THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến:
SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
HÌNH HỌC PHẲNG TRONG CÁC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI.
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Học sinh chuyên Toán trường THPT chuyên Lê Hồng
Phong - Nam Định.
3. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 15/ 9/ 2014 đến ngày 5/ 5/ 2015.
4. Tác giả:
Họ và tên
: Trần Xuân Đáng
Năm sinh
: 1955
Nơi thường trú : Số nhà 5 ngách 7 ngõ 136 Phan Đình Phùng - Phường
Phan Đình Phùng - TP Nam Định
Trình độ chuyên môn: Thạc sĩ Toán học
Chức vụ công tác: Giáo viên chuyên Toán
Nơi làm việc: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định
Địa chỉ liên hệ: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định
Điện thoại: 0942350265
5. Đồng tác giả: Không
6. Đơn vị áp dụng sáng kiến:
Tên đơn vị: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định
Địa chỉ: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định
Điện thoại: 0350.3640297
1
I. ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN:
Hình học phẳng là một lĩnh vực quan trọng trong toán sơ cấp ở bậc trung học phổ
thông. Chúng ta gặp các bài toán về hình học phẳng trong rất nhiều kì thi quan trọng:
thi học sinh giỏi tỉnh, thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế... Tuy nhiên để làm được
những bài toán đó thì không hề đơn giản, đòi hỏi phải có một vốn kiến thức phong
phú và một tư duy linh hoạt. Bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này trình bày một
trong những phương pháp giải toán hình học phẳng đó là phương pháp tọa độ. Trong
nhiều bài toán hình học nếu đưa về phương pháp tọa độ thì bài làm sẽ sáng sủa và rõ
ràng hơn cách mà chúng ta dùng tính chất hình học thuần túy. Ta sẽ thấy phương pháp
tọa độ không chỉ đơn thuần áp dụng cho các bài toán liên quan đến hình vuông, hình
chữ nhật mà còn có thể áp dụng cho các bài toán liên quan đến tam giác, đến đường
tròn…
II. THỰC TRẠNG TRƢỚC KHI TẠO RA SÁNG KIẾN:
Trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm 2007có bài toán sau:
Bài toán 16: Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định và đỉnh A thay đổi. Gọi H,
G lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC. Tìm quỹ tích của điểm A biết
rằng trung điểm K của HG thuộc đường thẳng BC.
Trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm 2008 có bài toán sau:
Bài toán 17: Cho tam giác ABC . Gọi D là trung điểm của cạnh BC . Cho đường
thẳng d vuông góc với AD . Xét điểm M nằm trên d . Gọi E , F lần lượt là trung
điểm của MB và MC . Đường thẳng đi qua E và vuông góc với d
cắt đường thẳng AB tại P . Đường thẳng đi qua F và vuông góc với d cắt đường
thẳng AC tại Q . Chứng minh rằng đường thẳng đi qua M và vuông góc với đường
thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đường thẳng d .
Trong kì thi Olympic Toán học Quốc tế (IMO) năm 1995 có bài toán sau đây:
2
Bài toán 18: Cho A, B, C , D là bốn điểm phân biệt trên một đường thẳng và được sắp
xếp theo thứ tự đó. Các đường tròn đường kính AC và BD cắt nhau tại các điểm X và
Y . Đường thẳng XY cắt BC tại Z . Cho P là một điểm nằm trên đường thẳng
XY ( P Z ) . Đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính AC tại C , M . Đường thẳng
BP cắt đường tròn đường kính BD tại B, N . Chứng minh rằng các đường thẳng
AM , DN , XY đồng quy.
Trong kì thi Olympic Toán học Quốc tế (IMO) năm 2013 tại Colombia có bài
toán sau đây:
Bài toán 19: Cho tam giác nhọn ABC với trực tâm H . Cho W là một điểm tùy ý trên
cạnh BC , khác với các điểm B và C . Các điểm M và N tương ứng là chân các
đường cao hạ từ B và C . Kí hiệu 1 là đường tròn ngoại tiếp tam giác BWN và gọi
X là điểm trên 1 sao cho WX là đường kính của 1 .
Tương tự , kí hiệu 2 là đường tròn ngoại tiếp tam giác CWM và gọi Y là
điểm trên 2 sao cho WY là đường kính của 2 . Chứng minh rằng các điểm X , Y
và H thẳng hàng.
III. CÁC GIẢI PHÁP TRỌNG TÂM:
a) Phƣơng pháp:
Chọn hệ trục tọa độ thích hợp tùy theo bài toán sao cho việc tính toán đơn giản.
Tìm tọa độ các đối tượng đã cho và các đối tượng liên quan theo hệ trục tọa độ
đã chọn.
Chuyển các tính chất hình học trong giả thiết và điều cần chứng minh theo các
công thức tọa độ.
Chứng minh bài toán theo phương pháp tọa độ.
Đối với các bài toán liên quan đến hình vuông thì có thể lấy gốc tọa độ là một
trong bốn đỉnh của hình vuông hoặc là tâm của hình vuông.
Với các bài toán liên quan đến tam giác vuông ta thường chọn hệ trục tọa độ có
3
hai trục tọa độ chứa hai cạnh góc vuông,
Với các bài toán liên quan đến tam giác thường ta thường kẻ thêm đường cao
và chọn hệ trục tọa độ có một trục chứa đường cao, một trục chứa cạnh tương ứng của
tam giác.
b) Nội dung:
Bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này gồm 5 phần:
Phần thứ nhất: Sử dụng phương pháp tọa độ để giải một số bài toán hình học
Phần thứ hai: Sử dụng phương pháp tọa độ để giải một số bài toán hình học
trong các tạp chí Toán.
Phần thứ ba: Sử dụng phương pháp tọa độ để giải một số bài toán thi chọn học
sinh giỏi Quốc gia.
Phần thứ tư: Sử dụng phương pháp tọa độ để giải một số bài toán thi Olympic
Toán Quốc tế.
Phần thứ năm: Một số bài toán hình học dùng để luyện tập.
1) Phần thứ nhất:
Sử dụng phƣơng pháp tọa độ để giải một số bài toán hình học
Bài toán 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB AC . Gọi M là trung điểm của
cạnh BC . Gọi E , F lần lượt là chân các đường cao của tam giác ABC hạ từ B và C .
Gọi K là giao điểm của các đường thẳng EF và BC . Gọi H làtrực tâm của tam
giác ABC . Chứng minh rằng HK vuông góc với AM .
Lời giải:
Gọi O là chân đường vuông góc hạ từ A đến
đường thẳng BC .
Chọn hệ trục tọa độ Oxy có điểm gốc là O sao
cho điểm A thuộc tia Oy , điểm C thuộc tia
Ox và điểm B thuộc tia đối của tia Ox .
Giả sử A(0; a), B(b;0), C (c;0) .
Ta có AC (c; a) n (a; c) là vec tơ pháp
tuyến của đường thẳng AC .
4
Suy ra phương trình của đường thẳng AC là
a( x c) cy 0 ax cy ac 0
Ta có AC (c; a) là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng BE .
Khi đó phương trình của đường thẳng BE là
c( x b) ay 0 cx ay bc 0 .
a 2c bc 2 ac 2 abc
Từ đó suy ra E 2 2 ; 2 2
a c
a c
a 2b cb 2 ab 2 abc
bc
Tương tự ta có F 2 2 ; 2 2 . Ta có H 0;
a
a b
a b
(a 2 bc)(a 2 bc)(b c) a(a 2 bc)(b c)(b c)
;
2
2
2
2
(
a
b
)(
a
c
)
(a 2 b2 )(a 2 c 2 )
và EF
Suy ra n1 (ab ac; bc a 2 ) là véc tơ pháp tuyến của EF .
Suy ra phương trình của đường thẳng EF là
(ab ac) x
a 2c bc 2
ac 2 abc
2
(
bc
a
)
y
0
2
2
a 2 c 2
a
c
(ab ac)(a 2 c 2 ) x (bc a 2 )(a 2 c 2 ) y
(ab ac)(a 2c bc2 ) (ac2 abc)(bc a 2 ) 0
2bc
2bc bc
; .
;0 HK
Suy ra K
bc a
bc
bc
; a
Mặt khác AM
2
HK . AM 0 HK AM
.
Bài toán 2: Cho tam giác ABC cân tại A . Điểm P di động trên cạnh BC ( P khác B
và C ). Đường thẳng đi qua P song song với AC cắt AB tại R . Đường thẳng đi qua
P song song với AB cắt AC tại Q . Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác
ARQ luôn đi qua một điểm cố định khác A .
5
Lời giải:
Gọi O là chân đường vuông góc hạ
từ A đến đường thẳng BC
Chọn hệ trục tọa độ Oxy có điểm
gốc là O sao cho điểm A thuộc tia Oy ,
điểm C thuộc tia Ox và điểm B thuộc
tia đối của tia Ox .
Giả sử :
A(0; a), C(c;0), B(b;0), P( p;0)
(a 0, c 0, b 0, b p c)
Khi đó b c
Ta có AB (b; a) n1 (a; b) là
vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB .
Suy ra phương trình của đường thẳng
AB là:
a( x b) by 0 ax by ab
Tương tự n2 (a; c) là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng AC n2 (a; c) là véc
tơ pháp tuyến của đường thẳng PR . Suy ra phương trình của đường thẳng PR là
a( x p) cy 0 ax cy ap .
Suy ra R(
b( p c) a(b p)
;
) .
bc
bc
b( p c) a(2b p c)
;
Gọi E là trung điểm của AR . Ta có E
.
2(b c)
2(b c)
Gọi d1 là đường trung trực của đoạn thẳng AR và d 2 là đường trung trực của đoạn
thẳng AQ .
Khi đó phương trình của d1 là b x
b( p c )
a(2b p c)
a y
0
2(b c)
2(b c)
p(a2 b2 ) b2c a 2 (2b c)
0
2(b c)
2(b c)
p(a 2 c2 ) c2b a 2 (2c b)
Tương tự phương trình của d 2 là cx ay
0.
2(c b)
2(c b)
bx ay
6
Gọi I là giao điểm của d1 và d 2 .
p(a 2 c 2 ) 3a c2
Khi đó I
; và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ARQ .
2
4 4a
4
c
Suy ra I thuộc đường thẳng d cố định có phương trình y
3a c 2
. Hiển nhiên
4 4a
A d . Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d . Khi đó điểm K
thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ARQ và K là điểm cố định K Oy .
Mặt khác K A (vì A d ).
Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác ARQ luôn đi qua một điểm cố định khác A .
Bài toán 3 : Cho hình vuông ABCD . Gọi E là giao điểm của AC và BD . Một đường
thẳng đi qua A cắt cạnh BC tại M ( M khác B và C ) và cắt đường thẳng CD tại N .
Gọi K là giao điểm của EM và BN . Chứng minh rằng CK vuông góc với BN .
Lời giải:
Chọn hệ tọa độ Oxy có O A ; B thuộc tia Ox ; D thuộc tia Oy .
Đặt OA a(a 0) .
a a
Khi đó A(0,0), B(a,0), C (a, a), D(0, a) , E ( , ) .
2 2
Giả sử M (a, m)(m ) .
7
Ta có AM (a, m) . Suy ra n1 (m, a) là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng AM .
Phương trình của đường thẳng AM là mx ay 0 .
Phương trình của đường thẳng CD là y a .
Suy ra N (
a2
, a) .
m
a 2 ma
Suy ra BN
, a
m
Suy ra n2 (m, m a) là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng BN .
Suy ra phương trình của đường thẳng BN là :
m( x a) (m a) y 0 mx (m a) y am 0 .
a
a
Ta có EM ( , m ) .
2
2
Suy ra n3 a 2m, a là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng EM .
Suy ra phương trình của đường thẳng EM là:
(a 2m)( x a) a( y m) 0 (a 2m) x ay a 2 am 0
Suy ra K (
a(a 2 m 2 am)
am 2
,
).
a 2 2m2 2am a 2 2m 2 2am
a(am m2 ) a(2am m2 a 2 )
, 2
.
2
2
2
a
2
m
2
am
a
2
m
2
am
Suy ra CK
Suy ra CK .BN 0 .
Suy ra CK BN .
Bài toán 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Điểm M di động trên đường thẳng
BC ( M khác B và C ). Đường trung trực của đoạn thẳng MB cắt đường thẳng AB
tại E . Đường trung trực của đoạn thẳng MC cắt đường thẳng AC tại F . Chứng minh
rằng đường thẳng đi qua M vuông góc với đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố
định.
8
Lời giải:
Kẻ AO BC (O BC ) .
Chọn hệ trục tọa độ tọa độ Oxy có điểm gốc là O , điểm C thuộc tia Ox .
Đặt OA a(a 0) , OC c, OB b(a 0, c 0, b 0) .
Khi đó A(0, a), C (c,0), B(b,0) .
Gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với EF .
Ta có AC (c, a) . Suy ra n1 (a, c) là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng AC .
Suy ra phương trình của đường thẳng AC là a( x c) cy 0 ax cy ac 0 .
Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng MC .
Khi đó K (
mc
,0) .
2
Phương trình của đường thẳng FK là x
Suy ra F (
mc
.
2
m c a(c m)
,
).
2
2c
m b a(b m)
,
).
2
2b
c b am(c b)
,
Suy ra EF
.
2bc
2
am
Suy ra n2 (1, )
bc
Tương tự E (
Suy ra phương trình của đường thẳng d là x m
Điểm I (
am
y 0.
bc
bc
,0) d .
a
Mặt khác I là điểm cố định.
Vậy đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định.
Bài toán 5: Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi H là trung điểm của BC . Gọi D là hình
chiếu của H trên AC . Gọi M là trung điểm của HD . Chứng minh AM vuông góc với
BD .
9
Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O H , C thuộc tia Ox ; A thuộc tia Oy .
Đặt OA a(a 0), OC c(c 0) ta có A(0, a), C (c,0), B(c,0) . Ta có AC (c, a) .
Suy ra n (a, c) là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng AC .
Suy ra phương trình của đường thẳng AC là :
a( x c) c( y 0) 0 ax cy ac 0
AC (c, a) là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng HD . Suy ra phương trình của
đường thẳng HD là cx ay 0 . Tọa độ của D là nghiệm của hệ phương trình
cx ay 0
. Suy ra
ax cy ac 0
2
a 2c
ac
D 2 2 , 2 2 . Vì M là trung điểm của HD nên
a c a c
a 2c
ac 2
a 2c
2a3 ac 2
,
AM
,
.
Suy
ra
và
2
2
2
2
2(a 2 c 2 ) 2(a 2 c 2 )
2(
a
c
)
2(
a
c
)
M
c 3 2a 2 c
BD
2
2
a c
,
ac 2
. Suy ra AM .BD 0 .
a 2 c 2
Suy ra AM vuông góc với BD .
Bài toán 6: Cho đường tròn (O, R) và điểm A cố định nằm ngoài (O, R) . Một đường
tròn thay đổi luôn đi qua O, A cắt đường tròn (O, R) tại các điểm C , D .Chứng minh
rằng đường thẳng CD luôn đi qua một điểm cố định.
10
Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxy có điểm gốc là O , điểm A thuộc tia Ox .
Đặt OA a(a 0) . Khi đó A(a,0) .
Phương trình đường tròn (O, R) là x2 y 2 R2 .
Giả sử ( I ) là đường tròn đi qua O, A có tâm là I .
a
Khi đó I ( , m) (m ) .
2
Phương trình của đường tròn ( I ) là:
2
a
a
( x )2 ( y m)2 m2 x2 y 2 ax 2my 0
2
2
Tọa độ của C , D là nghiệm của hệ phương trình
2
2
2
x y R
2
2
x y ax 2my 0
Suy ra phương trình của đường thẳng CD là ax 2my R 2 0 .
Điểm E (
R2
,0) thuộc đường thẳng CD .
a
Mặt khác E là điểm cố định.
Vậy đường thẳng CD luôn đi qua một điểm cố định.
11
Bài toán 7: Cho hình vuông ABCD . Gọi E là trung điểm của cạnh BC . Điểm M di
động trên cạnh AB . Gọi N , P lần lượt là giao điểm của MD, MC với AE . Gọi H là
giao điểm của NC và DP . Chứng minh rằng điểm H luôn nằm trên một đường
thẳng cố định.
Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O A , B thuộc tia Ox , D thuộc tia Oy .
Đặt AB a(a 0), AM m(0 m a) .
a
Khi đó A(0,0), B(a,0), C ( A, A), D(0, a), E (a, ), M (m,0) .
2
a
a
Ta có AE (a, ) . Suy ra n1 ( , a) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng AE .
2
2
a
Suy ra phương trình của đường thẳng AE là x ay 0 x 2 y 0
2
Ta có DM (m, a) .
Suy ra n2 (a, m) là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng DM .
Suy ra phương trình của đường thẳng DM là:
a( x 0) m( y a) 0 ax my am 0
12
x 2 y 0
Tọa độ của điểm N là nghiệm của hệ phương trình
ax my am 0
Suy ra N (
2am
am
,
)
2a m 2a m
Ta có CM (m a, a) .
Suy ra n3 (a, m a) là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng CM .
Suy ra phương trình của đường thẳng CM là:
a( x a) (m a)( y a) 0 ax (m a) y am 0
x 2 y 0
Tọa độ của điểm P là nghiệm của hệ phương trình
.
ax (m a) y am 0
Suy ra P(
2am a 2
2am am
,
).
,
) . Ta có DP (
am am
am am
Suy ra n4 (a,2m) là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng DP . Suy ra phương trình
của đường thẳng DP là a( x 0) 2m( y a) 0 ax 2my 2am 0
Ta có CN (
am 2a 2 2a 2
,
).
2a m 2a m
Suy ra n5 (2a, m 2a) là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng CN .
Suy ra phương trình của đường thẳng CN là:
2a( x a) (m 2a)( y a) 0 2ax (m 2a) y am 0
Ta có axH 2myH 2am 0(1) và 2axH (m 2a) yH am 0(2)
Từ (1) suy ra 2m( yH a) axH (3)
Từ (2) suy ra m( yH a) 2axH 2ayH (4)
Từ (3) và (4) suy ra 2(2ayH 2axH ) axH . Suy ra 3xH 4 yH 0 .
Suy ra H thuộc đường thẳng d có phương trình 3x 4 y 0 .
Vì d là đường thẳng cố định nên H luôn nằm trên một đường thẳng cố định.
13
Bài toán 8: Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định và đỉnh A thay đổi. Qua B
dựng đường thẳng d vuông góc với BC, d cắt đường trung tuyến AI của tam giác ABC
tại K. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Tìm quỹ tích của A biết rằng IH song song
với KC.
Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O trùng I; C thuộc tia Ox .
Đặt IC= a(a 0) . Khi đó B(a,0), C (a,0) . Giả sử A( x0 , y0 )( y0 0) . Khi đó tọa độ
x x0
trực tâm H là nghiệm của hệ phương trình
( x a)(a x0 ) y0 y 0
K là giao của d và AI nên K a;
H x0 ;
a 2 x02
.
y0
ay0
, x 0 .
x0 0
Theo giả thiết ta có IH cùng phương với KC .
y0
a 2 x02
x02 y02
Điều này tương đương với a x0 2a
0 2 2 1.
x0
y0
a 2a
Vậy quỹ tích điểm A là Elip
x2 y 2
1 bỏ đi bốn điểm B, C, A1(0; a 2) và
a 2 2a 2
A2 (0; a 2) .
14
Bài toán 9: Cho đường tròn(O) đường kính AB. Điểm M chuyển động trên (O), H là
hình chiếu của M trên AB; E đối xứng với H qua M; đường thẳng d đi qua A, vuông
góc với BE cắt MH tại K. Chứng minh rằng K luôn nằm trên một đường Elip cố định.
Lời giải:
Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ, giả sử bán kính của đường tròn(O) là R.
Ta có A( R; 0), B( R;0), M ( Rcos ; R sin ), E( Rcos ;2 R sin ).
Đường thẳng d đi qua A, vuông góc với BE có phương trình:
(1 cos )( x 1) 2 y sin 0 .
Phương trình của đường thẳng MH là x R cos
Suy ra K Rcos ;
R sin
.
2
Vậy K nằm trên đường elip ( E ) :
x
R2
2
y2
R2
4
1.
Bài toán 10: Cho tam giác ABC vuông tại B . Gọi H là hình chiếu vuông góc của B
trên AC . Dựng hình bình hành BHAD . Gọi G là giao điểm của HD và . Gọi I là
giao điểm của BH và GC . Kẻ HE vuông góc với CD ( E CD) . Chứng minh rằng
các điểm A, I , E thẳng hàng.
15
Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O H ; C thuộc tia Ox ; B thuộc tia Oy .
Đặt OA a, OB b, OC c(a, b, c 0) .
a b
Khiđó ac b2 , A(a,0), B(0, b), C (c,0), D(a,0) , G( , ) .
2 2
a
b
Suy ra CG c, . Suy ra n1 b, a 2c là vec tơ pháp tuyến của CG .
2
2
Suy ra phương trình của AG là b( x c) (a 2c) y 0 bx (a 2c) y bc 0 .
Suy ra I (0,
bc
) . Ta có CD (a c, b) .
a 2c
Suy ra n2 (b, a c) là vec tơ pháp tuyến của CD .
Suy ra phương trình của CD là b( x c) (a c) y 0 bx (a c) y bc 0
Phương trình của HE là (a c)( x c) by 0 y
( a c) x
.
b
bc
b 2c
bc(a c)
AI
a
,
,
.
Suy
ra
,
2
2
2
2
a
2
c
(
a
c
)
b
(
a
c
)
b
Suy ra E
b 2c
bc(a c) a(2c 2 3ac a 2 ) bc(a c)
a
,
,
2
2
2
2
(a c)2 ac
(
a
c
)
b
(
a
c
)
b
(a c)2 ac
AE
a(a c)(a 2c)
a c 3ac
2
2
,
(a 2c)(a c)
bc(a c)
AI .
. Suy ra AE 2
2
a 3ac c 2
a c 3ac
2
Suy ra các điểm A, I , E thẳng hàng.
Đối với bài toán này nếu chúng ta chọn hệ trục tọa độ có điểm gốc là B và các trục
tọa độ chứa các cạnh AB, BC thì việc tính toán sẽ phức tạp hơn.
16
Bài toán 11: Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Gọi
D là trung điểm của đoạn thẳng AM . Gọi H là hình chiếu của M trên CD . Gọi N là
giao điểm của AH và BC . Gọi E là giao điểm của BH và AM . Chứng minh rằng E
là trực tâm của tam giác ABN .
Lời giải:
Gọi O là trung điểm của cạnh BC . Chọn hệ trục tọa độ Oxy có điểm gốc là O .
Điểm A thuộc tia Ox ; điểm A thuộc tia Oy . Đặt OA a, OC c(a, c 0) .
Khi đó C (c,0), A(0, a), B(c,0) .
a
Ta có DC (c, ) .
2
a
Suy ra n1 , c là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng CD .
2
Suy ra phương trình của đường thẳng CD là:
a
( x c) cy 0 ax 2cy ac 0 .
2
a
2cx
Phương trình của đường thẳng OH là: cx y 0 y
.
2
a
Suy ra H (
a 2c
2ac 2
,
)
a 2 4c 2 a 2 4c 2
17
a 2c
2a 2c 4c3 2ac 2
2ac 2 a3
,
BH
, 2
Suy ra AH 2
,
2
2
2
2
2
2
a
4
c
a
4
c
a
4
c
a
4
c
Suy ra AH .BH 0 . Suy ra AH BH .
Suy ra E là trực tâm của tam giác ABN .
Bài toán 12: Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi I là giao điểm các đường trung trực
của các cạnh của tam giác ABC . Gọi D là trung điểm của cạnh AB và E là trọng tâm
của tam giác ACD . Chứng minh rằng IE vuông góc với CD .
Lời giải:
Gọi O là trung điểm của cạnh BC . Chọn hệ trục tọa độ Oxy có điểm gốc tọa độ
là O ; điểm C thuộc tia Ox ; điểm A thuộc tia Oy .
Đặt OA a, OC c(a, c 0) . Khi đó A(0, a) , C (c,0), B(c,0) .
Gọi G là giao điểm của AO và CD .
a
Khi đó G là trọng tâm của tam giác ABC và G (0, ) .
3
5c 3a
c a
c 3a
Ta có D( , ), E ( , ), CE , .
2 2
4 4
4 4
5c a
c a
Suy ra CH , . Suy ra H ( , ) .
6 2
6 2
Ta có BA (c, a) là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng ID .
18
Suy ra phương trình của đường thẳng ID là:
c
a
c2 a2
c( x ) a( y ) 0 cx ay 0 .
2
2
2 2
a2 c2
.
2
c c2
Ta có IH , . Suy ra IH .CD 0 . Suy ra IH CD .
6 2a
Bài toán 13: Cho tam giác ABC vuông tại B . Điểm D thuộc cạnh AC ( D A, D C )
Suy ra I 0,
sao cho AC 2 AD . Điểm E đối xứng với A qua BD . Gọi Y là giao điểm của BC và
AE . Đường thẳng đi qua E vuông góc với BC cắt DY , DA lần lượt tại H , I . Chứng
minh rằng H là trung điểm của IE .
Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O A ; B thuộc tia Ox ; C thuộc tia Oy .
Đặt OB b, OC c(b, c 0) . Khi đó B(b,0), C (0, c) .
Giả sử D(0, d )(0 d c) .
Ta có BC (b, c) . Suy ra n1 (c, b) là vec tơ pháp tuyến của BC .
Suy ra phương trình của BC là: c( x b) by 0 cx by bc 0
Ta có BD (b, d ) là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng AE .
Suy ra phương trình của đường thẳng AE là b( x 0) d ( y 0) 0 y
bx
.
d
19
Ta có n2 (d , b) là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng BD . Suy ra phương trình của
bd 2
đường thẳng BD là d ( x b) by 0 dx by bd 0 . Suy ra K
2
b d
2bd 2
Suy ra E
2
b d
,
2
,
2
b2d
.
b2 d 2
2b2 d
. Ta có BC là vec tơ pháp tuyến của IE . Suy ra phương
b2 d 2
trình của IE là b( x
2bd 2
2b2 d
2b2 d (c d )
)
c
(
y
)
0
bx
cy
0.
b2 d 2
b2 d 2
b2 d 2
2b 2 d (c d )
bcd
b 2c
Y
(
,
)
Suy ra I 0,
.
Ta
có
2
2
2 .
2
2
b
cd
b
d
c
(
b
d
)
bcd b2c b 2 d cd 2
,
Suy ra DY 2
.
2
b
cd
b
cd
Suy ra n3 (cd 2 b2d b2c, bcd ) là vec tơ pháp tuyến của DY . Suy ra phương trình
của DY là (cd 2 b2d b2c)( x 0) bcd ( y d ) 0 y
bcd 2 (b2c b2d cd 2 ) x
bcd
Hoành độ của điểm H là nghiệm của phương trình:
b
2b2cd 2b2d 2
b2c b2d cd 2
x
d
x
c
bcd
c(b2 d 2 )
b2c b 2 d cd 2 b
2b 2cd 2b 2d 2
x
d
2
2
bcd
c
c
(
b
d
)
b2c 2b2d cd 2
b2cd 2b2d 2 cd 3
x
bcd
c(b2 d 2 )
bd 2
x
c(b2 d 2 )
(vì b2c 2b2d cd 2 b2 (c 2d ) cd 2 0 ).
bd 2
2b2cd b2 d 2
,
.
2
2
2
2
(
b
d
)
c
(
b
d
)
Suy ra H
Suy ra H là trung điểm của IE .
20
- Xem thêm -
.PDF 
33 
152 
131 
