Tài liệu Phương trình sai phân, một số ứng dụng và định tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———- * ——— NGUYỄN THỊ MỸ HẰNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀ ĐỊNH TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN o0o NGUYỄN THỊ MỸ HẰNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀ ĐỊNH TÍNH Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. NGUYỄN SINH BẢY Hà Nội - Năm 2011 Mục lục Mở đầu 1 1 Phương trình sai phân và một vài ứng dụng 3 1.1 1.2 1.3 Sai phân và phương trình sai phân . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Thang thời gian Z và sai phân . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Khái niệm phương trình sai phân . . . . . . . . . . 5 Phương trình sai phân trong R1 và một vài ứng dụng . . . . 7 1.2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp k hệ số hằng . 7 1.2.2 Một vài ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Phương trình sai phân tuyến tính trong Rp . . . . . . . . . 13 1.3.1 Nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất. . . . . . . . . 14 1.3.2 Nghiệm tổng quát của hệ không thuần nhất. . . . . 16 1.3.3 Ứng dụng kết quả trong R1 cho phương trình trong Rp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.4 Nghiệm của hệ thuần nhất dừng qua các vector riêng 22 2 Nghiên cứu các định tính của phương trình sai phân 26 2.1 Khái niệm ổn định nghiệm phương trình sai phân . . . . . . 26 2.2 Phương pháp nghiên cứu các định tính . . . . . . . . . . . 28 2.2.1 Phương pháp thứ nhất Lyapunov 2.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.3 Phương pháp bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . 43 i . . . . . . . . . . 28 MỤC LỤC Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 ii Bảng ký hiệu ρ(A) - tập giải của toán tử tuyến tính A. σ(A) - tập phổ của toán tử tuyến tính A. Φ(n, m) - ma trận cơ bản của hệ thuần nhất. K - lớp hàm Hahn iii Mở đầu Các quá trình với thời gian liên tục (t ∈ R) trong Toán học và trong các lĩnh vực khác đã được nghiên cứu nhiều. Gần đây, các thang thời gian tổng quát rất được chú ý trong nghiên cứu lý thuyết cũng như khai thác ứng dụng. Thang thời gian rời rạc cách đều, thường được quy về tập số nguyên là loại thang thời gian rời rạc đơn giản nhưng tiện lợi, được sử dụng nhiều trong việc thu thập, xử lý các số liệu. Luận văn nghiên cứu các đối tượng thay đổi trên thang thời gian này, chúng được gọi là các hệ động lực dạng sai phân. Việc giải tường các phương trình vi phân (các lớp thông dụng) nói chung đơn giản hơn nhiều so với các phương trình sai phân có dạng tương tự. Việc nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình sai phân cũng khó hơn, ít công cụ hơn so với các phương trình vi phân cùng dạng. Một số công thức là hoàn toàn xác đinh, có biểu thức để tính toán nhưng rất khó thực hiện trên thực tế. Ví dụ, nghiệm của phương trình x(n + 1) = f (n, x(n), x(n − 1), ..., x(n − k + 1)) với điều kiện ban đầu (n0 , x0 ), trong đó x0 = (x00 , x0−1 , x0−2 , ..., x0−k+1 )(x0i ∈ Rp ) được thiết lập một cách dễ dàng bằng phương pháp truy hồi (xem [2]). Tuy nhiên công thức nghiệm như vậy nói chung là rất khó tính toán trong thực hành. Khi số bước là lớn thì biểu thức truy hồi là rất cồng kềnh. Luận văn muốn tìm một số trường hợp riêng hoặc một số ví dụ cụ thể mà trong đó các công thức tổng quát có thể viết được chi tiết đến các thành phần của vector hoặc các phần tử của ma trận,... Luận văn cũng 1 Mở đầu giành một phần để tìm hiểu dáng điệu tiệm cận các nghiệm của một vài loại phương trình sai phân. Cấu trúc của luận văn như sau: Chương 1 trình bày kiến thức tổng quan, cơ bản nhất về phương trình sai phân và một vài ứng dụng. Chương 2 trình bày một số định tính, chủ yếu là tính ổn định của các phương trình sai phân, phương pháp nghiên cứu tính ổn định. Do em mới bắt đầu làm quen với công việc nghiên cứu nên bản luận văn không tránh khỏi nhiều thiếu sót. Kính mong các thầy và các đồng nghiệp chỉ bảo và lượng thứ. Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Sinh Bảy. Nhân dịp này em xin cảm ơn thầy đã giúp đỡ em trong việc nắm bắt các kiến thức chuyên ngành và trong việc định hình, hoàn thiện bản luận văn. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến lãnh đạo và các thầy cô trong Khoa Toán-Cơ-Tin học, phòng Sau Đại Học, trường ĐHKHTN, ĐHQGHN về kiến thức quý giá mà em đã nhận được trong thời gian học tập tại trường. Xin chân thành cảm ơn các thầy cô, các bạn trong Xemina của tổ Giải tích, ĐHKHTN. Cảm ơn các bạn trong tập thể lớp Cao học giải tích. Cám ơn gia đình, người thân về những lời động viên, khích lệ. Hà Nội tháng 12 năm 2011 Nguyễn Thị Mỹ Hằng 2 Chương 1 Phương trình sai phân và một vài ứng dụng 1.1 1.1.1 Sai phân và phương trình sai phân Thang thời gian Z và sai phân Ta đã làm việc nhiều với các quá trình với thời gian liên tục (t ∈ R). Nhưng trong thực tế số liệu thu thập được và cần xử lý lại thường là từ các điểm thời gian rời rạc (xem [3, 4, 5, 7, 8, 9, 10]). Quá trình thời gian rời rạc đơn giản nhất là quá trình bao gồm các thời điểm cách đều nhau một khoảng h > 0, bắt đầu tại thời điểm t0 : I = {t0 + nh : n = 0, ±1, ±2, ....}. Khi đó ta nói I là một lưới thời gian rời rạc cách đều với bước lưới h > 0, bắt đầu từ thời điểm t0 ∈ R. Trường hợp đặc biệt: Nếu lấy t0 = 0 và coi h = 1 là một đơn vị thời gian thì tập I trở thành tập các số nguyên Z I = {0 + n : n = 0, ±1, ±2, ....} := Z. 3 Chương 1. Phương trình sai phân và một vài ứng dụng Nếu chỉ lấy n = 0, 1, 2, ... thì ta có I = {0, 1, 2, 3, ...} = Z+ -tập các số nguyên không âm. Ta đưa thêm một số ký hiệu sẽ dùng về sau: R+ = [0, +∞). N(n0 ) = {n0 , n0 + 1, n0 + 2, ..., } (n0 ∈ Z). N(n, m) = {m, m + 1, m + 2, ..., n − 1, n} (m < n). Giả sử f là một ánh xạ từ Z vào Rp (hoặc từ Z+ vào Rp ) f :Z → Rp Z 3n 7−→ f (n) ∈ Rp Khi đó ta nói f (·) là một hàm có đối số nguyên. Định nghĩa 1.1.1. Giả sử f (·) là một hàm số xác định trên tập Z, nhận giá trị trong Rp . Khi đó, sai phân cấp một của hàm f (·) tại n ∈ Z là hiệu sau đây: ∆f (n) = f (n + 1) − f (n). (1.1) Sai phân cấp hai là: ∆2 f (n) = ∆(∆f (n)) = f (n + 2) − 2f (n + 1) + f (n). (1.2) Sai phân cấp k là: k ∆ f (n) = ∆(∆ k−1 f (n)) = k X Cki (−1)i f (n + i). i=0 Sai phân các cấp có các tính chất (xem [3]): 1. ∆c = 0 (c là hằng số).  0 k m 2. ∆ x = đa thức bậc m − k khi k > m khi k ≤ m. 3. ∆k [αx(n) + βy(n)] = α∆k x(n) + β∆k y(n) (α, β ∈ R). 4. N X ∆k x(n) = ∆k−1 x(N + 1) − ∆k−1 x(M ). n=M 4 (1.3) Chương 1. Phương trình sai phân và một vài ứng dụng 1.1.2 Khái niệm phương trình sai phân Định nghĩa 1.1.2. Giả sử x(n) là một hàm đối số nguyên n ∈ Z chưa biết, cần tìm từ đẳng thức: F (n, ∆k x(n), ∆k−1 x(n), ..., ∆x(n), x(n)) = 0 (1.4) trong đó không được khuyết ∆k x(n). Khi đó, đẳng thức (1.4) được gọi là một phương trình sai phân cấp k . Từ định nghĩa 1.1.1, ta thấy mọi phương trình sai phân cấp k có thể đưa về dạng tương đương sau đây F1 (n, x(n + k), x(n + k − 1), ..., x(n + 1), x(n)) = 0. (1.5) Trường hợp riêng sau đây của (1.5) gọi là một phương trình sai phân cấp k dạng chính tắc x(n + k) = f (n, x(n + k − 1), x(n + k − 2), ..., x(n + 1), x(n)). (1.6) Trường hợp đặc biệt sau đây của (1.6) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp k x(n + k) + ak−1 (k)x(n + k − 1) + · · · + a1 (k)x(k + 1) + a0 (k)x(k) = f (k). (1.7) Nếu f (k) ≡ 0 thì ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất x(n+k)+ak−1 (k)x(n+k −1)+· · ·+a1 (k)x(k +1)+a0 (k)x(k) = 0. (1.8) Nếu các hệ số ai (k) đều không phụ thuộc vào k thì ta có phương trình sai phân hệ số hằng. Tính chất của phương trình sai phân tuyến tính 1/ Nếu x1 (n) và x2 (n) là nghiệm của (1.8) thì với mọi hằng số α, β có x(n) = αx1 (n) + βx2 (n) cũng là nghiệm của (1.8). 5 Chương 1. Phương trình sai phân và một vài ứng dụng 2/ Nếu x1 (n), x2 (n), ..., xk (n) là các nghiệm độc lập tuyến tính của (1.8) thì nghiệm tổng quát của (1.8) là: x(n) = c1 x1 (n) + c2 x2 (n) + · · · + ck xk (n) với c1 , c2 , ..., ck là các hằng số tùy ý. 3/ Nếu x(n) là nghiệm tổng quát của (1.8) và x̂(n) là một nghiệm riêng của (1.7) thì x(n) = x(n) + x̂(n) là nghiệm tổng quát của (1.7). 4/ Nguyên lý chồng chất nghiệm được phát biểu tương tự với phương trình vi phân (xem [3]). Điều kiện ban đầu của phương trình sai phân cấp k tại k = k0 thường được cho như sau    x(k0 − k + 1) = x0−k+1       x(k − k + 2) = x0−k+2   0 ......      x(k0 − 1) = x0−1     x(k ) = x0 . 0 0 Trong đó (x0−k+1 , x0−k+2 , ..., x0−1 , x00 ) là một bộ gồm k vector cho trước trong Rp . Phương trình sai phân phi tuyến dạng chính tắc Phương trình sai phân chính tắc cấp k (1.5) (trong không gian X nào đó) cũng thường được viết theo cách sau x(n + 1) = f (n, x(n), x(n − 1), ..., x(n − k + 1)). Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình này không đòi hỏi tính liên tục, tính Lipschtz của hàm f . Đây là một điểm khác biệt (đơn giản hơn) so với trường hợp phương trình vi phân. Với điều kiện ban đầu x(n0 ) = x01 ; x(n0 − 1) = x02 ; ...; x(n0 − k + 1) = x0k , việc tìm công thức 6 Chương 1. Phương trình sai phân và một vài ứng dụng nghiệm của phương trình chính tắc thỏa mãn điều kiện ban đầu này là không khó. Quả vậy, bằng cách truy hồi liên tiếp từ n0 , ta có: x(n0 + 1) = f (n0 , x(n0 ), x(n0 − 1), ..., x(n0 − k + 1)) = f (n0 , x01 , x02 , ..., x0k ). x(n0 + 2) = f (n0 + 1, x(n0 + 1), x(n0 ), ..., x(n0 − k + 2)) = f (n0 + 1, f (n0 , x01 , x02 , ..., x0k ), x02 , ..., x0k−1 ). x(n0 + 3) = f (n0 + 2, x(n0 + 2), x(n0 + 1), ..., x(n0 − k + 3)) = ...... Đây là một biểu thức truy hồi mặc dù là tường minh nhưng trong trường hợp tổng quát nó không thật cụ thể, trừ các trường hợp đặc biệt (xem [2, 10]). Ta muốn cụ thể hóa chúng, bắt đầu từ các trường hợp đơn giản ở các mục sau: 1.2 Phương trình sai phân trong R1 và một vài ứng dụng 1.2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp k hệ số hằng Xét phương trình sai phân (xem [3, 7]) x(n + k) + ak−1 x(n + k − 1) + · · · + a1 x(n + 1) + a0 x(n) = f (n) (1.9) và phương trình thuần nhất tương ứng x(n + k) + ak−1 x(n + k − 1) + · · · + a1 x(n + 1) + a0 x(n) = 0. (1.10) 7 Chương 1. Phương trình sai phân và một vài ứng dụng Phương trình đặc trưng P (λ) = λk + ak−1 λk−1 + · · · + a1 λ + a0 = 0. (1.11) Định lý 1.2.1. Nếu phương trình đặc trưng (1.11) có k nghiệm thực phân biệt là λ1 , λ2 , ..., λk thì nghiệm tổng quát của (1.10) là x(n) = c1 λn1 + c2 λn2 + · · · + ck λnk , (c1 , c2 , .., ck là các hằng số). Nếu có λj = αj + iβj (nghiệm phức đơn) thì số hạng cj λnj được thay bởi (αj )n [c0j cos nβj + c1j sin nβj ] (1.12) Nếu λj là nghiệm thực bội s thì ở công thức nghiệm tổng quát, số hạng cj λnj được thay bởi Ps−1 (n)λnj , trong đó s−1 Ps−1 (n) = (c0j + c1j n + c2j n2 + · · · + cs−1 ) (đa thức tổng quát bậc s − 1). j n Nếu λj là nghiệm phức bội s thì ở (1.12) thay c0j bởi Ps−1 (n) và c1j bởi Qs−1 (n), trong đó Ps−1 (n), Qs−1 (n) là các đa thức tổng quát bậc s − 1 của n. Định lý 1.2.2. Giả sử f (n) = Pm (n)αn . Khi đó nếu α là nghiệm bội s của phương trình đặc trưng thì có thể tìm một nghiệm riêng của phương trình (1.9) ở dạng x̂(n) = ns−1 Qm (n)αn . Giả sử f (n) = [Pm (n) cos nβ + Ql (n) sin nβ]αn , trong đó λ = α + iβ là nghiệm phức bội s của phương trình đặc trưng (1.11) thì có thể tìm được một nghiệm riêng của phương trình (1.9) ở dạng x̂(n) = αn [Rh (n) cos nβ + Sh (n) sin nβ]ns−1 trong đó h = max{m, l} và Rh (n), Sh (n) là các đa thức bậc h, hệ số chưa xác định của n. 8 Chương 1. Phương trình sai phân và một vài ứng dụng 1.2.2 Một vài ứng dụng Ta tìm hiểu cách vận dụng kiến thức về phương trình sai phân đã xét trên đây cho một số bài toán trong Số học, Đại số, Giải tích. 1.2.2.1. Tính tổng của một dãy số Ví dụ 1.2.3. Tính tổng S1 = 13 + 23 + 33 + · · · + n3 . Lời giải. Đặt ∆x(k) = k 3 hay x(k + 1) − x(k) = k 3 . (*) Đây là một phương trình sai phân tuyến tính cấp một hệ số hằng. Phương trình thuần nhất tương ứng là x(k + 1) − x(k) = 0. (**) Phương trình đặc trưng là: λ − 1 = 0 ⇔ λ = 1. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (∗∗) là: x(n) = c · 1n = c. Do f (k) = k 3 = 1n · P3 (n) và α = 1 là nghiệm của phương trình đặc trưng nên ta có thể tìm nghiệm riêng của phương trình (∗) ở dạng: x̂(n) = n(An3 + Bn2 + Cn + D). Tính x̂(n + 1) và thay x̂(n), x̂(n + 1) vào phương trình (∗), so sánh các hệ số của n, ta có hệ phương trình    4A = 1     6A + 2B = 0   4A + 3B + 2C = 0     A + B + C + D = 0 9  1   A=   4    B = − 1 2 ⇔ 1   C=    4   D = 0. Chương 1. Phương trình sai phân và một vài ứng dụng Vậy nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (∗) là x(n) = x(n) + x̂(n) = c + 1 4 1 3 1 2 ·n − ·n + n . 4 2 4 Mặt khác theo tính chất của sai phân, ta có S1 = n X k=1 3 k = n X ∆x(k) = x(n + 1) − x(1) k=1 1 1 1 1 1 1 n2 (n + 1)2 4 3 2 = · (n + 1) − · (n + 1) + · (n + 1) − + − = 4 2 4 4 2 4 4 1.2.2.2. Tính định thức Ví dụ 1.2.4. Tính định thức cấp n:   3 2    1 3  D(n) =  0 1   ... ...   0 0 0 0 2 0 3 2 ... ... 0 0 ... 0 ... 0 ... 0 ... ... ... 3             Lời giải. Phân tích định thức trên theo dòng một, ta được D(n) = 3D(n−1)−2D(n−2) ⇔ D(n)−3D(n−1)+2D(n−2) = 0. (*) Đây là một phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp hai hệ số hằng, với điều kiện ban đầu:    D(1) = 3       3 2  =9−2=7 D(2) =      1 3 Phương trình đặc trưng " λ2 − 3λ + 2 = 0 ⇒ 10 λ=1 λ = 2. Chương 1. Phương trình sai phân và một vài ứng dụng Nghiệm tổng quát của (∗) với điều kiện ban đầu:     D(n) = C1 + C2 2n  C = −1  1 ⇒ D(1) = 3 C = 2.   2  D(2) = 7 Vậy D(n) = 2n+1 − 1. 1.2.2.3. Tìm quy luật của một dãy vec tơ Ví dụ 1.2.5. Tìm quy luật của dãy vector (x(n), y(n))T , trong đó: x(n) : 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ... y(n) : 7, 19, 37, 65, 91, 127, 169, 217, ... Lời giải. Từ dãy số liệu của x(n), ta thấy ∆x(0) = 7 ∆2 x(0) = 12 ∆3 x(0) = 6 ∆4 x(0) = 0 ∆x(1) = 19 ∆2 x(1) = 18 ∆3 x(1) = 6 ... ∆x(2) = 37 ∆2 x(2) = 24 ... ∆x(3) = 61 ... ... Tương tự: ∆4 x(1) = ∆4 x(2) = ... = 0. Một cách tổng quát ∆4 x(n) = x(n + 4) − 4x(n + 3) + 6x(n + 2) − 4x(n + 1) + x(n) = 0. Mặt khác, từ bảng số liệu của x(n), y(n) ta thấy y(n) = ∆x(n) hay x(n + 1) = y(n) + x(n). 11 Chương 1. Phương trình sai phân và một vài ứng dụng Như vậy, ta có hệ phương trình sai phân tuyến tính với điều kiện ban đầu    x(n + 4) − 4x(n + 3) + 6x(n + 2) − 4x(n + 1) + x(n) = 0 (∗)   x(n + 1) = y(n) + x(n) (∗∗)    x(0) = 1, x(2) = 8, x(3) = 27, x(4) = 64; y(1) = 7. (∗ ∗ ∗) Phương trình đặc trưng của (∗) là: λ4 − 4λ3 + 6λ2 − 4λ + 1 = 0 ⇔ λ = 1 (bội 4). Vậy nghiệm tổng quát của (∗) có dạng: x(n) = (an3 + bn2 + cn + d) · 1n Thay điều kiện ban đầu:    x(n) = an3 + bn2 + cn + d       x(0) = 1   x(1) = 8      x(2) = 27     x(3) = 64  1   a =    2   b = 5 ⇔ 3   c =   2    d = 1. 1 3 Vậy x(n) = n3 + 5n2 + n + 1. Tiếp theo từ (**) và (***), ta có 2 2 3 23 y(n) = x(n + 1) − x(n) = ... = n2 + n + 7. 2 2 Dãy vector cần tìm là: 1  3 3 2 23 3 2 (x(n); y(n)) = n + 5n + n + 1; n + n + 7 . 2 2 2 2 1.2.2.. Các ứng dụng khác. Kết quả về việc giải các phương trình sai phân trong R1 cũng thường được sử dụng để tính các tích phân có chứa tham số n ∈ Z+ , để xét tính chất của các dãy số liệu trên thang thời gian Z hoặc để giải một số phương trình đơn giản trong không gian có số chiều lớn hơn 1. 12 Chương 1. Phương trình sai phân và một vài ứng dụng 1.3 Phương trình sai phân tuyến tính trong Rp Ở mục trên ta đã có cách giải phương trình sai phân tuyến tính cấp k hệ số hằng nếu biết được tập nghiệm của phương trình đặc trưng. Trường hợp hệ số biến thiên (hay còn gọi là hệ nonautonomous) cách giải nói trên với k đủ lớn là không hiệu quả. Để tìm hướng giải quyết khác, đầu tiên ta nhận xét rằng bằng cách tăng số chiều của không gian ta luôn đưa mọi phương trình sai phân tuyến tính cấp k về cấp một. Trường hợp đơn giản nhất: Đưa phương trình sai phân cấp k trong R1 về một phương trình sai phân cấp một trong Rk . Xét phương trình sai phân tuyến tính dạng chính tắc: x(n + k) = ak−1 x(n+k−1)+ak−2 x(n+k−2)+· · ·+a1 x(n+1)+a0 x(n)+f (n). (1.13) Đặt    y1 (n) = x(n)       y (n) = x(n + 1) = y1 (n + 1)   2 ..............      yk−1 (n) = x(n + k − 2) = yk−2 (n + 1)     y (n) = x(n + k − 1) = y (n + 1). k k−1 Khi đó, ta có một hệ các phương trình sai phân cấp một:    y1 (n + 1) = y2 (n)       y2 (n + 1) = y3 (n)     y (n + 1) = y (n) 3 4   ............       yk−1 (n + 1) = yk (n)     y (n + 1) = a y (n) + a y (n) + · · · + a y (n) + a y (n) + f (n). k 0 1 1 2 k−2 k−1 k−1 k 13 Chương 1. Phương trình sai phân và một vài ứng dụng  0 1 0 0  0 0 1 0  Đặt A =  0 0 0 1  . . . . . . . . . . . . a0 a1 a2 a3   0    0   .   .. . Khi đó, phương trình      0  f (n)    ... 0 y (n) 1    ... 0   y2 (n)   ... 0  , Y (n) =  ...  và F (n) =    . . . . . . yk (n) . . . ak (1.13) trở thành Y (n + 1) = AY (n) + F (n). (1.14) Ngược lại, ta cũng có thể đưa một phương trình sai phân tuyến tính cấp một trong Rp về một phương trình sai phân tuyến tính cấp k trong R1 . Một cách tổng quát, mỗi phương trình sai phân tuyến tính cấp l trong Rd đều có thể đưa về một phương trình sai phân tuyến tính cấp một trong Rl+d . Vì vậy, không giảm tính tổng quát khi ta xét các phương trình sai phân tuyến tính cấp một: x(n + 1) = A(n)x(n) + f (n). (1.15) Phương trình thuần nhất của nó là: x(n + 1) = A(n)x(n). 1.3.1 (1.16) Nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất. Đầu tiên, ta nghiên cứu nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (1.16). Giả sử A(n) xác định trên Z. Cho một cặp (n0 , x0 ) ∈ Z × Rp tùy ý. Nghiệm của (1.16) với điều kiện ban đầu (n0 , x0 ) được xác định như sau 14 Chương 1. Phương trình sai phân và một vài ứng dụng (xem [6,7,9]):    x(n0 ) = x0       x(n0 + 1) = A(n0 )x(n0 ) = A(n0 )x0   x(n0 + 2) = A(n0 + 1)A(n0 )x0      ..............     x(n) = A(n − 1)A(n − 2) · · · A(n )x0 . 0 Đặt Φ(n, n0 ) = A(n − 1)A(n − 2) · · · A(n0 + 1)A(n0 ) = n−1 Q A(i) i=n0 và C = x(n0 ) - vector hằng tùy ý. Khi đó, ta có x(n) = Φ(n, n0 )C. (1.17) Ma trận Φ(n, m) = A(n − 1)A(n − 2) · · · A(m + 1)A(m) (m ≤ n) (1.18) gọi là ma trận nghiệm cơ bản của phương trình (1.16) và (1.15). Trong trường hợp ma trận A không suy biến với mọi n ∈ Z, ta có Φ(n, m) = Φ(n, 0)Φ−1 (m, 0) = A(n − 1) · · · A(1)A(0)[A(m − 1)A(m − 2) · · · A(1)A(0)]−1 = A(n − 1)A(n − 2) · · · A(m + 1)A(m) (1.19) Trong trường hợp mọi A(n) không suy biến, ma trận sau đây gọi là ma trận Green: Φ(n, m) = Φ(n, 0)Φ−1 (m, 0). Ma trận này xác định với mọi m, n ∈ Z, kể cả m > n. Ma trận Green có các tính chất [6,7]: 1/ Φ(n, n) = I với mọi n ∈ Z. 15