BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
PHẠM THU HƢƠNG
SỨC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƢNG TỤ
BOSE – EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN
TRONG KHÔNG GIAN NỬA VÔ HẠN
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán
Mã số: 60 44 01 03
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:
TS. Nguyễn Văn Thụ
HÀ NỘI, 2016
LỜI CẢM ƠN
Trƣớc khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Thụ ngƣời đã định hƣớng chọn đề tài và tận
tình hƣớng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các
thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán trƣờng
Đại học sƣ phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm
luận văn.
Cuối cùng, tôi xin đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè
đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình học tập để
tôi hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, ngày 10 tháng 06 năm 2016
Tác giả
Phạm Thu Hương
LỜI CAM ĐOAN
Dƣới sự hƣớng dẫn của TS. Nguyễn Văn Thụ luận văn Thạc sĩ chuyên
ngành Vật lý lý thuyết và Vật lý toán với đề tài “Sức căng mặt ngoài của
ngƣng tụ khí Bose – Einstein hai thành phần trong không gian nửa vô hạn”
đƣợc hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ
luận văn nào khác.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các
nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, ngày 10 tháng 06 năm 2016
Tác giả
Phạm Thu Hương
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu.................................................................................. 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................. 2
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ............................................................. 2
5. Những đóng góp mới của đề tài ................................................................. 2
6. Phƣơng pháp nghiên cứu ........................................................................... 2
Chƣơng 1. TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƢNG TỤ BOSE –
EINSTEIN ......................................................................................................... 3
1.1. Hệ hạt đồng nhất ..................................................................................... 3
1.2. Thống kê Bose – Einstein ....................................................................... 4
1.3. Tình hình nghiên cứu về ngƣng tụ Bose – Einstein .............................. 13
1.4. Thực nghiệm về ngƣng tụ Bose – Einstein ........................................... 16
1.4.1. Ngƣng tụ Bose – Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium ............. 16
1.4.2. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý ......................................... 18
1.4.3. Các nhà Vật lý khẳng định sự tồn tại của trạng thái ngƣng tụ
polartion .................................................................................................... 19
1.4.4. Chất siêu dẫn mới ........................................................................... 22
1.4.5. Lần đầu tiên quan sát thấy hiệu ứng Hall ở một ngƣng tụ Bose Einstein...................................................................................................... 24
KẾT LUẬN CHƢƠNG 1................................................................................ 26
Chƣơng 2. TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN
THÀNH HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH YẾU....................................... 27
2.1. Phƣơng trình Gross-Pitaevskii .............................................................. 27
2.2.1. Phƣơng trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian........................ 27
2.2.2 Phƣơng trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian ....... 28
2.2. Gần đúng parabol kép (Double parabola approximation - DPA) ......... 30
2.3. Trạng thái cơ bản trong gần đúng parabol kép ..................................... 32
KẾT LUẬN CHƢƠNG 2................................................................................ 36
Chƣơng 3. SỨC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN
HAI THÀNH PHẦN TRONG KHÔNG GIAN NỬA VÔ HẠN TRONG
GẦN ĐÚNG PARABOL KÉP ....................................................................... 37
3.1. Khái niệm về sức căng mặt ngoài ......................................................... 37
3.2. Sức căng mặt ngoài của ngƣng tụ Bose – Einstein hai thành phần trong
không gian nửa vô hạn trong gần đúng parabol kép .................................... 40
KẾT LUẬN CHƢƠNG 3................................................................................ 45
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 46
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 47
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Ngƣng tụ Bose - Einstein là một trạng thái vật chất của khí boson loãng
bị làm lạnh đến nhiệt độ rất gần độ không tuyệt đối (hay rất gần giá trị 0 K
hay -2730C). Dƣới những điều kiện này, một tỉ lệ lớn các boson tồn tại ở trạng
thái lƣợng tử thấp nhất, tại điểm mà các hiệu ứng lƣợng tử trở nên rõ rệt ở
mức vĩ mô. Những hiệu ứng này đƣợc gọi là hiện tƣợng lƣợng tử mức vĩ mô.
Hiện tƣợng này đƣợc dự đoán bởi Einstein vào năm 1925 cho các nguyên tử
với spin toàn phần có những giá trị nguyên. Dự đoán này dựa trên ý tƣởng về
một phân bố lƣợng tử cho các photon đƣợc đƣa ra bởi Bose trƣớc đó một
năm. Einstein sau đó mở rộng ý tƣởng của Bose cho hệ hạt vật chất và chứng
minh đƣợc rằng khi làm lạnh các nguyên tử boson đến nhiệt độ rất thấp thì hệ
này tích tụ lại (hay ngƣng tụ) trong trạng thái lƣợng tử thấp nhất có thể và tạo
nên trạng thái mới của vật chất.
Năm 1995, trạng thái ngƣng tụ Bose - Einstein đƣợc tạo ra đầu tiên trên
thế giới (BEC - Bose - Einstein condensation) từ những nguyên tử lạnh. Điều
này có ý nghĩa lớn là tạo nên một dạng vật chất mới trong đó các hạt bị giam
chung trong trạng thái ở năng lƣợng thấp nhất, đã mở ra nhiều triển vọng
nghiên cứu trong Vật lý. Chúng ta có thể quan sát đƣợc nhiều hiệu ứng Vật lý
trong trạng thái BEC mà các dạng vật chất khác không có.
Trong một thập niên qua, nhờ sự phát triển hết sức tuyệt vời của các kĩ
thuật dùng trong thực nghiệm để tạo ra khí siêu lạnh ngƣời ta đã tạo ra đƣợc
các BEC hai thành phần từ phân tử khí gồm hai thành phần khí khác nhau.
Những nghiên cứu này đã và đang thu hút đƣợc sự quan tâm của nhiều nhà
Vật lý trên thế giới. Từ đó phát triển đƣợc các phƣơng hƣớng nghiên cứu đầy
triển vọng. Xuất phát từ việc tìm hiểu triển vọng nghiên cứu trạng thái BEC,
tôi lựa chọn đề tài “Sức căng mặt ngoài của ngƣng tụ Bose - Einstein hai
thành phần trong không gian nửa vô hạn” làm đề tài nghiên cứu của mình.
2
2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở lý thuyết về ngƣng tụ Bose - Einstein nghiên cứu sức căng
mặt ngoài của ngƣng tụ Bose - Einstein hai thành phần trong không gian nửa
vô hạn.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu sức căng mặt ngoài của ngƣng tụ Bose - Einstein hai thành
phần trong không gian nửa vô hạn trên cơ sở thống kê Bose - Einstein,
phƣơng trình Gross-Pitaevskii tổng quát.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Các phƣơng trình Gross-Pitaevskii.
- Nghiên cứu sức căng mặt ngoài của ngƣng tụ Bose - Einstein hai thành
phần trong không gian nửa vô hạn.
5. Những đóng góp mới của đề tài
Nghiên cứu sức căng mặt ngoài của ngƣng tụ Bose - Einstein hai
thành phần trong không gian nửa vô hạn có những đóng góp quan trọng
trong Vật lý thống kê và cơ học lƣợng tử nói riêng, trong Vật lý lý thuyết
nói chung.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Sử dụng gần đúng parabol kép.
- Tính số và vẽ hình bằng phần mềm Mathematica.
- Đọc tài liệu liên quan.
- Sử dụng các kiến thức trong Vật lý thống kê, cơ học lƣợng tử và các
phƣơng pháp giải tích toán học.
3
Chƣơng 1
TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN
1.1. Hệ hạt đồng nhất
Chúng ta hãy nghiên cứu một hệ N hạt chuyển động phi tƣơng đối tính.
Trong trƣờng hợp này toán tử Hamilton có thể viết dƣới dạng
N p
ˆ i2
ˆ
ˆ
H
Vˆ r1, r2 ,..., rN W,
i 1 2mi
(1.1)
trong đó Vˆ là toán tử thế năng tƣơng tác giữa các hạt, nó là hàm của tọa độ
của tất cả các hạt, Ŵ là toán tử đặc trƣng cho tƣơng tác spin – quỹ đạo, tƣơng
tác giữa các spin của các hạt và thế năng của trƣờng ngoài…
Phƣơng trình Schrodinger cho trạng thái của hệ có dạng
Hˆ 1,2,..., N , t 0,
i
t
(1.2)
với toán tử Hamilton (1.1) là hàm của thời gian, của tọa độ không gian và spin
của các hạt 1, 2, 3,…, N .
Nếu các hạt có các đặc trƣng nhƣ điện tích, khối lƣợng, spin,…không
phân biệt đƣợc với nhau thì chúng ta có một hệ N hạt đồng nhất. Trong một
hệ nhƣ thế, làm thế nào có thể phân biệt đƣợc hai hạt với nhau? Trong vật lý
học cổ điển đối với trƣờng hợp tƣơng tự ngƣời ta có thể phân biệt các hạt theo
các trạng thái của chúng, nghĩa là nêu ra các tọa độ và xung lƣợng của từng
hạt. Nhƣng biện pháp này không thể áp dụng đƣợc trong cơ học lƣợng tử.
Chẳng hạn hai electron ở thời điểm đầu có thể phân biệt đƣợc bằng cách đặt
chúng ở hai hố thế khác nhau, cách nhau bởi một rào thế, thì do hiệu ứng
đƣờng hầm, theo thời gian, các electron có thể trao đổi các trạng thái cho
nhau và việc phân biệt hai electron với nhau sẽ mất hết ý nghĩa.
Tính không phân biệt đƣợc các hạt đồng nhất theo các trạng thái trong cơ
học lƣợng tử dẫn tới nguyên lý về tính đồng nhất: Trong hệ các hạt đồng nhất
4
chỉ tồn tại những trạng thái không thay đổi khi đổi chỗ các hạt đồng nhất cho
nhau.
Dựa vào tính chất nội tại của các hạt ngƣời ta chia hệ hạt đồng nhất thành
hai nhóm cụ thể là:
+ Hệ fermion: hệ này bao gồm các hạt fermi, đó là các hạt có spin bán nguyên
1 3
( , ,... ); ví dụ nhƣ electron, các nucleon,… Hệ này bị chi phối bởi nguyên
2 2
lý loại trừ Pauli: “Hai fermion cùng loại không bao giờ đƣợc tìm thấy ở tại
cùng một vị trí”. Nguyên lý này đƣợc rút ra từ tính phản đối xứng của hàm
sóng trên các fermion.
+ Hệ boson: hệ này bao gồm các hạt bose, đó là các hạt có spin nguyên; ví dụ
nhƣ photon, - meson, K – meson… Hệ này không bị chi phối bởi nguyên lý
loại trừ Pauli, các boson có thể tìm thấy ở cùng một vị trí.
Do hệ boson tuân theo thống kê Bose – Einstein nên ngƣời ta đã áp dụng
thống kê Bose – Einstein tìm đƣợc tính chất điển hình của boson là ngƣng tụ
Bose – Einstein trong đó nhiều hạt giống nhau đóng vai trò nhƣ nhau nhƣ một
hạt, điều mà các fermion nằm tại các vị trí khác nhau không làm đƣợc.
1.2. Thống kê Bose – Einstein
Đối với các hệ hạt đồng nhất, chúng ta không cần biết cụ thể hạt nào ở
trạng thái nào mà chỉ cần biết trong mỗi trạng thái đơn hạt có bao nhiêu hạt.
Xuất phát từ công thức chính tắc lƣợng tử [2],
Wk
1
Ek
exp
gk ,
N!
(1.3)
trong đó gk là độ suy biến.
Nếu hệ gồm các hạt không tƣơng tác thì ta có
Ek
nl l ,
l 0
(1.4)
5
ở đây, l là năng lƣợng của một hạt riêng lẻ, nl là số chứa đầy tức là số hạt
có cùng năng lƣợng l .
Số hạt trong hệ có thể nhận giá trị từ 0 với xác suất khác nhau. Độ
suy biến gk trong (1.3) sẽ tìm đƣợc bằng cách tính số các trạng thái khác
nhau về phƣơng diện Vật lý ứng với cùng một giá trị Ek đó chính là số mới
vì số hạt trong hệ không phải là bất biến nên tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp thống
kê cổ điển thay thế cho phân bố chính tắc lƣợng tử ta có thể áp dụng phân bố
chính tắc lớn lƣợng tử hay phân bố Gibbs suy rộng.
Phân bố chính tắc lớn lƣợng tử có dạng
W n0 , n1,...
trong đó N
nl ,
1
exp N nl l g k ,
N!
l 0
(1.5)
là thế nhiệt động lớn, là thế hóa.
l 0
Sở dĩ có thừa số
1
xuất hiện trong công thức (1.5) là vì có kể đến tính
N!
đồng nhất của các hạt và tính không phân biệt của các trạng thái mà ta thu
đƣợc do hoán vị các hạt.
Ta kí hiệu
gk
G n0 , n1,....
N!
(1.6)
Khi đó (1.5) đƣợc viết lại nhƣ sau
nl l
l 0
W n0 , n1,... exp
G n0 , n1,... .
(1.7)
Từ đây ta có hai nhận xét về công thức (1.7) nhƣ sau:
Một là vế phải của (1.7) có thể coi là hàm của các nl nên ta có thể đoán
6
nhận công thức đó nhƣ là xác suất để cho có n0 hạt nằm trên mức 0 , nl hạt
nằm trên mức l , nghĩa là, đó là xác suất chứa đầy. Do đó nhờ công thức này
ta có thể tìm đƣợc số hạt trung bình nằm trên các mức năng lƣợng
nl ...nl W n0 , n1,...
n0 n1
nl l
l 0
...nl exp
G n0 , n1,....
n0 n1
(1.8)
Hai là đại lƣợng G n0 , n1,... xuất hiện vì ta kể đến khả năng xuất hiện các
trạng thái Vật lý mới hoán vị (về tọa độ) các hạt. Đối với hệ boson và hệ
fermion, tức là hệ đƣợc mô tả bằng hàm sóng đối xứng và phản đối xứng, thì các
phép hoán vị đều không đƣa đến một trạng thái Vật lý mới nào cả, bởi vì khi đó
hàm sóng của hệ sẽ chỉ hoặc không đổi dấu, hoặc đổi dấu nghĩa là diễn tả cùng
một trạng thái lƣợng tử. Do đó đối với các hạt boson và hạt fermion ta có
G n0 , n1,...
1
.
n0 !n1 !...
(1.9)
Tìm gk
Trong phân bố Maxwell – Boltzmann tất cả các phép hoán vị khả dĩ của
tọa độ của các hạt có cùng một năng lƣợng l . Do đó số tổng cộng các trạng
thái khác nhau về phƣơng diện Vật lý sẽ bằng số hoán vị tổng cộng N ! chia
cho số hoán vị trong các nhóm có cùng năng lƣợng tức là chia cho n0 !n1!...
Khi đó
gk
N!
,
n0 !n1 !...
(1.10)
thay giá trị của gk vào (1.6) ta thu đƣợc (1.9). Để tính trị trung bình của các
số chứa đầy (số hạt trung bình nằm trên mức năng lƣợng khác nhau) ta gắn
7
cho đại lƣợng trong công thức (1.7) chỉ số l , tức là ta sẽ coi hệ ta xét hình
nhƣ không phải chỉ có một thế hóa học mà ta có cả một tập hợp thế hóa
học l . Và cuối phép tính ta cho l .
Tiến hành phép thay thế nhƣ trên ta có thể viết điều kiện chuẩn hóa
nhƣ sau
...W n0 , n1,... exp Z 1,
n0 n1
với
nghĩa là
(1.11)
n
l
l
l
l 0
Z ...exp
G n0 , n1,...,
n0 n1
(1.12)
ln Z .
(1.13)
Khi đó đạo hàm của theo l dựa vào (1.12) và (1.13)
nl l l
1 Z
l 0
...nk .exp
G n0 , n1,....
l
Z l
n0 n1
(1.14)
Nếu trong biểu thức (1.14) ta đặt l thì theo (1.8) vế phải của công
thức (1.14) có nghĩa là giá trị trung bình của số chứa đầy nl tức là ta thu đƣợc
nl
.
l
(1.15)
Đối với hệ hạt Boson, số hạt trên các mức có thể có trị số bất kì (từ
0 ) và G n0 , n1,... 1 do đó theo (1.11) ta có
8
n
l
l
l
l l
l 0
Z ...exp
exp
n0 n1
l 0 n 0
l 0
n
1
,
l l
1 exp
(1.16)
khi đó
ln 1 exp l l .
l 0
(1.17)
Theo (1.15) ta tìm đƣợc phân bố của các số chứa đầy trung bình
nl
1
,
l
exp
1
(1.18)
ta có (1.18) là công thức của thống kê Bose – Einstein. Thế hóa học trong
công thức (1.18) đƣợc xác định từ điều kiện
nl N .
(1.19)
l 0
Đối với khí lí tƣởng, theo công thức của thống kê Bose – Einstein, số hạt
trung bình có năng lƣợng trong khoảng từ d bằng
dn
dN
,
exp
1
(1.20)
trong đó dN là số các mức năng lƣợng trong khoảng d .
Tìm dN
Theo quan điểm lƣợng tử, các hạt Boson chứa trong thể tích V có thể xem
nhƣ các sóng dừng De Broglie. Vì vậy có thể xác định dN bằng cách áp
9
dụng công thức
k 2V
dN k
2 2
dk ,
cho ta số các sóng dừng có chiều dài (mô đun) của véctơ k từ k k dk
dN k
k 2dk
2 2
V.
(1.21)
Theo hệ thức De Broglie giữa xung lƣợng p và véc tơ sóng k
p k,
(1.22)
khi đó (1.21) có thể đƣợc viết dƣới dạng
dN p
p 2dp
2 2
3
V.
(1.23)
p2
Đối với các hạt phi tƣơng đối tính tức là hạt có vận tốc v c thì
2m
suy ra
p 2 2m ,
p 2dp 2m3 d ,
do đó (1.23) có dạng
dN
2m3V
2 2
3
d .
Vì các hạt có thể có các định hƣớng spin khác nhau nên số trạng thái khả
dĩ ứng với cùng một giá trị của spin s của hạt g 2s 1 . Do đó, số các mức
năng lƣợng trong khoảng d là
dN
2m3Vg
2 2
3
d .
(1.24)
Theo (1.20) số hạt trung bình có năng lƣợng trong khoảng d là
10
dn
2m3Vg
2 2
3
d
.
exp
1
(1.25)
Vì số hạt toàn phần là N nên ta có phƣơng trình sau
N dn
0
2m3Vg
2
2 3
0
e
kT
d .
(1.26)
1
Phƣơng trình này về nguyên tắc cho ta xác định thế hóa học . Ta xét
một số tính chất tổng quát của thế hóa học đối với khí Bose lí tƣởng. Đầu
tiên ta chứng minh rằng
0.
(1.27)
Thực vậy, số hạt trung bình dn chỉ có thể là một số dƣơng, do đó, theo
(1.25), điều kiện đó chỉ thỏa mãn khi mẫu số ở (1.25) luôn luôn dƣơng (nghĩa
là khi 0, để cho exp
luôn luôn lớn hơn 1 với mọi giá trị của ).
Tiếp theo chúng ta có thể chứng minh rằng, giảm dần khi nhiệt độ tăng
lên. Thực vậy, áp dụng qui tắc lấy đạo hàm các hàm ẩn vào (1.26) ta có:
N
T
N
T
d
T d
T 0
kT
0
1
e
e kT 1
d
0
d
kT
e
1
kT
0
1
e
11
1
kT 2
0
e kT
e
kT
1
d
2
0
1
T
1
e kT
d
kT
2
0
e kT 1
e kT
e
0
d
.
e
e
1
kT
2
kT
1
kT
2
(1.28)
d
Nhƣng do (1.26) nên 0, do đó biểu thức dƣới dấu tích phân ở vế
phải (1.28) luôn luôn dƣơng với mọi giá trị của , vì vậy
chất 0 và
0 . Từ các tính
T
0 của hàm ta thấy khi nhiệt độ giảm thì tăng (từ giá
T
trị âm tăng đến giá trị lớn hơn “nhƣng vẫn là âm”) và tới nhiệt độ T0 nào đó
sẽ đạt giá trị cực đại bằng không max 0 .
Xác định nhiệt độ T0
Chọn 0 và T T0 . Khi đó phƣơng trình (1.26) trở thành
N dn
0
Đặt x
kT0
N
2m3Vg
2 2
3
0
d .
e kT0 1
suy ra
m3/2Vg
2 2
kT kT0
3 0
dx
x
e
1
0
m3/2Vg kT0
3/2
mkT0 Vg x
e x 1dx
e x 1dx.
2 2 3
3/2
2 2
x
3
0
x
0
(1.29)
12
Mà ta biết
x
e x 1dx 2.31, nên từ (1.29) và 0 kT0 , ta đƣợc
0
2 4
0
1/3 2
N
T0
k 2.31g 2/3 mk V
2/3
.
(1.30)
Đối với tất cả các khí bose quen thuộc thì nhiệt độ đó là rất nhỏ. Chẳng
hạn nhƣ đối với 4He [2], ngay cả với khối lƣợng riêng của chất lỏng Hêli vào
cỡ 120kg/m3 ta đƣợc T0 2,190 K . Tuy nhiên, sự tồn tại nhiệt độ T0 0 có ý
nghĩa rất quan trọng. Để hiểu ý nghĩa của nó ta xét khoảng nhiệt độ 0 T T0 .
Khi giảm nhiệt độ xuống tới T0 thì thế hóa học tăng tới giá trị max 0 ,
mà
0 nên không thể giảm nữa, do đó trong khoảng nhiệt độ
T
0 T T0 thì 0 .
Với nhiệt độ T T0 số hạt có năng lƣợng là
N 0
2m3Vg
2 2
3
0
3/2
mkT Vg x
d
e x 1dx N
2 2 3
(1.31)
0
e kT 1
So sánh (1.29) và (1.31) ta thấy
T
N 0 N
T0
3/2
N T
hay
N T0
3/2
.
Vì số hạt toàn phần trong hệ là không đổi, nên kết quả trên phải đƣợc
đoán nhận Vật lý một cách đặc biệt. Khi T T0 thì N N chỉ ra rằng số hạt
toàn phần N chỉ có một phần số hạt N có thể phân bố theo các mức năng
lƣợng một cách tƣơng ứng với công thức (1.20), tức là
13
dn
d
N
d
.
3
3/2
2.31
0 exp 1
exp 1
m3/2Vg
2
2
(1.32)
Các hạt còn lại N N , cần phải đƣợc phân bố nhƣ thế nào đó khác đi,
chẳng hạn nhƣ tất cả số đó nằm trên mức năng lƣợng thấp nhất, nghĩa là chúng
hình nhƣ nằm ở một pha khác mà ngƣời ta quy ƣớc gọi là pha ngưng tụ.
Nhƣ vậy ở các nhiệt độ thấp hơn T0 , một phần các hạt của khí bose sẽ
nằm ở mức năng lƣợng thấp nhất (năng lƣợng không) và các hạt còn lại sẽ
1
đƣợc phân bố trên các mức khác theo định luật /
. Hiện tƣợng mà ta
e 1
vừa mô tả, trong đó một số hạt của khí bose chuyển xuống mức “năng lƣợng
không” và hai phần của khí bose phân bố khác nhau theo năng lƣợng đƣợc gọi
là sự ngưng tụ Bose. Ở nhiệt độ không tuyệt đối ( T 0 ) tất cả các hạt bose sẽ
nằm ở mức không.
1.3. Tình hình nghiên cứu về ngƣng tụ Bose – Einstein
Ngƣng tụ Bose – Einstein là một trạng thái vật chất của khí boson loãng bị
làm lạnh đến nhiệt độ rất gần độ không tuyệt đối (hay rất gần giá trị 0 K hay 2730C). Dƣới những điều kiện này, một tỉ lệ lớn các boson tồn tại ở trạng thái
lƣợng tử thấp nhất, tại điểm mà các hiệu ứng lƣợng tử trở lên rõ rệt ở mức vĩ
mô. Những hiệu ứng này đƣợc gọi là hiện tƣợng lƣợng tử mức vĩ mô. Hiện
tƣợng này đƣợc dự đoán bởi Einstein vào năm 1925 cho các nguyên tử với
spin toàn phần có những giá trị nguyên. Dự đoán này dựa trên ý tƣởng về một
phân bố lƣợng tử cho các photon đƣợc đƣa ra bởi Bose trƣớc đó một năm để
giải thích phổ phát xạ và hấp thụ của các vật đen tuyệt đối. Einstein sau đó
mở rộng ý tƣởng của Bose cho hệ hạt vật chất. Những nỗ lực của Bose và
Einstein cho kết quả về khái niệm khí bose trong khuôn khổ lý thuyết thống
kê Bose – Einstein, miêu tả phân bố thống kê của những hạt đồng nhất với
14
spin nguyên, mà sau này Paul Dirac gọi là các boson. Các hạt boson bao gồm
photon cũng nhƣ các nguyên tử Heli-4 đƣợc phép tồn tại ở cùng trạng thái
lƣợng tử nhƣ nhau. Einstein chứng minh rằng khi làm lạnh các nguyên tử
boson đến nhiệt độ rất thấp thì hệ này tích tụ lại (hay ngƣng tụ) trong trạng
thái lƣợng tử thấp nhất có thể và tạo lên trạng thái mới của vật chất.
Cho đến nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã đƣợc làm
cho ngƣng tụ. Mƣời trong số những ngƣng tụ này đã đƣợc tạo ra bởi mƣời
nhóm nghiên cứu quốc tế khác nhau [4].
Năm 1938, Fritz London đề xuất trạng thái BEC nhƣ là một cơ chế giải
thích cho tính siêu chảy của 4He cũng nhƣ tính siêu dẫn ở nhiệt độ thấp của
một số vật liệu.
Năm 1995, khí ngƣng tụ đầu tiên đã đƣợc tạo ra bởi nhóm của Eric
Cornell và Carl Wieman ở phòng thí nghiệm JILA thuộc Viện Công nghệ Tiêu
chuẩn Quốc gia (NIST) tại Đại học Colorada ở Boulder, khi họ làm lạnh khí
nguyên tử Rubidi đến nhiệt độ 170 nanokelvin (nk). Cũng trong thời gian này,
Wolfgang Ketterle ở Học viện Công nghệ Massachusetts tạo ra đƣợc ngƣng tụ
Bose – Einstein đối với nguyên tử Natri và duy trì đƣợc hệ 2000 nguyên tử này
trong thời gian lâu cho phép nghiên cứu những tính chất của hệ. Vì vậy mà
Cornell, Wieman, Ketterle đƣợc nhận giải Nobel Vật lý năm 2001.
Các hạt trong Vật lý đƣợc chia ra làm hai lớp cơ bản: lớp các boson và
lớp các fermion. Boson là những hạt với “spin nguyên” (0, 1, 2,...), fermion là
các hạt với “spin bán nguyên” (1/2, 3/2,...). Các hạt boson tuân theo thống kê
Bose – Einstein, còn các hạt fermion tuân theo thống kê Fermi – Dirac. Ngoài
ra các hạt fermion còn tuân theo nguyên lí ngoại trừ Pauli, “hai hạt fermion
không thể cùng tồn tại trên một trạng thái lƣợng tử”.
Ở nhiệt độ phòng khí boson và khí fermi đều phản ứng rất giống nhau,
giống hạt cổ điển tuân thủ theo gần đúng thống kê Maxwell - Boltzman (bởi
cả thống kê Bose – Einstein và thống kê Fermi – Dirac đều tiệm cận đến
15
thống kê Maxwell - Boltzman). Có thể khẳng định rằng ở nhiệt độ thấp khí
bose có tính chất khác hẳn khí fermi (chẳng hạn nhƣ khí điện tử tự do trong
kim loại). Thật vậy, vì các hạt boson không chịu sự chi phối của nguyên lý
cấm Pauli nên ở nhiệt độ không tuyệt đối tất cả các hạt đều có năng lƣợng
0 , do đó trạng thái cơ bản của tất cả chất khí là trạng thái có E 0 . Còn
đối với khí fermi thì khác, ở nhiệt độ T 00 K các hạt lần lƣợt chiếm các
trạng thái có năng lƣợng từ 0 đến mức fermi, do đó năng lƣợng của cả hệ khác
không ( E 0 ).
Việc áp dụng thống kê Bose – Einstein vào hệ hạt có spin nguyên hay
spin bằng không (ví dụ nhƣ các photon, các mezon, các nguyên tử trong đó
các electron và nucleon là chẵn, …) đƣợc gọi là các hạt boson hay khí bose.
Hình 1.1: Trạng thái ngƣng tụ Bose-Einstein của các boson, trong trƣờng hợp này là các
nguyên tử Rubidi. Hình vẽ là phân bố tốc độ chuyển động của các nguyên tử theo từng vị
trí. Màu đỏ chỉ nguyên tử chuyển động nhanh, màu xanh và trắng chỉ nguyên tử chuyển
động chậm. Bên trái là trƣớc khi xuất hiện ngƣng tụ Bose – Einstein. Ở giữa là ngay sau
khi ngƣng tụ. Bên phải là trạng thái ngƣng tụ xuất hiện rõ hơn. Ở trạng thái ngƣng tụ, rất
nhiều nguyên tử có cùng vận tốc và vị trí (cùng trạng thái lƣợng tử) nằm ở đỉnh màu trắng.
(Ảnh: Wikipedia)
Ngƣng tụ Bose – Einstein theo quan điểm vĩ mô là tập hợp các hạt có spin
nguyên (các boson) trong trạng thái cơ bản tại nhiệt độ thấp và mật độ cao, đã
- Xem thêm -