Tài liệu Sử dụng cực và đối cực trong giải toán hình học phẳng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA TOÁN TIN ----------------------- LƯƠNG THỊ DIỆU LINH SỬ DỤNG CỰC VÀ ĐỐI CỰC TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Sư phạm Toán Phú Thọ, 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA TOÁN TIN ----------------------- LƯƠNG THỊ DIỆU LINH SỬ DỤNG CỰC VÀ ĐỐI CỰC TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Sư phạm Toán NGƯỜI HƯỚNG DẪN: ThS. Lưu Thị Thu Huyền Phú Thọ, 2018 i    LỜI CẢM ƠN  Khóa luận này được hoàn thành tại trường Đại học Hùng Vương dưới  sự  hướng  dẫn  khoa  học  của  ThS.Lưu  Thị  Thu  Huyền.  Để  hoàn  thành  khóa  luận tốt nghiệp, ngoài sự nỗ lực của bản thân, em xin gửi lời cảm ơn đến ban  giám hiệu, các thầy cô trong khoa Toán – Tin trường Đại học Hùng Vương đã  tận tình giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình nghiên cứu  và thực hiện đề tài khóa luận.  Đặc biệt, emxin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới côgiáo hướng dẫn của  mình là ThS.Lưu Thị Thu Huyền đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong  suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thiện khóa luận.  Mặc dù bản thân đã cố gắng hết sức xong do thời gian có hạn cùng với  khối  lượng  kiến  thức  lớn  và  khó nên  khóa  luận  khó  tránh khỏi  những  thiếu  sót. Em rất mong nhận được sự góp ý các thầy giáo, cô giáo cùng các bạn đọc  để khoá luận được hoàn thiện hơn.  Em xin chân thành cảm ơn!    Việt Trì, ngày    tháng     năm 2018                                                                                                Sinh viên                                                                                              Lương Thị Diệu Linh      ii    MỤC LỤC  Trang  MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài khóa luận. ..................................................................... 1 2. Mục tiêu khóa luận. .................................................................................. 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu. .............................................................................. 2 4. Phương pháp nghiên cứu. ......................................................................... 2 5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. ............................................................ 2 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn. ................................................................. 2 Chương 1. Kiến thức cơ sở ........................................................................... 3 1.1. Hàng điểm điều hòa ............................................................................... 3 1.1.1. Tỉ số kép ........................................................................................ 3 1.1.1.1. Định nghĩa ................................................................................... 3 1.1.1.2. Các tính chất của tỉ số kép ........................................................... 3 1.1.2. Hàng điểm điều hòa ....................................................................... 4 1.1.2.1. Định nghĩa ................................................................................... 4 1.1.2.2. Biểu thức tọa độ đối với hàng điểm đìểu hòa ............................... 5 1.2. Chùm điều hòa ...................................................................................... 6 1.3. Tứ giác toàn phần .................................................................................. 9 1.4. Đường tròn trực giao ........................................................................... 10 1.5. Cực và đối cực ..................................................................................... 13 1.5.1. Đường đối cực của một điểm với hai đường thẳng cắt nhau ......... 13 1.5.2. Đường đối cực của một điểm đối với một đường tròn .................. 16 1.5.3. Các tính chất của cực và đối cực với một đường tròn ................... 20 iii    1.5.4. Cách xác định cực và đường đối cực ............................................ 23 Chương 2: SỬ DỤNG CỰC VÀ ĐỐI CỰC GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN  HÌNH HỌC PHẲNG .................................................................................... 26 2.1. Một số bài toán chứng minh vuông góc ............................................... 26 2.2. Một số bài toán chứng minh song song ................................................ 37 2.3. Một số bài toán chứng minh thẳng hàng .............................................. 41 2.4. Một số bài toán chứng minh đồng quy ................................................. 46 2.5. Một số bài toán chứng minh điểm cố định ........................................... 53 KẾT LUẬN ................................................................................................ 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 62     1    MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài khóa luận. Toán học là môn khoa học có ý nghĩa quan trọng trong việc phát triển  năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận logic, tính độc lập sáng tạo, có  khả  năng ứng dụng rộng  rãi trong  nhiều khoa học  và  rất cần thiết trong đời  sống. Chính vì thế, toán học cần được khai thác để góp phần phát triển năng  lực trí tuệ chung và hình thành nhiều phẩm chất đáng quý chongười học. Trong bộ  môn toán, hình học giữ vị trí quan trọng trong suốt chương  trình  toán  phổ  thông.  Đặcbiệt  trong  hình  học  phẳng,  cực  và  đối  cực  là  một  công cụ mạnh giúpchúng ta chứng minh các bài toán về quan hệ vuông góc,  song song, tínhđồng quy, thẳng hàng,…Nhờ các kiến thức vềcực và đối cực  màchúng ta có thể giải các bài toán khó, phức tạp, thậm chí có những bài toán  chỉ giảiđược khi sử dụng cực và đối cực. Việc vận dụng cực và đối cực vào  giải một số dạng toán hình học phẳng sẽ giúp học sinh tăng cường khả năng  tư duy sáng  tạo,  góp phần  phát huy  tính tích  cực,  chủ động  trong giải toán.  Bên cạnh đó, cực và đối cực còn đem lại cho người học một phương pháp tốt,  nâng cao hứng thú học tập, rèn luyện khả năng tìm tòi nghiên cứu. Do đó, cực  và đối cực là một nội dung được sử dụng nhiều trong việc bồi dưỡng học sinh  giỏi. Bằng cách sử dụng kiến thức về cực và đối cực, chúng tasẽ đưa ra được  hướng giải quyếtmột số dạng toán hình học sơ cấp tối ưu hơn mà các phương  pháp thông thường mất nhiều công sức mới giải quyết được.Tuy nhiên, việc  vận dụng các kiến thức về cực và đối cực vào nghiên cứu và   giải quyết một số dạng toán hình học phổ thông đòi hỏi học sinh phải có khả  năng tư duy cao mà lại có ít tài liệu tham khảo,học sinh chưa được tiếp xúc  nhiều, vì vậy khi tiếp cận vấn đề này học sinh còn gặp nhiều khó khăn.  Vì những lí do trên mà emquyết định lựa chọn nghiên cứu đề tài: “Sử dụng cực và đối cực trong giải toán hình học phẳng”cho  khóa  luận  tốt  nghiệpcủa mình.     2    2. Mục tiêu khóa luận. Xây  dựngđược hệ  thống cácbài toán hình  học phẳngvề  chứng minh quan  hệ  vuông  góc,  song  song,  tínhđồng  quy,  thẳng  hàngvàđiểm  cốđịnhcósửdụngcựcvàđối cực để giải.  3. Nhiệm vụ nghiên cứu. -Tìm hiểu các kiến thức liên quan đến đề tài và phân loại các nội dung đó. - Tuyển  chọn  và  giới  thiệu  các  bài  toán  sửdụngcực  và  đối  cực,so  sánhđượcưu điểm khi sửdụngcực và đối cực so với các phương pháp khác.  4. Phương pháp nghiên cứu. - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, sách có liên  quan  đến  sử  dụng  cực  và  đối  cực  trong  giải  toán  hình  học  phẳng  rồi  phân  dạng, hệ thống hóa kiến thức. - Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp  hướng dẫn, các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung và hình thức  của khóa luận.  5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. - Đối tượng:  nghiên cứu kiến  thứcvà  một sốdạng toán hình học  phẳng sử  dụngcực và đối cực. - Phạm vi: ứng dụng của cực và đối cực trong giải một số dạng toán hình  học phẳng.  6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn. Khóa  luận trình  bày  những  kiến thức  cơ  bản  về  cực  và  đối  cực  trong  mặt phẳng và sử dụng chúng trong việc giải một số dạng toán hình học phẳng.  Qua  đó  cho  thấy  sự  linh  hoạt,  sáng  tạo và  có  một  phương  pháp  tốt  khi  giải  toán là rất quan trọng. Đồng thời khóa luận còn là tài liệu tham khảo hữu ích  giúp bản thân emcũng như các bạn học sinh và sinh viên ngành toán học tập  tốt hơn.    3    Chương 1. Kiến thức cơ sở 1.1. Hàng điểm điều hòa 1.1.1. Tỉ số kép 1.1.1.1. Định nghĩa Định nghĩa1.1.Cho một tập hợp có thứ tự gồm bốn điểm A,B, C, D phân biệt  cùng nằm trên một đường thẳng đã được địnhhướng.Ta gọi tỉ số  CA DA : là tỉ CB DB số kép  của  bốn  điểm  A, B, C, D  (Hình  1.1)  vàđược  kí  hiệu  là  (ABCD).  Ta  có:(ABCD) = CA DA : CB DB         D   C  O    A  B  Hình 1.1  Trên đường thẳng đó nếu chọn O là gốc tọa độ và giả sử a, b, c, d lần  lượt là tọa độ các điểm A, B, C, D ta dễ dàng suy ra:    (ABCD) = ac ad :       (1)  bc bd 1.1.1.2. Các tính chất của tỉ số kép 1) Tỉ số kép của 4 điểm là không đổi trong các trường hợp sau: - Nếu ta hoán vị cặp điểm đầu với cặp điểm cuối, nghĩa là:    (ABCD) = (CDAB).  - Nếu ta đồng thời hoán vị 2 điểm đầu và 2 điểm cuối, nghĩa là:  (ABCD) = (BADC).   4    - Nếu ta viết chúng theo thứ tự ngược lại, nghĩa là:  (ABCD) = (DCBA). 2) Tỉ số kép của 4 điểm thay đổi trong các trường hợp: - Nếu ta hoán vị 2 điểm đầu hoặc 2 điểm cuối thì tỉ số kép của 4 điểm  trở thành sốđảo ngược của nó nghĩa là:  (BACD) = (ABCD) =   1   ( ABCD) - Nếu ta hoán vị 2 điểm ở giữa, hoặc 2 điểm đầu và cuối thì tỉ số kép  của 4 điểm trở thành phần bù của 1 nghĩa là:  (ABCD) = (DBCA) = 1 - (ABCD). 1.1.2. Hàng điểm điều hòa 1.1.2.1. Định nghĩa Định nghĩa1.2.Nếu  (ABCD) = - 1  thì  ta  nói  rằng  bốn  điểm  A, B, C, D lậpthành một hàng điểm điều hòa.  Lúc đó ta có  CA DA   nghĩa  là các điểm C, D chia đoạnAB theo các tỉ số  CB DB đối nhau. Mặt khác, ta cũng có thể viết tỉ số trên dưới dạng AC BC   nghĩa  AD BD là các điểm A và B chia đoạn CD theo các tỉ số đối nhau. Dựa vào các biểu  thức trên đây ta nhận thấyvai trò bình đẳng của A, B và C, D.  Chú ý: Khi nói tới tỉ số kép cũng như nói tới hàng điểm điều hòa,chúng  ta cần viết đúng thứ tự của các điểm. Dựa vào các tính chất nêu trên, ta biết  được  khi  thay  đổi  thứ  tự  các  điểm  nào  thì  giá  trị  của  tỉ  số  kép  được  giữ  nguyên và khi thay đổi thứ tự các điểm nào thì giá trị của tỉ số kép đó thay đổi  theo những quy luật nào. Do đó nếu (ABCD) = -1 ta suy ra:  (CDAB) = (BADC) = (DCBA) = -1 Mặt khác nếu (ABCD) = -1 thì  1  1  do đó ta có:  (ABCD) (BACD) = (ABDC) = -1. 5    1.1.2.2. Biểu thức tọa độ đối với hàng điểm đìểu hòa  Ta hãy định hướng đường thẳng ABCD, chọn trên đó một điểmO làm  gốc  và  một  vectơ  đơn  vị.  Giả  sử  OA  a , OB  b , OC  c , OD  d thì  vì  (ABCD)= - 1nên ta có:    CA DA ac ad   và  do  đó     ,  ta  có  Hình  1.2   CB DB bc bd   1) (ABCD )  1  ac ad  hay 2(ab+cd ) = (a+b)(c+d ) (2)  bc bd A  D O  C  B  Hình 1.2  2) Nếu ta chọn điểm O trùng với điểm A thì khi đó a = 0 và hệ thức  (2)trở thành 2cd = bc + bd hay  (ABCD )  1    2 1 1   ( Hình 1.3)  b d c 2 1 1   (3)  b d c   Từ hệ thức (3) ta suy ra      (ABCD )  1    2 1 1   (3’)   AB AC AD   A  D O  C  B  Hình 1.3  Hệ thức (3’) được gọi là hệ thức Descartes.   6    3) Gọi I là trung điểm của đoạn AB và nếu chọn O trùng với I thì   b = - a. Khi đó hệ thức (2) trở thành 2(-a² + cd) = 0 hay a² = cd.    Vậy   (ABCD )  1  IA2  IC .ID (4)    VớiI là trung điểm của đoạn AB (Hình 1.4).    I  A      C  D B  O      Hình 1.4  Hệ thức (4) được gọi là hệ thức Newton.  (4)GọiJlà trung điểm của đoạn CD và chọn O ≡ A trên trục là gốc.      A    D  J  O  B  C    Hình 1.5    Khi đó từ hệ thức (3’), ta có:  (ABCD) = -1  2 1 1     AB AC AD AC  AD       2  AC. AD  AB. AJ         (5)  AC. AD  AB.   Hệ thức (5) được gọi là hệ thức Macloranh 1.2. Chùm điều hòa 7    Định nghĩa 1.3.Người gọi chùm đường thẳng là  một tậphợp gồm tất cả các  đường thẳng trong mặt phẳng cùng đi qua một điểm và điểm đó được gọi là  tâm của chùm. Định lí 1.1. Một chùm bốn đường thẳng cắt một cát tuyến thayđổi theo một  hàng điểm có tỉ số kép không đổi.  Chứng minh   Giả sử bốn đường thẳng a, b, c, d của chùm tâm Ocắt hai cáttuyến m và  m’ bất kì không đi qua tâm O theo các hàng điểm A,B, C, D và A’, B’, C’, D’.  Ta cần chứng minh (ABCD) = (A'B'C’D’)(Hình 1.6)      O      N  D    A m  C  B      N M  m’  B’  A’  D’    C ’  b  d  a  M’  c  Hình 1.6  Qua điểm B ta dựng đường thẳng MBN song song với đường thẳnga cắt  c vàd tạiM vàN.  Ta có:  CA OA DA OA   , CB MB ' DB NB   Chia từng vế hai đẳng thức trên ta có:  CA DA NB CA DA :  :  ( ABC D )   mà CB DB MB CB DB   Nên  ( ABCD )  NB .  MB 8    Tương tự, qua điểm B’ ta dựng đường thẳng B’M’N’ song songvới a cắt  c và d ở M’ và N’ thì ta cũng có (A’B’C’D’) = N 'B' M 'B'   NB N ' B '  Vì BN // B’N’ nên  hay (ABCD) = (A’B’C’D’).  MB M ' B ' Định nghĩa 1.4. Tỉ số kép không đổi nói trên gọi là tỉ số képcủa chùm đường  thẳng a, b, c, d và được kí hiệu là (abcd).  Nếu (abcd) = - 1 thì ta nói rằng chùm đã cho là chùm điều hòa. Người  ta còn nói rằng cặp đường thẳng a, bchia điều hòa cặpđường thẳng c, dhoặc a, b và c, d là hai cặp đường thẳng liên hiệp điều hòa với nhau.  Địnhlý1.2.Trongmặtphẳngchochùmbốn đường thẳng đồng quy. Điều kiện cần  và  đủđể  chùm  đó  lập  thành  một  chùm  điều  hoà  là:  Một  đường  thẳng bất kì  song song với một trong bốn đường thẳng đó bị ba đường thẳng còn lại chia  thành hai đoạn thẳng bằng nhau.  Chứng minh. S    l    N    B        a    M  c  b  Hình 1.7    Kẻ đường thẳng l song song với a và cắt b, c, d lần lượt tại M,B, N. Theo định lý trên, ta có:    (abcd )  NB NB    và (abcd) = -1   1      NB   MB   MB MB  B là trung điểm của đoạn thẳng MN hay MB = NB (Hình 1.7).  9    Hệ quả 1. Trong một chùm điều hoà nếu có hai đường liên hợp vuông góc với  nhau thì hai đường đó là các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường  (Hình 1.8a).  Hệ quả 2. Hai đường phân giác của hai góc kề bù chia điều hoà hai cạnh của  góc  đó  (Hình  1.8b).  Chùm  đường  thẳng  gồm  hai  cạnh  của  một  góc  vàhai  đường phân giác của góc đó được gọi là chùm phân giác    S  S              B          b  c  A      d  a  D  C      a)  b)    Hình 1.8    Trong  mặt phẳng, tập hợp  các  đường thẳng  đồng quy tại  một điểm S,  được gọi là một chùm đường thẳng tâm S.  Cho  chùm  bốn đường thẳng a, b, c, d.  Một đường thẳng  bất kỳ  cắt  a,b, c, d theo thứtựtạiA,B, C,D.Khiđó(ABCD)khôngphụthuộcvàovịtrícủa.  Giátrịkhông đổi của tỉ số kép (ABCD) được gọi là tỉ số kép của chùm  bốn đường thẳng a, b, c, dký hiệu (abcd) hay S(abcd) khi cần quan tâm đến  tâm của chùm.  1.3. Tứ giác toàn phần Định nghĩa 1.5.Trong mặt phẳng hình gồm bốn đường thẳng trong đó không  có  3  đường  thẳng  nào  đồng  quyđược  gọi  là  tứ giác toàn phần.  Mỗi  đường  thẳng đó gọi là một cạnh,giao điểm của 2 cạnh được gọi là một đỉnh, hai đỉnh  không nằm  trên  cùng  một  cạnh  gọi  là  hai  đỉnh  đối diện, đường  thẳng  nối 2  10    đỉnh  đối  diện  được  gọi  là  đường  chéo,  giao  của  hai  đường  chéo  gọi  là  điểmchéo.  Định lí 1.3. Trong hình bốn cạnh toàn phần, hai đường chéo đi qua một điểm  chéo nào đó chia điều hòa hai đường thẳng nối hai điểm chéo đó với hai đỉnh  nằm trên đường chéo thứ ba. Chứng minh  Giả sử A, B, C, D, E, F là sáu đỉnh của tứ giác toàn phần với các đường  chéo AB, CD, EF và các điểm chéo I, J, K.  K       F      J  D   A     I  C  E    B   Theo cách dựng đường đối cực đã nêu ở trên thì FI là đường đối cực  của E đối với hai cạnh FAC và FDB.  Vì vậy, F(CBIE) là một chùm điều hòa, từ đó suy ra (ABIJ) = -1 hay  AB bị hai đường chéo còn lại chia điều hòa.  Chứng minh tương tự ta suy ra được hai đường chéo CD và EF cũng bị  hai đường chéo còn lại chia điều hòa.   1.4. Đường tròn trực giao Định nghĩa 1.6. Hai đường tròn gọi là trực giao với nhau tạimột điểm chung  A  của  chúng,  nếu  hai  tiếp  tuyến  ở  A của  hai  đường  tròn  đó  vuông  góc  với  nhau (Hình 1.9)  11    A R R' O O' Hình 1.9      Khi haiđường trònđã cắt nhau tại 1 điểm A thì chúng còn cắt nhau tại 1  điểm thứ hai B và vì lídođối xứng qua đường nối tâm nên các tiếp tuyến tạiB  cũng vuông góc với nhau.    Rõ  ràng  là khi  2  đườngtròn  trực  giao  với  nhau  thì  tạiđiểm  chung  của  chúng,  tiếp  tuyến  củađườngtròn  nàyđi  qua  tâm  củađườngtròn  kia.  Do  đó,  ápdụngđịnh lí Pitago ta có cácđịnh lí sau:  Định lí 1.4.Điều  kiện  cần  vàđủđể  hai  đườngtròn  trực  giao  với  nhau  là  bình  phương  khoảng  cách  giữa  2  tâm  bằng  tổng  bình  phương  của  bán  kính  của  chúng.  Nếu  gọi  O, O’  là  các  tâm  và  R, R' là  bán  kính  của  các  đườngtròn  thì  điều kiện trực giao nói trên có thể viết thành hệ thức:        OO’² = R² + (1)  Điều kiện (1) tương đương với điều kiệnOO’²-R² = R’² vàđó là phương  tích của điểm O’ đối với đường tròn tâm O.   Mặt khác ta cũng có: OO’² - R’² = R² và đó là phương tích của điểm O  đối với đường tròn tâm O’ (Hình 1.9)  Do đó ta có P(O’)/(O)= R’²và P(O)/(O’)= R². Ta suy ra:  12    Định lí 1.5.  Điều  kiện  ện  cần  c và  đủ  để  hai  đường  tròn  trực  ực  giao  vớinhau  llà  phương tích của tâm của một trong hai đ ủa một trong hai đường tròn đó đốivới đ ốivới đường tròn thứ  hai bằng bình phương b ương bán kính của đường trònthứ nhất.  O Hình 1.10    Giả sử đường kính ờng kính CDcủađường tròn tâm O’ cắt đường tr ờng tròn tâm O tại  A và B (Hình 1.10)  Ta có :   P(O’)/(O) = R’² hayOO’² hay = OA.OB   Đây làđiều kiện c ện cần và đủ để hai điểm A và B chia điều h hòa hai điểm C  vàD (hệ thức Newton) ngh n) nghĩa là(ABCD) = -1. Vậy ta có:  Định lí 1.6. Điều kiện c ện cần và đủ để hai đường tròn (O, R) và(O’, (O’, R’)trực giao  R’) vớinhau  khi  và  chỉ  khi  một  đường  thẳng  qua  tâm  cuả  1đường  ờng  tr tròncắt  cả  2đường tròn theo 2 cặp ặpđiểm liên hợp điều hòa.  Định lí 1.7. Điều kiện c ện cần và đủ để hai đường tròn (O, R) và(O’, (O’, R’)trực giao  R’) vớinhau  tại A khi  và  ch chỉ  khi  tiếp  tuyến  tạiA  củađường  tròn  nnàyđi  qua  tâm  củađường tròn kia.  Định nghĩa 1.7. Người ta gọi  ời ta gọi chùm đường tròn là một tập hợp các đ ột tập hợp các đường tròn  kể  ể  từng  đôi  một,  nhận  một  đ đường  thẳng  duy  nhất  làm  trục  ục  đẳng  phương.  ph Đường thẳng đó gọi là  à trục đẳng phương của chùm.  Nhận xét. 13    Từ định nghĩa trên ta thấy rằng tâm các đường tròn của một chùm phải  nằm trên một đường thẳng gọi là  đường chứa tâm  của chùm và đường thẳng  này vuông góc với trụcđẳng phương của chùm.  Từ định nghĩa chùm đường tròn ta suy ra hai định lí sau:  Định lí 1.8. Điều kiện cần và đủ để một tập hợp các đường tròn lập thành một  chùm là có hai điểm mà mỗi điểm đều có cùng phương tích đối với tất cả các  đường tròn của tập hợp đó.    Trục đẳng phương của chùm là đường thẳng nối hai điểm đã nói trên.  Định lí 1.9. Điều kiện cần và đủ để một tập hợp các đường tròn có tâm thẳng  hàng lập thành một chùm là có một điểm có cùng phương tích đối với tất cả  các đường tròn của tập hợp đó.    Trục  đẳng  phương  của  chùm  là  đường  thẳng  đi  qua  điểm  nói  trên  và  vuông góc với đường chứa tâm.  1.5. Cực và đối cực 1.5.1. Đường đối cực của một điểm với hai đường thẳng cắt nhau Định nghĩa 1.8. Hai điểm M và N gọi là liênhợp với nhauđối với haiđường thẳng đồng  quy  Ox, Oy  nếu  đường  thẳng  MNcắt  hai  đường  thẳng  đó  tạihaiđiểmA, Bsaocho(MNAB) = - 1, (Hình 1.11). 14    Hình 1.11  Chú ý :   Nếu ta có(MNAB) (MNAB) = - 1 thì ta suy ra(ABMN) = - l vàkhiđó hai điểm A  vàkhiđó hai đi và B cũngliên hợp với nhau đối với  ợp với nhau đối với hai đường thẳng đồng quy OM, OM, ON ON.    Bài toán 1. Cho một điểm  ột điểm M không thuộc hai đường thẳng Ox, Ox, Oy. Hãy tìm  Oy tập hợp các điểm N liên h liên hợp với M đối với hai đường thẳng đã cho. ã cho.  Giải Qua M ta  kẻ  ẻ  một đường  một đ thẳng lần lượt  cắt  Ox, Oy  tại A A và B. Ta  lấy  trên đường thẳng đó một điể ờng thẳng đó một điểm N sao cho (MNAB) = - 1 (Hình 1..12).  Nếu kẻ đường thẳng Oz Oz đi qua O và N thì ta có chùm (OM, (OM, Oz, Ox, Oy) Oy) là  một  chùm  điều  hòa  òa  và  do  đó  nói  chung  mọi  điểm  của  đường  ờng  thẳng  Oz  đều  liên hợp với điểm M đối với hai đ ối với hai đường thẳng đồng quy Ox, Oy.   Riêng đối với hai điể ối với hai điểm P vàQ thuộcOz màMP//Ox vàMQ//Oy MQ//Oy ta phải  loại ra vì lúcđó cácđường thẳng  ờng thẳng MP vàMQđều không cắt cả hai  hai đườngthẳng  Ox, Oy.  P  15        Ngược lại, nếuN1là một điểm không thuộc đường thẳng Oz nói trên thì  không liên hợp với Mthì khi đó nếu đường thẳng MN1cắtOx, Oy, Oz lần lượt  tại A’, B’, N’ thì ta có  (MN’A’B') = -1 còn (MN1A’B’) ≠ (MN’A’B’)  nên (MN1A’B') ≠ -1. Do đó N1 không liên hợp với M đối với haiđường thẳng  Ox, Oy.  Vậy tập hợp các điểm N liên hợp với điểm M đối với hai đườngthẳng  Ox, Oy là đường thẳng Oz loại trừ hai điểm P, Q nói trên.  Định nghĩa1.9.  Đường  thẳng  Oz  trong  bài  toán 1 nói  trên gọi  là  đường đối cựccủa điểm M đối với hai đường thẳng Ox, Oy.  Còn  điểm  M  gọi  là  cực củađường thẳng Oz đối với hai đường thẳng đó. Nhận xét.  Muốn dựng đường đối cực của một điểm M đối với hai đườngthẳng Ox, Oy cho trướcdựa vào tính chất của tứ giác toàn phầngiác toàn phần ta tìm hai  điểmP và Q phân biệt đều cùngliênhợp với M đối với Ox, Oy nóitrên. Ta có  PQ là đường đối cựccủa điểm M đối với Ox, Oy vàPQ luôn luôn đi qua điểm O (Hình 1.13).      O