Mô tả:
Chuyên đề PT – BPT và HỆ PT
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
12. PP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
x 2 + y 2 + xy + 2 x = 5 y
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 2
( x + 2 x)( x + y − 3) = −3 y
( x; y ∈ ℝ )
Hướng dẫn giải:
Ta xét hai khả năng:
x = 0
+) Nếu y = 0 ⇒ x 2 + 2 x = 0 ⇔
⇒ hệ có nghiệm (0; 0); (–2; 0).
x = −2
x2 + 2 x
+ x+ y =5
x2 + 2x
y
=
u
u + v = 2
u = 3; v = −1
+) Nếu y ≠ 0 , HPT ⇔ 2
, đặt
⇔
⇒
y
u = −1; v = 3
x + 2 x .( x + y − 3) = −3
v = x + y − 3 uv = −3
y
x2 + 2x
=3
u = 3
x = y =1
- V ới
⇔
⇒ y
v = −1
x = −6; y = 8
x + y − 3 = −1
x2 + 2x
= −1
u = −1
- V ới
⇒ y
⇒ hệ vô nghiệm.
v = 3
x + y − 3 = 3
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm (x; y) là: (0; 0) ; (–2; 0); (1; 1) và (–6; 8).
(3 x + y )( x + 3 y ) xy = 14
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
( x, y ∈ R )
2
2
( x + y )( x + y + 14 xy ) = 36
Hướng dẫn giải:
[3( x + y ) + 4 xy ] xy = 14
Ta có, HPT ⇔
2
( x + y )[( x + y ) + 12 xy ] = 36
2
2
2
2
3
a = x + y
(3a + 4b )b = 14
3a b + 4b = 14
Đặt
→
⇔
2
2
3
2
b = xy ≥ 0
a (a + 12b ) = 36
a + 12ab = 36
a 3 (3k + 4k 3 ) = 14 3k + 4k 3 7
1
Nhận thấy a = 0 không thỏa mãn, đặt b = ka ta được 3
⇒
= ⇒ k = ⇔ a = 6b .
2
2
1 + 12k
18
6
a (1 + 12k ) = 36
3+ 2 2
3− 2 2
;y =
x + y = 3 x + y = 3 x =
1
2
2
Từ đó ta tìm được a = 3; b = ⇒
1 ⇔
1 ⇒
2 xy =
3−2 2
3+ 2 2
xy = 4
2
;y =
x =
2
2
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm.
4 x + y + 2 x + y = 4
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình
2 x + y + x + y = −2
Hướng dẫn giải:
2 x + y = a
3
b2
Đặt
⇒ x + y = a2 − .
2
2
4 x + y = b
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
Chuyên đề PT – BPT và HỆ PT
3 2 1 2
2
2 x + y = 1
x = 4
a + a − b = −2 a + 5a − 6 = 0 a = 1 2 x + y = 1
⇔
⇔
⇒
⇔
⇔
Ta có hệ phương trình
2
2
b = 4 − a
b = 3 4 x + y = 3 4 x + y = 9
y = −7
a + b = 4
2 x − y − xy 2 = 2 xy (1 − x)
2
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình 2
1
2
( x + 2 y ) 1 + = 9
xy
Hướng dẫn giải:
−
+ xy ) = 2 xy
(2
x
y
)(1
2 x − y − xy 2 + 2 x 2 y = 2 xy
2
2
HPT ⇔ 2
⇔ 2
1
2 1 + xy
2
(
x
+
2
y
)
(
x
+
2
y
)
1
+
=
12
= 12
xy
xy
2 xy
2 x − y = (1 + xy)
y = x
2
2
2
2
2
1 + xy ≠ 0 ⇒
2 ⇒ 12(2 x − y ) = 4( x + 2 y ) ⇔ 11x − 12 xy + y = 0 ⇔
y = 11x
( x 2 + 2 y 2 ) = 12 xy
1 + xy
Thay vào ta được nghiệm của hệ là x = y = 1.
x2 − y( x + y) + 1 = 0
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình 2
( x + 1)( x + y − 2) + y = 0
Hướng dẫn giải:
+) Xét y = 0 không thỏa mãn hệ.
x2 + 1
y − ( x + y) = 0
a − b = 0
+) Với y ≠ 0 thì hệ có dạng 2
⇔
⇒ hệ có nghiệm (0; 1) và (−1; 2)
( x + 1) ( x + y − 2) = −1 a (b − 2) = −1
y
x 2 + y 2 − xy = 3
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình
2
2
x + 1 + y + 1 = 4
Hướng dẫn giải:
Ta có (1) ⇔ ( x + y ) = 3 xy + 3
2
Bình phương (2) ta được x 2 + y 2 + 2 ( x 2 + 1).( y 2 + 1) = 14 ⇔ xy + 2 ( xy ) 2 + xy + 4 = 11 (*)
t = 3
t ≤ 11
Đặt t = xy ⇒ 2 t + t + 4 = 11 − t ⇔ 2
⇔ −35
t =
3
t
+
26
t
−
105
=
0
3
35
2
+) Với t = − ⇒ ( x + y ) = −32 < 0 ⇒ vô nghiệm.
3
x = y = 3
2
x + y = ±2 3
+) Với t = 3 ⇒ ( x + y ) = 12 ⇔ x + y = ±2 3 ⇒
→
xy = 3
x = y = − 3
2
Vậy hệ có hai nghiệm là
(
3; 3 ) , ( − 3; − 3 ) .
x 2 y + 2 x 2 + 3 y − 15 = 0
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình 4
2
2
x + y − 2 x − 4 y − 5 = 0
Hướng dẫn giải:
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Chuyên đề PT – BPT và HỆ PT
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
2
2
( x − 1)( y − 2) + 4( x − 1) + 4( y − 2) = 5
Hệ pt ⇔ 2
.
2
2
( x − 1) + ( y − 2) = 10
u = x 2 − 1
u 2 + v 2 = 10
(u + v) 2 − 2uv = 10
Đặt
ta có hpt
⇔
v = y − 2
uv + 4(u + v) = 5 uv + 4(u + v) = 5
u + v = −10
u + v = 2
u = 3
u = −1
⇔
(vô nghiệm) hoặc
⇔
hoặc
uv = 45
uv = −3
v = −1
v = 3
u = 3
+) Với
ta tìm được 2 nghiệm ( x; y ) = (2;1) và ( x; y ) = (−2;1)
v = −1
u = −1
+) Với
ta tìm được nghiệm ( x; y ) = (0;5)
v = 3
Kết luận: Hệ phương trình có 3 nghiệm: (2;1), (-2;1), (0;5)
x + 2 y + x − 2 y = 8
Ví dụ 8: Giải hệ phương trình
y x − 2 y = 1
Hướng dẫn giải:
v − u2
u = x − 2 y
Đặt
Điều kiện u ≥ 0 . Khi đó ta có y =
.
4
v = x + 2 y
u + v = 8 (1)
Hệ đã cho trở thành
2
(v − u )u = 4 (2)
Từ (1) ⇒ v = 8 – u. Thay vào (2) ta được ( 8 − u − u 2 ) u = 4 ⇔ u 3 + u 2 − 8u + 4 = 0
−3 + 17
−3 − 17
; u=
.
2
2
−3 − 17
không thoả mãn
Đối chiếu điều kiện u ≥ 0 ta có u =
2
x=5
u = 2 x − 2 y = 4
+) Với u = 2 ta có
⇔
⇔
1
v = 6
x + 2 y = 6 y =
2
−3 + 17
13 − 3 17
x = 8 − 17
u=
x − 2y =
−3 + 17
2
2
+) Với u =
ta có
⇔
⇔
3 + 17
2
v = 19 − 17
x + 2 y = 19 − 17
y =
4
2
2
3 + 17
1
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là 5; , 8 − 17;
.
4
2
Cách 2:
u = x − 2 y
u 2 + u + 4v = 8
Đặt
⇒ x = u 2 + 2v ⇒
uv = 1
v = y
⇔ ( u − 2 ) ( u 2 + 3u − 2 ) = 0 ⇔ u = 2; u =
→ u 3 + u 2 + 4 = 8u ⇔ (u − 2)(u 2 + 3u − 2) = 0 ⇔ u = 2; u =
−3 + 17
−3 − 17
; u=
2
2
Đến đây việc tìm nghiệm như cách giải trên.
Cách 3:
v − u2
u = x − 2 y
Đặt
⇒ u 2 − v = −4 y ⇒ y =
4
v = x + 2 y
u + v = 8 (1)
Khi đó ta có hệ
2
(v − u )u = 4 (2)
Giải hệ này tương tự như cách 1.
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Chuyên đề PT – BPT và HỆ PT
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
2
2
2 x − x ( y − 1) + y = 3 y
Ví dụ 9: Giải hệ phương trình 2
2
x + xy − 3 y = x − 2 y
Hướng dẫn giải:
2 x − xy + y = 3 y − x
Hệ đã cho tương đương với 2
2
x + xy − 3 y = x − 2 y
2
2
TH1: y = 0 ⇒ x = 0.
y 2 (2t 2 − t + 1) = y (3 − t ) (1)
2 2
y (t + t − 3) = y (t − 2) (2)
t = ±1
2t 2 − t + 1 3 − t
3
2
=
⇔ 3t − 7t − 3t + 7 = 0 ⇔ 7
Từ (1) và (2) ta được 2
t =
t +t −3 t −2
3
x
TH2: y ≠ 0, đặt t = ⇔ x = ty thay vào hệ:
y
7 3
Từ đó suy ra hệ có 4 nghiệm là (0;0);(1;1);(−1;1); ; .
43 43
x 2 y + 2 x 2 + 3 y − 15 = 0
Ví dụ 10: Giải hệ phương trình 4
2
2
x + y − 2 x − 4 y − 5 = 0
Hướng dẫn giải:
2
2
( x − 1)( y − 2) + 4( x − 1) + 4( y − 2) = 5
.
Hệ pt ⇔ 2
2
2
( x − 1) + ( y − 2) = 10
u = x 2 − 1
u 2 + v 2 = 10
(u + v) 2 − 2uv = 10
u = 3
hoặc
Đặt
ta có hệ phương trình
⇔
⇔
v = −1
v = y − 2
uv + 4(u + v) = 5 uv + 4(u + v) = 5
Giải ra ta được các nghiệm của hệ là (2; 1), (–2; 1), (0; 5)
(
u = −1
v = 3
)
2 x − 1 − y 1 + 2 2 x − 1 = −8
Ví dụ 11: Giải hệ phương trình
( x, y ∈ ℝ )
y 2 + y 2 x − 1 + 2 x = 13
Hướng dẫn giải:
t − y (1 + 2t ) = −8 t − y − 2ty = −8
Đặt t = 2 x − 1, t ≥ 0 . Hệ phương trình trở thành 2
⇔
2
2
y + yt + t = 12
( t − y ) + 3ty = 12
t − y = 0
2
Từ (1) và (2) suy ra 2 ( t − y ) + 3 ( t − y ) = 0 ⇔
t − y = − 3
2
+) Với t = y thay vào (1) ta được t = y = 2
5
5
t = 2 ⇒ 2 x − 1 = 2 ⇔ x = , nghiệm của hệ là ;2
2
2
3
−3 + 61
+) Với y = t + thay vào (1) ta được 4t 2 + 6t − 13 = 0 ⇔ t =
2
4
3 + 61
3 −3 + 61
y=
y= +
−3 + 61
4
2
4
t=
⇒
⇔
4
−3 + 61
x = 43 − 3 61
2 x − 1 =
16
4
5 43 − 3 61 3 + 61
;
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là ( x; y ) = ;2 ,
16
4
2
(1)
( 2)
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Chuyên đề PT – BPT và HỆ PT
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
3
x − y + 2 = 2
Ví dụ 12: Giải hệ phương trình
y + 2 ( x − 2) x + 2 = − 7
4
( x, y ∈ ℝ )
Hướng dẫn giải:
Điều kiện: x ≥ −2; y ≥ −2
7
2
u − v = 2
Đặt u = x + 2; v = y + 2 với u; v ≥ 0 (*) . Hệ trở thành:
v 2 + 2 ( u 2 − 4 ) u = 1
4
(1)
(2)
2
7
1
Thế (1) vào (2) ta được phương trình u 2 − + 2u 3 − 8u = ⇔ u 4 + 2u 3 − 7u 2 − 8u + 12 = 0
2
4
u = 1
⇔ ( u − 1)( u − 2 ) ( u 2 + 5u + 6 ) = 0 ⇔
u = 2
5
+) Với u = 1 thay vào (1) ta được v = − , không thỏa mãn.
2
1
+) Với u = 2 thay vào (1) ta được v = , thỏa mãn điều kiện.
2
7
Vậy, hệ phương trình có nghiệm 2; − .
4
( x + y )3 + 8 xy = 2 ( x + y )( 8 + xy )
Ví dụ 13: Giải hệ phương trình 1
1
= 2
x+ y x − y
Hướng dẫn giải:
x + y > 0
Điều kiện:
2
x − y > 0
Ta có: ( x + y ) + 8 xy = 2 ( x + y )( 8 + xy ) ⇔ ( x + y ) − 16 ( x + y ) − 2 xy ( x + y ) + 8 xy = 0
3
3
⇔ ( x + y ) ( x + y ) − 16 − 2 xy ( x + y ) − 4 = 0 ⇔ ( x + y ) − 4 ( x + y )( x + y + 4 ) − 2 xy = 0
2
2
⇔ ( x + y ) − 4 x + y + 4 ( x + y ) = 0 ⇔ ( x + y ) − 4 = 0 ⇔ y = 4 − x
2
>0
Thay vào phương trình ta được
x = −3 y = 7
1
1
= 2
⇔ x2 + x − 6 = 0 ⇔
⇔
2 x − (4 − x)
x = 2
y = 2
8 xy
2
2
x + y + x + y = 16
Ví dụ 14: Giải hệ phương trình
x3 + x x + y − 3 = 0
(1) ⇔ ( x
Hướng dẫn giải:
2
) ( x + y ) + 8 xy = 16 ( x + y )
) ( x + y ) + 4 ( x + y ) − ( x + y ) = 16 ( x + y )
) ( x + y − 4 ) + 4 ( x + y )( x + y − 4 ) = 0
+y
⇔ ( x2 + y 2
⇔ ( x2 + y 2
2
2
2
⇔ ( x + y − 4 ) x 2 + y 2 + 4 ( x + y ) = 0
2
x + y = 4 (ok )
⇔ 2
2
x + y + 4 ( x + y ) = 0 ( Loai ) do x + y > 0
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Chuyên đề PT – BPT và HỆ PT
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
x = 1
Thay x + y = 4vào PT(2) ta được: x 3 + 2 x − 3 = 0 ⇔ ( x − 1)( x 2 + x + 3) = 0 ⇔ 2
x + x + 3 = 0 (VN )
Với x = 1 ⇒ y = 3 . Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1;3)
2 2 x − 3 y + 5 − x + y = 7
Ví dụ 15: Giải hệ phương trình
( x; y ∈ ℝ )
3 5 − x + y − 2 x − y − 3 = 1
Hướng dẫn giải:
u = 2 x − 3 y
x = ...
2 x − 3 y = u
Đặt
⇒
⇒
2
y = ...
v = 5 − x + y
5 − x + y = v
2
Thế vào ta có hệ theo u, v. Các em giải nốt nhé!
x2
y2
1
+
=
2
2
2
Ví dụ 16: Giải hệ phương trình ( y + 1) ( x + 1)
3 xy = x + y + 1
y x 2 − y 2 = 48
Ví dụ 17: Giải hệ phương trình
x + y + x 2 − y 2 = 24
y x + y − 3 + x = 4 y
Ví dụ 18: Giải hệ phương trình
2
2
2
y ( x + y − 3) + x = 16 y
Hướng dẫn: Xét điều kiện rồi chia cho các phương trình tương ứng cho y và y 2
2 xy + 3 x + 1 = 6 y
Ví dụ 19: Giải hệ phương trình 2 2
2
4 x y + 3 xy + 1 = 8 y
Hướng dẫn: Xét điều kiện rồi chia cho các phương trình tương ứng cho y và y 2
16 x 2 y 2 − 17 y 2 = −1
Ví dụ 20: Giải hệ phương trình
4 xy + 2 x − 7 y = −1
Hướng dẫn: Chuyển vế, xét điều kiện rồi chia cho các phương trình tương ứng cho y và y 2
x + y 2 + x 2 y + xy 3 + xy = 5
Ví dụ 21: Giải hệ phương trình
2
4
2
x + y + 2 xy + xy = 5
Hướng dẫn: Đặt u = x + y 2 ; v = xy
x 4 − 2 x 2 y + 2 y 2 − 1 = 0
Ví dụ 22: Giải hệ phương trình
2 2
3
2
2
x y − y + x − y − y + 1 = 0
Hướng dẫn: Đặt u = x 2 − y; v = y 2
x 4 − y 4 + 28 y + 31 = 32 x + 4 y 3 + 6 y 2
Ví dụ 23*: Giải hệ phương trình 2
2
x + y + xy − 7 x − 6 y + 14 = 0
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Giải hệ PT
Bài 3: Giải hệ PT
x 2 + y 2 + 2 xy = 8 2
x+ y =4
x+ y − x− y = 2
x2 + y 2 + x2 − y2 = 4
3 x − y = x − y
Bài 2: Giải hệ PT
x + y = x + y + 2
x+ y − x− y = 2
Bài 4: Giải hệ PT
x 2 − y + x 2 + y = 4
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
x + y − x − y = 1
Bài 5: Giải hệ PT
2
2
2
2
x + y + x − y = 1
( 2 x − y + 2 )( 2 x + y ) + 6 x − 3 y = −6
Bài 6: Giải hệ PT
2 x + 1 + y − 1 = 4
5
2
2
= 13
2
8 ( x + y ) + 4 xy +
x + y)
(
Bài 7*: Giải hệ PT
2 x + 1 = 1
x+ y
x + 1 + y − 1 = 4
Bài 9: Giải hệ PT
x + 6 + y + 4 = 6
2 x + y + 1 + x + y = 1
Bài 11: Giải hệ PT
3 x + 2 y = 4
Chuyên đề PT – BPT và HỆ PT
x + y +
Bài 8: Giải hệ PT
x + y +
x y
+ =4
y x
x2 y 2
+
=4
y
x
2 y 2 − x 2 = 1(1)
Bài 10: Giải hệ PT 3
3
2 x − y = 2 y − x ( 2 )
x + y − 3 = 3
Bài 12: Giải hệ PT
x − 3 + y = 3
x 2 + xy + y 2
x2 + y 2
+
= x + y (1)
Bài 13*: Giải hệ PT
3
2
x 2 xy + 5 x + 3 = 4 xy − 5 x − 3 ( 2 )
2
2
2 2
x + y + x y = 1 + 2 xy
Bài 14: Giải hệ PT
( x − y )(1 + xy ) = 1 − xy
1 1
x ( x + 1) + 1 + = 4
y
y
Bài 16: Giải hệ PT
3 3
2 2
3
x y + xy + x y + 1 = 4 y
x + y +
Bài 18: Giải hệ PT
x + y +
(
x y
+ =4
y x
x2 y2
+
=4
y
x
)
x 2 + y 2 − x − y = 12
Bài 15: Giải hệ PT
x ( x − 1) y ( y − 1) = 36
x + y + x 2 y 2 = 3xy
Bài 17: Giải hệ PT 1 1
x + y − xy = 1
1 y x
xy + xy + x + y = 4
Bài 19: Giải hệ PT
2 x 2 y + xy 2 + 2 y + x = 6 xy
2
2
2
2
3 2 x + y ( x + 2 y ) = 4 y − y + 4
Bài 20*: Giải hệ PT
Bài 22*: Giải hpt sau:
2
2
4 x + 4 y + y = 22
2x
2
x + xy + y = 4
18 = y ( y − x)
( x + y ) 2
x + y − x − y = 2
Bài 23: Giải hệ pt sau:
2
2
2
2
x + y + 1 − x − y = 3
x + 1 + y + 1 = 3
Bài 25: Giải hệ PT
( x + 1) y + 1 + ( y + 1) x + 1 = 6
3
3
2 x − 9 y = ( x − y )( 2 xy + 3)
Bài 27: Giải hệ PT
2
2
x − xy + y = 3
x + y + xy = 5
Bài 24: Giải hệ PT
x + y − xy = 3
x 2 − xy + y 2 = 3 ( x − y )
Bài 26: Giải hệ PT
3
2
2
x + xy + y = 7 ( x − y )
4 x − y − 2 + 2 x − y = 2
Bài 28: Giải hệ PT
2 x − y + 6 x − 2 y = 5
( x 2 + y 2 + xy ) x 2 + y 2 = 12
Bài 29: Giải hệ PT
( x 2 + y 2 − xy ) x 2 + y 2 = 4
x 2 + xy + y 2 + 1 = 3 y
Bài 30: Giải hệ PT
3
2
2
x + x y + x = x + 1
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
Chuyên đề PT – BPT và HỆ PT
x − 1 + x3 = 8 + y (1)
Bài 31: Giải hệ PT
4
( x − 1) = y ( 2 )
1 1
x + y = 0
Bài 32*: Giải hệ PT
1 + 1 1 + 1 1 + 1 = 18
3 3
3 y
3
x
y
x
2
2
y + ( 4 x − 1) = 3 4 x ( 8 x + 1)
Bài 33*: Giải hệ PT
40 x 2 + x = y 14 x − 1
x 4 + y = y 4 + 2 x (1)
Bài 34*: Giải hệ PT
3
x2 − y 2 = 3( 2)
(
)
Nếu làm hết số bài này, khi đi thi Đại học, 100% các em sẽ tủm tỉm cười!
HÃY THAM GIA MOON.VN ĐỂ XEM LỜI GIẢI BÀI TẬP VÀ CÙNG NHAU THẢO LUẬN !
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
- Xem thêm -
.PDF 
8 
211 
107 
