Tài liệu Sự hội tụ theo dung lượng

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM DƢƠNG HUYỀN NHUNG SỰ HỘI TỤ THEO DUNG LƢỢNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM DƢƠNG HUYỀN NHUNG SỰ HỘI TỤ THEO DUNG LƢỢNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN – 2016 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào. Tác giả Dương Huyền Nhung ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Xin chân thành cảm ơn Trường THPT Chuyên Tỉnh Cao Bằng cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tháng 04 năm 2016 Tác giả iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................... i LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... ii MỤC LỤC............................................................................................................ iii MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1 1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................. 1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................. 1 3. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 2 4. Bố cục của luận văn ......................................................................................... 2 Chƣơng 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ......................................................... 3 1.1. Hàm đa điều hoà dưới................................................................................... 3 1.2. Toán tử Monge-Ampère phức ...................................................................... 5 1.3. Tính tựa liên tục của hàm đa điều hòa dưới ................................................. 8 1.4. Nguyên lý so sánh....................................................................................... 12 1.5. Các lớp năng lượng Cegrell ........................................................................ 15 Chƣơng 2: SỰ HỘI TỤ THEO DUNG LƢỢNG ............................................... 16 2.1. Sự hội tụ đối với các hàm đa điều hoà dưới bị chặn .................................. 16 2.2. Sự hội tụ trong lớp a ............................................................................... 31 KẾT LUẬN ........................................................................................................ 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 45 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Khái niệm dung lượng đã được Bedford và Taylor giới thiệu năm 1982 trong [3]. Nó đóng vai trò hết sức quan trọng trong lý thuyết đa thế vị, là công cụ rất hiệu quả trong việc nghiên cứu các hàm đa điều hòa dưới và toán tử Monge-Ampère phức. Một trong những hướng nghiên cứu của lý thuyết đa thế vị được nhiều người quan tâm hiện nay là tìm mối quan hệ giữa sự hội tụ theo dung lượng của hàm đa điều hoà dưới và sự hội tụ của các độ đo MongeAmpère phức tương ứng. Nghiên cứu kiểu hội tụ của độ đo Monge-Ampère phức và sự hội tụ theo dung lượng Cn của các hàm. Mối quan hệ giữa sự hội tụ yếu của các độ đo Monge-Ampère phức với sự hội tụ theo C n 1  dung lượng của các hàm. Vì thế theo hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn đề tài: “Sự hội tụ theo dung lượng”. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu về sự hội tụ theo dung lượng của hàm đa điều hoà dưới và sự hội tụ của các độ đo Monge-Ampère phức tương ứng; mối quan hệ giữa sự hội tụ của độ đo Monge-Ampère phức và sự hội tụ theo Cn  dung lượng cũng như C n 1  dung lượng của các hàm. Nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các phương trình Monge-Ampère. 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây: + Nghiên cứu mối quan hệ giữa sự hội tụ theo dung lượng của hàm đa điều hoà dưới và sự hội tụ của các độ đo Monge-Ampère phức tương ứng. 2 + Nghiên cứu mối quan hệ giữa sự hội tụ của độ đo Monge-Ampère phức và sự hội tụ theo Cn  dung lượng cũng như C n 1  dung lượng của các hàm. + Nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình Monge-Ampère. 3. Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức. 4. Bố cục của luận văn Nội dung luận văn gồm 45 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kiến thức cơ sở của lý thuyết đa thế vị cần thiết được sử dụng trong chương 2. Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày lại các kết quả nghiên cứu gần đây của Y. Xing về mối quan hệ giữa sự hội tụ theo dung lượng của hàm đa điều hoà dưới và sự hội tụ của các độ đo Monge-Ampère phức tương ứng, một số dạng khác nhau của định lý về tính ổn định đối với nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức. Phần cuối của chương này chúng tôi trình bày lại các kết quả của Xing đối với các lớp kiểu Cegrell ( ) các hàm đa điều hòa dưới không bị chặn. Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được. 3 Chƣơng 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Hàm đa điều hoà dƣới Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một không gian tôpô, hàm u : X được gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mọi x X : u(x ) là một tập con mở của một hàm nửa liên tục trên và không trùng với n b n và u : , là trên bất kỳ thành phần liên . Hàm u được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi a u(a , hàm phần của tập hợp u tập hợp là mở trong X. Định nghĩa 1.1.2. Cho thông nào của , b) là điều hoà dưới hoặc trùng :a b và trên mỗi thành . Trong trường hợp này, ta viết PSH ( ) . (ở đây kí hiệu PSH ( ) là lớp hàm đa điều hoà dưới trong ). Mệnh đề 1.1.3. Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong miền bị chặn, tức là nếu u là một tập con mở liên thông bị chặn của PSH ( ) , thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi z u(z ) , y y n được gọi là đa cực nếu với mỗi điểm E đều có một lân cận V của a và một hàm u E V z V : u(z ) và sup lim sup u(y ) . Định nghĩa 1.1.4. Tập hợp E a n . PSH (V ) sao cho 4 Định lý 1.1.5. Cho (i ) Họ PSH ( ) là nón lồi, tức là nếu u, v PSH ( ) , thì (ii ) Nếu u lim u j j u v uj PSH ( ) hoặc u , là các số không âm và PSH ( ) là dãy giảm, thì j . (iii ) Nếu u : , và nếu u j tập con compact của , thì u A . Khi đó PSH ( ) . là liên thông và (iv ) Giả sử u n là một tập con mở trong j PSH ( ) hội tụ đều tới u trên các PSH ( ) . PSH ( ) sao cho bao trên của nó u sup u là bị A chặn trên địa phương. Khi đó hàm chính qui nửa liên tục trên u * là đa điều hoà dưới trong . Định lý 1.1.6. Cho n là một tập con mở của . (i ) Cho u, v là các hàm đa điều hoà dưới trong là lồi, thì v (u / v) là đa điều hoà dưới trong (ii ) Cho u PSH ( ) , và v PSH ( ) , v và v : 0, 0, 0 trong . Nếu 0 trong là lồi và (0) 0 , thì v (u / v) n tại một hàm đa điều hoà dưới âm, liên tục : c z : (z ) c : là . , và v PSH ( ) , u Định nghĩa 1.1.7. Một miền bị chặn : . lồi và tăng dần, thì v (u / v) là đa điều hoà dưới trong (iii ) Cho u, v 0 . Nếu 0 trong . Nếu PSH ( ) . được gọi là miền siêu lồi nếu tồn ( . , 0) sao cho với c 0 5 1.2. Toán tử Monge-Ampère phức n Cho u là đa điều hoà dưới trên miền dc i( dd u n và C 2( ) thì toán tử: ) . Nếu u c . Ký hiệu d c dd u ... c 2 u z j zk n dd u 4 n ! det n n với dV là yếu tố thể tích trong có thể xem như độ đo Radon trên dV , 1 j ,k n gọi là toán tử Monge-Ampe. Toán tử này , tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact C 0 ( ) trên dd cu C0 n . Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hoà dưới bị chặn địa phương trên um u và thì tồn tại dãy dd cum n dd cum m (dd cu)n m 1 PSH ( ) C ( ) sao cho hội tụ yếu tới độ đo Radon lim Hơn nữa um n tức là: trên d , C0 không phụ thuộc vào việc chọn dãy um . như trên, ta ký hiệu: và gọi là toán tử Monge-Ampe của u . Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampe. Mệnh đề 1.2.1. Giả sử tụ yếu tới độ đo Radon i ) Nếu G ii ) Nếu K j n là dãy các độ đo Radon trên tập mở hội . Khi đó là tập mở thì (G ) lim inf là tập compact thì (K ) iii ) Nếu E compact tương đối trong j j (G ) . lim sup j : ( E) j (K ) . 0 thì (E ) lim j j (E ) . 6 Chứng minh. i ) Ta có compact. Lấy (G ) C 0(G ) , 0 (K ) ( ) (G ) Từ đó ii ) Ta có (K ) inf cận mở của K và lim inf (V ) : V lim inf IntE ,V lim j j j j ( ) (int E ) lim inf j lim sup j j (E ) Từ đó (E ) lim sup j (E ) . Vậy (E ) lim j n Mệnh đề 1.2.2. Giả sử 0 trên j j (int E ) j lim sup j (K ) . j j lim inf j j (E ) . (E ) . (E ) . là miền bị chặn và u, v và lim u(z ) z PSH ( ) Lloc ( ) 0 . Giả sử T là (n 1, n 1) dòng . Khi đó vdd cu T Đặc biệt, nếu lim v(z ) z 0 thì Chứng minh. Chú ý rằng dd cu . Với j E . Khi đó (E ) trên lim sup (K ) . Mặt khác dương, đóng trên V 0 . Giả sử V là một lân 1 trên K . Khi đó 1 và lim sup (G ) . (G ) . K ,V ( ) (E ) sao cho u, v j j C 0(V ) , 0 (K ) iii ) Viết E j j (V ) Từ đó ( ) j j G là tập 1 trên K . Khi đó 1 và lim G . Giả sử K (K ) : K sup 0 , đặt u udd cv T . vdd cu T udd cv T . T và dd cv T là các độ đo Borel dương max u, . Khi đó u 0 và là hàm đa điều 7 và u tăng tới 0 khi hòa dưới trên giảm về 0. Từ định lí hội tụ đơn điệu Lebesgue ta có udd cv T Do lim u (z ) 0 nên u z ' miền (u u 1/ j 0 là tập compact tương đối trong u nên dd cu đóng trên 0 dd cv T . u) . Lấy . Khi đó với j đủ lớn, 0 và do giả thiết T là (n C0 1/ j (u lim u u sao cho u) 0 u )dd cv T (u u )dd cv T và (u lim 1, n 1) dòng dương, T là (n, n) dòng dương, đóng với mọi PSH ( ) Lloc ( ) , suy ra (u dd cv T u) vdd c ((u 1/ j vdd c ((u u) 1/ j \ 1/ j ' ) T u) 1/ j ) T ' vdd c ((u ) ) T 1/ j vdd c ((u ) T ' vdd c (u u) 1/ j ) T ' vdd c (u 1/ j ) T. ' Nhưng dd c (u vdd c (u 1/ j 1/ j Từ đó cho dd c (u T ) hội tụ yếu tới dd cu 1/ j ) T hội tụ yếu tới vdd cu vdd cu T ' ) T vdd c (u lim inf j 0 suy ra ' vdd cu T bất đẳng thức cần chứng minh. T . Khi đó T . Vậy 1/ j ) T (u u )dd cv T . ' vdd cu T . Cho ta được 8 1.3. Tính tựa liên tục của hàm đa điều hòa dƣới Phần này trình bày một kết quả quan trọng của lí thuyết đa thế vị. Đó là chứng minh tính tựa liên tục cho lớp các hàm đa điều hòa dưới. Tính chất đó có thể được mô tả đơn giản là, nếu một hàm u đa điều hòa dưới trên miền n thì sau khi bỏ đi một tập “đủ bé” theo nghĩa của lí thuyết đa thế vị hàm u trở thành hàm liên tục trên phần còn lại. Để đi đến kết quả này, ta cần đưa ra khái niệm dung lượng tương đối của một tập Borel theo nghĩa của BedfordTaylor. n Định nghĩa 1.3.1. Giả sử lượng tương đối của E đối với là tập mở và E là tập Borel. Dung , kí hiệu là C n (E, ) hay có thể viết là C n (E ) nếu không gặp phải sự hiểu lầm nào khác, là đại lượng cho bởi C n (E ) sup{ (dd cu)n : u C n (E, ) PSH ( ). u 1 }. E Theo bất đẳng thức Chern-Levine-Nirenberg C n (E ) là hữu hạn nếu E . Mệnh đề sau cho một số tính chất của dung lượng tương đối. Mệnh đề 1.3.2. i ) Nếu n n (E ) là độ đo Lebesgue của E ii ) Nếu E1 iii ) C n j 1 E2 Ej, iv ) Nếu E đó c( , 1 j 1 4n n ! R (z 0, R) thì C n (E, ) 2 thì C n E1, Cn E j , C n E 2, 2 2 thì C n (E, 1 ) Chứng minh. i ) Lấy u(z ) E thì lim C n (E j ) j z 1 c( , , ) là hằng số. và E j (E ) , ở đó . 1 v ) Nếu E j n . . n 1 2n 2 z 0 / R2 C n (E ) . 1 . Khi đó , 1 2 )C n (E , 2 ), ở 9 u PSH ( ), 1 (dd cu )n . Nhưng 0 . Vậy C n (E, ) u E (dd cu )n 2n R dd c z z0 2 n 2n R 4n n !dV . Do đó 4n n ! R C n (E, ) 2n n (E ) . ii ) Suy trực tiếp từ định nghĩa. iii ) C n ( j 1 Ej, ) (dd cu)n : 1 sup{ u 0} Ej j 1 (dd cu)n : 1 u 0} sup{ (dd cu)n : 1 u 0} sup{ j 1 E j j 1 iv ) Nếu ta phủ bằng hữu hạn các hình cầu thuộc (z 0, r ) và đưa bài toán về trường hợp Lấy u PSH ( 1), 1 0 trên thì 1 u 0 và giả sử 1 trên và Theo định lí dán, ta có u PSH ( 2 ), 1 thì dùng ii ) và iii ) ta 1 (z 0, R1 ) . (z ) (R12 trên trên 2 \ r 2) 1 ) 0 và (dd cv)n sup{ (dd cu )n : u E z z0 2 1 (a a a, a 1 . Khi đó 2 1) n (dd cu)n trên Vậy C n (E, 1 1 u a PSH ( 2 ) . Đặt v v 1 . Đặt max{u, } u v j 1 Ej C n (E j , ) . PSH ( 1), 1 u 0} . R12 10 1)n (dd cv)n : u sup{ (a PSH ( 1), 1 u 0} PSH ( v 0} E 1)n sup{ (dd cv)n : v (a 2 ), 1 E 1)nC n (E, (a Do E j E nên C n (E, 2 2 ). ) . Do đó lim C n (E j ) (dd cu)n sup j j ,u C n (E ) . Ej Ta cần các kết quả sau. PSH ( ) và K Mệnh đề 1.3.3. Nếu v lim C n (K {v j Chứng minh. Lấy tập mở 1 u G thì j }, ) 0. sao cho K và giả sử u 1 j 1 C (K , ) v j n PSH ( ) , 0 . Khi đó (dd cu)n K {v j} v (dd cu)n K L1 ( ) . Từ đó C n (K {v 1 C (K , ) v j n j }, ) L1 ( ) và được điều cần chứng minh. Mệnh đề 1.3.4. Giả sử {v j } tới v PSH ( ) Lloc ( ) là dãy giảm hội tụ điểm trên PSH ( ) Lloc ( ) . Khi đó với mọi K lim C n (K {v j j v và }, ) 0 ta có 0. Chứng minh. Phủ K bằng hữu hạn các hinh cầu và từ tính chất ii ) và iv ) của Mệnh đề 1.3.2 có thể coi v j (z ) z z0 2 v R2 . Giả sử u A gần (z 0, R) , PHS ( ), 1 u ,A 0 . Khi đó ta có 0, 11 1 (dd cu )n (n v )n 1(dd cu )n (v j n 1 1)! (v j n 1 v )(dd cv )n . K {v j v Số hạng cuối cùng dần tới 0 khi j do định lí hội tụ đơn điệu Lebesgue. Bây giờ ta chứng minh tính tựa liên tục của hàm đa điều hòa dưới. n Định lí 1.3.5. Giả sử v là hàm đa điều hòa dưới trên tập mở 0 tồn tại tập mở G với mọi . Khi đó và v liên tục trên với C n (G, ) \G . . Chỉ cần chứng minh có tập mở G Chứng minh. Lấy tập mở bất kì và v liên tục trên với C n (G, ) { j }, , j tục trên mỗi và các tập mở G j j \ G j . Đặt G j \G . Thật vậy, khi đó ta có thể chọn dãy j 1 C n (G, ) Và với mọi tập mở U G j . Khi đó G j 1 C n (G j , ) ta có U \ G tục trên U \ G . Do đó v liên tục trên Đặt G1 . \ G j với j nào đó. Vậy v liên 2 (do Mệnh max{v, j } và giả sử {vk } là dãy giảm các hàm đa điều hòa giảm tới v . Do Mệnh đề 1.3.4 với 2, 3,... tồn tại k ( j ) sao cho với G 0 và v liên \G . dưới liên tục xác định trên lân cận của Đặt j 2j là tập mở và j } , ở đây j được chọn sao cho C n (G1, ) {v đề1.3.3). Đặt v j sao cho C n (G j , ) j Gj vk ( j ) {vk ( j ) v Khi đó Gj . j 1 v . Vậy vk ( j ) } , ta có C n (G j , ) C n (G, ) v đều trên và 2 j trên . \G ta có \G , do đó v liên tục trên 12 \G . Nhưng trên v . Do đó v liên tục trên j . Vậy v \G thì v j \G . Sau đây là một ứng dụng quan trọng của tính tựa liên tục của hàm đa điều hòa dưới. Đó là nguyên lí so sánh đối với hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương. 1.4. Nguyên lý so sánh n Định lý 1.4.1. Giả sử cho lim inf(u(z ) v(z )) z là miền bị chặn và u, v PSH ( ) L ( ) sao 0 . Khi đó (dd cv )n (dd cu )n . u v (1.1) u v Chứng minh. Trước tiên, theo giả thiết có lim inf(u(z ) v(z )) z có nghĩa là với mọi 0 tồn tại K u(z ) v(z ) nữa u v u . Hơn u v u thay 0 . Vậy u v(z )) và u v trên Từ giả thiết lim inf(u(z ) z u(z ) Vậy u u(z ) ta có (dd cu )n , >0 , thì . u 0 , đặt u . Với v là tập mở, u, v liên max u v(z )) suy ra u(z ) v(z ) v(z ) với z gần biên gần biên u \ K thì v . Vì vậy có thể giả v a ) Giả sử u, v là các hàm liên tục. Khi đó tục trên bởi 0 suy ra (1.1) đúng trên u (u(z ) sử lim infz z sao cho 0 . Nếu bất đẳng thức (1.1) đúng trên khi v thì cho khi 0 . Điều này và u v trên v(z ) u v hay . . Theo công thức Stokes (dd cu )n (dd cu)n hay ,v . (dd cu )n . u v 13 v nên (dd cu )n Vì u (dd cv)n . Vậy (dd cv )n 0 u v b ) Giả sử u, v tùy ý và (dd cu )n lim inf (dd cu)n . u v u v là miền sao cho u v /2 . Tồn tại hai dãy u j và vk các hàm đa điều hòa dưới trơn trên lân cận của và v sao cho u j vk trên trên F 0 . Lấy liên tục trên sao cho \ G . Ta có (dd cv)n Nhưng u j v j uj v uj v uj (dd cv )n (dd cv)n . lim u v G và vì u j (dd cv )n (dd cv )n G uj là tập mở nên (dd cvk )n lim k , uj v và (dd cvk )n hội tụ yếu tới (dd cv )n . vì C n G, Từ u j , vk , u, v là các hàm \G . Theo Định lí Tietze tồn tại hàm liên tục trên 1 là tập mở sao cho C n G, 0 và giả sử G v với mọi i, k . Có thể coi giảm tới u uj uj v (dd cvk )n uj G và u j (dd cvk )n v uj vk suy ra (dd cvk )n (dd cvk )n G uj v u j vk Áp dụng a ) vào các hàm liên tục u j và vk ta thu được (dd cvk )n u j vk (dd cu j )n . u j vk Do đó (dd cv)n u v (dd cu j )n lim inf lim inf j k uj vj 2 . 14 (dd cu j )n lim sup j 2 . uj v Hơn nữa (dd cu j )n (dd cu j )n uj v và do u v uj v F F là tập compact và u j v (dd cu j )n lim sup j uj v v nên ta có (dd cu )n u v F u (dd cu )n . F u v 0 tùy ý nên ta được Do (dd cv )n (dd cu )n . u v u v 0 ta có Từ đó với mọi (dd cv )n u (dd c (u v u ))n (dd cu)n . v u v Nhưng u v u v và u u v 0 . Do đó khi (dd cv )n u v cho u n v và lim u(z ) là miền bị chặn và u, v lim v(z ) z (dd cu )n . u v Hệ quả 1.4.2. Giả sử z ( ) Hệ quả 1.4.3. Giả sử cho lim inf(u(z ) z . v(z )) PSH ( ) L ( ) sao 0 . Khi đó (dd cv )n trên v (dd cu )n . ( ) n là miền bị chặn và u, v 0 . Giả sử (dd cu)n PSH ( ) L ( ) sao (dd cv)n trên . Khi đó u v 15 1.5. Các lớp năng lƣợng Cegrell Định nghĩa 1.5.1 0 PSH ( ) L ( ) : lim ( ) (z ) z 0, (dd c )n . Định nghĩa 1.5.2 PSH ( ) : { j } ( ) a ( ) u 0 ( ), j , sup j (dd c j )n ( ) : (dd cu)n triệt tiêu trên các tập đa cực của . .