Tài liệu Sổ tay giải toán 12 nguyễn đức thắng

Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool SỔ TAY GIẢI TOÁN 12 Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool MỤC LỤC CHỦ ĐỀ TRANG A. KHẢO SÁT HÀM SỐ 2 B. LUỸ THỪA - MŨ - LÔGARIT 18 C. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 25 D. SỐ PHỨC 42 E. NÓN – TRỤ-CẦU 47 F. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ 54 G. KHỐI ĐA DIỆN 64 H. GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH 67 I. BỔ SUNG MỘT SỐ KIẾN THỨC 77 Trung tâm luyện thi chất lượng cao Thành Đạt – Tây Mỗ, Nam Từ Liêm, Hà Nội Page 1 Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool A. KHẢO SÁT HÀM SỐ 1. Tính đơn điệu 1.1. Lí thuyết a) Định nghĩa: Cho K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử f(x) là một hàm số xác định trên K. - Hàm số f(x) gọi là đồng biến trên K nếu " x1 , x2 Î K : x1 < x2 Þ f ( x1 ) < f ( x2 ) - Hàm số f(x) gọi là nghịch biến trên K nếu " x1 , x2 Î K : x1 < x2 Þ f ( x1 ) > f ( x2 ) b. Điều kiện cần Giả sử f có đạo hàm trên khoảng K. - Hàm số f(x) không đổi trên K Û "x Î K : f '( x ) = 0 - Nếu f đồng biến trên khoảng K thì f '( x ) ³ 0, "x Î K - Nếu f nghịch biến trên khoảng K thì f '( x ) £ 0, "x Î K c. Điều kiện đủ Giả sử f có đạo hàm trên khoảng K. - Nếu f¢ (x) ³ 0, "x Î I (f¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên K. - Nếu f¢ (x) £ 0, "x Î I (f¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên K. - Nếu f¢(x) = 0, "x Î I thì f không đổi trên K. 1. 2. Một số vấn đề khác a) Định lí về dấu của tam thức bậc hai: g(x ) = ax 2 + bx + c (a ¹ 0) + Nếu D < 0 thì g( x ) luôn cùng dấu với a. æ b ö b ), g ç - ÷ = 0 2a è 2a ø + Nếu D > 0 thì g( x ) có hai nghiệm x1 , x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g( x ) khác dấu + Nếu D = 0 thì g( x ) luôn cùng dấu với a (trừ x = - với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g( x ) cùng dấu với a. ìa > 0 ìa < 0 +) y ' £ 0, "x Î R Û í Chú ý: - Nếu y ' = ax 2 + bx + c (a ¹ 0) thì: +) y ' ³ 0, "x Î R Û í D £ 0 î îD £ 0 2 - Nếu D = 0 hay g( x ) = a ( x - a ) thì g(x) không đổi dấu khi qua a , dấu của g(x) phụ thuộc dấu của a. - Nếu D > 0 thì g(x) đổi dấu khi qua x1 , x2 ( đổi từ+ sang – sang +, hoặc đổi từ - sang + sang -) b) So sánh các nghiệm x1 , x2 của tam thức bậc hai g( x ) = ax 2 + bx + c với số 0: ìD ³ 0 ï +) x1 £ x2 < 0 Û í P > 0 ïî S < 0 ìD ³ 0 ï +) 0 < x1 £ x2 Û í P > 0 ïî S > 0 +) x1 < 0 < x2 Û P < 0 c) Hàm số bậc hai: y = ax 2 + bx + c (a ¹ 0) a>0 Đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh a<0 Đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh æ b D ö ç- ;- ÷ è 2a 4a ø æ b D ö ç- ;- ÷ è 2a 4a ø Trung tâm luyện thi chất lượng cao Thành Đạt – Tây Mỗ, Nam Từ Liêm, Hà Nội Page 2 Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool æ b ö Hàm số đồng biến trên ç - ; +¥ ÷ è 2a ø æ b ö Hàm số nghịch biến trên ç - ; +¥ ÷ è 2a ø æ b ö Hàm số nghịch biến trên ç -¥; - ÷ 2a ø è æ b ö Hàm số đồng biến trên ç -¥; - ÷ 2a ø è D b tại x = 4a 2a Bảng biến thiên D b tại x = 4a 2a Bảng biến thiên Dạng đồ thị: Dạng đồ thị: ymin = - ymax = - d) Ứng dụng trong giải toán Cho hàm số y=g(x) xác định trên (a;b) và liên tục trên [a;b]: +) g( x ) £ m, "x Î (a; b) Û max g( x ) £ m ; éë a;b ùû +) g( x ) ³ m, "x Î (a; b) Û min g( x ) ³ m éë a;b ùû e) Đơn điệu trên một khoảng, đoạn Để hàm số y = f ( x ) đồng biến trên tập K nào đó thì tồn tại khoảng để f’(x)>0 chứa tập K. Để hàm số y = f ( x) nghịch biến trên tập K nào đó thì tồn tại khoảng để f’(x)<0 chứa tập K Bổ trợ: - Tập (-¥; a) là tập con của tập (-¥; b) khi và chỉ khi a £ b - Tập (a; +¥) là tập con của tập (b; +¥) khi và chỉ khi b £ a ìc £ a - Tập (a; b) là tập con của tập (c; d ) khi và chỉ khi í îb £ d 1.3. Tính đơn điệu của hàm thường gặp a) Hàm số đa thức bậc ba f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ¹ 0) : · ìa > 0 “Điều kiện để hàm số f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d đồng biến trên R là í ; nghịch biến trên îD £ 0 ìa < 0 R là í ” îD £ 0 · Hàm số f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d đồng biến ( nghịch biến) trên K thì khoảng mà f '( x ) ³ 0 ( f '( x ) ³ 0 ) của hàm số phải chứa K. b) Hàm số phân thức dạng f ( x ) = ax + b (c ¹ 0, ad - bc ¹ 0) cx + d Thầy Nguyễn Đức Thắng ( ad - bc < 0) · · 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool Điều kiện để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên trên (a ; +¥ ) là ìad - bc > 0 ï í d ïa £ c î ( ad - bc < 0 ) ìad - bc > 0 ï í d ïa ³ c î ( ad - bc < 0 ) Điều kiện để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên trên ( -¥;a ) là +) Đối với hàm hợp y = f (g( x)) , trong đó hàm u = g( x ) xác định và có đạo hàm trên ( a; b ) , lấy giá trị trên khoảng ( c; d ) ; hàm y = f (u) xác định ( c; d ) và có đạo hàm trên ( c; d ) , lấy giá trị trên R. · ïì g '( x ) > 0 " x Î ( a; b ) ïì g '( x ) < 0 " x Î ( a; b ) Nếu í hoặc í thì hàm số y = f (g( x)) đồng biến ïî f '(u) > 0 "u Î ( c; d ) ïî f '(u) < 0 "u Î ( c; d ) trên ( a; b ) . · ìï g '( x ) < 0 " x Î ( a; b ) ìï g '( x ) < 0 " x Î ( a; b ) Nếu í hoặc í thì hàm số y = f (g( x)) nghịch biến ïî f '(u) > 0 "u Î ( c; d ) ïî f '(u) > 0 "u Î ( c; d ) trên ( a; b ) . 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 2.1. Lí thuyết a) Định nghĩa: Giả sử hàm số f ( x) xác định trên D, x0 Î D . - Điểm x0 gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại số thực dương h sao cho ( x0 - h; x0 + h ) chứa trong D và f (x) > f ( xo ), x Î ( x0 - h; x0 + h ) \ { x0 } Khi đó: + Giá trị f ( x0 ) gọi là giá trị cực tiểu của hàm số. + Điểm ( x0 ; f ( x0 )) gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y=f(x). + Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0 - Điểm x0 gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại số thực dương h sao cho ( x0 - h; x0 + h ) chứa trong D và f ( x ) < f ( xo ), x Î ( x0 - h; x0 + h ) \ { x0 } Khi đó: Giá trị f ( x0 ) gọi là giá trị cực đại của hàm số. Điểm ( x0 ; f ( x0 )) gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số y=f(x). + Giá trị f ( x0 ) gọi là giá trị cực đại của hàm số. + Điểm ( x0 ; f ( x0 ) ) gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số y=f(x). + Hàm số đạt cực đại tại điểm x0 Chú ý: Cực đại, cực tiểu gọi chung là cực trị b) Định lí: Trung tâm luyện thi chất lượng cao Thành Đạt – Tây Mỗ, Nam Từ Liêm, Hà Nội Page 4 Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool Điều kiện cần: Nếu hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì hoặc không tồn tại f '(x 0 ) hoặc f '( x0 ) = 0 Điều kiện đủ 1: Giả sử tồn tại ( a; b ) Ì D chứ x0 , hàm số y=f(x) liên tục trên (a,b) và có đạo hàm trên mỗi khoảng ( a; x0 ) , ( x0 ; b ) · ïì f '( x ) < 0 "x Î ( a; x0 ) Nếu í thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x) ïî f '( x ) > 0 "x Î ( x 0 ; b ) · ïì f '( x ) > 0 "x Î ( a; x0 ) Nếu í thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x) ïî f '( x ) < 0 "x Î ( x 0 ; b ) Điều kiện đủ 2: Giả sử tồn tại ( a; b ) Ì D chứ x0 , hàm số y=f(x) liên tục trên (a,b) và có đạo hàm cấp 1 trên (a;b) và có đạo hàm cấp hai tại x0 . Khi đó: · ì f '( x0 ) = 0 Nếu í thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x) î f ''( x0 ) > 0 ì f '( x0 ) = 0 Nếu í thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x) î f ''( x0 ) < 0 2.2. Một số vấn đề khác · a) Hàm số đa thức bậc ba f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ¹ 0) : · ì ìa ¹ 0 ïa = 0 ï ï Hàm số đạt cực đại tại x0 khi: í D f '(x) > 0 hoặc íb < 0 ï c ï î f ''( x0 ) < 0 = x0 ïî 2b · ì ìa ¹ 0 ïa = 0 ï ï Hàm số đạt cực tiểu tại x0 khi: í D f '(x) > 0 hoặc íb > 0 ï c ï f ''( x ) > 0 0 î = x0 ïî 2b · ìa ¹ 0 ìa = 0 Hàm số không có cực trị Û í hoặc í D £ 0 îb = 0 î f '(x) · · ìa ¹ 0 Hàm số có cực đại, cực tiểu Û í î D f '(x) > 0 Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ¹ 0 ) . Với điều kiện b2 - 3ac > 0 , thực hiện phép chia y cho y’ ta được y = y’(x).g(x) + Ax + B. Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y = Ax + B b) Hàm số đa thức trùng phương: f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c (a ¹ 0) TH1: a = 0 *) Nếu b > 0 Hàm số chỉ có 1 cực tiểu *) Nếu b < 0 Hàm số chỉ có 1 cực đại *) Nếu b = 0 Hàm số không có cực trị Trung tâm luyện thi chất lượng cao Thành Đạt – Tây Mỗ, Nam Từ Liêm, Hà Nội Page 5 Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com ( TH2: a ¹ 0 . Khi đó: y ' = 4ax 3 + 2bx = 2 x 2ax 2 + b ) Trường PTLC Vinschool *) Nếu a.b<0 thì hàm số có ba cực trị. Cụ thể a>0: Hàm số có 2 cực tiểu, 1 cực đại a<0: Hàm số có 2 cực đại, 1 cực tiểu *) Nếu a.b ³ 0 : Hàm số chỉ có đúng một cực trị a>0: Hàm số có 1 cực tiểu a<0: Hàm số có 1 cực đại Tham khảo: Trường hợp đồ thị hàm số: y = ax 4 + bx 2 + c ( a ¹ 0 ) có ba điểm cực trị æ æ b b2 ö b b2 ö Ba điểm cực trị là A ( 0; c ) , B ç - - ; c - ÷ và C ç - ; c - ÷ . ç ç 2a 4a ÷ø 2a 4a ÷ø è è Khi đó ta có AB = AC = b 4 - 8ab 16a 2 và BC = - 2b . a Dạng 1. Đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác ì ab < 0 vuông khi và chỉ khi í 3 . î b + 8a = 0 Dạng 2. Đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều ì ab < 0 khi và chỉ khi í 3 . î b + 24a = 0 Dạng 3. Đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam ìab < 0 ï · giác cân có một góc BAC = a cho trước khi và chỉ khi í b3 + 8a cos a = ï b3 - 8a î Dạng 4. Đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có ba điểm cực trị A, B, C thỏa mãn điều kiện BC = OA ì ab < 0 (với O là gốc tọa độ) khi và chỉ khi í 2 . î ac + 2b = 0 Dạng 5. Đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam ìab < 0 ï giác có diện tích là S cho trước khi và chỉ khi í b5 . S = ï 32a3 î Dạng 6. Đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam ìab < 0 ï b3 - 8a . giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R khi và chỉ khi í R= ï 8ab î Trung tâm luyện thi chất lượng cao Thành Đạt – Tây Mỗ, Nam Từ Liêm, Hà Nội Page 6 Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool Dạng 7. Đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam ì ab < 0 ï b2 ï ï 4a giác có bán kính đường tròn nội tiếp là r khi và chỉ khi í . ïr = b2 ï 1 +1 ïî 8a Dạng 8. Đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam ì 3 giác nhận gốc O là trực tâm khi và chỉ khi í b + 8a - 4abc = 0 îc ¹ 0 Dạng 9. Đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam ì 3 giác nhận gốc O là tâm đường tròn ngoại tiếp khi và chỉ khi í b - 8a - 8abc = 0 îc ¹ 0 c) Hàm số phân thức dạng f ( x ) = d) Hàm số bậc 2/bậc 1 y = ax + b (c ¹ 0, ad - bc ¹ 0) không có cực trị cx + d ax 2 + bx + c có cưc đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có a'x +b' hai nghiệm phân biệt khác - b' . Khi đó, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ a' ax 2 + bx + c 2ax + b thị hàm số y = là y = . a' x + b' a' 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 3.1. Lí thuyết Giả sử f xác định trên D Ì ¡ . Ta có ì f ( x ) £ M "x Î D ì f ( x ) ³ m "x Î D ï ï ; m = min f ( x ) Nếu í . M = max f ( x ) Nếu í xÎD xÎD ï ï î$x0 Î D : f ( x0 ) = M î$x0 Î D : f ( x0 ) = m 3.2. Chú ý: Để tìm giá GTLN, GTNN của hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn éë a; b ùû , có đạo hàm trên ( a; b ) và f '( x ) = 0 có hữu hạn nghiệm , ta làm như sau: B1 Tìm các điểm x1 , x2 , …, xm thuộc khoảng ( a; b ) mà tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. B2 Tính f ( x1 ) , f ( x2 ) , …, f ( xm ) , f ( a ) , f ( b ) . B3 So sánh các giá trị tìm được ở bước 2. Số lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của f trên đoạn éë a; b ùû ; số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của f trên đoạn éë a; b ùû . { } { } max f ( x ) = max f ( x1 ) , f ( x2 ) , K , f ( xm ) , f ( a ) , f ( b ) . xÎéë a;b ùû min f ( x ) = min f ( x1 ) , f ( x2 ) , K , f ( xm ) , f ( a ) , f ( b ) . xÎéë a;b ùû 3.3. Quy ước. Khi nói đến GTLN, GTNN của hàm số f mà không chỉ rõ GTLN, GTNN trên tập nào thì Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool 3.4. Chú ý: Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và tồn tại min f ( x ) = m; max f ( x ) = M . Khi D D đó: 1) Phương trình f ( x ) = a có nghiệm trên D Û m £ a £ M. 2) Bất phương trình f ( x ) ³ a có nghiệm trên D Û M ³ a. 3) Bất phương trình f ( x ) £ b có nghiệm trên D Û m £ b. 4) Bất phương trình f(x) ³ a đúng với mọi x Î D Û m ³ a. 5) Bất phương trình f(x) £ b đúng với mọi x Î D Û M £ b. Trung tâm luyện thi chất lượng cao Thành Đạt – Tây Mỗ, Nam Từ Liêm, Hà Nội Page 8 Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool 4. TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Khái niệm Hình ảnh minh hoạ Phương pháp tìm tiệm cận 1. Tiệm cận đứng: B1. Tìm tập xác định B2. Tìm các giá trị x0 mà tại Đường thẳng x = x0 (vuông góc Ox) gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số: y=f(x) Nếu có ít nhất một trong các giới hạn sau: x0 hàm số: y=f(x) không xác lim f ( x ) = +¥, lim- f ( x ) = -¥, x ® x0 định. B3. Tính các giới hạn: lim+ y = ±¥ & lim- y = ±¥ lim f ( x ) = +¥, lim f ( x ) = -¥, + + x ® x0 B4. Kết luận. x ® x0x ® x0 2. Tiệm cận ngang Hàm số y = f ( x) xác định trên một khoảng vô hạn (có thể là ( -¥; a ) , ( b; +¥ ) , ( -¥; +¥ ) x ® x0 x ® x0 B1. Tìm tập xác định B2. Tính các giới hạn: lim y = y0 & lim y = y0 x ®+¥ x ®-¥ B3. Kết luận Đường thẳng y = y0 (vuông góc Oy) gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số: y=f(x) Nếu có ít nhất một trong các giới hạn sau: lim f ( x ) = y0 , lim f ( x ) = y0 x ®+¥ x ®-¥ 3. Tiệm cận xiên Hàm số y = f ( x) xác định trên một khoảng vô hạn (có thể là ( -¥; a ) , ( b; +¥ ) , ( -¥; +¥ ) Đường thẳng y = ax + b ( a ¹ 0 ) gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số: y=f(x) Nếu có ít nhất một trong các giới hạn sau: lim éë f ( x ) - ( ax + b ) ùû = 0, x ®+¥ lim é f ( x ) - ( ax + b ) ùû = 0. B1. Tìm tập xác định B2. Tính các giới hạn: æ f (x) ö lim ç ÷=a x ®+¥ è x ø hoặc lim ( f ( x ) - ax ) = b x ®+¥ æ f (x) ö lim ç ÷=a x ®-¥ è x ø lim ( f ( x ) - ax ) = b x ®-¥ B3. Kết luận x ®-¥ ë Chú ý: 1. Hàm số: y = ax + b d a có tiệm cận đứng là: x = - , tiệm cận ngang là: y = cx + d c c 2.Hàm số: y = ax2 + bx + c k n = px + q + có tiệm cận đứng là: x = - , tiệm cận xiên là: mx + n mx + n m y = px + q Thầy Nguyễn Đức Thắng 3. lim x ®+¥ 0969119789 –thangnd286@gmail.com n n -1 m m -1 an x + an -1 x bm x + bm -1 x + ... + a1 x + a0 é n £ m : TCÑ & TCN =ê + ... + b1 x + b0 ë n > m :TCÑ & TCX 4. Hàm số: y = f ( x ) = ax 2 + bx + c ( a > 0 ) có tiệm cận xiên là y = 5. Hàm số: y = f ( x ) = mx + n + p ax 2 + bx + c y = mx + n + p a x + 6. Hàm số: y = Trường PTLC Vinschool a x+ b 2a ( a > 0 ) có tiệm cận xiên là b 2a mx + n chỉ có tiệm cận ngang, có thể có tiệm cận đứng nếu ax 2 + bx + c = 0 2 ax + bx + c có nghiệm. Bổ sung một số kiến thức: - Công thức khoảng cách: Đường thẳng D : ax + by + c = 0 Khoảng cách từ M đến Δ là: d ( M , D ) = (a2 + b2 ¹ 0) và M ( x0 ; y0 ) . ax0 + by0 + c a2 + b2 Đặc biệt: - Đường thẳng D : y = m thì d ( M , D ) = y0 - m - Đường thẳng D : x = n thì d ( M , D ) = x0 - n - Công thức giới hạn: C é+¥ nchaün = 0 vôùi ( k > 0 ) & lim x n = ê , lim x n = +¥ vôùi n Î N n leû -¥ x ®±¥ x x ®-¥ x ®+¥ ë + Giới hạn tại vô cực: lim + Giới hạn một bên: lim + x ® x0 k c é +¥ Neáu c > 0 =ê & x - x 0 ë -¥ Neáu c < 0 lim x ® x0- c é -¥ Neáu c > 0 =ê x - x 0 ë +¥ Neáu c < 0 5. TƯƠNG GIAO HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ 5.1. Kiến thức Cho hai đường cong: ( C1 ) : y = f ( x ) và ( C2 ) : y = g( x ) ì y = f ( x) +) Nếu M ( x0 ; y0 ) là điểm chung của ( C1 ) và ( C2 ) Û M ( x0 ; y0 ) là nghiệm của hệ: í î y = g( x) + Hoành độ giao điểm của ( C1 ) và ( C2 ) là nghiệm của phương trình: f (x ) = g( x ) (*) +) Số nghiệm phương trình (*) bằng số giao điểm của ( C1 ) và ( C2 ) 5.2 . Bổ sung một số kiến thức a) Phương trình bậc 2 ìD > 0 -Phương trình: g( x ) = ax 2 + bx + c = 0 ( a ¹ 0 ) có hai nghiệm phân biệt khác x0 Û í î g( x0 ) ¹ 0 ìD = 0 ï -Phương trình: g( x ) = ax 2 + bx + c = 0 ( a ¹ 0 ) có nghiệm kép khác x0 Û í b ïî- 2a ¹ 0 -Phương trình: g( x ) = ax 2 + bx + c = 0 ( a ¹ 0 ) vô nghiệm Û D < 0 Trung tâm luyện thi chất lượng cao Thành Đạt – Tây Mỗ, Nam Từ Liêm, Hà Nội Page 10 Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool b) Phương trình bậc 3 hay tương giao đồ thị hàm đa thức bậc ba và trục Ox Tương giao của đồ thị hàm bậc 3 y = a ' x 3 + b ' x 2 + c ' x + d ' ( a ' ¹ 0 ) và trục Ox: Phương trình hoành độ giao điểm: a ' x 3 + b ' x 2 + c ' x + d ' = 0 ( ) Trường hợp 1: Biến đổi phương trình: a ' x 3 + b ' x 2 + c ' x + d ' = 0 thành ( x - a ) ax 2 + bx + c = 0 · ( ) Phương trình: ( x - a ) ax 2 + bx + c = 0 có ba nghiệm phân biệt Û Phương trình: ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt khác a . · ( ) Phương trình: ( x - a ) ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt Û Phương trình: ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm kép khác a hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một é ìD = 0 ê í g(a ) ¹ 0 nghiệm bằng a Û ê î ê ìí D > 0 êë î g(a ) = 0 · ( ) Phương trình: ( x - a ) ax 2 + bx + c = 0 chỉ có một nghiệm Û Phương trình: é ìD = 0 ax + bx + c = 0 có nghiệm kép bằng a hoặc vô nghiệm Û ê íî g(a ) = 0 ê ëD < 0 Trường hợp 2: Không nhẩm được nghiệm a 2 Số giao điểm của đồ thị hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ¹ 0 ) và Ox bằng số nghiệm của phương trình: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 · Chỉ có một nghiệm khi và chỉ khi: Hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến; hoặc có hai é Dy ' £ 0 ê trong đó: x1 , x2 là nghiệm của cực trị nằm về cùng một phía đối với Ox Û ê ìDy ' > 0 í ê î y( x1 ).y( x2 ) > 0 ë phương trình: y ' = 0 · Chỉ có hai nghiệm khi và chỉ khi hàm số có hai cực trị, trong đó có một cực trị nằm trên Ox · ìD > 0 trong đó: x1 , x2 là nghiệm của phương trình: y ' = 0 Û í y' y ( x ). y ( x ) = 0 î 1 2 Chỉ có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hàm số có hai cực trị, trong đó có hai cực trị nằm ìD > 0 trong đó: x1 , x2 là nghiệm của phương trình: về hai phía của trục Ox Û í y ' î y( x1 ).y( x2 ) < 0 y' = 0 Bổ sung: Phương trình đường thẳng qua hai cực trị (nếu có) là y = mx + n (Biểu thức mx + n là đa thức dư khi chia y cho y’). Xét y ' = 3ax 2 + 2bx + c = 0 Trung tâm luyện thi chất lượng cao Thành Đạt – Tây Mỗ, Nam Từ Liêm, Hà Nội Page 11 Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool c) Phương trình bậc bốn trùng phương hay tương giao của đồ thị hàm đa thức bậc 4 trùng phương vàc trucj Ox) ì t = x2 ³ 0 f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c = 0 ( a ¹ 0 ) Û í . t = x2Û x = ± t f ( t ) = 0 î Số nghiệm 4 3 2 1 Điều kiện ìD>0 ï íP>0 ïS >0 î ìP=0 í îS >0 éP < 0 ê ê ìí D = 0 êë î S / 2 > 0 éì P = 0 êí êî S < 0 êì D = 0 êí êë î S / 2 = 0 0 CSC éì D ³ 0 êï êí P > 0 ê ïî S < 0 ê êë D < 0 ìï 0 < t1 < t2 í ïî t2 = 3 t1 Một số kiến thức hình học bổ sung: uur uur uur uur - Cho: u1 = ( x1; y1 ) , u2 = ( x2 ; y2 ) Þ u1.u2 = x1 x2 + y1y2 uuuuur - Cho A1 ( x1; y1 ), A2 ( x2 ; y2 ) : A1 A2 = ( x2 - x1; y2 - y1 ) ; A1 A2 = 2 ( x2 - x1 ) + ( y2 - y1 ) 2 - Cho tam giác D A1 A2 A3 trong đó: A1 ( x1; y1 ), A2 ( x2 ; y2 ), A3 ( x3 ; y3 ) không thẳng hàng: uuuuur uuuuur + Tam giác D A1 A2 A3 vuông tại A1 Û A1 A2 . A1 A3 = 0 uuuuur uuuuur ìAA = AA 1 3 ï 1 2 + Tam giác D A1 A2 A3 đều Û í uuuuur uuuuur ïî A1 A2 = A2 A3 - Diện tích tam giác : SD ABC = 1 1 abc h.a = b.c sin A = pr = = p ( p - a )( p - b )( p - c ) 2 2 4R 6. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ 6.1. Đồ thị hàm số bậc 3 Đồ thị hàm số luôn cắt trục Ox tại ít nhất một điểm æ b æ b öö Đồ thị nhận điểm I ç - ; f ç - ÷ ÷ là tâm đối xứng è 3a è 3a ø ø Bảng biến thiên và dạng đồ thị Trường a>0 hợp a<0 y' = 0 vô nghiệm *) Hàm số luôn đồng biến trên R *) Hàm số không có cực trị *) Hàm số luôn nghịch biến trên R *) Hàm số không có cực trị Thầy Nguyễn Đức Thắng y' = 0 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường ng PTLC Vinschool *) Hàm số luôn đồng biến n trên R *) Hàm số không có cực trị *) Hàm số luôn nghịch biến n trên R *) Hàm số không có cực trị *) Hàm số đồng biến n trên kho khoảng *) Hàm số nghịch biến n trên kho khoảng *) Hàm số đạt cực đại tại x = X1; yCÑ = f ( X1 ) . Hàm ssố đạt cực tiểu *) Hàm số đạt cực đại tại x = X1; yCT = f ( X1 ) . Hàm số đạt đ cực có nghiệm kép y' = 0 có hai nghiệm phân biệt ( -¥; X1 ) và ( X2 ; +¥ ) . Hàm ssố nghịch biến ( -¥; X1 ) và ( X2 ; +¥ ) . Hàm số đồng biến trên ( X1; X2 ) . trên ( X1; X2 ) . tại x = X2 ; yCT = f ( X2 ) . tiểu tại x = X2 ; yCÑ = f ( X2 ) . Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool 6.2. Đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương: f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c (a ¹ 0) · · · Vì hàm số là chẵn trên R nên đồ thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng. Hàm số luôn có cực trị (một cực trị nếu a.b>0 ; ba cực trị nếu a.b<0) Có một cực trị luôn thuộc trục Oy. Trường hợp có 3 điểm cực trị thì ba điểm cực trị là 3 đỉnh của tam giác cân. Bảng biến thiên và dạng đồ thị Các dạng a>0 a<0 *) Đơn điệu *) Đơn điệu Hàm số đồng biến trên các khoảng Hàm số nghịch biến trên các khoảng æ æ ö b ö b ç - - ; 0 ÷ và ç - ; +¥ ÷ ç ç ÷ 2a ÷ø 2a è è ø Hàm số nghịch biến trên các khoảng æ æ ö b ö b ç - - ; 0 ÷ và ç - ; +¥ ÷ ç ç ÷ 2a ÷ø 2a è è ø Hàm số đồng biến trên các khoảng æ æ b ö b ö ç -¥; - - ÷ và ç 0; - ÷ ç ç 2a ÷ø 2a ÷ø è è * Cực trị æ æ b ö b ö ç -¥; - - ÷ và ç 0; - ÷ ç ç 2a ÷ø 2a ÷ø è è * Cực trị Hàm số đạt cực tiểu tại : xCT = ± y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt Û PT (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 Û ab < 0 b 2a Hàm số đạt cực tiểu tại : xCÑ = ± - b 2a và yCT = Y1 = f (xCT ) .Hàm số đạt cực và yCÑ = Y1 = f (xCÑ ) .Hàm số đạt cực đại đại tại xCÑ = 0 và yCÑ = Y2 = c . tại xCT = 0 và yCT = Y2 = c . * Giới hạn * Giới hạn ( lim ( ax ) é-¥ Neáu a < 0 + c) = ê ë +¥ Neáu a > 0 é-¥ Neáu a < 0 lim ax 4 + bx 2 + c = ê x ®-¥ ë +¥ Neáu a > 0 x ®+¥ 4 + bx 2 ( lim ( ax ) é-¥ Neáu a < 0 + c) = ê ë +¥ Neáu a > 0 é-¥ Neáu a < 0 lim ax 4 + bx 2 + c = ê x ®-¥ ë +¥ Neáu a > 0 x ®+¥ 4 + bx 2 Đồ thị hàm số không có tiệm cận *) Bảng BT Đồ thị hàm số không có tiệm cận *) Bảng BT 3. Đồ thị 3. Đồ thị Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com *) Đơn điệu Hàm số đồng biến trên các khoảng ( 0;+¥ ) . Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( -¥; 0 ) y’ = 0 chỉ có 1 nghiệm Û PT (*) vô nghiệm hoặc chỉ có một nghiệm bằng 0 Û ab > 0 Trường PTLC Vinschool *) Đơn điệu Hàm số đồng biến trên các khoảng ( -¥; 0) . Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( 0; +¥ ) * Cực trị Hàm số đạt cực tiểu tại xCT = 0 và * Cực trị Hàm số đạt cực tiểu tại xCÑ = 0 và yCT = Y2 = c . yCÑ = Y2 = c . * Giới hạn * Giới hạn ( lim ( ax ) é-¥ Neáu a < 0 + c) = ê ë +¥ Neáu a > 0 é-¥ Neáu a < 0 lim ax 4 + bx 2 + c = ê ë +¥ Neáu a > 0 x ®-¥ 4 x ®+¥ + bx 2 ( lim ( ax ) é-¥ Neáu a < 0 + c) = ê ë +¥ Neáu a > 0 é-¥ Neáu a < 0 lim ax 4 + bx 2 + c = ê ë +¥ Neáu a > 0 x ®-¥ 4 x ®+¥ + bx 2 *) Bảng BT *) Bảng BT Đồ thị hàm số không có tiệm cận 3. Đồ thị Đồ thị hàm số không có tiệm cận 3. Đồ thị 6.3.Đồ thị hàm số phân thức dạng f ( x ) = ax + b (c ¹ 0, ad - bc ¹ 0) cx + d Bảng biến thiên và dạng đồ thị ad - bc > 0 ad - bc < 0 *)Đơn điệu *)Đơn điệu æ dö Hàm số đồng biến trên các khoảng ç -¥; - ÷ và cø è æ dö Hàm số nghịch biến trên các khoảng ç -¥; - ÷ cø è Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com æ d ö ç - ; +¥ ÷ è c ø *) Cực trị Hàm số không có cực trị *) Giới hạn lim æ dö x ®ç - ÷ è cø - y = +¥ và thẳng x = lim y = x ®-¥ lim æ dö x ®ç - ÷ è cø Trường PTLC Vinschool æ d ö và ç - ; +¥ ÷ è c ø *) Cực trị Hàm số không có cực trị *) Giới hạn + y = -¥ nên đường d là tiệm cận đứng c lim æ dö x ®ç - ÷ è cø - y = -¥ và thẳng x = - a a và lim y = nên đường thẳng x ®+¥ c c a là tiệm cận ngang c *) Bảng biến thiên : lim y = x ®-¥ lim æ dö x ®ç - ÷ è cø + y = +¥ nên đường d là tiệm cận đứng c a a và lim y = nên đường thẳng x ®+¥ c c a là tiệm cận ngang c *) Bảng biến thiên : y= y= 3. Đồ thị 3. Đồ thị 7. BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN Dạng 1. Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f ( x) tại tiếp điểm M ( x0 ; y0 ) có dạng: d : y = f '( x ) ( x - x0 ) + y0 0 Áp dụng trong các trường hợp sau: Trường hợp 1. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm M ( x0 ; y0 ) . Cần tìm Ghí chú Hệ số góc : f ' ( x0 ) Hệ số góc : f ' ( x0 ) ì ï f ' ( x0 ) Từ x0 Þ í ï î f ( x0 ) 3. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm có tung độ y = y0 Hoành độ tiếp điểm x0 Giải phương trình y0 = f ( x0 ) 4. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) , biết hệ số góc k của tiếp tuyến d . Hoành độ tiếp điểm x0 Giải phương trình f ' ( x0 ) = k 2. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm có hoành độ x = x0 Tung độ tiếp điểm y0 = f ( x0 ) Hệ số góc : f ' ( x0 ) Tung độ tiếp điểm y = f ( x ) Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool Chú ý: Gọi k1 là hệ số góc của đường thẳng d1 và k 2 là hệ số góc của đường thẳng d2 Nếu d1 song song với d2 thì k1 = k2 Nếu d1 vuông góc với d2 thì k1.k2 = -1 Dạng 2 (tham khảo). Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) đi qua điểm A ( x1; y1 ) Phương pháp: Bước 1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và có hệ số góc k d : y = k ( x - x1 ) + y1 Bước 2. Tìm điều kiện để d là tiếp tuyến của đường cong (C) : ìï f ( x ) = k ( x - x1 ) + y1 d tiếp xúc với đường cong (C) Û í có nghiệm. ïî f ' ( x ) = k (*) Bước 3. Khử k , tìm x , thay x vào (*) để tìm k , từ đó suy ra các tiếp tuyến cần tìm Trung tâm luyện thi chất lượng cao Thành Đạt – Tây Mỗ, Nam Từ Liêm, Hà Nội Page 17 Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com B. MŨ – LOGARIT 1. Định nghĩa và các công thức luỹ thừa và mũ a) Lũy thừa Cơ số a Số mũ a Luỹ thừa aa Trường PTLC Vinschool a = n Î N* aÎR aa = an = a.a......a (n thừa số a) a =0 a¹0 aa = a0 = 1 a = -n ( n Î N * ) a¹0 aa = a-n = a= m (m Î Z , n Î N , n ³ 2) n a>0 a = lim rn (rn Î Q , n Î N * ) a a a>0 m =an 1 an n = a m ( n a = b Û b n = a) r aa = lim a n 2. Các phép toán: Với a và b là những số thực dương, avà b là những số thực tùy ý, ta có aa aa .a b = aa + b ab (aa )b = aa .b = (a b )a = aa - b a æaö aa = ç ÷ ba èbø (ab)a = aa .ba 3. So sánh: Nếu a > 1 thì aa > a b Û a > b ; Nếu 0 < a < 1 thì aa > a b Û a < b Với 0 < a < b ta có: am < bm Û m > 0 ; b) Căn bậc n: am > bm Û m < 0 · Khái niệm : Căn bậc n của a là số b sao cho b n = a . · Với a, b ³ 0, m, n Î N*, p, q Î Z ta có: n · ab = n a .n b ; Nếu n a na = (b > 0) ; b nb p q n m = thì a p = aq (a > 0) n m n p a p = ( n a ) (a > 0) Đặc biệt - Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n n a= mn mn a = mn a am a 0; a ¹ 1; log a 1 = 0 ; log a a = 1 ; b1, b2 > 0; aÎ R ta có: log a a b = b ; a loga b =b Trung tâm luyện thi chất lượng cao Thành Đạt – Tây Mỗ, Nam Từ Liêm, Hà Nội Page 18 Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool * So sánh: Nếu a > 1 thì log a b > log a c Û b > c . Nếu 0 < a < 1 thì log a b > log a c Û b < c * Phép toán: log a (b1b2 ) = log a b1 + log a b2 æb ö loga ç 1 ÷ = loga b1 - loga b2 è b2 ø log a ba = a log a b * Đổi cơ số : Với a, b, c > 0 và a, b ¹ 1, ta có: logb c = log a c log a b hay log a b.log b c = log a c log a b = 1 log b a logaa c = 1 loga c (a ¹ 0) a * Logarit thập phân: lg b = log b = log10 b n * Logarit tự nhiên (logarit Nepe): æ 1ö ln b = loge b (với e = lim ç 1 + ÷ = 2, 718281...... ) è nø 3. HÀM SỐ LŨY THỪA * Dạng: y = xa , a Î R * Tập xác định: D · anguyên dương thì TXĐ là D = R · anguyên âm hoặc bằng 0 thì TXĐ là D = R \ {0}. · akhông là số nguyên thì TXĐ là D = (0; +¥). * Đạo hàm : ( xa )' = a .xa -1 ( "x Î D) . (ua )' = a .ua -1.u ' với u là hàm hợp. * Tính đơn điệu : trên khoảng (0 ; +¥) hàm số đồng biến nếu a>0 và nghịch biến nếu a< 0 . *Đồ thị : · Luôn đi qua điểm (1; 1) · · a³ 0 đồ thị không có tiệm cận. a< 0 đồ thị có tiệm cận ngang là trục Ox, tiệm cận đứng là trục Oy. * Chú ý: Hàm số y = ( n x )¢ = 1 xn 1 n n x n -1 không đồng nhất với hàm số y = n x (n Î N *) . ( với x > 0 khi n chẵn và x¹ 0 khi n lẻ) ( n u )¢ = u' n n u n-1 4. HÀM SỐ MŨ * Dạng: y = a x (a > 0, a ¹ 1). * Tập xác định: * Tập giá trị: D = R. T = (0; +¥). ¢ ( eu )¢ = eu .u ' * Đạo hàm: ( e x ) = e x * Tính đơn điệu: · Khi a > 1 hàm số đồng biến trên R. · Khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến trên R. * Đồ thị: · Luôn đi qua các điểm (0; 1) ; (1 ; a) · đồ thị có tiệm cận ngang là trục Ox. ( a x )¢ = a x .ln a ( au )¢ = au .u '.ln a Trung tâm luyện thi chất lượng cao Thành Đạt – Tây Mỗ, Nam Từ Liêm, Hà Nội Page 19