Tài liệu Số topo bán nguyên trong mô hình skyrmion

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------- Nguyễn Thị Hiền SỐ TOPO BÁN NGUYÊN TRONG MÔ HÌNH SKYRMION LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2014 1 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------- Nguyễn Thị Hiền SỐ TOPO BÁN NGUYÊN TRONG MÔ HÌNH SKYRMION Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số: 60.44.01.03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. PHẠM THÚC TUYỀN Hà Nội – Năm 2014 2 LỜI CẢM ƠN Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc TS. Phạm Thúc Tuyền, thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi hoàn thành bản luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô tại bộ môn Vật lý lý thuyết – trường Đại học Khoa học tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội – nơi tôi đã hoàn thành bản luận văn này. Cuối cùng, tôi muốn dành tình cảm biết ơn sâu nặng tới những người thân trong gia đình, đồng nghiệp và bạn bè đã thông cảm, động viên và chia sẻ cho tôi rất nhiều để tôi vượt qua những khó khăn trong suốt những năm tháng học tập. Học viên Nguyễn Thị Hiền 3 MỞ ĐẦU………………………....................…………………………………….1 Chương 1 –SKYRMION TRONG MÔ HÌNH  -PHI TUYẾN…………....……5 1.1. Lý thuyết   phi tuyến (Skyrme)…….....................................................….5 1.2. Biểu diễn phi tuyến của nhóm đối xứng chiral SU(2)xSU(2)…...……......10 Chương 2 – SKYRMION TRONG MÔ HÌNH BẤT BIẾN PHI TUYẾN...........21 2.1. Nghiệm con nhím và dạng của hàm chiral …………………….................21 2.2. Lượng tử hóa skyrmion trong phương pháp tọa độ tập thể. …....…….......26 2.3. Biểu thức các dòng topological, vector và Nother …………...….......…...32 Chương 3 – CÁC ĐẶC TRƯNG TĨNH CỦA NUCLEON TRONG MÔ HÌNH SKYRMION..........................................................................................................35 3.1. Tổng quan…………............................................................................……35 3.2. Điều kiện biên và nghiệm………................................................................37 3.3. Skyrmion và năng lượng tới hạn................................................................40 3.4. Mật độ hạt nhân và skyrmion mới ..............................................................42 3.5. Đặc trưng tĩnh của skyrmion........................................................................45 3.6. Kết quả số của Skyrmion loại II...................................................................47 KẾT LUẬN……………………………………………………………………...53 Tài liệu tham khảo……………………………....………………………………54 Phụ lục…………………………………………………………………………...55 4 MỞ ĐẦU Theo lý thuyết hiện nay (Standard Model) các hadron, hạt tham gia tương tác mạnh, bao gồm baryon và meson, được cấu tạo từ các quark và phản quark. Quark gồm có 6 hương: u, c, t có điện tích 2/3 và d, s, b có điện tích -1/3. Spin của chúng bằng 1/2, như vậy, chúng cũng là fermion. Trạng thái ba quark là baryon còn trạng thái quark và phản quark là meson. Mỗi hương quark có ba màu, có thể gọi tên là đỏ (red), vàng (yellow) và xanh (blue) hoặc gì đó tương tự. Quark tương tác với nhau thông qua trường gluon. Khác với quark, lượng tử của trường gluon là các hạt vectơ, tức là có spin bằng 1. Như vậy, gluon là boson. Lý thuyết tương tác giữa quark và gluon là sắc động lực học lượng tử (QCD). Lý thuyết này diễn tả tương tác giữa những hạt có màu giống như tương tác điện từ diễn tả tương tác giữa những hạt có điện tích. QCD tỏ ra là một lý thuyết hợp lý cho tương tác mạnh ở năng lượng cao (cỡ trên dưới 1 Gev), còn ở năng lượng thấp, cần đến một lý thuyết hiệu dụng, đơn giản hơn. Do các meson là trạng thái liên kết của quark - phản quark, baryon là trạng thái liên kết của ba quark, cho nên, ngay trong những phản ứng đơn giản nhất: p  π+ + n n  π- + p Đã có sự tham gia của tám hạt. Việc nghiên cứu một hệ nhiều hạt như vậy trong lý thuyết trường lượng tử là không khả thi. Để nghiên cứu một phản ứng thực trong thế giới các hạt hadron, ta phải có những lý thuyết hiện tượng luận, thỏa mãn hai điều kiện: - Một là: Nó phải là một lý thuyết hiệu dụng của mô hình tiêu chuẩn. - Hai là: Nó phải cho một thuật tính đơn giản và triệt để. Trong những cách thức mô tả hạt hadron thỏa mãn hai điều kiện ở trên là Lý thuyết  - phi tuyến và Lý thuyết bất biến phi tuyến. Cả hai lý thuyết này đều có chung 5 mục tiêu là mô tả hadron như hạt soliton lượng tử. Ý tưởng này đã được Skyrme đề xuất trong Lý thuyết  - phi tuyến, cho nên, soliton lượng tử mô tả hadron sau này được gọi là skyrmion [27]. Lý thuyết bất biến phi tuyến đã được N.A.Việt và P.T. Tuyền đề xuất [20]. Soliton tương ứng được gọi là skyrmion mở rộng [19]. Ý tưởng của Skyrme là xây dựng một mô hình cho trường  - meson, trong đó có chứa những số hạng phi tuyến, sao cho, lý thuyết trường cổ điển tương ứng với nó có nghiệm ổn định (không bị phân tán theo thời gian) và có kích thước không gian hữu hạn (không phải là nghiệm điểm). Nghiệm như vậy được gọi là soliton. Khi lượng tử hóa nghiệm này bằng các biến gọi là biến tập thể, ta được các hạt lượng tử khác nhau, và đặc biệt nhất là chúng có một đại lượng mang tính chất topology (tính hình học), có thể coi là spin. Như vậy, trong một lý thuyết của meson (spin bằng không), ta có thể thu được nghiệm baryon (có spin bằng 1/2). Ý tưởng đó quá kỳ lạ, cho nên rất nhiều năm trôi qua, kể từ sau khi được đề xuất, đã không được cộng đồng vật lý quan tâm thích đáng. Chỉ đến khi nhóm E.Witten dùng ý tưởng của Skyrme tính toán được các đặc trưng của nucleon, và các kết quả này khá phù hợp với thực nghiệm, ý tưởng về skyrmion mới được mọi người để ý [7]. Tuy nhiên, những tính toán sau này của nhóm Witten, có tính đến đóng góp của K - meson, lại cho kết quả càng ngày càng xa với những số liệu thực nghiệm. Cũng trong thời gian đó, nhóm Việt - Tuyền đã đề xuất một mô hình, trong đó Lagrangian bất biến đối với một quy luật biến đổi, gọi là phép biến đổi phi tuyến. Mô hình này cũng có chứa số hạng phi tuyến và do đó cũng có nghiệm soliton. Nếu coi đây là nghiệm cơ bản và sau đó lượng tử hóa nó, ta cũng thu được hạt có spin, mà sau đó đã đồng nhất với các nucleon. Mô hình Skyrmion đó cũng dẫn đến các kết quả phù hợp với số liệu thực nghiệm giống như mô hình  - phi tuyến. Hơn thế nữa, khác với mô hình  - phi tuyến, mô hình bất biến phi tuyến sẽ cho các kết quả tốt hơn khi kể đến các đóng góp của K - meson. 6 Sau đó không lâu, xuất phát từ hai mô hình nói trên, nhóm H.Y.Cheung, F.Gursey đã đề xuất một mô hình Skyrme tổng quát, trong đó có chứa một số tự nhiên n, sao cho khi n = 1, ta được mô hình  - phi tuyến, và khi n = 2, ta được mô hình Việt - Tuyền và khi n = 3, mô hình này cho kết quả hoàn toàn phù hợp với số liệu thực nghiệm. Tuy nhiên, sau khi xem xét tỷ mỉ hơn, họ đã chứng tỏ rằng, với n = 2 vẫn là thích hợp nhất [13]. Mục tiêu của luận văn bao gồm các công việc sau đây: - Tính toán các đặc trưng tĩnh của nucleon trong mô hình skyrmion bất biến phi tuyến với số topo bán nguyên bằng các phương pháp số và biến tổ hợp. - Nêu một số khả năng mở rộng mô hình khi tính đến siêu đối xứng. Luận văn này ngoài phần mở đầu và kết luận thì phần chính được chia làm ba chương. - Chương 1: Giới thiệu mô hình  - phi tuyến và phương pháp lượng tử hóa theo biến tập thể. - Chương 2: Trình bày mô hình bất biến phi tuyến, khả năng giải phương trình số cho hàm góc chiral và các công thức tính số cho các đặc trưng của hạt. - Chương 3: Trình bày mô hình bất biến phi tuyến khi số topo là bán nguyên. Khi tính toán, chúng tôi dùng phương pháp bắn thử Runge-Kutta. Chương trình tính góc chiral, đồ thị hàm dạng của skyrmion và các đặc trưng tĩnh của nucleon cho trong phần cuối của luận văn. 7 CHƯƠNG 1 SKYRMION TRONG MÔ HÌNH   PHI TUYẾN 1.1. Lý thuyết   phi tuyến (Skyrme). Chương này giới thiệu ngắn gọn về mô hình Skyrme, phân biệt giữa mô hình tuyến tính và phi tuyến tính. Ví dụ đơn giản nhất là mô hình  tuyến tính và phi tuyến. Mô hình Skyrme được xuất hiện tự nhiên thông qua việc đưa vào số hạng bậc bốn của hàm trường vào Lagrangian của mô hình  phi tuyến. Số hạng này cho phép tồn tại soliton ổn định (skyrmion) trong không gian 3 chiều, chính vì vậy, nó được gọi là số hạng ổn định. Tổng quan đầy đủ có thể xem trong [9]. Về mặt toán học, các hạt cơ bản lập thành những đa tuyến của một biểu diễn tuyến tính thuộc nhóm đối xứng nào đó. Ví dụ, các quark tạo thành một đa tuyến thực hiện biểu diễn cơ bản của nhóm SU(3). Như ban đầu Gell - Mann và Neuman đề xướng, sau đó được mở rộng thành nhóm SU(4), SU(5) rồi SU(6). Các đa tuyến này là những vector của một không gian nào đó có tích vô hướng và từ các tích tensor của các đa tuyến này, ta có các đa tuyến của các hadron - các hạt tham gia tương tác mạnh. Để mô tả tương tác giữa các quark ta có trường gluon A μα . Các đại lượng này biến đổi như một vector bốn chiều dưới tác động của nhóm Lorent, như một bát tuyến dưới tác dụng của nhóm đối xứng chuẩn SU(3), và một đơn tuyến dưới tác dụng của nhóm hương SU(6). Khi đó Lagrangian sẽ là một Lagrangian Yang - Mills với dạng tổng quát như sau: 1 L = - Fμνε .Fμνα + Ψ.γμ .  μ + ig μ .Ψ + Ψ.M.Ψ 4   1.1 Trong đó g là hằng số tương tác, M là ma trận khối lượng bất biến dưới tác dụng của nhóm mầu: A μ = Aμα .λ α 1.2 λ α là các ma trận Gell - Mann của SU(3). 8 Fμνα =  μ A μα -  ν A αμ + g.f αβγ .Aβμ .A γν 1.3 f αβγ là hằng số cấu trúc của nhóm SU(3). QCD áp dụng cho vùng năng lượng cỡ GeV rất tốt, tuy nhiên khi năng lượng giảm xuống thấp hơn, QCD gặp khó khăn khi phải mô tả tính chất động học của các quark và gluon. Do đó, cản trở việc xây dựng một lý thuyết hiệu dụng cho các hadron. Khó khăn trên là do hằng số tương tác mạnh g α  1 quá lớn (so với tương tác điện từ với hằng số tinh tế α = e2 / 4π  1 /137 , tương tác yếu với hằng số Fermi Gm 2p  6.10-39 , tương tác hấp dẫn với hằng số hấp dẫn G F m 2p  10-5 ) [3]. Việc thiếu một tham số nhỏ để qua đó ta có thể khai triển các số hạng tương tác giữa các hadron theo lũy thừa và tương tác, dẫn đến việc không thể tìm được một mô hình hiệu dụng của QCD ở thang năng lượng thấp. Xuất hiện từ những khó khăn như vậy, T.H.R.Skyrme đưa ra ý tưởng khi xét QCD ở năng lượng thấp thì chỉ cần lý thuyết hiệu dụng của các meson, đặc biệt là của π - meson và từ lý thuyết này ta cũng thu được các baryon và tương tác giữa chúng. Như vậy ở năng lượng thấp nền tảng của thế giới vật chất lại là boson (hạt có spin nguyên) chứ không phải meson (hạt có spin bán nguyên). Nhưng hướng đi chính thống ý tưởng này rất có ích khi xây dựng mô hình hạt có kích thước. Mà lý thuyết QCD xét các hạt là những hạt điểm, rõ ràng quan điểm này chỉ là ý tưởng chứ không phải thực tế. Bên cạnh đó ý tưởng này coi baryon như kết quả của việc lượng tử hóa quanh soliton. Mặt khác soliton lại là nghiệm kỳ dị của lý thuyết trường meson có phân bố không gian hữu hạn. Như vậy, soliton tương ứng với hạt có kích thước không gian và baryon là các kết quả “mặc áo” khác nhau của soliton “trần” này cũng sẽ là hạt có kích thước. Để khắc phục khó khăn đó, vào năm 1974, T’Hoof đã đề ra ý tưởng lấy 1/NC nghịch đảo của số mầu trong lý thuyết làm tham số. Và phân loại QCD theo tham số 9 này với hy vọng lý thuyết này sẽ đơn giản đi khi NC đủ lớn. Sau đó người ta chứng tỏ rằng giới hạn khi N C   là có tồn tại, và khi đó QCD sẽ trở thành lý thuyết hữu dụng của các π - meson. Vào năm 1979, E.Witten và các cộng sự đã chứng minh rằng, khi N C   , các khối lượng của các baryon có thể xác định được thông qua tham số cỡ 1/NC, trong khi đó , NC không có mặt trong phương trình xác định kích thước và hình dáng của baryon và cả trong biên độ tán xạ baryon - baryon hoặc baryon - meson. Năm 1961 T.H.R.Skyrme đã giả thiết một mô hình mới, theo nó các hạt baryon có thể thu được từ lý thuyết của meson [27]. Sau hai thập kỷ, ý tưởng này hầu như bị lãng quên. Mãi đến năm 1980 nó mới được xem như là một mô hình lý thuyết hiệu dụng của QCD. Khi đó mô hình này có thể cung cấp cầu nối giữa QCD và bức tranh quen thuộc của tương tác baryon dựa trên sự trao đổi meson. Mô hình Skyrme đưa ra hai giả thuyết: Một là: Ở năng lượng thấp ta chỉ cần lý thuyết hiệu dụng của các meson, và từ lý thuyết này ta thu được baryon và tương tác giữa chúng. Theo lý thuyết này thì ở vùng năng lượng thấp, nền tảng của thế giới vật chất là các boson và nó rất hữu dụng khi ta xây dựng lý thuyết cho các hạt có kích thước trong khi QCD coi chúng là hạt điểm. Từ kết quả của R.Rajaraman và E.Witten đã gợi ý rằng baryon có thể được xem như là kết quả sau khi lượng tử hóa quanh nghiệm soliton của lý thuyết meson hiệu dụng [9]. Do đó, ta không cần quan tâm đến cấu trúc quark của chúng nữa. Mặt khác, nghiệm soliton lại là nghiệm kỳ dị của lý thuyết trường meson có phân bố không gian hữu hạn và soliton ‘mặc áo’ kiểu khác nhau, sẽ cho ta các baryon khác nhau. Do đó, baryon xây dựng trên mô hình này cũng là hạt có kích thước. Để có được kết quả trên, Skyrme đã đi từ Lagranggian của π - meson: L= 1   m2    μ .π.  μ .π .π.π 2 2 1.4 10  Trong đó π lập thành không gian đồng vị ba chiều. Sau đó, Skyrme đã làm một việc là mở rộng không gian đồng vị ba chiều thành bốn chiều tương tự như mở rộng từ không gian ba chiều sang không thời gian bốn chiều. Nhóm đồng vị SU(2) mở rộng thành nhóm mới với đại số:  Vi , Vk  = 2iεijk Vl   Ai , A k  = 2iεijk Al   Vi , A k  = 2iεijk Al  1.5 Các vi tử Vi là tích vector còn các vi tử Ai là các tích axial, dưới tác dụng của phép biến đổi chẵn lẻ P: PViP-1 = Vi ; PAiP-1 = Ai 1.6  Không gian đồng vị bây giờ sẽ gồm bốn thành phần φ, φ4  và biến đổi theo quy luật sau:  Vik , φ k  = 2iεik φl ;  Vi , φ 4  = 0 1.7  Ai , φ k  = -2iεiklφl ;  Ai , φ4  = 2iφi 1.8 Các hạt được mô tả bởi φi sẽ là các hạt giả vô hướng và tạo thành các vector đồng vị. Các hạt mô tả bởi φ 4 có chẵn lẻ dương, spin và spin đồng vị (isospin) bằng không, hạt này chính là chân không. Nếu thay cho Vi và Ai ta dùng: Li = 1 1  Vi - Ai  R i =  Vi + Ai  2 2 1.9 Thì đại số của  Li , Ai  sẽ là:  Li , Lk  = 2iεijk Ll   R i , R k  = 2iεijk R l   Li , R k  = 0  1.10 11 Do đó, nhóm mở rộng chính là nhóm chiral SU(2)xSU(2). Vì SU(2)xSU(2) và  O(4) có cùng đại số cho nên để Lagrangian xây dựng từ φ, φ4  bất biến, nó phải chứa các tích vô hướng hoặc tích đạo hàm của các vector này. Thứ hai: Coi các thành phần của trường π - meson bốn chiều làm thành mặt cầu ba chiều:  φ 2 (x, t) + φ 24 (x, t) = const 1.11 Từ đó, phần thế năng trong Lagrangian trở thành một hằng số, bởi vì chúng là đạo hàm của tích vô hướng của trường π - meson. Vì vậy, để mô hình có nghiệm soliton, thì Lagrangian phải chứa số hạng đạo hàm cao hơn bậc hai của hàm trường π - meson.  Gần đây, người ta kết hợp bốn trường π - meson φ, φ4  vào một ma trận U unitary 2x2:     π U = exp i σ.π(x, t) = cosπ + i.σ. .sinπ π  1.12  Trong đó π = π 2 và σ là các ma trận Pauli: 0 1  0 -i  1 0  σ1 =   ; σ2 =   ;σ 3 =   1 0  -i 0   0 -1 1.13  Các trường pion trước đây được liên hệ với các trường π theo hệ thức: φ 4  cosπ   π φ  sinπ π 1.14 Khi đó, Lagrangian trong mô hình Skyrme sẽ là: L= F2 1 .Tr(Lμ .Lμ ) + .Tr  Lμ , L ν  .  Lμ , Lν  2 16 32e   1.15 Với dòng ‘trái’ được xem như là dạng Maurer - Cartan và được xác định bằng: Lμ = u + . μ .u 1.16 12 Lagrangian này không chứa số hạng khối lượng của trường π - meson, vì số hạng  khối lượng của trường π - meson chỉ chứa phần không gian π của tích vô hướng sẽ vi phạm bất biến chiral. Với mô hình này, Skyrme đã chứng minh rằng tồn tại nghiệm soliton:   r  u o = exp iσ. .F(r)   r  1.17 Trong đó, F(r) được gọi là góc chiral và các baryon khác nhau là kết quả của việc lượng tử hóa quanh nghiệm kỳ dị (1.17) này. Nghiệm (1.17) được gọi là nghiệm con nhím (ansatz). Mô hình của hadron nói trên được gọi là mô hình  - phi tuyến. Trong những năm 1983 - 1986, G.Adkins, C.Nappi và E.Witten đã dùng mô hình Skyrme để tính các đặc trưng tĩnh cho baryon [10]. Nhóm tác giả này đã lượng tử hóa quanh nghiệm con nhím, mà sau này sẽ được gọi là nghiệm ansatz con nhím 1.17. Kết quả là, họ đã thu được phổ của các baryon. Baryon có spin 1/2, isospin 1/2 đã được đồng nhất với các nucleon, và baryon có spin 3/2, isospin 3/2 đã được đồng nhất với các hạt cộng hưởng Δ. Sau đó, họ tính được Fπ và e với những giá trị khá gần thực nghiệm ( Fπ - hằng số phân rã của π - meson; e - tham số không thứ nguyên liên quan đến biên độ tán xạ π - π ). Từ các tham số này, nhóm Adkins đã tính các đặc trưng tĩnh của các nucleon và kết quả chỉ sai khác 30% so với thực nghiệm. Tuy nhiên, khi mở rộng cho nhóm SU(3)xSU(3) hoặc bổ chính vào 1.15 số hạng vi phạm đối xứng (số hạng khối lượng π - meson) thì kết quả lại càng xa thực nghiệm [10]. 1.2. Biểu diễn phi tuyến của nhóm đối xứng chiral SU(2)xSU(2) 1.2.1. Cách xây dựng biểu diễn phi tuyến. Xét nhóm đối xứng G, trong một biểu diễn tuyến tính, tác dụng của mỗi phần tử g  G có thể thực hiện nhờ một ma trận Dab(g) trong không gian của các G - vector Ψα: 13 g : ψ α  ψ'α = Dab (g)ψ b 1.18 Các ma trận D thỏa mãn điều kiện: Dab (g1 )D bc (g 2 ) = Dac (g1g 2 ) 1.19 Nguyên lý bất biến tuyến tính đòi hỏi Lagrangian phải là một G - vô hướng xây dựng từ các G - tensor. Sự vi phạm đối xứng luôn được diễn tả một cách tường minh trong Lagrangian bởi các số hạng không phải là các G - vô hướng. Giả sử H là nhóm con của G. Xét tập thương G/H và U là các phần tử của tập đó. Một phần tử g  G khi tác động lên lớp U sẽ biến nó thành lớp khác Ug theo công thức: g : U  U g = gUh -1 (g, h) 1.20 Với h là phần tử hoàn toàn xác định của H. Xét tập các cặp (U,) với U  G / H và Ψi là một H - vector. Ta nói rằng tập này thực hiện một biểu diễn phi tuyến của nhóm G nếu mỗi phần tử g  G tương ứng với mỗi phép biến đổi: g : ψi  ψi' = Dij (h(g, u))ψ j 1.21 g : U  U g = gUh -1 (g, h) 1.22 Ta xét trường hợp đặc biệt khi H  G . Khi đó G/H chỉ là phần tử trung hòa, nếu U  G / H thì U  e . Khi đó U g  e và: e = geh -1  h = g 1.23 Vậy biểu diễn tương ứng với phép biến đổi trong G - vector Ψi là: g : ψi  ψi' = Dij (g)ψ j 1.24 Tức là trùng với biểu diễn tuyến tính thông thường (khi H  G tương ứng với trường hợp không có vi phạm tự phát) do đó không có mode Goldstone, tức là tương ứng với năng lượng cao, các hạt hoàn toàn tự do, không có hiện tượng tự tương tác và do đó Lagrangian không có mặt các số hạng phi tuyến. 14 Sự tồn tại các bậc tự do U là cần thiết để khôi phục đối xứng G cho mô hình trong đó chỉ có đối xứng H được đòi hỏi tường monh ở trạng thái năng lượng cao, các thành phần Ψα của G - vector được biểu diễn một cách độc lập. Nếu năng lượng giảm xuống, một số thành phần lập thành các H - vector, phần còn lại sẽ bị ‘đông đặc’ thành các mode Goldstone: ψ α  Uiα ψi 1.25 Khi đó, các đạo hàm  μ ψα sẽ bị làm lạnh xuống thành các phần tử Cartan U -1 μ U và các đạo hàm trường  μ ψi :  μ ψα   μ (U iα ψi ) =  μ Uiα ψi + Uiα  μ ψi = U io (U -1bj  μ U αj + δab  μ )ψi 1.26 Vậy phần tử Cartan U -1 μ U , phần tử quan trọng trong việc xây dựng các bất biến trên đa tạp thương xuất hiện từ các đạo hàm trường trong quá trình ‘lạnh xuống’ của hệ trường. Đặt Vk là các vi tử của H và Aα là các vi tử trong không gian thương G/H thì (Vk,Aα) là các vi tử sinh của G và U -1 μ U được phân tích như sau: U -1 μ U = i(Dμ φ α A α + Γμk V k ) 1.27 Ta tìm được quy luật biến đổi của Dμ φ α và Γμk đối với phép biến đổi g  G nào đó. Vì G là nhóm toàn xứ (global) nên ta có: g( μ U) =  μ (gU) =  μ (U g h(g, U)) = ( μ U g )h(g, U) + U g  μ h(g, U) 1.28 Do đó: (U g )-1  μ U g = h(g, U)(U -1 μ U)h -1 (g, U) -  μ h(g, U)h -1 (g, U) 1.29 Từ 1.27 và 1.29 ta có: Dμ φ 'α A α = h(g, U)Dμ φ α A α h -1 (h, U) 1.30 15 Γμi' V i = h(g, U)Γμi Vi h -1 (g, U) 1.31 Vậy, chỉ có Dμ φα A α là hiệp biến đối với g còn Γμi biến đổi như đại lượng liên kết của đa tạp khả vi. Tương tự như phép biến đổi chuẩn ta định nghĩa toán tử đạo hàm hiệp biến: Δμ =  μ + iΓμ V i 1.32 Δμ' h(g, U) = Δμ h -1 (g, U) 1.33 Các mode Goldstone luôn xuất hiện trong Γμi và Dμ φα bởi vì chúng xuất hiện trong pha U của hàm trường. Các mode Goldstone sẽ khử đi lẫn nhau trong các Lagrangian bất biến. Theo nguyên lý bất biến phi tính, Lagrangian cho trường vật chất mô tả bởi H vector Ψi và chứa mode Goldstone dưới dạng: Linν = L(Dμ φα , Δ μ ψi , ψi ) 1.34 Trong đó Linν là một H - vô hướng. Trong các phần tiếp theo, ta sẽ không xét trường Ψi mà chỉ xét các mode Goldstone. Do đó, Lagrangian bất biến G phi tuyến sẽ là: Linν,G = L(Dμ φ α ) 1.35 Với L là một H - vô hướng. Từ nguyên lý trên cho thấy trong L bất biến phi tuyến không thể có khối lượng của từng mode Goldstone. Số hạng vi phạm đối xứng phi tuyến dạng khối lượng của π - meson sẽ được xét tới ở phần sau. 1.2.2. Biểu diễn phi tuyến của nhóm đối xứng chiral SU(2)xSU(2). Từ xây dựng biểu diễn phi tuyến ở trên ta xét nhóm đối xứng chiral, G là SU(2)xSU(2) và nhóm con là nhóm SU(2)xSU(2) đường chéo, ký hiệu là SU(2)diag. Và đồng nhất trường Goldstone với trường π - meson. 16 Nhóm G có biểu diễn cơ sở bởi các vi tử sinh: σ Li =  i 0 0 0 0  ; Ri =   σi   0 σi  1.36 Trong đó σi là các ma trận Pauli. Nhóm H được biểu diễn bởi các vi tử sinh: σ τi = Li + R i =  i 0 0  σi  1.37 Không gian thương G/H sẽ được sinh bởi vi tử sinh τ5i : σ τ5i = Li - R i =  i 0 0   -σi  1.38 Đại số Lie các vi tử sinh τ5i và τi sẽ được mô tả bởi các hệ thức 1.5: Eτi = τ5i 1.39 Eτ5i = τi Trong đó: 1 0 1 0  I= ; E =   0 1  0 -1 1.40 E được gọi là ma trận ‘tích chiral’. Bây giờ ta thực hiện tham số hóa không gian thương G/H bằng ma trận 4x4 unitary U: U = exp(iπ i τ5i ) = cosπ + i   sinπ   π.τ5 π 1.41  Với π 2 = ππ và π là các vector đồng vị. Các thành phần của trường π - meson đồng nhất với tham số π . Do đó, từ phần tử Cartan:    U -1 μ U = i(Dμ πτ5 + Γμ τ5 ) 1.42 Ta thu được: 17        (π μ π)π sin2π   (π μ π)π  Dμ π = +  μ π  π2 2π  π2  1.43  sin 2 π   1.44 Γμ = 2  π ×  μ π  π  Các đại lượng Γμi đóng vai trò của đại lượng liên kết trong không gian Riemann hoặc trong các đa tạp liên kết. Điều này thể hiện ngay ở trong cách biến đổi và trong sự kiện là nó khử các số hạng thừa để làm cho Δμ trở thành hiệp biến. Ta cũng xây dựng được ‘tensor cường độ’ trường:      Fμν =  μ Γ ν -  ν Γμ - 2Γμ × Γ ν 1.45 Thỏa mãn định nghĩa:   iFμν τ5 = Δ μ , Δ ν   Fμν có thể coi là tensor độ cong của đa tạp Goldstone. 1.46 Biểu thức 1.46 chứng tỏ lý thuyết phi tuyến về hình thức giống với lý thuyết chuẩn.  Lagrangian bất biến phi tuyến sẽ được xây dựng từ các vector Fμν mà vẫn thỏa mãn định lý Coleman - Wess - Zumino. Lagrangian bất biến phi tuyến có dạng:   L = A.Dμ πDμ π + (số hạng bậc bốn)+… 1.47 Theo định lý Coleman - Wess - Zumino số hạng bậc bốn lại được xây dựng từ    Dμ π . Bên cạnh đó từ Dμ π và Γμ ta có: 1    (Dμ π × D ν π)2 = - Fμν Fμν 4 1.48 Do đó, Lagrangian bất biến phi tuyến có dạng:    1   L = A.Dμ πDμ π + B.  - Fμν Fμν   4  1.49 18 Số hạng bậc bốn trên có vai trò rất quan trọng, nó làm cho nghiệm soliton của mô hình bền vững. Thật vậy, ta xét phép biến đổi đồng dạng: x μ  λx μ Khi đó mô hình cho năng lượng toàn phần có dáng điệu: aλ + b λ Như vậy, năng lượng này có cực tiểu là 2 ab và điều đó chứng tỏ rằng soliton là bền vững. Chú ý rằng Lagrangian trong mô hình phi tuyến chiral có thể chọn các bậc cao hơn nữa: L = L 2 + L 4 + L6 + ... Nhưng trong luận văn này ta chỉ xét đến bậc bốn. 1.2.3. Dòng topological.  Từ các đại lượng Dμ π ta có thể xây dựng được đại lượng hiệp biến bậc ba duy nhất không triệt tiêu sau đây: Bμνρi τ5i = Dμ πi τ5i D ν π k τ5k Dρ π l τ5l 1.50 Đại lượng này là một tensor hạng ba với phép biến đổi Lorentz và là một isovector. Bằng cách chuyển sang đại lượng đối ngẫu ta có một vector: Bμ = 1 μνρσ ε TrB νρσ E 24π 2 1.51 Bμ = 1 μνρσ ε Dμ π i Dρ π k D σ π l 6π 2 1.51 Bμ = 1 μνρσ    ε Dμ π(Dρ π  Dσ π) 2 6π 1.52 19 Vector này có thể coi là một dòng và từ các biểu thức Dμ πi ở trên ta thay vào 1.51 chứng tỏ dòng này bảo toàn:  μ Bμ  0 1.53 Vì  μ Bμ  0 , cho nên, lượng tích B định nghĩa bằng: B =  Bo dV = 1 oik    ε  Di π  D k π × Dl π  dV 2 6π 1.54 là một đại lượng bảo toàn. Thêm vào nữa, sau này ta sẽ chỉ ra rằng B = n (với n là số nguyên). Đại lượng bảo toàn này có liên quan đến tính topo của đa tạp trường mà ta xét. Do π - meson là các tham số của U. Các tham số này lập thành một đa tạp ba chiều hình cầu S3 nhúng trong không gian bốn chiều của các biến nội tại. Chứng tỏ chúng là các biến góc chứ không phải là các biến độ dài và để xác định một điểm trên mặt cầu đơn vị ba chiều S3.   Để có soliton ổn định (cấu hình năng lượng hữu hạn) U  x, t  phải tiến đến một  giá trị hằng số khi r   .  Vậy với một cấu hình năng lượng hữu hạn và tĩnh hàm U  r  (soliton) xác định một ánh xạ từ không gian ba chiều (kể cả điểm vô cùng) vào mặt cầu ba chiều của đối  xứng nội tại. Từ đó, tùy thuộc vào việc khi r lấy mọi giá trị, thì hình cầu S3 được phủ lên bao nhiêu lần. Số lần phủ đó được gọi là chỉ số topological của các ánh xạ U. Tuy nhiên, chỉ số topo lại chính bằng số lớp đồng luân của nhóm đồng luân (π 3 (S3 )) . Mà π3 (S3 ) lại đẳng cấu với nhóm số nguyên. Suy ra chỉ số topological là số nguyên n. Ta hãy xét khái niệm nhóm đồng luân: ‘Hai đường cong A(s) và B(s) liên tục trong không gian X với tham số thực s   a, b  từng giá trị s   a, b  tương ứng từng điểm của A và B, tồn tại một hàm L(t,s) 20