Tài liệu Phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh thpt thông qua dạy học chủ đề tổ hợp xác suất

UBND TỈNH PHÚ THỌ TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG NGUYỄN THỊ HỒNG CÚC PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TỔ HỢP - XÁC SUẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán Mã số: 8140111 Người hướng dẫn khoa học: TS. Phan Thị Tình PHÚ THỌ, 2018 1 MỞ ĐẦU 1.1. Tính cấp thiết của đề tài Đất nƣớc ta đang bƣớc vào giai đoạn công nghiệp hóa, hiện đại hóa với mục tiêu đến năm 2020 Việt Nam sẽ trở thành một nƣớc công nghiệp, hội nhập với cộng đồng quốc tế. Trƣớc bối cảnh đó, việc chuẩn bị tiềm lực con ngƣời là hết sức quan trọng và cần phải đƣợc tiến hành ở tất cả các cấp học. Nghị quyết đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ XII của Đảng cộng sản Việt Nam (2016) đã khẳng định:“Phát huy nguồn lực con người là yếu tố cơ bản cho sự phát triển nhanh và bền vững của công cuộc công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước”. Trọng trách của ngành Giáo dục trong chuẩn bị về tiềm lực con ngƣời giai đoạn hiện nay đƣợc cụ thể hóa trong Nghị quyết 29 – NQ/ TW Hội nghị lần thứ VIII Ban chấp hành Trung ƣơng khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục đào tạo: “Phải chuyển đổi căn bản toàn bộ nền giáo dục từ chủ yếu nhằm trang bị kiến thức sang phát triển phẩm chất và năng lực người học, biết vận dụng tri thức vào giải quyết các vấn đề thực tiễn; chuyển nền giáo dục nặng về chữ nghĩa, ứng thí sang một nền giáo dục thực học, thực nghiệp” . Theo đó, Chƣơng trình giáo dục phổ thông tổng thể đã công bố tháng 7- 2017 đã xác định một trong những mục tiêu của giáo dục phổ thông là phát triển năng lực con ngƣời. Trong đó, giải quyết vấn đề toán học là một trong những năng lực trung tâm có ảnh hƣởng lớn tới sự thành bại của con ngƣời khi tham gia thế giới hội nhập. Nhƣ vậy, coi trọng phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh là một vấn đề có ý nghĩa cả về mặt lí luận và thực tiễn. Môn Toán có nhiều ƣu thế trong hình thành và phát triển ở học sinh các phẩm chất, năng lực cần thiết thích ứng yêu cầu cuộc sống. Ở giai đoạn giáo dục Trung học phổ thông, môn Toán tiếp tục giúp học sinh phát triển các năng lực toán đã đƣợc định hình ở giai đoạn giáo dục cơ bản, đồng thời đƣợc tiếp cận với các ngành nghề có liên quan đến môn học, góp phần thực hiện yêu cầu định hƣớng giáo dục nghề nghiệp. Giải quyết vấn đề toán học là một trong các năng lực chủ chốt cần đƣợc phát triển cho học sinh phổ thông hiện nay. Năng lực này bao gồm các khả năng thành 2 phần là khả năng phát hiện và làm rõ vấn đề; đề xuất, lựa chọn giải pháp; thực hiện và đánh giá giải pháp; nhận ra, hình thành và khai thác ý tƣởng mới trong giải quyết vấn đề; khả năng tƣ duy độc lập. Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo đƣợc hình thành và phát triển trên nền của các hoạt động phát hiện giải quyết vấn đề một cách sáng tạo khi giáo học sinh chủ động, tích cực tham gia các hoạt động học tập, trải nghiệm. Tổ hợp – xác suất là một chủ đề toán học thuộc lĩnh vực toán với cấu trúc rời rạc, toán về các hiện tƣợng ngẫu nhiên xuất phát từ thực tiễn. Đối với học sinh Trung học phổ thông, việc tiếp cận kiến thức chủ đề này là khó và trừu tƣợng bởi bởi mạch suy luận không hoàn toàn giống suy luận toán học. Tuy nhiên, đây là các chủ đề toán giàu tiềm năng cung cấp cho học sinh những hiểu biết về mối liên hệ giữa toán học và các lĩnh vực khoa học khác nhau của đời sống. Với sự phong phú về các lĩnh vực thực tiễn có thể phản ánh qua các bài tập của chủ đề này, học sinh có cơ hội đặt và giải quyết nhiều tình huống, bài toán nảy sinh từ thực tiễn đòi hỏi sự linh hoạt và tính sáng tạo cao. Qua đó năng lực giải quyết vấn đề toán học của học sinh đƣợc rèn luyện, phát triển. Khảo sát thực trạng việc dạy học chủ đề Tổ hợp - xác suất tại một số trƣờng Trung học phổ thông trên địa bàn tỉnh Phú Thọ, chúng tôi nhận thấy: Học sinh tuy đƣợc trang bị kiến thức lý thuyết về các bài toán đếm, tổ hợp, chỉnh hợp, xác suất một cách lôgíc, hệ thống nhƣng khả năng giải quyết các vấn đề dƣới dạng tình huống thực tiễn đơn giản, gần gũi với đời sống qua sử dụng kiến thức về Tổ hợp - xác suất một cách sáng tạo, linh hoạt còn hạn chế. Một trong những nguyên nhân dẫn tới tình trạng trên là giáo viên chủ yếu chú trọng việc hƣớng dẫn học sinh đi tìm lời giải của từng bài toán cụ thể mà chƣa quan tâm đúng mức tới việc tạo các tình huống có vấn đề theo các chiều hƣớng khác nhau để học sinh đƣợc tham gia giải quyết. Nhƣ vậy, mặc dù tiềm năng bồi dƣỡng năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo thông qua học tập chủ đề này là sẵn có nhƣng hiệu quả của việc bồi dƣỡng năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh qua chủ đề chƣa đƣợc khai thác tối đa. Vì những lí do trên, đề tài đƣợc chọn là "Phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh THPT thông qua dạy học chủ đề Tổ hợp - Xác suất" . 3 1.2. Mục tiêu nghiên cứu Hệ thống hoá và làm rõ một số yếu tố của năng lực và giải quyết vấn đề toán học. Từ đó đề xuất các biện pháp sƣ phạm phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh Trung học phổ thông qua dạy học chủ đề Tổ hợp - xác suất nhằm nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh. 1.3. Đối tƣợng nghiên cứu Năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh lớp 11 THPT. 1.4. Phạm vi nghiên cứu Quá trình dạy học chủ đề Tổ hợp - Xác suất lớp 11 THPT với việc phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học. 1.5. Giả thuyết khoa học Nếu đề xuất và sử dụng một cách hợp lí các biện pháp sƣ phạm nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh Trung học phổ thông qua dạy học chủ đề Tổ hợp - Xác suất thì sẽ góp phần nâng cao năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh, nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trƣờng phổ thông. 1.6. Phƣơng pháp nghiên cứu 1.6.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận Tập hợp, đọc, nghiên cứu, phân tích, tổng hợp, hệ thống các nguồn tài liệu, các đề tài nghiên cứu, các giáo trình tham khảo liên quan tới đề tài:  Các nội dung trong chƣơng trình môn Toán ở trƣờng THPT có liên quan đến luận văn.  Thành phần năng lực giải quyết vấn đề toán học của học sinh.  Các vấn đề đổi mới phƣơng pháp dạy học ở trƣờng THPT.  Vai trò của việc sử dụng các phƣơng pháp dạy học tích cực với phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học của học sinh. 4  Tiềm năng của chủ đề Giải tích tổ hợp đối với việc bồi dƣỡng năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh THPT đáp ứng yêu cầu giáo dục hiện nay. 1.6.2. Phương pháp điều tra, quan sát Dự giờ, điều tra, phỏng vấn, Dùng phiếu (An két) để tiến hành điều tra, tìm hiểu nhằm thu thập thông tin về thực trạng việc dạy học Tổ hợp - xác suất ở trƣờng THPT; thực trạng nhận thức của giáo viên THPT về tầm quan trọng của việc bồi dƣỡng năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh; thực trạng việc bồi dƣỡng năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh THPT thông qua dạy học Tổ hợp - Xác suất. 1.6.3. Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia Xin ý kiến giảng viên hƣớng dẫn, các giảng viên giảng dạy môn Toán ở trƣờng đại học Hùng Vƣơng và một số giáo viên dạy giỏi môn Toán ở trƣờng THPT về nội dung nghiên cứu để hoàn thiện đề tài. 1.6.4. Phương pháp thử nghiệm sư phạm Tiến hành thử nghiệm đề tài nghiên cứu nhằm xác định tính khả thi, hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất trong đề tài. Các số liệu đƣợc phân tích, xử lý bằng công cụ của Thống kê Toán học 1.7. Dự kiến đóng góp của luận văn: 1.7.1. Ý nghĩa lí luận - Góp phần làm sáng tỏ cơ sở lí luận về năng lực giải quyết vấn đề toán học của học sinh. - Làm rõ vai trò của dạy học Tổ hợp - xác suất đối với việc bồi dƣỡng năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh THPT. - Đề xuất các biện pháp sƣ phạm phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh Trung học phổ thông qua dạy học chủ đề Tổ hợp - xác suất. 5 1.7.2. Ý nghĩa thực tiễn - Hƣớng dẫn sử dụng và các ví dụ minh họa trong mỗi biện pháp là tƣ liệu tham khảo cần thiết cho sinh viên ngành Toán, giáo viên toán trong dạy và học Toán ở THPT theo định hƣớng phát triển năng lực nói chung, năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh nói riêng. 6 CHƢƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Lịch sử ra đời của vấn đề nghiên cứu 1.1.1. Tình hình nghiên cứu trên thế giới Trên thế giới đã có rất nhiều nghiên cứu về dạy học toán theo hƣớng bồi dƣỡng năng lực GQVĐ ở trƣờng THPT, cụ thể vào những năm 70 của thế kỷ XIX phƣơng pháp “dạy học nêu vấn đề” xuất phát từ thuật ngữ “Orixtic”, phƣơng pháp này còn có tên gọi là “Dạy học phát hiện và GQVĐ” đã đƣợc nhiều nhà khoa học nghiên cứu nhƣ A. Ja Ghecđơ, B. E Raicôp,... Các nhà khoa học này đã nêu lên phƣơng án tìm tòi, phát kiến trong dạy học nhằm hình thành năng lực nhận thức của học sinh bằng cách đƣa học sinh vào hoạt động tìm kiếm ra tri thức, học sinh là chủ thể của hoạt động học, là ngƣời sáng tạo ra hoạt động học. Đây có thể là một trong những cơ sở lí luận của phƣơng pháp dạy học PH & GQVĐ. Vào những năm 50 của thế kỉ XX, xã hội bắt đầu phát triển mạnh, đôi lúc xuất hiện mâu thuẫn trong giáo dục đó là mâu thuẫn giữa yêu cầu giáo dục ngày càng cao, khả năng sáng tạo của HS ngày càng tăng với tổ chức dạy học còn lạc hậu. Phƣơng pháp phát hiện và GQVĐ ra đời. Phƣơng pháp này đặc biệt đƣợc chú trọng ở Ba Lan. V. Okon – nhà giáo dục học Ba Lan đã làm sáng tỏ phƣơng pháp này thật sự là một phƣơng pháp dạy học tích cực, tuy nhiên những nghiên cứu này chỉ dừng ở việc ghi lại những thực nghiệm thu đƣợc từ việc sử dụng phƣơng pháp này chứ chƣa đƣa ra đầy đủ cơ sở lí luận cho phƣơng pháp này. Những năm 70 của thế kỉ XX, Trên thế giới cũng có nhiều nhà khoa học, nhà giáo dục nghiên cứu phƣơng pháp này nhƣ: Xcatlin, Machiuskin, Lecne…,M. I Mackmutov đã đƣa ra đầy đủ cơ sở lí luận của phƣơng pháp dạy học giải quyết vấn đề. Khái niệm xác suất nảy sinh và phát triển với việc giải quyết vấn đề chia tiền cƣợc mà ngƣời khởi xƣớng là Pascal và Fermat. Cho đến năm 1662, trong Nghệ thuật tƣ duy của Antoine Arnauld và Pierre Nicole (các bạn của Pascal) thì thuật ngữ xác suất mới thực sự xuất hiện lần đầu tiên với ý nghĩa đúng nhƣ chúng ta biết ngày nay. Năm 1736, nhà toán học Euler đã giải quyết thành 7 công bài toán tổ hợp về bảy cây cầu ở thành phố Konigsberg, Đức (nay là Kaliningrad, Nga). Trong vòng nửa sau thế kỷ XVII, từ bài toán chia tiền cƣợc mà khái niệm xác suất đã đƣợc nảy sinh. Bernoulli đã nêu lên một số định nghĩa liên quan tới xác suất: “xác suất trong thực tế là mức độ chắc chắn…”, “dự đoán một điều gì đó là đo lƣờng xác suất của nó…”. Năm 1812, Laplace công bố “Chuyên luận giải tích về xác suất”. Với chuyên luận này Laplace đã chính thức đƣa ra định nghĩa đầu tiên về xác suất. Năm 1933, nhà toán học ngƣời Nga là Andrei Kolmogorov đã phác thảo một hệ tiên đề làm nền tảng cho lý thuyết xác suất hiện đại. Ý tƣởng này đã đƣợc chọn lọc lại phần nào và ngày nay lý thuyết xác suất và thống kê đã trở thành một ngành toán học ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực: vật lý, cơ học, sinh học, y học, kinh tế, địa lý... Ở Mỹ, Hội đồng Quốc gia năm 1980 GV toán đã đề nghị hoạt động GQVĐ phải là trọng tâm của toán học trong nhà trƣờng. Chƣơng trình giảng dạy và đánh giá Toán của Hội đồng Quốc gia GV Toán Mỹ yêu cầu đƣợc dạy xây dựng kiến thức toán học mới thông qua GQVĐ [29]. Chuẩn môn Toán của Bang New Jersey - Mỹ khẳng định tất cả HS sẽ phát triển khả năng đặt ra và GQVĐ trong toán học, trong ngành khác và trong cuộc sống hàng ngày. Ở Canada chƣơng trình giảng dạy lớp 11, 12 coi GQVĐ là trung tâm của học tập Toán và nên trở thành trụ cột chính của giảng dạy Toán [31]. Chƣơng trình toán phổ thông của bang Quebec, Canada, cũng đề cập đến GQVĐ. Ở Anh, báo cáo [30] đã nhìn nhận khả năng GQVĐ là một mục tiêu có tính trọng điểm của giáo dục toán học và là yếu tố quan trọng trong việc dạy toán cho mọi lứa tuổi và mọi khả năng. Chƣơng trình New Zealand chú trọng đến các phƣơng pháp tiếp cận để giải quyết các vấn đề liên quan đến toán học, phát triển khả năng tƣ duy, suy luận hợp lý. Chƣơng trình toán của Pháp nhấn mạnh tới yếu tố GQVĐ trong học toán. Chƣơng trình toán của Úc đề cập tới: Sự hiểu biết về kiến thức, kĩ năng toán học; GQVĐ; lập luận. Ở Singapore năm 2001, Bộ Giáo dục khẳng định, mục tiêu chính của chƣơng trình giảng dạy toán học là giúp HS phát triển khả năng GQVĐ Toán học (GQVĐ toán học bao gồm sử dụng và áp dụng toán 8 học vào các nhiệm vụ thực tế, các vấn đề thực tế cuộc sống và trong chính toán học) của HS [29]. Sách giáo khoa Singapore xây dựng một sự hiểu biết sâu sắc hơn về khái niệm toán học. Tất cả các thông tin trên cho thấy GQVĐ đã đƣợc đƣa vào chƣơng trình giảng dạy của nhiều nƣớc trên thế giới và có ý nghĩa quan trọng trong giảng dạy toán. Năng lực GQVĐ là một năng lực quan trọng cần hình thành và phát triển cho HS trong dạy học toán. Tuy nhiên chƣa có một công trình trên thế giới nào nghiên cứu về phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh thông qua chủ đề tổ hợp xác suất. 1.1.2. Tình hình nghiên cứu tại Việt Nam Ở nƣớc ta trong những năm gần đây có một số nghiên cứu về dạy học toán theo hƣớng bồi dƣỡng năng lực GQVĐ ở trƣờng THPT, cụ thể: Luận án tiến sĩ của Nguyễn Anh Tuấn (2002), với đề tài “Bồi dưỡng năng lực phát hiện và GQVĐ cho HS THCS trong dạy học khái niệm toán học (thể hiện qua một số khái niệm mở đầu đại số ở THCS)” [28], trên quan điểm hoạt động dạy học gồm hai hoạt động phát hiện vấn đề và GQVĐ, có thể xem năng lực phát hiện và GQVĐ gồm nhóm năng lực phát hiện vấn đề và nhóm năng lực GQVĐ, xác định quy trình dạy khái niệm mở đầu đại số để bồi dƣỡng năng lực phát hiện và GQVĐ. Luận án tiến sĩ của Nguyễn Thị Hƣơng Trang (2002), với đề tài “Rèn luyện năng lực giải toán theo hướng phát hiện và GQVĐ một cách sáng tạo cho HS khá giỏi trường Trung học phổ thông” [23], đã xây dựng một tiến trình giải toán, nhằm rèn luyện năng lực giải toán cho HS khá giỏi theo hƣớng phát hiện và GQVĐ một cách sáng tạo. Luận án tiến sĩ của Từ Đức Thảo (2012), với đề tài “Bồi dưỡng năng lực phát hiện và GQVĐ cho HS Trung học phổ thông thông qua dạy học hình học” [26], xem năng lực phát hiện và GQVĐ trong dạy học hình học gồm năng lực phát hiện vấn đề trong học hình học và năng lực GQVĐ trong học hình học, đƣa ra các biện pháp 9 bồi dƣỡng các thành tố của năng lực phát hiện và GQVĐ. Luận án tiến sĩ của Phan Anh Tài (2015), với đề tài“Đánh giá năng lực GQVĐ của HS trong dạy học toán lớp 11 trung học phổ thông” [22], cho rằng năng lực GQVĐ có bốn thành tố (năng lực hiểu vấn đề, năng lực phát hiện và triển khai giải pháp GQVĐ, năng lực trình bày giải pháp GQVĐ, năng lực phát hiện giải pháp khác GQVĐ, phát hiện vấn đề mới). Cuốn sách Tiếng Việt về xác suất - thống kê xuất bản lần đầu tiên ở nƣớc ta là cuốn “Thống kê thƣờng thức” của cố giáo sƣ Tạ Quang Bửu đƣợc xuất bản vào năm 1948. Cuốn sách này trình bày các kiến thức cơ bản về xác suất, thống kê và những ứng dụng của môn học này trong quân sự. Toán tổ hợp xác suất là một ngành toán học có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kinh tế... Vì vậy lý thuyết tổ hợp xác suất đã đƣợc đƣa vào chƣơng trình toán lớp 11 nhằm cung cấp cho HS THPT những kiến thức cơ bản về ngành toán học quan trọng này. Ở nƣớc ta, xác suất mới đƣợc đƣa vào chƣơng trình toán phân ban thí điểm ở lớp 11 năm 2005 – 2006. Phƣơng pháp phát hiện và GQVĐ thật sự là một phƣơng pháp tích cực. Trong công cuộc đổi mới phƣơng pháp dạy học, phƣơng pháp này là một trong những phƣơng pháp chủ đạo đƣợc sử dụng trong các nhà trƣờng nói chung và trong nhà trƣờng THPT nói riêng. Trải qua những thăng trầm của lịch sử, lí thuyết tổ hợp vẫn phát triển mạnh mẽ, đóng góp nhiều cho sự phát triển của khoa học và kĩ thuật hiện đại. Nói tóm lại, các công trình nghiên cứu trên thế giới và trong nƣớc về dạy học giải quyết vấn đề, năng lực giải quyết vấn đề cho ngƣời học có rất nhiều nhƣng chủ yếu tập trung vào nghiên cứu lý luận. Các nghiên cứu về năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh và phát triển năng lực ấy còn chƣa đƣợc cụ thể. Vấn đề phát triển năng lực GQVĐ toán học cho HS THPT thông qua chủ đề tổ hợp –xác suất thì chƣa có một công trình nào đề cập đến một cách có hệ thống, nghiên cứu chƣa đƣợc 10 triệt để mặc dù đây là một chủ đề toán học giàu tiềm năng giúp rèn luyện và phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh. Trên đây là những luận cứ quan trọng giúp chúng tôi xác định các biện pháp sƣ phạm, thực hiện mục đích của đề tài. 1.2. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 1.2.1. Vấn đề Để hiểu đúng thế nào là vấn đề và đồng thời làm rõ một vài khái niệm khác có liên quan, ta bắt đầu từ khái niệm hệ thống. Hệ thống đƣợc hiểu là một tập hợp những phần tử cùng với những quan hệ giữa những phần tử của tập hợp đó. Một tình huống đƣợc hiểu là một hệ thống phức tạp gồm chủ thê và khách thể, trong đó chủ thể có thể là ngƣời, còn khách thể là một hệ thống nào đó. Nếu trong một tình huống, chủ thể còn chƣa biết ít nhất một phần tử của khách thể thì tình huống này đƣợc gọi là một tình huống bài toán đối với chủ thể. Trong một tình huống bài toán, nếu trƣớc chủ thể đặt ra mục tiêu tìm phần tử chƣa biết nào đó dựa vào một số những phần tử cho trƣớc ở trong khách thể thì ta có một bài toán. Một bài toán đƣợc gọi là vấn đề nếu chủ thể chƣa biết một thuật toán nào có thể áp dụng để tìm ra phần tử chƣa biết của bài toán. Sau đây là một vài lƣu ý: Thứ nhất nếu hiểu nhƣ trên thì vấn đề không đồng nghĩa với bài toán. Những bài toán nếu chỉ yêu cầu hoc sinh đơn thuần áp dụng trực tiếp một thuật toán chẳng hạn nhƣ giải phƣơng trình bậc hai dựa vào công thức đã học, thì không phải là một vấn đề. Thứ hai, khái niệm vấn đề nhƣ trên thƣờng đƣợc dùng trong giáo dục. Ta cần phân biệt vấn đề trong giáo dục và vấn đề trong nghiên cứu khoa học. Ví dụ 1.1: Bài toán yêu cầu khai triển hằng đẳng thức (a + b)4 không phải là một vấn đề khi HS đã đƣợc học về khai triển nhị thức Newton nhƣng nó lại là một vấn đề khi họ chƣa đƣợc học công thức nhị thức Newton. 11 1.2.2. Tình huống gợi vấn đề Theo Nguyễn Bá Kim [7] tình huống gợi vấn đề , còn gọi là tình huống có vấn đề là một tình huống thỏa mãn các điều kiện sau: (i) Tồn tại một vấn đề Tình huống phải có một vấn đề theo nghĩa đã nêu ở mục 1.2.1, tức là có ít nhất một phần tử của khách thể mà học sinh chƣa biết và cũng chƣa có trong tay một thuật toán để tìm phần tử đó bộc lộ mâu thuẫn giữa thực tiễn và trình độ nhận thức, chủ thể phải ý thức đƣợc một khó khăn trong tƣ duy hoặc hành động mà vốn hiểu biết sẵn có chƣa đủ để vƣợt qua. Trong thực tế tình huống gợi vấn đề bộc lộ mâu thuẫn giữa thực tiễn với trình độ nhận thức, chủ thể phải ý thức đƣợc một khó khăn trong quá trình tƣ duy hoặc hành động mà vốn hiểu biết sẵn chƣa đủ để vƣợt qua. (ii) Gợi nhu cầu nhận thức Nếu một tình huống có vấn đề nhƣng vì lí do nào đó học sinh thấy không có nhu cầu tìm hiểu giải quyết chẳng hạn họ thấy vấn đề xa lạ, không liên quan gì tới mình thì đó cũng chƣa phải là một tình huống gợi vấn đề. Điều quan trọng là tình huống gợi nhu cầu nhân thức, chẳng hạn phải làm bộc lộ khiếm khuyết về kiến thƣc, kĩ năng của học sinh để họ cảm thấy cần thiết phải bổ sung kiến thức. (iii) Khơi dậy niềm tin ở khả năng của bản thân Nếu một tình huống tuy có vấn đề và học sinh tuy có nhu cầu nhận thức nhƣng nếu cẩn thấy vấn đề vƣợt quá so với khả năng của mình thì họ cũng không sẵn sàng tham gia giải quyết vấn đề. Tình huống cần khơi dậy ở học sinh cảm nghĩ là tuy họ chƣa có ngay lời giải , nhƣng đã có một số tri thức kĩ năng liên quan đến vấn đề đặt ra và nếu tích cực suy nghĩ thì có hy vọng giải quyết đƣợc vấn đề đó. Ví dụ 1.2: Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số đôi một khác nhau đƣợc lập từ các số 0,1,2,4,5,6,7,8,9? Vấn đề đặt ra ở đây là HS chƣa đƣợc học quy tắc nhân, nếu sử dụng cách liệt kê các phần tử thì mất rất nhiều thời gian. Giáo viên gợi vấn đề để HS thấy tình huống có vấn đề. 12 Tóm lại tình huống có vấn đề là tình huống gợi ra cho học sinh những khó khăn về mặt lí luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng vƣợt qua, nhƣng không phải ngay tức khắc nhờ một thuật toán mà phải trải qua một quá trình suy nghĩ tích cực , hoạt động để biến đổi đối tƣợng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có. 1.2.3. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề Theo Nguyễn Bá Kim [8] đặc điểm của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề nhƣ sau: Trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề , giáo viên tạo ra những tình huống gợi vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác tích cực, chủ động sáng tạo để giải quyết vấn đề, thông qua đó mà kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ năng và đạt đƣợc những mục tiêu học tập khác. (i) Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có các đặc điểm sau đây: - Học sinh đƣợc đặt vào tình huống có vấn đề chứ không phải là thông báo tri thức dƣới dạng có sẵn. - Học sinh hoạt động tự giác tích cực, chủ động sáng tạo, tận lực huy động tri thức và khả năng của mình để phát hiện và giải quyết vấn đề chứ không phải chỉ nghe thầy giảng một cách thụ động. - Mục tiêu dạy học không phải chỉ là làm cho học sinh lĩnh hội kết quả của quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề mà còn ở chỗ làm cho họ phát triển khả năng tiến hành những quá trình nhƣ vậy . (ii) Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề Bước 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề - Phát hiện vấn đề từ một tình huống gợi vấn đề thƣờng do thầy tạo ra. Có thể liên tƣởng đến những cách suy nghĩ tìm tòi, dự đoán trong phần gợi động cơ mở đầu. - Giải thích và chính xác hóa tình huống (khi cần thiết) để hiểu đúng vấn đề đƣợc đặt ra. - Phát biểu vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết vấn đề đó Bước 2: Tìm giải pháp 13 -Tìm một cách để giải quyết vấn đề. Việc này thƣờng đƣợc thực hiện theo sơ đồ sau: Bắt đầu Phân tích vấn đề Đề xuất và thực hiện hƣớng giải quyết Hình thành giải pháp Giải pháp đúng Kết thúc Giải thích sơ đồ theo Nguyễn Bá Kim [14] Khi phân tích vấn đề , cần làm rõ những mối quan hệ giữa những cái đã biết và cái phải tìm. Trong môn Toán thƣờng dựa vào những tri thức toán học đã học hoặc liên tƣởng tới những định lí hoặc định nghĩa thích hợp. Khi đề xuất và thực hiện hƣớng giải quyết vấn đề cùng với việc thu thập, tổ chức dữ liệu, huy động tri thức , thƣờng hay sử dụng những phƣơng pháp, kĩ thuật nhận thức, tìm đoán, suy luận nhƣ hƣớng đích, quy lạ về quen, đặc biệt hóa chuyển qua những trƣờng hợp suy biến, tƣơng tự hóa, đặc biệt hóa, khái quát hóa, xem xét mối liên hệ và phụ thuộc. Phƣơng pháp đƣợc đề xuất không phải là bất biến mà trái lại có thể phải điều chỉnh , thậm chí bác bỏ và chuyển hƣớng khi cần thiết. Khâu này có thể làm nhiều lần cho đến khi tìm đƣợc hƣớng đi hợp lí. 14 Kết quả của việc đề xuất và thực hiện hƣớng giải quyết vấn đề là hình thành đƣợc một giải pháp. Tiếp theo là kiểm tra xem giải pháp có đúng đắn hay không. Nếu giải pháp đúng thì kết thúc ngay, nếu không đúng thì lặp lại từ khâu phân tích vấn đề cho đến khi tìm đƣợc giải pháp đúng. Sau khi đã tìm ra đƣợc một giải pháp có thể tiếp tục tìm thêm những giải pháp khác (theo sơ đồ trên) so sánh chúng với nhau đề tìm ra giải pháp hợp lí nhất. Bước 3: Trình bày giải pháp Khi đã giải quyết đƣợc vấn đề đặt ra, ngƣời học trình bày lại toàn bộ từ việc phát biểu vấn đề cho tới giải pháp. Nếu vấn đề là một đề bài cho sẵn thì không phải phát biểu lại. Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp -Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả - Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tƣơng tự, khái quát hóa, lật ngƣợc vấn đề và giải quyết vấn đề nếu có thể. Để nắm đƣợc rõ hơn về các bƣớc DH phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học bài tập, chúng tôi thể hiện trong ví dụ giải bài tập sau: - Ví dụ 1.3: Buổi tổng kết cuối năm của một cơ quan, ban tổ chức phát ra 200 vé sổ số đánh số từ 1 đến 200 ngƣời. Xổ số có bốn giải: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tƣ. Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tƣ. Hỏi: a) Có bao nhiêu kết quả có thể? b) Có bao nhiêu kết quả có thể, nếu biết rằng ngƣời giữ vé số 47 đƣợc giải nhất? Chúng ta có thể dạy học bài tập theo các bƣớc DH phát hiện và giải quyết vấn đề nhƣ sau: Bước 1: Phát hiện và thâm nhập vấn đề 15 - GV cho HS đọc và nghiên cứu kĩ đề bài. HS tự phát hiện ra vấn đề cần giải quyết đó là trả lời đƣợc hai câu hỏi của bài tập. Bước 2: Tìm giải pháp, tìm cách giải quyết - GV hƣớng dẫn HS từng phần thông qua các câu hỏi gợi ý để các em tự tìm ra lời giải. + Phần (a): GV đƣa ra các câu hỏi sau cho HS trả lời. GV: Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tƣ có nghĩa là cần phải chọn ra bao nhiêu ngƣời trong 200 ngƣời? HS: Cần phải chọn 4 ngƣời. GV: Việc chọn 4 ngƣời này tùy ý hay theo một trật tự xác định trong 200 ngƣời? HS: 4 ngƣời này là đƣợc xếp thứ tự trong 200 ngƣời. GV: Vậy cần sử dụng công thức nào để tính? Số kết quả có thể xảy ra là bao nhiêu? HS: Cần sử dụng công thức tính số chỉnh hợp. Số kết quả có thể xảy ra là 4 A200  1552438800 (kết quả). + Phần (b): Tƣơng tự GV đƣa ra các câu hỏi sau cho HS trả lời. GV: Nếu biết rằng ngƣời giữ vé số 47 đƣợc giải nhất thì còn lại bao nhiêu ngƣời để chọn các giải còn lại? Khi đó, còn mấy giải cần phải chọn? HS: Còn 199 ngƣời để chọn các giải còn lại và còn 3 giải nữa cần phải chọn đó là giải nhì, giải ba, giải tƣ. GV: Vậy còn 3 giải nữa cần phải chọn nghĩa là cần phải chọn ra bao nhiêu ngƣời trong 199 ngƣời còn lại. 16 HS: Cần phải chọn 3 ngƣời trong 199 ngƣời còn lại. GV: Liệu việc chọn 3 ngƣời trong 199 ngƣời có khác gì phần (a) là 3 xếp thứ tự trong 199 ngƣời hay không? Vì sao? HS: Có giống.Vì khi đã chọn đƣợc giải nhất rồi thì việc chọn giải nhì, giải ba, giải tƣ là một công việc chọn 3 ngƣời trong 199 ngƣời để xếp 3 giải. Vậy có chỉnh hợp chập 3 của 199 GV: Ngoài ra ta còn có cách làm nào nữa không? GV: Ta phải chọn lần lƣợt từ giải nhì, sau đó chọn giải ba và cuối cùng là chọn giải tƣ. Vậy giải nhì có bao nhiêu cách chọn trong 199 ngƣời còn lại? HS: Có 199 cách chọn giải nhì. GV: Sau khi chọn giải nhì thì còn lại bao nhiêu ngƣời? Khi đó có bao nhiêu cách chọn giải ba? HS: Sau khi chọn giải nhì thì còn lại 198 ngƣời. Khi đó có 198 cách chọn giải ba. GV: Sau khi chọn giải ba thì còn lại bao nhiêu ngƣời? Khi đó có bao nhiêu cách chọn giải tƣ? HS: Sau khi chọn giải ba thì còn lại 197 ngƣời. Khi đó có 197 cách chọn giải ba. GV: Khi tính đƣợc số cách chọn từng giải, phải sử dụng công thức nào để tính các kết quả có thể xảy ra? Vì sao? HS: Sử dụng quy tắc nhân, vì kết quả là việc chọn ra cả ba giải. GV: Vậy các kết quả có thể xảy ra là bao nhiêu? HS: Áp dụng quy tắc nhân ta có các kết quả có thể xảy ra là: 17 199.198.197  7762194 (kết quả). Bước 3: Trình bày giải pháp - GV cho HS trình bày lời giải theo giải pháp vừa tìm đƣợc. 4 a) Số kết quả có thể xảy ra là A200  1552438800 (kết quả). b) Ngƣời giữ số vé 47 đạt giải nhất thì còn lại 199 ngƣời đƣợc chọn cho các 3 giải còn lại. Số cách chọn giải ba ngƣời nhận 3 giải còn lại là: A199 .Vậy các kết quả có thể xảy ra sau khi biết ngƣời giữ số vé 47 đạt giải nhất là: 3 A199 =199.198.197  7762194 (kết quả). Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp - Giải pháp giúp HS biết vận dụng tốt các kiến thức về Tổ hợp, biết đƣợc một số sai lầm thƣờng gặp để có thể giải các bài tập tiếp theo chính xác hơn. 1.3. Năng lực giải quyết vấn đề toán học 1.3.1. Khái niệm năng lực Năng lực đƣợc nhiều nhà tâm lý học, nhà triết học, nhà giáo dục học trong và ngoài nƣớc quan tâm nghiên cứu. Chƣơng trình giáo dục phổ thông ở Việt Nam sau năm 2015 theo định hƣớng hình thành và phát triển năng lực. Khái niệm năng lực đƣợc hiểu theo nhiều nghĩa khác nhau: Theo quan điểm di truyền học, năng lực phụ thuộc vào yếu tố bẩm sinh của di truyền và yếu tố môi trƣờng sống của con ngƣời và xem nhẹ yếu tố giáo dục. Các nhà tâm lí học Mác xit không tuyệt đối hoá vai trò của yếu tố bẩm sinh di truyền đối với năng lực mà nhấn mạnh đến yếu tố hoạt động và học tập trong việc hình thành năng lực. Có thể hiểu, năng lực là những đặc trưng tâm lí của cá nhân thích hợp để hoàn thành có kết quả tốt hoạt động nào đó. 18 Năng lực chính là một tổ hợp các đặc điểm tâm lý của một con ngƣời (còn gọi là tổ hợp thuộc tính tâm lý của một nhân cách), tổ hợp đặc điểm này vận hành theo một mục đích nhất định tạo ra kết quả của một hoạt động nào đấy [3]. Qua nghiên cứu, chúng ta cũng có thể quan niệm năng lực là sự tích hợp các kỹ năng tác động một cách tự nhiên lên các nội dung trong một loạt tình huống cho trƣớc để giải quyết những vấn đề do tình huống này đặt ra. Định nghĩa này nêu nên ba thành phần nổi bật của năng lực: kĩ năng, nội dung và tình huống. Năng lực là khả năng thực hiện có trách nhiệm và hiệu quả các hành động, giải quyết các nhiệm vụ, vấn đề trong những tình huống khác nhau thuộc các lĩnh vực nghề nghiệp, xã hội hay cá nhân trên cơ sở hiểu biết, kỹ năng, kỹ xảo và kinh nghiệm cũng nhƣ sự sẵn sàng hành động. Theo quan niệm này năng lực là khả năng kết hợp của các yếu tố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo, kinh nghiệm, thái độ tích cực, tinh thần trách nhiệm để thực hiện hoàn thành các nhiệm vụ, vấn đề trong các tình huống thuộc các lĩnh vực nghề nghiệp, xã hội và cá nhân. Khái niệm năng lực là khả năng cá nhân đáp ứng yêu cầu phức hợp và thực hiện thành công nhiệm vụ trong bối cảnh cụ thể hiện nay đang đƣợc dùng để đánh giá năng lực HS của gần 70 nƣớc trên thế giới, trong đó có Việt Nam. Từ những nghiên cứu về năng lực, chúng tôi quan niệm năng lực của HS trong học toán nhƣ sau: Năng lực của HS trong học toán là khả năng huy động kiến thức, kĩ năng, kinh nghiệm và các phẩm chất cá nhân khác như ý chí, niềm tin… của HS đáp ứng các yêu cầu phức hợp và thực hiện thành công các nhiệm vụ trong hoạt động học tập toán. Nhƣ vậy, năng lực có các đặc điểm sau: - Năng lực là khả năng của mỗi HS, nên đặc thù tâm lí, sinh lí, yếu tố bẩm sinh của mỗi HS và yếu tố xã hội sẽ ảnh hƣởng đến năng lực của HS. Năng lực của mỗi HS đƣợc hình thành và phát triển sẽ có sự khác biệt nhất định và phụ thuộc vào chƣơng trình, phƣơng pháp, hình thức dạy học, ... 19 - Năng lực gắn liền với hoạt động cụ thể. Ví dụ trong lĩnh vực học tập năng lực của HS đƣợc thể hiện thông qua việc vận dụng kiến thức, kĩ năng, kinh nghiệm, thái độ để giải quyết các nhiệm vụ. Năng lực của mỗi HS đƣợc bộc lộ thông qua các hoạt động nên để chứng minh năng lực của một HS trong một lĩnh vực nào đó phải xem xét các hoạt động của HS trong lĩnh vực đó. 1.3.2. Năng lực toán học Năng lực toán học là một vấn đề mà ở nhiều nƣớc trên thế giới đều có sự quan tâm đặc biệt cả trong lĩnh vực nghiên cứu và thực hiện, trong đó đặc biệt chú ý đến việc phát hiện và bồi dƣỡng HS có năng khiếu về Toán. Đến nay vẫn chƣa có đƣợc định nghĩa thống nhất về năng lực Toán. Theo nghiên cứu của Trần Luận [12] về cấu trúc năng lực, khái niệm năng lực toán học đƣợc giải thích trên hai phƣơng diện: + Nhƣ là năng lực sáng tạo (khoa học) - năng lực hoạt động khoa học toán học mà hoạt động này tạo ra đƣợc những kết quả, thành tựu mới có ý nghĩa khách quan đối với loài ngƣời, sản phẩm quý giá trong quan hệ xã hội. + Nhƣ là năng lực học tập - năng lực nghiên cứu (học tập, lĩnh hội) toán học (trong trƣờng hợp này là giáo trình toán phổ thông), lĩnh hội nhanh chóng và có kết quả cao các kiến thức, kỹ năng tƣơng ứng. Tiến sĩ Trần Luận đề xuất sơ đồ cấu trúc năng lực toán học của HS gồm hai nhóm: Năng lực trí tuệ chung và năng lực toán học đặc thù. Theo ông, sơ đồ cấu trúc năng lực toán học vừa nêu chỉ mới dừng ở nghĩa hẹp của năng lực. Trên thực tế, năng lực cần đƣợc hiểu theo nghĩa rộng là có thể bao gồm cả nhóm thành phần trí tuệ, cảm xúc, ý chí và thể chất. Từ những nghiên cứu về năng lực toán học, có thể thấy: - Năng lực toán học là những đặc điểm tâm lí về hoạt động trí tuệ của HS, giúp họ nắm vững và vận dụng tƣơng đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc, những kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong môn Toán.