Tài liệu Sóng rayleigh trong các bán không gian đàn hồi không tự do đối với ứng suất

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trịnh Thị Thanh Huệ SÓNG RAYLEIGH TRONG CÁC BÁN KHÔNG GIAN ĐÀN HỒI KHÔNG TỰ DO ĐỐI VỚI ỨNG SUẤT Chuyên ngành: Cơ học Vật thể rắn Mã số: 62 44 21 01 DỰ THẢO TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC Hà Nội - 2016 Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: GS. TS. Phạm Chí Vĩnh Phản biện: ...................................................... ...................................................... Phản biện: ...................................................... ...................................................... Phản biện: ...................................................... ...................................................... Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia chấm luận án tiến sĩ họp tại ................................................... vào hồi giờ ngày tháng năm 20...... Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Việt Nam Mở đầu Các bài toán truyền sóng trong các môi trường đàn hồi (xem, chẳng hạn Achenbach (1973), Ben-Menahem and Singh (2000), Brekhovskikh and Goncharov (1994), Ewing, Jardetzky and Press (1957)), nổi bật là sóng mặt Rayleigh, là cơ sở lý thuyết cho nhiều ứng dụng khác nhau trong khoa học công nghệ. Sóng mặt Rayleigh truyền trong môi trường đàn hồi đẳng hướng nén được, mà Rayleigh tìm ra hơn một trăm năm trước (năm 1885), và vẫn đang được nghiên cứu một cách mạnh mẽ vì những ứng dụng to lớn của nó trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học và công nghệ như địa chấn học, âm học, địa vậy lý, công nghệ truyền thông và khoa học vật liệu. Có thể nói rằng những nghiên cứu của Rayleigh về sóng mặt truyền trong bán không gian đàn hồi có ảnh hưởng sâu rộng đến cuộc sống hiện đại. Nó được sử dụng để nghiên cứu động đất, thiết kế mobile phone và nhiều thiết bị điện tử cực nhỏ, ... như Adams và các cộng sự (2007) đã nhấn mạnh. Đã có một số lượng nghiên cứu rất lớn về sóng mặt Rayleigh. Google.Scholar, một trong những công cụ tìm kiếm mạnh nhất về khoa học, cho chúng ta hơn một triệu đường links cho yêu cầu tìm kiếm "Rayleigh waves". Kết quả tìm kiếm thu được thật đáng kinh ngạc! Nó chỉ ra rằng, sóng mặt Rayleigh có vị trí cao trong khoa học, đã và đang được sự quan tâm rất lớn của các nhà khoa học trong và ngoài nước. Tuy nhiên, trong hầu hết các nghiên cứu trước đây về sóng Rayleigh, bán không gian đàn hồi được giả thiết là tự do đối với ứng suất. Có rất ít nghiên cứu dành cho bán không gian đàn hồi không tự do đối với ứng suất. Chính vì lý do này mà luận án đi nghiên cứu các bài toán truyền sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi không tự do đối với ứng suất. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận án • Đối tượng nghiên cứu: Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi không tự do đối với ứng suất như bán không gian chịu điều kiện biên trở kháng, bán không gian phủ lớp mỏng. • Phạm vi nghiên cứu: Tìm ra các phương trình tán sắc chính xác và xấp xỉ của sóng Rayleigh dưới dạng tường minh. 1 Mục tiêu của luận án • Mục tiêu thứ nhất của luận án là phát triển phương pháp vectơ phân cực cho trường hợp khi ma trận Stroh là ma trận phức (được gọi là "phương pháp vectơ phân cực phức"). • Mục tiêu thứ hai của luận án là tìm ra các phương trình tán sắc dạng hiện (dạng tường minh) của sóng Rayleigh truyền trong các bán không gian đàn hồi không tự do đối với ứng suất. Phương pháp nghiên cứu • Các phương trình tán sắc dạng hiện (dạng tường minh) thu được trong luận án được tìm ra bằng phương pháp truyền thống và phương pháp vectơ phân cực phức. • Đưa bài toán truyền sóng trong bán không gian đàn hồi phủ lớp mỏng đàn hồi về bài toán truyền sóng trong bán không gian không tự do đối với ứng suất bằng phương pháp điều kiện biên hiệu dụng. Các kết quả mới của luận án • Phát triển phương pháp vectơ phân cực khi ma trận Stroh là ma trận phức. • Tìm được phương trình tán sắc chính xác dạng tường minh của sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi dị hướng (trực hướng và monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = 0) nén được và không nén được chịu điều kiện biên trở kháng. • Xây dựng được phương trình tán sắc chính xác dạng hiện của sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi có ứng suất trước (chịu kéo nén thuần túy và đồng thời chịu kéo nén và cắt) chịu điều kiện biên trở kháng. • Thiết lập được phương trình tán sắc chính xác dạng hiện của sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = 0 quay chịu điều kiện biên trở kháng và sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi không nén được quay có gia cố cốt sợi chịu điều kiện biên trở kháng. • Dẫn ra được phương trình tán sắc xấp xỉ của sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi dị hướng (nén được và không nén được) được phủ lớp mỏng đàn hồi dị hướng (nén được và không nén được). Phương trình tán sắc tìm được có dạng bậc hai đối với độ dày của lớp mỏng. 2 Cấu trúc của luận án Luận án bao gồm bốn chương: • Chương 1: Tổng quan Trình bày tổng quan tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước về sóng mặt Rayleigh trong các bán không gian tự do và không tự do đối với ứng suất. • Chương 2: Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi chịu điều kiện biên trở kháng • Chương 3: Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi quay chịu điều kiện trở kháng • Chương 4: Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = 0 được phủ lớp mỏng đàn hồi 3 Chương 1 Tổng quan Một bán không gian đàn hồi mà trên mặt biên của nó véctơ ứng suất bằng không được gọi là “bán không gian tự do đối với ứng suất”. Sóng Rayleigh truyền trong bán không gian này được gọi là “sóng Rayleigh tự do ứng suất” hay sóng Rayleigh thông thường. Một bán không gian đàn hồi mà trên mặt biên của nó véctơ ứng suất không triệt tiêu được gọi là “bán không gian không tự do đối với ứng suất”. Sóng Rayleigh truyền trong bán không gian này được gọi là “sóng Rayleigh không tự do ứng suất” hay sóng Rayleigh suy rộng. 1.1. Sóng Rayleigh tự do ứng suất Sóng Rayleigh tự do ứng suất truyền trong môi trường đàn hồi đẳng hướng nén được được Rayleigh năm 1885, vẫn đang được nghiên cứu một cách mạnh mẽ vì những ứng dụng to lớn của nó trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học và công nghệ như địa chấn học, âm học, địa vật lý, công nghệ truyền thông và khoa học vật liệu, như đã nhấn mạnh ở phần mở đầu. Đối với sóng Rayleigh nói chung, phương trình tán sắc dạng tường minh (dạng hiện) có ý nghĩa đặc biệt quan trọng. Nó được sử dụng để giải bài toán thuận: khảo sát sự phụ thuộc của vận tốc sóng vào các tham số vật liệu, đặc biệt, nó là cơ sở lý thuyết để giải bài toán ngược: xác định các tham số vật liệu từ các giá trị đo được của vận tốc sóng. Do vậy, phương trình tán sắc dạng tường minh là mục tiêu đầu tiên và quan trọng nhất đối với các nghiên cứu liên quan đến sóng Rayleigh tự do cũng như không tự do ứng suất. Đối với các bán không gian đàn hồi đẳng hướng hoặc trực hướng, phương trình tán sắc của sóng Rayleigh tự do ứng suất được tìm ra bằng phương pháp truyền thống, dựa vào phương trình đặc trưng của sóng. Tuy nhiên, đối với các môi trường đàn hồi có tính dị hướng cao hơn (chẳng hạn môi trường monoclinic, hoặc môi trường đàn hồi dị hướng chịu ảnh hưởng của các yếu tố khác như điện trường, từ 4 trường, sự quay vi mô), phương trình đặc trưng của sóng mất tác dụng, phương pháp truyền thống không còn hiệu lực. Để tìm ra phương trình tán sắc dạng hiện của sóng Rayleigh tự do ứng suất đối với các môi trường phức tạp, các phương pháp mới đã được đề ra. Đó là phương pháp vectơ phân cực, phương pháp tích phân đầu và phương pháp ma trận trở kháng. Tuy nhiên, các pháp này mới chỉ áp dụng được cho các môi trường là các bán không gian có điều kiện biên là thực (như điều kiện biên tự do đối với ứng suất). 1.2. Sóng Rayleigh không tự do ứng suất Ngoài cấu trúc gồm chỉ một bán không gian (không tự do ứng suất), các cấu trúc sau: i) Bán không gian đàn hồi phủ một lớp đàn hồi, ii) Bán không gian đàn hồi liên kết với một bán không gian đàn hồi khác, cũng đưa được về mô hình “một bán không gian đàn hồi không tự do đối với ứng suất”, bằng cách thay thế toàn bộ ảnh hưởng của lớp đàn hồi hay bán không gian đàn hồi bằng một “điều kiện biên hiệu dụng” trên mặt phân chia giữa bán không gian và lớp, giữa bán không gian và giữa bán không gian. Điều kiện biên hiệu dụng là một hệ thức liên hệ tuyến tính véctơ ứng suất và véctơ chuyển dịch trên mặt biên của bán không gian. Chú ý rằng, lớp (bán không gian) đàn hồi có thể thay thế bằng một lớp chất lỏng (một bán không gian chất lỏng). Luận án quan tâm nghiên cứu sóng Rayleigh không tự do ứng suất truyền trong các môi trường sau: - Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi chịu điều kiện biên trở kháng. - Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi có ứng suất trước chịu điều kiện biên trở kháng. - Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi quay, chịu điều kiện biên trở kháng. - Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi phủ lớp mỏng. 1.2.1. Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi chịu điều kiện biên trở kháng Trong các nghiên cứu trước đây về sóng Rayleigh, hầu hết đều giả thiết bán không gian là tự do đối với ứng suất. Tuy nhiên, trong nhiều bài toán thực tế như trong lĩnh vực âm học hay điện từ học, bán không gian thường chịu một điều kiện biên được gọi là "điều kiện biên trở kháng". Điều kiện này là một liên hệ tuyến tính giữa các hàm cần tìm và các đạo hàm của chúng trên biên của bán không gian. Trong luận án, điều kiện biên trở kháng được xét có dạng sau σ12 + ωZ1 u1 = 0, σ22 + ωZ2 u2 = 0 5 tại x2 = 0 (1.1) trong đó, σij là các thành phần ứng suất, uj là các thành phần chuyển dịch, ω là tần số góc của sóng, Zk là tham số trở kháng. Với điều kiện biên (1.1), các nghiên cứu mới chỉ dừng lại ở bán không gian đàn hồi đẳng hướng. 1.2.2. Sóng Rayleigh trong bán không gian quay, chịu điều kiện biên trở kháng Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi quay với một vận tốc không đổi có nhiều ứng dụng thực tế. Tuy nhiên, các nghiên cứu mới chỉ tập trung cho trường hợp khi bán không gian tự do đối với ứng suất. 1.2.3. Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi phủ lớp mỏng Cấu trúc "một lớp mỏng gắn với một lớp dày", mô hình hóa như một bán không gian phủ lớp mỏng, đang được sử dụng rộng rãi trong công nghệ hiện đại. Việc đánh giá không phá hủy các tính chất cơ học của chúng trước và trong quá trình sử dụng là quan trọng và hết sức cần thiết. Để đánh giá không phá hủy các tính chất cơ học của cấu trúc này, sóng mặt Rayleigh (không tự do ứng suất) là công cụ tiện lợ. Khi đó, phương trình tán sắc của chúng được sử dụng như là cơ sở lý thuyết để chắt lọc ra (xác định) các tính chất cơ học của cấu trúc từ các dữ liệu (các giá trị của vận tốc sóng) đo được từ thực nghiệm. Sử dụng giả thiết lớp mỏng, các phương trình tán sắc xấp xỉ được tìm ra bằng cách thay thế toàn bộ ảnh hưởng của lớp mỏng bằng một "điều kiện biên hiệu dụng", bằng cách coi lớp như bản mỏng, hoặc khai triển Taylor ứng suất tại mặt trên của lớp theo độ dày của lớp (được giả thiết là nhỏ). Đến nay, các nghiên cứu mới chỉ dừng lại ở bán không gian đàn hồi trực hướng. 1.2.4. Phương pháp vectơ phân cực Phương pháp vectơ phân cực là một phương pháp dùng để tìm ra phương trình tán sắc dạng hiện của sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi, dựa trên các phương trình xác định vectơ biên độ chuyển dịch tại biên của bán không gian, được gọi là vectơ phân cực. Taziev (1989) sử dụng thành công phương pháp vectơ phân cực để tìm ra phương trình tán sắc dạng hiện của sóng Rayleigh trong môi trường đàn hồi dị hướng tổng quát. Phương pháp vectơ phân cực tiếp tục được phát triển bởi Collet và Destrade (2004), Ting (2005) dựa trên phát biểu Stroh. Phương pháp vectơ phân cực được xây dựng và phát triển bởi các tác giả trên chỉ áp dụng được khi ma trận Stroh của sóng Rayleigh là thực. Tuy nhiên, trong nhiều bài toán thực tế, ma trận Stroh của sóng Rayleigh là phức. Do vậy, phát triển phương pháp vectơ phân cực cho các phát biểu Stroh với ma trận phức là việc làm hết sức có ý nghĩa (được gọi là phương pháp vectơ phân cực phức). Đó là một trong 6 các mục tiêu của luận án. Cơ sở toán học của phương pháp này được trình bày trong mục 2.1 chương 2. 7 Chương 2 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi chịu điều kiện biên trở kháng 2.1. Hệ thức cơ bản Cơ sở toán học của phương pháp vectơ phân cực phức là hệ thức cơ bản được trình bày dưới dạng mệnh đề sau đây Mệnh đề 2.1: Nếu véctơ 2m chiều Y(y) là nghiệm của bài toán: Y0 = iPY, 0 ≤ y < +∞, Y(+∞) = 0 trong đó dấu phẩy là kí hiệu của đạo hàm theo biến y và:   P1 P2 P= P3 P4 (2.1) (2.2) với các ma trận Pk cấp m × m là các ma trận hằng số (không phụ thuộc vào biến y) và chúng thõa mãn các hệ thức sau: P2 = P̄T2 , P3 = P̄T3 , P4 = P̄T1 , (2.3) ȲT (0)ÎPn Y(0) = 0 ∀ n ∈ Z (2.4) Khi đó, ta có trong đó Î =  0 I I 0  với I là ma trận đơn vị cấp m × m. Ta gọi phương trình (2.4) là hệ thức cơ bản. 8 (2.5) 2.2. Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi dị hướng chịu điều kiện biên trở kháng 2.2.1. Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng, nén được chịu điều kiện biên trở kháng Áp dụng phương pháp truyền thống ta thu được phương trình tán sắc (dưới dạng không thứ nguyên) dạng hiện của sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng, nén được chịu điều kiện biên trở kháng như sau √ x(e1 − x)(1 − δ1 δ2 ) + [e23 − e2 (e1 − x) − δ1 δ2 x] P q √ √ √ = [δ1 e2 P + δ2 (e1 − x)] x S + 2 P (2.6) trong đó x = c2 /c22 , c22 = c66 /ρ, là vận tốc không thứ nguyên của sóng Rayleigh và √ δn = Zn / ρc66 (∈ R), n = 1, 2, là các tham số trở kháng và là các đại lượng không thứ nguyên. S and P được xác định như sau P = e2 (e1 − x) + 1 − x − (1 + e3 )2 (e1 − x)(1 − x) , S= e2 e2 e1 = c11 /c66 , e2 = c22 /c66 , e3 = c12 /c66 (2.7) (2.8) với cij là các hằng số vật liệu, ρ mật độ khối lượng. 2.2.2. Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi được tạo bởi vật liệu monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = 0, nén được chịu điều kiện biên trở kháng Sử dụng phương pháp vectơ phân cực phức, ta thiết lập được phương trình tán sắc dạng tường minh của sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi được tạo bởi vật liệu monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = 0, nén được chịu điều kiện biên trở kháng D12 + D22 − 4DD3 = 0 (2.9) với     −Q̂(−1) Q̂(−1,i) Q̂(−1)  Q̂(−1,r) Q̂(−1,i) Q̂(−1)    12 22  22  12 12 11   (1,i) (1)  (1) (1,i) (1)  D =  Q(1,r) Q12 Q22  , D1 =  −Q11 Q12 Q22     12 (2,i) (2) (2,i) (2)   −Q(2)  Q(2,r) Q12 Q22  Q12 Q22  12 11     Q̂(−1,r) −Q̂(−1) Q̂(−1)  Q̂(−1,r) Q̂(−1,i) −Q̂(−1)    12  22 11 12 11    12(1,r) (1) (1)  (1,i) (1)  D2 =  Q(1,r) , D =   −Q Q Q Q −Q 3 11 22  12 12 11   12  (2) (2)  (2,r) (2,i) (2)  Q(2,r)  −Q11 Q22 Q12 Q12 −Q11  12 9 (2.10) trong đó (1) (1) Q11 = −η + (1 + c66 δ12 n66 )X, Q22 = (1 + c66 δ22 n22 )X, p (1) Q12 = δ1 δ2 n26 c66 X + i(δ1 − δ2 r2 ) c66 X (2.11) (2) Q11 = − 2[δ12 (n26 + n66 r6 )c66 X + r6 (X − η)], (2) Q22 = − 2δ22 n26 r2 c66 X (2.12) (2) (−1) Q̂11 (−1) Q̂22 (−1) Q̂12 Q12 =η − δ1 δ2 (n22 + n66 r2 + n26 r6 )c66 X − (1 + r2 )X p − i[δ1 (r6 + n26 X) + δ2 (ηn26 − r2 r6 − n26 X)] c66 X =X[(X − η)n22 − r22 ] − δ12 (n22 + n226 X − n22 n66 X)c66 X =η − [(1 + r62 ) + n66 (η − X)]X + δ22 [(η − X)(n226 − n22 n66 ) − n66 r22 − n22 r62 + 2n26 r2 r6 ]c66 X =δ1 δ2 (n22 r6 − n26 r2 )c66 X + X[(η − X)n26 + r2 r6 ] + i{δ1 (r2 − n66 r2 X + n26 r6 X) + δ2 [(X − η)n22 − r22 ]} p c66 X c22 c26 c66 c12 c26 − c22 c16 , n26 = − , n22 = , r6 = − ∆ ∆ ∆ ∆ c12 c66 − c16 c26 2 , ∆ = c22 c66 − c26 , η = c11 − r6 c16 − r2 c12 , X = ρc2 r2 = ∆ n66 = (2.13) (2.14) ở đây cij là các hằng số vật liệu, ρ mật độ khối lượng và c là vận tốc sóng. 2.2.3. Sóng Rayleigh trong bán không đàn hồi trực hướng, không nén được chịu điều kiện biên trở kháng Áp dụng phương pháp truyền thống ta thu được phương trình tán sắc (dưới dạng không thứ nguyên) dạng hiện của sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng, nén được chịu điều kiện biên trở kháng như sau q √ √ √ √ (δ − x) 1 − x + (δ1 δ2 − 1)x = (δ1 1 − x + δ2 ) x δ − 2 − x + 2 1 − x (2.15) trong đó x = c2 /c22 , c22 = c66 /ρ, là vận tốc không thứ nguyên của sóng Rayleigh, √ δ = (c11 − 2c12 + c22 )/c66 và δn = Zn / ρc66 (∈ R), n = 1, 2, là các tham số trở kháng và là các đại lượng không thứ nguyên. Và cij là các hằng số vật liệu, ρ mật độ khối lượng. 10 2.2.4. Sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi không nén được được tạo bởi vật liệu monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = 0, không nén được chịu điều kiện biên trở kháng Sử dụng phương pháp vectơ phân cực phức, ta suy ra phương trình tán sắc dạng tường minh của sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi được tạo bởi vật liệu monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = 0, nén được chịu điều kiện biên trở kháng có dạng như phương trình (2.9), (2.10) trong đó p (1) (1) (1) Q11 = −a1 + (δ12 + 1)X, Q22 = X, Q12 = i c66 X(δ1 − δ2 ) (2.16) (2) (−1) Q̂11 (−1) Q̂22 (2) Q11 = 2b1 [−a1 + (δ12 + 1)X], Q22 = 0, p (2) Q12 = a1 − (δ1 δ2 + 2)X + ib1 c66 X(δ1 − δ2 ) p p (−1) = −X, Q̂12 = −b1 X + i[ c66 X(δ1 − δ2 ) − δ1 X X/c66 ] = c66 (a1 − δ22 X) − (a1 + c66 + b21 c66 )X + X 2 c66 với a1 = c11 − 2c12 + c22 − (c16 − c26 )2 c66 c26 − c16 b1 = c66 (2.17) (2.18) (2.19) ở đây cij là các hằng số vật liệu, X = ρc2 , ρ mật độ khối lượng và c là vận tốc sóng. 2.3. Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi có ứng suất trước chịu điều kiện biên trở kháng 2.3.1. Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi, nén được có ứng suất trước chịu điều kiện biên trở kháng Phương trình tán sắc dạng hiện của sóng trong trường hợp này như sau √ (e1 − x)[e24 − e5 (1 − x) − δ1 δ2 x] + e5 [e23 − e2 (e1 − x) − δ1 δ2 x] P q (2.20) √ √ √ + e5 [δ1 e2 P + δ2 (e1 − x)] x S + 2 P = 0 trong đó, S và P được xác định như sau S= e2 (e1 − x) + e5 (1 − x) − (e3 + e4 )2 (e1 − x)(1 − x) ,P = e2 e5 e2 e5 11 (2.21) √ với x = ρc2 /A1212 , δn = Zn / ρA1212 (∈ R), n = 1, 2 là các tham số trở kháng và là các đại lượng không thứ nguyên và e1 = A1111 , A1212 e2 = A2222 , A1212 e3 = A1122 , A1212 e4 = A2112 , A1212 e5 = A2121 A1212 (2.22) ở đây, c là vận tốc sóng, ρ là mật độ khối lượng còn Aijkl là các thành phần của tenxơ đàn hồi bậc bốn. 2.3.2. Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi, không nén được có ứng suất trước chịu điều kiện biên trở kháng Phương trình tán sắc dạng hiện (dạng không thứ nguyên) của sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi không nén được có ứng suất trước chịu điều kiện biên trở kháng. √ √ [δ1 δ2 e1 x − e23 + e1 (1 − x)] + e1 (2e2 + 2e3 − x) 1 − x q (2.23) √ √ √ √ − (δ1 e1 1 − x + δ2 e1 ) x S + 2 P = 0 với B2121 B1111 + B2222 − 2B1122 − 2B1221 , e2 = , B1212 2B1212 (2.24) B2121 − σ2 2e2 − x 1−x ρc2 e3 = , S= , P = , x= B1212 e1 e1 B1212 √ với ρ là mật độ khối lượng, c là vận tốc của sóng, δn = Zn / ρB1212 (∈ R), n = 1, 2 là các tham số trở kháng và là các đại lượng không thứ nguyên và σ2 là ứng suất Cauchy theo hướng chính và Bijkl là các thành phần của tenxơ đàn hồi bậc bốn. e1 = 2.3.3. Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi không nén được, có biến dạng trước: chịu đồng thời kéo (nén) và cắt, chịu điều kiện biên trở kháng Sử dụng phương pháp vectơ phân cực phức, ta xây dựng được phương trình tán sắc dạng tường minh của sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi không nén được, có biến dạng trước: chịu đồng thời kéo (nén) và cắt, chịu điều kiện biên trở kháng có dạng như phương trình (2.9), (2.10) trong đó ν̂ 2 (1) Q11 = (1 + δ12 )X − 2(β̂ + γ̂ − σ̂22 ) + 21 γ̂   p ν̂21 σ̂22 σ̂22 p (1) + i (δ1 − δ2 ) γ̂X − δ1 γ̂X Q12 = ν̂12 + ν̂21 − γ̂ γ̂ (γ̂ − σ̂22 )2 (1) Q22 = X − α̂ + γ̂ 12 (2.25) (2) Q11 =2(ν̂21 − ν̂12 ) − 2 i ν̂ h 3 ν̂21 21 2 − 2 (1 + δ )X − 2 β̂ + σ̂ 22 1 γ̂ 2 γ̂ ν̂ 2 σ̂22 (2) − 2(X − β̂ + σ̂22 ) − δ1 δ2 X Q12 =α̂ + γ̂ + 2 21 γ̂ h i 1 + σ̂22 (X − 2β̂ + σ̂22 ) − ν̂21 (ν̂12 + 2ν̂21 ) γ̂ √ γ̂X + i [γ̂(δ2 ν̂21 − δ1 ν̂12 ) − 2δ1 ν̂21 (γ̂ − σ̂22 )] γ̂ 2 2ν̂21 2ν̂12 (2) Q22 = − 2 (γ̂ − σ̂22 )2 − (γ̂ − σ̂22 ) γ̂ γ̂ (−1) Q̂11 (−1) Q̂12 (−1) Q̂22 (γ̂ − σ̂22 )2 γ̂ √ ν̂21 (X − α̂) − ν̂12 (γ̂ − σ̂22 ) γ̂X = −i [δ1 (X − α̂) + δ2 (γ̂ − σ̂22 )] γ̂ γ̂ (2.26) = − (X − α̂) − = (2.27) 2 X 2 − 2(β̂ + γ̂ − σ̂22 )(X − α̂) − α̂X − δ22 γ̂X − ν̂12 γ̂ √ với X = ρc2 (với ρ là mật độ khối lượng, c là vận tốc của sóng), δn = Zn / ργ̂(∈ R), n = 1, 2 là các tham số trở kháng và là các đại lượng không thứ nguyên, σ̂22 là thành phần của ứng suất Cauchy và α̂ := B̂1212 , γ̂ := B̂2121 , 2β̂ := B̂1111 + B̂2222 − 2B̂1122 − 2B̂1221 ν̂21 := B̂1121 − B̂2122 , ν̂12 := B̂1222 − B̂2111 với B̂ijkl là các thành phần của tenxơ hằng số đàn hồi. 13 (2.28) Chương 3 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi quay chịu điều kiện biên trở kháng 3.1. Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi monoclinic x3 = 0 quay, nén được chịu điều kiện biên trở kháng Sử dụng phương pháp vectơ phân cực phức, ta thu được phương trình tán sắc dạng tường minh của sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi được tạo bởi vật liệu monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = 0 quay, nén được chịu điều kiện biên trở kháng có dạng như phương trình (2.9), (2.10) trong đó (1) Q11 = −η + (1 + δ 2 )X + c266 δ12 n66 X, (1) Q22 = (1 + δ 2 )X + c266 δ22 n22 X, (1) Q12 p = c266 δ1 δ2 n26 X + i[−2δX + (δ1 − δ2 r2 ) c66 X] 14 (3.1) (2) Q11 = −2r6 (X − η) − 2c66 δ12 (n26 + n66 r6 )X − 2δ 2 r6 X p + 4δδ1 n26 X c66 X, (2) Q12 = η − (1 + r2 )X − c66 δ1 δ2 (n22 + n66 r2 + n26 r6 )X p − δ 2 (1 + r2 )X −2δ(−δ2 n22 + δ1 n66 )X c66 X + 2iδr6 X p − i[(δ2 ηn26 +δ1 r6 −δ2 r2 r6 )+(1 + δ 2 )(δ1 −δ2 )n26 X] c66 X p (2) Q22 = −2c266 δ22 n26 r2 X − 4δδ2 n26 X c66 X (−1) Q̂11 (−1) Q̂22 (−1) Q̂12 (3.2) = −(1 + δ 2 )(ηn22 + r22 )X + (−1 + δ 2 )2 n22 X 2 p + 4δδ1 n22 X c66 X − c66 δ12 [n22 + (1 + δ 2 )(n226 − n22 n66 )X]X = η + η[−n66 + c66 δ22 (n226 − n22 n66 )]X − X(1 + r62 − n66 X) − c66 δ22 (n66 r22 − 2n26 r2 r6 + n22 r62 + n226 X − n22 n66 X)X = (1 + δ 2 )ηn26 X − c66 δ1 δ2 n26 r2 X + c66 δ1 δ2 n22 r6 X + r2 r6 X (3.3) − n26 X 2 − δ 4 n26 X 2 + δ 2 (r2 r6 + 2n26 X)X p + 2δX(−δ1 n26 − δ2 n22 r6 + δ2 n26 r2 ) c66 X p + i[δ1 (r2 − n66 r2 X + n26 r6 X) − δ2 (ηn22 + r22 − n22 X)] c66 X c26 c66 c12 c26 − c22 c16 c22 , n26 = − , n22 = , r6 = − ∆ ∆ ∆ ∆ c12 c66 − c16 c26 2 , ∆ = c22 c66 − c26 , η = c11 − r6 c16 − r2 c12 , X = ρc2 r2 = ∆ n66 = (3.4) ở đây cij là các hằng số vật liệu, δ = Ω/(kc) = Ω/ω (Ω không đổi là vận tốc quay của bán không gian), X = ρc2 , ρ mật độ khối lượng, k là số sóng và c là vận tốc sóng. 3.2. Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi được gia cố cốt sợi, không nén được, quay chịu điều kiện biên trở kháng Áp dụng phương pháp vectơ phân cực phức, ta thu được phương trình tán sắc dạng tường minh của sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi được gia cố cốt sợi, không nén được, quay, chịu điều kiện biên trở kháng có dạng như phương trình 15 (2.9), (2.10) trong đó (1) Q11 = −(c21 + c22 ) + (1 + δ 2 )X + δ12 X, (1) Q22 = (1 + δ 2 )X, (1) Q12 (2) Q11 = 0, và Qij (−1) (−1) = Q̂ij (−1) Q̂11 (−1) (3.5) q = −i[2δX + (δ2 − δ1 ) c23 X] (2) Q22 = 0 δδ1 X 2 (2) Q12 = (c21 + c22 ) − (2 + 2δ 2 + δ1 δ2 )X − 2 p 2 c3 X /q trong đó q ∈ R là định thức của ma trận Q3 (1) (3.6) và = −(1 + δ 2 )X Q̂22 = (c21 + c22 ) − δ22 X q 1 + 2 [−(1 + δ 2 )(c21 + c22 + c23 )X + (δ 2 − 1)2 X 2 − 4δδ2 X c23 X] c3 q (1 + δ 2 )δ1 X + c23 (δ2 − δ1 ) (−1) Q̂12 = −i[2δX + c23 X] c23 với c21 = 4µE − µL , c22 = µT , c23 = µL (3.7) (3.8) µL và µT là các modun lực cắt dọc và cắt ngang còn µE là modun cắt có tải. µE , µT được liên hệ theo công thức sau: µE = EL µT ET (3.9) p với EL , ET lần lượt là các modun Young dọc và ngang. X = ρc2 , δn = Zn / ρc23 (∈ R), n = 1, 2, là các tham số trở kháng và là các đại lượng không thứ nguyên, δ = Ω/(kc) = Ω/ω (Ω không đổi là vận tốc quay của bán không gian), ρ mật độ khối lượng, k là số sóng và c là vận tốc sóng. 16 Chương 4 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi monoclinic có mặt phẳng đối xứng x3 = 0 được phủ lớp mỏng 4.1. Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi monoclinic có mặt phẳng đối xứng x3 = 0 nén được phủ lớp mỏng đàn hồi monoclinic có mặt phẳng đối xứng x3 = 0 nén được Sử dụng phương pháp vectơ phân cực phức, ta suy ra phương trình tán sắc dạng tường minh của sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi được tạo bởi vật liệu monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = 0, nén đượcphủ lớp mỏng đàn hồi monoclinic có mặt phẳng đối xứng x3 = 0 nén được có dạng như phương trình (2.9), (2.10) trong đó n o (1) Q11 = X − η + n66 (X̂ − η̂)2 + r2 [η̂ + X̂(r̂2 − 1)] 2 o 1n (1) (4.1) 2n26 X̂(X̂ − η̂) − r6 [η̂ + X̂(r̂2 − 1)] 2 Q12 = −i[η̂ + X̂(r̂2 − 1)] + 2 o n (1) Q22 = X − [η̂ + X̂(r̂2 − 1)] − n22 X̂ 2 2 17 n (2) Q11 = − 2r6 (X − η) − [η̂ + X̂(r̂2 − 1)][n26 (X − η) + r2 r6 ] o +2(n26 + n66 r6 )(X̂ − η̂)2 2 (2) Q12 =η − (r2 + 1)X + i[n26 (X η̂ − X̂η) − r6 (X̂ − η̂) + r2 r6 X̂] n + [η̂ + X̂(r̂2 − 1)](r62 − n22 X + n66 X − n66 η) o −2(n22 + n66 r2 + n26 r6 )X̂(X̂ − η̂) 2 o n (2) Q22 = [η̂ + X̂(r̂2 − 1)](r6 + n26 X) − 2n26 r2 X̂ 2 2 n (−1) Q̂11 = [n22 (X − η) − r22 ]X + [η̂ + X̂(r̂2 − 1)][r22 − n22 (X − η)] o −(n22 + n226 X − n22 n66 X)(X̂ − η̂)2 2 (−1) Q̂12 (4.2) = X[r2 r6 − n26 (X − η)] + i[(n26 r6 − n66 r2 )X(X̂ − η̂) + r2 (X̂ − η̂) + n22 X̂(X − η) − r22 X̂] 1n [η̂ + X̂(r̂2 − 1)][n26 (X − η) − r2 r6 + (n22 r6 − n26 r2 )X] 2 o (4.3) +2(n22 r6 − n26 r2 )X̂(X̂ − η̂) 2 (−1) Q̂22 = (n66 X − 1)(X − η) − r62 X n − [η̂ + X̂(r̂2 − 1)](r2 − n66 r2 X + n26 r6 X) o +X̂ 2 [(X − η)(n226 − n22 n66 ) + r2 (n66 r2 − n26 r6 ) + r6 (n22 r6 − n26 r2 )] 2 với X = ρc2 , X̂ = ρ̂c2 (c vận tốc của sóng, ρ, ρ̂ lần lượt là mật độ khối lượng của bán không gian và lớp),  = kh (k là số sóng, h là độ dày của lớp) và r̂2 = ĉ12 ĉ26 − ĉ22 ĉ16 ĉ12 ĉ66 − ĉ16 ĉ26 , r̂6 = − ĉ22 ĉ66 − ĉ226 ĉ22 ĉ66 − ĉ226 η̂ = ĉ11 − r̂6 ĉ16 − r̂2 ĉ12 c22 c26 c66 c12 c26 − c22 c16 n66 = , n26 = − , n22 = , r6 = − ∆ ∆ ∆ ∆ c12 c66 − c16 c26 , ∆ = c22 c66 − c226 , η = c11 − r6 c16 − r2 c12 , r2 = ∆ ở đây cij và ĉij lần lượt là hằng số đàn hồi của bán không gian và lớp. 18 (4.4)