Tài liệu Sử dụng phương pháp hàm lyapunov và phương pháp xấp xỉ thứ nhất để nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ THANH TUYẾT SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV VÀ PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ THỨ NHẤT ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ THANH TUYẾT SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV VÀ PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ THỨ NHẤT ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH CHÂU Hà Nội - Năm 2011 Mục lục Lời nói đầu 3 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Không gian Banach và không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Phổ của toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Banach và toán tử sinh 10 1.4.1 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Banach . . . . 10 1.4.2 Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . 13 2 Sự ổn định của phương trình vi phân trong không gian Hilbert 15 2.1 Phương trình vi phân trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . 15 2.2 Sự ổn định theo Lyapunov của phương trình vi phân trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 2.2.1 Các khái niệm về ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.2 Các định lý về ổn định theo Lyapunov . . . . . . . . . . . . 18 Sự ổn định theo Lyapunov của một số phương trình vi phân có dạng đặc biệt trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.1 Các khái niệm về J-ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.2 Các định lý về J-ổn định theo Lyapunov . . . . . . . . . . . 29 1 2.4 Phương pháp xây dựng hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.5 Toán tử tiến hóa của phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . 42 2.6 Sự ổn định của phương trình vi phân theo phương pháp xấp xỉ thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3 Phương trình tiến hoá đặt chỉnh và bài toán ứng dụng 49 3.1 Phương trình tiến hoá đặt chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 Mô hình chung của bài toán dân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3 Mô hình cụ thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Kết luận 58 2 Lời nói đầu Lý thuyết ổn định là một trong những bộ phận quan trọng trong lý thuyết định tính của phương trình vi phân (LTDTCPTVP). Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng được nhiều người quan tâm của LTDTCPTVP là lý thuyết ổn định theo Lyapunov (1857-1918). Dù đã trải qua thời gian dài nhưng lý thuyết ổn định vẫn là một trong những lĩnh vực được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và đã thu được nhiều thành tựu quan trọng. Đồng thời lý thuyết ổn định cũng được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực: Vật lý, Khoa học kỹ thuật công nghệ, Sinh thái học, ... Để nghiên cứu dáng điệu nghiệm của phương trình vi phân trong không gian Hilbert chúng ta có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau, tuy nhiên trong khuôn khổ của một luận văn thạc sỹ toán học, trong bản luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hai phương pháp cơ bản là phương pháp Lyapunov và phương pháp nửa nhóm. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích hàm và nửa nhóm toán tử tuyến tính trong không gian Banach sẽ sử dụng trong các chương sau. Chương 2: Trình bày các khái nệm về sự ổn định của phương trình vi phân trong không gian Hilbert theo phương pháp hàm Lyapunov và xấp xỉ thứ nhất. Đồng thời thông qua việc xét lớp các hệ phương trình vi phân có dạng đặc biệt (dạng "tựa tam giác") chúng tôi đưa ra khái niệm ổn định từng phần (J ổn 3 định) cho hệ vô hạn các phương trình vi phân và xác lập mối quan hệ giữa tính ổn định theo Lyapunov và J -ổn định. Ngoài ra, trong chương này chúng tôi cũng trình bày phương pháp xây dựng hàm Lyapunov cho một số hệ phương trình vi phân tuyến tính dạng đơn giản. Chương 3: Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về phương trình tiến hóa đặt chỉnh và sử dụng phương pháp nửa nhóm các toán tử tuyến tính liên tục mạnh trong không gian Banach để nghiên cứu bài toán ứng dụng trong mô hình dân số phụ thuộc tuổi. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới PGS. TS. Đặng Đình Châu, người thầy đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình hoàn thành bản luận văn này. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Sau Đại Học, Khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường. Luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của quý bạn đọc. 4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Không gian Banach và không gian Hilbert Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1. X là không gian định chuẩn trên trường K, tức là đối với mỗi x ∈ X có xác định một số không âm ||x||, gọi là chuẩn của x, thỏa mãn các điều kiện sau: • ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ X; • ||λx|| = |λ|||x||, ||x|| = 0 ⇔ x = 0; ∀λ ∈ K, x ∈ X; • ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ X. Định nghĩa 1.1.2. Không gian X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều là dãy hội tụ (tức là, nếu {xn }∞ n=1 là dãy Cauchy trong X thì tồn tại x0 ∈ X mà xn → x0 (n → ∞)). Định nghĩa 1.1.3. Nếu không gian tuyến tính định chuẩn (X, ||.||) là không gian đầy đủ thì (X, ||.||) được gọi là không gian Banach. Định lý 1.1.1. (Định lý Banach-Steinhaus) Một họ bị chặn từng điểm của các phép toán liên tục tuyến tính từ không gian Banach X vào không gian định chuẩn thì bị chặn đều. Định lý này còn được gọi là nguyên lý bị chặn đều. 5 1.1.2 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.4. (Không gian tiền Hilbert) Không gian tuyến tính X xác định trên trường số thực được gọi là không gian tiền Hilbert nếu mọi x, y ∈ X, xác định một số (x, y) gọi là tích vô hướng của x và y thỏa mãn các tiên đề • Xác định dương: (x, x) ≥ 0 với ∀x ∈ X . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0. • Đối xứng: (x, y) = (y, x) với ∀x, y ∈ X. • Song tuyến tính: (αx + βy, z) = α(x, z) + β(y, z) với ∀α, β ∈ R, ∀x, y, z ∈ X. Định nghĩa 1.1.5. (Không gian Hilbert) Không gian Hilbert là không gian tiền Hilbert đầy đủ. 1.2 Toán tử tuyến tính Định nghĩa 1.2.1. (Toán tử tuyến tính) Giả sử X, Y là các không gian tuyến tính định chuẩn, toán tử A tác dụng từ không gian X vào không gian Y là được gọi là tuyến tính nếu: ∀x, y ∈ X; ∀α, β ∈ K thì A(αx + βy) = αAx + βAy. (trong đó K là trường số). Một số tính chất của toán tử 1. A0 = 0. 2. A(−x) = −Ax. 3. A(tx) = tAx ∀t ∈ R. 6 Định nghĩa 1.2.2. Toán tử tuyến tính A được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu với mọi dãy xn hội tụ đến x0 , ta đều có Axn → Ax0 (n → ∞). Định lý 1.2.1. Nếu toán tử tuyến tính A liên tục tại điểm x0 ∈ X thì A liên tục tại mọi điểm x ∈ X . Như vậy để kiểm tra tính liên tục của toán tử tuyến tính A (trong toàn không gian) ta chỉ cần kiểm ra tính liên tục tại x = 0. Định nghĩa 1.2.3. (Toán tử tuyến tính giới nội) Giả sử X, Y là các không gian Banach. Toán tử A : X → Y được gọi là toán tử tuyến tính giới nội (bị chặn) nếu A là toán tử tuyến tính và đưa mọi tập giới nội vào tập giới nội. Xuyên suốt khoá luận này ta sẽ kí hiệu L(X) là không gian các toán tử tuyến tính giới nội trên X . Định lý 1.2.2. Toán tử tuyến tính A liên tục khi và chỉ khi nó giới nội. Định lý 1.2.3. Giả sử X, Y là các không gian Banach và A : X → Y là toán tử tuyến tính. Điều kiện cần và đủ để toán tử A giới nội là tồn tại một số c > 0 sao cho: kAxk 6 c kxk ∀x ∈ X. Định nghĩa 1.2.4. Giả sử X, Y là các không gian Banach. Chuẩn kAk của toán tử tuyến tính liên tục A : X → Y là đại lượng: kAxk . x6=0 kxk kAk = sup kAxk = sup kxk61 1.3 Phổ của toán tử tuyến tính Giả sử X là không gian Banach. 7 Định nghĩa 1.3.1. Xét toán tử tuyến tính A : D(A) ⊂ X → X với tập xác định D(A), trong đó D(A) là không gian vector con của X. - Điểm λ ∈ C được gọi là giá trị chính quy của A nếu (λI − A) là song ánh giữa D(A) và X đồng thời (λI − A)−1 ∈ L(X). - Tập các giá trị chính quy, ký hiệu ρ(A) được gọi là tập giải của toán tử A. - Tập hợp các điểm không phải là giá trị chính quy của A gọi là phổ của toán tử A (kí hiệu là σ(A)). Ta có σ(A) = C \ ρ(A). - Toán tử R(λ, A) = (λI − A)−1 được gọi là toán tử giải hoặc giải thức đối với toán tử A. Nếu A là toán tử đóng thì (λI − A) cũng là toán tử đóng (do λI liên tục). Do đó nếu (λI − A)−1 tồn tại thì cũng là toán tử đóng. Suy ra nếu (λI − A) là song ánh giữa D(A) và X , A là toán tử đóng thì theo định lý đồ thị đóng (λI − A)−1 là liên tục. Vậy đối với toán tử đóng định nghĩa phổ có thể phát biểu lại là:  ρ(A) = λ ∈ C : λI − A là song ánh giữa D(A) và X . σ(A) = C\ρ(A) = {λ ∈ C : (λI − A) : D(A) → X không là song ánh}. Một số tính chất của phổ Định lý 1.3.1. Nếu toán tử A không có phổ là toàn mặt phẳng phức C thì A là toán tử đóng. Chứng minh. Theo giả thiết, tồn tại λ ∈ / σ(A). Khi đó B = (λI − A)−1 ∈ L(X); B : X → D(A). Giả sử {xn }n ⊂ D(A): xn → x, Axn → y. Đặt hn = (λI − A)xn . Suy ra lim hn = λx − y . n↓∞ Vì B liên tục nên B(λx − y) = lim Bhn = lim xn = x. Suy ra x ∈ D(A). n↓∞ n↓∞ Ta có: (λI − A)x = (λI − A)B(λx − y) = λx − y. Suy ra Ax = y. Vậy A là toán tử đóng. 8 Mệnh đề 1.3.1. giả sử A : D(A) ⊂ X → X và B : D(B) ⊂ X → X là các toán tử tuyến tính sao cho R(λ0 , A) = R(λ0 , B) với λ0 nào đó thuộc C, khi đó D(A) = D(B) và A = B . Chứng minh. Thật vậy, D(A) = RangeR(λ0 , A) = RangeR(λ0 , B) = D(B),và với mọi x ∈ D(A) = D(B) ta có R(λ0 , A)(λ0 x − Ax) = R(λ0 , B)(λ0 x − Ax) = R(λ0 , B)(λ0 x − Bx) do đó λ0 x − Ax = λ0 x − Bx, suy ra Ax = Bx. Tiếp theo ta có phương trình giải thức sau R(λ, A) − R(µ, A) = (µ − λ)R(λ, A)R(µ, A), ∀λ, µ ∈ ρ(A) Mệnh đề 1.3.2. Cho Ω ⊂ C là tập mở, {F (λ) : λ ∈ Ω} ⊂ L(X) là họ các toán tử tuyến tính thỏa mãn F (λ) − F (µ) = (µ − λ)F (λ)F (µ) ∀λ, µ ∈ Ω. Giả sử với λ0 nào đó, λ0 ∈ Ω, toán tử F (λ0 ) khả nghịch. Khi đó tồn tại toán tử tuyến tính A : D(A) ⊂ X → X sao cho ρ(A) ⊃ Ω và R(λ, A) = F (λ) với λ ∈ Ω. Chứng minh Với mỗi λ0 ∈ Ω, đặt D(A) = RangeF (λ0 ), Ax = λ0 x − F (λ0 )−1 x, ∀x ∈ D(A). Với λ ∈ Ω và y ∈ X , phương trình giải thức λx − Ax = y tương đương với (λ − λ0 )x + F (λ0 )−1 x = y . Suy ra (λ − λ0 )F (λ)x + F (λ)F (λ0 )−1 x = F (λ)y . Do đó F (λ)F (λ0 )−1 = (λ0 − λ)F (λ) + I . Suy ra, phương trình giải thức có nghiệm duy nhất x = F (λ)y . Vậy λ ∈ ρ(A) và R(λ, A) = F (λ). 9 1.4 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Banach và toán tử sinh 1.4.1 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Banach Định nghĩa 1.4.1. Một họ (T (t))t≥0 của toán tử tuyến tính liên tục trên không gian Banach X được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh (hoặc C0 − nửa nhóm) nếu nó thỏa mãn phương trình hàm ( (F E) T (t + s) = T (t)T (s) ∀t, s ≥ 0, T (0) = I và lim T (t)x = T (t0 )x, t→t0 với ∀x ∈ X Chú ý. i) Nếu (T (t))t∈R ⊂ L(X) thỏa mãn các điều kiện trên với mỗi t, s ∈ R thì ta có một nhóm liên tục mạnh các toán tử tuyến tính liên tục. ii) Trong trường hợp nửa nhóm tại t0 = 0 ta lấy giới hạn bên phải. Tiếp theo chúng ra sẽ đi tìm các điều kiện tương đương với tính liên tục mạnh. Mệnh đề 1.4.1. (xem [4], tr.38) Cho một nửa nhóm (T (t))t≥0 trên một không gian Banach X. Khi đó các tính chất sau là tương đương (i) (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh. (ii) lim T (t)x = x, ∀x ∈ X. t↓0 (iii) Có một số δ > 0, M ≥ 1, và một tập con trù mật D ⊂ X thỏa mãn (a) ||T (t)|| ≤ M, ∀t ∈ [0, δ], (b) lim T (t)x = x, ∀x ∈ D. t↓0 Mệnh đề 1.4.2. (xem [4], tr.39) Cho một nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 . Khi đó tồn tại hằng số w ∈ R và M ≥ 1 thỏa mãn ||T (t)|| ≤ M ewt , ∀t ≥ 0. 10 (1.1) Ví dụ 1.4.1. Cho A ∈ Mn (C) và t ≥ 0, chuỗi e tA = ∞ k k X t .A (1.2) k! k=0 hội tụ tuyệt đối. Hơn nữa ánh xạ R+ 3 t 7→ etA ∈ Mn (C) là liên tục và thỏa mãn ( e(t+s)A = etA esA (F E) ∀t, s ≥ 0, e0A = I. hay (T (t))t≥0 = etA là nửa nhóm liên tục mạnh. Chứng minh. Do ∞ tk Ak P ||etA || = || k! k=0 nên chuỗi etA ∞ |t|k ||A||k P || ≤ k! k=0 = e|t|||A|| < ∞, hội tụ tuyệt đối. Khi đó sử dụng quy tắc Cauchy về nhân chuỗi lũy thừa, ta có ∞ k k X ∞ k k X t A s A k=0 k! . k=0 k! = ∞ X n X tn−k .An−k sk Ak n=0 k=0 (n − k)! . k! = ∞ X (t + s)n .An n=0 n! . Suy ra (F E) được chứng minh. Ta chỉ ra t 7→ etA liên tục. Từ tính chất (F E) ta có Do ||e hA − I|| = || e(t+h)A − etA = etA (ehA − I) ∞ X hk .Ak k=1 nên Suy ra lim ehA = I, h→0 suy ra k! || ≤ ∞ X |h|k .||A||k k=1 k! ∀t, h ≥ 0. = e|h|||A|| − 1, lim (e(t+h)A − etA ) = 0. h→0 t 7→ etA liên tục. Vậy (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh. Định nghĩa 1.4.2. Cho một nửa nhóm liên tục mạnh T = (T (t))t≥0 , chúng ta gọi ω0 là cận tăng trưởng nếu ω0 = ω0 (T ) = inf{w ∈ R : tồn tại Mw ≥ 1 thỏa mãn ||T (t)|| ≤ Mw ewt 11 ∀t ≥ 0}. Xét trong trường hợp đặc biệt: - Nếu w = 0, nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là nửa nhóm bị chặn. - Nếu w = 0 và M = 1, (T (t))t≥0 được gọi là là nửa nhóm co. - Nếu ||T (t)x|| = ||x|| ∀t ≥ 0 và x ∈ X, nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là đẳng cự. Định nghĩa 1.4.3. Nửa nhóm điều chỉnh (Rescaled) ∀µ ∈ C và α > 0 chúng ta định nghĩa nửa nhóm điều chỉnh (S(t))t≥0 bởi S(t) = eµt T (αt). Định nghĩa 1.4.4. Nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là nửa nhóm ổn định mũ đều nếu tồn tại các hằng số ω > 0, M ≥ 1 sao cho ||T (t)|| ≤ M e−ωt , t≥0 Định nghĩa 1.4.5. Nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là nửa nhóm liên tục đều trong L(X) nếu R+ 3 t 7→ T (t) liên tục đối với Tôpô chuẩn (Tôpô đều) trong L(X), tức là lim ||T (t + h) − T (t)|| = 0, ∀t ≥ 0 h→0 Mệnh đề 1.4.3. (xem [4]) Giả sử toán tử A ∈ L(X), chúng ta định nghĩa (etA )t≥0 như sau: e tA = ∞ n n X t A n=0 n! , ∀t ≥ 0. Khi đó các tính chất sau là đúng. (i) (etA )t≥0 là nửa nhóm trên X thỏa mãn R+ 3 t 7→ etA ∈ (L(X), ||.||) là liên tục. (ii) Ánh xạ R+ 3 t 7→ etA ∈ (L(X), ||.||) là khả vi và thỏa mãn phương trình vi phân 12 ( (DE) d dt T (t) = AT (t), ∀t ≥ 0, T (0) = I. Ngược lại, mọi hàm khả vi T (.) : R+ → (L(X), ||.||) thỏa mãn (DE) có dạng T (t) = etA với A = Ṫ (0) ∈ L(X). 1.4.2 Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh Để xây dựng khái niệm toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh, trước hết ta chứng minh bổ đề sau. Bổ đề 1.4.1. (xem [4], tr.48) Cho một nửa nhóm (T (t))t≥0 liên tục mạnh và một phần tử x ∈ X. Đối với ánh xạ quỹ đạo ξx : t 7→ T (t)x, các tính chất sau là tương đương. (i) ξx (.) là khả vi trên R+ . (ii) ξx (.) khả vi bên phải tại t = 0. Định nghĩa 1.4.6. Toán tử sinh A : D(A) ⊂ X → X của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 trên không gian Banach X là toán tử 1 Ax = ξ˙x (0) = lim (T (h)x − x) h↓0 h xác định với mọi x trong miền xác định của nó D(A) = {x ∈ X : ξx là khả vi trên R+ }. Theo bổ đề 1.4.1, ta thấy miền xác định D(A) là tập tất cả các phần tử x ∈ X mà ξx (.) là khả vi bên phải tại t = 0. Do đó 1 D(A) = {x ∈ X : lim (T (h)x − x) tồn tại}. h↓0 h (1.3) Miền D(A) là một không gian vector, và chúng ta ký hiệu toán tử sinh của nó là (A, D(A)). Chúng ta thường chỉ viết A, và coi miền xác định của nó là cho bởi (1.3). Sau đây là một vài tính chất của toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh. 13 Mệnh đề 1.4.4. (xem [4], tr.50) Cho toán tử sinh (A, D(A)) của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 , các tính chất sau là đúng. (i) A : D(A) ⊂ X → X là toán tử tuyến tính. (ii) Nếu x ∈ D(A) thì T (t)x ∈ D(A) và d T (t)x = T (t)Ax = AT (t)x dt ∀t ≥ 0. (1.4) x ∈ X, (1.5) (iii) ∀t ≥ 0 và x ∈ X, ta có Zt T (s)xds ∈ D(A). 0 (iv) ∀t ≥ 0, ta có Zt T (t)x − x = A T (s)xds nếu 0 Zt = T (s)Axds nếu x ∈ D(A). (1.6) 0 Định lý 1.4.1. (xem [4], tr.73) Định lý toán tử sinh của nửa nhóm (Hille,Yosida) Cho (A, D(A)) là một toán tử tuyến tính trên một không gian Banach X. Khi đó các tính chất sau là tương đương. (a) (A, D(A)) sinh ra một nửa nhóm co liên tục mạnh. (b) (A, D(A)) đóng, xác định trù mật, với mỗi λ > 0, ta có λ ∈ ρ(A) và ||λR(λ, A)|| ≤ 1. (1.7) (c) (A, D(A)) là đóng, xác định trù mật, với mỗi ∀λ ∈ C mà Reλ > 0, ta có λ ∈ ρ(A) và ||R(λ, A)|| ≤ 14 1 . Reλ (1.8) Chương 2 Sự ổn định của phương trình vi phân trong không gian Hilbert 2.1 Phương trình vi phân trong không gian Hilbert Cho H là không gian Hilbert. Trong H ta xét phương trình vi phân: dx(t) = f (t, x(t)), dt (2.1) trong đó f : R+ × H −→ H. (t ≥ 0; x(.) ∈ H) Bài toán Cauchy. Tìm nghiệm x = x(t) của phương trình (2.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 với (t0 , x0 ) ∈ I × H cho trước. Tương ứng với bài toán Cauchy của phương trình (2.1), người ta thường xét phương trình dạng tích phân: x(t) = x0 + Zt f (τ, x(τ ))dτ. (2.2) t0 Nhận xét. Nếu f liên tục theo chuẩn trong H thì ta có thể chỉ ra rằng nghiệm của (2.2) là nghiệm của bài toán Cauchy và ngược lại. 15 Định lý 2.1.1. (Tính duy nhất nghiệm địa phương) Giả sử tồn tại lân cận đóng (t0 , x0 ) sao cho trong lân cận đó hàm f (t, x) liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz ||f (t, x2 ) − f (t, x1 )|| ≤ M ||x2 − x1 || (2.3) (M là hằng số dương hữu hạn). Khi đó tồn tại lân cận của (x0 , t0 ) mà trong lân cận đó (2.1) có duy nhất nghiệm x = x(t) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 . Chứng minh. xem [2] Chú ý. Nghiệm x(t) chỉ tồn tại duy nhất trên ||t − t0 || ≤ ε , ||x − x0 || ≤ η với ε, η đủ nhỏ. Định lý sau đây chỉ ra sự tồn tại nghiệm trên toàn bộ [a, b]. Định lý 2.1.2. (Tính duy nhất nghiệm toàn cục) Giả sử tồn tại miền [a, b] × H mà trên miền đó hàm f(t,x) liên tục theo t vào thỏa mãn điều kiện Lipschitz (2.3). Khi đó với mọi (t0 , x0 ) ∈ [a, b] × H, bài toán Cauchy có nghiệm duy nhất x = x(t) xác định trên [a, b] . Chứng minh. xem [2] Định lý 2.1.3. (Sự kéo dài nghiệm trong không gian Hilbert) Giả sử ||x|| < ∞, t ≥ t0 , hàm f (t, x) thỏa mãn điều kiện ||f (t, x(t))|| ≤ L(||x||), trong đó L(r) là hàm liên tục có tính chất Z r dr → ∞ khi r → ∞ r0 L(r) Khi đó mọi nghiệm của phương trình (2.2) có thể kéo dài trên khoảng thời gian vô hạn t0 ≤ t < ∞. Chứng minh. xem [2] 16 2.2 Sự ổn định theo Lyapunov của phương trình vi phân trong không gian Hilbert 2.2.1 Các khái niệm về ổn định Giả sử H là không gian Hilbert tách được; D = R+ × H. Xét phương trình vi phân dx = f (t, x), dt (2.4) trong đó t ∈ R+ ; x ∈ H, f : D −→ H là một hàm liên tục thỏa mãn f (t, 0) = 0 và thỏa mãn điều kiện Lipschitz, tức là tồn tại hằng số L > 0 sao cho: Với mọi (t, x1 ), (t, x2 ) ∈ D thì ||f (t, x1 ) − f (t, x2 )|| ≤ L||x1 − x2 ||. Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày lại một số định lý cơ bản về tính ổn định của nghiệm tầm thường của phương trình vi phân trong không gian Hilbert theo phương pháp thứ hai Lyapunov. Trước hết chúng ta nhắc lại một số định nghĩa về sự ổn định của nghiệm tầm thường. Ký hiệu: G = {x : x ∈ H, ||x|| ≤ r < +∞}; x(t) = x(t, t0 , x0 ) là nghiệm của (2.4) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 (x0 ∈ G). Định nghĩa 2.2.1. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (2.4) được gọi là ổn định theo Lyapunov khi t → +∞ nếu ∀ε > 0, t0 ∈ R+ ; ∃δ = δ(t0 , ε) > 0 : ∀x0 ∈ G; ||x0 || < δ ⇒ ||x(t, t0 , x0 )|| < ε; ∀t ≥ t0 . Định nghĩa 2.2.2. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân ( 2.4) được gọi là ổn định đều theo Lyapunov nếu số δ trong định nghĩa (2.2.1) có thể chọn không phụ thuộc vào t0 . 17 Định nghĩa 2.2.3. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (2.4) được gọi là ổn định tiệm cận khi t → ∞ nếu (i) Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 là ổn định. (ii) Tồn tại 4 = 4(t0 ) > 0 sao cho với mọi x0 ∈ G và ||x0 || < 4 thì lim ||x(t, t0 , x0 )|| = 0. t→+∞ Định nghĩa 2.2.4. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (2.4) được gọi là ổn định tiệm cận đều nếu: (i) Nghiệm x(t) ≡ 0 là ổn định đều. (ii) Tồn tại 4 > 0 (không phụ thuộc vào t0 ) sao cho với mọi x0 ∈ G thỏa mãn ||x0 || < 4 thì lim ||x(t, t0 , x0 )|| = 0. t→+∞ Định nghĩa 2.2.5. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân ( 2.4) được gọi là ổn định mũ khi t → ∞ nếu mọi nghiệm x = x(t, t0 , x0 ) của (2.4) thỏa mãn ||x(t, t0 , x0 )|| ≤ B||x0 ||e−α(t−t0 ) , trong đó B, α là các hằng số dương nào đó không phụ thuộc vào (t0 , x0 ). Định nghĩa 2.2.6. (Phiếm hàm Lyapunov) Ta nói phiếm hàm V : R+ × H → R là phiếm hàm Lyapunov nếu nó liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai. . Đạo hàm phải của V dọc theo nghiệm của (2.4), kí hiệu là V (t, x) được xác định bởi . 1 {V [t + h, x + hf (t, x)] − V (t, x)}. h→+∞ h V (t, x) = lim 2.2.2 Các định lý về ổn định theo Lyapunov Ký hiệu CPI: Họ các hàm tăng, liên tục, xác định dương. Chúng ta có các định lý ổn định của nghiệm tầm thường như sau: 18