Tài liệu Sử dụng số phức để tổng hợp các dao động điều hòa

SKKN: “SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ” A- ĐẶT VẤN ĐỀ I. Mở đầu Trong chương trình THPT các môn học luôn có một mối liên hệ chặt chẽ biện chứng với nhau môn học này bổ trợ tích cực cho môn học khác và ngược lại. Đặc biệt là mối quan hệ chặt chẽ biện chứng giữa Toán học và Vật lý học đây là hai môn học không thể tách rời những thành tựu của Toán học được ứng dụng trong khoa học Vật Lý đồng thời những phát minh của Vật lý thúc đẩy sự phát minh của Toán học. Trên cơ sở đó tôi xin đề cập đến một vấn đề nhỏ của việc ứng dụng toán trong Vật Lý là: “Sử dụng số phức để tổng hợp các dao động điều hoà cùng phương cùng tần số” Với mong muốn được trao đổi với các đồng nghiệp trong giảng dạy. Đặc biệt mong muốn phát huy tư duy ứng dụng sáng tạo, tính chủ động trong học tập của học sinh. II. Thực trạng của vấn đề Bài toán tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số được SGK Vật Lý lớp 12 đưa ra ở chương 2 và phương pháp giải là sử dụng giản đồ véc tơ . Sau khi đã được học số phức thì học sinh có thể giải quyết vấn đề trên bằng việc ứng dụng số phức qua đó vấn đề sẽ được giải quyết đơn giản. B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ y 1. Cơ sở lí thuyết * Khái niệm về số phức + Số phức có dạng: x = a + bi ( a,b  R) b M 2 Trong đó a là phần thực, b là phần ảo; i = -1 + Biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức 0  GV: Chu Đình Đức - Tổ Vật Lý – Trường THPT Lương Đắc Bằng a x 1 SKKN: “SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ” Trong mặt phẳng tọa độ x0y điểm M(a,b) Biểu diễn cho số phức x = a +bi hay  0 M biểu diễn cho Số phức trên  x  a 2  b 2  0M + Dạng lượng giác của số phức  a r cos  x = a + bi = r(cos + i.sin)   b r sin  với r  a 2  b2 , tan   b a Theo công thức Ơle cos + isin = e i  x = a + bi = r(cos + i.sin)= r e i * Biểu diễn một hàm điều hoà dưới dạng số phức y Hàm điều hoà: x = Acos(t +) biểu diễn dưới  Ax dạng véc tơ quay tại thời điểm t = 0: b    A A  a A cos  A  ta thấy    (A,0x)  b A sin   0 a Vậy t = 0 hàm điều hoà có thể biểu diễn bằng số phức 2 GV: Chu Đình Đức - Tổ Vật Lý – Trường THPT Lương Đắc Bằng SKKN: “SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ” x = Acos(t + )   t 0 x a  bi  A(cos   i sin  )  A.e i với a = Acos, b = Asin , tan   b , A  a 2  b2 a * Tổng,hiệu các số phức Cho các số phức x1 = a1 + b1 i x2 = a2 + b2 i x3 = a3 + b3 i ............ xn = an + bn i Tổng của các số phức trên: x = x1+x2 +x3+.....+xn có dạng x = a + bi  a a1  a2  a3  .....  an   b b1  b2  b3  .....  bn  Hiệu của các số phức trên: x’ = x1 - x2 - x3 -....xn có dạng x’ = a’ + b’i   a' a1  a2  a3  ....an   b' b1  b2  b3  ....bn 2. Sử dụng số phức để tổng hợp các dao động điều hòa cùng phương ,cùng tần số * Trường hợp vật tham gia đồng thời hai dao động x1  A1Cos (t   1 ) 3 GV: Chu Đình Đức - Tổ Vật Lý – Trường THPT Lương Đắc Bằng SKKN: “SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ” x 2  A2 Cos (t   2 ) Chúng ta tìm biểu thức tổng hợp của chúng x  x1  x 2 Phương trình tổng hợp có dạng x  ACos (t   ) Bằng phương pháp sử dụng số phức Ta có x 1 a1  b1i  A1 (Cos 1  iSin 1 ) x 2 a 2  b2 i  A2 (Cos 2  iSin 2 ) Khi đó phương trình tổng hợp x a  b i  A(Cos  iSin ) Trong đó ACos  A1Cos 1  ACos 2 ASin  A1 Sin 1  A2 Sin 2 Từ đây ta tìm được A và  *Trường hợp vật tham gia đồng thời nhiều dao động x1  A1Cos (t   1 ) x 2  A2 Cos (t   2 ) x3  A3 Cos(t   3 ) .............. x n  An Cos (t   n ) Chúng ta tìm biểu thức tổng hợp của chúng x  x1  x 2  x3  .....  x n Phương trình tổng hợp có dạng x  ACos (t   ) Bằng phương pháp sử dụng số phức Ta có 4 GV: Chu Đình Đức - Tổ Vật Lý – Trường THPT Lương Đắc Bằng SKKN: “SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ” x 1 a1  b1i  A1 (Cos 1  iSin 1 ) x 2 a 2  b2 i  A2 (Cos 2  iSin 2 ) x 3 a3  b3i  A3 (Cos 3  iSin 3 ) ....... x n a n  bn i  An (Cos n  iSin n ) Khi đó phương trình tổng hợp x a  b i  A(Cos  iSin ) Trong đó ACos  A1Cos 1  A2 Cos 2  A3 Cos 3  ....  An Cos n ASin  A1 Sin 1  A2 Sin 2  A3 Sin 3  .....  An Sin n Từ đây ta tìm được A và  3. Các bài toán ví dụ Ví dụ 1: Một vật thực hiện hai dao động điều hoà cùng phương cùng tân số với phương trình x 1 cos(2t  )(cm), x 2  3 cos(2t   )(cm) . 2 Viết phương trình dao động tổng hợp Giải: Pương trình dao động tổng hợp có dạng x  ACos ( 2t   ) cm Trong đó ACos Cos  3Cos ( ASin  Sin  3Sin(  )  1 2  )  3 2 5 GV: Chu Đình Đức - Tổ Vật Lý – Trường THPT Lương Đắc Bằng SKKN: “SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ” Suy ra A=2cm;   2 3 Vậy phương trình dao động tổng hợp là: x 2 cos(2t  2 ) 3 (cm) Ví dụ 2: Một vật thực hiện đồng thời ba dao động điều hoà cùng phương cùng tần số với phương trình: x 1 4 cos(t   ) 2  cm, x 2 6 cos(t  ) cm, x 3 2 cos( t ) , cm. 2 Viết phương trình dao động tổng hợp Giải: Phương trình dao động tổng hợp có dạng x  ACos (t   ) cm Trong đó ACos 4Cos ( ASin 4 Sin( Suy ra   )  6Cos  2Cos 0 2 2 2   )  6 Sin  2Cos0 2 2 2 A 2 2cm;    4  4 Vậy phương trình dao động tổng hợp: x 2 2 cos(t  ) cm Ví dụ 3: Tìm dao động tổng hợp của bốn dao động cùng phương sau:   )(cm), x 2 6 3 cos( 20t  )(cm) 6 2  5 x 3 4 3 cos( 20t  )(cm), x 4 8 cos( 20t  )(cm) 3 6 x 1 10 cos( 20t  Giải: Phương trình dao động tổng hợp có dạng 6 GV: Chu Đình Đức - Tổ Vật Lý – Trường THPT Lương Đắc Bằng SKKN: “SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ” x  ACos (20t   ) cm Trong đó ACos 10Cos (    5 )  6 3Cos( )  4 3Cos  8Cos 3 3 6 2 3 6 ASin 10Sin(    5 )  6 3Sin( )  4 3Sin  8Sin 5  6 3 6 2 3 6 Suy ra A 7.49cm;  0.8rad Vậy phương trình dao động tổng hợp là: x 7,49 cos( 20t  0.8)(cm) Ví dụ 4: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần  2 số với phương trình x 1 a cos(t  )(cm) và x2. Biết phương trình dao động tổng hợp  )(cm) Xác 6 x 2a cos(t  định dao động thành phần x2 Giải: Ta có x2 = x – x1 Phương trình dạng x 2  A2 Cos (t   2 ) Trong đó A2 Cos 2 2aCos A2 Sin 2 2aSin Suy ra Vậy    aCos a 3 6 2    aSin 0 6 2 A2 a 3cm;  0 x 2 a 3 cos(t ) cm Ví dụ 5: Hai chất điểm M1, M2 chuyển động trên hai đường thẳng song song rất gần nhau (coi như trùng nhau và trùng với trục Ox) có phương trình lần lượt là 7 GV: Chu Đình Đức - Tổ Vật Lý – Trường THPT Lương Đắc Bằng SKKN: “SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ” x 1 3 cos(2t   )(cm), x 2 3 3 cos(2t )(cm). Xác 2 định khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm trong quá trình dao động. Giải: Khoảng cách giữa hai điểm là M 1M 2  x  x 2  x 1 Suy ra x  ACos ( 2t   ) cm Với ACos 3Cos ( ASin 3Sin(  Ta tính được : vậy  )  3 3Cos 0  3 3 2  )  3 3Sin0  3 2 A 6cm;   M 1 M 2  6 cos(2t   ) 6  6 (cm)  khoảng cách lớn nhất bằng 6 cm 4. Kết quả Trong quá trình dạy học cho học sinh ôn thi Tốt nghiệp và ôn thi đại học, cao đẳng Tôi đã đưa vấn đề trên vào giảng dạy kết quả cho thấy học sinh làm bài tốt hơn ,kỷ năng phối hợp giữa các môn học trong học tập của học sinh được nâng lên,phát huy khả năng sáng tạo trong tư duy khoa học của học sinh. C.KẾT LUẬN Trên đây tôi đã giới thiệu với các em học sinh phương pháp vận dụng số phức để tổng hợp các dao động điều hòa cùng phương cùng tần số. Nhằm giúp các em học sinh có cách nhìn sáng tạo khi vận dụng kiến thức toán để làm bài tập Vật Lý. Thông qua đó giúp các em phát huy tốt hơn nữa kỷ năng Toán học , Vật Lý và đặc biệt qua đây tôi muốn các em học sinh nhận ra được mối quan hệ biện chứng giữa các môn học, giúp các em trong quá trình học không tách rời mối liên quan giữa 8 GV: Chu Đình Đức - Tổ Vật Lý – Trường THPT Lương Đắc Bằng SKKN: “SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ” các môn học mà nghiên cứu môn học này cần dựa trên các môn học khác nhằm thúc đẩy tư duy của các em một cách toàn diện,khi học bài không vận dụng kiến thức một cách dập khuôn máy móc,phát huy khả năng kế thừa và kỷ năng vận dụng kiến thức trong từng giai đoạn có tính sáng tạo. Từ đó đạt kết quả cao trong kỳ thi Tốt nghiệp THPT và kỳ thi chuyên nghiệp,đại học. Do khả năng có hạn, nên chắc chắn đề tài không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Rất mong sự đóng góp ý kiến của quý thầy, cô giáo. Và hy vọng rằng, đề tài này sẽ là tài liệu giúp các em học sinh yêu thích môn Vật lý hơn và qua đó phát huy hơn nữa tư duy sáng tạo của học sinh trong nghiên cứu và lĩnh hội kiến thức khoa học ./. XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 30 tháng5 năm 2013 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác Người viết 9 GV: Chu Đình Đức - Tổ Vật Lý – Trường THPT Lương Đắc Bằng SKKN: “SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ” Chu Đình Đức 10 GV: Chu Đình Đức - Tổ Vật Lý – Trường THPT Lương Đắc Bằng