Tài liệu Phương pháp Lyapunov-Schmidt và bài toán dirichlet đối với phương trình Eliptic nửa tuyến tính trong miền không bị chặn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG LÊ TIẾN DŨNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG LÊ TIẾN DŨNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN Hà Nội - Năm 2012 Mục lục Mở đầu 2 1 Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 1.1 1.2 4 Không gian W21 (Ω), W̊21 (Ω) và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . 4 1.1.1 Đạo hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Không gian W21 (Ω) và W̊21 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Nghiệm suy rộng của bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.1 Nghiệm suy rộng trong W21 (Ω). Bất đẳng thức thứ nhất . . 18 1.2.2 Tính giải được của bài toán Dirichlet trong không gian W21 (Ω). Ba định lý Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 Phương pháp sai phân giải gần đúng bài toán biên Dirichlet 33 2.1 Hàm lưới. Tỉ số sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 Nội suy của hàm lưới. Các định lý nhúng . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3 Phương trình sai phân đối với bài toán biên Dirichlet . . . . . . . 45 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 1 Mở đầu Bài toán biên Dirichlet thường xuất hiện nhiều trong những bài toán ứng dụng của lý thuyết cơ học chất lỏng, điện-từ trường v v... Đa số các bài toán này tương đối phức tạp thường không có phương pháp giải đúng. Chúng ta thường chỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệm theo nghĩa nghiệm suy rộng. Nghiệm này chỉ có ý nghĩa về mặt lý thuyết mà không áp dụng được vào thực tiễn. Do vậy trong thực tế để sử dụng nghiệm này chúng ta phải tìm nghiệm xấp xỉ của chúng. Để đáp ứng một phần nhỏ yêu cầu của việc tìm nghiệm gần đúng của bài toán biên. Trong luận văn này trình bày "phương pháp sai phân giải gần đúng bài toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai". Nội dung luận văn chủ yếu dựa theo tài liệu tham khảo [8] của O.A. Ladyzhenskaya. Luận văn với đề tài "Phương pháp sai phân giải gần đúng bài toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai" trình bày về phương pháp sai phân để đưa bài toán biên về một bài toán đại số (hệ đại số tuyến tính). Bài toán đại số này có phương pháp giải và có thể tìm được nghiệm gần đúng cho bài toán ban đầu của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai. Luận văn được chia thành hai chương: Chương 1: Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai. Trong chương này trình bày một số khái niệm, tính chất cơ bản về đạo hàm suy rộng dựa trên tài liệu tham khảo [3] của Nguyễn Mạnh Hùng, khái niệm 2 không gian W21 (Ω) và W̊21 (Ω) dựa trên tài liệu [8] của O.A. Ladyzhenskaya. Đây là các kiến thức cơ bản để nghiên cứu nghiệm suy rộng của bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai. Bài toán này sẽ có nghiệm suy rộng duy nhất trong W21 (Ω). Chương 2: Phương pháp sai phân giải gần đúng bài toán biên Dirichlet. Trong chương này trình bày về hàm lưới, các hàm nội suy của nó và mối quan hệ giữa chúng dựa trên tài liệu [8] của O.A. Ladyzhenskaya. Phương trình sai phân đối với bài toán biên Dirichlet dựa theo tài liệu [8] được thực hiện như sau: Bước thứ nhất chúng ta xây dựng hàm lưới, nội suy hàm lưới. Bước hai chúng ta chuyển từ bài toán vi phân sang bài toán sai phân. Bước ba chúng ta đi khảo sát sự ổn định và hội tụ của sơ đồ sai phân. Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn (Viện Toán học Việt Nam). Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi trân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình. Qua đây, tôi xin gửi tới Ban Giám Hiệu, Phòng Sau Đại Học, Khoa ToánCơ-Tin học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục đào tạo của Nhà trường. Hà Nội, tháng 12 năm 2012 3 Chương 1 Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 1.1 Không gian W21(Ω), W̊21(Ω) và các tính chất cơ bản 1.1.1 Đạo hàm suy rộng Với hai hàm số u(x) và v(x) tùy ý, khả vi vô hạn trong miền Ω ⊂ Rn và v(x) triệt tiêu trên một miền biên (nghĩa là, v ∈ Ċ ∞ (Ω)), bằng cách tích phân từng phần k lần ta có: Z  u Ω ∂kv ∂xk11 . . . ∂xknn k+1 + (−1) v ∂ku  ∂xk11 . . . ∂xknn dx = 0. Định nghĩa 1.1.1. [3]Cho Ω là một miền trong không gian Rn . Một hàm số ωk1 ...kn ∈ L1 (Ω) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp k của u(x) ∈ L1 (Ω) nếu: Z  u Ω ∂kv ∂xk11 . . . ∂xknn  + (−1)k+1 vωk1 ...kn dx = 0, với mọi v ∈ Ċ ∞ (Ω), k = (k1 , . . . , kn ), |k| = k1 + · · · + kn . Kí hiệu hàm ωk1 ...kn là ∂ k u/∂xk11 . . . ∂xknn , hoặc Dk u. Cách kí hiệu thứ nhất sẽ không gây ra sự hiểu lầm vì nếu u ∈ C k (Ω) thì ωk1 ...kn = ∂ k u/∂xk11 . . . ∂xknn . Rõ 4 ràng là khái niệm này là một phần mở rộng của khái niệm cổ điển về đạo hàm riêng liên tục của dạng ∂ k u/∂xk11 . . . ∂xknn . Nếu hàm u(x) có đạo hàm thông thường liên tục cấp k thì nó có đạo hàm suy rộng cấp k . Từ định nghĩa đạo hàm suy rộng ta thấy hàm u(x) có không quá một đạo hàm suy rộng. Một hàm có đạo hàm suy rộng có thể không có đạo hàm theo thông thường. Tính chất 1.1.1. Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp k trong miền Ω thì nó cũng có đạo hàm suy rộng cấp k trong miền Ω0 ⊂ Ω. Tính chất 1.1.2. Nếu u1 và u2 có đạo hàm suy rộng trong Ω thì c1 u1 + c2 u2 có đạo hàm suy rộng trong Ω và: ∂ k (c1 u1 + c2 u2 ) ∂xk11 . . . ∂xknn = c1 ∂ k u1 ∂xk11 . . . ∂xknn + c2 ∂ k u2 ∂xk11 . . . ∂xknn . Từ định nghĩa của đạo hàm suy rộng ta thấy ∂ k /∂x1k1 . . . ∂xknn độc lập với thứ tự lấy đạo hàm. Đạo hàm suy rộng bảo tồn nhiều tính chất của đạo hàm cổ điển. Tuy nhiên không phải là bảo tồn tất cả, chẳng hạn từ sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp k không suy ra được sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp nhỏ hơn k . 1.1.2 Không gian W21 (Ω) và W̊21 (Ω) Định nghĩa 1.1.2. [3] Không gian W21 (Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x) ∈ L2 (Ω) sao cho tồn tại đạo hàm suy rộng mọi cấp α, |α| 6 1, thuộc L2 (Ω) và được trang bị chuẩn: (1) ||u||2,Ω Z = 2 (u + u2x )dx 1/2 . Ω Định nghĩa 1.1.3. [3] Không gian W̊21 (Ω) là bao đóng của Ċ ∞ (Ω) trong chuẩn của không gian W21 (Ω). 5 Không gian Hilbert W̊21 (Ω) đóng vai trò cơ bản trong việc nghiên cứu bài toán biên thứ nhất với phương trình cấp hai của các dạng khác nhau. Tích vô hướng trong không gian W21 (Ω) và W̊21 (Ω) được xác định bởi: Z (1) (u, v)2,Ω = Qui ước: ux vx = Pn k=1 uxk vxk , u2x = (uv + ux vx )dx. (1.1.1) Ω Pn 2 i=1 uxi . Giả sử Ω là miền bị chặn trong Rn . Trong W̊21 (Ω) ta có thể đưa vào tích vô hướng mới: Z [u, v] = ux vx dx. (1.1.2) Ω Ta được chuẩn tương đương với chuẩn ban đầu. Để chỉ ra sự tương đương ta phải thiết lập bất đẳng thức sau ∀u(x) ∈ W̊21 (Ω). Ta có: Z Z 2 2 u dx 6 cΩ u2x dx, Ω (1.1.3) Ω (bất đẳng thức Poincare-Friedichs), cΩ là một hằng số phụ thuộc trên Ω. Ta chứng minh (1.1.3) với u(x) ∈ Ċ ∞ (Ω), sau đó có thể thu được (1.1.3) với ∀u(x) ∈ W̊21 (Ω) bởi "sự đóng đơn theo chuẩn W21 (Ω)". Ta có thể giải thích như sau. Cho u(x) là một phần tử bất kỳ của W̊21 (Ω) và chúng ta xấp xỉ nó theo  chuẩn của W21 (Ω) bởi dãy hàm u(m) (m=1,2,...) của Ċ ∞ (Ω). Giả sử (1.1.3) đã  được chứng minh u(m) . Nếu ta lấy (1.1.3) cho u(m) và lấy giới hạn khi m −→ ∞ theo chuẩn W21 (Ω). Ta được (1.1.3) với u(x). Ta sẽ thường xuyên sử dụng tính chất đóng như trên trong chứng minh bất đẳng thức: kukB1 6 c kukB2 , (1.1.4) với mọi u ∈ B2 , trong đó B1 , B2 là hai không gian Banach. Trước tiên, ta sẽ chứng minh (1.1.4) với tập M nào đó (gồm những phần tử thường là các hàm trơn) trù mật trong B2 và đóng theo chuẩn của B2 . Bây giờ ta trở lại với chứng minh (1.1.3) với u(x) ∈ Ċ ∞ (Ω). Ta có thể bao Ω 6 trong các hình hộp Π, không mất tính tổng quát giả sử rằng Π = {x : 0 < xi < li }. Rõ ràng chứng minh theo Π được nhiều thuận lợi nhất cho tất cả các cách chọn. Giả sử l1 là một trong các cạnh của Π có chiều dài nhỏ nhất. Ta viết u(x) dưới dạng: u(x1 , x01 ) x1 Z = 0 ∂u(y1 , x01 ) dy1 , ∂y1 (1.1.5) trong đó x01 = (x2 , ..., xn ) ∈ Π1 = {x01 : 0 < xi < li ; i = 2, ..., n} và giả sử u(x) = 0 với x ∈ / Ω. Bình phương hai vế của (1.1.5), lấy tích phân trên Π và áp dụng bất đẳng thức Cauchy ở vế phải ta được: Z Z Z Z l1 u2 (x)dx = dx1 0 Π x1 ≤ " Z Z x1 dx1 0 0 Π1 l1 Z Π1 0 ∂u(y1 , x01 ) dy1 ∂y1 l1  ∂u ∂y1 2 # 2 dy1 dx01 l2 dx01 = 1 2 Z  Π ∂u ∂x1 2 dx. Do vậy (1.1.3) đúng với c2Ω = l12 /2, suy ra sự tương đương của chuẩn [u, u]1/2 và kuk(1) 2,Ω tương ứng với (1.1.2) và (1.1.1). Trong (1.1.3) hằng số cΩ cũng có thể rút ra ở dạng c2 |Ω|2/n , với |Ω| bằng số điểm lưới Ω và c là hằng số tuyệt đối chỉ phụ thuộc n, nghĩa là ∀u ∈ W̊21 (Ω) ||u||2,Ω ≤ c|Ω|1/n ||ux ||2,Ω . 1.1.3 (1.1.6) Các tính chất cơ bản Định lý 1.1.1. [8] (Định lý F-Rellich): Giả sử rằng Ω là miền bị chặn. Khi đó một tập bị chặn trong W̊21 (Ω) là tiền compact trong L2 (Ω). Định lý này thường được phát biểu: W̊21 (Ω) được nhúng compact trong L2 (Ω). Chứng minh. [8] Ta mở rộng tất cả các phần tử của W̊21 (Ω) bằng cách đặt chúng bằng 0 ở bên ngoài Ω và ta xét chúng trong hình Π = {x : 0 < xi < li }, với Ω ⊂ Π. 7 Ta thu được cho các phần tử mở rộng như vậy của W̊21 (Ω) chuẩn || · ||2,Π và (1) (1) || · ||2,Π trùng với || · ||2,Ω và || · ||2,Ω tương ứng. Ta phân tích Π thành các hình hộp cơ bản ωi với cạnh lk /N (k = 1, 2, . . . , n) và các mặt song song với mặt phẳng tọa độ. Áp dụng bất đẳng thức Poincare với hàm tùy ý u(x) trong W21 (ωi ): Z 2 Z X Z n  2 u2 dx ≤ ωi 1 |ωi | udx ωi Từ đây ta thấy rằng: Z Z Z Nn X 1 2 2 u dx ≤ u dx = Ω Π i=1 n 2 + |ωi | 2 udx ωi ωi k=1 n + 2N 2 lk N Z X n u2xk dx. (1.1.7) lk2 u2xk dx. (1.1.8) Ω k=1 (m) là tiền compact yếu trong L (Ω). Không mất ≤ c , tập u Lấy ||u(m) ||(1) 2 2,Ω  (m) là hội tụ yếu trong L2 (Ω). Với tính tổng quát ta giả sử các phần tử của u  bất kỳ u(p) và u(q) từ (1.1.8) ta có: (p) ||u − u(q) ||22,Ω = Z Nn X 1 i=1 |ωi | (p) (u (q) −u 2 )dx ωi n n X 2 (p) (q) + lk ||uxk − uxk ||22,Ω . 2N 2 k=1 (1.1.9) Số hạng cuối cùng ở vế phải của (1.1.9) có thể làm nhỏ tùy ý với mọi p, q bằng cách chọn ωi nhỏ (tức là cho N đủ lớn), và số hạng đầu tiên tiến về 0 khi  p, q tiến về ∞ với một phân hoạch cố định của Π vì u(m) hội tụ yếu trong L2 (Π). Hay ||u(p) − u(q) ||22,Ω tiến về 0 khi p, q tiến về 0.  Do vậy u(m) hội tụ trong L2 (Π). Định lý được chứng minh. Công thức tích phân từng phần trong lý thuyết bài toán biên đúng với các phần tử của W̊21 (Ω), với mọi u(x) ∈ W̊21 (Ω) và mọi v(x) ∈ W21 (Ω) ta có: Z Z uxi vdx = − Ω uvxi dx, i = 1, 2, .., n. (1.1.10) Ω Công thức tổng quát hơn: Z Ω ∂w dx = 0, ∂xi 8 (1.1.11) với hàm w tùy ý trong L1 (Ω) có đạo hàm suy rộng ∂w/∂xi trong L1 (Ω) và w có  thể được xấp xỉ bởi các hàm w(m) (m = 1, 2, ...) trong Ċ ∞ (Ω) theo hướng sau: w(m) → w trong L1 (Ω) và ∂w(m) /∂xi → ∂w/∂xi trong L1 (Ω). (1.1.11) đúng với w(m) do vậy nếu ta lấy giới hạn khi m → ∞ ta được (1.1.11) với w. Nếu w ∈ L1 (Ω) triệt tiêu ở gần ∂Ω và có đạo hàm ∂w/∂xi trong L1 (Ω) thì có thể xấp xỉ bởi hàm w(m) trong Ċ ∞ (Ω), do đó (1.1.11) đúng với w. Nếu u và v trong L2 (Ω) và có đạo hàm suy rộng ∂u/∂xi và ∂v/∂xi trong L2 (Ω) (ở đây i là cố định), và nếu u có thể xấp xỉ bởi hàm u(m) trong Ċ ∞ (Ω) sao cho u(m) và ∂u(m) /∂xi hội tụ về u và ∂u/∂xi theo chuẩn của L2 (Ω), thì (1.1.10) đúng với u và v với bất kì giá trị của i. Hàm w(m) = u(m) v trong L1 (Ω), triệt tiêu ở gần ∂Ω và có đạo hàm suy rộng ∂w(m) /∂xi = u(m) ∂v/∂xi + ∂u(m) /∂xi v trong L1 (Ω), do vậy (1.1.11) đúng với w(m) . Ta lấy giới hạn khi m → ∞ trong công thức này ta được (1.1.11) đúng với w và (1.1.10) cũng đúng với u và v với giá trị bất kì của i. Vì mỗi u trong W̊21 (Ω) có thể xấp xỉ theo chuẩn của W21 (Ω) bởi các hàm của Ċ ∞ (Ω) nên suy ra (1.1.10) đúng với u và mọi v trong W21 (Ω), ∀i = 1, 2, ..., n. Ta chứng minh bất đẳng thức Poincare (1.1.7), hay bất đẳng thức tương đương Z 1 u dx ≤ |Πl | Πl 2 2 Z udx Πl n + 2 Z X n lk2 u2xk dx, (1.1.7’) Πl k=1 với Πl = {x : 0 < xi < li }. Ta chỉ cần chứng minh rằng hàm u(x) trơn trù mật trong W21 (Πl ). Lấy u(x) ∈ C 1 (Π1 ) và tọa độ mới trong (1.1.7’) như sau yi = xi /li (i = 1, 2, ..., n). Sau đó nhân với (l1 , ..., ln )−1 ta sẽ được bất đẳng thức tương đương Z 2 Z Z n 2 u e dy ≤ u edy + u e2y dy, Π1 2 Π1 (1.1.7”) Π1 với hàm u e(y) = u(l1 y1 , ..., ln yn ) trong khối lập phương Π1 = {y : 0 < yi < 1} Để chứng minh (1.1.7”) ta lấy hai điểm bất kỳ y = (y1 , y2 ..., yn ), y 0 = (y10 , ..., yn0 ) 9 và dãy điểm y (1) = (y10 , y2 , ..., yn ), y (2) = (y10 , y20 , ..., yn ), ..., y (n) = y 0 . Theo Định lý Newton-Laibnit y (1) Z 0 u e(y ) − u e(y) = u eτ1 (τ1 , y2 , ...yn )dτ1 y Z y (2) + y (1) Z u eτ2 (y10 , τ2 , y3 , ...yn )dτ2 + ... y (n) + y (n−1) u eτn (y10 , y20 , ...τn )dτn . (1.1.7” ’) Bình phương hai vế của bất đẳng thức này và áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho vế phải ta được: 2 0 0 2 1 Z u e (y ) − 2u e(y )u e(y) + u e (y) ≤ n 0 u e2τ1 dτ1 Z + ... + 0 1 u e2τn dτn  . (1.1.12) Nếu ta lấy tích phân (1.1.12) trên y ∈ Π1 và y 0 ∈ Π1 thì ta có Z 2 Z X Z n 2 u e2yk dy. u e (y)dy − 2 u e(y)dy ≤ n 2 Πl Πl k=1 Πl Bất đẳng thức này trùng với (1.1.7”). Ta trở lại với không gian W21 (Ω) cho các miền Ω khác nhau. Ta bắt đầu với trường hợp đơn giản nhất, khi Ω là hình hộp Πl = {x : 0 < xi < li }. Ở đây ta có phép nhúng compact W21 (Ω) vào L2 (Ω). Trong chứng minh của định lý 1.1.1. u(m) trong W̊21 (Ω) được sử dụng ở phần đầu của chứng minh để cho thấy rằng ta có thể mở rộng u(m) (x) lên Πl theo một cách nào đấy mà các hàm này vẫn có đạo hàm suy rộng cấp một và bị chặn đều theo chuẩn k.k(1) 2,Πl trong trường hợp hiện tại các hàm u(m) (x) có các tính chất của giả thiết, và ta có thể áp dụng trực tiếp cho chúng tất cả các lập luận của chứng minh định lý 1.1.1. e ⊃ Ω (xem §5, Ta thừa nhận miền mở rộng của W21 (Ω) đến một số miền Ω chương I và công thức (5.3), (5.4) [8]) với m = 2 và Ω = Πl . Sau đó tương tự như phần mở rộng hình Πl ⊃ Ω. Từ đó và từ phép nhúng của W21 (Πl ) trong L2 (Πl ) sau đó nhúng compact W21 (Ω) trong L2 (Ω). Hơn nữa thấy rằng đây là tính chất S vẫn được giữ lại cho miền Ω như vậy Ω được biểu diễn dưới dạng N i=1 Ωi . Trong 10 đó Ωi là miền con của Ω thêm vào một phần mở rộng của W21 (Ωi ). Do vậy ta chứng minh được định lý sau: SN Định lý 1.1.2. [8] Nếu Ω có thể biểu diễn dưới dạng i=1 Ωi , trong đó Ωi là một miền con của Ω cho phép thác triển của W21 (Ωi ), thì mọi tập bị chặn trong W21 (Ω) là tiền compact trong L2 (Ω). Ta trở lại với các câu hỏi của vết của các phần tử u(x) trong W21 (Ω) trên mặt ngoài của thứ nguyên n − 1 đầu tiên ta xét với một hàm trơn u(x) trong W21 (Ω) và một tập Γ là miền trên siêu phẳng. Để thuận tiện giả sử Γ là miền của x01 = (x2 , ..., xn ) nằm trên mặt phẳng x1 = 0, và giả sử hình trụ Qδ = Qδ (Γ) = {x : 0 < x1 < δ, x01 ∈ Γ} cùng thuộc Ω. Theo công thức Newton-Laibniz cho u ∈ C(Qδ ) với đạo hàm liên tục ∂u/∂x1 trong Qδ . Ta có: Z x1 0 ∂u(τ, x1 ) dτ. ∂τ u(x1 , x01 ) − u(0, x01 ) = 0 (1.1.13) Nếu bình phương (1.1.13), lấy tích phân trên Γ và áp dụng Bất đẳng thức Cauchy thì ta thu được: u(x1 , x01 ) − u(0, x01 ) 2 = 2,Γ Z Z x1 0 Γ 2 ∂u dτ ∂τ dx01 x1 Z Z  ≤ x1 0 Γ ∂u ∂x1 2 dx. (1.1.14) Ta nhận được kết quả khác của (1.1.13) trước tiên ta chuyển vế u(x1 , x01 ) sang vế phải của (1.1.13) bình phương hai vế sau đó tích hợp kết quả trên Qδ (Γ) và chia cho δ vế phải bị chặn như sau:  Z Z 2 u Γ (0, x01 )dx01 1 = δ x1 Z −u(x) + Qδ (Γ) 2 6 δ Z 2 6 δ Z 2 = δ Z 0 2 u dx + δ Qδ (Γ) 2 2 u dx + δ Qδ (Γ) 2 Z ∂u dτ ∂τ dx01 Γ Z 0 dx01 Γ Z x1 0 Qδ (Γ) 11 x1 0 δ Z u(x) dx + δ Qδ (Γ) dx Z δ Z Z 2 2 0 u2x1 dx, τ ∂u dτ ∂τ  ∂u ∂τ 2 dx1 2 dτ dx1 (1.1.15) theo bất đẳng thức (1.1.14), (1.1.15) ta sẽ thu được kết quả "đẹp" cho hàm u(x) ở giá trị tùy ý u ∈ L2 (Qδ ).  Như vậy ta có thể xây dựng u(x) là chuỗi các hàm trơn u(m) (x) chúng hội tụ đến u(x) trong L2 (Qδ ) và thấy rằng u(m) x1 cũng hội tụ đến ux1 trong L2 (Qδ ). Từ đây và từ (1.1.15) thấy rằng u(m) (0, .) hội tụ ở trong L2 (Γ). Nó được xét tự nhiên các hàm xác định trên Γ như là giới hạn của u(m) (0, .) trong L2 (Γ) là vết của u(x) ở trên Γ. Rõ dàng từ (1.1.14) thấy rằng u(x) có vết trên mọi mặt cắt của Qδ bởi mặt x1 = x01 , x01 ∈ [0, δ]. Nếu ta viết (1.1.14), (1.1.15) với u(m) và lấy giới hạn khi m → ∞ thì ta thấy rằng giới hạn là hàm u(x) (hơn nữa, ∀u ∈ W21 (Ω)). Từ (1.1.14) vết của u(x1 , x01 ) trên mặt cắt của Qδ bởi các mặt nêu trên là các phần tử của L2 (Γ) nó phụ thuộc liên tục trên các tham số x1 ∈ [0, δ]. Do vậy ta có chứng minh định lý sau: Định lý 1.1.3. [8] Với mỗi hàm u ∈ L2 (Qδ ) với ux1 ∈ L2 (Qδ ) tồn tại một vết cùng một phần tử của L2 (Γ), trên mặt cắt của Qδ bởi mặt phẳng x1 = x01 , x01 ∈ [0, δ] và vết tùy thuộc vào sự liên tục trên x01 ∈ [0, δ] theo chuẩn của L2 (Γ). Ta được mối tương quan (1.1.14), (1.1.15) cho u(x). Tóm lại, khẳng định này được gọi là phép nhúng của W21 (Ωδ ) vào L2 (Γ). Ta sẽ giải thích để thấy định lý 1.1.3 giống định lý nhúng được xác định dưới đây: Cho u(x) là một phần tử tùy ý thỏa mãn giả thiết của định lý. Khi đó định lý 1.1.3 ở đây tồn tại một đại diện của phần tử này (nghĩa là một hàm tương đương u(x) trên Qδ ) mà kết luận của định lý đúng. Theo cách tìm một đại diện cho u(x) là hiển nhiên từ chứng minh ta phải thực hiện từ vài phần tử của dãy u(m) , (m = 1, 2, ...) từ C 1 (Qδ ) hội tụ đến u(x) theo cách thực hiện ở trên và cố định vết của u(x) trên những mặt cắt của Qδ bởi  mặt phẳng x1 = x01 , giới hạn của dãy u(m) (x01 , x01 ) trong chuẩn của L2 (Γ). Chú ý 1.1.1. Dễ thấy các vết của phần tử u(x) của W21 (Ω), định nghĩa trên Γ 12 cùng một phần tử của L2 (Γ), không phụ thuộc vào cách chọn thứ tự của các hàm  trơn u(m) được sử dụng xấp xỉ đến u(x). Ở đây vết thay đổi liên tục giống một phần tử của L2 (Γ) dưới sự tịnh tiến của Γ, không chỉ theo một phương chiếu x1 , mà còn theo những phương chiếu khác, với điều kiện là dịch tiến mặt cắt không đi ra ngoài Ω. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng W21 (Ω) được nhúng vào L2 (Γ) không chỉ trong một đường biên mà còn ở miền trong. Định lý 1.1.4. [8] Cho miền Ω chứa một hình trụ Qδ (Γ) được mô tả giống định lý 1.1.3, và theo kết luận của định lý 1.1.2 theo Qδ (Γ), hoặc với vài miền khác  Ω0 ⊆ Ω chứa hình trụ này. Thì từ bất kỳ một dãy bị chặn u(m) theo chuẩn của W21 (Ω) ta có thể chọn một dãy con hội tụ đều trong L2 (Ω) với điểm x01 ∈ [0, δ]. Sự thật ||u(m) ||(1) ≤ c. Theo định lý 1.1.2 dãy (2,Ω)  u(m) là tiền compact trong L2 (Qδ (Γ)).  Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng dãy u(m) hội tụ đến u(x) trong L2 (Γ) ta xét (1.1.15) với hiệu sai phân u(p) − u(q) và với δ1 ∈ [0, δ]. Vế phải của (1.1.15) có thể nhỏ bao nhiêu tùy ý, sao cho p, q đủ lớn. Nếu ta chọn δ1 (q) trong (1.1.15) đủ nhỏ sao cho δ1 ||u(p) − u(x1 ) ||22,Ωδ (Γ) ≤ 2 , ∀p, q , ta có thể tìm (x1 ) thấy N như vậy ∀p, q ≥ N , đầu tiên ta sẽ được với /2 cùng một cách nói ||u(p) − u(q) ||22,Γ ≤ , ∀p, q ≥ N . Ta có ||u(p) (x1 , .)−u(q) (x1 , .)||22,Γ bị chặn ∀x1 ∈ [0, δ]. Nếu ta có thể nhận ra rằng R R thay thế Γ u2 (0, x01 )dx0 trong vế trái của (1.1.15) bởi Γ u2 (x1 , x01 )dx0 ∀x1 ∈ [0, δ]. 1 (Q ) là không gian đóng Nếu Qδ = {x : x1 ∈ (0, δ), x01 ∈ Γ} thì ta chỉ rõ W2,0 δ của W21 (Qδ ) với một tập các hàm khả vi vô hạn. Ta có thể xác định chúng không giao nhau trên bề mặt Sδ = {x : x1 ∈ (0, δ), x01 ∈ ∂Γ} 1 (Q ) gồm các phần tử của W 1 (Q ) của hình trụ Qδ (thấy rõ ràng như sau W2,0 δ δ 2 triệt tiêu trên Sδ ). 1 (Q ) thì ta có kết quả hệ u(x) = 0 với x ∈ (0, δ), x0 ∈ Nếu ∀u ∈ W2,0 1 δ 1 / Γ, sau 13 1 (Q ), Q = đó ta có được một phần tử của W2,0 δ δ n e x : x1 ∈ (0, δ), x01 ∈ Γ o với mọi (1) 1 (Q e ⊃ Γ. Ở đây chuẩn trong W2,0 eδ ) là ||u|| . Từ định lý (1.1.2), (1.1.4) ta có: Γ 2,Qδ  1 (Q eδ ), theo chuẩn Hệ quả 1.1.1. [8] Cho phần tử của dãy u(m) ở trong W2,0  (1) ||u(m) ||2,Qδ bị chặn đều. Khi đó ta có thể chọn một dãy con u(m) hội tụ mạnh trong L2 (Qδ ) và hội tụ mạnh trong L2 (Γ), với điểm x1 ∈ [0, δ] (không hạn chế trên miền Γ bị chặn). Mọi kết quả ta thiết lập cho mặt phẳng Γ có thể chuyển được sang cho Γ là miền siêu diện trơn, bao gồm một phần biên của Ω. Cho Γ là phép chiếu trên siêu diện (không có giới hạn tổng quát, ta thấy đây là siêu phẳng x1 = 0) trong miền Γ(1) do vậy Γ có phương trình x1 = f (x01 ), x01 ∈ Γ(1) , f ∈ C 1 (Γ (1) ) và để cho "đường  cong hình trụ" Qδ (Γ) = x : f (x01 ) < x1 < f (x1 ) + δ, x01 ∈ Γ(1) ước lệch sai trong Ω. Ta gắn vào Qδ (Γ) hệ tọa độ mới y1 = x1 − f (x01 ), yk = xk , k = 2, ..., n. Hàm eδ ). Ở đây Q eδ = y : 0 < y1 < δ, x01 ∈ Γ(1) u e(y) = u(x(y)) sẽ là phần tử của W21 (Q  do vậy nó sẽ thỏa mãn (1.1.14), (1.1.15) trong điều kiện của tọa độ y. Nếu ta trở lại với bất đẳng thức: Z 2 Z [u(x + le1 ) − u(x)] ds 6 cl Γ u2x dx, 0 6 l 6 δ, (1.1.16) Ql (Γ) và ||u||22,Γ 6 c h1 δ i ||u||22,Qδ (Γ) + δ||ux ||22,Qδ (Γ) . (1.1.17) Trong đó e1 = (1, 0, ..., 0) và c bất biến được định nghĩa bởi đạo hàm thứ nhất của f (x01 ) trong (1.1.16) và (1.1.17) sự tịnh tiến của Γ và của Argument của u(x) được thực hiện theo các trục x1 . Điều này có thể thực hiện dọc theo các phần mà không phải là tịnh tiến của Γ nếu thay cho x tọa độ y biên khác với biên Jacobiou |∂y/∂x| và |∂x/∂y| . Ví dụ ta có thể giả định (1.1.16) rằng e1 là một vecto chuẩn của Γ với điểm x và thấy rằng Ql (Γ) là một đường cong hình trụ hình thành bởi các phân đoạn của chuẩn, của độ dài l xuất phát từ một điểm của Γ. 14 Nếu u ∈ W21 (Ω), và trên ∂Ω của nó (hay một phần Γ đã nói) là một phần đa diện trơn, lúc đó nếu ta giữ trong bất đẳng thức dạng (1.1.16) và (1.1.17) với u(x) thì ta sẽ nói rằng giá trị biên của nó (hay là vết của nó) trên ∂Ω trên Γ cho ta một phần tử của L2 (∂Ω) [L2 (Γ)] và thấy rằng chúng là có nghĩa ở "trong hình vuông". Điều này xảy ra nếu Ω có từng mảnh biên trơn, ∂Ω, nghĩa là nó có thể bao ∂Ω bởi hữu hạn mảnh Γi như vậy bất đẳng thức (1.1.16), (1.1.17) giữ trên các mảnh (các điều kiện đủ Γi đã được xây dựng ở trên). Đặc biệt ta có bất đẳng thức sau với miền Ω: Z Z 2 (u(x − ln) − u(x)) ds 6 cl ∂Ω u2x dx, 0 < l < δ1 , (1.1.18) Ωl ||u||22,∂Ω 6 c h1 δ i ||u||22,Ωδ + δ||u||22,Ωδ . (1.1.19) Trong đó Ωδ là tập hợp các điểm của Ω có khoảng cách tới ∂Ω không vượt quá δ (một tập như vậy được gọi là giải biên có chiều rộng δ ) trong đó δ là một số đủ nhỏ, ở đây n là pháp tuyến của ∂Ω đã được thiết lập từ Định lý 1.1.3 Định lý 1.1.5. [8] Với mỗi phần tử u(x) ∈ W21 (Ω) vết được định nghĩa trên miền Γ của đa diện trơn trong Ω cùng với các phần tử của L2 (Γ) và chúng phụ thuộc liên tục (cùng các phần tử của L2 (Γ)) trên một sự thay thế của Γ với các vết ta có bất đẳng thức của dạng (1.1.16), (1.1.17). Nếu ∂Ω (hoặc một phần tử của Γ) là một phần tử của L2 (∂Ω) (hoặc L2 (Γ)) ta có bất đẳng thức (1.1.18), (1.1.19), (1.1.16), (1.1.17) với các vết. Định lý 1.1.4 có thể tổng quát với miếng đường cong đặc biệt ta có: Định lý 1.1.6. [8] Nếu Ω có một biên trơn ∂Ω thì tập bị chặn trong W21 (Ω) là tiền compact trong L2 (∂Ω). Kết luận tính compact này cùng với miền Ω với S biên trơn từng khúc ∂Ω = ni=1 Γi nếu với mỗi mảnh Γi ta có thể xây dựng một hình trụ dạng Qδ (Γi ) ⊂ Ω cho (1.1.16), (1.1.17) thì phép nhúng của W21 (Ω) trong L2 (Qδ (Γi )) là compact. 15 Chú ý 1.1.2. Mỗi phần tử u(x) của W̊21 (Ω) biên trơn trên Ω không có vai trò trong cách lấy đạo hàm của bất đẳng thức (1.1.16), (1.1.17), mỗi hàm có thể mở rộng đến 0 bên ngoài Ω và xem xét như là các phần tử của W̊21 (K), trong đó K là  quả cầu chứa Ω, bởi vì tập hợp các phần tử u(m) của W̊21 (Ω) đã được mở rộng đến 0 ở bên ngoài Ω sẽ compact trong L2 (Γ). Ở đây Γ là một số giao điểm mịn của siêu diện với quả cầu K . Ta thường nói về các phần tử của W̊21 (Ω). Giả thiết rằng giá trị tại biên là bằng 0. Điều này phải được hiểu theo cách sau: Nếu Γ là một mảnh biên trơn với Qδ (Γ) ⊂ Ω, thì u(x) ∈ Ċ ∞ (Ω). Bất đẳng thức (1.1.18) trở thành: Z Z 2 u2x dx, u (x − ln)ds 6 cl Γ 0 6 l 6 δ. (1.1.20) Ql (Γ) Nếu ta lấy chuẩn đóng của W21 (Ql (Γ)) thì (1.1.20) đúng với mọi u(x) trong W̊21 (Ω). R Rõ ràng Γ u2 (x − ln)ds → 0 khi l → 0. Trở lại với công thức: Z Ω ∂u vdx = − ∂xi Z ∂v u vdx + Ω ∂xi Z uvcos(n, xi )ds. (1.1.21) ∂Ω Ở đây n là vecto pháp tuyến của ∂Ω và ds là phần tử vi phân của mặt ∂Ω. Ta biết đến (1.1.21) cho những mặt trơn ∂Ω và hàm u, v liên tục trên Ω và đạo hàm uxi , vxi liên tục trên Ω. Từ đây và từ tính chất vết của phần tử trong W21 (Ω) đã được chứng minh, (1.1.21) vẫn đúng (∀i = 1, 2, ..., n) với hàm u(x), v(x) trong W21 (Ω) nếu ∂Ω là mặt trơn.   Để kiểm tra điều này thì ta xấp xỉ u, v bởi các hàm u(m) , v (m) trong Ω e 21 (Ω) = W21 (Ω) và viết (1.1.21) cho u(m) , v (m) lấy giới hạn khi m → ∞. Ta chú ý W S với ∂Ω trơn. Công thức (1.1.21) đúng hàm u, v trơn với miền Ω với Ω = Ω1 Ω2 . Trong đó miền Ωi có biên trơn, ngay cả khi Ω1 và Ω2 có thể cắt nhau. Để chứng R T minh điều này ta chú ý (1.1.21) đúng cho phần giao Ω1 Ω2 và ta viết Ω ... dưới R R R dạng Ω1 + Ω2 − Ω1 T Ω2 : Mỗi tích phân là cần thiết để áp dụng (1.1.21) và sau 16 đó xem xét các tích phân thực hiện trong phần biên của Ω1 và Ω2 không phụ thuộc vào ∂Ω thì hủy bỏ. Do vậy (1.1.21) đúng với Ω có thể bao phủ không chỉ bởi hai mà còn bởi một số hữu hạn miền Ωi ⊂ Ω với các biên trơn. Đối với các miền (1.1.21) đúng không chỉ với các hàm u, v trơn mà còn đúng ∀u, v ∈ W21 (Ω), có thể lặp lại việc kiểm tra bằng cách xấp xỉ u, v theo chuẩn của W21 (Ωi ) bởi các hàm trơn. Thay vì xét Ωi với các biên trơn ta có thể xét các loại khác của khối đa diện. Ta trở lại với (1.1.21) cho miền hình trụ Ω = {x : 0 < x1 < l1 , x01 ∈ Γ}. Trong đó Γ là miền (n − 1) chiều trên mặt phẳng x1 = 0 và u, v ∈ L2 (Ω) với đạo hàm suy rộng ux1 , vx1 ∈ L2 (Ω) (Ở đây có (1.1.21) với i = 1) công thức (1.1.21) đúng cho Ω với i = 1 và u, v ∈ C 1 (Ω). Ta có thể xấp xỉ hàm u, v trong L2 (Ω) cùng các (m) hàm ux1 , vx1 bởi các hàm u(m) , v (m) , u(m) x1 , vx1 hội tụ tương ứng trong L2 (Ω) đến u, v, ux1 , vx1 . Ta phải giữ lại (1.1.21) với i = 1 cho u(m) , v (m) khi m → ∞ theo sự suy xét ở trên. Quá trình lấy giới hạn có thể hợp lý cho mỗi trường hợp. Do vậy ta có (1.1.21) cho u, v . Thật vậy: Z Z Ω ∂u vdx = − ∂xi ∂v u vdx + Ω ∂xi Z x1 =l1 Γ  uvdx01  . (1.1.22) x1 =0 Ta sẽ giới thiệu thêm một công thức hữu ích trong chứng minh sau, đó là: Z Z |u|ds 6 c (|ux | − |u|)dx, (1.1.23) ∂Ω Ω công thức này có giá trị ∀u(x) ∈ W21 (Ω) và với miềm Ω biên trơn từng khúc. Để chứng minh ta phải bao ∂Ω bởi một số miền hữu hạn Γi và dựng hình trụ cong Ωδ (Γ) giống cách trong (1.1.17) thì với Qδ (Γ) ta phải kiểm tra tính hợp lệ của bất đẳng thức trong (1.1.17) với chuẩn L1 để thế cho L2 , chính xác hơn: ||u||1,Γi 6 c h1 δ i ||u||1,Qδ (Γi ) + ||ux ||1,Qδ (Γi ) . Ở đây ta bắt đầu xây dựng như (1.1.17) bằng cách sử dụng công thức NewtonLaibniz (xem (1.1.13)) nếu ta lấy tổng tất cả các bất đẳng thức với mọi i ta 17 được (1.1.23). Áp dụng (1.1.23) với u(x) = v 2 (x) ở đây v(x) ∈ W21 (Ω) (dễ dàng thấy u ∈ W11 (Ω)) và ta có công thức sau: Z Z 2 v ds 6 c1 (|v||vx | + v 2 )dx ∂Ω Z ZΩ  c    2 1 2 vx + + 1 v dx ≡ 6 c1 c1 Ω 4 vx2 + c v 2 dx,
(1.1.24) Ω với  > 0 tùy ý. 1.2 Nghiệm suy rộng của bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 1.2.1 Nghiệm suy rộng trong W21 (Ω). Bất đẳng thức thứ nhất Ta nghiên cứu tính giải được của bài toán biên thứ nhất trong không gian W21 (Ω). Lu ≡
∂ ∂fi , aij uxj + ai u + bi uxi + au = f + ∂xi ∂xi (1.2.1) (1.2.2) u|S = 0. Giả sử (1.2.1) là phương trình elliptic và các hệ số là các hàm bị chặn, đo được, nghĩa là: νξ 2 6 aij ξi ξj 6 µξ 2 , ν, µ = const > 0, aij = aji (1.2.3) v u n uX t (ai − bi )2 6 µ2 , µ3 6 a(x) 6 µ4 . (1.2.4) và v u n uX t a2 , i i=1 v u n uX t b 2 6 µ1 , i i=1 i=1 Giả sử các hàm f và fi trong (1.2.1) khả tổng bình phương trong Ω, nghĩa là: ||f ||2,Ω < ∞, v u n uX t ||f ||2,Ω ≡ fi2 i=1 18 < ∞. 2,Ω (1.2.5)