiệu là  f ( x)dx . Trong trường hợp a  b thì a b  f ( x)dx là tích phân của f trên  a; b . a 2.Tính chất Cho các hàm số f ( x), g ( x) liên tục trên K và a, b, c là ba số thuộc K. Trần Thông sưu tầm và biên soạn Facebook: Hội Toán Bắc Nam Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II a b   f ( x)dx  0  a  a f ( x)dx    f ( x)dx a b c b a a c   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx b b b a a   k . f ( x)dx  k  f ( x)dx b b b a a a   [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx 3.Một số phƣơng pháp tính tích phân  Phƣơng pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số b u (b ) a u (a)  f [u( x)]u '( x)dx   f (u )du . Trong đó f ( x) là hàm số liên tục và u ( x) có đạo hàm liên tục trên khoảng J sao cho hàm hợp f [u ( x)] xác định trên J; a, b  J . Phƣơng pháp đổi biến số thƣờng áp dụng theo hai cách Cách 1. Đặt ẩn phụ u  u( x) ( u là một hàm của x) Cách 2. Đặt ẩn phụ x  x(t ) ( x là một hàm số của t). Đối với nguyên hàm nói chung và tích phân nói riêng cần chú ý một số dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ như sau: Dấu hiệu Có thể chọn Hàm số có mẫu Đặt t là mẫu Hàm f ( x,  ( x)) Đặt t   ( x) Hàm f ( x, n  ( x), m  ( x)) Đặt t  mn  ( x) Hàm f ( x)  asin x  b cos x c sin x  d cos x  e Đặt t  tan x 2 Hàm lẻ với sinx Đặt t  cos x Hàm lẻ với cosx Đặt t  sin x Hàm chẵn với sinx và cosx t =tanx a2  x2 Trần Thông sưu tầm và biên soạn     x | a | sin t ,  2  t  2   x | a | cost , 0  t   Facebook: Hội Toán Bắc Nam Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II x2  a2 |a|     x  sin t ,  2  t  2 ; t  0  x  | a | , 0  t   ;t    cost 2 x2  a2     x | a | tan t ,  2  t  2   x | a | cott , 0  t   ax hoặc ax Đặt x  a cos 2t ax ax Đặt x  a  (b  a)sin 2 t ( x  a)(b  x) Phƣơng pháp tích phân từng phần. Định lý. Nếu u( x), v( x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng K và a, b là hai số b b a a thuộc K thì  u ( x)v '( x)dx  u ( x)v( x) ba   v( x)u '( x)dx 4. Ứng dụng của tích phân Tính diện tích hình phẳng  Nếu hàm số y  f ( x) liên tục trên  a; b thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ b thị hàm số y  f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x  a, x  b là S   f ( x) dx . a  Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y  f ( x) , y  g ( x) và hai đường b thẳng x  a, x  b là S   f ( x)  g ( x) dx a Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1) , muốn vậy ta phải “phá” dấu giá trị tuyệt đối .   b b a a b b a a Nếu f ( x)  0 , x a ; b thì S   f ( x) dx   f ( x)dx Nếu f ( x)  0 , x a ; b thì S   f ( x) dx    f ( x) dx Chú ý Muốn “phá” dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu của biểu thức f(x) . Thường có hai cách làm như sau : -Cách 1: Dùng định lí “dấu của nhị thức bật nhất” , định lí “dấu của tam thức bậc hai” để xét dấu các biểu thức f(x) ; đôi khi phải giải các bất phương trình f(x) ≥ 0 , f(x) ≤ 0 trên đoạn a ; b Trần Thông sưu tầm và biên soạn Facebook: Hội Toán Bắc Nam Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II -Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn a ; b để suy ra dấu của f(x) trên đoạn đó . Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “trên” trục hoành thì f ( x)  0 , x a ; b Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “dưới” trục hoành thì f ( x)  0 , x a ; b b -Cách 3 Nếu f(x) không đổi dấu trên [a ; b] thì ta có : S   f ( x) dx  a  b  f ( x)dx a Tính thể tích vật thể. Thể tích vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục b Ox tại các điểm a, b là V   S ( x)dx . Trong đó S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị a cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x   a; b và S(x) là một hàm liên tục.  Tính thể tích khối tròn xoay.  Hàm số y  f ( x) liên tục và không âm trên  a; b . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x  a, x  b quay quanh trục hoành tạo nên b một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức V    f 2 ( x)dx . a  Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x  g ( y) , trục tung và hai đường thẳng y  c, y  d quay quanh trục tung tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi d công thức V    g 2 ( y )dy . c PHẦN 2: BÀI TẬP MINH HỌA Dạng 1: Tích phân hàm hữu tỷ 2 Bài 1: Tính tích phân I   1 x2 x 2  7 x  12 dx 2 2  16 9   Hƣớng dẫn: I    1  dx =  x  16 ln x  4  9 ln x  3  1 = 1  25ln2 16ln3 . x 4 x 3  1 2 Bài 2: Tính tích phân I   1 Hƣớng dẫn: Ta có: dx x5  x3 1 1 1 x    3 2 x x x ( x  1) x 1 3 2  2 1 1 3 1 3  I    ln x  2  ln( x 2  1)   ln 2  ln 5  2 2 2 8 2x  1 Trần Thông sưu tầm và biên soạn Facebook: Hội Toán Bắc Nam Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II 1 xdx 0 ( x  1)3 Bài 3: Tính tích phân I   Hƣớng dẫn: 1 1 x x 11   ( x  1)2  ( x  1)3  I   ( x  1)2  ( x  1)3 dx  Ta có: 0 8 ( x  1)3 ( x  1)3 Bài 4: Tính nguyên hàm I   ( x  1)2 (2 x  1)4 1  x 1  Hƣớng dẫn: Ta có: f ( x )  .   3  2x  1  1 x7 Bài 5: Tính tích phân I   2 5 0 (1  x ) dx 2 3  x  1  1  x 1  .  I    C . 9  2x  1   2x  1  dx Hƣớng dẫn: Đặt t  1  x 2  dt  2 xdx  I  1 2 (t  1)3 1 1 dt  .  5 21 t 4 25 1 Bài 6: Tính tích phân I   x 5 (1  x 3 )6dx 0 Hƣớng dẫn: Đặt t  1  x 3  dt  3x 2dx  dx  dt 3x 2 I  11 6 1  t 7 t8  1 t (1  t ) dt  .     30 3  7 8  168 1 Bài 7: Tính tích phân I   x 5 (1  x 3 )6dx 0 11 6 1  t 7 t8  1  I   t (1  t )dt      Hƣớng dẫn: Đặt t  1  x  dt  3x dx  dx  . 2 30 3  7 8  168 3x 3 2 x 2001 Bài 8: Tính tích phân I   2 1002 1 (1  x ) Hƣớng dẫn: Ta có: I  dt 2 .dx 11 x 2000 .2 xdx . Đặt t  1  x 2  dt  2 xdx  2 2000 2 2 2 0 (1  x ) (1  x ) 1000 1 2 (t  1)1000 1 2 1  I   1000 2 dt   1   21 t 2 1 t  t Bài 9: Tính tích phân I  1 5 2  1 x2  1 x4  x2  1 Trần Thông sưu tầm và biên soạn  1 1 d 1     t  2002.21001 dx Facebook: Hội Toán Bắc Nam Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II x 1 Hƣớng dẫn: Ta có: 1  I  4 1 1 2 2 x  x 1  x2  x2 1 x2 . Đặt t  x  1  1 1   dt   1   dx x x2    dt 2 du . Đặt t  tan u  dt  4  I   du   4 cos u 0 Dạng 2: Tích phân hàm vô tỷ x dx Bài 1: Tính nguyên hàm I   2 3x  9 x  1 x dx   x(3x  9 x 2  1)dx   3x 2dx   x 9 x 2  1dx Hƣớng dẫn: Ta có I   2 3x  9 x  1 0t 1 2 Lại có I1   3x 2dx  x 3  C1 3 1 1 I 2   x 9 x  1dx   9 x 2  1 d (9 x 2  1)  (9 x 2  1) 2  C2 18 27 2 3 1  I  (9 x 2  1) 2  x 3  C 27 Bài 2: Tính nguyên hàm I   Hƣớng dẫn: Ta có  Lại có I1    x2  x 1 x x x2  x 1 x x x2 1 x x dx x2 dx   1 x x dx   x 1 x x dx . dx . 4 Đặt t= 1  x x  t 2  1  x x  x 3  (t 2  1)2  x 2dx  t(t 2  1)dt 3   3 4 2 4 3 4 4 4 ( t  1) dt  t  t  C = 1  x x  1  x x  C1 3 9 3 9 3 4 x 2 d (1  x x ) 1  x x  C2 dx =  Đối với I 2   = 3 3 1 x x 1 x x  4 Vậy: I  9  1 x x 3 3 Bài 3: Tính tích phân I   C x 3 dx 3 x  1  x  3 0 Trần Thông sưu tầm và biên soạn Facebook: Hội Toán Bắc Nam Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II Hƣớng dẫn: 2 2t 3  8t 1t 2 Đặt t  x  1  2tdu  dx  I   3 Bài 4: Tính tích phân I   0 2 2x  x  1 x 1  3t  2 2 2 3 1 dt  3  6 ln 2 t 1 1 dt   (2t  6)dt  6 1 dx x  1  t  x  t 2  1  dx  2tdt Hƣớng dẫn: Đặt 2 5 x2  1 1 x 3x  1 Bài 5: Tính tích phân I   2 2  4t 5  54  2 (2t 4  3t 2 )dt    2t 3    5 1 5 1 2(t 2  1)2  (t 2  1)  1 2tdt  I  t 1 dx Hƣớng dẫn: Đặt t  3x  1  dx  2tdt 3 2  t2  1    1 4 4 4 3  21 3  t 1 100 9 2tdt     t  t   ln   ln .  I  . 2 93 t  1 2 27 5 3 t 1 2 2 .t 3 5 Bài 5: Tính tích phân I   x2  1 1 x 3x  1 dx Hƣớng dẫn: Đặt t  3x  1  dx  2tdt 3 2  t2  1    1 4 4 4 3   21 t 1 100 9 2tdt   t 3  t   ln   ln .  I  2  . 93 t  1 2 27 5 3 t 1 2 2 .t 3 1 Bài 6: Tính tích phân I   ( x  1)3 2 x  x 2 dx 0 1 1 0 0 Hƣớng dẫn: I   ( x  1)3 2 x  x 2 dx   ( x 2  2 x  1) 2 x  x 2 ( x  1)dx . Đặt t  2 x  x 2  I  2 . 15 2 Bài 7: Tính tích phân I   0 2 x 3  3x 2  x x2  x  1 Trần Thông sưu tầm và biên soạn dx Facebook: Hội Toán Bắc Nam Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II Hƣớng dẫn: Ta có I  1 1 1  x  1  x2  1 (1  x )2  (1  x 2 ) 1 1  x  1  x2 1 11  1  x2 dx     1 dx   dx 2 x 2 x 2 x   1 1 1 dx   1 11  1 + I1     1 dx   ln x  x  |11  1 2 1  x  2 + I2  1  1 1  x2 dx . Đặt t  1  x 2  t 2  1  x 2  2tdt  2 xdx  I2= 2x Vậy: I  1 . 2 1 2 4  x2 Hƣớng dẫn: Ta có Ta có: I   x 1 I=  t(tdt ) 3 4  t2  t 2dt 2 2 2(t  1) 0 4  x2 dx x Bài 8: Tính tích phân I   0 2 0 2 xdx . Đặt t = 0 t2 4  x 2  t 2  4  x 2  tdt   xdx  t 2    dt   (1  )dt   t  ln  2 t2  t2  4  3 t 4 3 3 4 x2 Bài 9: Tính tích phân I   2 2 0 (1  1  x ) (2  1  x ) 0  2 3  . =   3  ln   2  3 3   dx 4  42 36  4   dt  12  42 ln Hƣớng dẫn: Đặt 2  1  x  t  I    2t  16  t 3 t2  3 1 dx Bài 10: Tính tích phân I   0 (1  3 x 3 ). 1  x 3 3 3 Hƣớng dẫn: Đặt t  1  x 3  I  3  2  1 3 dt 2  3   1 t 2 . t 3  1  3     t   2  1 2 t2  2 1 4 3 t .(t  1) 3 dt 2 3  1 t 4 1  3   t  Trần Thông sưu tầm và biên soạn 3 dt   1 3 2 1  3     t  t4 1 2 dt  1  2 t .(t 3 2  1) 3 2 3 dt Facebook: Hội Toán Bắc Nam Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II Đặt u  1  1 3dt  du  t3 1 2  I t4 0 2 2  Bài 11: Tính tích phân I  2  u 3 3 du  3 1 2 1 2 3 u du 3 0  1 1  u3 1 2     3 1     3 0 1 1 2  u3 0  1 3 2 x4 dx  1 2  x  x  x 1   Hƣớng dẫn: Đặt t  x 2  1 3  I  2 (t 2  1)2 dt = t2  2 3 4 t  2t 2  1  t2  2 2 Bài 12: Tính tích phân I  27  x x 1 2 2 3 dt   t dt   2t 2 x 2 3 3 1 2 2 dt  19 2 4 2   ln   3 4  4  2  dx Hƣớng dẫn: 3 6 Đặt t  x  I  5  3 t3  2   2 2  5 2t 1  dt  5  1    dt  5  3  1  ln    2 2 3  12 t t  1 t  1  t(t  1) 1  2 1 Bài 13: Tính tích phân I  2  (x 5  x 2 ) 4  x 2 dx 2 2 ( x 5  x 2 ) 4  x 2 dx =  Hƣớng dẫn: I = 2 2 + Tính A = x 2  x 5 4  x 2 dx + 2 2 x 2 4  x 2 dx = A + B. 2 5 4  x 2 dx . Đặt t   x . Tính được: A = 0. 2 4  x 2 dx . Đặt x  2sin t . Tính được: B = 2 . 2 2 + Tính B = x 2 Vậy: I  2 . 3  2 Bài 14: Tính tích phân I   2x4 1 2 3 Hƣớng dẫn: I   4 1 2x 2 + Tính I1 =  3 1 2x 2 + Tính I 2   1 4 2 dx   dx = 4  x2 2x4  4  x 2 dx 1 2 4  x2 2x4 dx . 3 4 7 x dx  .  21 16 dx . Đặt x  2sin t  dx  2cos tdt . Trần Thông sưu tầm và biên soạn Facebook: Hội Toán Bắc Nam Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II   I2   2 2  2 1 cos tdt 1 12 3 2  1   cot t dt   cot 2 t.d (cot t )   2     4 8  sin t 8 8 8  sin t  6 6 6 1 Vậy: I   7  2 3  16 Bài 15: Tính tích phân I  3 x 2  1dx  2  x u  x 2  1 du  dx 2 Hƣớng dẫn: Đặt   x 1 dv  dx v  x   I  x x2  1 5 2 3  2  I 3 2  3  x. 2 x 2  1dx  x x2  1 3  2 dx  5 2  dx x2  1  2   x 1   2 3   dx x 2  1  1  5 2  I  ln x  x 2  1 3 2 5 2 1  ln  2  1  ln 2 2 4 Dạng 3: Tích phân hàm lƣợng giác 8cos2 x  sin 2 x  3 dx Bài 1: Tính nguyên hàm I   sin x  cos x Hƣớng dẫn: (sin x  cos x )2  4 cos2 x dx    sin x  cos x  4(sin x  cos x dx  3cos x  5sin x  C . sin x  cos x cot x  tan x  2 tan 2 x dx Bài 2: Tính nguyên hàm I   sin 4 x 2 cot 2 x  2 tan 2 x 2 cot 4 x cos 4 x 1 Hƣớng dẫn: I   dx   dx  2 dx   C sin 4 x sin 4 x 2sin 4 x sin2 4 x   cos2  x   8  dx Bài 3: Tính nguyên hàm I   sin 2 x  cos2 x  2 Hƣớng dẫn:   1  cos  2 x   1  4  dx I  2 2 1  sin  2 x       4 I  Trần Thông sưu tầm và biên soạn Facebook: Hội Toán Bắc Nam Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II    cos  2 x       1  dx   4   dx     2 2 2  1  sin  2 x             sin  x    cos  x      4  8 8           cos  2 x     1  dx  4  dx  1    2 2 3   2 2  1  sin  2 x    sin  x       4 8       1   3  ln 1  sin  2 x    cot  x    4 8  4 2 Bài 4: Tính tích phân I    2      C  dx 3 sin x  cos x 3 Hƣớng dẫn: I   1 dx 1 dx = I  = .  4  4 3 2 x   1  cos  x   2sin    3 3 3  2 6 1 2   Bài 5: Tính tích phân I  6 1  2sin x  0 Hƣớng dẫn: I    0 sin x  sin   1  2 6  0  6 6  0 1 sin x  sin   cos 3 dx  1 2 6 3  3 dx  6  0  dx   1 2  dx 0 sin x  sin 3 3  x    x   cos            2 6   2 6   dx x  x  2 cos    .sin    2 6 2 6 x  x   cos    sin    6  2 6 dx  1  2 6  dx  ln sin  x       x  20 x  2 6 sin    cos    2 6 2 6  6 0 x   ln cos    2 6  6 0  .....  2 Bài 6: Tính tích phân I   cos2 x(sin 4 x  cos4 x )dx 0 Trần Thông sưu tầm và biên soạn Facebook: Hội Toán Bắc Nam Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II   2  1   1 2 1 Hƣớng dẫn: I   cos2 x  1  sin2 2 x  dx    1  sin2 2 x  d (sin 2 x )  0 2 0 2  2   0  Bài 7: Tính tích phân I   2 0 4sin3 x dx 1  cos x Hƣớng dẫn: Ta có 4sin3 x 4sin3 x(1  cos x )   4sin x  4sin x cos x  4sin x  2sin 2 x 1  cos x sin2 x   I   2 (4sin x  2sin 2 x )dx  2 0 Bài 8: Tính tích phân I  2  1  sin xdx 0 Hƣớng dẫn: I  2  0 2 2 2 x   x x x x  sin  cos  dx   sin  cos dx  2  sin    dx 2 4  2 2 2 2 0 0  3  2 2 x  x    2   sin   dx   sin    dx   4 2 2 4 2 4  0 3   2 sin 2 xdx Bài 9: Tính nguyên hàm I   3  4sin x  cos2 x 2sin x cos x t  sin x Hƣớng dẫn: Ta có: Đặt I  dx . 2sin2 x  4sin x  2 1 I  ln sin x  1  C sin x  1 dx Bài 10: Tính nguyên hàm I   sin3 x.cos5 x dx dx Hƣớng dẫn: I   3  8 3 3 2 sin x. cos x. cos x sin 2 x. cos 2 x   3 1 3 1 C Đặt t  tan x . I    t 3  3t   t 3  dt  tan4 x  tan2 x  3ln tan x  t 4 2   2 tan2 x Bài 11: Tính nguyên hàm I   2011 sin2011 x  sin2009 x sin5 x  cot xdx Hƣớng dẫn: 2011 1  Ta có: I   1 sin2 x cot xdx   sin 4 x Trần Thông sưu tầm và biên soạn 2011  cot 2 x sin 4 x cot xdx Facebook: Hội Toán Bắc Nam Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II Đặt t  cot x  I   2 2011 t (1  t 2 )tdt 4024 8046 2011 2011 2011 2011  t  t C 4024 8046 4024 8046 2011 2011 cot 2011 x  cot 2011 x  C = 4024 8046  Bài 12: Tính tích phân I   sin2 x(2  1  cos2 x )dx  2 Hƣớng dẫn:     2 2 Ta có: I   2sin2 xdx   sin2 x 1  cos2 xdx  H  K  2  + H   2sin xdx   (1  cos2 x )dx      2 2  2   2       2 2 2 + K   sin2 x 2 cos2 x   2  sin2 x cos xdx   2  sin2 xd (sin x )  I   2  2 3 2 3  2 Bài 13: Tính tích phân I   0 sin 2 x  2  sin x   Hƣớng dẫn: I  2 2 dx  sin 2 x  (2  sin x)2 0 3 Đặt t  2  sin x . I  2 2 2 dx  2  0 t 2 t2 sin x cos x (2  sin x )2 dx . 3 3 1 2   3 2 2 dt  2    dt  2  ln t    2 ln  2 3 t t2  t 2  2  Bài 14: Tính tích phân I  4  0 sin 4 x 6 sin x  cos x  Hƣớng dẫn: I  4  0 6 sin 4 x 3 1  sin2 2 x 4 dx 1 4 4 3 2 1  dx . Đặt t  1  sin2 2 x  I =    dt = 3 t 4 3 t 1 Trần Thông sưu tầm và biên soạn 1 1 4  2 3 Facebook: Hội Toán Bắc Nam Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II  Bài 15: Tính tích phân I    cos2 x  Hƣớng dẫn: I sin x 1  cos2 x 4 3   4 4    sin x 1  cos2 x .dx  2 cos x =  0    sin2 x cos2 x 4 dx   0 sin x   3  dx sin2 x cos2 x  2 cos x sin x dx  dx  sin x   3  0 2 cos x  sin x dx  4  sin x 2 0 cos x sin x dx 3 7  3 1 12 3  Bài 16: Tính tích phân I  2 3sin x  2 cos x  (sin x  cos x )3 dx 0 Hƣớng dẫn:  Đặt x   2  t  dx  dt  I   2 2 3cos t  2sin t 0  2I  I  I  0   2 2 3sin x  2 cos x  (sin x  cos x )3 dx  0  Bài 17: Tính tích phân I   3cos x  2sin x  (cos t  sin t)3 dt   (cos x  sin x)3 dx 3cos x  2sin x  (cos x  sin x )3 dx  0 x sin x 2 0 1  cos  x 2 1  (sin x  cos x )2 dx  1  0 I 1 2 dx Hƣớng dẫn:  Đặt x    t  dx  dt  I   0   (  t )sin t 1  cos2 t  dt    sin t 2 0 1  cos t dt  I    2  2I    dt        I  2 2 4 4 8 0 1  cos t 0 1  cos t sin t d (cos t )  Bài 18: Tính tích phân I  3 sin x 0 cos x 3  sin2 x  dx Hƣớng dẫn: Đặt t  3  sin2 x = 4  cos2 x . Ta có: cos2 x  4  t 2 và dt  Trần Thông sưu tầm và biên soạn sin x cos x 2 3  sin x dx . Facebook: Hội Toán Bắc Nam Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II I=   3 3 sin x  .dx = cos x 3  sin2 x 0 15 2 1 t2 = ln 4 t2 = 3 sin x.cos x  cos2 x 3  sin2 x 0 1 15  4  ln  ln 4 15  4  15 2  dx = 3 dt 4t 2 = 1 4 15 2   3 1 1    dt t 2 t 2 3 2  1   = ln 15  4   ln  3  2  2 3  2     4 tan x  cos x 1  cos2 x Bài 19: Tính tích phân I   6 Hƣớng dẫn:  Ta có: I  dx  4   6 tan x 2 cos x 1 cos2 x Đặt u  tan x  du  4 tan x  cos2 x tan2 x  2  dx  1 6 1 cos2 x 1 dx  I  u  2 u 2 1 dx dx . Đặt t  u2  2  dt  u 2 u 2 du . 3 I  3  7 3 dt  t 3 7 3 7  3 3 3 7  . 3  Bài 20: Tính tích phân I  3   3 x sin x cos2 x dx Hƣớng dẫn: Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có:  I 3       1  x 3 xd     cos x  cos x   3 3 3     dx 4   J , với J  cos x 3 3  Để tính J ta đặt t  sin x. Khi đó J  3   Vậy I   3 3 2 dx  cos x  3    dx cos x 3 1 t 1  1  t 2   2 ln t  1 3 2 dt 3 2  3 2   ln 2 3 2 3 4 2 3  ln . 3 2 3 Trần Thông sưu tầm và biên soạn Facebook: Hội Toán Bắc Nam Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II  2 1  sin x  x Bài 21: Tính tích phân I    .e dx 1  cos x   0 x x 1  sin x 1  2sin 2 cos 2 1 x    tan Hƣớng dẫn: Ta có: x x 1  cos x 2 2 cos2 2 cos2 2 2  2  x 2 e dx  x  I   e tan dx = e 2 x 0 2 0 2 cos2 2 x Dạng 3: Tích phân hàm mũ logarit Bài 1: Tính nguyên hàm I   e2 x 1 e x dx Hƣớng dẫn: Đặt t  e x  e x  t 2  e x dx  2tdt . 2 2 t3 dt  t3  t 2  2t  2 ln t  1  C  e x e x  e x  2 e x  2 ln e x  1  C 1 t 3 3 ( x 2  x )e x Bài 2: Tính nguyên hàm I   dx x  e x Hƣớng dẫn:  I  2 I  ( x 2  x )e x xe x dx =  xe x .( x  1)e x x xe  1 dx . Đặt t  x.e x  1  I  xe x  1  ln xe x  1  C . ln(1  x 2 ) x  2011x Bài 3: Tính nguyên hàm I   dx 2 ln (ex 2  e) x 1  x  ln( x 2  1)  2011 dx . Đặt t  ln( x 2  1)  1 Hƣớng dẫn: I   2 2 ( x  1)  ln( x  1)  1 1 t  2010 1 1 1 dt  t  1005ln t  C = ln( x 2  1)   1005ln(ln( x 2  1)  1)  C  I  2 t 2 2 2 e xe x  1 Bài 4: Tính tích phân J   x 1 x (e  ln x ) e Hƣớng dẫn: J   1 d (e x  ln x ) e x  ln x Bài 5: Tính tích phân I  ln 2  0 dx e  ln e x  ln x  ln 1 2e3 x  e2 x  1 e3 x  e2 x  e x  1 Trần Thông sưu tầm và biên soạn ee  1 e dx Facebook: Hội Toán Bắc Nam Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II Hƣớng dẫn: I  ln 2  3e3 x  2e2 x  e x  (e3 x  e2 x  e x  1) e3 x  e2 x  e x  1 0 3ln 2  3 ex  2 0 Hƣớng dẫn: I   x 3 e dx x 0 3 x 3 e e  Bài 7: Tính tích phân I  0 2  2 2 . Đặt t x 3 e x 1 3 3 1  dt  e 3 dx  I   ln   4 2 6 3 ln15  e2 x  24e x  dx 3ln 2 e x e x  1  5e x  3 e x  1  15    1dx  3x 2 x  e  e  ex  1    dx  3ln 2  3e3 x  2e2 x  e x 14 ln 2 ln 2 = ln11 – ln4 = ln x 0 0 4 = ln(e3 x  e2 x – e x  1) Bài 6: Tính tích phân I  dx = ln 2  Hƣớng dẫn: Ta có 4sin3 x 4sin3 x(1  cos x )   4sin x  4sin x cos x  4sin x  2sin 2 x 1  cos x sin2 x   I   2 (4sin x  2sin 2 x )dx  2 0 Bài 8: Tính tích phân I  2 1  sin xdx  0 Hƣớng dẫn: Đặt t  e x  1  t 2  1  e x  e x dx  2tdt . 4 4 4  3 7    2   dt   2t  3ln t  2  7ln t  2   3 t 2 t 2 t2  4 3 3  2  3ln2  7ln6  7ln5 ln 3 e2 x dx Bài 9: Tính tích phân I   x x ln 2 e  1  e  2 I  (2t 2  10t )dt Hƣớng dẫn: Đặt t = 1  I = 2 0 e x  2  e2 x dx  2tdt 1 1 1  d (t 2  t  1) 2t  1  = 2   t 1  dt = 2  (t  1)dt + 2 2 t2  t  1 t2  t  1  0 t  t 1 0 0 (t 2  2)tdt 1 1 = (t 2  2t ) 0 + 2 ln(t 2  t  1) 0 = 2ln3  1 . Bài 10: Tính tích phân I  ln3 2e3 x  e2 x 0 e x 4e x  3  1  dx Hƣớng dẫn: Đặt t  4e3x  3e2 x  t 2  4e3 x  3e2 x  2tdt  (12e3x  6e2 x )dx  (2e3 x  e2 x )dx  Trần Thông sưu tầm và biên soạn tdt 3 Facebook: Hội Toán Bắc Nam Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II 1 8  ln 5 1 9 tdt 1 9 1 . I     (1  )dt  (t  ln t  1) 19  3 3 3 1 t 1 3 1 t 1 Bài 11: Tính tích phân I  ln 5 e2 x  x e 1 ln 2 dx Hƣớng dẫn: Đặt t  e x  1  t 2  e x  1  dx  2 2 x  2 x 14 x Bài 12: Tính tích phân I    4 x  2 2tdt ex 2 2  t3  20  I  2 (t 2  1)d  2   t   3 1 3 1 dx Hƣớng dẫn: Đặt t  2 x  2 x  4 x  4 x  2  (2 x  2 x )2  4  I  1 81 ln 4ln 2 25 1 6 x dx 9 x  3.6 x  2.4 x 0 Bài 13: Tính tích phân I   x 3  2  dx   1 Hƣớng dẫn: I   03 2x 2   x 3  3   2 2 e 3 2 x 3 ln15  ln14 1 dt  . Đăt t    . I   ln3  ln 2 ln 3  ln 2 1 t 2  3t  2 2 3 ln x 2  ln2 x dx x 1 Bài 14: Tính tích phân I   Hướng dẫn Đặt t  2  ln2 x  dt  Bài 15: Tính tích phân I  e2  e Hƣớng dẫn: I  e 2  e 2 ln x 3 13 dx  I   3 tdt  x 8 22 dx x ln x.ln ex 2 e dx d (ln x ) =  x ln x(1  ln x ) e ln x(1  ln x ) e Bài 16: Tính tích phân I   1  3 34  3 24  log32 x 2 x 1  3ln x e2  1 1    ln x  1  ln x d (ln x ) = 2ln2 – ln3 e   dx Hƣớng dẫn: e log32 x e  ln x   ln 2    3 e ln2 x. ln xdx 2 2 x ln 1 1  3ln2 x 1 x 1  3ln x 1 x 1  3ln x 1 dx 1 Đặt 1  3ln2 x  t  ln2 x  (t 2  1)  ln x.  tdt . 3 x 3 I  dx   Trần Thông sưu tầm và biên soạn dx  1 3  2 . Facebook: Hội Toán Bắc Nam