VẤN ĐỀ 1: HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
r
r
1. Cho a = ( a1; a2 ; a3 ) , b = ( b1; b2 ; b3 ) . Khi đó ta có:
r r
a + b = ( a1 + b1 ; a2 + b2 ; a3 + b3 )
r r
a − b = ( a1 − b1 ; a2 − b2 ; a3 − b3 )
r
ka = ( ka1 ; ka2 ; ka3 )
a1 = b1
r r
a = b ⇔ a2 = b2
a = b
3 3
rr
a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3
r
a = a12 + a2 2 + a32
rr
a1b1 + a2b2 + a3b3
cos a,b =
2
a1 + a2 2 + a32 . b12 + b2 2 + b32
r
a1 a2 a3
r
r r
= ( b1b2b3 ≠ 0 )
a , b cùng phương ⇔ a = kb ⇔ =
b1 b2 b3
r r
a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0
( )
2. Cho A ( xA ; y A ; z A ) , B ( xB ; yB ; zB ) , C ( xC ; yC ; zC ) , D ( xD ; yD ; z D ) . Khi đó ta có:
uuur
AB = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A )
1
xI = 2 ( x A + xB )
1
Nếu I là trung điểm của AB thì yI = ( y A + yB )
2
1
zI = 2 ( z A + zB )
1
xG = 3 ( x A + xB + xC )
1
Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì yG = ( y A + yB + yC )
3
1
zG = 3 ( z A + z B + zC )
1
xG = 4 ( x A + xB + xC + xD )
1
Nếu G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì yG = ( y A + yB + yC + yD )
4
1
zG = 4 ( z A + z B + zC + z D )
r
r
3.Tích có hướng của hai vectơ a = ( a1; a2 ; a3 ) , b = ( b1; b2 ; b3 )
rr
a, b = ( a 2 b3 − a 3b 2 ;a 3b1 − a1b3 ;a1b 2 − a 2 b1 )
r r
r r
r r
* a, b = a b sin a, b
r
r r r
r
⇔
a
a
* và b cùng phương
,b = 0
r
r
r
r rr
* a , b , c đồng phẳng ⇔ a , b .c = 0
(
)
uuur uuur
* Nếu ABCD là hình bình hành thì S ABCD = AB, AD
- Nếu ABC là 1 tam giác thì S ABC =
1
2
uuur uuur
AB, AC
uuur uuur uuur
* Nếu ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp thì VABCD. A ' B 'C ' D ' = AB, AD . AA '
- Nếu ABCD là tứ diện thì VABCD =
1
6
uuur uuur uuur
BA, BC .BD
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
r
r
r
Bài 1: Trong không gian cho a = ( 1; 2;3) , b = ( −2;0;5 ) và c = ( 2m + 1;1;3)
r
a. Tính toạ độ của ar + 3b
r r r
b. Tính a. ( 2a + b )
r r
c. Tính a + b
r r
d. Tính ( a , b )
r
r
e. Tìm m để c = 8 a
r r
f. Tìm m để c ⊥ a
Bài 2: Trong không gian cho hình bình hành ABCD. Biết A ( 1;1;1) , B ( −3;0; 2 ) , C ( 4; −2;0 )
Tìm toạ độ đỉnh D
Bài 3: Trong không gian cho 3 điểm A ( 2;1;5 ) , B ( 3;0; −2 ) , C ( 4;7;6 )
a. Chứng minh rằng A,B, C lập thành tam giác. Tính tọa độ trọng tâm G
b. Tìm toạ độ của K , biết B là trung điểm của AK
c. Tìm toạ độ của N , biết C là trọng tâm của tam giác ABN.
2
Bài 4: Trong không gian cho 3 điểm A ( 1;1;1) , B ( −3; 2;5 ) , C ( 2m + 3; m − m; 4 )
Tìm m để tam giác ABC vuông tại A
Bài 5: Trong không gian cho 3 điểm A ( 1; 2;5 ) , B ( 2;1;3) , C ( m + 1;1; 2m − 1)
uuur uuur
0
Tìm m để ( AB, AC ) = 60
Bài 6: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết A ( 2;0; 2 ) , B ( 4; 2; 4 ) , D ( 2; −2; 2 ) , C ' ( 8;10; −10 )
Tính toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp
Bài 7: Cho A ( 3; 4; −1) , B ( 2;0;3) , C ( −3; 4;5 ) .
a. Chứng minh rằng ABC là 1 tam giác
b. Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC
c. Tính các góc của tam giác ABC.
Bài 8: Cho A ( 2;1; −1) , B ( 3;0;1) , C ( 2; −1;3 ) và D ∈ Oy . Biết thể tích V của ABCD bằng 5.
Tìm toạ độ của điểm D.
Bài 9: Cho tam giác ABC với A ( 1; 2; −1) , B ( 2; −1;3) , C ( −4;7;5 ) . Tính độ dài đường phân
giác trong của góc B. r
r
r
rrr
Bài 10: Cho a = ( 2;3;1) , b = ( 5;7;0 ) , c = ( 3; −2; 4 ) . Chứng minh rằng a, b, c không đồng phẳng.
r
rrr
Hãy biểu diễn d = ( 4;12; −3) theo 3 vectơ a, b, c
Bài 11: Cho A ( 1;0;1) , B ( −1;1; 2 ) , C ( −1;1;0 ) , D ( 2; −1; −2 ) . Chứng minh rằng ABCD là 1 tứ
diện. Tính độ dài đường cao của ABCD hạ từ đỉnh D. Tính VABCD , từ đó suy ra độ dài
đường cao AH của tứ diện
Bài 12: Cho A ( 1; −2; −1) , B ( −5;10; −1) , C ( 4;1;1) . Chứng minh ABC là 1 tam giác. Tìm toạ độ
trực tâm, trọng tâm và tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 13: Cho A ( 1; 2; −1) , B ( 4;3;5 ) . Xác định M ∈ Ox sao cho M cách đều A, B
Bài 14: Cho A ( −4; −1; 2 ) , B ( 3;5; −1) . Tìm C biết trung điểm của AC thuộc Oy, trung điểm
của BC thuộc Oxz.
r
r
Bài 15: Cho vr ≠ 0 . Gọi α, β, γ là 3 góc tạo bởi v với Ox, Oy, Oz . Chứng minh rằng
cos 2 α + cos 2β + cos 2 γ = 1
VẤN ĐỀ 2: GÓC (Bổ sung)
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Góc giữa hai đường thẳng :
r
r
Đường thẳng d1 có VTCP u = ( x1; y1 ; z1 ) và đường thẳng d 2 có VTCP v = ( x2 ; y2 ; z3 )
Gọi β là góc giữa hai đường thẳng d1 và d 2 . Khi đó cosβ =
x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
x1 + y12 + z12 x2 2 + y2 2 + z2 2
2
2. Góc giữa hai mặt phẳng :
Cho ( P ) : a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 và ( Q ) : a2 x + b2 y + c2 z + d 2 = 0
Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) . Khi đó cosα =
a1a2 + b1b2 + c1c2
a1 + b12 + c12 a2 2 + b2 2 + c2 2
2
3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :
r
Cho đường thẳng d có VTCP u = ( a; b; c ) và mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0
Gọi β là góc giữa d và ( α ) . Khi đó sin β =
Aa + Bb + Cc
A2 + B 2 + C 2 a2 + b2 + c2
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1 : Tính góc giữa hai mặt phẳng ( α ) : 2 x − y + 3z − 1 = 0 và ( β ) : − x + 2 y + z + 3 = 0
x = 2 + 3t
x = 2t
Bài 2 : Tính góc giữa hai đường thẳng ( d1 ) : y = −2 + t và ( d 2 ) : y = 2 − 3t
z = 5 − 4t
z = 4 + 5t
x = 3 − 2t
Bài 3 : Tính góc giữa đường thẳng ( d ) : y = 3t
và mặt phẳng ( α ) : x + y + 3z − 1 = 0
z = 7 + t
VẤN ĐỀ 3: KHOẢNG CÁCH
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng :
Trong không gian Oxyz, cho ( α ) : Ax + By + Cz +D = 0 và M ( x0 ; y0 ; z0 ) . Khi đó ta có:
d ( M0,( α ) ) =
Ax 0 + By0 + Cz0 + D
A2 + B 2 + C 2
2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song :
Cho ( α ) // ( β ) và M ∈ ( α ) . Khi đó d ( ( α ) , ( β ) ) = d ( M , ( β ) )
r
3.Khoảng cách h từ điểm M đến đường thẳng ∆ đi qua M 0 và có VTCP u :
Bổ sung (dùng cho chương trình chuẩn)
Chương trình nâng cao
uuuuuur
M 0 M , ur
- Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa M
h=
r
và ( α ) ⊥ ∆
u
- Tìm K = ∆ ∩ ( α )
- Tính MK. Suy ra d ( M , ∆ ) = MK
4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song :
Cho d // d ' và M ∈ d . Khi đó d ( d , d ') = d ( M , d ')
5. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song:
Cho ∆ // ( α ) và M ∈ ∆ . Khi đó d ( ∆, ( α ) ) = d ( M , ( α ) )
6. Khoảng cách h giữa hai đường thẳng chéo nhau d1 và d 2 ; biết d1 đi qua M 1 và có
r
r
VTCP u1 , d 2 đi qua M 2 và có VTCP u2 : (Chương trình nâng cao)
Bổ sung (dùng cho chương trình chuẩn)
Chương trình nâng cao
r r uuuuuur
- Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa d1
[ u1 , u2 ] .M1M 2
h=
r r
và
[ u1 , u2 ]
( α ) // d 2
- Lấy M ∈ d 2 và tính d ( M , ( α ) )
- Suy ra d ( d1 , d 2 ) = d ( M , ( α ) )
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1:
VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1.Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:
r
- nr ≠ 0 được gọi là vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( α ) nếu giá của nó vuông góc với
(α)
r
r
- Cho hai vectơ không cùng phương a = ( a1; a2 ; a3 ) , b = ( b1; b2 ; b3 ) có giá song song hoặc nằm
trong
r a2 a3 a3 a1 a1 a2
r
,
,
÷
là 1 vectơ pháp tuyến của ( α ) , n được gọi
÷
b2 b3 b3 b1 b1 b2
mặt phẳng ( α ) . Khi đó n =
là
r
r
r r
r
tích có hướng của a và b ; kí hiệu là a , b hoặc ar ∧ b
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng :
r
a. Mặt phẳng ( α ) đi qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận n = ( A; B; C ) làm VTPT có phương
trình:
A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
b. Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) được gọi là phương
trình tổng quát của mặt phẳng.
3. Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng : (Chương trình nâng cao)
Nếu A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) với abc ≠ 0 thì phương trình mặt phẳng ( ABC ) là
x y z
+ + = 1 ( *) . ( *) được gọi là phương trình đoạn chắn của mặt phẳng
a b c
4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
Cho ( α ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0; ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
( α ) cắt ( β )
Chương trình chuẩn
⇔ ( A1 ; B1 ; C1 ) ≠ k ( A2 ; B2 ; C2 )
Chương trình nâng cao
( α ) cắt ( β )
⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2
( A ; B ; C ) = k ( A2 ; B2 ; C2 )
( α ) // ( β ) ⇔ 1 1 1
( α ) // ( β ) ⇔
A1 B1 C1 D1
=
=
≠
A2 B2 C2 D2
( A ; B ; C ) = k ( A2 ; B2 ; C2 )
( α ) ≡ ( β ) ⇔ 1 1 1
D1 = kD2
( α ) ⊥ ( β ) ⇔ A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = 0
(α) ≡ ( β ) ⇔
A1 B1 C1 D1
=
=
=
A2 B2 C2 D2
D1 ≠ kD2
( α ) ⊥ ( β ) ⇔ A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = 0
5. Chùm mặt phẳng: (Bổ sung)
Cho hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) cắt nhau lần lượt có phương trình:
( α ) : Ax + By + Cz + D = 0, ( β ) : A ' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 . Tập hợp các mặt phẳng qua giao tuyến
của hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) gọi là một chùm mặt phẳng. Mỗi mặt phẳng của chùm đều
có phương trình: a ( Ax + By + Cz + D ) + b ( A ' x + B ' y + C ' z + D ') = 0 trong đó a 2 + b 2 ≠ 0
6. Vị trí tương đối của điểm và mặt phẳng (bổ sung)
Cho mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0 và 2 điểm M1 ( x1; y1; z1 ) , M 2 ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) . Khi đó ta
có:
- Nếu ( Ax1 + By1 + Cz1 + D ) ( Ax 2 + By 2 + Cz 2 + D ) > 0 thì M1 , M 2 nằm cùng phía đối với ( α )
- Nếu ( Ax1 + By1 + Cz1 + D ) ( Ax 2 + By 2 + Cz 2 + D ) < 0 thì M1 , M 2 nằm khác phía đối với ( α )
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Dạng 1: LẬP PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG
r
Bài 1: Lập phương trình của mặt phẳng đi qua A ( 1; −2;6 ) và nhận n = ( −2;0;3) làm VTPT
Bài 2: Lập phương trình của mặt phẳng đi qua M ( 2;1; −5 ) và song song với ( Oxy )
Bài 3: Trong không gian Oxyz cho A ( −2;3;5 ) , B ( 2;3;1) . Lập phương trình tổng quát của
mặt phảng trung trực đoạn AB
Bài 4: Lập phương trình của mặt phẳng chứa trục Ox và điểm P ( 2; −3;5 )
Bài 5: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A ( 1;1;1) , B ( 4;3; 2 ) , C ( 5; 2;1)
a. Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
b. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ( ABC )
Bài 6: Lập phương trình của mặt phẳng ( α ) đi qua A và song song với mặt phẳng
( β ) : 2x + 3y − z − 5 = 0
Bài 7: Lập phương trình của mặt phẳng đi qua hai điểm A ( 1;1;1) , B ( 3; 2; −1) và vuông góc
với mặt phẳng ( α ) : −2 x + 3 y + 5 z + 7 = 0
Bài 8: Lập phương trình của mặt phẳng đi qua N ( −3; 2;5) và vuông góc với trục Ox.
Bài 9: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 hình chiếu của M ( 2;3;5 ) trên các trục toạ
độ
HD: Dùng phương trình đoạn chắn.
Bài 10: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Biết
O ( 1;1;1) , A ( 2;3;5 ) , B ( 3; −2; 2 ) . Viết phương trình của các mặt phẳng ( OAC ) , ( OBC )
Bài 11: Viết phương trình mặt phẳng đi qua M ( 0; 2; −1) , song song với trục Ox và vuông
góc với mặt phẳng x − y + z = 0
Bài 12: Viết phương trình mặt phẳng đi qua A ( −3;0;1) , vuông góc với hai mặt phẳng
( P ) : −2 x + 3 y − z + 2 = 0 và ( Q ) : x + 5 y − 2 z + 1 = 0
Bài 13: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M ( 1; 2;3) và cắt 3 tia Ox, Oy, Oz ở 3
điểm cách đều gốc toạ độ.
HD:
Gọi mặt phẳng cần tìm là ( α ) ⇒ phương trình của mặt phẳng của ( α ) có dạng:
x y z
+ + =1
a b c
Vì M ∈ ( α ) nên ta có :
1 2 3
+ + = 1 ( 1)
a b c
6
=1⇔ a = 6
a
x y z
Phương trình của mặt phẳng ( α ) : + + = 1
6 6 6
Theo đề ra ta có a = b = c . Khi đó ( 1) ⇔
x − 2z = 0
và
3x − 2y + z − 3 = 0
Bài 14: Lập phương trình mặt phẳng ( α ) chứa đường thẳng ∆ :
vuông góc với mặt phẳng ( β ) : x − 2y + z + 5 = 0
Bài 15 : Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa Oz và lập với mặt phẳng
( β ) : 2x + y − 5z = 0 một
góc 600
HD :
2
2
Pt của ( α ) có dạng mx + ny = 0 ( m + n > 0 )
Bài 16 : Viết phương trình của mặt phẳng ( α ) qua M ( 0;0;1) , N ( 3;0;0 ) và tạo với Oxy một
góc 600
Bài 17 : Lập phương trình của mặt phẳng ( α ) đi qua M ( 1; 2;1) và chứa giao tuyến của
( P ) : x + y + z − 1 = 0 và ( Q ) : 2x − y + 3z = 0
x − y + z − 3 = 0
và vuông góc với
3x + y + 2z − 1 = 0
Bài 18 : Lập phương trình của mặt phẳng ( α ) chứa ∆ :
mặt phẳng
( P ) : x + y + 2z − 3 = 0
Bài 19 : Lập phương trình của mặt phẳng ( α ) đi qua 2 điểm A ( 2; −1;0 ) , B ( 5;1;1) và
khoảng cách từ
1
M 0;0; ÷ đến ( α ) bằng 6 3
2
Bài 20 : Lập phương trình mặt phẳng ( α ) thuộc chùm tạo bởi hai mặt phẳng
( P ) : x − 3y + 7z + 36 = 0
và ( Q ) : 2x + y − z − 15 = 0 , biết rằng khoảng cách từ O đến ( α ) bằng 3.
Bài 21 : Cho ( α ) : 2x − y + 3z + 4 = 0 và M ( 2; −1; 2 ) . Viết phương trình của mặt phẳng ( β )
đối xứng với ( α ) qua M.
Bài 22: Cho tứ diện ABCD có A ( 5;1;3) , B ( 1;6; 2 ) , C ( 5;0; 4 ) , D ( 4;0;6 )
a. Viết phương trình mặt phẳng ( BCD )
b. Viết phương trình mặt phẳng đi qua AB và song song với đường thẳng CD
c. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Viết phương trình mặt phẳng đi qua G và song
song với mặt phẳng ( ABC )
Bài 23 : Cho mặt phẳng ( α ) : x + 2y + z − 3 = 0 và M ( 1;1;1) . Viết phương trình mặt phẳng
( β ) sao cho d ( ( α ) , ( β ) ) = 4 đồng thời M và ( β ) nằm cùng phía đối với ( α )
Bài 24 : Cho mặt phẳng ( α ) : 2x + 2y + z + 1 = 0 và M ( −1; 2;1) . Viết phương trình mặt phẳng
( β ) sao cho d ( ( α ) , ( β ) ) = 2 đồng thời M và ( β ) nằm khác phía đối với ( α )
Dạng 2 : XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG
Bài 1 : Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau :
a. 2 x − 3 y + 4 z − 5 = 0 và 3x − y + z − 1 = 0
b. − x + y − z + 4 = 0 và 2 x − 2 y + 2 z − 7 = 0
c. 3x + 3 y − 6 z − 12 = 0 và 4 x + 4 y − 8 z − 16 = 0
2
Bài 2 : Cho hai mặt phẳng ( m − 5 ) x − 2 y + mz + m − 5 = 0 và x + 2 y − 3nz + 3 = 0
Tìm m và n để hai mặt phẳng :
a. Song song với nhau.
b. Trùng nhau.
c. Cắt nhau.
Bài 3 : Cho hai mặt phẳng ( α ) : 3x − ( m − 3) y + 2 z − 5 = 0 và ( m + 2 ) x − 2 y + mz − 10 = 10
Tìm m để
a. Hai mặt phẳng song song
b. Hai mặt phẳng trùng nhau.
c. Hai mặt phẳng cắt nhau.
Dạng 3 : BÀI TẬP VỀ CHÙM MẶT PHẲNG
Bài 1 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua M ( 1; 2;3) và chứa đường thẳng giao tuyến
của hai mặt phẳng x − y + z − 3 = 0 và 3x + y + 2 z − 5 = 0
Bài 2 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng x − 3z + 1 = 0 và
2 y + 3z − 5 = 0 và vuông góc với mặt phẳng 2 x − y − 1 = 0
Bài 3 : Xác định m, n để ba mặt phẳng sau đây cùng đi qua 1 đường thẳng
2 x − y + z = 0; x − 3 y − 2 z + 2 = 0; mx − ny + 4 z + 4 = 0
Dạng 4 : HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA 1 ĐIỂM TRÊN MỘT MẶT PHẲNG
Phương pháp giải:
Cho điểm M và mặt phẳng ( α ) . Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M trên
(α)
- Lập phương trình tham số của đường thẳng MH ( đi qua M và nhận VTPT của ( α ) làm
VTCP)
- Thay ptts của MH vào phương trình của mặt phẳng ( α ) tính được t ⇒ toạ độ của H
Bài 1: Cho điểm M ( 1;1;1) và mặt phẳng ( α ) : −2 x + 5 y − z + 1 = 0 . Tìm toạ độ của H là hình
chiếu vuông góc của M trên ( α )
Bài 2: Cho điểm M ( −2;1;1) và mặt phẳng ( α ) : x + 5 y − z + 1 = 0 . Tìm toạ độ điểm M’, biết
M’ đối xứng với M qua ( α )
Bài 3: Cho hai điểm A ( 3;1;1) , B ( 7;3;9 ) và mặt phẳng ( α ) : x + y + z + 3 = 0 . Tìm M ∈ ( α ) sao
cho
uuur uuur
MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất
HD :
- Gọi I là trung điểm của AB.
uuur uuur
- Ta có MA + MB = 2MI
- MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên ( α )
Bài 4: Cho 3 điểm A ( −2;1;6 ) , B ( −4; −4;7 ) , C ( −3;0; −1) và mặt phẳng ( α ) : 2 x − y − 2 z − 5 = 0
uuur uuur uuuur
Tìm M ∈ ( α ) để MA + MB + MC nhỏ nhất
HD :
- Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
uuur uuur uuuur
- Ta có MA + MB + MC = 3MG
- MG nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G trên ( α )
Bài 5:
Cho 4 điểm A ( −5; 2;0 ) , B ( −8; −1; −1) , C ( 1;1; −5 ) , D ( −3; −2; 2 ) và mặt phẳng
( α ) : 4x − y − 2z − 8 = 0
a. Chứng minh rằng ABCD là 1 tứ diện.
uuur uuur uuuur uuuur
b. Tìm M ∈ ( α ) để MA + MB + MC + MD nhỏ nhất
HD :
Câu a :
uuur uuur uuur
- Chứng minh AB, AC , AD không đồng phẳng
Câu b:
- Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD
uuur uuur uuuur uuuur
- Ta có MA + MB + MC + MD = 4MG
- MG nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G trên ( α )
Bài 6: Cho mặt phẳng ( α ) : 2 x − y − 3z + 5 = 0 và hai điểm A ( 0;0; −3) , B ( 9;15;12 ) .
Tìm M ∈ ( α ) sao cho
a. MA + MB ngắn nhất.
b. MA − MB dài nhất.
HD :
A và B ở khác phía đối với ( α )
Câu a :
- Tìm toạ độ điểm I là giao điểm của AB và ( α )
- Suy ra M ≡ I
Câu b :
- Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua ( α )
- MA − MB = MA '− MB ≤ A ' B
- Đẳng thức xảy ra khi M nằm trên đường thẳng A’B (không nằm trên đoạn A’B)
- Gọi J = A ' B ∩ ( α ) . Suy ra M ≡ J
Bài 7: Cho mặt phẳng ( α ) : x + 3 y − z − 19 = 0 và hai điểm A ( −2;0;1) , B ( −7; −5;3) .
Tìm M ∈ ( α ) sao cho
a. MA + MB ngắn nhất.
b. MA − MB dài nhất.
HD :
A và B ở cùng phía đối với ( α )
Câu a:
- Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua ( α )
- Gọi J = A ' B ∩ ( α ) . Suy ra M ≡ J
Câu b :
- MA − MB ≤ AB
- Gọi I = AB ∩ ( α )
- Suy ra M ≡ I
VẤN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Phương trình tham số của đường thẳng :
r
Đường thẳng d đi qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận u = ( a; b; c ) làm VTCP có phương trình tham
số là :
x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z + ct
0
Chú ý : Một đường thẳng có vô số phương trình tham số
2. Phương trình chính tắc của đường thẳng :
x = x0 + at
Cho đường thẳng d có phương trình tham số y = y0 + bt ( *) với abc ≠ 0
z = z + ct
0
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
( *) ⇒
(phương trình chính tắc)
a
b
c
Chú ý : Nếu abc = 0 thì không có phương trình chính tắc
3. Phương trình tổng quát của đường thẳng :
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ( α )
với ( α )
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 ( β )
Phương trình tổng quát của đường thẳng d có dạng
cắt ( β )
Chú ý :
r
r
r r r
Gọi n1 là VTPT của ( α ) , n2 là VTPT của ( β ) . Khi đó u = [ n1 , n2 ] là VTCP của d
4. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng :
r
Cho đường thẳng d đi qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP u = ( a1; a2 ; a3 ) , đường thẳng d’ đi
r
qua M 0 ' ( x0 '; y0 '; z0 ') và có VTCP u ' = ( a1 '; a2 '; a3 ')
Chương trình chuẩn
Chương trình nâng cao
r
rr
d và d’ cắt nhau ⇔ hệ phương trình ẩn t, t’
[ u , u '] ≠ 0
d và d’ cắt nhau ⇔ r r uuuuuuur
x0 + a1t = x0 '+ a1 ' t '
[ u , u '] .M 0 M 0 ' = 0
sau y0 + a2t = y0 '+ a2 ' t ' ( I ) có đúng 1
z + a t = z '+ a ' t '
0
3
0 3
nghiệm
r
r
u = ku '
d // d ' ⇔
M 0 ∉ d '
r
r
u = ku '
d ≡d'⇔
M 0 ∈ d '
r
r
d chéo d’ ⇔ u không cùng phương với u '
x0 + a1t = x0 '+ a1 ' t '
và hệ phương trình y0 + a2t = y0 '+ a2 ' t ' vô
z + a t = z '+ a ' t '
0
3
0 3
r
rr
[ u , u '] = 0
d // d ' ⇔ r uuuuuuur r
u , M 0 M 0 ' ≠ 0
r
rr
[ u , u '] = 0
d ≡ d ' ⇔ r uuuuuuur r
u , M 0 M 0 ' = 0
r r uuuuuuur
d chéo d’ ⇔ [ u , u '] .M 0 M 0 ' ≠ 0
nghiệm
5. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng :
Chương trình chuẩn
Chương trình nâng cao
r
r
M ∈ d , u là VTCP của d, n là VTPT của
Hệ gồm phương trình của d và ( α )
(α)
rr
d ∩ ( α ) = { M } ⇔ n.u ≠ 0
rr
d // ( α ) ⇔ hệ vô nghiệm
n.u = 0
d // ( α ) ⇔
M ∉ ( α )
rr
d ⊂ ( α ) ⇔ hệ có vô số nghiệm
n.u = 0
d ⊂ (α) ⇔
M ∈ ( α )
r r r
r
r
d ⊥ ( α ) ⇔ n cùng phương với u ⇔ [ n , u ] = 0
d ∩ ( α ) = { M } ⇔ hệ có nghiệm duy nhất
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Dạng 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Bài 1 : Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A ( 1;1;1) và B ( 3;0; −2 )
2 x + y − z + 3 = 0
x + y + z −1 = 0
x − 2 y + 3z − 4 = 0
Bài 3 : Lập phương trình chính tắc của đường thẳng
3 x + 2 y − 5 z − 4 = 0
Bài 2 : Lập phương trình tham số của đường thẳng
x = −5 − 3t
Bài 4 : Cho mặt phẳng ( α ) : 3x − 4 y + z − 3 = 0 và hai đường thẳng ( d1 ) : y = 1 + t ;
z = −8 − 2t
x +1 y + 4 z +1
=
=
. Lập phương trình đường thẳng ∆ nằm trong ( α ) và cắt cả d1 , d 2
1
2
−4
HD : Tìm toạ độ giao điểm A của d1 và ( α ) . Tìm toạ độ giao điểm B của d 2 và ( α )
( d2 ) :
∆ là đường thẳng đi qua A và B.
x −1 y z + 2
= =
Bài 5: Cho ( ∆ ) :
và mặt phẳng ( α ) : x + y + z − 2 = 0 . Lập phương trình
2
2
−3
đường thẳng d nằm trong ( α ) , cắt và vuông góc với ∆
HD :
- Tìm toạ độ giao điểm A của ∆ và ( α )
r
r
- Gọi n là VTPT của ( α ) và u là VTCP của ∆
rr
- Suy ra [ n, u ] là VTCP của d
x = −2 + 3t
Bài 6 : Cho mặt phẳng ( P ) : x − 3 y − 4 z − 2 = 0 và đường thẳng ( d ) : y = 7 − t
z = 3 − 4t
Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua M 0 ( −1; 4;0 ) , song song với ( P ) và cắt d.
HD :
uuuuuur
- Giả sử ∆ cắt d tại M ⇒ M ( −2 + 3t ;7 − t;3 − 4t ) ⇒ M 0 M = ( 3t − 1; −t + 3;3 − 4t )
r uuuuuur
r uuuuuur
- Vì ∆ // ( P ) nên n ⊥ M 0 M ⇔ n.M 0 M = 0 ⇔ t = 1
uuuuuur
- Vậy ∆ có VTCP M 0 M = ( 2; 2; −1) và đi qua M 0 ( −1; 4;0 )
Bài 7: Lập phương trình đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng
x = 2 + 2t
( d ) : y = 3 + 3t và
z = −4 − 5t
( d ') :
x +1 y − 4 z − 4
=
=
3
−2
−1
HD :
r
r
- d có VTCP u = ( 2;3; −5 ) , d’ có VTCP v = ( 3; −2; −1)
- Lấy I ( 2 + 2t;3 + 3t ; −4 − 5t ) ∈ d và J ( −1 + 3t '; 4 − 2t '; 4 − t ') ∈ d '
uur
uur
IJ ⊥ ur IJ .ur = 0
t ' = 1
I ( 0;0;1)
⇒
- IJ là đường vuông góc chung của d và d’ ⇔ uur r ⇔ uur r ⇔
t = −1 J ( 2; 2;3)
IJ ⊥ v
IJ .v = 0
Bài 8: Lập phương trình đường thẳng đi qua M ( −4; −5;3) và cắt cả hai đường thẳng
x = 2 + 2t
x +1 y + 3 z − 2
=
=
( d1 ) :
, ( d 2 ) : y = −1 + 3t
3
−2
−1
z = 1 − 5t
HD :
- Gọi ∆ là đường thẳng cần viết phương trình.
- Giả sử ∆ cắt d1 tại A ( −1 + 3t ; −3 − 2t; 2 − t ) và cắt d 2 tại B ( 2 + 2t '; −1 + 3t ';1 − 5t ')
uuur
uuuur
- Ta có AB = ( 2t '− 3t + 3;3t '+ 2t + 2; −5t '+ t − 1) và AM = ( −3 − 3t; −2 + 2t;1 + t )
uuur
uuuur
uuur uuuur
- Yêu cầu bài toán ⇒ AB cùng phương với AM ⇔ AB, AM = 0 ⇔ t = t ' = 0
Bài 9: Cho ba điểm A ( −2; 2;1) , B ( 1; 2; −2 ) , C ( 2;1; 2 ) . Viết phương trình tham số của đường
thẳng d vuông góc với mp ( ABC ) và đi qua trực tâm H của tam giác ABC.
Bài 10 :
Dạng 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
x = 1 − 3t
x y−7 z +4
=
Bài 1: Cho hai đường thẳng ( d1 ) : =
và ( d 2 ) : y = 2t .
2
5
−3
z = −2 + t
Chứng minh rằng d1 và d 2 cắt nhau. Viết phương trình của mặt phẳng chứa d1 và d 2
x = −1 + 5t
x + 3 y + 4 z −1
=
=
Bài 2: Cho hai đường thẳng ( d ) : y = −5 + 7t và ( d ') :
1
−
2
4
z = 3 + 3t
a. Chứng minh d và d’ chéo nhau
b. Lập phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d và d’
HD :
Câu b :
r
- d đi qua A ( −1; −5;3) và có VTCP u = ( 5;7;3) , d ' đi qua B ( −3; −4;1) và có VTCP
r
v = ( 1; −2; 4 )
- Gọi ( α ) là mặt phẳng cần viết phương trình. Suy ra ( α ) đi qua trung điểm I của AB và
rr
nhận [ u , v ] làm VTPT.
(
)
x = −1 + a 2 + 1 t
x + 3 y −1 z
=
=
Bài 3: Cho hai đường thẳng ( d ) : y = 4 − at
và ( d ') :
2
−1 3
z = −5 + 2 a + 1 t
(
)
a. Tìm a để d cắt d’
b. Tìm a để d ⊥ d '
x = m 2 − 7 + 2t
x +1 y − 3 z − 2
=
=
Bài 4: Cho hai đường thẳng ( d ) :
và ( d ') : y = m − 1 − 3t . Tìm m để d cắt
−3
2
−2
z = m − t
d’
x = 1 − 2m − mt
x = 2 − t
2
Bài 5: Cho hai đường thẳng ( d ) : y = −3 + 3t và ( d ') : y = −6 − m + 2 t
z = −1 + 2t
z = −3 + 2mt
(
)
Tìm m để d // d ' . Khi đó hãy viết phương trình của mặt phẳng ( d , d ')
Dạng 3: HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA 1 ĐIỂM TRÊN 1 ĐƯỜNG THẲNG
Phương pháp giải:
r
Cho điểm M và đường thẳng ∆ có VTCP u . Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc
của M trên ∆
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên ∆
- Lấy H ( ?;?;? ) ∈ ∆ (toạ độ của H chính là phương trình tham số của ∆
uuuur
- Tìm toạ
độ
của
MH theo t
uuuur r
- Ta có MH .u = 0 ⇒ t ⇒ toạ độ của H
Chú ý : d ( M , ∆ ) = MH
Bài 1: Cho ba điểm A ( −1;3; 2 ) , B ( 4;0; −3) , C ( 5; −1; 4 ) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của
A trên đường thẳng BC.
HD:
x = 4 + t
uuur
- BC = ( 1; −1;7 ) . Phương trình đường thẳng BC là y = −t
z = −3 + 7t
- Gọi H là hình chiếu vuông
góc của A lên BC
uuur
⇒ H ( 4 + t ; −t ; −3 + 7t ) ⇒ AH = ( t + 5; −t − 3;7t − 5 )
uuur uuur uuur uuur
27
231 −27 36
;
; ÷
- AH ⊥ BC ⇔ AH .BC = 0 ⇔ t = ⇒ H
51
51 51 51
Bài 2: Tìm toạ độ điểm M’ đối xứng với M ( 2; −1; −5) qua đường thẳng
x − 2 y + 3 z +1
=
=
( ∆) :
2
−1
1
HD:
Suy ra từ bài 1
x = 3t
Bài 3: Cho 2 điểm A ( 1;1;1) , B ( −2;3;0 ) và đường thẳng ( d ) : y = 1 − 2t
z = −5 + 3t
uuur uuur
Tìm M ∈ d sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
HD:
- Gọi I là trung điểm của AB.
uuur uuur
- Ta có MA + MB = 2MI
- MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên d.
x = 9 + 2t
Bài 4: Cho 3 điểm A ( 4;1; −28) , B ( 4; −9; 2 ) , C ( 10; 2; −10 ) và đường thẳng ( d ) : y = −t
z = −4 + 3t
uuur uuur uuuur
Tìm M ∈ d sao cho MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất.
HD:
- Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
uuur uuur uuuur
- Ta có MA + MB + MC = 3MG
- MG nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G trên d
Dạng 4: HÌNH CHIẾU CỦA 1 ĐƯỜNG THẲNG TRÊN MỘT MẶT PHẲNG
Phương pháp giải:
Cách 1:Cho đường thẳng d và mặt phẳng ( α ) . Tìm phương trình hình chiếu vuông góc
của d trên ( α )
- Viết phương trình mặt phẳng ( β ) chứa d và ( β ) ⊥ ( α )
- Gọi d’ là hình chiếu vuông góc của d trên ( α ) . Suy ra d ' = ( β ) ∩ ( α )
Cách 2:Cho đường thẳng d và mặt phẳng ( α ) . Tìm phương trình hình chiếu vuông góc
của d trên ( α )
- Tìm giao điểm A của d và ( α )
- Lấy B ∈ d rồi tìm toạ độ của H là hình chiếu vuông góc của B trên ( α )
- Viết phương trình của đường thẳng AH đi qua A và H.
Chú ý : Nếu d // ( α ) thì làm như sau :
- Lấy A ∈ d rồi tìm toạ độ của H là hình chiếu vuông góc của A trên ( α )
- Gọi d’ là hình chiếu vuông góc của d trên d. Suy ra d’ song song với d và d’ đi qua H
Bài 1: Tìm hình chiếu vuông góc của đường thẳng ( d ) :
( α ) : x + 2 y + 3z + 4 = 0
x − 2 y + 2 z −1
=
=
lên mặt phẳng
3
4
1
x − y + z − 5 = 0
lên mặt phẳng
2 x + 3 y + z − 4 = 0
Bài 2: Xác định hình chiếu của đường thẳng
( α ) : 3x − 2 y − z + 15 = 0
x = 1 + 2t
Bài 3: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng ( d ) : y = −2 + 3t trên mỗi
z = 3 + t
mặt phẳng
toạ độ
7
x = 2 + 3t
Bài 4: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng ( d ) : y = −2t trên mặt
z = −2t
phẳng
( α ) : x + 2 y − 2z − 2 = 0
Bài 5: Cho mặt phẳng ( α ) : x − 3 y − 3z + 2 = 0 và hai đường thẳng ( d1 ) :
x+4
z −3
=y=
và
−2
2
x = −1 + 5t
( d 2 ) : y = 2 + t . Viết phương trình hình chiếu theo phương d 2 của đường thẳng
z = −3t
d1 trên
mặt phẳng ( α )
VẤN ĐỀ 6: MẶT CẦU
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Phương trình mặt cầu:
a. Mặt cầu (S) có tâm I ( a; b; c ) và bán kính r có phương trình
( x − a)
2
+ ( y − b) + ( z − c) = r2
2
2
b. Nếu A2 + B 2 + C 2 − D > 0 thì x 2 + y 2 + z 2 + 2Ax +2By + 2Cz +D = 0 là phương trình của
mặt cầu tâm I ( − A; − B; −C ) bán kính r = A2 + B 2 + C 2 − D
c. Nếu mặt phẳng ( α ) tiếp xúc với mặt cầu ( S) tại M thì ( α ) được gọi là tiếp diện của
mặt cầu ( S) và M được gọi là tiếp điểm
d. Nếu đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu ( S) tại M thì ∆ được gọi là tiếp tuyến của
( S) và M được gọi là tiếp điểm.
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Dạng 1 : VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU- XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH
Bài 1: Lập phương trình của mặt cầu, biết rằng mặt cầu đó đi qua A ( 5;3; 2 ) và có tâm
I ( 1;1;1)
Bài 2: Lập phương trình mặt cầu đường kính AB, biết A ( 2; −1;5 ) , B ( 3;5;7 )
Bài 3: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:
a. x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 4 y − 6 z + 3 = 0
b. x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 8 y + 2 z − 1 = 0
Bài 4: Cho 4 điểm A ( 1; −1; 2 ) , B ( 1;3; 2 ) , C ( 4;3; 2 ) , D ( 4; −1; 2 )
a. Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 điểm đồng phẳng
b. Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng Oxy. Hãy viết phương trình mặt
cầu ( S) đi qua 4 điểm A’, B, C, D.
c. Viết phương trình tiếp diện của ( S) tại A’
Bài 5: Cho 3 điểm A ( 1;0; −1) , B ( 1; 2;1) , C ( 0; 2;0 ) . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
a. Viết phương trình mặt cầu ( S) đi qua 4 điểm O, A, B, C
b. Viết phương trình các mặt phẳng vuông góc với OG và tiếp xúc với mặt cầu ( S)
Bài 6 : Lập phương trình mặt cầu ( S) có tâm I ( 1; 4; −7 ) và tiếp xúc với
( α ) : 6x + 6y − 7z + 42 = 0
x = 2t
Bài 7 : Cho d : y = 1 + t và hai mặt phẳng ( P ) : x + y − 2z + 5 = 0 ; ( Q ) : 2x − y + z + 2 = 0
z = −1 + 2t
Viết phương trình mặt cầu ( S) có tâm thuộc d và tiếp xúc với ( P ) , ( Q )
HD :
Vì I ∈ d nên ta có I ( 2t;1 + t; −1 + 2t )
4
t=
d ( I, ( P ) ) = d ( I, ( Q ) ) ⇔ − t + 8 = 5t ⇔ 3
t = −2
x = 1 + 3t
Bài 8 : Cho d : y = −2 + t và mặt phẳng ( P ) : 2x + y − 2z = 0
z = t
a. Lập phương trình mặt cầu ( S) có tâm nằm trên đường thẳng d ; tiếp xúc với ( P ) và có
bán kính
bằng 1
b. Gọi M = d ∩ ( P ) , T là tiếp điểm . Tính MT.
HD :
Vì I ∈ d nên ta có I ( 1 + 3t; −2 + t; t )
1
t=
d ( I, ( P ) ) = 1 ⇔ 5t + 2 = 3 ⇔ 5
t = −1
Dạng 2 : QUAN HỆ GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG
Phương pháp giải :
Cho mặt cầu S ( I , r ) và mặt phẳng ( α )
- Nếu d ( I , ( α ) ) > r thì S ( I , r ) và ( α ) không có điểm chung.
- Nếu d ( I , ( α ) ) = r thì S ( I , r ) tiếp xúc với ( α )
- Nếu d ( I , ( α ) ) < r thì S ( I , r ) ∩ ( α ) = ( O, R ) với R = r 2 − d 2 ( I , ( α ) )
Bài tập áp dụng :
Bài 1: Tuỳ theo m hãy biện luận vị trí tương đối của mặt cầu
( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 2 y − 1 = 0 và mặt phẳng ( α ) : 2 x − y − z − m = 0
2
2
2
Bài 2: Cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − y − 3z + 4 = 0 và mặt cầu ( S ) : x + y + z + 6 x − 2 y − 2 z − 3 = 0
Lập phương trình mặt phẳng ( α ) song song với ( P ) và tiếp xúc với ( S )
2
2
2
Bài 3: Chứng minh rằng mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2 y − 4 z − 20 = 0 cắt mặt phẳng
( α ) : x + 2 y − z + 8 = 0 theo 1 đường tròn ( C ) . Xác định tâm và bán kính của ( C )
2
2
2
Bài 4: Cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2 x + 5 y − 4 z − 1 = 0
a. Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu ( S ) .
b. Tìm m để họ mặt phẳng ( α m ) : x + 2 y − z + m = 0 là tiếp diện của ( S )
8 x − 11 y + 8 z − 30 = 0
tiếp
x − 2 y − 2z = 0
Bài 5: Lập phương trình mặt phẳng ( α ) chứa đường thẳng ( d ) :
xúc với
2
2
2
mặt cầu ( S ) : x + y + z + 2 x − 6 y + 4 z − 15 = 0
Bài 6: Cho mặt phẳng ( α ) : 3x + 4 z − 1 = 0 và I ( 1; 2;3)
a. Lập phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I và tiếp xúc với ( α )
b. Tìm toạ độ tiếp điểm A.
Bài 7: Lập phương trình mặt phẳng ( α ) tiếp xúc với mặt cầu
x = −5 + 2t
( S) : x + y + z − 10x + 2y + 26z − 113 = 0 và song song với hai đường thẳng d1 : y = 1 − 3t
z = −2 + 2t
2
2
2
x = −7 + 3t
và d 2 : y = −1 − 2t
z = 8
HD:
r r
[ u1 , u 2 ] = ( 4;6;5 ) là VTPT của ( α )
Sử dụng d ( I, ( α ) ) = R tìm D
⇒ ( α ) : 4x + 6y + 5z + D = 0
Dạng 3 : QUAN HỆ GIỮA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG
Phương pháp giải :
Cho mặt cầu S ( I , r ) và đường thẳng ∆
- Nếu d ( I , ∆ ) > r thì ∆ ∩ ( S ) = ∅
- Nếu d ( I , ∆ ) = r thì ∆ ∩ ( S ) = { M } (tiếp xúc)
- Nếu d ( I , ∆ ) < r thì ∆ ∩ ( S ) = { M , N } (mặt cầu cắt đường thẳng tại hai điểm)
Bài tập áp dụng
2
2
2
Bài 1: Cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2 x − 6 z − 35 = 0
a. Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu ( S ) .
b. Tìm giao điểm của mặt cầu ( S ) với đường thẳng đi qua hai điểm A ( 2; −4;8 ) và
B ( 0; −2;10 )
Bài 2: Lập phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2;3; −1) và cắt đường thẳng
5 x − 4 y + 3 z + 20 = 0
tại hai điểm A, B sao cho AB = 6
3x − 4 y + z − 8 = 0
( d) :
2 x + 4 y − z − 7 = 0
và
4 x + 5 y + z − 14 = 0
Bài 3: Lập phương trình mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng ( d ) :
tiếp xúc với
hai mặt phẳng ( α ) : x + 2 y − 2 z − 2 = 0 và ( β ) : x + 2 y − 2 z + 4 = 0
- Xem thêm -
.PDF 
18 
129 
89 
