SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LÊ HOÀN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ
MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG THÔNG QUA HOẠT
ĐỘNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG HÌNH CHÓP
Người thực hiện: Trần Thị Vân
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực môn: Toán
THANH HOÁ NĂM 2017
Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp
Mục lục
Trang
I. MỞ ĐẦU
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
Lí do chọn đề tài
Mục đích nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận
1/ Định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
2/ Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc
3
3
3
3
4
4
3/ Cách xác định khoảng cách từ điểm M đến (P) dựa vào
định nghĩa
4
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN
5
2.3. Giải pháp
1. Bài toán 1: Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng đi
qua đỉnh của hình chóp
5
2. Bài toán 2: Khoảng cách từ một điểm đến mặt đáy của hình
chóp
14
2.4. Hiệu quả của SKKN
16
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
17
3.2. Đề xuất
17
Tài liệu tham khảo
18
Danh mục các đề tài SKKN đã đạt giải
18
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn
2
Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp
I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng; khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau; khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, giữa đường
thẳng và mặt phẳng song song… là các bài toán chủ yếu trong chương III hình
học lớp 11. Việc giải các bài toán này, phần lớn là đưa về tính khoảng cách từ
một điểm đến một mặt phẳng. Vì vậy học sinh cần thành thạo kỹ năng tính
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Trên thực tế giảng dạy bộ môn Toán, với môn hình học không gian tôi thấy
các thực trạng sau:
- Theo phân phối chương trình hình học lớp 11, bài “Khoảng cách” chỉ gồm 2
tiết lí thuyết và 1 tiết bài tập, trong khi lượng bài tập liên quan đến các khái niệm
về khoảng cách tương đối nhiều và phong phú. Hơn nữa cũng ở bài học này,
việc áp dụng kiến thức vào làm bài toán tìm khoảng cách chỉ thông qua vài ví dụ
chung chung. Nếu chỉ dừng lại ở đó thì phần lớn học sinh sẽ không tự giải quyết
được các bài tập liên quan đến khoảng cách nói chung và tính khoảng cách từ
một điểm đến một mặt phẳng nói riêng.
- Nói đến bài tập tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, các em học
sinh có lực học ở mức độ trung bình khá cũng rất muốn thử sức. Tuy nhiên các
em còn e ngại vì khi tiến hành giải bị gặp khó khăn trong việc áp dụng định
nghĩa, định lí, phương pháp chung vào các tình huống cụ thể.
Từ năm học 2016-2017, môn toán đã được đổi sang hình thức thi trắc
nghiệm, việc hiểu và thuần thục các kỹ năng giải bài tập càng cần thiết hơn.
Vì vậy, tôi đã chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm
đến mặt phẳng thông qua hoạt động giải một số bài toán trong hình chóp”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Giúp học sinh lớp 11 và học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia có lực học
ở mức độ trung bình khá làm tốt bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một
mặt phẳng áp dụng trong hình chóp. Trên cơ sở đó, các em sẽ tiến tới làm được
bài toán này và các bài toán về tính khoảng cách nói chung trên các loại hình
khác như: hình lăng trụ, hình hộp…
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu, tổng kết một số kĩ năng tính khoảng cách từ một điểm
đến mặt phẳng đi qua đỉnh và mặt đáy của hình chóp.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1.Nghiên cứu lý luận dạy học.
2. Thực hành qua các tiết học tự chọn và ôn thi tốt nghiệp.
3. Tổng kết, đánh giá, đúc rút kinh nghiệm qua việc giảng dạy ở các năm.
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn
3
Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận
1/ Định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm M đến mặt
M
phẳng (P ) là khoảng cách giữa điểm
M và hình chiếu vuông góc H của
M trên mặt phẳng (P ) .
Khoảng cách từ điểm M đến mặt
phẳng (P ) kí hiệu là: d ( M ; ( P)) .
H
P
2/ Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc
Định lí:
Nếu hai mặt phẳng vuông góc
với nhau thì bất cứ đường
thẳng nào nằm trong mặt
phẳng này mà vuông góc với
giao tuyến sẽ vuông góc với mặt
phẳng kia.
a
Q
P
3/ Cách xác định khoảng cách từ điểm M đến (P) dựa vào định nghĩa
*Bước 1:Tìm một mp (Q) vuông góc với
(P ) và đi qua M .
*Bước 2: Xác định giao tuyến của
và (P ) .
M
(Q )
*Bước 3: Trong mp (Q) , dựng đường
thẳng MH vuông góc với tại H thì H
là hình chiếu vuông góc của M trên mp
(P ) , do đó d ( M ; ( P )) MH .
P
Q
H
Chú ý: Trong trường hợp việc tìm hình chiếu của M trên (P ) gặp khó khăn thì
ta có thể tính d ( M ; ( P)) theo khoảng cách từ một điểm N phù hợp đến (P )
dựa vào nhận xét sau:
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn
4
Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp
Trong không gian, cho hai điểm phân biệt
M,N
không thuộc mp (P ) :
M
M
N
H
K
N
P
Nếu
H K
MN ( P ) I
I
thì:
P
Nếu MN //
(P ) thì:
d ( M ; ( P)) d ( N ; ( P )) .
d ( M ;( P )) MI
MI
d ( M ;( P))
d ( N ;( P)) .
d ( N ;( P)) NI
NI
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Nhiều học sinh lớp 11 và học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia có lực
học ở mức độ trung bình khá khi giải quyết câu hỏi về tính khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng thì rất thuộc phương pháp chung nhưng lúng túng khi
áp dụng.
2.3. Giải pháp
Trong bài viết này tôi đã cụ thể hóa bài toán tính khoảng cách từ một điểm
đến một mặt phẳng thành 2 bài toán nhỏ trong hình chóp với 4 dạng thường gặp
sau, giúp các em dễ dàng tiếp thu và áp dụng.
Bài toán 1. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng đi qua đỉnh của hình chóp.
Dạng 1.1: Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng đi qua đỉnh của
hình chóp.
Dạng 1.2: Khoảng cách từ một điểm thuộc mặt đáy và khác chân đường cao
đến mặt đi qua đỉnh của hình chóp.
Dạng 1.3: Khoảng cách từ một điểm không thuộc mặt đáy đến mặt phẳng đi
qua đỉnh của hình chóp.
Bài toán 2. Khoảng cách từ một điểm đến mặt đáy của hình chóp.
Cụ thể:
1. BÀI TOÁN 1: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG
ĐI QUA ĐỈNH CỦA HÌNH CHÓP
(Trong bài này tôi chỉ xét mặt phẳng đi qua đỉnh và có giao tuyến với mặt đáy)
Dạng 1.1: Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng đi qua đỉnh của
hình chóp
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn
5
Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp
a/ Bài toán: Cho hình chóp S. ABCD có đường cao là SH . Xác định
khoảng
cách từ điểm H đến mặt phẳng đi qua đỉnh
(SBC ) .
S
b/ Phân tích:
Xét thấy (SBC ) và mặt đáy ( ABCD) có giao
tuyến là BC . Áp dụng phương pháp chung
ta thấy ở bước 1, để xác định một mặt phẳng
( Q ) qua H và vuông góc với (SBC ) ta xác
định ( Q ) qua H và vuông góc với giao
tuyến BC . Làm thế nào để xác định được (
Q ) ?.
K
A
B
D
I
H
C
c/ Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước như sau:
* Bước 1: .
- Xác định giao tuyến của mặt
- Trong mặt đáy
( ABCD ) ,
(SBC ) và
mặt đáy
( ABCD )
là BC
từ H dựng HI BC tại I (tùy từng trường
hợp có thể xác định vị trí của I ) nối SI , ta được ( SHI ) ( SBC )
- Trong mp (SHI ) , từ H dựng HK SI tại K ta được
d ( H ; ( SBC )) HK
Thật vậy: Vì SH BC và HI BC suy ra mp ( SHI ) BC ( SHI ) ( SBC )
Mà HK ( SHI ) , HK SI và SI (SHI ) ( SBC ) suy ra HK (SBC ) . Do đó
d ( H ; ( SBC )) HK
* Bước 2: Tính HK :
1
1
1
2
2
HK
HS
HI 2
vuông tại C , cạnh AB 2a
Thường là dựa vào tam giác vuông SHI :
Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác
và góc ABC 60 0 . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA a . Tính
theo a khoảng cách từ điểm A đến (SBC ) .
Hướng dẫn: Xét thấy (SBC ) là mặt đi qua đỉnh , ( SBC ) ( ABC ) BC . Khi
dựng AI BC , lưu ý cho học sinh xác định điểm I trong bài toán tổng quát là
điểm C của bài tập (thường học sinh nhầm là I khác C ).
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn
6
Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn
7
Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp
Giải:
S
K
A
B
C
* Đã có ( SBC ) ( ABC ) BC . Trong mp (SAC ) , dựng AK SC tại K , Ta
được: d ( A; ( SBC )) AK .
Thật vậy: Vì SA BC , AC BC (SAC ) (SBC ) , mà AK ( SAC ), AK SC và
( SBC ) ( SAC ) SC nên AK ( SBC ) suy ra d ( A; ( SBC )) AK
*Tính AK : Theo giả thiết ta có: ABC vuông tại C , cạnh AB 2a và góc
ABC 60 0 nên suy ra: AC a 3 . Tam giác SAC vuông tại A có AK là đường
cao nên
1
1
1
1
1
4
2 2 2
2
2
2
AK
AS
AC
a
3a
3a
Vậy :
d ( A; ( SBC ))
a 3
2
AK
a 3
2
.
.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , A 120 0 .
Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa mp (SCD ) và mp ( ABCD ) bằng 450.
Tính theo a khoảng cách từ A đến mp (SBD) .
Giải:
S
K
A
B
D
M
I
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn
C
8
Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp
* Đã có ( SBC ) ( ABCD) BC , trong ( ABCD ) dựng AI BD tại I ( I là trung
điểm của BD ), nối SI .Trong (SAI ) dựng AK SI tại K ta được
d ( A; ( SBD )) AK
* Tính AK :
- Xác định góc giữa mp (SCD ) và mp ( ABCD ) :
Vì ABCD là hình thoi cạnh a có A 120 0 nên B A C CAD 60 0 , suy ra ABC
và
ACD là các tam giác đều cạnh a .
Gọi M là trung điểm của cạnh CD , ta có CD AM nên CD SM (theo định lý
ba đường vuông góc) suy ra góc giữa mp (SCD ) và mp ( ABCD ) là góc giữa hai
đường thẳng AM , SM và bằng SAM
450 SA AM
a 3
.
2
- Tam giác SAI vuông tại A có AK là đường cao nên
1
1
1
4
4
16
a 3
AK
.
4
AK 2 AI 2 AS 2 a 2 3a 2 3a 2
Vậy :
d ( A; ( SBD ))
a 3
4
.
Ví dụ 3: (Trích Đề thi TNTHPT năm 2015)
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc
với mặt phẳng ( ABCD ), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD )
bằng 45 0 . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SB , AC .
Giải:
S
H
A
M
d
B
D
C
Ta có SCA ( SC , ( ABCD)) 450 suy ra SA AC a 2 .
* Qua B kẻ đường thẳng d song song với AC . Vì AC // mp ( SB, d ) nên
d ( AC ; SB ) d ( AC ; ( SB, d )) d ( A; ( SB, d )) .
* Xác định d ( A;( SB, d )) :
- Kẻ AM d tại M , ( AM // BD ), nối SM .
- Kẻ AH vuông góc SM tại H , ta được d ( A; ( SB, d )) AH .
* Tính AH :
Tam giác SAM vuông tại A có đường cao AH nên:
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn
9
Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp
1
1
1
5
a 10
2 AH
2
2
2
5
AH
AM
AS
2a
Vậy
d ( AC ; SB )
a 10
5
.
.
Bài tập vận dụng
Bài 1. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác
SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọi I , F lần lượt là
trung điểm của AB và AD . Tính theo a
a/ khoảng cách từ I đến mp (SFC ) .
b/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BD .
Đáp số: a/
b/
3a 2
8
a 15
d ( SA; BD )
.
5
d ( I ; ( SFC ))
.
Bài 2. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại
B , AB a , AA ' 2a , A ' C 3a . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A ' C ' ,
I là giao điểm của AM và A ' C . Tính theo a khoảng cách từ A đến mp
(IBC ) .
Đáp số:
d ( A; ( IBC ))
2a 5
5
.
Dạng 1.2: Khoảng cách từ một điểm thuộc mặt đáy và khác chân đường cao
đến mặt phẳng đi qua đỉnh của hình chóp.
a/ Bài toán: Cho hình chóp S. ABCD có đường cao SH . Lấy điểm M
thuộc mặt phẳng đáy sao cho M khác H . Xác định khoảng cách từ M đến mặt
đi qua đỉnh (SBC ) .
S
S
B
H
K
C
A
I
B
A
H
C
M
M
D
D
(Hình a)
(Hình b)
b/ Phân tích: Nối MH , xảy ra 2 trường hợp: nếu MH ( SBC ) H thì
( SBC ) SH (hình a); nếu MH //( SBC ) hoặc MH ( SBC ) I ; I H thì SH (SBC )
(hình b).
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn
10
Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp
- Nếu (SBC ) chứa đường cao SH thì qua M có sẵn mp ( ABCD) ( SBC ) dẫn
đến việc xác định d ( M ; ( SBC )) gặp thuận lợi.
- Nếu (SBC ) không chứa SH thì việc tìm hình chiếu của M trên (SBC )
khó
khăn. Trong trường hợp này để tìm d ( M ; ( SBC )) ta quy về tìm khoảng cách từ
chân đường cao H đến mặt bên ( SBC ).
c/ Phương pháp: Xác định đường cao SH , Nối MH để biết (SBC ) chứa
hay không chứa SH và vận dụng phương pháp phù hợp:
* Trường hợp 1: Nếu (SBC ) chứa SH ( MH ( SBC ) H ).
- Bước 1: Xác định ( ABCD) ( SBC ) BC
- Bước 2: Dựng MK BC tại K được d ( M ; ( SBC )) MK
Thật vậy: vì ( ABCD ) ( SBC ) , ( ABCD) (SBC ) BC và MK BC nên MK (SBC )
suy ra d ( M ; ( SBC )) MK .
* Trường hợp 2: Nếu (SBC ) không chứa SH ( MH //( SBC ) ) hoặc (
MH ( SBC ) I H ).
- Bước 1: Quy việc tính d ( M ; ( SBC )) về tính d ( H ; ( SBC )) .
+ Nếu MN //(SBC ) thì : d ( M ; ( SBC )) d ( H ; ( SBC ))
+ Nếu MH cắt
(SBC )
d ( M ; ( SBC )) MI
d ( H ; ( SBC ))
HI
ra d ( M ; ( SBC )) .
tại điểm I thì:
- Bước 2: Xác định và tính d ( H ; ( SBC )) suy
Ví dụ 1: (Trích đề minh họa THPT Quốc gia năm 2015)
Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AC 2a .
ACB 30 0 . Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm của
cạnh AC và SH a 2 . Tính theo a :
a/ Khoảng cách từ B đến mp (SAC ) .
b/ Khoảng cách từ C đến mp (SAB) .
Giải: Xét tam giác ABC vuông tại B , ta có: BC AC .cos ACB a 3 .
AB AC .sin ACB a .
S
a/
A
M
H
C
* Vì ( SAC ) SH nên ( ABC ) (SACB) . Kẻ BM AC tại M suy ra
Do đó d ( B; ( SAC )) BM .
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn
BM (SAC ) ,
11
Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp
* Trong ABC :
Vậy
1
1
1
1
1
4
2 2 2 BM a 3 .
2
2
2
2
BM
BA
BC
a
3a
3a
d ( B; ( SAC )) a 3
2
.
S
b/
K
H
A
C
I
B
* Ta có CH ( SAB) A và CA 2 HA d (C; ( SAB)) 2d ( H ; ( SAB)) .
* Xác định d ( H ; ( SAB)) : Trong ( ABC ) , kẻ HI AB tại I ( HI // BC ). Nối SI .
Trong (SHI ) , kẻ HK SI tại K . Ta được d ( H ; ( SAB)) HK .
* Tính HK : Xét SHI vuông tại H , HK là đường cao
ta có:
1
1
1
11
2 HK a 66
2
2
2
11
HK
HI
HS
6a
.
d (C ; ( SAB )) 2 HK 2a 66 .
11
Ví dụ 2: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và
D , SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết AB 2a , AD CD a , góc giữa hai
mặt phẳng (SBC ) và ( ABCD ) bằng 45 0 . Tính theo a khoảng cách từ điểm B
đến mặt phẳng (SCD ) .
Vậy:
Gợi ý:
* Từ giả thiết chứng minh được AC CB ,
SC CB suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SBC )
và ( ABCD) bằng SCA 45 0 , tính được SA .
* Vì AB //(SCD) nên d ( B; ( SCD)) d ( A; ( SCD)) .
* Gọi H là hình chiếu của A trên SD ,
chứng minh được AH là khoảng cách từ A
đến (SCD ) .
* Trong tam giác vuông SAD tính được AH .
Đáp số:
a 6
d ( B; ( SCD ))
3
.
S
H
I
A
D
B
C
Bài tập vận dụng
Bài 1. (Trích đề ĐH khối D-2011) Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam
giác vuông tại B , BA 3a, BC 4a ; mặt phẳng (SBC ) vuông góc với mặt phẳng
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn
12
Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp
( ABC ) .
Biết SB 2a
mặt phẳng (SAC ) .
3
Đáp số:
6a 7
7
d ( B; ( SAC ))
và
SBC 30 0 .
Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến
.
Bài 2. (Trích đề ĐH khối B-2014) Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là
tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của A ' trên mặt phẳng ( ABC ) là
trung điểm cạnh AB , góc giữa đường thẳng A ' C và mặt đáy bằng 60 0 .Tính
theo a khoảng cách từ điểm B đến mp( ACC ' A ' ).
Đáp số:
d ( B; ( ACC ' A ' ))
3a 13
13
.
Bài 3. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A
và B , BC 2 AB 2 AD 2a . Gọi E là điểm đối xứng với A qua D , M là
trung điểm của BC . Biết rằng cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng đáy, góc
giữa hai mặt phẳng ( SCE ) và ( ABCD ) bằng 45 0 .Tính theo a khoảng cách
giữa hai đường thẳng AM , SD .
Đáp số:
d ( AM ; SD)
a 3
3
.
Dạng 1.3: Khoảng cách từ một điểm không thuộc mặt đáy đến mặt phẳng
đi qua đỉnh của hình chóp.
a/ Bài toán: Cho hình chóp S. ABCD , M là điểm thuộc mp (SAD) và M
khác S , M ( ABCD) . Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC ) .
b/ Phân tích: Để tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC ) ta quy về
tính cách từ một điểm thuộc mặt đáy ( ABCD ) đến (SBC ) . Làm thế nào để tìm
ra điểm đó?
S
.
M
A
N
B
H
D hành theoCcác bước sau:
c/ Phương pháp: Có thể tiến
*Bước 1: Nối SM cắt
( ABCD )
tại N , suy ra liên hệ:
d ( M ; ( SBC )) MS
d ( N ; ( SBC ))
NS
.
*Bước 2: Tính khoảng cách từ N đến (SBC ) suy ra tính được
d ( M ; ( SBC )) .
Ví dụ : Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có độ dài cạnh đáy bằng a 3 , độ
dài cạnh bên bằng 2a . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC , H là hình
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn
13
Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp
chiếu vuông góc của G trên SA . Tính theo a khoảng cách từ điểm H đến mặt
phẳng (SBC ) .
Hướng dẫn: Xét thấy SH ( ABC ) A , để tính khoảng cách từ H đến mp (SBC )
ta dựa vào khoảng cách của điểm A đến (SBC ) ?.
Giải:
S
H
P
A
C
G
M
B
Vì S. ABC là hình chóp tam giác đều nên SG là đường cao của hình chóp.
SH SG 2
* Xét
: SA.SH SG
.
SA SA2
2 a 3 3 2
Mà SG 2 SA2 AG 2 4a 2 ( .
) 3a 2 .
3
2
3
SH SG 2 3
nên d ( H ; ( SBC )) 4 d ( A; ( SBC )) , (1) .
2
SA SA
4
d
(
A
;(
SBC ) :
* Xác định
Gọi M là trung điểm của cạnh BC ta có AG 2GM suy ra
SAG
2
d ( A; ( SBC )) 2d (G; ( SBC )) ,
(2). Từ (1) và (2):
d ( H ; ( SBC ))
3
d (G; ( SBC )) .
2
* Tính d (G; ( SBC ))
Vì M là trung điểm của BC suy ra GM BC , nối SM . Trong
GP SM tại P , ta được d (G; ( SBC )) GP .
Trong SGM :
1
1
1
1
4
13
3 a 39
2 2 2 GP a
2
2
2
13
13
GP
SG
GM
3a
a
3a
Vậy
d ( H ; ( SBC ))
3a 39
26
(SGM )
kẻ
.
.
Bài tập vận dụng.
Bài 1. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a .
Cạnh bên SA a 2 , SA vuông góc với đáy. Gọi H là hình chiếu vuông góc
của A trên SB , G là trọng tâm tam giác SAB . Tính theo a
a/ Khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn
(SCD ) .
14
Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp
Đáp số:
d ( H ; ( SBC ))
2a 6
9
.
b/ Khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng
Đáp số:
d (G; ( SAC ))
a 2
6
(SAC ) .
.
2. BÀI TOÁN 2: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT ĐÁY CỦA
HÌNH CHÓP
a/Bài toán: Cho hình chóp S. ABCD , lấy điểm M bất kỳ thuộc mặt (SBC )
sao cho M không trùng với các điểm S , B, C . Xác định khoảng cách từ điểm M
đến mp ( ABCD) .
b/ Phân tích: Vì d ( S ; ( ABCD)) SH nên để tính
SH .
d ( M ; ( ABCD)) ta
dựa vào
S
c/ Phương pháp:Tiến hành theo các bước như sau:
* Bước 1: Dựng đường cao SH của hình chóp.
* Bước 2:
-Trong (SBC ) có chứa M , nối SM cắt mp ( ABCD) tại
I (tùy vào hình mà có thể chính xác hóa vị trí I ).
A
- Nối HI .
d ( M ; ( ABCD)) MI
-Tìm liên hệ :
.
SH
SI
* Bước 3: Tính SH suy ra d ( M ; ( ABCD)) .
D
M
B
H
N
I
C
Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a 2 , cạnh bên
bằng a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SBC , tính khoảng cách từ G đến mp
( ABCD ) .
Giải :
+ Gọi O là giao điểm của AC và BD . Do S. ABCD là hình chóp tứ giác
đều
nên SO ( ABCD ) .
+ Nối SG cắt BC tại N (Do SBC là tam giác cân tại S nên N là trung
điểm
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn
15
Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp
của BC ). Vì
GN
1
SN
3
1
3
nên d (G; ( ABCD)) SO
a 2
.
3
S
G
A
B
+ Ta có: SB a 3 , OB
Vậy
P N
C
O
D
BD a 2. 2
a , SO SB 2 OB 2 a 2
2
2
d (G; ( ABCD ))
a 2
3
.
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có AB a , góc giữa
đường thẳng A ' C và mp ( ABC ) bằng 45 0 . Gọi G là trọng tâm của tam giác
A ' BC . Tính khoảng cách từ G đến mp ( ABC ) .
Hướng dẫn: Xét thấy ( ABC ) là mặt đáy của hình chóp A ' . ABC với đường cao
A ' A . Áp dụng phương pháp trên ta có lời giải sau:
Giải:
A
B’
’
C’
G
A
G
’
B
I
C
+ Vì ABC. A ' B ' C ' là hình lăng trụ tam giác đều nên
đường cao của hình chóp A ' . ABC .
+ Ta có G
d (G;( ABC )
thuộc trung tuyến
A' I
A ' A ( ABC )
của A' BC
và
GI
tức A' A là
1 '
AI
3
nên
1 '
AA
3
+ Tính A' A : Góc giữa A ' C và
( ABC )
là góc
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn
A ' CA
suy ra
A ' CA 45 0 .
16
Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp
Vì
A ' CA 45 0
Vậy :
nên cạnh A ' A AC AB a .
d (G; ( ABC ))
a
.
3
Bài tập vận dụng
Bài 1. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a . Tam giác
SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi G là
trọng tâm tam giác SCD . Tính theo a khoảng cách từ G đến mp ( ABCD) .
Đáp số: d (G; ( ABCD ))
a 3
.
6
Bài 2. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết diện tích
đáy bằng 2a 2 , AD a , SAB là tam giác đều và nằm trên mặt phẳng vuông góc
với đáy. Gọi M là trung điểm của SC . Tính theo a khoảng cách từ M đến
mặt phẳng ( ABCD ) .
Đáp số: d ( M ;( ABCD))
a 3
.
6
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Tôi áp dụng phương pháp trên ở 2 nhóm học sinh có học lực môn Toán
học tương đương nhau thông qua việc, kiểm tra 15 phút, kiểm tra 1 tiết, kết quả
thu được như sau:
- Nhóm không sử dụng phương pháp trên (nhóm đối chứng):
Lớp
Sĩ số
11A4
12A5
45
44
Đạt yêu cầu
Số lượng
%
17
37.7
15
34.09
Không đạt yêu cầu
Số lượng
%
28
62.3
29
65.91
- Nhóm thực nghiệm (có sử dụng phương pháp mới)
Lớp
Sĩ số
11A8
12A7
44
44
Đạt yêu cầu
Số lượng
%
39
88.63
40
90.0
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn
Không đạt yêu cầu
Số lượng
%
5
11.37
4
10.0
17
Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Đề tài đã giải quyết được các vấn đề sau:
1. Đề tài đã chỉ ra được cách khắc phục khó khăn trong việc áp dụng kiến
thức hình không gian của một lớp đối tượng học sinh vào giải các bài toán về
tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
2. Đề tài đã chỉ ra hướng đi nhằm đơn giản các đơn vị kiến làm cho học
sinh tiếp thu kiến thức nhẹ nhàng hơn, dễ hiểu hơn.
3. Đề tài được dùng trong những tiết luyện tập để nâng cao kết quả hoạt
động giáo dục.
4. Thông qua việc tìm ra bài toán gốc, việc tổng quát bài toán, việc tạo ra
bài toán mới, dần dần hình thành cho các em khả năng làm việc độc lập, sáng
tạo, phát huy tối đa tính tích cực của học sinh theo đúng tinh thần phương pháp
mới của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Điều quan trọng là tạo cho các em niềm tin,
hứng thú khi học tập bộ môn.
3.2. Kiến nghị
Mặc dù đề tài này tôi nghiền ngẫm, đúc rút kinh nghiệm và vận dụng trong
giảng dạy ở nhiều năm, cũng đã giúp được những điều bổ ích cho học sinh học
tập tốt hơn. Xong chắc chắn còn phải tiếp tục được hoàn thiện, bổ sung thêm.
Vậy tôi rất mong được sự góp ý chân tình của các đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh hoá, ngày 01 tháng 06 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)
Trần Thị Vân
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn
18
Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1/ Sách hình học nâng cao lớp 11
2/ Đề thi TNTHPT Quốc gia Quốc gia năm 2015
3/ Đề minh họa THPT Quốc gia Quốc gia năm 2015
4/ Đề đại học khối D-2011
5/ Đề đại học khối B-2014
DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ
CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Trần Thị Vân
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên - Trường THPT Lê Hoàn
TT
Tên đề tài SKKN
Kết quả
Cấp đánh
đánh giá
giá xếp loại
xếp loại
(Phòng, Sở,
(A, B,
Tỉnh...)
hoặc C)
Năm học
đánh giá xếp
loại
1.
2.
3.
4.
5.
...
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn
19
- Xem thêm -