Tài liệu Sử dụng các phương pháp Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của các phương trình vi phân và một số mô hình ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ MƠ SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ MỘT SỐ MÔ HÌNH ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ MƠ SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ MỘT SỐ MÔ HÌNH ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH CHÂU Hà Nội - Năm 2012 Mục lục Lời nói đầu 3 Lời cảm ơn 4 1 Một số tính chất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Banach 1.1 5 Một số kiến thức cơ bản về lý thuyết các toán tử giới nội trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 5 Những mệnh đề tổng quát về hình học các không gian Banach và ánh xạ tuyến tính của chúng . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Hàm các toán tử tuyến tính giới nội . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3 Toán tử e-mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.4 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.5 Định lý Lyapunov tổng quát về các toán tử có phổ nằm ở nửa mặt phẳng trái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Banach với toán tử hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất và không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Dáng điệu nghiệm của phương trình thuần nhất trên khoảng vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.3 Tính giới nội của các nghiệm của phương trình thuần nhất 18 1 1.2.4 Điều kiện tồn tại nghiệm giới nội của phương trình không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 Về phương pháp Lyapunov đối với các phương trình vi phân và một số ứng dụng 2.1 30 Các khái niệm cơ bản về sự ổn định của nghiệm của các phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2 Sự ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số biến thiên( không ôtônôm) . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.1 Tính ổn định của hệ tuyến tính thuần nhất với hệ số biến thiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.2 Tính ổn định của phương trình vi phân có nhiễu phi tuyến 33 2.3 Các hàm xác định dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4 Các định lí cơ bản của Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.5 Một số mô hình ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.5.1 Sự ổn định của quá trình chuyển động quay của một vật thể rắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.5.2 Sự ổn định của phi cơ đang chuyển động . . . . . . . . . . 46 2.5.3 Mô hình quần thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3 Về cân bằng tiệm cận và tương đương tiệm cận của phương trình vi phân trong không gian Hilbert 3.1 49 Sự cân bằng tiệm cận của phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 Về sự tương đương tiệm cận của các phương trình vi phân trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Tài liệu tham khảo 58 2 Lời nói đầu Việc nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân (PTVP) có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết định tính các phương trình vi phân, đồng thời có nhiều ứng dụng trong các mô hình thực tế. Vì vậy trong những năm gần đây đã có rất nhiều công trình của các nhà khoa học trong và ngoài nước đi sâu nghiên cứu về lĩnh vực này. Mục đích chính của bản luận văn này là trình bày lại một số kết quả cơ bản của tính chất của nghiệm PTVP tuyến tính trong không gian Banach và một số ứng dụng của phương pháp Lyapunov đối với các mô hình cụ thể trong khoa học kỹ thuật. Bố cục của luận văn này gồm ba chương. Chương 1: Trong chương một chúng tôi trình bày một số tính chất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Banach. Chương 2: Trong chương hai chúng tôi trình bày một số kết quả cơ bản của phương pháp Lyapunov trong việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các phương trình vi phân . Sau đó trình bày một số ví dụ minh họa trong các mô hình thực tế . Chương 3: Trình bày các kết quả về tính cân bằng tiệm cận và tương đương tiệm cận của phương trình vi phân của các PTVP trong không gian Hilbert. Nội dung của chương này dựa vào các kết quả nghiên cứu của: GS. TS Nguyễn Thế Hoàn. 3 Chương 1 Một số tính chất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Banach Nội dung chính trong chương này bao gồm các kiến thức chuẩn bị về toán tử tuyến tính trong không gian Banach và một số tính chất nghiệm của các phương trình vi phân tuyến tính với toán tử hằng. Các kết quả chính của chương này được trích dẫn từ tài liệu [1]. 1.1 Một số kiến thức cơ bản về lý thuyết các toán tử giới nội trong không gian Banach 1.1.1 Những mệnh đề tổng quát về hình học các không gian Banach và ánh xạ tuyến tính của chúng 1. Không gian định chuẩn và không gian Banach Tập hợp L đươc gọi là không gian định chuẩn thực (phức) nếu 1. L là không gian tuyến tính (vector) trên trường số thực (phức). 2. mỗi phần tử (vector) x ∈ L xác định một số không âm kxk - chuẩn của phần tử x- có các tính chất sau: 5 (a) kαxk = |α| kxk mọi x ∈ L và với mọi số thực (phức) α. (b) kx + yk ≤ kxk + kyk với mọi x, y ∈ L (bất đẳng thức tam giác). (c) kxk = 0 khi và chỉ khi x = 0. Hàm số ρ (x, y) = kx − yk xác định trong không gian định chuẩn một metric, bởi vậy L là một không gian metric. Dãy {xn } ⊂ L được gọi là dãy cơ sở nếu lim kxn − xm k = 0. Không gian n,m→∞ định chuẩn được gọi là không gian Banach nếu trong đó mọi dãy cơ sở đều có giới hạn, đó là phần tử x ∈ L sao cho lim kxn − xk = 0 (nói cách khác không n→∞ gian Banach L(=B) là không gian đủ trong metric ρ (x, y) = kx − yk). 2.Toán tử tuyến tính Giả sử B1 và B2 là các không gian Banach. Ánh xạ A : B1 → B2 được gọi là toán tử tuyến tính nếu: A (αx + βy) = αAx+βAy với mọi số α, β và mọi x, y ∈ B1 . Toán tử tuyến tính liên tục nếu nó liên tục tại x = 0. Tính liên tục tương đương với tính giới nội của toán tử A, tức là tính hữu hạn của đại lượng  def kAk = sup  kAxk2 |x ∈ B1 , x 6= 0 kxk1 = sup {kAxk2 |x ∈ B1 , kxk1 = 1} Tập các toán tử tuyến tính giới nội A : B1 → B2 kí hiệu là [B1 ; B2 ]. Tập này là không gian Banach với chuẩn được định nghĩa như trên và với phép cộng và phép nhân toán tử với một số (A + B) x = Ax + Bx; (αA)x = α (Ax) Toán tử B : B2 → B1 được gọi là toán tử ngược của toán tử A : B1 → B2 và kí hiệu B = A−1 , nếu AB = I2 ; BA = I1 , trong đó Ik là toán tử đồng nhất trong Bk : Ik x = x với mọi x ∈ Bk (k = 1, 2) . 6 Định lý 1.1.1. Giả sử một toán tử A ∈ [B1 , B2 ] là ánh xạ một-một tương ứng từ không gian Banach B1 tới không gian Banach B2 . Khi đó toán tử nghịch đảo của nó A−1 là toán tử tuyến tính bị chặn và A−1 ∈ [B1 , B2 ]. Tập các toán tử giới nội trong không gian B vào chính nó được kí hiệu ngắn gọn là [B]. 3. Tổng trực tiếp các không gian con và các phép chiếu Một tập con tuyến tính đóng của không gian Banach B được gọi là không gian con của nó. Ta nói rằng không gian Banach B được phân rã thành tổng trực tiếp các không gian con B1 và B2 : · B = B1 + B2 (1.1) nếu mỗi phần tử x ∈ B được biểu diễn duy nhất dưới dạng x = x1 + x2 , (1.2) trong đó x1 ∈ B1 , x2 ∈ B2 . Mỗi không gian con B1 và B2 là phần bù trực tiếp của không gian con kia. Phép khai triển (1.2) sinh ra hai toán tử Pk : B → Bk (k = 1, 2) được xác định bởi các đẳng thức Pk x = xk (k = 1, 2); trong đó x1 và x2 là các thành phần của x trong khai triển (1.1). Các toán tử P1 và P2 có tính chất Pk2 = Pk ; P1 + P2 = I; P1 P2 = P2 P1 = 0. (1.3) Toán tử P ∈ [B] được gọi là phép chiếu nếu P 2 = P. 1.1.2 Hàm các toán tử tuyến tính giới nội 1. Phổ và giải thức Giả sử B là một không gian Banach phức. Điểm λ của mặt phẳng phức được gọi là điểm chính qui của toán tử A ∈ B nếu trong [B] tồn tại một toán tử (giải thức của toán tử A), Rλ = (A − λI)−1 . 7 Tập hợp ρ (A) tất cả các điểm chính qui của toán tử A là mở. Phần bù σ (A) của nó được gọi là phổ của toán tử . Phổ σ (A) luôn khác rỗng, đóng và nằm trong hình tròn |λ| ≤ kAk. Chính xác hơn, phổ σ (A) nằm trong hình tròn có bán kính rA bằng rA = lim n→∞ p n kAn k (Sự tồn tại giới hạn dễ dàng suy ra từ hệ thức Am+n ≤ kAm k . kAn k) ∞ P λ−(k+1) Ak hội tụ tuyệt đối trong metric Thật vậy, với mọi λ với |λ| > rA chuỗi k=0 [B] , vì chuỗi tương ứng từ các chuẩn được làm trội bởi cấp số nhân với công bội rA +ε |λ| với mọi ε > 0, bắt đầu từ chỗ nào đó. Khi nhân chuỗi đó với λI − A ta có I. Vậy, khi |λ| > rA luôn tồn tại giải thức, và hơn thế nữa Rλ = − ∞ X (1.4) λ−(k+1) Ak . k=0 Có thể chỉ ra rằng trên đường tròn |λ| = rA luôn có một điểm của phổ σ (A). p Vì vậy giới hạn lim n kAn k được gọi là bán kính phổ của toán tử A. n→∞ 1.1.3 Toán tử e-mũ 1. Định nghĩa e-mũ toán tử Trong lý thuyết phương trình vi phân toán tử hàm eAt đóng vai trò đặc biệt quan trọng, nó có thể được đưa ra nhờ bất kì một trong hai hệ thức. Đầu tiên ma trận eA xác định bởi  A e = lim n→∞ A A2 An I+ + + ... + 1! 2! n!  = , At e 1 =− 2πi I eλt (A − λI)−1 dλ, ∞ X An n=0 n! (1.5) ΓA At e = ∞ X Ak tk k=0 8 k! . (1.6) Lấy vi phân hệ thức (1.5) theo t dưới dấu tích phân ta được công thức deAt = AeAt . dt (1.7) Thật vậy, deAt 1 =− dt 2πi I λeλt (A − λI)−1 dλ ΓA = 1.1.4  1 − 2πi I −1 λ(A − λI)  dλ ΓA ×  1 − 2πi I λt e (A − λI) −1 dλ ΓA  = AeAt ]. Ví dụ Ví dụ 1.1.1. Tìm etA , biết: (a)A =  0 1 −1 0  ; (b)B =  0 −1 1 0  1 1 −1 −1  . Lời giải: a,Ta tính được  0 1 −1 0 A=  2 ,A =  −1 0 0 −1  3 ,A = Tương tự A5 = A, A6 = A2 , .... Từ đó ta được:     2  etA = 1 0 0 1 0 1 −1 0 +t   =  − ∞ P n=0 ∞ P n=0 t2n (−1)n (2n)! 2n+1 t (−1)n (2n+1)! = t3 + 3! −1 0 0 −1 t + 2!  ∞ P   ,A = 0 −1 1 0 t2n+1 (−1)n (2n+1)! n=0 ∞ P 2n n=0 cos t sin t − sin t cos t t (−1)n (2n)!  Ở đây ta đã sử dụng công thức khai triển Taylor cos t = sin t = b, ∞ P n=0  t . (−1)n (2n+1)! A=  1 1 −1 −1  2 ,A =  0 0 0 0 9  3 ,A =  1 0 0 1 t4 + 4!   =I 1 0 0 1     ∞ P 2n n=0 2n+1  4 0 0 0 0 t và (−1)n (2n)!  , ....  + ... Vậy ta có   1 0 etA = +t 0 1   1+t t = −t 1 − t  1 1 −1 −1  + 2 t 2!  0 0 0 0  + 3 t 3!  0 0 0 0  + ... 2. Một số định lí Định lý 1.1.2. Với toán tử A ∈ [B] bất kì thì hàm eAt có số mũ Lyapunov chặt κ đồng thời thỏa mãn ln eAt κ = lim = max {Reλ |λ ∈ σ (A) } t→∞ t (1.8) Bổ đề 1.1.1. Nếu eAt ≤ c với mọi t ∈ (−∞, +∞) thì phổ σ (A) phân bố trên trục ảo. 1.1.5 Định lý Lyapunov tổng quát về các toán tử có phổ nằm ở nửa mặt phẳng trái Trong phần này các phép tính sẽ xét trong không gian Hilbert. Tích vô hướng của các phần tử x, y ∈ B kí hiệu là (x, y). Điều kiện cần và đủ để toán tử tuyến tính A : B → B giới nội (A ∈ [B]) là tồn tại một toán tử tuyến tính A∗ : B → B sao cho với mọi x, y ∈ B :(Ax, y) = (x, A∗ y) Cùng với A ∈ [B] thì cả A∗ ∈ [B], ngoài ra (A∗ )∗ = A. Toán tử A∗ được gọi là toán tử liên hợp đối với toán tử A. Ta có những tính chất đơn giản sau của toán tử liên hợp: 1. (A + B)∗ = A∗ + B ∗ , A, B ∈ [B], 2. (αA)∗ = αA∗ , 3. (AB)∗ = B ∗ A∗ , 4. kAk = kA∗ k, 5. Các phổ σ (A) và σ (A∗ ) phân bố đối xứng với trục thực. 10 Toán tử H ∈ [B] được gọi là Hermit nếu H = H ∗ . Toán tử Hermit có đặc trưng là dạng Hermit (Hx, x), x ∈ [B] chỉ nhận giá trị thực. Phổ của toán tử σ (H) là một tập đóng giới nội trên trục thực. Đoạn nhỏ nhất chứa phổ σ (H) được kí hiệu là [λm (H) , λµ (H)]. Ở đây: λm (H) = inf {(Hx, x) |kxk = 1 } ; λµ (H) = sup {(Hx, x) |kxk = 1} ; kHk = max {λµ (H) ; −λm (H)}. Toán tử H ∈ [B] được gọi là dương (không âm) nếu dạng (Hx, x) là dương (không âm) với mọi x 6= 0. Đối với H không âm luôn có kHk = λm (H). Toán tử H được gọi là dương đều và viết H ≫ 0 nếu dạng (Hx, x) dương đều trên hình cầu đơn vị S = {x |kxk = 1 } trong B, tức là nếu λm (H) > 0. Tương tự ta định nghĩa các toán tử âm, không dương và âm đều (và ý nghĩa của cách viết H ≪ 0). Rõ ràng rằng điều kiện để một toán tử không âm là khả nghịch là nó phải dương đều Định lý 1.1.3. Định lý tổng quát Lyapunov. Điều kiện cần và đủ để phổ của toán tử A nằm bên trong nửa mặt phẳng trái là tồn tại toán tử dương đều W sao cho Re(W A) ≪ 0. Hơn thế nữa, nếu σ (A) nằm bên trong nửa mặt phẳng trái thì với mọi H ≫ 0 tồn tại toán tử W ≫ 0 sao cho Re(W A) = −H. 11 1.2 Phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Banach với toán tử hằng 1.2.1 Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất và không thuần nhất 1. Phương trình vi phân dạng vector Giả sử B là không gian Banach, trong chương này chúng ta sẽ xét các phương trình vi phân (PTVP) trong không gian Banach B dạng đơn giản nhất dx = Ax + f (t) dt (1.9) trong đó A ∈ B, không gian B được gọi là không gian pha của phương trình. Đầu tiên ta xét phương trình vi phân thuần nhất dx = Ax. dt (1.10) Nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình này với điều kiện x (t0 ) = x0 (1.11) x (t) = eA(t−t0 ) x0 (1.12) được cho bởi công thức Nghiệm này có đạo hàm liên tục theo t và là một nghiệm của bài toán (1.10)(1.11). Dễ dàng thử lại rằng nghiệm này là duy nhất trong lớp hàm khả vi. Chỉ cần chứng minh rằng nếu một hàm liên tục x(t) thỏa mãn phương trình (1.10) bằng 0 tại t = t0 , thì nó cũng bằng 0 trong lân cận nào đó của điểm này. Thực vậy, hàm này phải thỏa mãn x (t) = Zt Ax (s) ds, t0 12 , từ đó với ∀t, |t − t0 | ≤ δ ta có đánh giá kx (t)k ≤ δ kAk sup kx (s)k |t−t0 |≤δ dẫn tới mâu thuẫn sup kx (s)k = 6 0 khi δ kAk < 1. |t−t0 |≤δ Sử dụng phương pháp biến thiên hằng số ta tìm nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình không thuần nhất dưới dạng x (t) = eA(t−t0 ) y (t) , Sau khi thay, phương trình (1.9) ta được eA(t−t0 ) y ′ (t) = f (t) , Từ đó ta suy ra y (t) = x0 + Zt e−A(s−t0 ) f (s)ds, t0 và cuối cùng có x (t) = eA(t−t0 ) x0 + Zt eA(s−t0 ) f (s)ds. (1.13) t0 Biểu thức (1.13) rõ ràng là một hàm khả vi. Tính duy nhất nghiệm của (1.13) của bài toán Cauchy (1.9)-(1.11) suy ra từ tính duy nhất nghiệm của phương trình thuần nhất. 1.2.2 Dáng điệu nghiệm của phương trình thuần nhất trên khoảng vô hạn 1. Xác định lại chuẩn Dáng điệu nghiệm của phương trình vi phân của bài toán (1.10)-(1.11) trên tại vô hạn phụ thuộc đáng kể vào sự phân bố phổ của toán tử A. Giả sử rằng phổ σ (A) nằm trong nửa mặt phẳng trái. Khi đó từ (1.12), trên cơ sở định lí (1.2) có đánh giá: kx(t)k ≤ Ne−ν(t−t0 ) kx (t0 )k ∀t ≥ t0 , N, ν > 0. 13 (1.14) Ngược lại, cũng đúng nếu (1.14) đúng với mọi nghiệm x(t) của phương trình (1.10) thì phổ σ (A) nằm trong nửa mặt phẳng trái. Dáng điệu nghiệm của phương trình (1.10) với giả thiết σ (A) nằm trong nửa mặt phẳng trái có thể được mô tả rõ hơn nếu ta đưa vào một chuẩn mới tương đương với chuẩn ban đầu kxkA = Z∞ 0 (1.15) As e x ds. Rõ ràng trong chuẩn mới này thì nghiệm của (1.10) tiến tới 0 khi t → ∞ Thật vậy, kx (t)kA = Z∞ 0 và do đó d dt kx (t)kA As e x (t) ds = = − eAt x0 < 0. Z∞ Z∞ A(t+s) A(s) x0 ds = e x0 ds e t 0 Bây giờ chúng ta xét trường hợp σ (A) = σ+ (A) ∪ σ− (A) (khi phổ của A phân tách thành 2 tập phổ nằm trong nửa mặt phẳng phải và trái), đồng thời tập phổ σ+ (A) là không rỗng. Giả sử P+ và P− là các phép chiếu phổ với sự phân tích của phổ như trên và cho B = B+ + B− là tương ứng với sự phân tách đó và B+ và B− là sự khai triển thành tổng trực tiếp của không gian B tương ứng là bất biến dưới toán tử eAt (0 ≤ t < ∞), một nghiệm x (t) = eAt x0 xuất phát từ một điểm trong không gian này thì không đi ra khỏi không gian con tương ứng. Chúng ta đưa vào B chuẩn bất định: kx (t)kA = Z∞ 0 (1.16)  At e P− x − e−At P+ x dt. Tính toán tương tự như trên ta được kx (t)kA = R∞  As At e e P− x0 − e−As eAt P+ x0 ds 0 R∞ As R∞ −As = e P− x0 ds − e P+ x0 ds t −t 14 . Do đó (1.17) (d/dt) kx (t)kA = − eAt P− x0 + eAt P+ x0 < 0  và do đó chuẩn bất định của nghiệm bất kỳ nào của phương trình (1.10) không tăng. Chúng ta xét 2 trường hợp đặc biệt. a, Giả sử P+ x0 = 0, x0 ∈ B− (P− B). Trong không gian con này kxkA ≥ 0 và kxk và kxkA là tương đương. Từ (1.17) suy ra kx (t)kA tiến tới 0. Do đó nghiệm kx (t)k = eAt x0 của phương trình (1.10) với vector gốc x0 dần tới 0. b, Giả sử P− x0 = 0, x0 ∈ B+ (= P+ B). Trong không gian con này đại lượng kxkA ≥ 0 là một dạng vi phân tương đương kxk. Ta có d 1 kx (t)kA = kx (t)k ≥ − kx (t)kA . dt M Lấy tích phân bất đẳng thức trên ta thấy − kx(t)kA ≥ − kx0 kA e(1/M )(t−t0 ) , Nghiệm với giá trị ban đầu trong B+ tăng vô cùng khi t → ∞. Chú ý rằng sự phân tích x (t) = eAt x0 = eAt P− x0 + eAt P+ x0 = P− eAt x0 + P+ eAt x0
suy ra nghiệm bất kỳ mà P+ x0 6= 0 sẽ tăng vô hạn. Đặc biệt khi phổ nằm trong nửa mặt phẳng phải σ (A) = σ+ (A), thì nghiệm khác không tiến tới vô hạn khi t → +∞, và chuẩn kx (t)kA đơn điệu tăng. Hơn nữa, trường hợp này dần đến trường hợp ban đầu nếu ta thay thế A bởi −A và đổi chiều thời gian t. Chúng ta nhớ lại rằng toán tử A với phổ phân đôi thành hai tập phổ tương ứng nằm trong nửa mặt phẳng trái và nửa mặt phẳng phải:σ (A) = σ+ (A) ∪ σ− (A) được gọi là nhị phân. Trong trường hợp này ta cũng nói phương trình vi phân 15 (1.10) là nhị phân. Từ những lập luận trên suy ra ra rằng không gian pha B cuả phương trình nhị · phân tách được thành tổng trực tiếp B = B+ + B− . 2. Ý nghĩa hình học của chuẩn thay đổi Nếu không gian pha B là không gian Hilbert, thì tất cả các lập luận được tiến hành một cách tự nhiên với chuẩn kxkA,2 thay cho kxkA . Trong trường hợp này việc thay đổi chuẩn có ý nghĩa hình học đơn giản. Ban đầu giả sử A ≪ 0. Thì nghiệm của phương trình dx/dt = Ax thỏa mãn bất đẳng thức x′ (t) , x (t) = (Ax (t) , x (t)) ≤ −ckx (t)k2 ,
Khi đó góc α giữa vector x(t) và x′ (t) tiếp xúc với đường cong tích phân của phương trình (1.10) thỏa mãn: (x′ (t), x(t)) c ckx (t)k2 cosα = − ′ =− ≤− 2 kx (t)k . kx(t)k kAk kAk .kx(t)k Vậy, α ≥ π 2 + arcsin  c kAk  và trường vector của tiếp tuyến của đường cong tích phân của phương trình (1.10) là tại mỗi điểm hướng chủ yếu vào trong mặt cầu có tâm là gốc tọa độ. Bây giờ chúng ta xem xét trường hợp tổng quát khi phổ σ (A) nằm trong nửa mặt phẳng trái. Khi đó từ Định lí 1.1.3 tồn tại toán tử dương đều W giới nội sao cho Re (W ) ≪ 0. Các suy luận trên vẫn đúng nếu các đánh giá được thực hiện với chuẩn metric mới (x, y)W = (W x, y) tương đương với metric cũ. Thật vậy tính bị chặn và tính dương đều của toán tử W đảm bảo tính tương đương topo của các chuẩn k.k và k.kW . Mặt khác, nếu Re (W A) ≤ −cI (c > 0) thì đối với một nghiệm x(t) của phương trình (1.10) ta sẽ có: Re x′ (t), x(t)
W = ([A∗ W + W A] x, x) ≤ −c (x, x) ≤ −c1 (x, x)W 16 Ta nhớ lại, toán tử W có thể là một nghiệm của phương trình A∗ W + W A = −H , ở đó H là một toán tử dương đều tùy ý. Ví dụ, đặt H = I , ta có: W = R∞ 0 (x, x)W ∗ eA t eAt dt 2 R∞ = (W x, x) = eAt x dt (1.18) 0 Trong trường hợp này hệ các mặt cầu được thay thế bởi hệ các mặt ellipxoit (W x, x) = const với tâm là gốc mà các đường cong tích phân đi vào trong. Việc xét trong không gian pha Banach chuẩn (1.15) là tương tự với (1.18), sẽ bao hàm ý tưởng về hình học tổng quát về đề cập hình học trên liên quan tới phương pháp thứ 2 Lyapunov. Ở đây vai trò của các ellipxoit là các vật thể đối xứng tâm lồi được giới hạn bởi các mặt kxkA = const. Phức tạp hơn nhưng bức tranh hình học khá rõ ràng khi phổ của A có phần tử nằm trong nửa mặt phẳng phải, tức là phương trình (1.10) gọi là nhị phân. Đầu tiên xét trường hợp kh pha B là không gian Hilbert H . Định lý 1.2.1. Phương trình (1.10) là nhị phân khi và chỉ khi là toán tử A là W tán xạ đều đối với một toán tử Hermit khả nghịch bất định W ∈ H] là toán tử Hermit có ngược thỏa mãn: Re(W A) ≪ 0. Với toán tử W bất kỳ thỏa mãn điều kiện này thì không gian con bất biến H+ (H− ) đối với toán tử A ứng với phần của phổ σ+ (A) (σ− (A)) nằm trong nửa mặt phẳng phải(trái) là toán tử W âm đều(W -dương đều). Dạng vô định (W x, x) sinh ra trong H hai hệ hyperboloid bởi phương trình (W x, x) = c: hyperboloid cộng khi c > 0 và hyperbilic trừ khi c < 0. Không khó thử lại, với toán tử W tán xạ đều của A suy ra: d (W x (t) , x (t)) = 2Re(W Ax(t), x(t)) < 0 (x(t) 6= 0) , dt 17 quan hệ này cho thấy dạng vô định (W x, x) giảm với mọi nghiệm x(t) của phương trình (1.10). Nếu điểm x0 nằm trên hyperboloid trừ thì việc giảm tiếp của (W x, x) khi t tăng có nghĩa là quỹ đạo của x(t) cắt các hyperboloid với các giá trị âm có giá trị tuyệt đối càng lớn và do đó quỹ đạo chạy ra vô cùng. 1.2.3 Tính giới nội của các nghiệm của phương trình thuần nhất 1. Phương trình vi phân cấp 1 Ta hãy xác định điều kiện để nghiệm của phương trình thuần nhất dx/dt = Ax là bị chặn trên toàn bộ trục thực. Vì tập nghiệm của phương trình này xác định bởi công thức x (t) = eAt x0 (x0 = x (0)), từ điều kiện giới nội của nghiệm suy ra bất đẳng thức: eAt x0 ≤ Cx0 (−∞ < t < ∞) , trong đó hằng số Cx0 chỉ phụ thuộc vào x0 . Vậy tập toán tử eAt (−∞ < t < ∞) bị chặn tại mỗi phần tử x0 ∈ B theo định lí Banach-Stainhauss tập toán tử này bị chặn đều: At e ≤ c (−∞ < t < ∞) (1.19) Từ đánh giá này, và từ hệ quả I.4.1 trong [1] suy ra rằng phổ của toán tử A nằm trên trục ảo. Ta có kết quả chính xác hơn nếu không gian pha B là không gian Hilbert ~. Thật vậy điều kiện (1.19) thỏa mãn nếu và chỉ nếu toán tử A đồng dạng với toán tử Hermit được nhân với đơn vị ảo (toán tử phản Hermit) A = S −1 (iB) S (B ∗ = B) Vậy ta có kết quả sau: Định lý 1.2.2. Nếu mỗi nghiệm của phương trình dx/dt = Ax bị chặn trên trục 18 thực thì phổ σ (A) nằm trên trục ảo. Nếu không gian pha B là không gian Hilbert thì tất cả các nghiệm bị chặn khi và chỉ khi toán tử A đồng dạng với một toán tử phản Hermit. 2. Phương trình vi phân cấp 2 trong không gian Banach Chúng ta xét phương trình cấp 2: d2 y + T y = 0, dt2 (1.20) trong đó T ∈ [B]. Việc nghiên cứu phương trình này dẫn tới việc nghiên cứu phương trình cấp · 1 trong không gian pha đôi B(2) = B + B có phần tử là cặp x = (x1 , x2 ) (x1 , x2 ∈ B) và có chuẩn xác định bởi công thức kxk22 = kx1 k2 + kx2 k2 . Đặt y = x1 và dy/dt = x2 , chúng ta thay phương trình (1.20) bởi hệ dx1 dx2 = x2 ; = −T x1 , dt dt hoặc bởi phương trình tương đương với nó mà x = (x1 , x2 ) trong B 2 dx = Ax. dt (1.21) Trong đó h A∈ B được xác định bởi ma trận toán tử A=  (2) i 0 1 −T 0  . Không khó để tính được    k T 0 ; A2k+1 = (−1)k A2k = (−1)k k 0 T 0 Tk −T k+1 0  . (1.22) Toán tử eAt xác định nghiệm của (1.21) có dạng: At e = ∞ X n=0 n nA t n! = ∞ X k=0 2k t A2k (2k)! 19 + ∞ X k=0 t2k+1 A2k+1 (2k + 1)! . (1.23)