Tài liệu Sự ổn định của phương trình vi phân tuyến tính và phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu trong không gian Hilbert

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC Đoàn Hồng Ngọc SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CÓ NHIỄU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Đặng Đình Châu Hà Nội-2011 Mục lục Lời mở đầu 4 1 Không gian Hilbert và sự ổn định của phương trình vi phân trong không gian Hilbert theo hai phương pháp của Lyapunov 6 1.1 Không gian Banach và không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Toán tử tuyến tính và phổ của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Toán tử tuyến tính, toán tử đóng và bao đóng của toán tử . . . 8 1.2.2 Phổ của toán tử tuyến tính và ví dụ về phổ của toán tử Volterra 9 1.3 Sự ổn định theo Lyapunov của phương trình vi phân trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1 Phương trình vi phân trong không gian Hilbert . . . . . . . . . 15 1.3.2 Các khái niệm về sự ổn định của phương trình vi phân trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Sự ổn định của phương trình vi phân theo phương pháp hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 16 18 Sự ổn định của phương trình vi phân tuyến tính và tuyến tính có nhiễu trong không gian Hilbert theo phương pháp xấp xỉ thứ nhất Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Nửa nhóm liên tục mạnh có nhiễu và ứng dụng trong phương trình truyền sóng 27 2.1 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Banach . . . . . . . . . . . 27 2.1.1 Định nghĩa nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.2 Ví dụ về nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.1 Định nghĩa về toán tử sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.2 Tính chất của toán tử sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.3 Ví dụ về toán tử sinh của nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . 33 2 2.2.4 Các định lý cơ bản về toán tử sinh của nửa nhóm co liên tục mạnh 35 2.3 Nửa nhóm liên tục mạnh có nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3.1 Khái niệm nhiễu của toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh 42 2.3.2 Nửa nhóm liên tục mạnh có nhiễu bị chặn . . . . . . . . . . . . 42 2.4 Phương trình tiến hoá đặt chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.5 Ứng dụng với phương trình truyền sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.5.1 Không gian hàm và toán tử vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.5.2 Phương trình truyền sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 3 Lời mở đầu Nghiên cứu dáng điệu nghiệm của các phương trình vi phân là một trong những bài toán cơ bản của lý thuyết định tính các phương trình vi phân. Ngoài các phương pháp của Lyapunov (1857-1918), gần đây phương pháp nửa nhóm đóng một vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu tính chất của các hệ động lực tuyến tính và dáng điệu nghiệm của các phương trình vi phân trong không gian Hilbert. Mặc dù đã trải qua một thời gian dài của sự hình thành và phát triển, các phương pháp nghiên cứu trên vẫn được nhiều nhà khoa học quan tâm và nghiên cứu vì ngoài các ý nghĩa sâu sắc trong lý thuyết toán học, nó còn góp phần quan trọng trong việc nghiên cứu các mô hình ứng dụng trong vật lý học, hoá học và môi trường sinh thái. Nội dung chính của luận văn gồm hai chương: Trong chương một, chúng tôi dành cho việc trình bày một số khái niệm chuẩn bị và các kết quả cơ bản về tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân trong không gian Hilbert nhờ phương pháp hàm Lyapunov và phương pháp xấp xỉ thứ nhất. Chúng tôi xin lưu ý rằng các toán tử tuyến tính được xét ở vế phải của các phương trình vi phân trong chương này đều thuộc lớp các toán tử tuyến tính giới nội ( A ∈ L(X) ) và do đó các nghiệm của phương trình vi phân tương ứng đều được hiểu theo nghĩa nghiệm cổ điển. Với mục đích tiếp tục mở rộng phương pháp xấp xỉ thứ nhất cho các bài toán tổng quát hơn, trong chương hai chúng tôi đã tiệm cận với phương pháp nửa nhóm và chỉ ra khả năng ứng dụng của nó trong việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình vi phân trong không gian Hilbert. Nội dung chính của chương này bao gồm lý thuyết về nửa nhóm liên tục mạnh, toán tử sinh của nửa nhóm, nửa nhóm có nhiễu, đặc biệt là ứng dụng của lý thuyết nửa nhóm vào việc xét tính đặt chỉnh của phương trình vi phân tuyến tính và tuyến tính có nhiễu với toán tử ở vế phải là toán tử tuyến tính không giới nội. Phần cuối của luận văn này, chúng tôi trình bày tóm tắt về bài toán truyền sóng để chỉ ra khả năng ứng dụng thực tế của lý thuyết nửa nhóm các toán tử tuyến tính. Mặc dù đã hết sức cố gắng, song không tránh khỏi những hạn chế thiếu sót, tác 4 giả rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của quý thầy cô và bạn đọc để luận văn này được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Nhân đây, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS Đặng Đình Châu, người đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt thời gian qua. Mặc dù bận rất nhiều công việc nhưng Thầy vẫn luôn bảo ban, chỉ dẫn và đưa ra những ý kiến sâu sắc để giúp tôi hoàn thành luận văn. Đồng thời, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành tốt chương trình cao học và hoàn thành xong luận văn này. Và tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên tôi, khích lệ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp. 5 Chương 1 Không gian Hilbert và sự ổn định của phương trình vi phân trong không gian Hilbert theo hai phương pháp của Lyapunov Trong chương này, đầu tiên chúng ta sẽ nhắc lại một số kiến thức cơ bản về không gian Banach, không gian Hilbert, về toán tử tuyến tính và phổ của nó cùng ví dụ về phổ của toán tử Volterra. Phần chính của chương là phần trình bày những kết quả cơ bản về sự ổn định của phương trình vi phân tuyến tính và tuyến tính có nhiễu theo phương pháp hàm Lyapunov và phương pháp xấp xỉ thứ nhất Lyapunov. Chú ý rằng toán tử tuyến tính ở vế phải của các phương trình vi phân được xét trong phần này chỉ là các toán tử giới nội. 1.1 Không gian Banach và không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.1. (Không gian tuyến tính định chuẩn) Giả sử X là không gian vectơ trên trường vô hướng K các số thực R hay các số phức C, X được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn nếu với mỗi x ∈ X có xác định một số không âm ||x|| (gọi là chuẩn của x ) thoả mãn các điều kiện sau: • ||x|| ≥ 0 với mọi x ∈ X, • ||λx|| = |λ|||x||, ||x|| = 0 ⇔ x = 0; với mọi λ ∈ K và với mọi x ∈ X; • ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, với mọi x, y ∈ X. 6 Định nghĩa 1.1.2. (Không gian đầy đủ) Không gian X đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều là dãy hội tụ, tức là {xn }∞ n=1 là dãy Cauchy trong X thì tồn tại x0 ∈ X mà xn → x0 (n → ∞). Định nghĩa 1.1.3. (Không gian Banach) Nếu không gian tuyến tính định chuẩn (X, ||.||) là không gian đầy đủ thì (X, ||.||) gọi là không gian Banach. Ví dụ 1.1.1. (Không gian Euclide n-chiều) Với mỗi số tự nhiên n, ký hiệu Kn (K là R hoặc C) là tích n lần trường vô hướng K. Kn := {x = (x1 , x2 , ..., xn ) : x1 , x2 , ..., xn ∈ K} Ta xác định chuẩn k·k2 trên K bởi v u n uX ||x||2 = t |x2i |, i=1 x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Kn . Khi đó Kn là một không gian định chuẩn với chuẩn k·k2 . Không gian này gọi là không gian Euclide n-chiều. Ta có thể chứng minh được Kn là không gian Banach, xem [1] trang 7. Ví dụ 1.1.2. (Không gian các hàm liên tục) Ký hiệu C[a, b] là không gian các hàm liên tục trên [a, b] với phép cộng các hàm và nhân một hàm với một số được hiểu theo nghĩa thông thường. Bởi vì mọi hàm liên tục trên một đoạn là bị chặn nên ta có thể xác định ||x|| = max |x(t)|, a≤t≤b x ∈ C[a, b]. Dễ thấy hàm x 7→ ||x|| xác định như trên là một chuẩn trên C[a, b]. Như vậy C[a, b] là một không gian tuyến tính định chuẩn. Ta có thể chứng minh C[a, b] là một không gian Banach, xem [1] trang 7. Định nghĩa 1.1.4. (Không gian tiền Hilbert) Không gian tuyến tính X xác định trên trường số K (K là R hoặc C) được gọi là không gian tiền Hilbert nếu mọi x, y ∈ X, xác định một số (x, y) gọi là tích vô hướng của x và y thỏa mãn các tiên đề • (x, x) ≥ 0 với mọi x ∈ X. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0. 7 • (x, y) = (y, x) với mọi x, y ∈ X. • (αx + βy, z) = α(x, z) + β(y, z) với mọi α, β ∈ K và với mọi x, y, z ∈ X. Định nghĩa 1.1.5. (Không gian Hilbert) Không gian Hilbert là không gian tiền Hilbert đầy đủ với chuẩn sinh bởi tích vô hướng kxk = 1.2 1.2.1 p (x, x), x ∈ X. Toán tử tuyến tính và phổ của nó Toán tử tuyến tính, toán tử đóng và bao đóng của toán tử Định nghĩa 1.2.1. (Toán tử tuyến tính) Giả sử X, Y là các không gian tuyến tính định chuẩn trên trường K, toán tử A : X → Y được gọi là tuyến tính nếu: A(αx + βy) = αAx + βAy với mọi x, y ∈ X và với mọi α, β ∈ K. Định nghĩa 1.2.2. Toán tử tuyến tính A được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu với mọi dãy xn hội tụ đến x0 , ta đều có Axn → Ax0 (n → ∞). Định lý 1.2.1. (Xem [1], trang 22) Nếu toán tử tuyến tính A liên tục tại điểm x0 ∈ X thì A liên tục tại mọi điểm x ∈ X. Như vậy để kiểm tra tính liên tục của toán tử tuyến tính A (trong toàn không gian) ta chỉ cần kiểm tra tính liên tục tại x = 0. Định nghĩa 1.2.3. (Toán tử tuyến tính giới nội) Giả sử X, Y là các không gian Banach. Toán tử A : X → Y được gọi là toán tử tuyến tính giới nội (bị chặn) nếu A là toán tử tuyến tính và đưa mọi tập giới nội vào tập giới nội. Xuyên suốt khoá luận này ta sẽ kí hiệu L(X) là không gian các toán tử tuyến tính giới nội trên X. Định lý 1.2.2. (Xem [1], trang 22) Toán tử tuyến tính A liên tục khi và chỉ khi nó giới nội. 8 Định lý 1.2.3. (Xem [1], trang 22) Giả sử X, Y là các không gian Banach và A : X → Y là toán tử tuyến tính. Điều kiện cần và đủ để toán tử A giới nội là tồn tại một số c > 0 sao cho: với mọi x ∈ X. kAxk 6 c kxk Định nghĩa 1.2.4. Giả sử X, Y là các không gian Banach. Chuẩn kAk của toán tử tuyến tính liên tục A : X → Y là đại lượng: kAk = sup kAxk = sup x6=0 kxk61 kAxk . kxk Định nghĩa 1.2.5. (Toán tử đóng) Giả sử X, Y là các không gian Banach, D(A) là không gian vectơ con của X. Toán tử tuyến tính A : D(A) ⊂ X → Y gọi là toán tử đóng nếu với mọi dãy {xn }∞ n=1 ⊂ D(A) mà xn → x, Axn → y thì x ∈ D(A) và Ax = y hay nói cách khác đồ thị G(A) = {(x, Ax) : x ∈ D(A)} ⊂ X × Y là tập đóng trong X × Y. Mệnh đề 1.2.1. Giả sử X, Y là các không gian Banach, D(A) là không gian vectơ con của X. Nếu A : D(A) → Y là toán tử bị chặn thì A là toán tử đóng khi và chỉ khi D(A) là không gian vectơ con đóng. Chứng minh. Thật vậy, vì A bị chặn nên A liên tục. Giả sử {xn }∞ n=1 ⊂ D(A) : xn → x, Axn → y. Khi đó x ∈ D(A) khi và chỉ khi D(A) đóng. Ax = y do A liên tục và giới hạn là duy nhất. Định nghĩa 1.2.6. Giả sử X, Y là các không gian Banach, A : D(A) ⊂ X → Y . Khi đó B : D(B) ⊂ X → Y gọi là mở rộng của A nếu D(A) ⊂ D(B) và Ax = Bx với mọi x ∈ D(A). Toán tử A gọi là có bao đóng nếu B là mở rộng của A và B là toán tử đóng. 1.2.2 Phổ của toán tử tuyến tính và ví dụ về phổ của toán tử Volterra Giả sử X là không gian Banach. Định nghĩa 1.2.7. Xét toán tử tuyến tính A : D(A) ⊂ X → X với tập xác định D(A), trong đó D(A) là không gian vectơ con của X. (i) Điểm λ ∈ C được gọi là giá trị chính quy của A nếu (λI − A) là song ánh giữa D(A) và X đồng thời (λI − A)−1 ∈ L(X). 9 (ii) Tập các giá trị chính quy, ký hiệu ρ(A) được gọi là tập giải của toán tử A. (iii) Tập hợp các điểm không phải là giá trị chính quy của A gọi là phổ của toán tử A (kí hiệu là σ(A)). Ta có σ(A) = C \ ρ(A). (iv) Toán tử R(λ, A) = (λI − A)−1 được gọi là toán tử giải hoặc giải thức đối với toán tử A. Nếu A là toán tử đóng thì (λI − A) cũng là toán tử đóng (do λI liên tục). Do đó nếu (λI − A)−1 tồn tại thì cũng là toán tử đóng. Suy ra nếu (λI − A) là song ánh giữa D(A), A là toán tử đóng thì theo định lý đồ thị đóng (λI − A)−1 là liên tục. Vậy đối với toán tử đóng định nghĩa phổ có thể phát biểu lại là:  ρ(A) = λ ∈ C : λI − A là song ánh giữa D(A) và X . σ(A) = C\ρ(A) = {λ ∈ C : (λI − A) : D(A) → X không là song ánh}. A. Một số tính chất của phổ Định lý 1.2.4. Nếu toán tử A không có phổ là toàn mặt phẳng phức C thì A là toán tử đóng. (Nếu A không đóng thì phổ là C.) Chứng minh. Theo giả thiết, tồn tại λ ∈ / σ(A). Khi đó B = (λI − A)−1 ∈ L(X); B : X → D(A). Giả sử {xn }n ⊂ D(A): xn → x, Axn → y. Đặt hn = (λI −A)xn . Suy ra lim hn = λx−y. Vì B liên tục nên B(λx−y) = lim Bhn = n↓∞ n↓∞ lim xn = x. Suy ra x ∈ D(A). Ta có: (λI − A)x = (λI − A)B(λx − y) = λx − y. Suy n↓∞ ra Ax = y. Vậy A là toán tử đóng. Định lý 1.2.5. (Phương trình giải thức Hilbert) Đối với λ, µ ∈ ρ(A), ta có phương trình giải thức sau: R(λ, A) − R(µ, A) = (µ − λ)R(λ, A)R(µ, A). Chứng minh. Ta có: λR(λ, A) − AR(λ, A) = I = µR(µ, A) − AR(µ, A). Suy ra [λR(λ, A) − AR(λ, A)]R(µ, A) = R(µ, A). R(λ, A)[µR(µ, A) − AR(µ, A)] = R(λ, A). Do A, R(λ, A) giao hoán nên R(λ, A) − R(µ, A) = (µ − λ)R(λ, A)R(µ, A). 10 Hệ quả 1.2.1. Với mọi λ, µ ∈ ρ(A), R(λ, A), R(µ, A) giao hoán và: R(λ, A) − R(µ, A) = R(λ, A)R(µ, A). µ−λ Định lý 1.2.6. Đối với toán tử đóng A : D(A) ⊂ X → X, các tính chất sau xảy ra: (i) Tập giải thức ρ(A) là mở trong C và với µ ∈ ρ(A) ta có: R(λ, A) = ∞ X n=0 (µ − λ)n Rn+1 (µ, A) với mọi λ ∈ C thoả mãn: |µ − λ| < kR(µ, A)k−1 . (ii) Ánh xạ giải thức λ → R(λ, A) là giải tích địa phương với dn R(λ, A) = (−1)n n!R(λ, A)n+1 dλn ∀n ∈ N. (1.1) (iii) Giả sử dãy số {λn }n ⊂ ρ(A) và lim λn = λ0 . n→∞ Khi đó λ0 ∈ σ(A) ⇔ lim kR(λn , A)k = +∞. n→∞ Chứng minh xem [6], chương V, mệnh đề 1.3. B. Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Banach Phổ của toán tử sẽ phụ thuộc vào loại không gian mà toán tử xác định trên đó và loại toán tử mà ta xét đến. Sau đây ta xét toán tử tuyến tính bị chặn T trên không gian Banach phức X. Định lý 1.2.7. Cho T ∈ L(X) trong đó X là không gian Banach. Nếu kT k < 1 thì (I − T )−1 tồn tại như một toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian X và (I − T ) −1 = ∞ X T j = I + T + T 2 + ... + T n + ... (1.2) j=0 trong đó chuỗi bên vế phải hội tụ theo chuẩn trên L(X). Chứng minh. Ta có kT j k 6 kT kj . Chuỗi P kT kj hội tụ khi kT k < 1. Do đó chuỗi trong 1.2 hội tụ tuyệt đối khi kT k < 1. Ta biết chuỗi hội tụ tuyệt đối suy ra hội tụ. Vì vậy chuỗi trong 1.2 hội tụ. Kí hiệu vế phải của 1.2 là S, ta chứng minh S = (I − T )−1 . Đặt Sn = I + T + ... + T n , ta có Sn → S. Xét (I − T )(I + T + ... + T n ) = (I + T + ... + T n )(I − T ) = I − T n+1. Cho n → ∞. Khi đó T n+1 → 0 vì kT k < 1. Ta suy ra (I − T )Sn = Sn (I − T ) → I. Chứng tỏ S = (I − T )−1 . 11 Định lý 1.2.8. (Định lý phổ) Phổ σ(T ) = C\ρ(T ) của một toán tử tuyến tính bị chặn T : X → X trên một không gian Banach phức X là compact và nằm trong hình tròn λ 6 kT k . (1.3) Do đó giải thức ρ(T ) của T khác rỗng. Chứng minh. Với λ ∈ C, xét 1 (λI − T )−1 = [λ(I − T )]−1 λ 1 1 −1 = (I − T ) λ λ (1.4) 1 kT k 1 kT k = kT k = < 1 tức là |λ| > kT k thì (λI − T )−1 tồn λ λ λ tại như một toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian X. Như vậy nếu |λ| > kT k thì Theo định lý 1.2.7 nếu λ ∈ ρ(T ). Khi đó phổ σ(T ) = C\ρ(T ) phải nằm trong hình tròn 1.3. Vậy σ(T ) bị chặn mà σ(T ) đóng nên σ(T ) là compact. Định lý 1.2.9. (Xem [6], trang 157) Nếu X 6= { 0} là một không gian Banach phức và T ∈ L(X) thì σ(T ) 6= ∅. Định lý 1.2.10. (Định lý ánh xạ phổ) Nếu A là toán tử tuyến tính giới nội trên không gian Hilbert H và f (z) là hàm giải tích trên miền mở D ⊃ σ(A) thì σ(f (A)) = f (σ(A)). C. Bán kính phổ Định nghĩa 1.2.8. Giả sử X là không gian Banach phức và σ(T ) là phổ của toán tử T ∈ L(X). Khi đó số r(T ) = sup{|λ| : λ ∈ σ(T )} được gọi là bán kính phổ của toán tử T . Định lý 1.2.11. (Công thức tính bán kính phổ, xem [6] trang 158) Cho T là toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Banach X. Khi đó bán kính phổ r(T ) của toán tử T được tính bởi công thức sau r(T ) = lim n↓∞ 12 p n kT n k. D. Ví dụ về phổ của toán tử Volterra Cho k(t, s) là một hàm liên tục hai biến trên tập D := { (t, s) : a 6 t 6 b, a 6 s 6 t} . Với một hàm f cho trước trên đoạn [a, b], phương trình sau đây được gọi là phương trình tích phân Volterra loại 2 x(t) = f (t) + Zt k(t, s)x(s)ds, (1.5) a trong đó x(t), t ∈ [a, b] là hàm cần xác định. Trong mục này ta sẽ ứng dụng lý thuyết phổ được trình bày ở trên để tìm phổ của toán tử Volterra (Ax)(t) = Zt k(t, s)x(s)ds. (1.6) a Với toán tử A xác định trong 1.6, phương trình 1.5 có thể được viết thành: (I − A)x = f. (1.7) Vì vậy việc tìm phổ của toán tử A có ý nghĩa đối với việc giải được và giải nghiệm cụ thể của phương trình 1.5. Đặt K = max |k(t, s)|. Xét dãy { xn (t)} (t,s)∈D n xác định bởi: x1 (t) = Zt k(t, s)x(s)ds, x2 (t) = Zt k(t, s)x1 (s)ds, a a ................................. xn (t) = Zt k(t, s)xn−1 (s)ds. a 13 Với mọi t ∈ [a, b], ta có: |x1 (t)| 6 Zt a |x2 (t)| 6 K |k(t, s)| |x(s)| ds 6 K(t − a) kxk , Zt K(s − a) kxk ds =K 2 (t − a)2 kxk , 2 a ................................. |xn (t)| 6 K Zt a K n−1 (s − a)n−1 (t − a)n kxk ds =K n kxk . (n − 1)! n! Hiển nhiên theo định nghĩa của toán tử A ta có: xn (t) = An x(t). Vì t ∈ [a, b] nên kAn xk 6 Suy ra K n (b − a)n kxk . n! K n (b − a)n . kA k 6 n! n (1.8) Áp dụng công thức tính bán kính phổ ở định lý 1.2.11 cho 1.8 ta có: K(b − a) √ = 0. n n↓∞ n! r(A) 6 lim Vậy r(A) = 0. Theo định lý 1.2.9, σ(A) 6= ∅ nên λ = 0 ∈ σ(A). Vậy σ(A) = { 0}. Một trong những ý nghĩa của việc xác định được phổ của toán tử Volterra ở trên là toán tử I − A khả nghịch và do đó phương trình tích phân Volterra 1.7 có nghiệm duy nhất x = (I − A)−1 f. 1.3 Sự ổn định theo Lyapunov của phương trình vi phân trong không gian Hilbert Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày những kết quả cơ bản về tính ổn định của phương trình vi phân tuyến tính và tuyến tính có nhiễu theo hai phương pháp của Lyapunov, đó là phương pháp hàm Lyapunov và phương pháp xấp xỉ thứ nhất Lyapunov. Trước hết, ta cần nhắc lại khái niệm phương trình vi phân trong không gian Hilbert cũng như nghiệm của nó và một số định lý cơ bản về sự có nghiệm của phương trình này. 14 1.3.1 Phương trình vi phân trong không gian Hilbert Cho H là không gian Hilbert. Trong H ta xét phương trình vi phân dx(t) = f (t, x(t)), dt (1.9) trong đó f : R+ × H → H, t ≥ 0; x(.) ∈ H. Từ nay về sau, nếu không nói gì thêm ta sẽ hiểu nghiệm của phương trình (1.9) là nghiệm theo nghĩa cổ điển sau: Định nghĩa 1.3.1. Hàm trừu tượng x = x(t)(x : I −→ H; I ⊂ R+ ) xác định trên I, khả vi liên tục theo t ∈ I được gọi là nghiệm của (1.9) nếu khi ta thay nó vào (1.9) sẽ thu được một đồng nhất thức trên I, tức là dx(t) = f (t, x(t)) dt trong đó với mọi t ∈ I, dx(t) là đạo hàm được hiểu theo nghĩa Fretche. dt Bài toán Cauchy: Tìm nghiệm x = x(t) của phương trình (1.9) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 với (t0 , x0 ) ∈ I × H cho trước. Tương ứng với phương trình (1.9), người ta thường xét phương trình dạng tích phân: x(t) = x0 + Zt f (τ, x(τ ))dτ. (1.10) t0 Nhận xét: Nếu f liên tục theo chuẩn trong H thì ta có thể chỉ ra rằng nghiệm của (1.10) là nghiệm của bài toán Cauchy và ngược lại. Sau đây tôi nhắc lại một số kết quả cơ bản về sự có nghiệm của bài toán Cauchy. Định lý 1.3.1. (Tính duy nhất nghiệm địa phương) Giả sử tồn tại lân cận đóng (t0 , x0 ) sao cho trong lân cận đó hàm f (t, x) liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz ||f (t, x2 ) − f (t, x1 )|| ≤ M||x2 − x1 || (1.11) (M là hằng số hữu hạn). Khi đó tồn tại lân cận của x0 mà trong lân cận đó (1.9) có duy nhất nghiệm x = x(t) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 . Chứng minh xem [2], định lý 2.1 trang 187. Chú ý: Nghiệm x(t) chỉ tồn tại duy nhất trên ||t − t0 || ≤ ǫ , ||x − x0 || ≤ η với ǫ, η đủ nhỏ. Định lý sau đây chỉ ra sự tồn tại nghiệm trên toàn bộ [a, b]. 15 Định lý 1.3.2. (Tính duy nhất nghiệm toàn cục) Giả sử tồn tại miền [a, b] × H mà trên miền đó hàm f(t,x) liên tục theo t vào thỏa mãn điều kiện Lipschitz (1.11). Khi đó với mọi (t0 , x0 ) ∈ [a, b] × H, bài toán Cauchy có nghiệm duy nhất x = x(t) xác định trên [a, b] . Chứng minh xem [2], định lý 2.2 trang 188. Định lý 1.3.3. (Sự kéo dài nghiệm trong không gian Hilbert) Giả sử ||x|| < ∞, t ≥ t0 , hàm f (t, x) thỏa mãn điều kiện ||f (t, x(t))|| ≤ L(||x||), trong đó L(r) là hàm liên tục có tính chất Z r dr → ∞ khi r → ∞. r0 L(r) Khi ấy mọi nghiệm của phương trình (1.9) có thể kéo dài trên khoảng thời gian vô hạn t0 ≤ t < ∞. Chứng minh xem [2], định lý 2.3 trang 189. 1.3.2 Các khái niệm về sự ổn định của phương trình vi phân trong không gian Hilbert Giả sử H là không gian Hilbert tách được; D = {(t, x) ∈ (a, b) × H : |t − t0 | ≤ T ; ||x − x0 || ≤ r}. Xét phương trình vi phân dx(t) = f (t, x(t)), (1.12) dt trong đó t ∈ R+ ; x ∈ H; f : D −→ H là một hàm liên tục thỏa mãn f (t, 0) = 0 và thỏa mãn điều kiện Lipschitz, tức là tồn tại L > 0 sao cho: Với mọi (t, x1 ), (t, x2 ) ∈ D thì ||f (t, x1 ) − f (t, x2 )|| ≤ L||x1 − x2 ||. Trước hết chúng ta nêu một số định nghĩa về sự ổn định của nghiệm tầm thường. Ký hiệu: G = {x : x ∈ H, ||x|| ≤ h ≤ r < +∞}; x(t) = x(t, t0 , x0 ) là nghiệm của phương trình ( 1.12) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 (x0 ∈ G). 16 Định nghĩa 1.3.2. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân ( 1.12) được gọi là ổn định theo Lyapunov khi t → +∞ nếu : ∀ǫ > 0, t0 ∈ R+ ; ∃δ = δ(t0 , ǫ) > 0 : ∀x0 ∈ G; ||x0 || < δ → ||x(t, t0 , x0 )|| < ǫ; ∀t ≥ t0 . Định nghĩa 1.3.3. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân ( 1.12) được gọi là ổn định đều theo Lyapunov khi nếu số δ trong định nghĩa (1.3.2) không phụ thuộc vào t0 . Định nghĩa 1.3.4. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (1.12) được gọi là ổn định tiệm cận khi t → ∞ nếu : (i) Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 là ổn định; (ii) Tồn tại △ = △(t0 ) > 0 sao cho với mọi x0 ∈ G và ||x0 || < △ thì lim ||x(t, t0 , x0 )|| = 0. t→+∞ Định nghĩa 1.3.5. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (1.12) được gọi là ổn định tiệm cận đều nếu: (i) Nghiệm x(t) ≡ 0 là ổn định đều; (ii) Tồn tại △ > 0 (không phụ thuộc vào t0 ) sao cho với mọi x0 ∈ G thỏa mãn ||x0 || < △ thì lim ||x(t, t0 , x0 )|| = 0. t→+∞ Định nghĩa 1.3.6. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân ( 1.12) được gọi là ổn định mũ khi t → ∞ nếu mọi nghiệm x = x(t, t0 , x0 ) của (1.12) thỏa mãn ||x(t, t0 , x0 )|| ≤ B||x0 ||e−α(t−t0 ) trong đó B, α là hằng số dương nào đó không phụ thuộc vào (t0 , x0 ). Để nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân ta thường dùng hai phương pháp cơ bản là phương pháp xấp xỉ thứ nhất Lyapunov và phương pháp thứ hai Lyapunov hay còn gọi là phương pháp hàm Lyapunov. Trước hết tôi sẽ trình bày lại một số kết quả cơ bản về tính ổn định của nghiệm tầm thường của phương trình vi phân trong không gian Hilbert theo phương pháp hàm Lyapunov. 17 1.3.3 Sự ổn định của phương trình vi phân theo phương pháp hàm Lyapunov Định nghĩa 1.3.7. (Phiếm hàm Lyapunov) Ta nói phiếm hàm V : R+ × H → R+ là phiếm hàm Lyapunov nếu nó liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai. . Đạo hàm phải của V dọc theo nghiệm của (1.12), kí hiệu là V (t, x) được xác định bởi 1 {V [t + h, x + hf (t, x)] − V (t, x)}. h→+∞ h Kí hiệu CIP: Họ các hàm tăng, liên tục, xác định dương. . V (t, x) = lim Định lý 1.3.4. (Định lý ổn định, xem [9].) Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục Lyapunov V : R+ × H → R+ và hàm a(.) ∈ CIP thỏa mãn các điều kiện: (i) V (t, 0) = 0; (ii) a(||x||) ≤ V (t, x); . (iii) V (t, x) ≤ 0. Khi đó nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình (1.12) là ổn định. Định lý 1.3.5. (Định lý ổn định đều, xem [9].) Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục Lyapunov V : R+ × H → R+ và các hàm a(.), b(.) ∈ CIP thỏa mãn các điều kiện: (i) a(||x||) ≤ V (t, x) ≤ b(||x||); . (ii) V (t, x) ≤ 0. Khi đó nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình (1.12) ổn định đều. Định lý 1.3.6. (Định lý ổn định tiệm cận đều, xem [9].) Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục Lyapunov V : R+ × H → R+ và các hàm a(.), b(.), c(.) ∈ CIP thỏa mãn các điều kiện: (i) a(||x||) ≤ V (t, x) ≤ b(||x||); . (ii) V (t, x) ≤ −c(||x||). Khi đó nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình (1.12) ổn định tiệm cận đều. Phương pháp hàm Lyapunov được áp dụng nhiều trong việc nghiên cứu định tính các hệ vi phân, nhất là các hệ phi tuyến. Tuy nhiên việc xác định hàm Lyapunov nói chung là khó. Vì vậy để nghiên cứu sự ổn định của một số phương trình vi phân người ta còn sử dụng phương pháp xấp xỉ thứ nhất Lyapunov. Sau đây, chúng tôi sẽ đưa ra một số định lý về sự ổn định của phương trình vi phân tuyến tính và tuyến tính có nhiễu trong không gian Hilbert theo phương pháp xấp xỉ thứ nhất Lyapunov. 18 1.3.4 Sự ổn định của phương trình vi phân tuyến tính và tuyến tính có nhiễu trong không gian Hilbert theo phương pháp xấp xỉ thứ nhất Lyapunov A. Một số khái niệm cơ bản về phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất trong không gian Hilbert Giả sử H là không gian Hilbert. Trong H, xét phương trình dx = A(t)x. dt (1.13) Giả sử toán tử A(t) với mỗi giá trị cố định của t là một toán tử tuyến tính giới nội và hàm toán tử A(t) liên tục theo t khi t ≥ 0. Do đó, theo định lý 1.3.1 phương trình 1.13 thoả mãn điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm với bài toán giá trị ban đầu; còn theo định lý 1.3.3 tất cả các nghiệm của phương trình này đều thác triển không giới nội được trên nửa khoảng thời gian vô hạn. Trong không gian L(H) ta xét phương trình . (1.14) U = A(t)U, trong đó U(t) là hàm toán tử lấy giá trị trong L(H). Giả sử U(t) là nghiệm của phương trình 1.14 thoả mãn điều kiện U(0) = I, ta chứng tỏ tồn tại toán tử ngược U −1 (t). . Thật vậy, ký hiệu V (t) là nghiệm của phương trình V = −V A(t) thoả mãn điều kiện V (0) = I. Đặt W1 (t) = V (t)U(t). Suy ra . . . W1 (t) = V (t) U (t) + V (t)U(t) = V AU − V AU = 0. . Do đó W1 (t) là toán tử hằng số và bằng I. Đặt W2 (t) = U(t)V (t), ta có . . . W2 (t) = U V (t) + U V (t) = AUV (t) + U(−V A)(t) = AUV (t) − UV A(t). . . Vậy W2 = AW2 − W2 A. Phương trình cuối cùng này nhận W2 (t) = I là nghiệm. Theo tính chất duy nhất nghiệm, mọi nghiệm bất kỳ khác xác định bởi điều kiện W2 (0) = I cũng phải trùng với nghiệm này. Vậy W2 (t) = I. Suy ra UV = V U. Đặt W (t, t0 ) = U(t)U −1 (t0 ) thì W (t, t0 ) được gọi là toán tử Cauchy của phương trình 1.13. W (t, t0 ) có tính chất W (t, t1 )W (t1 , t0 ) = W (t, t0 ). Dễ thấy, nghiệm của phương trình 1.13 thoả mãn điều kiện x(t0 ) = x0 có thể viết dưới dạng x(t) = W (t, t0 )x0 . Trong trường hợp đặc biệt, khi A(t) = A, A ∈ L(H), ta sẽ chỉ ra U(t) = eAt . Toán tử mũ eAt được xác định như sau 19 Định nghĩa 1.3.8. Với A là toán tử tuyến tính giới nội trên không gian Hilbert H, ta định nghĩa tA e = ∞ X (tA)n n=0 với mỗi t ≥ 0. (Qui ước 0 = I.) 0 (1.15) n! ∞ k(tA)n k P hội tụ vì Chú ý: Chuỗi n! n=0 tn kAkn k(tA)n k 6 n! n! với mọi t > 0 ∞ tn kAkn ∞ (tA)n P P hội tụ theo dấu hiệu D’Alembert. Do đó chuỗi hội tụ n! n=0 n=0 n! trong L(X). Vì vậy etA hoàn toàn được xác định. và chuỗi số Bây giờ, xét phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Hilbert H . (1.16) x(t) = Ax(t), x(t) ∈ X, t > 0; với A : H → H là toán tử tuyến tính giới nội. Ta sẽ chứng minh etA x0 là nghiệm của phương trình 1.16 thoả mãn điều kiện ban đầu x(0) = x0 . Trước hết ta cần có mệnh đề sau. Mệnh đề 1.3.1. Với A là toán tử tuyến tính giới nội trên không gian Hilbert H, xác định etA bởi 1.15. Khi đó, ánh xạ R+  t 7→ T (t) := etA ∈ (L(X), || · ||) liên tục và thoả mãn T (t + s) = T (t)T (s) với t, s ≥ 0, e0A = I. (Ký hiệu R+ là tập các số thực không âm.) Chứng minh. Áp dụng quy tắc Cauchy về nhân chuỗi luỹ thừa: ! ∞ ! ∞ ∞ X X X n n = cn xn an x bn x n=0 n=0 n=0 với cn = a0 bn + a1 bn−1 + ... + an b0 , ta có: T (t)T (s) = = ∞ X (tA)n n=0 ∞ X n! cn An n=0 20 ! ! ∞ X (sA)n n=0 n! !