Tài liệu Phương pháp sai phân giải gần đúng bài toán biên giá trị ban đầu cho phương trình parabolic tuyến tính cấp hai

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ THỊ THU HÀ PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN BIÊN GIÁ TRỊ-BAN ĐẦU CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ THỊ THU HÀ PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN BIÊN GIÁ TRỊ-BAN ĐẦU CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN Hà Nội - Năm 2012 Mục lục Mở đầu 3 1 Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic tuyến tính cấp hai tổng quát 1.1 1.2 5 Không gian W21,0 (QT ) và W̊21,0 (QT ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Không gian L2 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Đạo hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.3 Không gian W21,0 (QT ) và W̊21,0 (QT ) . . . . . . . . . . . . . . 12 Nghiệm suy rộng của bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic tuyến tính cấp hai tổng quát . . . . . . 14 1.2.1 Phương trình parabolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.2 Nghiệm suy rộng của bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic tuyến tính cấp hai tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Một số sơ đồ sai phân giải gần đúng bài toán biên-giá trị ban đầu 26 2.1 Hàm lưới. Tỉ số sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Nội suy của hàm lưới. Các định lý nhúng . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3 Một số sơ đồ sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3.1 Sơ đồ sai phân ẩn thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.2 Sơ đồ sai phân ẩn thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1 2.3.3 Sơ đồ hiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 2 Mở đầu Trong thực tế, nhiều hiện tượng khoa học và kỹ thuật dẫn đến các bài toán biên của phương trình vật lý-toán. Một số ít trường hợp có thể tìm được ngay nghiệm của bài toán. Còn đại đa số trường hợp thì việc tìm nghiệm của bài toán là hết sức khó khăn. Khi đó, việc tìm nghiệm phải dựa vào các phương pháp giải gần đúng. Với đề tài "Phương pháp sai phân giải gần đúng bài toán biên-giá trị ban đầu cho phương trình parabolic tuyến tính cấp hai", luận văn trình bày phương pháp sai phân để đưa bài toán biên-giá trị ban đầu cho phương trình parabolic tuyến tính cấp hai về một bài toán đại số gồm nhiều phương trình đại số tuyến tính. Bài toán đại số này có phương pháp giải và có thể tìm được nghiệm gần đúng cho bài toán ban đầu. Luận văn chủ yếu trình bày các kết quả đã được đưa ra ở các chương III, VI của [9]. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành hai chương: Chương 1: Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic tuyến tính cấp hai tổng quát Trong chương này, luận văn trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản về một số không gian: L2 (Ω), W21,0 (QT ), W̊21,0 (QT ) và đạo hàm suy rộng. Đây là 3 các kiến thức cơ bản để nghiên cứu nghiệm suy rộng của bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic tuyến tính cấp hai tổng quát. Bài toán này sẽ có nghiệm suy rộng duy nhất trong W21,0 (QT ). Ngoài các kết quả của [9], luận văn đã sử dụng thêm các kết quả của [4] và [6]. Chương 2: Một số sơ đồ sai phân giải gần đúng bài toán biên-giá trị ban đầu Để tiếp cận với các sơ đồ sai phân, luận văn sẽ trình bày về hàm lưới, các hàm nội suy của hàm lưới và mối quan hệ giữa giữa hàm lưới và các nội suy của chúng. Xét hai sự thay thế cho đạo hàm ∂u/∂t là: ut và ut . Sự thay thế thứ nhất cho ta hai sơ đồ ẩn: sơ đồ sai phân ẩn thứ nhất và thứ hai, sự thay thế thứ hai cho ta sơ đồ hiện. Luận văn sẽ nghiên cứu sự ổn định và tính duy nhất nghiệm của các sơ đồ sai phân. Cả ba sơ đồ sai phân nhận được sẽ có duy nhất nghiệm và ổn định, nhưng sự hội ở sơ đồ ẩn thứ hai xảy ra với chuẩn yếu hơn so với sơ đồ ẩn thứ nhất. Các kết quả này dựa vào [9]. Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn (Viện Toán học Việt Nam). Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người Thầy của mình. Qua đây, tôi xin gửi tới Ban Giám Hiệu, Phòng Sau Đại Học, Khoa Toán Cơ - Tin học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục đào tạo của Nhà trường. Hà Nội, tháng 12 năm 2012 4 Chương 1 Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic tuyến tính cấp hai tổng quát Không gian W21,0(QT ) và W̊21,0(QT ) 1.1 1.1.1 Không gian L2 (Ω) Định nghĩa 1.1.1. [9] Một tập E các phần tử trừu tượng được gọi là một không gian tuyến tính định chuẩn thực (hoặc phức) nếu: 1. E là một không gian tuyến tính với phép nhân với các số thực (hoặc phức); 2. Với mọi phần tử u ∈ E có một số thực (được gọi là chuẩn của phần tử và kí hiệu là kuk) thỏa mãn các tiên đề sau: (a) kuk ≥ 0, kuk = 0 chỉ với phần tử không; (b) ku + vk ≤ kuk + kvk, bất đẳng thức tam giác; (c) kλuk ≤ |λ| · kuk. Ta đưa vào không gian như vậy một metric tự nhiên: khoảng cách ρ(u, v) giữa hai phần tử u và v được xác định bởi ρ(u, v) = ku − vk. 5 Định nghĩa 1.1.2. [9] Dãy {un } các phần tử của E gọi là hội tụ tới u ∈ E (hay, hội tụ mạnh trong E ) nếu kun − uk → 0 khi n → ∞, và kí hiệu là un → u. Định nghĩa 1.1.3. [9] Tập E 0 ⊂ E được gọi là trù mật khắp nơi trong E nếu bất kì phần tử nào của E cũng là giới hạn theo chuẩn E của các phần tử của E 0 . Nếu E chứa một tập hợp đếm được trù mật khắp nơi thì E được gọi là tách được. Định nghĩa 1.1.4. [9] Dãy {un }∞ n=1 gọi là hội tụ (hay dãy Cauchy, dãy cơ bản) nếu kup − uq k → 0 khi p, q → ∞. Định nghĩa 1.1.5. [9] Nếu mọi dãy Cauchy {un }∞ n=1 có giới hạn là phần tử u ∈ E thì E gọi là không gian đủ (trong trường hợp này kun − uk → 0 khi n → ∞). Một không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ được gọi là không gian Banach, ta kí hiệu là B . Mọi không gian ta xét từ đây trở đi là đầy đủ và trù mật. Về cơ bản chúng ta sẽ nghiên cứu một trường hợp cụ thể của các không gian Banach: không gian Hilbert, ta kí hiệu là H . Định nghĩa 1.1.6. [6] Không gian tuyến tính X xác định trên trường số thực được gọi là không gian tiền Hilbert nếu với mọi u, v ∈ X xác định một số gọi là tích vô hướng của u và v) thỏa mãn các tiên đề sau: 1. (u, v) = (v, u); 2. (u1 + u2 , v) = (u1 , v) + (u2 , v); 3. (λu, v) = λ(u, v); 4. (u, u) ≥ 0, (u, u) = 0 chỉ với phần tử không u = 0. Định nghĩa 1.1.7. [6] Không gian tiền Hilbert đủ gọi là không gian Hilbert. Chuẩn của phần tử u, kí hiệu kuk được xác định bởi: kuk = p (u, u). Ta thấy trong định nghĩa của một không gian Hilbert, đã bao gồm các yêu cầu 6 đầy đủ và trù mật. Xuyên suốt luận văn, chúng ta sẽ sử dụng không gian B và H thực. Với hai phần tử u, v bất kì trong H , ta có bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopski, Schwarz (ta sẽ gọi đơn giản là bất đẳng thức Cauchy): |(u, v)| ≤ kuk · kvk . Ngoài ra, để xét sự hội tụ theo chuẩn (sự hội tụ mạnh) trong không gian H , chúng ta cũng phải xem xét hội tụ yếu. Định nghĩa 1.1.8. [9] Dãy {un } gọi là hội tụ yếu đến phần tử u trong H nếu (un − u, v) → 0 khi n → ∞, với ∀v ∈ H. Kí hiệu: un * u. Ta thấy rằng, nếu các chuẩn của un bị chặn đều thì để chứng minh sự hội tụ yếu của {un } đến u, ta chỉ cần chứng minh (un − u, v) → 0 khi n → ∞ trên tập V nào đó trù mật khắp nơi trong H . Một dãy {un } không thể hội tụ yếu đến hai phần tử của H. Nếu {un } hội tụ đến u theo chuẩn trong H thì nó sẽ hội tụ yếu đến u. Điều ngược lại không đúng. Tuy vậy, nếu {un } hội tụ yếu đến u và kun k → kuk thì {un } hội tụ mạnh đến u. Định lý 1.1.1. [9] Nếu {un } hội tụ yếu đến u trong H , thì kun k ≤ lim kun k ≤ lim kun k , n→∞ n→∞ với vế phải của bất đẳng thức là hữu hạn. Một không gian Hilbert và bất kỳ không gian con đóng nào của nó, là đủ đối với sự hội tụ yếu Định nghĩa 1.1.9. [9] Tập M trong không gian Banach B được gọi là tiền compact (hay tiền compact trong B ) nếu mọi dãy vô hạn các phần tử của M có chứa một dãy con hội tụ. Nếu giới hạn của tất cả các dãy con thuộc về M, thì M được gọi là compact. 7 Định lý 1.1.2. [9] Tập M của H là tiền compact yếu khi và chỉ khi nó bị chặn. Định nghĩa 1.1.10. [9] Tập tất cả các hàm thực, đo được u(x) xác định trên miền Ω của không gian Euclidean Rn với một tích phân hữu hạn: Z p kukLp (Ω) = 1/p |u(x)| dx , Ω trong đó p ≥ 1 là một số cố định bất kì, hình thành một không gian Banach tách được và có chuẩn được xác định như trên. Không gian này thường được gọi là Lp (Ω). Một phần tử của Lp (Ω) không chỉ là một hàm số với các tính chất đã nêu, mà là một lớp các hàm số tương đương với nó trên Ω (nghĩa là, những hàm số trùng với nó hầu hết ở khắp mọi nơi trên Ω). Tuy nhiên, để ngắn gọn, chúng ta sẽ nói về các phần tử của Lp (Ω) như các hàm xác định nghĩa trên Ω. Ta có thể lấy ví dụ các tập trù mật khắp nơi trong Lp (Ω): • mọi hàm khả vi vô hạn, mọi đa thức, hoặc các đa thức với hệ số hữu tỉ; • tập Ċ ∞ (Ω) các hàm khả vi vô hạn với giá compact thuộc vào Ω. Không gian L2 (Ω) là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng: Z (u, v) = u(x)v(x)dx. Ω Chúng ta đề cập đến một số các bất đẳng thức sẽ sử dụng thường xuyên. • Bất đẳng thức Cauchy: v  n  v uX n X  u X u n u   t aij ξi ξj t aij ηi ηj , aij ξi ηj  ≤    i,j=1 i,j=1 i,j=1 với bất kì dạng bậc hai không âm aij ξi ξj với aij = aji và các số thực tùy ý: ξ1 , . . . , ξn , η1 , . . . , ηn . 8 • bất đẳng thức Cauchy với ε: ε 1 |ab| ≤ |a|2 + |b|2 , 2 2ε với mọi ε > 0 và a, b bất kì. Từ các bất đẳng thức hàm chúng ta có các bất đẳng thức cụ thể trong L2 (Ω) • Z 2 1/2 Z ≤ (u + v) dx 2 u dx 1/2 Z + . v dx Ω Ω Ω 1/2 2 Trường hợp tổng quát của bất đẳng thức này là bất đẳng thức tam giác cho các phần tử của Lp (Ω): ku + vkp,Ω ≤ kukLp (Ω) + kvkLp (Ω) (p ≥ 1). • Và: Z 1/2 Z 1/2 Z 1/2   2 2  uvdx ≤ u dx v dx .   Ω Ω Ω Với không gian L2 (Ω) bao gồm các hàm vectơ u = (u1 , . . . , uN ) với ui ∈ L2 (Ω), bất đẳng thức Cauchy có dạng: Z  N  X    ui vi dx ≤   Ω  i=1 Z X N u2i dx Ω i=1 !1/2 Z N X !1/2 vi2 dx . Ω i=1 Vế trái của nó là modul của tích vô hướng của u và v, vế phải là tích các chuẩn của u và v. Một toán tử A xác định trên một tập D(A) của H , gán mỗi phần tử u ∈ D(A) với một phần tử v ∈ H nhất định, thường viết v = Au hay v = A(u). Định nghĩa 1.1.11. [9] Nếu đẳng thức: A(λu1 + µu2 ) = λA(u1 ) + µA(u2 ) thỏa mãn trên D(A) thì ta nói A là tuyến tính (với giả thiết D(A) là một tập tuyến tính). 9 Định nghĩa 1.1.12. [9] Toán tử A từ D(A) vào Y ⊆ H gọi là liên tục nếu un → u0 luôn kéo theo Axn → Ax0 . Định nghĩa 1.1.13. [9] Nếu tồn tại một hằng số c sao cho, với mọi u ∈ D(A): kAuk ≤ c kuk , thì A là một toán tử bị chặn trong D(A). Định nghĩa 1.1.14. [6] Toán tử A được gọi là tự liên hợp nếu: với mọi u, v ∈ H , (Au, v) = (u, Av). Định nghĩa 1.1.15. [9] Toán tử A được gọi là hoàn toàn liên tục nếu nó biến tập bị chặn bất kỳ thành một tập tiền compact. 1.1.2 Đạo hàm suy rộng Với hai hàm số u(x) và v(x) tùy ý, khả vi vô hạn trong miền Ω trong Rn và v(x) triệt tiêu trên một miền biên (nghĩa là, v ∈ Ċ ∞ (Ω)), bằng cách tích phân từng phần k lần ta có: Z  u Ω ∂kv k+1 ∂xk11 . . . ∂xknn + (−1) v ∂ku ∂xk11 . . . ∂xknn  dx = 0. Định nghĩa 1.1.16. [4, 9] Cho Ω là một miền trong không gian Rn . Một hàm số ωk1 ...kn ∈ L1 (Ω) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp k của u(x) ∈ L1 (Ω) nếu:  Z  k u Ω ∂ v ∂xk11 . . . ∂xknn + (−1)k+1 vωk1 ...kn dx = 0, với mọi v ∈ Ċ ∞ (Ω), k = (k1 , . . . , kn ), |k| = k1 + · · · + kn . Kí hiệu hàm ωk1 ...kn là ∂ k u/∂xk11 . . . ∂xknn , hoặc Dk u. Cách kí hiệu thứ nhất sẽ không gây ra sự hiểu lầm vì nếu u ∈ C k (Ω) thì ωk1 ...kn = ∂ k u/∂xk11 . . . ∂xknn . Rõ ràng là khái niệm này là một phần mở rộng của khái niệm cổ điển về đạo hàm riêng liên tục của dạng ∂ k u/∂xk11 . . . ∂xknn . 10 Nếu hàm u(x) có đạo hàm thông thường liên tục cấp k thì nó có đạo hàm suy rộng cấp k . Từ định nghĩa đạo hàm suy rộng ta thấy hàm u(x) có không quá một đạo hàm suy rộng. Một hàm có đạo hàm suy rộng có thể không có đạo hàm theo thông thường. Tính chất 1.1.1. [4] Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp k trong miền Ω thì nó cũng có đạo hàm suy rộng cấp k trong miền Ω0 ⊂ Ω. Tính chất 1.1.2. [4] Nếu u1 và u2 có đạo hàm suy rộng trong Ω thì c1 u1 + c2 u2 có đạo hàm suy rộng trong Ω và: ∂ k (c1 u1 + c2 u2 ) ∂xk11 . . . ∂xknn = c1 ∂ k u1 ∂xk11 . . . ∂xknn + c2 ∂ k u2 ∂xk11 . . . ∂xknn . Tính chất 1.1.3. [4] Nếu v là một đạo hàm suy rộng cấp l của u và ω là một đạo hàm suy rộng cấp k của v thì ω là một đạo hàm suy rộng cấp l + k của u. Từ định nghĩa của đạo hàm suy rộng ta thấy ∂ k /∂x1k1 . . . ∂xknn độc lập với thứ tự lấy đạo hàm. Đạo hàm suy rộng bảo tồn nhiều tính chất của đạo hàm cổ điển. Tuy nhiên không phải là bảo tồn tất cả, chẳng hạn từ sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp k không suy ra được sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp nhỏ hơn k . Định lý 1.1.3. [4] Giả sử Ω là một miền trong không gian Rn , Ω0 là một miền con của Ω sao cho khoảng cách giữa Ω0 và ∂Ω bằng d > 0. Khi đó, với 0 < h < d và x ∈ Ω0 , ta có: (Dk u)h (x) = Dk uh (x). Chứng minh. Giả sử θ(x) ∈ C̊ ∞ (Rn ) là một hàm không âm sao cho: R θ(x) = θ(−x), θ(x) = 0 nếu |x| > 1 và Rn θ(x) = 1. Ví dụ:   ( θ(x) = c exp −1 1−|x|2 0, 11 , |x| < 1, |x| ≤ 1, với hằng số c thích hợp. Do 0 < h < d và x ∈ Ω0 , hàm θ(x − y)/h ∈ C̊ ∞ (Ω) đối với x ∈ Ω0 , nên sử dụng định nghĩa đạo hàm suy rộng ta được: Z x − y  Dk uh (x) = Dxk h−n θ h Rn −n Z =h = h−n (−1)|k| Dyk θ ZΩ θ x − y  Ω h u(y)dy, x − y  h u(y)dy, Dyk u(y)dy = (Dk u)h (x). Chúng ta kết thúc phần này bằng cách trích dẫn một tiêu chuẩn có ích và đơn giản cho sự tồn tại các đạo hàm suy rộng của một hàm u(x). Định lý 1.1.4. [8] Cho f (x) là một hàm khả tổng trên Ω. Nếu u(x) có thể xấp xỉ bằng một dãy hàm us (x), (s = 1, 2, . . .) khả vi liên tục cấp k , Z (us − u)vdx = 0, lim s→∞ ∀v(x) ∈ Ċ ∞ (Ω). Ω Nếu kus kLp (Ω) và ∂ k us /∂xk11 . . . ∂xknn Lp (Ω) ≤ c thì hàm u có đạo hàm suy rộng ∂ k u/∂xk11 . . . ∂xknn và kukLp (Ω) và ∂ k u/∂xk11 . . . ∂xknn L (Ω) ≤ c, p ≥ 1. p Kết quả này vẫn đúng với hàm us (x) ∈ Lp (Ω) và có đạo hàm suy rộng cùng dạng, hơn nữa các đạo hàm liên tục. Chứng minh định lý có thể tìm thấy ở [8]. 1.1.3 Không gian W21,0 (QT ) và W̊21,0 (QT ) Giả sử Ω là một miền trong Rn và T là một hằng số dương. Kí hiệu: QT = Ω × (0, T ) = {(x, t) : x ∈ Ω, t ∈ (0, T )} và gọi là trụ với chiều cao T, đáy Ω, mặt xung qunah ST = ∂Ω × (0, T ). Định nghĩa 1.1.17. [9] W21,0 (QT ) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x, t) ∈ L2 (QT ) sao cho tồn tại tất cả các đạo hàm suy rộng ∂u/∂xi , i = 1, 2, . . . , n trong L2 (QT ). 12 Với tích vô hướng được xác định như sau: Z (1,0) (u, v)2,QT = (uv + ux vx )dxdt. QT W21,0 (QT ) là một không gian Banach. Hơn nữa, nó là không gian Hilbert với tích vô hướng xác định như trên và ta kí hiệu chuẩn trong W21,0 (QT ) là k·kW21,0 (QT ) . Định nghĩa 1.1.18. [4] Ta kí hiệu W̊21,0 (QT ) là không gian con đóng của W21,0 (QT ) với chuẩn k·kW21,0 (QT ) bao gồm tất cả các hàm trơn u(x, t) ∈ W21,0 (QT ) triệt tiêu gần biên ST = ∂Ω × (0, T ). Nghĩa là, u(x, t) ∈ W̊21,0 (QT ) khi và chỉ khi tồn tại một dãy {uk (x, t)}∞ k=1 ⊂ C ∞ (QT ), uk (x, t) = 0 khi (x, t) ∈ QδT = {(x, t) ∈ QT : dist {(x, t), ST } < δ}, δ là số dương đủ bé, và uk → u trong W21,0 (QT ) khi k → ∞. Không gian W̊21,0 (QT ) là một không gian con riêng của W21,0 (QT ), hiển nhiên công thức tích phân từng phần, Z Z uxi vdxdt = − uvxi dxdt, QT QT cũng đúng cho hàm trơn v bất kì và với bất kì hàm trơn u nào triệt tiêu gần ST . Với điều kiện đóng theo chuẩn của W21,0 (QT ) thì công thức này vẫn đúng với v ∈ W21,0 (QT ) và u ∈ W̊21,0 (QT ). Nếu cả u và v triệt tiêu không triệt tiêu trên ST thì công thức trên không đúng với trường hợp tổng quát nên nó không đúng với W21,0 (QT ). Do đó u(x, t) ∈ W̊21,0 (QT ) triệt tiêu trên ST là định nghĩa tốt. Không gian W̊21,0 (QT ) cũng là một không gian Hilbert Kết thúc phần này, ta sẽ chứng minh một bổ đề nổi tiếng có thể được sử dụng để tiên nghiệm giới hạn cho các nghiệm của các phương trình không ổn định. Bổ đề 1.1.1. [9] Cho y(t) không âm và liên tục tuyệt đối trên [0,T], và hầu hết t ∈ [0, T ] thỏa mãn bất đẳng thức: dy(t) ≤ c1 (t)y(t) + c2 (t), dt 13 với ci (t) là các hàm khả tổng, không âm trên [0,T]. Khi đó: Z t  " Z t Z ξ y(t) ≤ exp . y(0) + c1 (τ )dτ t Z − c2 (ξ) exp c1 (τ )dτ 0 0 ≤ exp   c1 (τ )dτ . y(0) + 0 # dξ 0 t Z !  c2 (τ )dτ . 0 Chứng minh. Ta nhân n R t dy(t) dt ≤ c1 (t)y(t) + c2 (t) với exp − 0 t t o c1 (τ )dτ , viết kết quả dưới dạng:   Z d y exp − dt   Z ≤ c2 (t) exp − c1 (τ )dτ 0  c1 (τ )dτ . 0 Lấy tích phân từ 0 đến t, từ bất đẳng thức thu được ta suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Nếu c1 (t) = c1 = const > 0 và c(·) là một hàm không giảm theo t thì từ hai bất đẳng thức trên, ta có các bất đẳng thức sau: y 0 (t) ≤ ec1 t [c1 y(0) + c2 (t)], c1 t y(t) ≤ ec1 t y(0) + c−1 − 1]. 1 c2 (t)[e 1.2 Nghiệm suy rộng của bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic tuyến tính cấp hai tổng quát 1.2.1 Phương trình parabolic Xét phương trình: Mu ≡ n+1 X aij uxi xj + i,j=1 n+1 X ai uxi + au = f, i=1 trong Rn+1 , ở đó aij = aij (x), ai = ai (x), a = a(x) là các hàm đo được. 14 (1.1.1) Định nghĩa 1.2.1. [4] Phương trình (1.1.1) được gọi là parabolic tại điểm x0 nếu trong hệ tọa độ mới yi = αij (xj −x0j ) (i = 1, · · · , n+1), với aij (x0 )αki αlj = λk (x0 )δkl , nó có dạng: n+1 X 0 λk (x )uyk yk + n+1 X bk (x0 )uyk + b(x0 )u = f (x0 ), (1.1.2) k=1 k=1 tại điểm x0 trong đó có một số λk (x0 ) (chọn λn+1 (x0 )) bằng 0, các số λk (x0 ) còn lại có cùng dấu, và bn+1 (x0 ) 6= 0. Chia (1.1.2) cho bn+1 (x0 ), ta được một phương trình có dạng: uyn+1 + n X 0 µk (x )uyk yk + n X b̃k (x0 )uyk + b̃u = f˜. (1.1.3) i=1 k=1 Định nghĩa 1.2.2. [4] Nếu µk (x0 ) < 0 (k = 1, · · · , n) thì (1.1.3) được gọi là dạng chuẩn. Nếu µk (x0 ) > 0 thì bằng cách thay đổi hướng trục yn+1 và nhân (1.1.3) với -1, ta lại được một phương trình ở dạng chuẩn. Định nghĩa 1.2.3. [9] Phương trình (1.1.1) gọi là parabolic trên một miền nào đó nếu nó là parabolic tại mọi điểm của miền này. Nếu các hệ số của M là các hàm số trơn và nếu (1.1.1) là parabolic trên một miền, thì trong một lân cận (nói chung, một lân cận nhỏ) của một điểm bất kì của miền ta có thể rút gọn bằng sự thay đổi các biến không suy biến để có dạng: uyn+1 − n X bij (x)uyi yj + i,j=1 với dạng Pn i,j=1 bij ξi ξj n X bi (x)uyi + bu = f˜, (1.1.4) i=1 xác định dương. Biến yn+1 có vai trò đặc biệt. Trong các bài toán vật lý, biến này có vai trò là biến thời gian, ta sẽ kí hiệu là t, các biến y1 , · · · , yn còn lại mô tả vị trí của một điểm trong không gian và gọi tắt là biến không gian. 15 Để thuận tiện, ta sẽ nghiên cứu các phương trình parabolic có dạng: M ≡ut − + n X ∂ i,j=1 n X ∂xi (aij (x, t)uxj + ai (x, t)u) bi (x, t)uxi + a(x, t)u = f (x, t) + i=1 ∂fi (x, t) . ∂xi (1.1.5) Bằng việc tính đạo hàm các hàm aij , ai và fi , (1.1.5) có thể được biến đổi về một phương trình của dạng (1.1.4), và ngược lại, bằng việc tính đạo hàm bij , (1.1.4) có thể được viết dưới dạng (1.1.5). Ta có các bài toán cơ bản cho phương trình (1.1.5) : (1) Bài toán Cauchy: Tìm một hàm u(x, t) thỏa mãn (1.1.5) với x ∈ Rn và t > 0, và thỏa mãn điều kiện ban đầu khi t = 0 u |t=0 = ϕ(x). (1.1.7) (2) Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất: Giả sử (1.1.5) được cho với giả thiết (x, t) ∈ QT = Ω × [0, T ], Ω là miền nào đó trong Rn . Tìm hàm số u(x, t) thỏa mãn (1.1.5) trên QT với điều kiện ban đầu: u |t=0 = ϕ(x), x ∈ Ω, (1.1.8) và, ∀t ∈ [0, T ], u thỏa mãn điều kiện biên: u |x∈∂Ω = ψ(s, t). (1.1.9) Trong Rn+1 miền QT là một hình trụ, ST = S × [0, T ] là mặt xung quanh và tập {(x, t) : x ∈ Ω, t = 0} là mặt đáy. (3) Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ hai và thứ ba: Tìm hàm u(x, t) thỏa mãn (1.1.5) trong QT , với điều kiện ban đầu (1.1.7) và điều kiện (1.1.9) được thay bằng điều kiện biên thứ hai: ∂u   ≡ aij uxj cos(n, xi )|ST = χ(s, t), ∂N ST  16 hoặc điều kiện biên thứ ba: ∂u  + σu = χ(s, t), ∂N ST  Ta sẽ xem xét chi tiết các bài toán biên giá trị ban đầu trong một miền bị chặn Ω. Bài toán thứ hai và thứ ba có thể được xét một cách tương tự. Để thuận tiện ta giả thiết Ω bị chặn. Dễ dàng để bỏ giả thiết này, các kết quả cho các miền bị chặn và không bị chặn tương tự nhau. Ta cũng sẽ sử dụng quy ước nếu trong biểu thức có hai chỉ số giống nhau ta hiểu đó là tổng: ví dụ khi viết ai xi P ta hiểu đó là i = 1n ai xi . 1.2.2 Nghiệm suy rộng của bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic tuyến tính cấp hai tổng quát Trong mục này ta sẽ nghiên cứu bài toán:
∂ aij (x, t)uxj + ai (x, t)u ∂xi ∂fi , + bi (x, t)uxi + a(x, t)u = f + ∂xi Mu ≡ut − u |t=0 = ϕ(x), u |ST = 0, trên miền bị chặn Ω với các điều kiện aij = aji , v v u n u n uX uX t a2 , t b2 , |a| ≤ µ, i i=1 ϕ ∈ L2 (Ω), i (1.2.1) (1.2.2) (1.2.3) i=1 f ∈ L2,1 (QT ), fi ∈ L2 (QT ), (1.2.4) và với điều kiện đều của parabolic νξ 2 ≤ aij (x, t)ξi ξj ≤ µξ 2 , ν, µ là các hằng số dương . (1.2.5) Trước tiên ta sẽ chứng minh rằng bài toán này có một nghiệm suy rộng trong W21,0 (QT ), sau đó ta chỉ ra rằng mỗi nghiệm như vậy thực sự là thuộc V̊21,0 (QT ) và 17 thỏa mãn phương trình cân bằng năng lượng. Cuối cùng, ta sẽ chỉ ra được định lý duy nhất cho bài toán (1.2.1)-(1.2.2) trong lớp các nghiệm suy rộng trong W21,0 (QT ). Định nghĩa 1.2.4. [4] Ta kí hiệu V2 (QT ) là không gian bao gồm các hàm u ∈ W21,0 (QT ) với chuẩn năng lượng: |u|QT = ess sup ku(·, t)kL2 (Ω) + kux kL2 (QT ) . 0≤t≤T Định nghĩa 1.2.5. [9] Không gian con V̊2 (QT ) của V2 (QT ) gồm các phần tử của W̊21,0 (QT ) có chuẩn | · |QT hữu hạn. Định nghĩa 1.2.6. [4] Không gian V21,0 (QT ) là một không gian con khác của V2 (QT ), chứa tất cả các phần tử u ∈ V2 (QT ) liên tục mạnh theo t trong chuẩn của L2 (Ω). Nghĩa là ku(·, t + ∆t) − u(·, t)kL2 (Ω) → 0 khi ∆t → 0, đều trên đoạn [0, T ]. V̊21,0 (QT ) là giao của V21,0 (QT ) và W̊21,0 (QT ). Định nghĩa 1.2.7. [9] Ta gọi phương trình có dạng: Z 1 ku(·, t)k2L2 (Ω) + 2 (aij uxj uxi + ai uuxi + bi uxi u + au2 )dxdt Qt 1 = ku(·, 0)k2L2 (Ω) + 2 Z (f u − fi uxi )dxdt (1.2.6) Qt là phương trình cân bằng năng lượng cho bài toán (1.2.1)-(1.2.2) Phương trình này có thể thu được bằng cách tích phân từng phần đẳng thức:  Z Z  ∂fi Mu · udxdt = f+ udxdt (1.2.7) Qt Qt ∂xi và sử dụng điều kiện biên u |ST = 0. Kí hiệu L2,1 (QT ) là không gian được trang bị chuẩn: Z T Z kukL2,1 (QT ) = |u(x, t)|2 dx)1/2 dt. ( 0 Ω 18