Tài liệu Rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp hàm số cho học sinh lớp 12

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH PHÚ THỌ TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG PHẠM CAO CƯỜNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ CHO HỌC SINH LỚP 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán Phú Thọ, năm 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH PHÚ THỌ TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG PHẠM CAO CƯỜNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ CHO HỌC SINH LỚP 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán Mã số: 8140111 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS. TS. Bùi Văn Nghị Phú Thọ, năm 2021 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn là trung thực và chƣa ai công bố trong bất kì công trình nào khác. Việt Trì, tháng 7 năm 2021 Tác giả luận văn Phạm Cao Cường ii LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn tới Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Giảng viên, Khoa Khoa học Tự nhiên trƣờng Đại học Hùng Vƣơng đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện đề tài. Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo và các em học sinh trƣờng THPT Tam Nông, THPT Hƣng Hóa, THPT Mỹ Văn tỉnh Phú Thọ đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến GS. TS. Bùi Văn Nghị - ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ để tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc đến gia đình, ngƣời thân, các bạn đồng nghiệp, những ngƣời luôn động viên, khuyến khích và giúp đỡ về mọi mặt để tôi có thể hoàn thành công việc nghiên cứu của mình. Việt Trì, tháng 7 năm 2021 Tác giả luận văn Phạm Cao Cường iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ....................................................................................................... i LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................ ii MỤC LỤC ................................................................................................................. iii DANH MỤC BẢNG ...................................................................................................v DANH MỤC BIỂU ĐỒ ............................................................................................ vi DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ...................................................................... vii MỞ ĐẦU .....................................................................................................................1 1. Lí do chọn đề tài ......................................................................................................1 2. Tổng quan nghiên cứu .............................................................................................3 3. Mục đích nghiên cứu ...............................................................................................4 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ...........................................................................4 5. Giả thuyết khoa học ................................................................................................4 6. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài ..............................................................................4 7. Phƣơng pháp tiến hành nghiên cứu .........................................................................5 8. Những đóng góp mới của luận văn .........................................................................6 9. Cấu trúc luận văn.....................................................................................................6 CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .....................................................7 1.1. Kỹ năng và kỹ năng giải toán ...............................................................................7 1.1.1. Khái niệm kỹ năng, kỹ năng giải toán ..............................................................7 1.1.2. Phân loại kỹ năng, sự hình thành kỹ năng giải toán .........................................8 1.1.3. Điều kiện để có kỹ năng ....................................................................................9 1.1.4. Các mức độ của kỹ năng giải toán ....................................................................9 1.2. Dạy học giải toán .................................................................................................9 1.2.1. Vị trí vai trò của bài tập toán .............................................................................9 1.2.2. Phƣơng pháp giải bài toán ...............................................................................10 1.3. Giải bài toán bằng phƣơng pháp hàm số ............................................................11 1.3.1. Mục tiêu và nhiệm vụ của dạy học giải toán bằng phƣơng pháp hàm số cho học sinh lớp 12 THPT ...............................................................................................11 1.3.2. Phƣơng pháp giải toán bằng hàm số ...............................................................12 iv 1.4. Khảo sát thực tiễn dạy học giải các bài toán bằng phƣơng pháp hàm số ..........13 1.4.1. Mục đích, đối tƣợng, hình thức, nội dung khảo sát ........................................13 1.4.2. Kết quả khảo sát giáo viên ..............................................................................13 1.4.3. Kết quả khảo sát 100 học sinh ........................................................................17 1.4.4. Một số khó khăn và sai lầm của học sinh trong giải toán lớp 12 ....................20 Chƣơng 2: BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH BẰNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ ..........................................................................24 2.1. Định hƣớng.........................................................................................................24 2.2. Biện pháp rèn luyện ...........................................................................................24 2.3. Nội dung rèn luyện .............................................................................................25 2.3.1. Rèn luyện kỹ năng giải toán về phƣơng trình (tìm điều kiện có nghiệm, biện luận về số nghiệm của phƣơng trình) bằng phƣơng pháp hàm số ............................25 2.3.2. Rèn luyện kỹ năng tìm GTLN – GTNN của biểu thức đại số hoặc hình học bằng phƣơng pháp hàm số ........................................................................................39 2.3.3. Rèn luyện kỹ năng giải bất phƣơng trình, điều kiện có nghiệm của bất phƣơng trình bằng phƣơng pháp hàm số ................................................................................68 Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ..................................................................83 3.1. Mục đích, nội dung thực nghiệm sƣ phạm .........................................................83 3.1.1. Mục đích thực nghiệm sƣ phạm .....................................................................83 3.1.2. Nội dung thực nghiệm sƣ phạm ......................................................................83 3.2. Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm ...........................................................................83 3.2.1. Thời gian thực nghiệm sƣ phạm .....................................................................83 3.2.2. Đối tƣợng thực nghiệm sƣ phạm ....................................................................83 3.3. Đề kiểm tra sau thực nghiệm .............................................................................84 3.4. Kết quả thực nghiệm sƣ phạm............................................................................88 3.4.1. Đánh giá định tính ...........................................................................................88 3.4.2. Đánh giá định lƣợng ........................................................................................92 3.4.3. Đánh giá chung kết quả thực nghiệm..............................................................94 KẾT LUẬN ...............................................................................................................96 v DANH MỤC BẢNG Bảng 1.1. Kết quả điều tra nhận thức của GV về ý nghĩa và tầm quan trọng của việc rèn luyện kỹ năng giải toán .......................................................................................13 Bảng 1.2. Điều tra về tính hiệu quả khi sử dụng “phƣơng pháp hàm số” để giải các dạng toán có liên quan...............................................................................................15 Bảng 1.3. Tổng hợp nhận thức của HS về vai trò, tác dụng của rèn luyện kỹ năng giải toán .....................................................................................................................17 Bảng 1.4. Những khó khăn của HS khi học tập giải toán bằng phƣơng pháp hàm số ...................................................................................................................................19 Bảng 3.1. So sánh mức độ học lực hai lớp (kiểm tra học kì I năm học 2020-2021)84 Bảng 3.2. Kết quả kiểm tra trƣớc khi thực nghiệm (kết quả bài thi học kì I) ...........93 Bảng 3.3. Kết quả kiểm tra sau khi thực nghiệm (kết quả bài kiểm tra 45 phút) .....93 vi DANH MỤC BIỂU ĐỒ Biểu đồ 1.1. Tần suất vận dụng phƣơng pháp hàm số vào giải toán trong quá trình giảng dạy của GV ......................................................................................................14 Biểu đồ 1.2. mức độ hiệu quả khi sử dụng “phƣơng pháp hàm số” để giải toán ......16 Biểu đồ 1.3. Mức độ cần thiết của việc rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phƣơng pháp hàm số...............................................................................................................18 Biểu đồ 1.4. Khả năng vận dụng phƣơng pháp hàm số để giải toán của HS ............18 Biểu đồ 1.5. Những khó khăn của HS khi học tập giải toán bằng phƣơng pháp hàm số. ..............................................................................................................................19 Biểu đồ 3.1: Kết quả kiểm tra trƣớc khi thực nghiệm...............................................93 Biểu đồ 3.2. Kết quả kiểm tra sau khi thực nghiệm ..................................................94 vii DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Viết đầy đủ Viết tắt GV Giáo viên HS Học sinh THPT Trung học phổ thông ĐH Đại học ĐHSP Đại học sƣ phạm GTLN – GTNN Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất SBT Sách bài tập GT Giải tích PT Phƣơng trình BPT Bất phƣơng trình BĐT Bất đẳng thức TN Thực nghiệm ĐC Đối chứng TNSP Thực nghiệm sƣ phạm TTCM Tổ trƣởng chuyên môn TTN Trƣớc thực nghiệm STT Sau thực nghiệm SL Số lƣợng MĐ Mức độ HKI Học kì I HT Học tập XH Xã hội 1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài 1.1. Yêu cầu mới về giáo dục trong giai đoạn hiện nay Một mục tiêu rất quan trọng của giáo dục phổ thông là trang bị tri thức, rèn luyện kỹ năng, phát triển tƣ duy cho học sinh. “Giáo dục phổ thông nhằm phát triển toàn diện cho người học về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ, kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo; hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho người học tiếp tục học chương trình giáo dục đại học, giáo dục nghề nghiệp hoặc tham gia lao động, xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”. (Luật giáo dục số 43/2019/QH14 của Quốc hội Việt Nam) Đặc biệt, mục tiêu giáo dục trung học phổ thông “Nhằm trang bị kiến thức công dân; bảo đảm cho học sinh củng cố, phát triển kết quả của giáo dục trung học cơ sở, hoàn thiện học vấn phổ thông và có hiểu biết thông thường về kỹ thuật, hướng nghiệp; có điều kiện phát huy năng lực cá nhân để lựa chọn hướng phát triển, tiếp tục học chương trình giáo dục đại học, giáo dục nghề nghiệp hoặc tham gia lao động, xây dựng và bảo vệ Tổ quốc.” (Điều 29) Nhằm phát triển giáo dục với mục tiêu là đào tạo con ngƣời Việt Nam phát triển toàn diện, có tri thức, phẩm chất tốt, Đảng và Nhà nƣớc đã ra nhiều chủ trƣơng, chính sách để nền giáo dục nƣớc nhà có những chuyển biến đáp ứng đƣợc với sự kì vọng của nhân dân. 1.2. Mục tiêu đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường phổ thông Trong cuộc sống hiện tại chúng ta đang phải đối đầu với nhiều vấn đề thực tế mà đòi hỏi phải dùng kiến thức và kỹ năng Toán học để giải quyết, bằng những ứng thực tế của toán học mà con ngƣời đã giải quyết đƣợc những điều đó để góp phần thúc đẩy xã hội phát triển. Môn Toán ở trƣờng trung học phổ thông góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực Toán học cho học sinh; phát triển kiến thức, kỹ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh đƣợc trải nghiệm. 2 Hiện nay phong trào đổi mới phƣơng pháp dạy và học đang diễn ra sâu rộng ở tất cả các bậc học và cấp học. Ngƣời giáo viên dạy Toán có nhiệm vụ là phải rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh. Nếu học sinh không có kỹ năng giải toán thì bản thân học sinh sẽ không có năng lực thực hành. Trong dạy học ở trƣờng THPT, tất cả các môn học đều giúp các em học sinh phát triển toàn diện về bản thân, trong đó môn toán đƣợc coi là một trong những môn học giúp phát triển trí tuệ và tƣ duy lôgic. Khi học Toán các em học sinh phải hoạt động giải toán, đây chính là cơ hội tốt để học sinh đƣợc bộc lộ và phát triển khả năng tƣ duy sáng tạo của mình. 1.3. Rèn luyện kỹ năng giải toán nói chung, giải toán bằng phương pháp hàm số nói riêng cho học sinh lớp 12 là nhiệm vụ quan trọng và cần thiết. Trong chƣơng trình giải tích 12 trung học phổ thông: Hàm số và ứng dụng đạo hàm giữ vai trò chủ đạo, có số tiết khá lớn trong môn toán và bằng phƣơng pháp hàm số giải quyết đƣợc khá nhiều dạng toán ra thi trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp và thi THPT Quốc gia. Phƣơng pháp sử dụng hàm số để giải phƣơng trình, bất phƣơng trình mũ, lôgarit, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, đƣợc bổ sung khi học sinh có đủ kiến thức về đạo hàm. Tuy nhiên trong chƣơng trình giải tích 12 bài tập dạng này không nhiều. Chƣơng trình môn Toán của cấp THPT gồm rất nhiều chủ đề, mỗi chủ đề có rất nhiều dạng toán, số lƣợng bài tập của mỗi dạng khá nhiều. Học sinh cần phải biết hết các dạng bài tập, nhìn nhận về phƣơng pháp giải chung cho từng dạng. Mỗi dạng bài tập lớn đều có phƣơng pháp và kỹ thuật giải khác nhau, đặc biệt là các dạng bài toán về phƣơng trình và bất phƣơng trình mũ, lôgarit, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và cực trị hình học trong không gian. Học sinh sẽ dễ mắc sai lầm trong lập luận trình bày và đa số các em học sinh đều chƣa có kỹ năng thành thạo để giải phƣơng trình và bất phƣơng mũ, lôgarit, GTLN – GTNN của hàm số và các bài toán về cực trị hình học trong không gian bằng phƣơng pháp hàm số. Trong khi đó, những năm gần đây các đề thi THPT Quốc gia, đề thi học sinh giỏi các cấp luôn luôn có dạng bài tập về phƣơng trình bất phƣơng trình, tìm giá trị nhỏ nhất, giá 3 trị lớn nhất, trong đó có rất nhiều bài tập đƣợc giải bằng phƣơng pháp hàm số. Trong chƣơng trình giải tích 12 THPT trong nội dung phƣơng trình, bất phƣơng trình, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số... giữ vai trò quan trọng, có số tiết khá lớn trong môn toán, dùng phƣơng pháp hàm số có thể giải quyết các vấn đề đó một cách nhẹ nhàng, ngắn gọn và dễ hiểu cho học sinh. Từ những lí do trên và từ kinh nghiệm giảng dạy, nghiên cứu sâu về chuyên đề phƣơng pháp hàm số trong giải toán của bản thân, đề tài đƣợc chọn là: “Rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp hàm số cho học sinh lớp 12”. 2. Tổng quan nghiên cứu Đã có một số luận văn, khóa luận với đề tài về vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua các nội dung toán nhƣ tích phân, đạo hàm, phƣơng pháp vectơ, phép biến hình... Đã có một số luận văn với các đề tài liên quan đến sử dụng phƣơng pháp hàm số trong giải Toán nhƣ: + Luận văn Thạc sĩ của Hoàng Trung Hiếu (2014) về “Dạy học giải toán phƣơng trình, bất phƣơng trình bằng phƣơng pháp hàm số ở THPT”, trƣờng ĐHSP – ĐH Thái Nguyên [10]. + Luận văn Thạc sĩ của Nguyễn Trung Sỹ (2015) về “Sử dụng phƣơng pháp hàm số để chứng minh bất đẳng thức”, trƣờng Đại học Khoa học – ĐH Thái Nguyên [26]. + Luận văn Thạc sĩ của Vũ Thị Thùy Hƣơng (2015) về “Rèn luyện kỹ năng giải phƣơng trình và bất phƣơng trình bằng phƣơng pháp hàm số”, trƣờng Đại học Giáo dục – ĐH Quốc gia Hà Nội [11]. Lí luận về rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong dạy học môn toán có thể kể đến các tài liệu [19], [17], [28] của các tác giả Bùi Văn Nghị (2009, 2017), Nguyễn Bá Kim (2004, 2017), Nguyễn Cảnh Toàn (2002). Ngoài ra có thể kể đến một số sách tham khảo [9], [14] của Nguyễn Đại Dƣơng, Đoàn trí Dũng (2016) về Phƣơng pháp hàm số, Tƣ duy giải bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất; của Phan Huy Khải (2013) về phƣơng pháp giải toán trọng tâm, các bài giảng luyện thi Tốt nghiệp – Đại học – Cao Đẳng. 4 3. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu là đề xuất đƣợc một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phƣơng pháp hàm số cho học sinh lớp 12, thông qua các hoạt động phân tích, tổng hợp, vận dụng vào giải các dạng toán về phƣơng trình và bất phƣơng trình, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, cực trị hình học. Từ đó góp phần phát triển tƣ duy lôgic, các hoạt động trí tuệ và tính sáng tạo cho học sinh. 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu + Đối tƣợng nghiên cứu là những biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phƣơng pháp hàm số cho học sinh lớp 12. + Khách thể nghiên cứu: là quá trình dạy học môn Toán ở trƣờng THPT. + Phạm vi nghiên cứu - Phạm vi về nội dung: Nghiên cứu những kỹ năng giải các bài tập về phƣơng trình, bất phƣơng trình, hệ phƣơng trình, giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức đại số, hình học bằng phƣơng pháp hàm số cho học sinh lớp 12 THPT. - Phạm vi thời gian: Trong khoảng thời gian từ tháng 04 năm 2020 đến tháng 04 năm 2021. - Phạm vi về khách thể khảo sát: Khảo sát thực trạng và tổ chức thực nghiệm đƣợc thực hiện tại trƣờng THPT Tam Nông, trƣờng THPT Hƣng Hóa, trƣờng THPT Mỹ Văn tỉnh Phú Thọ. 5. Giả thuyết khoa học Trên cơ sở lí luận của phƣơng pháp dạy học môn Toán và thực tiễn dạy học ở trƣờng phổ thông, nếu thực hiện và vận dụng các biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phƣơng pháp hàm số cho học sinh lớp 12 nhƣ đã đề xuất trong luận văn, thì sẽ rèn luyện đƣợc cho học sinh kỹ năng sử dụng hàm số để giải một số dạng toán thƣờng hay gặp trong chƣơng trình THPT, góp phần khắc phục những yếu kém của học sinh, đồng thời cho các em sự hứng thú trong học tập, nâng cao chất lƣợng dạy học môn Toán lớp 12 THPT. 6. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài - Nghiên cứu lí luận về rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phƣơng pháp hàm 5 số cho học sinh lớp 12 THPT. Đề xuất một số kỹ năng thành phần của kỹ năng giải toán bằng phƣơng pháp hàm số vào giải toán ở trƣờng THPT và việc rèn luyện kỹ năng trong dạy học giải toán. - Khảo sát thực tiễn dạy học giải các bài toán bằng phƣơng pháp hàm số, phân tích những khó khăn và sai lầm của học sinh thƣờng mắc khi sử dụng phƣơng pháp hàm số để giải toán. - Đề xuất một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phƣơng pháp hàm số cho học sinh lớp 12 THPT. - Thực nghiệm sƣ phạm và đánh giá tính khả thi, hiệu quả của những biện pháp đã đề xuất. 7. Phƣơng pháp tiến hành nghiên cứu 7.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận: - Nghiên cứu và phân tích các tài liệu về lí luận dạy học, sách giáo khoa, sách giáo viên, các tài liệu tham khảo liên quan đến đề tài. - Nghiên cứu nội dung, cấu trúc chủ đề: Giải toán bằng phƣơng pháp hàm số cho học sinh lớp 12. 7.2. Phương pháp điều tra – khảo sát: - Dùng phiếu khảo GV toán và HS lớp 12 tại các trƣờng THPT trên địa bàn huyện Tam Nông tỉnh Phú Thọ xung quanh việc rèn luyện các kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học về phƣơng trình, bất phƣơng trình, giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức đại số hoặc hình học ở trung học phổ thông; chất lƣợng của học sinh lớp thực nghiệm và lớp đối chứng. - Trao đổi trực tiếp với học sinh để nắm đƣợc mức độ cần thiết của việc rèn luyện kỹ năng. - Dùng phiếu khảo sát học sinh để thấy đƣợc trình độ khả năng tiếp thu và khả năng vận dụng các phƣơng pháp hàm số để giải toán, áp dụng vào các bài toán có mức độ vận dụng và vận dụng cao. 7.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy học thực nghiệm sƣ phạm tại trƣờng THPT Tam Nông – huyện Tam Nông – tỉnh Phú Thọ để kiểm nghiệm tính khả thi, tính hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất trong dạy học giải toán bằng 6 phƣơng pháp hàm số. 8. Những đóng góp mới của luận văn 8.1. Về lý luận - Hệ thông hóa đƣợc cơ sở lý luận về dạy học rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh lớp 12 tại trƣờng THPT Tam Nông - huyện Tam Nông - tỉnh Phú Thọ - Cụ thể hóa những kỹ năng cần thiết giải toán lớp 12 bằng phƣơng pháp hàm số nhằm rèn luyện cho học sinh. - Xây dựng đƣợc một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phƣơng pháp hàm số cho học sinh lớp 12. 8.2. Về thực tiễn - Đánh giá đƣợc một phần thực trạng về kỹ năng giải toán của học sinh, kỹ năng giải toán bằng phƣơng pháp hàm số trong các bài toán về phƣơng trình, bất phƣơng trình, GTLN – GTNN của biểu thức đại số, hình học, những thuận lợi và khó khăn của giáo viên và học sinh. - Kết quả nghiên cứu có thể là tài liệu tham khảo hữu ích đối với GV và HS trong dạy học rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phƣơng pháp hàm số cho học sinh lớp 12. 9. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3 chƣơng Chƣơng 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn. Chƣơng 2. Biện pháp rèn luyện kỹ năng giải Toán cho học sinh bằng phƣơng pháp hàm số. Chƣơng 3. Thực nghiệm sƣ phạm. 7 CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Kỹ năng và kỹ năng giải toán 1.1.1. Khái niệm kỹ năng, kỹ năng giải toán a) Kỹ năng Theo Từ điển Hán Việt “Kỹ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn” trong đó khả năng đƣợc hiểu là “Sức đã có (về mặt nào đó) để có thể làm tốt một việc gì”.[1, tr.548] Từ điển Tiếng Việt “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế”. [32, tr.426] Theo giáo trình tâm lý học đại cƣơng “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính, bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định”. [3, tr.149] “Nói đến kỹ năng là nói đến cách thức, thủ thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt tới mục đích đã định. Cơ sở của kỹ năng là kiến thức. Người có kỹ năng thực hiện một hành động nào đó phải biết vận dụng những khái niệm và những kiến thức đã lĩnh hội được vào giải quyết những nhiệm vụ cụ thể; phải biết tri thức một cách đúng đắn và hợp lí, phù hợp với mục tiêu của hành động”. [11, tr.16] b) Kỹ năng giải toán Kỹ năng giải toán là kỹ năng vận dụng các tri thức toán học để giải các bài tập toán học (bằng suy luận, chứng minh…). Kỹ năng giải toán cũng dựa trên cơ sở tri thức toán học, do đó khi nói đến kỹ năng giải toán thì gắn liền với nó là phƣơng pháp toán học nhằm hình thành và rèn luyện những kỹ năng đó. Kỹ năng dựa trên cơ sở lý thuyết đó là kiến thức. Tri thức là cơ sở của kỹ năng. Kỹ năng và tri thức thống nhất trong hoạt động. Kỹ năng giải toán dựa trên cơ sở tri thức toán học (bao gồm kiến thức, kỹ năng, phƣơng pháp). Do đó nói đến kỹ năng sử dụng đạo hàm để giải toán không thể tách rời phƣơng pháp toán học nhằm hình thành và rèn luyện những kỹ năng tính toán đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm để giải toán phƣơng trình bất phƣơng 8 trình và chứng minh bất đẳng thức. 1.1.2. Phân loại kỹ năng, sự hình thành kỹ năng giải toán a) Phân loại kỹ năng Kỹ năng giải toán có thể phân loại chi tiết nhƣ sau: + Kỹ năng phát hiện vấn đề: Phát hiện đƣợc điều kiện đặt ra của bài toán, bài toán yêu cầu giải quyết vấn đề gì. Đối với các bài toán có tính chất là một vấn đề thì việc phân tích làm rõ các thành phần, mối liên hệ qua các yếu tố của bài toán là hết sức quan trọng. + Kỹ năng định hƣớng và xác định đƣờng lối giải: Việc xác định đƣờng lối giải một bài toán trƣớc hết là xác định đúng thể loại bài toán. Mỗi bài toán tuy nằm trong một thể loại nào đó nhƣng lại có những cái riêng biệt của nó. Vì thế ngƣời giải toán phải nắm vững các đƣờng lối chung, phát hiện đúng cái riêng của mỗi bài toán để chọn đƣờng lối thích hợp nhất. + Kỹ năng chọn lựa phƣơng pháp và công cụ: Kỹ năng này thể hiện qua việc xác định các phƣơng pháp và công cụ cũng nhƣ các phép biến đổi mang tính chất kỹ thuật. + Kỹ năng liên tƣởng, liên hệ các bài toán liên quan, các bài toán tƣơng tự: Việc liên tƣởng, liên hệ các bài toán liên quan giúp học sinh quy bài toán đã cho về bài toán quen thuộc đã biết cách giải, hoặc có thể sử dụng khía cạnh nào đó của bài toán liên quan để giải bải toán đã cho. b) Sự hình thành kỹ năng Bất kỳ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở là kiến thức. Để có kỹ năng sử dụng phƣơng pháp đạo hàm để giải toán học sinh phải thông thạo các quy tắc tính đạo hàm, nắm chắc các khái niệm có liên quan, vững vàng trong lập luận và ngôn ngữ chính xác trong lời giải. Rèn luyện kỹ năng có vai trò đặc biệt quan trọng đối với sự phát triển trí tuệ. Để hình thành một kỹ năng cho học sinh, cần phải tổ chức cho các em tập luyện những hoạt động tƣơng ứng với kỹ năng đó và phải đƣợc tập luyện nhiều lần trên một hoạt động; cần giúp học sinh biết cách tìm tòi nhận ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng từ đó hình thành kỹ năng. Học sinh cần hình 9 thành đƣợc một mô hình khái quát để giải quyết các bài tập cùng loại; xác lập đƣợc mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến thức tƣơng ứng; biết qui lạ về quen, biết khái quát hóa, đặt biệt hóa… 1.1.3. Điều kiện để có kỹ năng Muốn có kỹ năng về hành động nào đó chủ thể cần: - Có kiến thức để hiểu đƣợc mục đích của hành động, biết đƣợc điều kiện, cách thức để đạt đƣợc kết quả. - Tiến hành hành động đối với yêu cầu của nó. - Đạt đƣợc kết quả phù hợp với mục đích đề ra. - Có thể hành động một cách hiệu quả trong những điều kiện khác nhau. - Có thể qua bắt chƣớc, rèn luyện để hình thành kỹ năng nhƣng phải cần thời gian đủ dài. 1.1.4. Các mức độ của kỹ năng giải toán Trong toán học có thể chia làm hai nhóm kỹ năng giải toán: - Kỹ năng giải bài tập toán học cơ bản - Kỹ năng giải bài tập toán tổng hợp Trong mỗi nhóm lại có 3 mức độ khác nhau: - Mức độ biết làm: Nắm đƣợc qui trình giải một bài toán cơ bản nào đó tƣơng tự nhƣ bài tập mẫu nhƣng chƣa nhanh. - Mức độ thành thạo: Biết giải nhanh, ngắn ngọn, chính xác theo cách giải nhƣ bài tập mẫu nhƣng chƣa có nhiều biến đổi. - Mức độ mềm dẻo, linh hoạt sáng tạo: Đƣa ra đƣợc cách giải ngắn gọn, độc đáo, khác lời giải mẫu do biết vận dụng vốn kiến thức kỹ năng, kỹ xảo không chỉ với các bài toán cơ bản mà với cả bài toán mới. 1.2. Dạy học giải toán 1.2.1. Vị trí vai trò của bài tập toán Theo Nguyễn Bá Kim (2004, 2017): “Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài tập toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, 10 phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán ở trường phổ thông. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán”.[16, tr. 201]. Cũng theo Nguyễn Bá Kim (2017): “Bài tập toán có vai trò hết sức quan trọng trong môn Toán. Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ.” [16, tr.388]. Toán học có vai trò lớn trong khoa học, công nghệ hiện đại và đời sống, nhƣ Các–Mác đã nói “Một khoa học chỉ thực sự phát triển nếu nó có sử dụng được phương pháp của toán học.” (Dẫn theo Hoàng Chúng, [4, tr.5]). Học toán giúp cho học sinh phát triển đƣợc năng lực tƣ duy nhƣ: tính lôgic, tính sáng tạo khoa học... và năng lực trí tuệ nhƣ: khái quát hóa, đặc biệt hóa, phân tích, tổng hợp... Rèn luyện những phẩm chất, đức tính tốt nhƣ: tính kỷ luật, chính xác, cẩn thận.... 1.2.2. Phương pháp giải bài toán Qua những gợi ý chi tiết của Polya về cách thức giải một bài toán đã đƣợc kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học ; ngƣời giáo viên khi dạy học sinh giải toán không chỉ đƣa ra lời giải, hay áp đặt học sinh giải theo một cách giải nhất định nào đó đã biết trƣớc; giáo viên cần phân tích, gợi ý, hƣớng dẫn để học sinh tự suy nghĩ và tìm ra lời giải cho bài toán. Tổng quát hóa các bƣớc giải toán theo Polya (1977) nhƣ sau: Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài - Điều gì chƣa biết? Đâu là cái đã cho? Cái phải tìm có thể thỏa mãn các điều kiện cho trƣớc hay không? Có đủ dữ kiện để tìm ra những thứ chƣa biết không? - Vẽ hình; chú thích phù hợp với yêu câu bài toán. - Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm phải chứng minh; có thể diễn tả các điều kiện đó thành công thức hay không? 11 Bƣớc 2: Tìm cách giải - Bạn đã gặp bài toán tƣơng tự nhƣ bài toán này chƣa? Bạn có thể phân tích bài toán? - Bạn có biết định lí, tính chất nào có thể áp dụng để giải đƣợc bài toán đó không? - Có thể đƣa bài toán về dạng mới đơn giản hơn không? - Bạn có thể nghĩ ra những điều kiện khác có thể giúp bạn xác định đƣợc cái phải tìm hay không? Có thể thay đổi cái phải tìm hay cái đã cho, hay cả hai nếu cần thiết, sao cho cái phải tìm mới và cái đã cho mới gần nhau hơn không? - Bạn đã sử dụng mọi cái đã cho hay chƣa? Đã dùng hết các điều kiện chƣa? Đã để ý một khái niệm chủ yếu của bài toán chƣa? - Bạn có thể kiểm tra lại kết quả? Có thể kiểm tra từng bƣớc, thấy mỗi bƣớc đều đúng? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải bài toán? - So sánh các cách giải tìm đƣợc để đƣa ra lời giải khoa học nhất. Bƣớc 3: Trình bày lời giải - Giải bài toán theo cách ngắn gọn, khoa học và hợp lí nhất. - Trình bày lại lời giải, điều chỉnh những chỗ chƣa hợp lí, loại bỏ những tìm đoán bằng các khẳng định. Bƣớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải - Bạn có thể đƣa ra bài toán tổng quát áp dụng bằng phƣơng pháp đó không? - Trong các bƣớc của quá trình giải bài toán thì bƣớc nào quan trọng nhất? Dĩ nhiên đó là bƣớc nảy ra “ý”. “Nảy ra một ý mới, như vụt lóe lên một tia sáng sau một thời gian dài suy nghĩ căng thẳng và phân vân dao động, có thể gây ấn tượng mạnh mẽ; đó là phút giây huy hoàng của cảm xúc mà mỗi người giải toán phải cố gắng đừng để lỡ.” [30] 1.3. Giải bài toán bằng phƣơng pháp hàm số 1.3.1. Mục tiêu và nhiệm vụ của dạy học giải toán bằng phương pháp hàm số cho học sinh lớp 12 THPT a) Kỹ Năng nhận thức - Kỹ năng hiểu khái niệm: Khi dạy học sinh về sử dụng phƣơng pháp hàm số để giải