Tài liệu Sự tồn tại nghiệm và các tính chất của nghiệm của một số phương trình tích phân hàm phi tuyến (tóm tắt)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM HỒNG DANH SỰ TỒN TẠI NGHIỆM VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN HÀM PHI TUYẾN Ngành: Mã số chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH 62 46 01 02 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2017 Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh Người hướng dẫn khoa học PGS. TS. LÊ THỊ PHƯƠNG NGỌC Trường Đại học Khánh Hòa Phản biện 1: PGS. TS. Nguyễn Bích Huy Phản biện 2: TS. Nguyễn Minh Quân Phản biện 3: TS. Đào Nguyên Anh Phản biện độc lập 1: PGS. TS. Nguyễn Đình Huy Phản biện độc lập 2: PGS. TS. Mai Đức Thành Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp cơ sở đào tạo họp tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh vào lúc giờ tháng năm 2017 Có thể tìm luận án trên tại các thư viện: Thư viện Khoa học Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh Mở đầu Phương trình tích phân phi tuyến nói chung và phương trình tích phân hàm phi tuyến nói riêng là một trong những chủ đề rất được quan tâm trong lĩnh vực giải tích phi tuyến. Kể từ công trình đầu tiên của Volterra đến nay, các phương trình tích phân đã thu hút sự quan tâm của các nhà khoa học không chỉ vì toán học thuần tuý mà còn vì nhiều ứng dụng của chúng trong các lĩnh vực khác nhau của khoa học và công nghệ. Lý thuyết về các phương trình tích phân đang phát triển nhanh nhờ các công cụ của giải tích phi tuyến, đặc biệt, lý thuyết topo và lý thuyết điểm bất động là những công cụ mạnh để chứng minh sự tồn tại nghiệm của các phương trình. Trong các công trình thuộc loại này, các định lý như định lý điểm bất động Banach (1922), định lý điểm bất động Schauder (1930), định lý điểm bất động Krasnoselskii (1955) và các định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii, nguyên lý loại trừ phi tuyến của Leray-Schauder (1932), ... thường được áp dụng để xem xét tính giải được của các phương trình tích phân, trên cơ sở đó, khảo sát một số tính chất có thể có của nghiệm. Các phương trình có liên quan đến phương trình tích phân như phương trình vi tích phân cũng đã thu hút sự quan tâm của các nhà khoa học không chỉ vì vai trò quan trọng của chúng trong các lãnh vực giải tích hàm mà còn vì vai trò quan trọng của chúng trong nhiều ứng dụng, chẳng hạn, cơ học, vật lý, dân số, kinh tế và các lĩnh vực của khoa học khác, có thể xem các cuốn sách được viết bởi Corduneanu [Integral equations and applications, Cambridge University Press, New York, 1991], Deimling [Nonlinear Functional Analysis, Springer Verlag, 1985]. Nhìn chung, các kết quả về sự tồn tại nghiệm của các phương trình vi tích phân theo một biến hoặc hai biến, ba biến, ..., đã thu được nhờ vào các phương pháp cơ bản, trong đó các định lý điểm bất động thường được áp dụng. Nghiên cứu sâu hơn về phương trình tích phân hàm phi tuyến và các phương trình có liên quan như phương trình vi tích phân, chúng ta có thể thấy rằng, chúng có rất nhiều dạng, hoặc đã giải được hoặc chưa giải được, và hiển nhiên rằng ứng với mỗi dạng phải tìm kiếm phương pháp giải thích hợp. Sau đây là bốn dạng phương trình mà chúng tôi quan tâm nghiên cứu trong thời gian gần đây và đã đạt được một số kết quả về sự tồn tại nghiệm và tính chất của nghiệm. - Dạng 1. Hệ các phương trình tích phân hàm phi tuyến, có dạng cụ thể như sau n f i ( x ) = ∑m k =1 ∑ j=1 εaijk Ψ x, f j ( Rijk ( x )), Z X (x) ijk 0 f j (t)dt + bijk f j (Sijk ( x )) + gi ( x ), (1) với i = 1, ..., n, x 2 Ω = [ b, b], trong đó aijk , bijk là các hằng số thực cho trước; Rijk , Sijk , Xijk : Ω ! Ω, gi : Ω ! R, Ψ : Ω R2 ! R là các hàm liên tục cho trước và f i : Ω ! R là các ẩn hàm, ε là một tham số bé. Hệ này có nguồn gốc từ dạng phương trình hàm f ( x ) = a ( x, f (S( x ))) , trong không gian các hàm liên tục có biến phân bị chặn trên một đoạn bị chặn, đã được nghiên cứu trong [T. Kostrzewski, Demonstratio Math. 26 (1993) 61 - 74; Demonstratio Math. 26 (1993) 275 - 285], [M. Lupa, Demonstratio Math. 26 (1993) 137 - 147]. Trong [N. T. Long, N. H. Nghia, N. K. Khoi, D. V. Ruy, Demonstratio Math. 31 (1998) 313 - 324], Long và cộng sự đã nghiên cứu một trường hợp đặc biệt của (1), ứng với Ψ 0. Trong [C. Q. Wu, Q. W. Xuan, D. Y. Zhu, South-East Asian Bull. Math. 15 (1991) 109 - 115], Wu và cộng sự đã nghiên cứu hệ (1) ứng với m = n = 2, Ψ 0 và Sijk là các nhị thức bậc nhất, tức là nghiên cứu hệ sau đây f 1 ( x ) = a11 f 1 (b11 x + c11 ) + a12 f 2 (b12 x + c12 ) + a13 f 1 (b13 x + c13 ) + g1 ( x ), (2) f 2 ( x ) = a21 f 1 (b21 x + c21 ) + a22 f 2 (b22 x + c22 ) + a23 f 2 (b23 x + c23 ) + g2 ( x ), 8 x 2 Ω = [ b, b], ở đây aij , bij , cij , b là các hằng số cho trước thỏa các điều kiện jc j bij < 1, max ij b, max ∑3j=1 aij < 1, (3) i,j 1 jbij j 1 i 2 1 các hàm số g1 , g2 liên tục cho trước, và f 1 , f 2 các ẩn hàm. Nghiệm của hệ (2) cũng được xấp xỉ bởi một dãy qui nạp hội tụ đều và ổn định đối với các hàm g1 , g2 . Trong [N. T. Long, Demonstratio Math. 37 (1) (2004) 123 - 132; Demonstratio Math. 37 (2) (2004) 349 - 362], một trường hợp đặc biệt của (1) với Ω là một khoảng bị chặn hoặc không bị chặn trong R đã được nghiên cứu. Áp dụng định lý điểm bất động Banach, sự tồn tại duy nhất và tính ổn định nghiệm của hệ (1) đối với các hàm gi được chứng minh. Trường hợp Ψ( x, y, z) = y và Rijk , Sijk là các nhị thức bậc nhất, g 2 Cr (Ω; Rn ), hệ (1) có một khai triển Maclaurin của nghiệm đến cấp r. Hơn nữa, nếu gi là đa thức bậc r thì nghiệm của hệ (1) cũng là một đa thức bậc r; còn nếu gi là các hàm liên tục thì nghiệm của hệ được xấp xỉ bởi một dãy các đa thức hội tụ đều. Trường hợp Ψ( x, y, z) = z và có ít nhất một aijk 6= 0, Sijk ( x ), Xijk ( x ) là các nhị thức bậc nhất thì dù cho gi ( x ) là đa thức bậc r, nghiệm của hệ (1) cũng không nhất thiết là một đa thức. Trường hợp này, nghiệm của hệ (1) được xấp xỉ bởi một dãy các đa thức hội tụ đều. Với Ω là miền nhiều chiều, trong [N. T. Long, N. H. Nghia, Z. Anal. Anw. 19 (2000) 1017 - 1034], hệ (1) cũng được xem xét với dạng đặc biệt sau đây n f i ( x ) = ∑m k =1 ∑ j=1 aijk x, f j ( Sijk ( x )) + gi ( x ), i = 1, ..., n, x 2 Ω Rp. (4) Cũng sử dụng nguyên lý ánh xạ co, các tác giả đã thiết lập sự tồn tại, tính duy nhất và sự ổn định của nghiệm của (4) đối với các hàm gi . Hơn nữa, sự hội tụ bậc hai và khai triển tiệm cận nghiệm cũng được khảo sát. Từ các công trình nêu trên, chúng tôi tiếp tục khảo sát phương trình tích phân hàm phi tuyến (1) với ba nội dung chính. Một là, tiếp tục sử dụng định lý điểm bất động Banach để tìm điều kiện đủ cho sự tồn tại duy nhất và ổn định của nghiệm của (1). Hai là, trong trường hợp Ψ 2 C2 (Ω R2 ; R), khảo sát sự hội tụ bậc hai của (1). Ba là, trong trường hợp Ψ 2 C N (Ω R2 ; R) và ε đủ nhỏ, thiết lập một khai triển tiệm cận của nghiệm cho (1) đến cấp N + 1 theo ε. Một số ví dụ minh họa cũng đã được trình bày. Cuối chương luận án trình bày một chú ý về một phương trình tích phân hàm phi tuyến nhận giá trị trong không gian Banach cùng với các ví dụ minh họa. - Dạng 2. Phương trình tích phân hàm phi tuyến một chiều có biến trễ nhận giá trị trong không gian Banach tổng quát, có dạng cụ thể như sau x (t) = V t, x (t), Z µ (t) 1 0 V1 t, s, x (σ1 (s)), + Z ∞ 0 Z µ (s) 2 0 V2 (s, r, x (σ2 (r ))) dr ds (5) F (t, s, x (χ1 (s)), ..., x (χq (s)))ds, t 2 R+ , trong đó E là không gian Banach, các hàm số µi , σi , χ1 , ..., χq 2 C (R+ ; R+ ) có tính chất 0 µi (t) t; 0 σi (t) t; 0 χ j (t) t, i = 1, 2, j = 1, ..., q, và các hàm V : R+ E2 ! E; V1 : ∆µ1 E2 ! E; V2 : ∆µ2 E ! E; F : R2+ Eq ! E là liên tục, ở đây ∆µi = f(t, s) 2 R2+ : s µi (t)g. Dạng phương trình này đã được nhiều tác giả nghiên cứu bằng phương pháp điểm bất động. Áp dụng một định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii và với các giả thiết thích hợp, Dhage và Ntouyas [B. C. Dhage, S. K. Ntouyas, Nonlinear Studies 9 (2002) 307 – 317], Purnaras [I. K. Purnaras, E. J. Qualitative Theory of Diff. Equ., No. 17 (2006), pp. 1-24] đã thu được một số kết quả về sự tồn tại nghiệm cho các phương trình tích phân hàm phi tuyến x (t) = Q(t) + Z µ(t) 0 k (t, s) f (s, x (θ (s)))ds + Z σ(t) 0 v(t, s) g(s, x (η (s)))ds, (6) 0 t 1, trong đó E = R, 0 µ(t) t; 0 σ(t) t; 0 θ (t) t; 0 η (t) t, với mọi t 2 [0, 1]. Một số phương trình tổng quát hơn (6) cũng đã được nghiên cứu trong [I. K. Purnaras, E. J. Qualitative Theory of Diff. Equ., No. 17 (2006), pp. 1-24]. 2 Với kỹ thuật này, Purnaras cũng thu được kết quả tồn tại cho phương trình sau Z µ(t) x (t) = q(t) + + Z λ(t) β(t) α(t) k (t, s) f (s, x (θ (s)))ds b k (t, s) F s, x (ν(s)), Z σ(s) 0 (7) k0 (s, v, x (η (v)))dv ds, t 2 [0, 1]. Gần đây, sử dụng kỹ thuật của độ đo phi compact và định lý điểm bất động Darbo, Z. Liu và các cộng sự trong [Zeqing Liu, Shin Min Kang, Jeong Sheok Ume, Applied Mathematics Letters, 24 (6) (2011) 911-917] đã chứng minh sự tồn tại nghiệm và nghiệm ổn định tiệm cận của phương trình x (t) = f t, x (t), Z t 0 u(t, s, x ( a(s)), x (b(s))) ds , t 2 R+ . Trong [C. Avramescu, C. Vladimirescu, Electronic J. Qualitative Theory of Diff. Equat. 25 (2005) 1 - 6], sử dụng một định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii, Avramescu và Vladimirescu đã chứng minh sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận cho phương trình Z t x (t) = q(t) + 0 K (t, s, x (s))ds + Z ∞ 0 G (t, s, x (s))ds, t 2 R+ , trong đó các hàm q, K, G là các hàm cho trước, nhận giá trị trong E = R p , liên tục và thỏa các điều kiện phù hợp. Trong trường hợp E là không gian Banach tùy ý, sự tồn tại của nghiệm ổn định tiệm cận của phương trình x (t) = q(t) + f (t, x (t)) + + Z ∞ 0 G t, s, x (s), Z t 0 V t, s, x (s), Z s 0 Z s 0 V1 (t, s, r, x (r )) dr ds G1 (t, s, r, x (r )) dr ds, t 2 R+ , đã được chứng minh trong [L. T. P. Ngoc, N. T. Long, Nonlinear Anal. TMA. 74 (18) (2011) 7111 - 7125], bằng cách xây dựng một không gian Fréchet dựa trên khái niệm nửa chuẩn và sử dụng một định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii trong không gian Fréchet. Tiếp nối và kế thừa các kỹ thuật trong các công trình vừa đề cập, sử dụng các công cụ thích hợp của giải tích hàm, chúng tôi chỉ ra các điều kiện đủ để thu được sự tồn tại nghiệm và sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của (5). Hơn thế nữa, tính compact của tập nghiệm cũng được chứng minh. Chúng tôi tìm được một số ví dụ minh hoạ cho các kết quả đạt được. - Dạng 3. Phương trình tích phân hàm phi tuyến nhiều chiều nhận giá trị trong không gian Banach tổng quát, với dạng như sau u( x ) = V + Z x, u( x ), N R+ Z Bx V1 x, y, u(σ1 (y)), ..., u(σ p (y)) dy N, F x, y, u(χ1 (y)), ...., u(χq (y)) dy, x 2 R+ (8) N = f( x , ..., x ) 2 R N : x trong đó R+ 0, ..., x N 0g, Bx = [0, x1 ] ... [0, x N ], các hàm N 1 1 N ! R N là liên tục với tính chất σ ( x ), ..., σ ( x ) 2 B , 8 x 2 R N ; và σ1 , ..., σ p , χ1 , ..., χq : R+ p x 1 + + N các hàm V : R+ E2 ! E; V1 : ∆ E p ! E; F : R2N Eq ! E được giả sử liên tục, ở đây + N N : y 2 B g và E là không gian Banach. ∆ = f( x, y) 2 R+ R+ x Dạng phương trình tích phân này được quan tâm nghiên cứu bởi tầm quan trọng trong toán học và bởi các ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của khoa học và công nghệ, trong kỹ thuật, cơ khí, vật lý, kinh tế, ...Xem Corduneanu [Integral equations and applications, Cambridge University Press, New York, 1991], Deimling [Nonlinear Functional Analysis, Springer Verlag, 1985]. Sau đây là một ví dụ, trong Corduneanu [Integral equations and applications, Cambridge University Press, New York, 1991], phương trình tích phân dưới đây mô tả mô hình toán học của quá trình đông máu 3 1 2 f (t, x ) = f 0 ( x ) + Z tZ x 0 0 φ( x y, y) f (s, x y) f (s, y)dyds Z tZ ∞ 0 0 f (s, x )φ( x, y) f (s, y)dyds. Trong [M. M. El-Borai, M. A. Abdou, M. M. El-Kojok, J. Korea Soc. Math. Educ., Ser. B, Pure Appl. Math. 15 (1) (2008) 1 - 17], El-Borai và các cộng sự đã xét phương trình tích phân phi tuyến Volterra-Hammerstein trong miền n chiều có dạng µφ( x, t) = f ( x, t) + λ Z tZ 0 Ω F (t, τ )K ( x, y)γ (τ, y, φ(y, τ )) dydτ, trong đó x = ( x1 , ..., xn ), y = (y1 , ..., yn ); µ, λ là hằng số. Sau đó, trong [M. A. Abdou, A. A. Badr, M. M. El-Kojok, Applied Mathematics and Computation, 217 (12) (2011) 5466 - 5475], M.A. Abdou và các cộng sự đã khảo sát phương trình tích phân phi tuyến dưới đây trong miền n chiều Z Z Z t µφ( x, t) = λ k ( x, y)γ (t, y, φ(y, t)) dy + λ ΩZ +λ t 0 0 Ω G (t, τ )k ( x, y)γ (τ, y, φ(y, τ )) dydτ F (t, τ )φ( x, τ )dτ + f ( x, t), ở đây x = ( x1 , ..., xn ), y = (y1 , ..., yn ). Sử dụng định lý điểm bất động Banach, sự tồn tại duy nhất nghiệm của các phương trình này được chứng minh. Gần đây trong [L. T. P. Ngoc, N. T. Long, Acta Mathematica Scientia, 33B (2) (2013) 484 - 494], phương trình tích phân Z Z y x u( x, y) = q( x, y) + f ( x, y, u( x, y)) + + Z ∞Z ∞ 0 0 0 0 V ( x, y, s, t, u(s, t)) dsdt F ( x, y, s, t, u(s, t)) dsdt, ( x, y) 2 R2+ , đã được khảo sát, và sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của phương trình đã được chứng minh. Vận dụng các kỹ thuật này, cùng với việc lựa chọn các công cụ thích hợp của giải tích hàm, chúng tôi thu được các kết quả tương tự cho phương trình (8) là: Sự tồn tại nghiệm, sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận, tính compact của tập nghiệm. Các ví dụ minh họa các kết quả cũng được chỉ ra. - Dạng 4. Phương trình vi tích phân phi tuyến hai chiều nhận giá trị thực, có dạng như sau Z Z 1 u( x, y) = g( x, y) + 0 1 0 K ( x, y, s, t, u(s, t), D1m u(s, t))dsdt, (9) hoặc có dạng tổng quát hơn u( x, y) = g( x, y) + Z 1Z 1 0 0 K ( x, y, s, t, u(s, t), D1m u(s, t), D2n u(s, t))dsdt, (10) với nọi ( x, y) 2 Ω = [0, 1] [0, 1], trong đó g : Ω ! R, K : Ω Ω ! R hay K : m n Ω Ω R3 ! R là các hàm số cho trước. Các ký hiệu D1m u = ∂∂xmu , D2n u = ∂∂yun , để chỉ các R2 đạo hàm riêng cấp m 1, n 1 của một hàm u( x, y) xác định trên Ω, lần lượt đối với biến thứ nhất và biến thứ hai. Trong [N. Lungu, I. A. Rus, Journal of Mathematical Inequalities, 3 (4) (2009) 519 - 527], áp dụng lý thuyết toán tử Picard kết hợp vận dụng định lý điểm bất động Banach, Lungu và Rus đã chứng minh sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm, các bất đẳng thức tích phân liên quan đến nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào các dữ liệu của phương trình tích phân hàm Volterra-Fredholm, theo hai Zbiến Z trong không gian Banach, có dạng x u( x, y) = g( x, y, h(u)( x, y)) + 0 y 0 K ( x, y, s, t, u(s, t)) dsdt, ( x, y) 2 R2+ . Trong [B. G. Pachpatte, J. Inequal. Pure and Appl. Math. 10 (4) (2009), Art. 108, 10 pp], dựa trên ứng dụng của định lý điểm bất động Banach và các bất đẳng thức tích phân với 4 các đánh giá tường minh, BG Pachpatte đã nghiên cứu một số tính chất cơ bản của nghiệm phương trình tích phân Fredholm theo hai biến như sau u( x, y) = f ( x, y) + Z aZ b 0 0 g ( x, y, s, t, u(s, t), D1 u(s, t), D2 u(s, t)) dtds. M. A. Abdou và các cộng sự cũng đã xét sự tồn tại của nghiệm khả tích của phương trình tích phân phi tuyến, kiểu Hammerstein - Volterra loại hai, bằng cách sử dụng các kỹ thuật của độ đo phi compact yếu và định lý điểm bất động Schauder, xem [M. A. Abdou, A. A. Badr, M. M. El-Kojok, Applied Mathematics and Computation, 217 (12) (2011) 5466 - 5475]. Trong [Monica Lauran, Miskolc Mathematical Notes, 13 (1) (2012) 67-74], M. Lauran thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại của nghiệm của phương trình tích phân kiểu Volterra bằng cách sử dụng các khái niệm của toán tử không giãn (nonexpansive operator), nguyên lý ánh xạ co và định lý điểm bất động Schaefer. Bằng cách sử dụng định lý điểm bất động Perov, trong [A. Aghajani, E. Pourhadi, M. Rivero, J. Trujillo, Mathematica Slovaca (2014), Apr. (In Press)], A. Aghajani và các cộng sự đã chứng minh một số kết quả về sự tồn tại, duy nhất và đánh giá nghiệm của phương trình vi tích phân kiểu Fredholm theo hai biến. Gần đây, trong [L. T. P. Ngoc, N. T. Long, Nonlinear Anal. TMA. 74 (11) (2011) 3769 3774; Acta Mathematica Scientia, 33B (2) (2013) 484 - 494; Mathematische Nachrichten, 288 (5-6) (2015) 633-647], sử dụng các công cụ của giải tích hàm và một định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii, các tác giả đã khảo sát tính giải được và sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của phương trình tích phân hàm phi tuyến theo một biến hoặc hai biến, hoặc N biến. Từ các công trình được đề cập ở trên và sự gợi ý từ các kết quả trong [B. G. Pachpatte, Differential Equations & Applications, 1 (1) (2009) 27 - 39; J. Inequal. Pure and Appl. Math. 10 (4) (2009), Art. 108, 10 pp; Tamkang J. of Math. 39 (1) (2008) 85 - 94], chúng tôi thấy rằng định lý điểm bất động Banach, định lý điểm bất động Schauder kết hợp với các công cụ của giải tích hàm có thể được áp dụng để thu được kết quả tồn tại và một số tính chất của nghiệm của (9) hoặc (10). Trong quá trình chứng minh, việc xây dựng các không gian Banach ( Xm , k k Xm ), ( Xm,n , k k Xm,n ) sau đây cùng với việc tìm ra các tiêu chuẩn nhận biết một tập con của chúng là tập compact tương đối là rất hữu ích Xm = fu 2 X = C (Ω; R) : D1k u 2 X, k = 1, 2, ..., mg, D1k u( x, y) , u 2 Xm , ứng với (9); kuk Xm = sup ju( x, y)j + ∑m k =1 sup ( x,y)2Ω ( x,y)2Ω j Xm,n = fu 2 X = C (Ω; R) : D1i u, D2 u 2 X, i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., ng, kuk Xm,n = sup ju( x, y)j + ∑im=1 sup D1i u( x, y) ( x,y)2Ω + ∑nj=1 sup ( x,y)2Ω ( x,y)2Ω j D2 u( x, y) , u 2 Xm,n , ứng với (10). Theo hiểu biết của chúng tôi, những kỹ thuật này chưa được sử dụng trước đó. Toàn bộ các kết quả đạt được ứng với 4 dạng phương trình nêu trên là mới và được trình bày trong bốn chương 1, 2, 3 và 4 của luận án, với cấu trúc và tên gọi các chương như sau. Chương 1. Hệ phương trình tích phân hàm phi tuyến Chương 1 xét hệ các phương trình tích phân hàm phi tuyến (1). Chương này sẽ gồm bốn mục. Trong mục 1, bằng cách sử dụng định lý điểm bất động Banach, chúng tôi tìm điều kiện đủ cho sự tồn tại duy nhất và ổn định của nghiệm của (1). Trong trường hợp Ψ 2 C2 (Ω R2 ; R), mục 2 khảo sát sự hội tụ bậc hai của (1). Trong trường hợp Ψ 2 C N (Ω R2 ; R) và ε đủ nhỏ, mục 3 thiết lập một khai triển tiệm cận của nghiệm của (1) đến cấp N + 1 theo ε. Mục 4 trình bày các ví dụ minh họa. Kết quả thu được ở đây là một tổng quát hoá tương đối các kết quả trước đó và đã được công bố trong [D1]. Ngoài ra, luận án đưa ra một chú ý về một phương 5 trình tích phân hàm phi tuyến nhận giá trị trong không gian Banach E, từ đó với E = R N , ta thu được sự tồn tại duy nhất nghiệm tương ứng trong không gian Fréchet C (R+ ; R N ). Kết quả thu được ở đây đã được công bố trong [D4]. Chương 2. Phương trình tích phân hàm phi tuyến có biến trễ nhận giá trị trong không gian Banach. Chương 2 xét phương trình tích phân hàm phi tuyến có biến trễ (5). Chương này sẽ gồm bốn mục. Trong mục 1, trình bày sự tồn tại nghiệm. Mục 2 trình bày sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận. Mục 3 trình bày tính compact của tập nghiệm. Mục 4 trình bày các ví dụ minh họa. Kết quả thu được ở đây đã được công bố trong [D2]. Chương 3. Phương trình tích phân hàm phi tuyến nhiều biến nhận giá trị trong không gian Banach Chương 3 xét phương trình tích phân hàm phi tuyến (8). Chương này cũng sẽ gồm bốn mục, với nội dung các mục như chương 2, nhưng với sự cải tiến các phương pháp và các kỹ thuật đã sử dụng trong chương 2 cho miền nhiều chiều. Kết quả thu được đã được công bố trong [D3]. Chương 4. Phương trình vi tích phân hàm phi tuyến hai biến nhận giá trị thực Chương 4 xét các phương trình vi tích phân phi tuyến hai chiều nhận giá trị thực, có các dạng (9) và (10). Chương này gồm bốn mục. Sự tồn tại của nghiệm cho (9) trong trường hợp m = 1, hoặc m 2 sẽ được trình bày trong mục 1, 2. Sự tồn tại của nghiệm cho (10) trong trường hợp m 1 và n 1 sẽ được trình bày trong mục 3. Sự duy nhất nghiệm hay tính compact của tập các nghiệm cũng được nêu trong mục này. Mục 4 trình bày hai ví dụ minh họa. Kết quả thu được ở đây được công bố trong [D5]. Tóm lại, nội dung chính của luận án là nới rộng và kế thừa các kết quả trước đó và đã được công bố trong [D1] - [D5]. Nội dung của luận án cũng đã được báo cáo một phần trong các hội nghị các cấp. Để nhận được các kết quả trong luận án này, các công cụ của giải tích hàm phi tuyến đã được áp dụng. Ngoài các khái niệm và tính chất cần thiết đặc thù cho mỗi dạng bài toán sẽ được nêu rõ trong mỗi chương, để tiện theo dõi, sau đây chúng tôi nhắc lại không gian Fréchet N ; E ) được sử dụng trong hai chương 2 và 3 của luận án và các định lý quan trọng được C (R+ sử dụng trong toàn bộ luận án. N ; E ). Không gian Fréchet C (R+ Ta biết rằng các không gian các hàm liên tục trên một tập không compact không thể có cấu trúc của một không gian Banach, nhưng nó có thể được xây dựng để thành một không gian Fréchet nếu chúng ta sử dụng họ đếm được các nửa chuẩn phù hợp và xác định một mêtric tương ứng [xem [C. Avramescu, E. J. Qualitative Theory of Diff. Equ., No. 5 (2003) 1 15]; [C. Avramescu, EJDE. 126 (2005) 1 - 10]); K. Yosida, Functional Analysis, Springer-Verlag, New York Berlin, Göttingen Heidelberg, Vol. 123, 1965, p.32, p.52]. N ; E ) là không gian của tất cả các Cho ( E, j j) là một không gian Banach. Cho X = C (R+ N hàm liên tục từ R+ vào E đối với một họ đếm được các nửa chuẩn jujn = sup ju( x )j , n 2 N, u 2 X. Khi đó X là không gian đầy đủ theo mêtric d(u, v) = ∑ x 2[0,n] N ∞ ju vjn n 2 1+ju vj , u, v n =1 n 2 X, và X là một không gian Fréchet. Điều này có nghĩa là mọi dãy Cauchy fuk g trong X hội tụ về một điểm của X. Chi tiết của chứng minh có thể được tìm thấy ở Phụ lục trong [L. T. P. Ngoc, N. T. Long, Differential Equations & Applications, 4 (2) (2012) 233 - 255]. Các định lý điểm bất động quan trọng thường sử dụng 1. Định lý 0.1. (Định lý điểm bất động Banach [K. Goebel, W. A. Kirk, Topics in metric fixed point theory, Cambridge University Press, New York, 1990], Nguyên lý ánh xạ co của Banach). 6 Cho ( M, d) là không gian metric đầy đủ và T : M ! M là ánh xạ co, nghĩa là, tồn tại k 2 [0, 1) sao cho d( Tx, Ty) kd( x, y), 8 x, y 2 M. Khi đó T có duy nhất một điểm bất động x 2 M. Hơn nữa với mỗi x0 2 M cho trước, dãy lặp f T n x0 g hội tụ về x . 2. Định lý 0.2. (Định lý Schauder [M. A. Krasnosel’skii, P. P. Zabreiko, Geometrical Methods of Nonlinear Analysis, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York Tokyo, 1984]). Cho K là tập con khác rỗng, lồi, đóng của không gian Banach E và T : K ! K là ánh xạ liên tục sao cho bao đóng của T (K ) là tập compact. Khi đó T có ít nhất một điểm bất động. 3. Định lý 0.3. (Định lý điểm bất động Krasnosel’skii trong không gian Banach [E. Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and its Applications, Part I, Springer-Verlag, New York Berlin Heidelberg Tokyo, 1986]). Cho M là tập con khác rỗng, lồi, đóng và bị chặn của không gian Banach X. Giả sử U : M ! X là ánh xạ co và C : M ! X là toán tử hoàn toàn liên tục, nghĩa là, C liên tục và C ( M ) chứa trong một tập compact, sao cho U ( x ) + C (y) 2 M, 8 x, y 2 M. Khi đó U + C có điểm bất động. 4. Định lý 0.4. (Định lý điểm bất động Banach trong không gian Fréchet, Banach, xem [C. Avramescu, E. J. Qualitative Theory of Diff. Equ., No. 5 (2003) 1 - 15]). Cho ( X, j jn ) là một không gian Fréchet và cho Φ : X ! X là một toán tử Ln co trên X đối với một họ các nửa chuẩn j jn , tức là jΦ( x ) Φ(y)jn Ln j x yjn , 8 x, y 2 X. Khi đó Φ có một điểm bất động duy nhất trong X. Chi tiết chứng minh của Định lý 0.4 có thể được tìm thấy ở Phụ lục trong [L. T. P. Ngoc, N. T. Long, Differential Equations & Applications, 4 (2) (2012) 233 - 255]. 5. Định lý 0.5. (Định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii trong không gian Fréchet [L. T. P. Ngoc, N. T. Long, Fixed Point Theory and Applications, Vol. 2006 (2006), Article ID 30847, 24 pages]). Cho ( X, j jn ) là một không gian Fréchet và hai toán tử U, C : X ! X. Giả sử U là một toán tử k n co, k n 2 [0, 1) (phụ thuộc vào n), đối với một họ các nửa chuẩn k kn tương đương với họ các nửa jCx jn j x jn !∞ j x jn chuẩn j jn và C là toán tử hoàn toàn liên tục sao cho lim bất động. = 0, 8n 2 N. Khi đó, U + C có điểm Chương 1 Hệ phương trình tích phân hàm phi tuyến Chương này khảo sát hệ các phương trình tích phân hàm phi tuyến sau fi (x) = m n ∑ k =1 ∑ j =1 εaijk Ψ x, f j ( Rijk ( x )), Z X (x) ijk 0 f j (t)dt + bijk f j (Sijk ( x )) + gi ( x ), (1.1) i = 1, ..., n, x 2 Ω = [ b, b], trong đó aijk , bijk là các hằng số thực cho trước; Rijk , Sijk , Xijk : Ω ! Ω, gi : Ω ! R, Ψ : Ω R2 ! R là các hàm liên tục cho trước và f i : Ω ! R là các ẩn hàm, ε là một tham số bé. Kết quả thu được ở đây là một tổng quát hoá tương đối các kết quả trước đó và đã được công bố trong [D1], [D4]. 1.1 Định lý tồn tại duy nhất và ổn định của nghiệm Với Ω = [ b, b], chúng ta ký hiệu X = C (Ω; Rn ) là không gian Banach của các hàm f : Ω ! Rn liên tục trên Ω đối với chuẩn k f k X = sup ∑in=1 j f i ( x )j , f = ( f 1 , ..., f n ) 2 X. x 2Ω Với số nguyên n không âm r bất kỳ, ta đặt (k) Cr (Ω; Rn ) = f 2 C (Ω; Rn ) : f i 2 C (Ω; R), 0 k r, 1 i o n . Rõ ràng là Cr (Ω; Rn ) là không gian Banach đối với chuẩn k f kr = max 0 k r 7 f (k) X . Ta viết hệ (1.1) dưới dạng của một phương trình toán tử trong X như sau f = εA f + B f + g, trong đó f = ( f 1 , ..., f n ), A f = (( A f )1 , ..., ( A f )n ), B f = (( B f )1 , ..., ( B f )n ), với n ( A f )i ( x ) = ∑ m k =1 ∑ j=1 aijk Ψ x, f j ( Rijk ( x )), ( B f )i ( x ) = ∑m k =1 ∑nj=1 bijk f j (Sijk ( x )), x [αijk ] = ∑in=1 ∑m k =1 max 1 j n Ta ký hiệu k = 1, ..., mg, và Z X (x) ijk 0 (1.2) f j (t)dt , 2 Ω, i = 1, 2, ..., n. αijk , với mọi tập [αijk ] = fαijk 2 R : i, j = 1, ..., n; [ Fijk ] = ∑in=1 ∑m k =1 max Fijk 1 j n ∞ , với mọi tập [ Fijk ] = f Fijk 2 C (Ω; R) : i, j = 1, ..., n; k = 1, ..., mg, trong đó k k∞ để chỉ chuẩn sup trên C (Ω; R); và thành lập các giả thiết sau ( H1 ) Tất cả các hàm Rijk , Sijk , Xijk : Ω ! Ω là liên tục, ( H2 ) g 2 X, ( H3 ) [bijk ] < 1, ( H4 ) Ψ : Ω R2 ! R thỏa điều kiện sau: 8 M > 0, 9C1 ( M) > 0 : jΨ( x, y1 , z1 ) Ψ( x, y2 , z2 )j C1 ( M) (jy1 y2 j + jz1 z2 j) với mọi ( x, y1 , z1 ), ( x, y2 , z2 ) 2 Ω [ M, M ] [ bM, bM ], M (1 k[b ]k) 2k g k ( H5 ) M > 1 [b X ] và 0 < ε0 < 2[(1+b MC ( M)+ijknM ] [a ] , ) k ijk k 0 k ijk k 1 trong đó M0 = sup fjΨ( x, 0, 0)j : x 2 Ωg . Cho trước M > 0, ta đặt K M = f f 2 X : k f k X M g. Bổ đề 1.1.1. Giả sử ( H1 ) và ( H3 ) là đúng. Khi đó, toán tử tuyến tính I B : X ! X là khả đảo 1 và ( I B) 1 . 1 k[bijk ]k Ta viết lại hệ phương trình hàm (1.2) như sau (1.3) f = ( I B) 1 (εA f + g) T f . Bổ đề 1.1.2. Giả sử ( H1 ), ( H3 ), ( H4 ) là đúng. Khi đó, với mỗi M > 0, ta có (i) k A f k X [ aijk ] [(1 + b) C1 ( M) k f k X + nM0 ] , 8 f 2 K M ; (ii) A f A f¯ X (1 + b) C1 ( M) [ aijk ] f f¯ X , 8 f , f¯ 2 K M . Định lý 1.1.3. Giả sử ( H1 ) ( H5 ) là đúng. Khi đó, với mỗi ε, với jεj ε0 , hệ (1.3) có một nghiệm duy nhất f 2 K M . Nhận xét 1.1.1: Định lý 1.1.3 cho một thuật giải xấp xỉ liên tiếp f (ν) = T f (ν 1) , ν = 1, 2, ..., trong đó f (0) 2 X cho trước. Khi đó, dãy f f (ν) g hội tụ trong X về nghiệm f của (1.3) và ta có ε0 (1+b)C1 ( M )k[ aijk ]k σν (0) f (0) với mọi ν 2 N, trong đó σ = < đánh giá f (ν) f 1 σ Tf 1 k[bijk ]k X X 1. 1.2 Thuật giải lặp cấp hai Xét thuật giải sau đây cho hệ (1.1) (ν) (ν) (ν) n f i ( x ) = ( B f (ν) )i ( x ) + ε ∑ m k =1 ∑ j=1 αijk ( x ) f j ( Rijk ( x )) Z X (x) (1.4) ijk (ν) (ν) (ν) n + ε ∑m f j (t)dt + gi ( x ), k =1 ∑ j=1 βijk ( x ) với mọi x 2 Ω, 1 (ν) Wijk ( x ) = 0 i n, và ν = 1, 2, ... trong đó ( ν 1) x, f j ( Rijk ( x )), Z X (x) ijk ( ν 1) 0 fj 8 (t)dt , (1.5) (ν) (ν) (ν) và với αijk ( x ), βijk ( x ) và gi ( x ) phụ thuộc vào f (ν (ν) αijk ( x ) = (ν) Wijk ( x ) aijk ∂Ψ ∂y (ν) (0) γν = [bijk ] + jεj aijk ∂Ψ ∂z = như sau (ν) (1.6) Wijk ( x ) , (ν) ( ν 1) n ε ∑m ( Rijk ( x )) i (x) k =1 ∑ j=1 αijk ( x ) f j Z X (x) ijk (ν) ( ν 1) n ε ∑m fj (t)dt, k =1 ∑ j=1 βijk ( x ) 0 (0) f n ) 2 K M cho trước. Khi đó, ta có. Giả sử ( H1 ) ( H3 ) là đúng và cho Ψ 2 C1 (Ω R2 ; R). Nếu f (ν 1) (ν) (ν) [αijk ] + b [ βijk ] < 1, khi đó, tồn tại một hàm duy nhất f (ν) 2 X gi ( x ) = gi ( x ) + ε ( A f ( ν và f (0) = ( f 1 , ..., Định lý 1.2.1. , (ν) βijk ( x ) 1) 1) ) của hệ (1.4) - (1.7). Tiếp theo, chúng ta thành lập các giả thiết sau đây: ( H6 ) Ψ 2 C2 (Ωh R2 ; R), i 2 1 0 ( H7 ) ε0 [ aijk ] nM M + (1 + b ) M1 + 2 (1 + b ) M2 M [bijk ] 1 trong đó M0 =nsup fjΨ( x, 0, 0)j : x 2 Ωg và o ∂Ψ ∂Ψ M1 = sup ( x, y, z) : ( x, y, z) 2 A , ∂y + ∂z o n ∂2 Ψ ∂2 Ψ ∂2 Ψ + + ( x, y, z ) : ( x, y, z ) 2 A , M2 = sup 2 2 ∂y∂z ∂y ∂z 1 M (1.7) 2 X thỏa là nghiệm k gk X , với A = f( x, y, z) : x 2 Ω, jyj M, jzj bM g . Định lý 1.2.2. Giả sử ( H1 ) ( H3 ), ( H6 ), ( H7 ) là đúng và giả sử f là nghiệm của hệ (1.1) và dãy f f (ν) g được xác định bởi thuật giải (1.4) - (1.7). (i) Nếu f (0) M, khi đó f (ν) X 2 1 2 ε0 f β M f (ν X 1) f 2 X , 8ν = 1, 2, ... (1+b) M2 k[ aijk ]k > 0. k[bijk ]k ε0 (1+b) M1 k[aijk ]k (ii) Nếu số hạng đầu tiên f (0) đủ gần f sao cho β M f (0) f < 1, thì dãy f f (ν) g hội tụ bậc hai X ν 2 1 về f và hơn nữa f (ν) f β M f (0) f , 8ν = 1, 2, ... βM X X Nhận xét 1.2.1: Với g(0) 2 K M , dãy lặp g(µ) = T µ g(0) hội tụ về f . Nếu ta chọn µ0 đủ lớn trong đó β M = 1 sao cho β M g(µ0 ) f β M Tg(0) X đầu tiên f (0) đủ gần f sao cho β M f (0) σ µ0 X 1 σ g (0) f X < 1, và chọn f (0) = g(µ0 ) , khi đó số hạng < 1. 1.3 Khai triển tiệm cận của nghiệm Giả sử rằng các hàm Rijk , Sijk , Xijk , g, Ψ và các số thực aijk , bijk , M thoả mãn các giả thiết ( H1 ) ( H5 ), tương ứng. Ta sử dụng ký hiệu sau đây Ψ[ f j ] = Ψ x, f j ( Rijk ( x )), Z X (x) ijk 0 f j (t)dt . Bây giờ, ta giả sử rằng ( H8 ) Ψ 2 C N (Ω R2 ; R). Chúng ta xét hệ bị nhiễu (1.2), trong đó ε là một tham số bé, jεj ε0 . Xét dãy hữu hạn các hàm f f [r] g, r = 0, 1, ..., N, f [r] 2 K M (với các hằng số M > 0, ε0 > 0 thích hợp) được xác định như sau: (1.8) f [r] = ( I B) 1 P[r] , r = 0, 1, ..., N, [r ] [r ] trong đó P[r] = P1 , ..., Pn , r = 0, 1, ..., N, và P[0] = g. 9 [1] Với r = 1 : Pi [0] n = ( A f [0] ) i ( x ) = ∑ m k =1 ∑ j=1 aijk π j [ Ψ ], trong đó [0] [0] [0] [0] π j [Ψ] = Ψ[ f j ] = Ψ x, f j ( Rijk ( x )), J f j ( Xijk ( x )) , [0] J f j ( Xijk ( x )) = Với r = 2 : [2] Pi Z X (x) ijk [0] = f j (t)dt. 0 ∑m k =1 [1] ∑nj=1 aijk π j [Ψ], trong đó [0] [1] [0] [1] [1] π j [Ψ] = π j [ D2 Ψ] f j + π j [ D3 Ψ] J f j , D2 Ψ = Với 2 r [r ] N : Pi [r 1] n = ∑m k =1 ∑ j=1 aijk π j ∂Ψ ∂y , D3 Ψ = ∂Ψ ∂z . [ Ψ ], [r ] trong đó, π j [Ψ], 0 r N 1 được xác định bởi các công thức qui n o [r ] [s] [r s ] [s] [r s ] π j [Ψ] = ∑rs=10 r r s π j [ D2 Ψ] f j + π j [ D3 Ψ] J f j . N N [ 0 ] [ r ] r [ 0 ] Đặt h = f + ∑r=1 f ε f + U, khi đó v = f ε ∑r=0 f [r] εr ( I B)v = ε[ A(v + h) Ah] + Eε , trong đó Eε = ε[ A( f [0] + U ) A( f [0] )] ∑rN=2 P[r] εr . nạp fε h thỏa hệ (1.9) Khi đó, ta có bổ đề sau mà chứng minh của nó có sử dụng một số kỹ thuật trong [N. T. Long, J. Math. Anal. Appl. 306 (1) (2005) 243 - 268]. [r ] Bổ đề 1.3.1. Các hàm π j [Ψ], 0 r N 1 như trên ở được xác định bởi các công thức sau: [r ] π j [Ψ] = 1 ∂r r! ∂εr Ψ [ h j ] ε=0 , r 0 f [r ] X 1. (1) Bổ đề 1.3.2. Giả sử ( H1 ) N, [ aijk ] , [bijk ] , N ( H5 ), ( H8 ) là đúng. Khi đó, tồn tại một hằng số C̄N chỉ tùy thuộc vào r ,0 N sao cho k Eε k X (1) C̄N jεj N +1 . Định lý 1.3.3. Giả sử ( H1 ) ( H5 ), ( H8 ) là đúng. Khi đó, tồn tại một hằng số ε1 > 0 sao cho, với mọi ε 2 R, với jεj ε1 , hệ (1.3) có một nghiệm duy nhất f ε 2 K M thỏa một đánh giá tiệm cận đến cấp N + 1 như sau f ε ∑rN=0 f [r] εr (1) 2 1 X k[bijk ]k C̄N jεj N +1 , trong đó các hàm f [r] , r = 0, 1, ..., N được xác định bởi (1.8). 1.4 Hai ví dụ minh họa 1.4.1 Ví dụ 1.1 Ta xét hệ (1.1) với n = 2, m = 1, Ψ ( x, y, z) = cos y sin z : Z x f 1 ( x ) = εa11 cos f 1 ( 3x + 32 ) sin +εa12 cos f 2 ( 3x 2 3) sin Z x3 0 0 f 2 (t)dt f 2 ( x ) = εa21 cos f 1 ( 4x + 43 ) sin +εa22 cos f 2 ( 4x 3 4) sin f 1 (t)dt ! Z x5 Z x 0 0 1 x + b11 f 1 ( 2x 3 + 3 ) + b12 f 2 ( 2 ! 1 2 ) + g1 ( x ) , f 1 (t)dt f 2 (t)dt + b21 f 1 ( 2x + 12 ) + b22 f 2 ( 2x 3 1 3 ) + g2 ( x ) , (1.10) x 2 Ω = [ 1, 1], trong đó ε đủ nhỏ; aijk aij , bijk bij là các hằng số và tất cả các hàm g1 , g2 : Ω ! R; Rijk Rij , Sijk Sij , Xijk Xij : Ω ! Ω là liên tục được xác định lần lượt như sau 2 aij 2 R; bij 2 R sao cho [bij ] = ∑ max bij = max b1j + max b2j < 1; i =1 1 j 2 1 j 2 10 1 j 2 g1 , g2 2 C (Ω; R); R11 ( x ) R12 ( x ) Rij ( x ) = = R21 ( x ) R22 ( x ) S11 ( x ) S12 ( x ) Sij ( x ) = = S21 ( x ) S22 ( x ) X11 ( x ) X12 ( x ) Xij ( x ) = = X21 ( x ) X22 ( x ) Rõ ràng là ( H1 ) x 2 3 + 3 x 3 + 4 4 2x 1 3 + 3 x 1 2 + 2 x x5 ( H5 ) đúng với M > 1 x3 x x 3 x 4 x 2 2x 3 2 3 3 4 1 2 1 3 ; ; . 2k g k X k[bij ]k và 0 < ε0 < 1 k[bij ]k 4k[ aij ]k . Vì vậy, ta kết luận rằng, với mỗi ε với jεj < ε0 , hệ phương trình (1.10) có một nghiệm duy nhất f 2 K M . Mặt khác, vì Ψ ( x, y, z) = Ψ (y, z) = cos y sin z, ( H6 ) và ( H8 ) cũng được thỏa. Do đó, nếu 1 g 1 k[bij ]k M k kX 2k g k X M> , 0 < ε0 < và ε là đủ nhỏ, khi đó ta thu được các kết quả như 1 k[bij ]k 2(2+3M )k[ aij ]k trong các Định lý 1.2.2 và 1.3 .3. 1.4.2 Ví dụ 1.2 1 Ta xét hệ (1.1) với n = m = 2, Ψ ( x, y, z) = Φ (z) , Φ 2 ! C (R) : f 1 ( x ) = εa11 Φ Z x 0 f 1 (t)dt + εa12 Φ Z x3 0 f 2 (t)dt + b111 f 1 ( x+2 1 ) +b112 f 1 (cos πx ) + b122 f 2 ( 2x3+1 ) + g1 ( x ), (1.11) f 2 ( x ) = b211 f 1 ( x 2 1 ) + b221 f 2 (sin πx ) + b222 f 2 ( 2x3 1 ) + g2 ( x ), x 2 Ω = [ 1, 1], trong đó ε đủ nhỏ; aijk aij , bijk là các hằng số và tất cả các hàm g1 , g2 : Ω ! R; Rijk Rij , Sijk , Xijk Xij : Ω ! Ω là liên tục được xác định lần lượt như sau a11 a12 a11 a12 aij 2 R sao cho aij = = ; a21 a22 0 0 h i b111 b121 b112 b122 b111 0 b112 b122 bijk 2 R sao cho bijk = = , b211 b221 b212 b222 b211 b221 0 b222 [bijk ] = ∑2i=1 ∑2k=1 max bijk 1 j 2 = jb111 j + jb222 j + max fjb112 j , jb122 jg + max fjb211 j , jb221 jg < 1; g1 , g2 2 C (Ω; R); h i S111 ( x ) S121 ( x ) S112 ( x ) S122 ( x ) Sijk ( x ) = S211 ( x ) S221 ( x ) S212 ( x ) S222 ( x ) x +1 0 cos πx 2x3+1 2 = ; x 1 2x 1 sin πx 0 2 3 X11 ( x ) X12 ( x ) x x3 Xij ( x ) = = . X21 ( x ) X22 ( x ) 0 0 M (1 k[bijk ]k) 2k g k X #. " Dễ thấy rằng ( H1 )-( H5 ) đúng với M > và 0 < ε0 < 1 k[bijk ]k 4k[ aij ]k M sup jΦ0 (z)j+jΦ(0)j jzj M Vì vậy, với mỗi ε với jεj < ε0 , hệ phương trình (1.11) có một nghiệm duy nhất f 2 K M . Hơn nữa, nếu Φ 2 C2 (R) hay Φ 2 C N (R), M > " 0 < 2ε0 [ aij ] jΦ(0)j M 1 2k g k X k[bijk ]k # và + sup jΦ0 (z)j + M sup jΦ00 (z)j < 1 jzj M jzj M [bijk ] và ε là đủ nhỏ, các kết quả của các Định lý 1.2.2 và 1.3.3 cũng thu được. 11 1 M k gk X 1.5 Chú ý về một phương trình tích phân hàm phi tuyến nhận giá trị trong không gian Banach Cùng chủ đề này, chúng tôi cũng xét phương trình tích phân hàm phi tuyến nhận giá trị trong không gian Banach có dạng x (t) = V t, x (t), V̄2 [ x ](s) = Z µ (s) 2 0 Z µ (t) 1 0 V1 t, s, x (θ 1 (s)), ..., x (θ p (s)), V̄2 [ x ](s) ds , (1.12) V2 s, r, x (θ̃ 1 (r )), ..., x (θ̃ q (r )) dr, t 2 R+ , trong đó E là một không gian Banach, V : R+ E2 ! E; V1 : ∆µ1 E p+1 ! E; V2 : ∆µ2 Eq ! E được giả sử là các hàm liên tục, ∆µi = f(t, s) 2 R2+ : s µi (t)g, các hàm µ1 , µ2 , θ i , θ̃ j 2 C (R+ ; R+ ) là liên tục sao cho µ1 (t), µ2 (t), θ i (t), θ̃ j (t) 2 [0, t], i = 1, ..., p; j = 1, ..., q. Trong [D4], chúng tôi sử dụng công cụ giải tích hàm và định lý điểm bất động Banach trong một không gian Fréchet C (R+ ; E), để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho phương trình trên. Các ví dụ minh họa được đưa ra để làm sáng tỏ kết quả của chúng tôi. Trong trường hợp E = R N , xét phương trình tích phân hàm phi tuyến sau xi (t) = Ui t, x1 (t), ..., x N (t), ..., Z µ (t) 1 0 W1 (t, s, x1 (θ 1 (s)), ..., x N (θ 1 (s)) ) ds, Z µ (t) 1 0 (1.13) WN (t, s, x1 (θ 1 (s)), ..., x N (θ 1 (s)) ) ds , i = 1, ..., N, t 2 R+ , trong đó các hàm liên tục Ui , Wi được xác định bởi Ui : R+ R2N ! R, i = 1, ..., N; Wi : ∆1 R N ! R, i = 1, ..., N; ∆1 = f(t, s) 2 R2+ : s µ1 (t)g. Giả sử rằng ( Ã1 ) Các hàm µ1 , θ 1 2 C (R+ ; R+ ) sao cho µ1 (t) t, θ 1 (t) t, với mọi t 2 R+ ; Ta viết lại (1.13) theo dạng xi (t) = Ui t, x (t), Z µ (t) 1 0 W1 (t, s, x (θ 1 (s)) ) ds, ..., Z µ (t) 1 0 WN (t, s, x (θ 1 (s)) ) ds , (1.14) ; R N ). i = 1, ..., N, t 2 R+ , trong đó x = ( x1 , ..., x N ) 2 X = C (R+ Ta định nghĩa hai hàm vecto V : R+ R2N ! R N , V1 : ∆1 R N ! R N như sau: V (t, x, y) = (U1 (t, x, y), ..., UN (t, x, y)) , (t, x, y) 2 R+ R2N , V1 (t, s, x ) = (W1 (t, s, x ), ..., WN (t, s, x )) , (t, s, x ) 2 ∆1 R N . Khi đó hệ (1.14) trở thành x (t) = V t, x (t), Z µ (t) 1 0 V1 (t, s, x (θ 1 (s)) ) ds Φx (t), t 0. (1.15) Giả sử rằng ( Ã2 ) Tồn tại một hằng số L 2 [0, 1) và một hàm liên tục ω 0 : R+ ! R+ sao cho jUi (t; x, y) Ui (t; x̄, ȳ)j L j x x̄ j∞ + ω 0 (t) jy ȳj∞ , 8 (t; x, y) , (t; x̄, ȳ) 2 R+ R2N , với mọi i = 1, ..., N; và j j∞ là một chuẩn trên R N được xác định bởi j x j∞ = max j xi j , 1 i N x = ( x1 , ..., x N ) 2 R N . ( Ã3 ) Tồn tại một hàm liên tục ω 1 : ∆1 ! R+ sao cho jWi (t, s, x ) Wi (t, s, x̄ )j ω 1 (t, s) j x x̄ j∞ , với mọi (t, s, x ), (t, s, x̄ ) 2 ∆1 R N . Chú ý rằng C (R+ ; R N ) là không gian Fréchet được trang bị bởi họ đếm được các nửa chuẩn j x jn = supfj x (t)j∞ : t 2 [0, n]g, n 1. Trên C (R+ ; R N ) chúng ta cũng xét họ các nửa chuẩn khác xác định bởi k x kn = supfe hn t j x (t)j∞ : 0 t n g, n 1, và hn > 0 là số thực tùy ý, mà k kn tương đương với j jn , vì e nhn j x jn k x kn j x jn , 8 x 2 C (R+ ; R N ), 8n 1. Với việc chọn các tham số phù hợp hn > 0 chúng ta sẽ chỉ ra được Ln 2 [0, 1) sao cho, toán tử Φ là Ln co trên C (R+ ; R N ). 12 Khi đó ta có kết quả sau. Định lý 1.5.1. Giả sử ( Ã1 ) ( Ã3 ) đúng. Khi đó (1.13) có nghiệm duy nhất y 2 C (R+ ; R N ). Hơn nữa, cho trước y(0) 2 C (R+ ; R N ), xét dãy fy(k) g được xác định bởi y(k) (t) = V t, y(k 1) ( t ), Z µ (t) 1 0 f y(k) g V1 t, s, y(k 1) ( θ 1 ( s )) t 2 R+ , k = 1, 2, ... Khi đó, dãy hội tụ về y trong C (R+ k y (1) y (0) k n k (k) y y Ln , 8k, n 2 N, 1 Ln Φy(k ds ; RN ) 1) ( t ), (1.16) với đánh giá sai số (1.17) n Ln trong đó Ln , 0 < < 1 là một hằng số chỉ phụ thuộc vào n. Kết luận chương 1. Chương này thu được kết quả tồn tại, duy nhất nghiệm và ổn định của nghiệm đối với hệ (1.1). Trường hợp Ψ 2 C2 (Ω R2 ; R), một thuật giải lặp cấp 2 được thiết lập sinh ra một dãy hội tụ cấp hai về nghiệm của hệ (1.1) cùng với đánh giá sai số cấp hai. Trường hợp Ψ 2 C N (Ω R2 ; R) và ε đủ nhỏ, chương này cũng thiết lập một khai triển tiệm cận của nghiệm của (1.1) đến cấp N + 1 theo ε. Cuối cùng là các ví dụ minh họa cũng được trình bày. Ngoài ra, cuối chương cũng nêu ra một chú ý về một phương trình tích phân hàm phi tuyến nhận giá trị trong không gian Banach E, từ đó với E = R N , dẫn đến sự tồn tại duy nhất nghiệm tương ứng trong không gian Fréchet C (R+ ; R N ). Kết quả chương này đã được công bố trong [D1], [D4]. Chương 2 Phương trình tích phân hàm phi tuyến có biến trễ nhận giá trị trong không gian Banach Chương này khảo sát phương trình tích phân hàm phi tuyến có biến trễ x (t) = V t, x (t), + Z µ (t) 1 Z ∞0 0 V1 t, s, x (σ1 (s)), Z µ (s) 2 0 V2 (s, r, x (σ2 (r ))) dr ds F (t, s, x (χ1 (s)), ..., x (χq (s)))ds, t 2 R+ , (2.1) trong đó E là không gian Banach, các hàm số µi , σi , χ1 , ..., χq 2 C (R+ ; R+ ) có tính chất 0 µi (t) t; 0 σi (t) t; 0 χ j (t) t, i = 1, 2, j = 1, ..., q, và các hàm V : R+ E2 ! E; V1 : ∆µ1 E2 ! E; V2 : ∆µ2 E ! E; F : R2+ Eq ! E là liên tục, ở đây ∆µi = f(t, s) 2 R2+ : s µi (t)g. Kết quả thu được là sự một tổng quát hoá tương đối các kết quả trước đó và đã được công bố trong [D2]. 2.1 Sự tồn tại nghiệm Cho X = C (R+ ; E) là không gian của tất cả các hàm liên tục từ R+ vào E. Trên X trang bị bởi họ đếm được các nửa chuẩn j x jn = supfj x (t)j : 0 t n g, n 1. Khi đó ( X, j jn ) là đầy đủ theo metric d( x, y) = ∑∞ n =1 2 n j x yjn , 1+j x yjn và X là không gian Fréchet. Trên X, chúng ta cũng xét một họ các nửa chuẩn khác k kn được xác định bởi k x kn = j x jγ + j x jhn , n n hn (t γn ) 1, trong đó j x jγ = supfj x (t)j : 0 t γn g, j x jhn = supfe j x (t)j : γn t ng, γn 2 (0, n) và n hn > 0 là các số thực tùy ý. Họ này là tương đương với j jn , bởi vì e hn (n γn ) j x jn k x kn 2 j x jn , 8 x 2 X, 8n 1. Dựa vào cấu trúc như vậy của ( X, j jn ), bổ đề sau đây là rất hữu ích để chứng minh sự tồn tại của các nghiệm cho phương trình (2.1). Bổ đề 2.1.1. Cho X = C (R+ ; E) là không gian Fréchet được xác định như trên và A X. Với mỗi n 2 N, ký hiệu Xn = C ([0, n]; E) là không gian Banach của tất cả các hàm liên tục x : [0, n] ! E đối với chuẩn j x jn = supfj x (t)j : 0 t ng và An = f x j[0,n] : x 2 Ag. Khi đó, tập A compact tương đối trong X khi và chỉ khi với mỗi n 2 N, An là đẳng liên tục trong Xn và với mỗi t 2 [0, n], tập 13 An (t) = f x (t) : x 2 An g là compact tương đối trong E. Để thiết lập kết quả cho phương trình (2.1), ta lập các giả thiết sau. ( A1 ) Các hàm µ1 , µ2 , σ1 , σ2 , χ1 , ..., χq 2 C (R+ ; R+ ) sao cho µi (t), σi (t), χ j (t) 2 [0, t], với mọi t 2 R+ , i = 1, 2, j = 1, ....q. ( A2 ) Tồn tại một hằng số L 2 [0, 1) và một hàm liên tục ω 0 : R+ ! R+ sao cho jV (t; x, y) V (t; x̄, ȳ)j L j x x̄ j + ω 0 (t) jy ȳj , 8 (t; x, y) , (t; x̄, ȳ) 2 R+ E2 ; ( A3 ) Tồn tại một hàm liên tục ω 1 : ∆µ1 ! R+ sao cho jV1 (t, s, x, y) V1 (t, s, x̄, ȳ)j ω 1 (t, s) (j x x̄ j + jy ȳj) , 8(t, s, x, y), (t, s, x̄, ȳ) 2 ∆µ1 E2 ; ( A4 ) Tồn tại một hàm liên tục ω 2 : ∆µ2 ! R+ sao cho jV2 (s, r, x ) V2 (s, r, x̄ )j ω 2 (s, r ) j x x̄ j , với mọi (s, r, x ), (s, r, x̄ ) 2 ∆µ2 E; ( A5 ) F : R2+ Eq ! E là hoàn toàn liên tục sao cho với mọi tập con bị chận I1 , I2 của R+ và mọi tập con bị chận J của Eq , với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0, sao cho 8t1 , t2 2 I1 , jt1 t2 j < δ =) F (t1 , s, u1 , ..., uq ) F (t2 , s, u1 , ..., uq ) < ε, với mọi (u1 , ..., uq ) 2 J và s 2 I2 ; (RA6 ) Tồn tại một hàm liên tục ω 3 : R2+ ! R+ sao cho với mọi tập con bị chận I của R+ , ∞ ω 3 (t, s), 8(t, s, u1 , ..., uq ) 2 I R+ Eq . 0 sup ω 3 ( t, s ) ds < ∞, và F ( t, s, u1 , ..., uq ) t2 I Khi đó, ta có định lý sau Định lý 2.1.2. Giả sử ( A1 ) ( A6 ) đúng. Khi đó (2.1) có nghiệm trong X. 2.2 Nghiệm ổn định tiệm cận Định nghĩa. Một hàm x được gọi là một nghiệm ổn định tiệm cận của (2.1) nếu với mọi nghiệm x̃ của (2.1), ta có lim j x (t) x̃ (t)j = 0. t!+∞ Khi đó, ta có định lý Định lý 2.2.1. Giả sử ( A1 ) lim t!∞ 2 ā (t) + b(t) Z t 0 2 ( A6 ) là đúng. Nếu ā (s) exp Z t s (2.2) b(r )dr ds = 0, trong đó 8 > > ā(t) = a(t) + a(σ1 (t)) + a(σ2 (t)), a(t) = > > > Z t > > > > < b(t) = 2ω̄ 20 (t) ω 2 (t, r )dr, 1 1 L Z ∞ 0 ω 3 (t, s)ds, 8t 2 R+ , 0 ω̄ 0 (t) = 1 1 L [ω 0 (t) + ω 0 (σ1 (t)) + ω 0 (σ2 (t))] , > > Z t > > > > ω (t, r ) = ω̄ 1 (t, r ) + ω̄ 1 (t, s)ω 2 (s, r )ds, r t, > > > r : ω̄ 1 (t, s) = ω 1 (t, s) + ω 1 (σ1 (t), s) + ω 1 (σ2 (t), s), khi đó mọi nghiệm x của (2.1) là nghiệm ổn định tiệm cận. Hơn nữa, lim j x (t) ξ (t)j = 0, trong đó ξ 2 X là nghiệm duy nhất của phương trình t!∞ x (t) = V t, x (t), 2.3 Z µ (t) 1 0 V1 t, s, x (σ1 (s)), Z µ (s) 2 0 V2 (s, r, x (σ2 (r ))) dr ds , t (2.3) 0. Tính compact của tập nghiệm Định lý 2.3.1. Giả sử ( A1 ) ( A6 ) là đúng. Khi đó tập các nghiệm của phương trình (2.1) là khác rỗng và compact. 2.4 Ví dụ minh họa Ở mục này chúng tôi minh họa các kết quả thu được bằng một ví dụ. Gọi E = C ([0, 1]; R) là không gian Banach của các hàm liên tục u : [0, 1] ! R đối với chuẩn 1g, u 2 E. Khi đó, với mỗi x 2 X = C (R+ ; E), với mọi t 2 R+ , kuk = supfju(η )j : 0 η x (t) là một phần tử của E và chúng ta ký hiệu x (t)(η ) = x (t, η ), 0 η 1. 14 Xét phương trình (2.1) có dạng x (t) = V t, x (t), + Z ∞ 0 Z µ (t) 1 0 V1 t, s, x (σ1 (s)), Z µ (s) 2 0 V2 (s, r, x (σ2 (r ))) dr ds (2.4) F (t, s, x (χ1 (s)), ..., x (χq (s)))ds, t 2 R+ , trong đó σi (t) = σ̄i t, 0 < σ̄i 1, µi (t) = µ̄i t, 0 < µ̄i 1, i = 1, 2; χ j (t) = χ̄ j t, 0 < χ̄ j 1, j = 1, ..., q. Cho trước các hàm liên tục V, V1 , V2 , F như sau. (i) Hàm V : R+ E2 ! E, V (t, x, y)(η ) = 8(1 k1 ) x (t, η ) + k1 j x (η )j + e t jy(η )j , 0 η 1, (t, x, y) 2 R+ E2 , với x (t, η ) = η +1 et và k1 là hằng số cho trước sao cho 0 < k1 < 1. (ii) Hàm V1 : ∆1 E2 ! E, ∆h1 = f(t, s) 2 R2+ : s µ̄1 tg, i V1 (t, s, x, y)(η ) = e 2s x (t, η ) sin x (σ π(s),η ) x (η ) + e t jy(η )j , 1 η 1, (t, s, x, y) 2 ∆1 E2 . (iii) Hàm V2 : ∆2 E ! E, ∆2 = f(s, r ) 2 R2+ : r 0 V2 (s, r, x )(η ) = e 2r x (s, η ) sin η 1, (s, r, x ) 2 ∆2 E. (iv) Hàm F : R2+ Eq ! E, 0 F (t, s; u1 , ..., uq )(η ) = 14 q 2π x (η ) x (σ2 (r ),η ) (k1 1) e R2+ Eq . 2s x , µ̄2 sg, q (t, η ) ∑ j=1 sin π 2 Z 1r 3 0 u j (ζ ) dζ x (χ j (s),ζ ) , η 1, (t, s; u1 , ..., uq ) 2 Khi đó, các giả thiết ( A1 ) ( A6 ) được thỏa. Khi đó, định lý 2.2.1 đúng cho (2.4). Hơn nữa, dễ thấy rằng phương trình 0 ξ (t) = V t, ξ (t), Z µ (t) 1 0 V1 t, s, ξ (σ1 (s)), Z µ (s) 2 0 V2 (s, r, ξ (σ2 (r )))dr ds , t có nghiệm duy nhất ξ được xác định bởi ξ : R+ ! E, ξ (t)(η ) = ξ (t, η ) = và x : R+ ! E, x (t)(η ) = x (t, η ) = k x (t) ξ (t)k = 7 lim e t t!∞ 1 , et +η 0, 8 , et +η 8η 2 [0, 1], 8η 2 [0, 1], là nghiệm của (2.4). Hơn nữa lim = 0. Do đó, ξ và x là các nghiệm ổn định tiệm cận của (2.4). t!∞ Kết luận chương 2. Chương 2 đã kế thừa các ý tưởng và phương pháp nghiên cứu trong các công trình trước đây trong [L. T. P. Ngoc, N. T. Long: Fixed Point Theory and Applications, Vol. 2006 (2006), Article ID 30847, 24 pages; Nonlinear Anal. TMA. 74 (18) (2011) 7111 - 7125; Diff. Equ.Appl. 4 (2) (2012) 233 - 255]. Tuy nhiên, với sự xuất hiện của số hạng phi tuyến V t, x (t), Z ∞ 0 Z µ (t) 1 0 V1 t, s, x (σ1 (s)), Z µ (s) 2 0 V2 (s, r, x (σ2 (r ))) dr ds và tích phân F (t, s, x (χ1 (s)), ..., x (χq (s)))ds cũng gây ra không ít khó khăn. Các kết quả của chương 2 đã được công bố trong [D2]. Chương 3 Phương trình tích phân hàm phi tuyến nhiều biến nhận giá trị trong không gian Banach Chương này chúng tôi xét phương trình tích phân hàm phi tuyến u( x ) = V x, u( x ), Z Bx V1 x, y, u(σ1 (y)), ..., u(σ p (y)) dy + Z (3.1) N R+ F x, y, u(χ1 (y)), ...., u(χq (y)) dy, 15 N = f( x , ..., x ) 2 R N : x trong đó R+ 0, ..., x N 0g, Bx = [0, x1 ] ... [0, x N ], các hàm N 1 1 N ! R N là liên tục với tính chất σ ( x ), ..., σ ( x ) 2 B , 8 x 2 R N ; và σ1 , ..., σ p , χ1 , ..., χq : R+ p x 1 + + N q ! E được giả sử liên tục, ở đây các hàm V : R+ E2 ! E; V1 : ∆ E p ! E; F : R2N E + N N : y 2 B g và E là không gian Banach. Kết quả thu được đã được công ∆ = f( x, y) 2 R+ R+ x bố trong [D3]. 3.1 Không gian hàm N ; E ) là không gian của tất cả các hàm liên tục từ R N vào E. Trên X trang Cho X = C (R+ + bị bởi họ đếm được các nửa chuẩn jujn = supfju( x )j : x 2 [0, n] N g, n 1. Khi đó ( X, j jn ) là đầy đủ theo metric d(u, v) = ∑∞ n =1 2 n ju vjn 1+ju vjn và X là không gian Fréchet. Trên X, chúng ta cũng xét một họ các nửa chuẩn khác k kn được xác định bởi kukn = 1, trong đó jujγ = supfju( x )j : x 2 [0, n] N , j x j1 γ n g, j u j h n = j u jγn + j u j hn , n n supfe hn (j xj1 γn ) ju( x )j : x 2 [0, n] N , j x j1 γn g, j x j1 = x1 + ... + x N , γn 2 (0, n) và hn > 0 là các số thực tùy ý. k kn và j jn là tương đương, bởi vì e hn (nN γn ) jujn kukn 2 jujn , 8u 2 X, 8n 1. N ; E ) là không gian Fréchet được định nghĩa như trên và A Bổ đề 3.1.1. Cho X = C (R+ X. Với N mỗi n 2 N, gọi Xn = C ([0, n] ; E) là không gian Banach của tất cả các hàm liên tục u : [0, n] N ! E đối với chuẩn jujn = supfju( x )j : x 2 [0, n] N g và An = fuj[0,n] N : u 2 Ag. Khi đó, tập A là compact tương đối khi và chỉ khi với mỗi n 2 N, An là đẳng liên tục trong Xn và với mọi x 2 [0, n] N , tập An ( x ) = fu( x ) : u 2 An g là compact tương đối trong E. Định nghĩa 3.1.1. Một hàm ũ được gọi là một nghiệm ổn định tiệm cận của (3.1) nếu lim j x j1 !+∞ ju( x ) ũ( x )j = 0, với mọi nghiệm u của (3.1). 3.2 Sự tồn tại nghiệm và nghiệm ổn định tiệm cận Chúng ta thành lập các giả thiết sau. N ! R sao cho ( A1 ) Tồn tại một hằng số L 2 [0, 1) và một hàm liên tục ω 0 : R+ + N jV ( x; u, v) V ( x; ū, v̄)j L ju ūj + ω 0 ( x ) jv v̄j , 8 x 2 R+ , 8u, v, ū, v̄ 2 E; ( A2 ) Tồn tại một hàm liên tục ω 1 : ∆ ! R+ sao cho 8 x, y; u1 , ..., u p , x, y; ū1 , ..., ū p 2 ∆ Ep, p V1 x, y; u1 , ..., u p V1 x, y; ū1 , ..., ū p ω 1 ( x, y) ∑i=1 jui ūi j , N và với mọi tập ( A3 ) F là hoàn toàn liên tục sao cho với mọi tập con bị chận I1 , I2 của R+ q con bị chận J của E , với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0, sao cho 8 x, x̄ 2 I1 , j x x̄ j1 < δ =) F ( x, y; u1 , ..., uq ) F ( x̄, y; u1 , ..., uq ) < ε, 8(y; u1 , ..., uq ) 2 I2 J; 2N N Z ( A4 ) Tồn tại một hàm liên tục ω 2 : R+ ! R+ sao cho với mọi tập con bị chận I của R+ , sup ω 2 ( x, y)dy < ∞, và F x, y; u1 , ..., uq N R+ x2 I ( A5 ) lim Z η !0+ Bx , jσi (y)j1 η j x j1 !+∞ trong đó ā( x ) = a( x ) + ∑i=1 a(σi ( x )), a( x ) = R̄( x ) = p R ( x ) + ∑ i =1 Eq ; ( A5 ) đúng. Khi đó (3.1) có nghiệm trong X. ā( x ) + R̄( x ) exp ( R̄(0) x1 x2 ...x N ) p N R+ dy = 0, 8i = 1, ..., p. Định lý 3.2.1. Giả sử ( A1 ) Hơn nữa, nếu lim ω 2 ( x, y), 8 x, y; u1 , ..., uq 2 I 1 1 L R(σi ( x )), R( x ) = 1 Z Z N R+ Bx ā(y)dy = 0, ω 2 ( x, y)dy; 1 L ω 0 ( x ) ω 1 ( x, 0), 16 (3.2) N, ω 0 ( x )ω 1 ( x, y) ω 0 ( x )ω 1 ( x, 0) ω 0 (0)ω 1 (0, 0), 8y 2 Bx , 8 x 2 R+ khi đó mọi nghiệm u của (3.1) là nghiệm ổn định tiệm cận. Nhận xét 3.1. Giả thiết ( A5 ) là hợp lý, nhờ hai ví dụ sau đây. Z Ví dụ 1. Xét σi ( x ) = x, khi đó σi thỏa mãn ( A5 ), bởi vì y2[0,n] N , jyj1 η η ! 0+ . Ví dụ 2. Xét σi (y) = by, 0 < b < 1, ( A5 ) cũng đúng, bởi vì Z ηN N! dy y2[0,n] N , jbyj1 η dy ! 0, khi ηN N!b N !0 khi η ! 0+ . Tiếp theo, chúng ta đưa ra một ví dụ mà trong đó ω 0 , ω 1 , ω 2 , σi thỏa mãn (3.2). Ví dụ 3. p p (1 L ) α1 (1 L ) α1 q ω 1 ( x, y) = q , , ω ( x ) = 0 λ1 N 1+ β1 exp(γ1 j x j1N ) 1+ β1 exp(γ1 j x j1 )+ β2 jyj1 q ω 2 ( x, y) = exp( γ2 j x j1 ) λ 1+jyj2 2 , j y j2 = y21 + ... + y2N ; σi ( x ) = σ̄i x, 1 trong đó α1 , β1 , β2 , γ1 , γ2 , λ1 , λ2 , σ̄i (1 0 < σ̄i 1, σmin = min σ̄i , γ1 > 1 i p i p, p) là hằng số dương với λ1 > N, λ2 > N, i ( p +1) α1 . N N (1+ β1 )σmin Ta có thể nghiệm lại rằng (3.2) đúng. Nhận xét 3.2. Trong quá trình chứng minh định lý 3.2.1, chúng ta cần đánh giá bất đẳng thức tích phân sau Z sau đây jv( x )j p N, r ( x, y)jv(σi (y))jdy + a( x ), 8 x 2 R+ ∑ i =1 BxZ 1 1 L trong đó a( x ) = N R+ ω 2 ( x, y)dy, r ( x, y) r ( x, 0) Khi đó, ta có đánh giá sau đây cho jv( x )jZ như sau jv( x )j ā( x ) + R̄( x ) exp ( R̄(0) x1 x2 ...x N ) p a ( x ) + ∑ i =1 Bx R( x ) N. r (0, 0), 8y 2 Bx , 8 x 2 R+ ā(y)dy, p a(σi ( x )), R̄( x ) = R( x ) + ∑i=1 R(σi ( x )), R( x ) = r ( x, 0). trong đó ā( x ) = 3.3 Tính compact của tập nghiệm Định lý 3.3.1. Giả sử ( A1 ) ( A5 ) là đúng. Khi đó tập các nghiệm của phương trình (3.1) là khác rỗng và compact. 3.4 Ví dụ minh họa Cho E = C ([0, 1]; R) là không gian Banach của tất cả các hàm liên tục v : [0, 1] ! R đối với chuẩn kvk = supfjv(t)j : 0 t 1g, v 2 E. Khi đó, với mỗi u 2 X = C (R2+ ; E), với mọi 2 x 2 R+ , u( x ) là một phần tử của E và ta ký hiệu u( x )(t) = u( x, t), 0 t 1. Xét phương trình (3.1) theo dạng u( x ) = V x, u( x ), + Z R2+ Z Bx V1 x, y, u(σ1 (y)), ..., u(σ p (y)) dy (3.3) F x, y, u(χ1 (y)), ...., u(χq (y)) dy, x 2 R2+ , trong đó σi ( x ) = σ̄i x, 0 < σ̄i 1, i = 1, ..., p; χi ( x ) = χ̄i x, 0 < χ̄i 1, i = 1, ..., q; Bx = [0, x1 ] [0, x2 ]. Cho trước các hàm liên tục V, V1 , F như sau. 2 (i) Hàm V : R2+ E2 ! E, V ( x, u, v)(t) = 2(1 k1 )u ( x, t) + k1 ju(t)j + e γj xj1 jv(t)j , 0 t 1, ( x, u, v) 2 R2+ E2 , với u ( x, t) = 1jxj1 và γ, k1 là các hằng số cho trước sao cho t+e 0 < k1 < 1, γ > (1+ p ) π 2(1 k 1 ) θ > 0, θ = min σ̄2i . 1 i p 17 (ii) Hàm V1 : ∆ E p ! E, V1 x, y; u1 , ..., u p (t) = e t 1, x, y; u1 , ..., u p 2 ∆ E p , ∆ = f( x, y) 2 R2+ (iii) Hàm F : R2+ R2+ Eq ! E, 0 4 q F x, y; u1 , ..., uq (t) = (k1 1) e 2j y j1 u R2+ R2+ Eq . t 1, x, y; u1 , ..., uq 2 Ta có thể nghiệm lại rằng ( A1 ) nữa, dễ thấy rằng phương trình 0 ξ (x) = V x, ξ ( x ), Z Bx p 2j y j1 u ( x, t) ∑i=1 sin π u và u : ! E, lim ku ( x ) q ( x, t) ∑i=1 sin π 2 Z 1 0 ui ( s ) ds u (χi (y),s) , ( A5 ) là đúng. Do đó, Định lý 3.3.1 đúng cho (3.3). Hơn V1 x, y, ξ (σ1 (y)), ..., ξ (σ p (y)) dy , x 2 R2+ u ( x )(t) = u ( x, t) = ξ ( x )k = lim e j x j1 ! ∞ , R2+ : y 2 Bx g. có nghiệm duy nhất ξ được xác định bởi ξ : R2+ ! E, ξ ( x )(t) = ξ ( x, t) = R2+ ui ( t ) (σi (y),t) j x j1 ! ∞ j x j1 1 t + e j x j1 2 t + e j x j1 , 8t 2 [0, 1], , 8t 2 [0, 1], là nghiệm của (3.3). Hơn nữa = 0. Do đó, ξ và u là các nghiệm ổn định tiệm cận của (3.3). Kết luận chương 3. Chương 3 đã kế thừa các ý tưởng và phương pháp nghiên cứu của chương N ; E ) như trên. Việc xuất hiện 2. Tuy nhiên, Zcần phải thiết lập không gian Fréchet ZX = C (R+ các tích phân Bx V1 x, y, u(σ1 (y)), ..., u(σ p (y)) dy và N R+ F x, y, u(χ1 (y)), ...., u(χq (y)) dy nên việc tính toán và đánh giá phức tạp, cần nhiều kỹ thuật tinh tế để giải quyết. Về kết quả thu được cho hai chương này là tương tự, nhưng phương pháp thực hiện để thu được các kết quả ở chương 3 thì sắc sảo và phức tạp hơn. Các kết quả của chương 3 đã được công bố trong [D3]. Chương 4 Phương trình vi tích phân hàm phi tuyến theo hai biến nhận giá trị thực Chương cuối cùng, chúng tôi xét các phương trình vi tích phân phi tuyến hai chiều nhận giá trị thực, có các dạng như sau u( x, y) = g( x, y) + u( x, y) = g( x, y) + Z 1Z 1 0 0 0 0 Z 1Z 1 K ( x, y, s, t, u(s, t), D1m u(s, t))dsdt, (4.1) K ( x, y, s, t, u(s, t), D1m u(s, t), D2n u(s, t))dsdt, 8( x, y) 2 Ω = [0, 1] [0, 1], trong đó g : Ω ! R, K : Ω Ω m là các hàm số cho trước. Các ký hiệu D1m u = ∂∂xmu , D2n u = R2 ∂n u ∂yn , (4.2) ! R hay K : Ω Ω !R để chỉ các đạo hàm riêng cấp R3 m 1, n 1 của một hàm u( x, y) xác định trên Ω, lần lượt đối với biến thứ nhất và biến thứ hai. Kết quả thu được là sự khái quát các kết quả trước đây và đã được công bố trong [D5]. 4.1 Khảo sát phương trình (4.1) với m = 1 Trong mục này, chúng tôi xét phương trình vi tích phân phi tuyến hai chiều thuộc dạng u( x, y) = g( x, y) + Z 1Z 1 0 0 K ( x, y, s, t, u(s, t), D1 u(s, t))dsdt, (4.3) 8( x, y) 2 Ω = [0, 1] [0, 1], trong đó g : Ω ! R, K : Ω Ω ! R là các hàm số cho trước. Trước hết, ký hiệu X = C (Ω; R) là không gian Banach của tất cả các hàm liên tục u : Ω ! R đối với chuẩn kuk X = supfju( x, y)j : ( x, y) 2 Ωg, u 2 X. Đặt X1 = fu 2 X = C (Ω; R) : D1 u 2 X g. (4.4) Rõ ràng là C1 (Ω; R) X1 X và rằng chúng không trùng nhau. Thật vậy, ta có u( x, y) = x 1 2 + y 1 2 R2 2 X, nhưng u 2 / X1 . Và có v( x, y) = x2 y 18 1 2 2 X1 , nhưng v 2 / C1 (Ω; R).