SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"TẠO HỨNG THÚ HỌC TẬP VÀ KHẮC SÂU KIẾN THỨC
THÔNG QUA BẪY TRONG CÁC BÀI TOÁN"
.
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I, CƠ SỞ LÍ LUẬN :
Mục đích của việc dạy và học là trang bị cho người học những kĩ năng
cần thiết , về tư duy, nhân cách, phẩm chất và đạo đức. Đào tạo thế hệ trẻ
có đủ phẩm chất đạo đức , năng lực công tác thích ứng với cuộc sống ,
giáo dục phát triển toàn diện trí -thể - mĩ. Đào tạo nguồn nhân lực có đủ
chuyên môn nghiệp vụ phục vụ đắc lực cho sự nghiệp công nghiệp hoá Hiện đại hoá đất nước, phù hợp với sự phát triển kinh tế toàn cầu , thời đại
phát triển công nghệ thông tin.
Quan điểm của Đảng ta là xác định : Giáo dục là quốc sách hàng đầu.
Đầu tư cho giáo dục là đầu tư cho sự phát triển .
Thực tế việc dạy và học ở trường phổ thông hiện nay có những khó khăn
và thuận lợi cơ bản sau :
Về thuận lợi: Trình độ của giáo viên đã đạt chuẩn và trên chuẩn , được
đào tạo chính qui , phong trào học tập được nâng lên rõ rệt , thiết bị dạy
học được tăng cường cả về số lượng và chất lượng , đã áp dụng côg nghệ
thông tin vào dạy học có hiệu quả .
Về khó khăn: Cơ sở vật chất chưa đáp ứng được nhu cầu ngày càng cao
của giáo dục phổ thông ,trình độ dân trí chưa đồng đều ở ở một số vùng
dân cư.
Toán học là môn học rất lâu đời. Nó có nhiều ứng dụng trong đời sống
và trong các nghành khoa học khác . Nhiệm vụ của môn toán trong nhà
trường là giáo dục học sinh phát triển tư duy sáng tạo , tư duy lôgic , tư
duy trực quan sinh động . Rèn luyện người học tính cẩn thận , chính xác
cao , giúp người học thấy được cái hay , cái đẹp trong toán học.
Trong trường phổ thông, môn toán chiếm một vị trí rất quan trọng ,
học sinh muốn học tốt các môn tự nhiên khác thì phải học tốt môn toán.
Là một môn học với khối lượng kiến thức rất nhiều , lại yêu cầu học sinh
.
phải có tư duy logic , sáng tạo Môn toán có nhiều phân môn như Đại số ,
Giải tích , Hình học .... Ở trường THPT học sinh được học đầy đủ các
phân môn này. Mỗi phân môn lại có nhiều chủ đề. Vì vậy để học sinh
khắc sâu được kiến thức của từng chủ đề là điều rất quan trọng trong việc
dạy và học toán.
Theo G. Polya, việc giải toán xem như thực hiện một hệ thống hành
động: hiểu rõ bài toán, xây dựng một chương trình giải, thực hiện chương
trình khảo sát lời giải đã tìm được. Theo ông điều quan trọng trong quá
trình giải bài toán là qua đó học sinh nảy sinh lòng say mê, khát vọng giải
toán, thu nhận và hình thành tri thức mới, đặc biệt là tiếp cận, phát hiện và
sáng tạo.
Có nhiều cách để tạo hứng thú cho học sinh học toán, cũng có nhiều
cách để giúp học sinh khắc sâu kiến thức. Sau những bài tập từ cơ bản đến
phức tạp để củng cố kiến thức, củng cố các qui trình giải toán ,tôi đưa ra
các bài toán có “ bẫy”
Học sinh cần phải nắm vững kiến thức mới vượt qua được cái “ bẫy” này.
Trong quá trình dạy học, tôi phân lóp thành nhóm và cho các nhóm giải
để
“ thi” với nhau. Tính hiếu kì của độ tuổi sẽ tạo cho các em hăng hái hơn
trong giờ học. Sau mỗi lần mắc “ bẫy” các em sẽ nhớ về kiến thức đó,dạng
toán đó lâu hơn.
II.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ:
Môn toán trong trường phổ thông có vai trò hết sức quan trọng trong
việc hình thành tư duy sáng tạo tích cực , tư duy lôgic, tư duy trực quan
sinh động ....Nếu học sinh học tốt môn toán thì cũng sẽ học tốt các môn
khác . Vấn đề đặt ra là làm thế nào để giờ học có hiệu quả , hấp dẫn và
thuyết phục người học ?
.
Học sinh trong trường đa phần học theo ban KHTN , yêu cầu về kiến
thức của các em phải cao hơn ban Cơ bản và ban KHXH . Trong khi kiến
thức của các em hổng rất nhiều nên việc tiếp thu kiến thức gặp nhiều khó
khăn ;khả năng tư duy phân tích ,phát hiện , sáng tạo để giải một bài toán
còn nhiều hạn chế dẫn đến mắc rất nhiều sai xót.
Với mục đích rèn luyện cho học sinh thói quen thực hiện thành thạo
qui trình
giải một bài toán là : hiểu rõ bài toán, xây dựng một chương trình giải,
thực hiện chương trình khảo sát lời giải đã tìm được; rèn cho các em thói
quen phân tích kĩ lưỡng khi đứng trước một vấn đề , tránh được những
thiếu xót , sai lầm . Hơn nữa tạo cho học sinh hứng thú , lòng đam mê với
toán học . Thiết nghĩ cần phải cho các em giải những bài toán chứa những
cái “bẫy” từ rất đơn giản đến phức tạp. Thường những cái gì để lại ấn
tượng sẽ khó quên hơn.
Ở chuyên đề nào , tiết dạy nào cũng có thể đưa ra những bài toán như
vậy. Ở đề tài này tôi trình bày một số ví dụ ở chuyên đề PT, BPT, HPT,
HBPT ở lớp 10.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Trong quá trình giảng dạy ở lớp 10 giảng dạy chính khoá cũng như
dạy bồi dưỡng, tôi thường trang bị đầy đủ kiến thức phổ thông và phương
pháp giải toán đại số cho học sinh.Như vậy khi giải bài toán về phương
trình hay bất phương trình học sinh có thể tự tin lựa chọn một phương
pháp để giải phù hợp.
Cùng với những bài toán từ đơn giản đến phức tạp để học sinh củng cố
phương pháp giải phương trình và bất phương trình . Tôi đưa ra một số bài
toán chứa “bẫy” để học sinh xử lí. Sau đây là một số ví dụ .
PHẦN 1: PHƯƠNG TRÌNH
.
Ví dụ 1: Tìm m để PT sau có nghiệm:
(m - 3) x2 – 2(3m - 4)x + 7m – 6 = 0
(1)
Lời bàn: Cái “bẫy” ở đây là (1) chưa phải là một PT bậc hai.Đây là một
bài toán dễ nhưng nếu học sinh không nắm vững kiến thức vẫn bị mắc “
bẫy”và giải như sau :
Lời giải sai :
PT có nghiệm khi và chỉ khi
Vậy khi
m 2
hoặc m
1
2
’
= 2m2 + 3m – 2
0 m 2
hoặc m
1
2
.
thì PT (1) có nghiệm .
Lời giải đúng:
Nếu m = 3 thì (1) có dạng - 10x + 15 = 0
x=
3
2
Nếu m 3 thì (1) là PT bậc hai có ’ = 2m2 + 3m – 2 .PT có nghiệm
1
khi và chỉ khi ’ = 2m2 + 3m – 2 0 m 2 hoặc m 2 .
Vậy với
m 2
hoặc m
1
2
hoặc m = 3 thì PT (1) đã cho có nghiệm .
Chú ý: Khi xét PT : ax2 + bx + c = 0 mà hệ số a chứa tham số cần phải
lưu ý đến trường hợp a = 0.
Ví dụ 2: Giải PT sau : x 2 2 x 3 1
(2)
Lời bàn : Đây là một bài toán dường như rất quen thuộc đối với học sinh
nhưng trong quá trình biến đổi nó lại chứa cái “bẫy” mà nếu không tỉnh
táo học sinh sẽ mắc .
Lời giải sai : Lập phương hai vế của PT (2) ta có :
x- 2 + 2x – 3 + 3 ( x 2)(2 x 3) ( x 2 2 x 3 ) = 1
3x – 5 + 3 ( x 2)(2 x 3) = 1
( x 2)(2 x 3)
= 2- x
(x-2)(2x - 3)
= (2- x)3
3
3
3
3
3
.
3
3
x 2
x 1
Vậy PT (2) có hai nghiệm x = 1 và x = 2.
Nhận xét : x= 1 không phải là nghiệm của PT (2)
Lời giải đúng: Lập phương hai vế của PT ta có:
x - 2 + 2x – 3 + 3 ( x 2)(2 x 3) ( x 2 2 x 3 ) = 1
3x – 5 + 3 ( x 2)(2 x 3) = 1
( x 2)(2 x 3)
= 2- x
(x - 2)(2x - 3)
= ( 2 - x)3
3
3
3
3
3
x 2
x 1
Thay x = 1 v à x = 2 vào PT (4) được x = 2 thoả mãn
Vậy PT có một nghiệm x = 2.
Ví dụ 3: Giải PT sau : x 3x 4 x x 1 3 4 x
(3)
Lời bàn : Học sinh có thể nhận dạng bài toán này giải bằng phương pháp
nhân với một lượng liên hợp. Cái “bẫy”ở đây là biểu thức nhân vào 2 vế là
x 3 x 4 x x 1 có thể bằng 0 . Học sinh nếu không chú ý đến điều này
mà nhân 2 vế của PT với x 3x 4 x x 1 dẫn đến nghiệm ngoại lai .
Lời giải sai : (3) (x2 – 3x + 4) - (x2 + x + 1) = (3 4 x)( x 3x 4 x x 1 )
2
2
2
2
2
2
2
.
3 4 x 0
2
x 3x 4
3
x 4
x 2 3x 4 x 2 x 1 1
3
x 4
x 2 3x 4 x 2 x 1 2 x 2 x 1 1
3
x 4
x 2 x 1 1 2 x
x 2 x 1 1
2
3
x 4
1 2 x 0
3 x 2 5 x 0
3
x 4
x 1
2
x 0 hoăo x 5
3
3
x 4
x 0
Vậy PT có hai nghiệm x = 0 và x=
Nhận xét : x =
3
4
.
không phải là nghiệm của PT (3).
Lời giải đúng: (3)
3 4x
2
x 3x 4 x 2 x 1
1
( x 2 3 x 4) ( x 2 x 1)
x 2 3x 4 x 2 x 1
x 2 3x 4
x 2 x 1
1
=1
x 2 3x 4 x 2 x 1 1
x 2 3x 4 x 2 x 1 2 x 2 x 1 1
.
3
4
x 2 x 1 1 2 x
1 2 x 0
2
3 x 5 x 0
1
x 2
x 0 hoăo x 5
3
x=0
Vậy PT có một nghiệm x = 0.
Chú ý :
f ( x).h( x) g ( x).h( x)
f(x) = g(x)
h( x) 0
Ví dụ 4: Giải PT
2
x 2 9 ( x 5)
x3
x3
(4)
Lời bàn : Ở hai vế của PT đều có nhân tử x+ 3 trong căn và học sinh sẽ
A
A
định hướng nhóm nhân tử x 3 bằng cách tách A.B A. B và B B .Cái
“bẫy” là ở chỗ này A.B A. B khi A 0, B 0 và A.B A. B khi A 0, B 0
A
A
khi A 0, B 0
B
B
A
A
và B B khi A 0, B 0 .Học sinh nếu không vững kiến
thức sẽ giải sai như sau :
Lời giải sai : Điều kiện x -3 hoặc x > 3
pt (4) � 2
( x 3)( x 3) ( x 5)
� 2 x 3 x 3 ( x 5)
� x 3(2 x 3
.
x3
x 3
x3
x3
x5
)0
x 3
�
x3
(2( x 3) ( x 5) 0
x3
x3
( x 11) 0
x3
x 3 0
x3
�
�
�
�
��
x 11 0 � �
x 11 � x 11
�
�
�
�
�
�
x3 0
x 3
�
�
�
�
�
Nhận xét : x= - 3 là nghiệm của pt(6) cách giải trên đã làm mất nghiệm x=
-3.
Lời giải đúng :
Cách 1: Điều kiện x -3 hoặc x > 3
* Với x > 3, PT (6)
x3
x 3
� 2 ( x 3)( x 3) ( x 5)
� 2 x 3 x 3 ( x 5)
� x 3(2 x 3
�
x3
x3
x5
)0
x 3
x3
(2( x 3) ( x 5) 0
x3
x3
( x 11) 0
x3
x 3 0
x3
�
�
�
�
� �
x 11 0 � �
x 11 � x 11
�
�
�
�
�
�
x3 0
x 3
�
�
�
�
�
* Với x -3 , PT (6)
� 2 ( x 3)( x 3) ( x 5)
.
3 x . x 3 ( x 5)
x3
x 3
x 3
3 x
x 5
x 3 3 x
0
3 x
x 3
3 x
3
x ( x 5) 0
x 3
3 x
2 2 x 0
3 x 0
x 3 0
2 2 x 0
x 3
x 3
x 1
x 3
x 1
So với x -3 được nghiệm x = - 3
Vậy PT(4) có hai nghiệm x = - 3 và x = 11.
Chú ý :
�A
� nêuA �0, B 0
� A. BnêuA, B �0
A �B
A.B �
;
� A. BnêuA, B �0 B � A
nêuA �0, B 0
�
� B
Cách 2: PT (4)
.
5 x 3 x 3
2
2 x 3
4
(
x
9
)
(
x
5
)
x 3
5 x 3 x 3
2
2
4( x 3) ( x 3) ( x 5) ( x 3)
5 x 3 x 3
x 3 0
2( x 3) x 5
2( x 3) ( x 5)
5 x 3 x 3
x 3
x 11
1
x
3
x 3
x 11
Vậy PT(4) có hai nghiệm x = - 3 và x = 11.
PHẦN 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Ví dụ 5 :Tìm m để BPT sau nghiệm đúng với mọi x:
(m + 1) x2 - 2(m - 1) x + 3m – 3 0.
(5)
Lời bàn: Cái “bẫy” ở đây là (1) chưa phải là một BPT bậc hai.Giống như
ví dụ 1 nếu học sinh không nắm vững kiến thức vẫn bị mắc “ bẫy”và giải
như sau :
Lời giải sai : BPT nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi
m 1 0
2
'
2
(
m
m 2) 0
m 1
2
m m 2 0
m 1
2
m
m 2 0
.
m 1
m 2 m 1
m 1
Vậy với m 1 thì BPT nghiệm đúng với mọi x
Lời giải đúng:
-
Nếu m = -1 thì (1) có dạng 4x - 6
0
Nếu m -1 thì (1) là BPT bậc hai có
’
x
3
2
= - 2(m2 + m – 2) . BPT nghiệm
m 1 0
đúng với mọi x khi và chỉ khi
2
' 2(m m 2) 0
m 1
2
m
m 2 0
m 1
2
m m 2 0
m 1
m 2 m 1
m 1
Vậy với m 1 thì BPT nghiệm đúng với mọi x.
Chú ý: Khi xét BPT ax2 + bx + c > 0 hoặc ax 2 + bx + c 0 hoặc ax2 +
bx + c < 0 hoặc ax2 + bx + c 0 mà hệ số a chứa tham số cần phải lưu ý
đến trường hợp
a = 0.
Ví dụ 6: Giải BPT :
(x - 3)(x - 2)2 0
(6)
Lời bàn : Cái “ bẫy” ở đây là khi x = 2 thì với mọi giá trị của ( x – 3) BPT
(2) vẫn đúng. Một số học sinh sẽ “nhanh nhảu” giải bài toán như sau :
Lời giải sai :
.
Do (x - 2)2 0 nên BPT (6)
Lời giải đúng :
Cách 1:
BPT (6)
x-3
0
x
3.
x 2 0
x 2
x 3 0
x 3
Vậy tập nghiệm của BPT là T =
2 [3;) .
Cách 2: Học sinh có thể lập bảng xét dấu
x
-
+
x-3
2
3
-
-
0
+
(x-2)2
+
0
+
+
(x-3)(x2)2
-
0
0
+
Vậy tập nghiệm của BPT là T =
Chú ý :
-
A . B2n
2 [3;) .
B 0
0
A 0
Ví dụ 7: Giải BPT
(x - 1)2.(x +2) > 0
(7)
Lời bàn : Cái “bẫy” của bài toán này là khi x = 1 thì x + 2 > 0 nhưng BPT
không thoả mãn. Học sinh không phân tích kĩ sẽ giải sai như sau :
Lời giải sai :
(x - 1)2.(x +2) > 0
(x + 2) > 0
x>-2
Vậy tập nghiệm của BPT là T = 2;
Lời giải đúng :
(x-1)2.(x+2) > 0
.
x 1 0
x2 0
x 1
x 2
Vậy tập nghiệm của BPT là T =
Chú ý :
A . B2n > 0
2;1 (1;)
B 0
A 0
( x 3 x) 2 x 3 x 2 0
Ví dụ 8: Giải BPT
(8)
Lời bàn : Cái “ bẫy” ở đây là khi 2x 2 – 3x -2 = 0 thì với mọi giá trị của
( x2 – 3x) BPT (8) vẫn đúng.Do đó học sinh sẽ giải bài toán sai như sau:
2
2
x 0 x 3
1
x 2 3x 0
x
2
1
Lời giải sai : BPT (8) 2
2 x 3x 2 0 x x 2 x 3
2
Lời giải đúng :
1
2x2 3x 2 0 x 2 x 2 x 2
2 1
Cách 1: (8) 2x 3x 2 0 1 x
2 x 2 x 2 2
x 3x 0 x 3
x 0 x 3
Vậy tập nghiệm của BPT là T =
.
1
; 2 3;
2
.
Cách 2: BPT xác định với mọi x ;
1
2;
2
Có thể xét dấu :
1
x
-2
0
2
3
+
2 x 2 3x 2
x2 – 3x
0
0
+
+
Vế Trái
(3)
0
+
+
0
0
0
Vậy tập nghiệm của BPT là T =
0
0
-
B 0
0 B 0
A 0
A.
Ví dụ 9:
Giải các BPT sau :
B
-
1
; 2 3;
2
Chú ý:
2n
+ +
1)
1
1
�
x 3 4x 6
2)
1
1
2x 3
x 1
(9)
(10)
Lời bàn: Do thói quen so sánh hai số tự nhiên và nghịch đảo của chúng
1 1
nên học sinh thường biến đổi A B A B . Bài toán này “bẫy” học sinh ở
điểm đó.
Lời giải sai :
.
( x 3)(4 x 6) �0
�
�
Bpt(9) ���۳
�x 3 �4 x 6
1)
3
�
�x �3; x �
2
�
�
3x �9
�
Vậy tập nghiệm của BPT là T =
2)
BPT (10)
3
�
�x �3; x �
2
�
�
�x �3
x 3
3;
2 x 3 0 x 1 0
3
x
x 1 0 2x 3 0 2
(2x 3)2 x 1 4x 13x 10 0
2x 3 x 1
2
3
x 2
x 5 x 2
4
x 2
Vây tập nghiệm của BPT (10) là T =
Lời giải đúng:
2 ;
x 3
1)Điều kiện 3
x 2
1
1
4x 6
Bpt(9) �x�۳۳
3
0
4 x 6 ( x 3)
( x 3)(4 x 6)
0
3( x 3)
( x 3)(4 x 6)
0
Lập bảng xét dấu:
x
-�
x-3
-
x+3
+
.
-3
3/2
-
0
3
+�
- 0
+
+
+
4x-6
-
-
0
+
+
VT
-
+
- 0
+
Dựa vào bảng xét dấu ta chọn nghiệm của bất phương trình là:
T =(-3;3/2) �[3; �)
2 x 3 0
3
1 x .
2) Điều kiện :
2
x
1
0
*Trường hợp 1: 1 < x
* Trường hợp 2:
x
3
2
3
2
BPT (10) luôn đúng .
. Khi đó cả 2x-3 và
BPT (10)
x 1
đều dương nên ta có :
2x 3 x 1
(2 x 3) 2 x 1
4x2 – 13x + 10
0
5
x x 2
4
Kết hợp với
x
3
2
được nghiệm
Vậy BPT có tập nghiệm T =
Chú ý
x 2
3
1; 2;
2
1
1
f ( x).g ( x) g ( x) f ( x) 0
f ( x) g ( x)
Ví dụ 10: Giải BPT : x x 2 x 2 x 3 x 4 x 5
(11)
Lời bàn: Giống như ví dụ 4 , ở hai vế của BPT(11) đều có nhân tử x- 1
trong căn và học sinh sẽ định hướng nhóm nhân tử x 1 bằng cách tách
A.B A . B khi A 0, B 0 và
A.B A. B .Cái
“bẫy” là ở chỗ này
2
2
2
A.B A . B khi A 0, B 0
.Học sinh nếu không vững kiến thức sẽ giải sai như sau :
.
x 2 x 2 0
x 2 x 1
2
Lời giải sai : Điều kiện : x 2 x 3 0 x 3 x 1
x 2 4 x 5 0
x 5 x 1
BPT (11)
( x 1)( x 2)
x 1
x 5
( x 1)( x 3) ( x 1)( x 5)
x 1 x2
x 1 x 3 x 1 x 5
x 2 x 3 x 5
2x 5 2 x 2 x 3 x 5
2 x 2 x 3 x
x 0
2
4
(
x
2
)(
x
3
)
x
x 0
2
3x 20x 24 0
x 0
10 2 7
10 2 7
x
3
3
10 2 7
10 2 7
x
3
3
So với điều kiện được
10 2 7
x 5
3
x 2 x 2 0
x 2 x 1
2
Lời giải đúng : Điều kiện : x 2 x 3 0 x 3 x 1
x 2 4 x 5 0
x 5 x 1
* Trường hợp 1: x = 1, thế vào BPT : 0
BPT
.
0 đúng
x 1
x 5
x = 1 là nghiệm của
* Trường hợp 2: x > 1.Khi đó
BPT (11) x 1 x 2
x 1 x 3 x 1 x 5
x 2 x 3 x 5
2x 5 2 x 2 x 3 x 5
2 x 2 x 3 x
* Trường hợp 3: x 5
BPT (11) x 1
x 2
. Vô nghiệm vì x > 1.
x 1 x 3 x 1 x 5
x 2 x 3 x 5
2 x 5 2 x 2 x 3 x 5
. Vô nghiệm vì x 5 .
Chú ý : Khi giải BPT A.B A.C A.D chú ý đến A.B A. B khi A 0, B 0 và
A.B A . B khi A 0, B 0 và sử dụng phương pháp phân khoảng để giải .
C. KẾT LUẬN:
1.KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Kiến thức về PT và BPT là kiến thức rất quan trọng của lớp 10 cũng
như trong chương trình toán THPT . Tôi và đồng nghiệp đã áp dụng đề tài
của mình trong các năm học 2011- 2012, 2012- 2013. Qua những năm áp
dụng đề tài trên để giảng dạy tôi thấy một số hạn chế và ưu điểm sau :
Về ưu điểm : Đa số học sinh đều có hứng thú “gỡ bẫy”, từ đó có
hứng thú học giải PT và BPT hơn, đồng thời nhớ kiến thức sâu hơn khi
mắc “bẫy” một lần.
Về hạn chế : Một số học sinh tư duy còn yếu nên việc “gỡ bẫy” còn
hạn chế.
Kết quả cụ thể trước và sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm :Sau
khi dạy chính khoá và phụ đạo bồi dưỡng chúng tôi cho học sinh làm một
bài kểm tra 15 phút . Kết quả như sau :
2 x 2 x 3 x
.
Trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm :
Năm học 2010- 2011
Lo
Giỏi
Khá
ại
Đối tượng
Trung
Yếu
bình
Không
dụng
lớp10G
áp
ở
1%
25%
50%
24%
Không
dụng
lớp10D
áp
ở
2%
24%
52%
22%
Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Năm học 2011- 2012
Lo
Giỏi
Khá
ại
Đối tượng
Trung
Yếu
bình
áp
dụng
không
thường
xuyên
ở
lớp10H
5%
32%
49%
14%
áp
dụng
thường
15%
34%
45%
6%
.
- Xem thêm -