Tài liệu Phân tích phi tuyến tĩnh và động khung thép phẳng bằng phần tử đồng xoay

Đ I H C QU C GIA TP. H CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐOÀN NG C T NH NGHIÊM PHÂN TÍCH PHI TUYẾN TĨNH VÀ ĐỘNG KHUNG THÉP PHẲNG BẰNG PHẦN TỬ ĐỒNG XOAY Chuyên ngành: K thu t Xây dựng Công trình Dân dụng và Công nghiệp Mã s chuyên ngành: 62582001 TÓM T T LU N ÁN TI N Sƾ K THU T TP. H CHÍ MINH ậ NĂM 2016 Công trình được hoàn thành t i Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM Người hướng d n khoa h c 1: PGS. TS. Ngô Hữu Cường Người hướng d n khoa h c 2: PGS. TS. Chu Qu c Th ng Phản biện độc l p 1: Phản biện độc l p 2: Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Lu n án s được bảo vệ trước Hội đ ng chấm lu n án h p t i ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... vào lúc giờ ngày tháng năm Có thể tìm hiểu lu n án t i thư viện: - Thư viện Khoa h c Tổng hợp Tp. HCM - Thư viện Trường Đ i h c Bách Khoa ậ ĐHQG-HCM CHƯƠNG 1 1.1 sự cân bằng giữa ngoại lực và nội lực ở mỗi bước tải nên khối lượng tính toán MỞ ĐẦU và dữ liệu lưu trữ của bài toán phân tích phi tuyến theo phương pháp này sẽ rất Tính cấp thiết của đề tài lớn, đặc biệt là với các khung nhiều tầng nhiều nhịp, có tính phi tuyến cao hoặc Kết cấu thép được sử dụng rộng rãi trong ngành công nghiệp xây dựng do có cần phân tích hệ kết cấu theo lịch sử thời gian khi chịu tải trọng động. nhiều ưu điểm như cường độ và độ tin cậy cao, tính dẻo dai cao, có tính công Việc giảm được thời gian và khối lượng tính toán mà vẫn đảm bảo độ chính xác nghiệp hóa cao, trọng lượng nhẹ, dễ vận chuyển và lắp đặt, thời gian thi công cao trong việc dự đoán ứng xử phi tuyến của hệ kết cấu là rất cần thiết và có nhanh, dễ gia cố sửa chữa, thân thiện với môi trường và có khả năng tái chế tính thực tiễn cao. Trên cơ sở tránh chia cấu kiện thành nhiều phần tử nhằm rút cao. Do cấu kiện có độ mảnh lớn và vật liệu bị chảy dẻo nên phản ứng của hệ ngắn thời gian phân tích và nhu cầu thiết lập một phương pháp mới mạnh mẽ và kết cấu thép khi chịu tải thường là phi tuyến. Khác với các phương pháp phân chính xác trong kỹ thuật phân tích kết cấu, tác giả tập trung phát triển một phần tích đàn hồi tuyến tính truyền thống với lời giải có thể tìm được trực tiếp, bài tử mới theo phương pháp dầm-cột dựa vào công thức đồng xoay (co-rotational toán phân tích phi tuyến cần dùng đến phương pháp gia tải từng bước để cập formulation). Ưu điểm nổi bật của phương pháp đề xuất là chỉ cần sử dụng một nhật dần sự thay đổi độ cứng của cấu kiện và hệ kết cấu nên quá trình phân tích hoặc hai phần tử để mô phỏng một cấu kiện kết cấu là có thể dự đoán khá chính cần phải trải qua nhiều bước giải lặp. Một phân tích phi tuyến hoàn chỉnh cho xác ứng xử phi tuyến, đặc biệt là ứng xử chuyển vị lớn của hệ kết cấu, do đó hệ kết cấu cần phải kể đến các yếu tố then chốt ảnh hưởng đến ứng xử của hệ hiệu quả tính toán sẽ cao hơn nhiều so với phương pháp PTHH truyền thống. như phi tuyến hình học, sự chảy dẻo của vật liệu, độ mềm và ứng xử trễ của 1.2 liên kết và tác động động của tải trọng. Trong quá trình chịu tải của hệ kết cấu, ở mỗi bước gia tải, các thông số về hình học, vật liệu và độ cứng liên kết luôn biến đổi, do đó ma trận độ cứng của các phần tử cần được cập nhật liên tục. Mục tiêu của nghiên cứu Phát triển phương pháp dầm-cột trong phân tích ứng xử phi tuyến khung thép phẳng nửa cứng phi đàn hồi dưới tác dụng của tải trọng tĩnh và động với các nội dung sau: (i) Thiết lập các hàm ổn định từ việc đề xuất hàm chuyển vị có Trong những năm gần đây, hai phương pháp phân tích cơ bản dựa vào phần tử dạng đa thức bậc 7 cho lời giải xấp xỉ của phương trình vi phân cân bằng của khung để mô phỏng ứng xử phi tuyến của hệ kết cấu thép đã và đang được phát phần tử dầm-cột đàn hồi chịu tải đầu mút để đơn giản hóa các phép biến đổi triển. Phương pháp thứ nhất là phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) tập trung toán học trong việc thành lập công thức cho ma trận độ cứng phần tử có xét đến vào sự mô phỏng chính xác ứng xử phi đàn hồi của vật liệu trong khi phương các tác động phi tuyến; (ii) Đề xuất một ma trận độ cứng mới cho phần tử dầm- pháp thứ hai là phương pháp dầm-cột (beam-column method) tập trung vào cột có kể đến tác động bậc hai theo các hàm ổn định có xét đến hệ số chảy dẻo việc mô phỏng chính xác tác động bậc hai. Để đảm bảo độ chính xác của kết và độ mềm của liên kết tại vị trí đầu mút phần tử bằng phương pháp phần tử quả phân tích phi tuyến, phương pháp PTHH cần chia nhỏ cấu kiện kết cấu đồng xoay; (iii) Xây dựng một thủ tục số theo các thuật toán giải phi tuyến hiện thành nhiều phần tử hữu hạn và mặt cắt ngang ở giữa phần tử hữu hạn cũng cần đại và phát triển một chương trình ứng dụng tin cậy và hiệu quả trong phân tích được chia nhỏ thành các điểm thớ hoặc các điểm tích phân để khảo sát sự lan khung thép phẳng có kể đến đầy đủ các tác động phi tuyến. truyền dẻo qua mặt cắt ngang và dọc theo chiều dài cấu kiện. Do quá trình phân tích cần phải chia thành nhiều bước gia tải nhỏ và cần phải cập nhật liên tục ma trận độ cứng và véc-tơ tải của hệ kết cấu cũng như cần phải giải lặp để đảm bảo 1 2 1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Phân tích ứng xử phi tuyến của khung thép dưới các tác CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT động của tải trọng tĩnh và động. 2.1 Phạm vi nghiên cứu: Khung thép phẳng phi đàn hồi có liên kết nửa cứng có Những giả thiết sau đây được sử dụng trong việc thành lập ma trận độ cứng xem xét ứng xử chuyển vị lớn làm việc trong và ngoài miền đàn hồi; Sự chảy phần tử dầm-cột đồng xoay: (1) Phần tử ban đầu thẳng và có dạng lăng trụ; (2) dẻo của tiết diện chỉ do ảnh hưởng của ứng suất pháp; Không xét đến ảnh Mặt cắt ngang trước và sau biến dạng luôn phẳng và vuông góc với trục phần hưởng của biến dạng cắt trong cấu kiện; Không xét đến sự mất ổn định cục bộ tử; (3) Bỏ qua biến dạng ngoài mặt phẳng và biến dạng cắt; (4) Bỏ qua ảnh của tiết diện và sự mất ổn định tổng thể ngang-xoắn của cấu kiện. hưởng của hệ số Poisson; (5) Không xét đến sự mất ổn định cục bộ của tiết diện 1.4 Các giả thiết và sự mất ổn định tổng thể ngang-xoắn của cấu kiện; (6) Biến dạng của phần tử Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu của đề tài là phương pháp lý thuyết: (i) phát triển phương pháp dầm-cột trong phân tích nâng cao khung thép phẳng bằng việc áp dụng công thức đồng xoay để thành lập ma trận độ cứng mới cho phần tử dầmcột có kể đến đầy đủ các tác động phi tuyến; (ii) áp dụng các thuật toán giải lặp là nhỏ, nhưng chuyển vị của hệ kết cấu có thể lớn; (7) Sự chảy dẻo của tiết diện chỉ do ảnh hưởng của ứng suất pháp. 2.2 Ma trận độ cứng phần tử dầm-cột đồng xoay 2.2.1 Nội lực phần tử dầm-cột có xét đến góc xoay hai đầu phần tử phi tuyến để xây dựng chương trình ứng dụng và sử dụng chương trình này để Xét phần tử dầm-cột đàn hồi điển hình chịu lực dọc trục và mô-men uốn ở hai khảo sát sự làm việc của khung thép phẳng nửa cứng dưới tác dụng của các đầu như trong Hình 2.1. dạng tải trọng. 1.5 u2 u1 Ý nghĩa khoa học và ý nghĩa thực tiễn của đề tài u3 Đề tài luận án xây dựng một phần tử dầm-cột mới theo lý thuyết dầm-cột phi M1 θ1 x tuyến kết hợp với phương pháp đồng xoay và áp dụng nó trong việc phát triển động một cách tin cậy và hiệu quả 1.6 δ M2 u5 F u6 u4 θ2 L0 Hình 2.1. Phần tử dầm-cột đàn hồi điển hình một chương trình máy tính có thể mô phỏng ứng xử phi đàn hồi của hệ kết cấu khung thép phẳng có liên kết dầm-cột cứng và nửa cứng chịu tải trọng tĩnh và ∆(x) Quan hệ giữa mô-men và góc xoay được xác định từ điều kiện biên và phương trình vi phân bậc 4 của phần tử dầm cột: Cấu trúc của luận án Luận án gồm có: Chương 1 (Mở đầu); Chương 2 (Cơ sở lý thuyết – Trình bày những nội dung chính về lý thuyết của đề tài); Chương 3 (Chương trình ứng dụng – Trình bày các thuật toán giải phi tuyến và lưu đồ của chương trình ứng dụng); Chương 4 (Ví dụ số minh họa – Khảo sát các ví dụ số của các nghiên cứu trước bằng phương pháp đề xuất); Chương 5 (Kết luận và kiến nghị - Nêu những đóng góp chính và các kiến nghị của đề tài); Tài liệu tham khảo; Phụ lục. 3  d 4∆ ( x)   d 2∆ ( x)   M 1  EI  s11 EI  −F  =0→ =  4 2  M 2  L0  s21  dx   dx  với các giá trị s11 = s 22 , s12 = s 21 xác định theo λ = L 0 s11, 22 = λ sin λ − λ 2 cos λ 2 − 2cos λ − λ sin λ s12 , 21 = s12  θ1    s22  θ 2  F EI λ 2 − λ sin λ 2 − 2cos λ − λ sin λ 4 (2.1) (Balling [20]): ( F ≤ 0) (2.2) s11, 22 = λ 2 cosh λ − λ sinh λ 2 − 2cosh λ + λ sinh λ s12 , 21 = λ sinh λ − λ 2 ( F > 0) 2 − 2cosh λ + λ sinh λ (2.3) Hình 2.2 và Hình 2.3 cho thấy các hàm chuyển vị và hàm ổn định đề xuất có độ chính xác cao so với các kết quả của lời giải giải tích. Lực dọc có xét đến biến dạng của phần tử: 2 2 L L L  EA EA  d δ 1  d∆  EA  d ∆  F= dx + ∫  δ+   dx  =   dx L0  ∫0 dx 2 0  dx  2L0 ∫0  dx   L0 0 0 0 (2.4) Sử dụng MAPLE, tác giả chứng minh được quan hệ lực dọc với các chuyển vị và các hàm ổn định theo q = λ 2 = F L20 / ( EI ) như sau: F=  1  ds   ds  AE 1  ds   δ ± EA   11 θ12 +  12 θ1θ 2 +  22 θ 22  L0 2  dq    dq   2  dq  (2.5) (Biểu thức trên lấy dấu “+” khi F > 0 và dấu “–” khi F ≤ 0) 2.2.2 Các hàm ổn định khi xấp xỉ hàm chuyển vị bằng đa thức bậc 7 Để đơn giản hóa việc biến đổi toán học mà vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết, hàm chuyển vị ∆ ( x ) được tác giả xấp xỉ thành đa thức bậc 7. ∆ ( x ) = a7 x7 + a6 x6 + a5 x 5 + a4 x 4 + a3 x 3 + a2 x 2 + a1 x + a0 (2.6) Các hệ số a i ( i = 0 ~ 7 ) được xác định từ việc cho hàm chuyển vị giả thiết ở trên thỏa các điều kiện tương thích và điều kiện cân bằng. Từ đây ta xác định được các hàm ổn định s11 , s12 , s 21 , s 22 theo q = λ 2 = F L20 / ( EI ) như sau: (F ≤ 0) ( F > 0)  5q 3 − 1404q 2 + 86400q − 1209600 ) (  s11 = s22 = − 9 ( 40 − q )( 840 − 11q )   3 q + 252q 2 − 25920q + 1209600 ) (   s12 = s21 = 18 ( 40 − q )( 840 − 11q )  (2.7)  5q 3 + 1404q 2 + 86400q + 1209600 ) (  s11 = s22 = 9 ( 40 + q )( 840 + 11q )   3 q − 252q 2 − 25920q − 1209600 ) (   s12 = s21 = − 18 ( 40 + q )( 840 + 11q )  (2.8) 5 Hình 2.2. Các hàm ổn định Với các hàm ổn định đề xuất ta dễ dàng xác định được các giá trị ( dsij / dq ) với (i, j = 1, 2 ) trong biểu thức của lực dọc F như đã trình bày ở phương trình (2.5). Trường hợp đặc biệt, khi lực dọc rất nhỏ ( q → 0 ) , ta có:   s11 = s22 = 4   s = s = 2 21  12   ds11   ds22  =  dq   dq  2 =± 15  (" − " : F ≤ 0  ds12   ds21  1  = =∓ 30  dq   dq  (" + " : F ≤ 0 " +" : F > 0) (2.9) " −" : F > 0) Các kết quả này trùng khớp với kết quả khi xấp xỉ hàm chuyển vị bằng hàm đa thức bậc 3 thông thường của phần tử dầm. 6 2.2.4 Nội lực có xét đến độ cứng của liên kết ở hai đầu phần tử Xét phần tử dầm-cột có liên kết nửa cứng ở vị trí các đầu mút được mô phỏng thành một phần tử hữu hạn như Hình 2.4. Giả thiết chiều dài liên kết bằng 0. θr1 0.0 0 0.00 ( 0 ≤ η1 , η2 ≤ 1) xuất hiện khớp dẻo), ta hiệu chỉnh lại các biểu thức nội lực như sau: F= s2 p  θ1    s3 p  θ 2  (2.11) trong đó, s1p , s 2p , s3p được xác định theo các hàm ổn định s11 , s12 , s 21 , s 22 và các 7 0.00 EI  s1 p (θ c1 − θ r 1 ) + s2 p (θ c2 − θ r 2 )  L0  EI  s2 p (θ c1 − θ r 1 ) + s3 p (θ c 2 − θ r 2 )  M2 = L0  F= (2.13)  1  ds  EA 1  ds  2  ds  2 δ ± EA  1p (θc1 −θr1 ) + 2p (θc1 −θr1 )(θc2 −θr2 ) +  3p (θc2 −θr2 )  (2.14) L0 2  dq   dq  2  dq   Quan hệ mô-men và góc xoay liên kết theo độ cứng tiếp tuyến R kt1 , R kt 2 : (2.12) Rõ ràng, với việc sử dụng hàm chuyển vị xấp xỉ bằng hàm đa thức, các phép biến đổi toán học sẽ đơn giản hơn nhiều khi tính toán và xác định các giá trị s1p , s 2p , s3p và ( ds1p / dq ) , ( ds 2p / dq ) , ( ds3p / dq ) . L0 B (Biểu thức trên lấy dấu “+” khi F > 0 và dấu “–” khi F ≤ 0) hệ số chảy dẻo η1 , η2 được Liew và cộng sự [12][13] đề xuất như sau:     s2 s2 s1 p = η1  s11 − 12 ( 1 − η2 )  s2 p = η1η2 s12 s3 p = η2  s22 − 21 ( 1 − η1 )  s11 s22     θr2 Quan hệ nội lực khi có xét đến các góc xoay của liên kết θr1 , θr 2 được viết lại: M1 = (2.10)  1  ds   ds  AE 1  ds   δ ± EA   1 p θ12 +  2 p θ1θ 2 +  3 p θ 22  L0 2  dq    dq   2  dq  θ2 Hình 2.4. Mô hình phần tử dầm-cột có liên kết nửa cứng lần lượt là hệ số chảy dẻo ở hai đầu phần tử ( η1 , η2 có giá trị bằng 1 nếu còn đàn hồi và bằng 0 khi bị chảy dẻo hoàn toàn tại vị trí  M 1  EI  s1 p  =   M 2  L0  s2 p b) a) 2.2.3 Nội lực có xét đến sự chảy dẻo ở hai đầu phần tử Gọi η1 , η2 θc2 M1 Mc1 0.0 θc1 A Hình 2.3. Các hàm chuyển vị theo λ (θ1 = 1, θ2 = 0) M2 0 Mc2 θ1 ∆ M c1 = Rkt 1 ∆θ r 1  ∆ M c 2 = Rkt 2 ∆θ r 2 (2.15) Bên cạnh đó, tại vị trí hai đầu phần tử, ta có: M c1 = M1 , M c2 = M 2 . Từ đây, quan hệ mô-men tại vị trí liên kết được viết lại như sau: 8 ∆ M c1  EI  s1c  =  ∆ M c2  L0  s2c u = {δ θ c1 θ c 2 } u = {u1 T s2c  ∆θ c1    s3c  ∆θ c 2  (2.16) u2 u3 u4 u6 } T u5 (2.19) Chiều dài phần tử trước và sau khi biến dạng của phần tử: trong đó, s1c , s 2c , s3c được xác định theo s1p , s 2p , s3p và R kt1 , R kt 2 :   EI s1p s3 p − s22 p )  ( s1p + Rkt 2 L0  s = s2 p s1c =  2c * R R* L0 =   EI s1 p s3 p − s22 p )  ( s3 p + Rkt1 L0  (2.17) s3c =  R*     EI  EI  2 EI EI R* =  1 + s1 p  1 + s3 p  −    s2 p Rkt 1 L0 Rkt 2 L0     Rkt 1 L0  Rkt 1 L0  (2.18) 2.2.5 Ma trận độ cứng phần tử dầm-cột đồng xoay ( xB − xA ) + ( zB − zA ) 2 2 L= ( xB + u4 − xA − u1 ) + ( zB + u5 − zA − u2 ) 2 2 (2.20) Các thông số hình học của phần tử được xác định như sau: δ = ( L − L0 ) θ c1 = u3 − (α − α 0 ) θ c2 = u6 − (α − α 0 ) (2.21)  z + u5 − z A − u2   xB + u4 − x A − u1  sin α =  B  cos α =   L L     (2.22) Quan hệ véc-tơ nội lực trong hệ tọa độ địa phương và hệ tọa độ tổng thể: Xét phần tử dầm-cột AB với tọa độ ban đầu A ( x A , z A ) , B ( x B , z B ) có các thông số hình học trước và sau khi chuyển vị được trình bày như ở Hình 2.5. fL = { F Mc1 Mc2} T  fG = −F  ( Mc1 + Mc2 ) L M1 F − ( Mc1 + Mc2 ) L T  M2  (2.23)  4 B θr1 θc1 u3 α L A u2 θr2 α0 0.00 L0 0.00 Hình 2.5. Vị trí ban đầu và sau khi chuyển vị của phần tử dầm-cột Véc-tơ chuyển vị lần lượt theo hệ tọa độ địa phương và hệ tọa độ tổng thể: 9 (2.24) Ma trận độ cứng tiếp tuyến trong hệ tọa độ tổng thể của phần tử: B 0 0.0 A θc2 u5 u6 u1 T  ∂u  fG =   fL = BT fL  ∂u  0 0.0   −cosα − sinα 0 cosα sinα 0   sinα cosα sinα cosα   1 − 0 B= −  L  L L L  sinα cosα sinα cosα  − 0 − 1  L L L L  T rrT ∂f  1  ∂f   ∂B KG =  G  =  fL + BT L  = BT KL B + 1 1 F + 2 r1r2T + r2 r1T  ( Mc1 + Mc2 ) (2.25) L L ∂u   ∂u   ∂u trong đó, K L là ma trận độ cứng tiếp tuyến trong hệ tọa độ địa phương.  ∂F   ∂δ  ∂F KL =   ∂θ c1  ∂F   ∂θ c2 ∂M c1 ∂δ ∂M c1 ∂θ c1 ∂M c1 ∂θ c 2 ∂M c2   ∂δ  r1 = {sinα − cos α 0 − sinα cos α 0}T ∂M c2   và  T ∂θ c1  r2 = {− cos α − sinα 0 cos α sinα 0} ∂M c2   ∂θ c 2  10 Do M c1 = M1 , M c2 = M 2 , sử dụng các phương trình (2.13), (2.14) ta xác định Phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh được phát triển bởi Liew cùng cộng sự [13] được ma trận độ cứng trong tọa độ địa phương K L . Từ đây, theo phương trình sử dụng hai đường dẻo (đường bắt đầu chảy dẻo khi α = 0.5 và đường chảy (2.25) ta xác định được ma trận độ cứng K G . Ta thấy, K G có cập nhật sự thay dẻo hoàn toàn, còn gọi là đường tương tác của tiết diện, khi α = 1 ) cho phép mô đổi hình học của phần tử sau khi biến dạng, có xét đến ảnh hưởng phi tuyến vật phỏng sự chảy dẻo dần dần tại vị trí đầu mút phần tử. Hệ số chảy dẻo tại nút liệu thông qua các hệ số chảy dẻo η1 , η2 ở hai đầu phần tử trong các hàm phần tử được xác định theo công thức: η = 4α (1 − α ) . Khi cặp nội lực tại đầu s1p , s 2p , s3p , mút phần tử di chuyển bên trong hoặc ngay trên đường bắt đầu chảy dẻo thì vị ( ds 1p / dq ) , ( ds 2p / dq ) , ( ds3p / dq ) và có xét đến ảnh hưởng phi tuyến liên kết thông qua việc cập nhật các góc xoay θr1 , θr 2 của liên kết ở hai trí đầu mút phần tử vẫn còn đàn hồi (các hệ số chảy dẻo η = 1 ). Khi nội lực nút đầu phần tử. phần tử di chuyển bên ngoài đường bắt đầu chảy dẻo và bên trong đường chảy 2.3 Phân tích phi tuyến vật liệu dẻo hoàn toàn, khớp dẻo hình thành và hệ số chảy dẻo giảm dần ( 0 < η < 1 ). 2.3.1 Phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh Khi nội lực nút phần tử di chuyển ngay trên đường chảy dẻo hoàn toàn, hệ số Tác động của ứng suất dư trong tiết diện dưới tác dụng của lực dọc được kể đến bằng cách hiệu chỉnh mô-đun đàn hồi E thành mô-đun tiếp tuyến E t đã được trình bày bởi: Liew và cộng sự [13], Hội đồng nghiên cứu về cột (CRC), … Để xét ảnh hưởng đồng thời của lực dọc và mô-men uốn đến sự chảy dẻo của tiết diện phần tử, khái niệm thông số dẻo α (hàm số phụ thuộc vào giá trị của lực dọc và mô-men uốn tại đầu mút phần tử) đã được đề xuất bởi một số tác giả: Orbison [11], ASIC-LRFD [13], Balling [20], … (Hình 2.6) chảy dẻo η = 0 . Trong trường hợp α > 1 , cặp nội lực nút được đưa trở về đường α = 1 ở vị trí có cùng giá trị của lực dọc cho bước tải tiếp theo. 2.3.2 Phương pháp khớp thớ Để theo dõi sự chảy dẻo dần dần tại vị trí xuất hiện khớp dẻo, phương pháp khớp thớ chia tiết diện tại các vị trí đầu mút phần tử thành nhiều thớ để dò theo ứng xử phi đàn hồi. Mỗi thớ được đại diện bởi diện tích và vị trí tọa độ trọng tâm của nó như trong Hình 2.7. Ứng suất dư ban đầu trong tiết diện dễ dàng được gán cho các thớ trước khi tiến hành phân tích bài toán. Một số mô hình ứng suất dư đã được đề xuất bới Lehigh Notes (US) ,Vogel (ESSC) [26], … zj yj d y tf tw bf Hình 2.6. Các đường tương tác của tiết diện thường dùng Hình 2.7. Sơ đồ chia thớ tiết diện 11 12 Trong phương pháp khớp thớ, sự chảy dẻo được thể hiện thông qua việc cập nhật ứng suất trong từng thớ sau mỗi bước gia tải mà không phụ thuộc vào các đặc biệt là trong bài toán có xét đến ứng suất dư ban đầu trong tiết diện. mút được xác định như sau: AE E A AE = ∑ Aj ηi = I Ei I I Ei = ∑ z 2j A j (2.26) j =1 ( i = 1, 2 ) (2.27)     1 n + Rkp θ r do tác động của lực dọc có xét đến ảnh hưởng của ứng suất dư, n Ei và Aj là số thớ và diện tích thớ còn đàn hồi tại các tiết diện đầu mút phần tử. trong đó: R ki là độ cứng ban đầu của liên kết; θ0 = M u / R ki với M u là mô-men chiếu của liên kết; n là thông số hình dạng; θr là góc xoay của liên kết. Ứng xử vòng trễ (hysteresis loop) của liên kết ảnh hưởng lớn đến kết quả phân thời gian). Có ba phương pháp chính mô phỏng ứng xử vòng trễ của liên kết: phương pháp tăng bền độc lập, phương pháp tăng bền động học và phương pháp mặt biên. Tác giả áp dụng mô hình ứng xử tăng bền độc lập (Hình 2.8) trong nghiên cứu của mình do tính đơn giản của nó. Phi tuyến liên kết M 2.4.1 Liên kết nửa cứng E ( θcE , M E ) G (θcG , MG ) Trong phân tích và thiết kế khung thép truyền thống, ứng xử của liên kết tại vị A (θcA , MA ) trí dầm – cột được lý tưởng hóa thành các liên kết cứng hoàn toàn hoặc là liên dM dθr của liên kết là phi tuyến do sự liên kết không chặt và sự chảy dẻo dần dần của các thành phần cấu thành liên kết như các tấm, sườn gia cường, thép góc, bu- Rkt Rkt kết khớp lý tưởng. Tuy nhiên, nhiều kết quả thực nghiệm đã chỉ ra rằng ứng xử D (θpD , 0) Rki F Rki 0 lông… Dạng liên kết này được gọi là liên kết nửa cứng. Quan hệ giữa mô-men B ( θpB , 0) và góc xoay của liên kết thường được biểu diễn bằng các hàm toán học có dạng tổng quát M = f ( θr ) . Một số mô hình toán học của liên kết nửa cứng đã được H Rkt đề xuất bởi Chen-Lui [6][8], Kishi-Chen, Richard-Abbott [21]… Kishi-Chen (1986): M= (2.29) tích phi tuyến của hệ kết cấu khi chịu tải lặp (tải tác dụng có sự đổi chiều theo với n E và A E là số thớ và diện tích phần đàn hồi của tiết diện ở giữa phần tử 2.4    n 2.4.2 Mô hình ứng xử vòng trễ của liên kết nửa cứng j =1 nEi − Rkp ) θ r cực hạn của liên kết; Rkp là độ cứng tăng bền của liên kết; M 0 là mô-men tham nE Et = ki   R −R θ ( ki kp ) r  1 +  M0   đường tương tác của tiết diện nên mô phỏng được sự chảy dẻo chính xác hơn, Mô-đun tiếp tuyến E t của phần tử và hệ số chảy dẻo η1 , η2 tại các vị trí đầu (R Richard-Abbott (1975): M = Rkiθ r 1   θ n  n 1 +  r     θ0   13 Rki (2.28) I ( θ cI , M I ) C (θcC , M C ) Hình 2.8. Mô hình tăng bền độc lập 14 θr CHƯƠNG 3 CHƯƠNG TRÌNH PHÂN TÍCH thống, thuật toán AL-MRD hiệu quả và có tốc độ hội tụ cao do có xét đến hệ số Chương trình ứng dụng được phát triển bằng MATLAB dựa vào thuật toán giải điều chỉnh tải ∆λ trong mỗi bước tải. phi tuyến chiều dài cung (Arc-length Method – AL) kết hợp với thuật toán cực tiểu hóa chuyển vị dư (Minimum Residual Displacement Method – MRD) cho bài toán phân tích tĩnh và thuật toán Newmark-β kết hợp với thuật toán giải lặp Newton-Raphson cho bài toán phân tích động khung thép phẳng phi đàn hồi có liên kết nửa cứng. 3.1 Thuật toán AL-MRD Phương pháp chiều dài cung kết hợp với phương pháp cực tiểu hóa chuyển vị dư (AL-MRD), đã được Chan và Zhou [24] đề xuất để phân tích ứng xử phi tuyến của hệ kết cấu chịu tải trọng tĩnh, được trình bày cụ thể như bên dưới. (3.1) trong đó: ∆F là véc-tơ lực không cân bằng, ∆F = F − Z ; ∆u là véc-tơ gia số chuyển vị; ∆F là véc-tơ song song với véc-tơ ∆F ; ∆u là véc-tơ chuyển vị kết hợp do ∆F gây ra; ∆λ là hệ số điều chỉnh tải. Hệ số ∆λ ở bước lặp đầu tiên được xác định theo phương pháp chiều dài cung: ∆λi = S ∆ u T ∆u với S là chiều dài cung (3.2) Ở bước lặp thứ hai trở về sau của mỗi bước tải, hệ số điều chỉnh tải ∆λ được xác định từ điều kiện cực tiểu hóa chuyển vị dư: T T ∂ ( ∆u + δλ∆u ) ( ∆u + ∆λ∆u )    = 0 → ∆λ = − ∆u ∆u ∆u T ∆ u ∂∆λ 3.2 Thuật toán Newmark-β kết hợp với thuật toán Newton-Raphson Phương trình cân bằng gia tăng chuyển động của hệ kết cấu: Phương trình cân bằng gia tăng của hệ kết cấu: ( ∆u + ∆λ∆u ) = K T −1 ( ∆F + ∆λ∆F ) Hình 3.1. Thuật toán AL-MRD (3.3) Hình 3.1 trình bày cụ thể nội dung thuật toán AL-MRD. Thuật toán dừng lặp (hội tụ) khi trị số (∆ui / u) ≤ [ε] . So với các thuật toán giải lặp phi tuyến truyền ɺɺ + CT ∆U ɺ + K T ∆U = ∆F M ∆U ɺ , ∆U ɺɺ lần lượt là véc-tơ gia số chuyển vị, vận tốc và gia tốc; trong đó: ∆U, ∆U M, CT , K T lần lượt là ma trận khối lượng, ma trận cản và ma trận độ cứng tiếp tuyến của hệ kết cấu; ∆F là véc-tơ gia số của tải ngoài. Các phương trình của Newmark [16] theo phương pháp gia tốc trung bình: ɺɺ n +1 = 4 ∆U n +1 − 4 U ɺ − 2U ɺɺ n ∆U ∆t 2 ∆t n (3.5) 2 ɺn ∆U n +1 − 2U ∆t (3.6) ɺ n +1 = ∆U Thay các phương trình (3.5), (3.6) vào (3.4), véc-tơ gia số chuyển vị ∆U n +1 của bước tải thứ (n + 1) được xác định từ phương trình sau: K Eff ( n+1) ∆U n +1 = ∆ FEff ( n+1) (3.7) trong đó, K Eff ( n+1) = 15 (3.4) 4 2 M + CT ( n +1) + K T ( n +1) 2 ∆t ∆t (3.8) 16  4 ɺ ɺɺ M + 2C T ( n + 1 )  U n + 2 MU n  ∆t  ∆ FEff ( n+1) = ∆ Fn +1 +  (3.9) ɺ ,U ɺɺ của bước tải thứ (n + 1): Từ đây, ta xác định được véc-tơ U n +1 , U n +1 n +1 động, chứa các dữ liệu tải động (hoặc gia tốc nền) theo thời gian. Để phân tích một hệ kết cấu, ta tiến hành rời rạc hóa hệ kết cấu, đánh số nút, U n +1 = U n + ∆U n +1 (3.10) ɺ n +1 = −U ɺ n + 2 ∆U n +1 U ∆t (3.11) ɺɺ n +1 = −U ɺɺ n − U khung và dữ liệu tải tĩnh. Tập tin Input_dyna_load.txt, chỉ dùng cho bài toán đánh số phần tử và nhập các thông tin của hệ khung vào các tập tin Input.txt và Input_dyna_load.txt. Chương trình sẽ đọc các tập tin này để nhập liệu. Chương trình phân tích không mặc định trước các hệ đơn vị tính, kết quả phân tích được xuất ra theo cùng thứ nguyên với các dữ liệu đầu vào. 4 ɺ 4 U n + 2 ∆U n +1 ∆t ∆t (3.12) Áp dụng thuật toán giải lặp Newton-Raphson để khư lực dư trong hệ kết cấu 3.4 Các lưu đồ thuật toán Lưu đồ thuật toán bài toán tĩnh Lưu đồ thuật toán bài toán động cho đến khi đạt sai số cho phép. Các bước lặp được trình bày cụ thể như sau: 1 B1: Xác định ∆U n +1 ở bước lặp đầu tiên theo phương trình (3.7). B2: Xác định véc-tơ chuyển vị dư δU n +1 tại bước lặp (k + 1): k +1 k+1 k +1 k +1 k +1 K Eff ( n+1)δ U n + 1 = ∆ Rn +1 với ∆R n +1 là lực dư và k ≥ 1 B3: (3.13) Cập nhật véc-tơ gia số chuyển vị ∆U kn ++11 , từ đó cập nhật các véc-tơ chuyển vị, véc-tơ vận tốc và véc-tơ gia tốc theo (3.10), (3.11), (3.12). ∆U nk++11 = ∆U nk+1 + δ U nk++11 B4: (3.14) Kiểm tra các sai số. Dừng lặp khi đạt sai số cho phép ε ≤ [ ε ] , nếu ε > [ ε ] trở lại các bước lặp từ B2 đến B3. Các véc-tơ chuyển vị, véc-tơ vận tốc và véc-tơ gia tốc xác định được ở cuối bước tải sẽ là điều kiện ban đầu cho bước tải kế tiếp. 3.3 Chương trình phân tích Dựa vào các thuật toán đã trình bày ở trên, một chương trình ứng dụng được viết bằng ngôn ngữ MATLAB để phân tích phi tuyến khung thép phẳng chịu tải trọng tĩnh và động. Các tập tin nhập liệu Input.txt và Input_dyna_load.txt được thiết lập riêng ngoài chương trình. Tập tin Input.txt chứa các dữ liệu của hệ Hình 3.2. Các lưu đồ thuật toán 17 18 4.1 VÍ DỤ SỐ MINH HỌA Ví dụ này cho thấy sự hiệu quả của phương pháp đồng xoay trong việc dự đoán ứng xử chuyển vị lớn của cấu kiện chịu uốn khi chịu tải trọng tĩnh. Với ví dụ Phân tích chuyển vị lớn tương tự, Nanakorn và Vu [17] cần phải mô phỏng cấu kiện bằng 05 phần tử 4.1.1 Dầm công-xôn chịu lực tập trung đầu mút Phân tích chuyển vị lớn của dầm công-xôn đàn hồi chịu tải tập trung đầu mút với các thông số như trong Hình 4.1. Trong ví dụ này tác giả chia cấu kiện thành 02 phần tử đề xuất và so sánh với kết quả của phần mềm ANSYS (chia cấu kiện thành 02 và 20 phần tử BEAM3) và với lời giải của Mattiasson [14]. L = 10m P xoay và tịnh tiến với phần tử đã hạn chế được số lượng phần tử cần mô phỏng cho cấu kiện trong phân tích nhưng vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết cho bài toán chuyển vị lớn. 4.1.2 Khung Williams Khung Williams như Hình 4.3 thường được dùng như một ví dụ chuẩn để kiểm W8×67 E = 200 GPa khi dùng công thức tổng Lagrange. Việc gắn thêm hệ tọa độ địa phương cùng v u Hình 4.1. Dầm công-xôn chịu tải tập trung đầu mút Chuyển vị tại vị trí đầu mút dầm (u/L) và (v/L) theo hệ số tải (PL²/EI) được trình bày ở Hình 4.2. Với việc mô phỏng cấu kiện chỉ bằng 02 phần tử đề xuất, đường quan hệ tải – chuyển vị của tác giả gần như trùng khớp với kết quả của tra độ chính xác của các chương trình phân tích khung có chuyển vị lớn. Wood và Zienkiewicz [18] sử dụng 10 phần tử hữu hạn đẳng tham số, Nanakorn và Vu [17] sử dụng 02 phần tử và Nguyen [5] sử dụng 02 phần tử dầm đồng xoay phi tuyến B2CS cho một cấu kiện để phân tích. Ở ví dụ này, tác giả chỉ sử dụng 01 phần tử cho mỗi cấu kiện. Kết quả phân tích của chương trình đề xuất và các tác giả khác được thể hiện trong Hình 4.4. P (9.804 mm) 0.386 in ANSYS (sử dụng 20 phần tử BEAM3) và lời giải của Mattiasson. Khi sử dụng 02 phần tử BEAM3 cho một cấu kiện, kết quả của ANSYS cho sai số khá lớn. (19.126 mm) 0.753 in 0.243 in (6.172 mm) CHƯƠNG 4 E = 10.3×106 psi = 71016 MPa 12.943 in 12.943 in (328.75 mm) (328.75 mm) Hình 4.3. Khung Williams Ảnh hưởng phi tuyến bậc cao được thể hiện rõ rệt trong ví dụ này khi việc sử dụng đến 08 phần tử tuyến tính B2CL (bỏ qua ảnh hưởng phi tuyến của biến dạng dọc trục) của Nguyen [5] vẫn cho kết quả có độ sai khác lớn so với các kết quả chính xác. Bên cạnh đó, thuật toán giải lặp phi tuyến AL-MRD được áp dụng trong luận án này cũng có thể mô phỏng được ứng xử phi tuyến phức tạp của hệ bằng thuật toán điều khiển chuyển vị để tránh được hiệu ứng “nhảy đột ngột” (snap-through) thường thấy trong các thuật toán điều chỉnh lực thông Hình 4.2. Chuyển vị dầm công-xôn chịu lực tập trung đầu mút 19 thường. 20 Cột đàn hồi liên kết nửa cứng u P 0.01P b = 0.1m h = 0.1m E = 210 GPa Hình 4.4. Chuyển vị thẳng đứng của điểm đặt lực khung Williams 4.1.3 Cột đàn hồi chân liên kết nửa cứng Phân tích phi tuyến hình học được thực hiện cho cột có chân liên kết nửa cứng tuyến tính như Hình 4.5 với độ cứng liên kết Sc = 10EI/L . So và Chan [2] đã L = 3.2m v Hình 4.5 4.2 Hình 4.6. Chuyển vị đầu mút cột chân liên kết nửa cứng Phân tích tĩnh 4.2.1 Cột hai đầu khớp chịu nén đúng tâm khảo sát kết quả phân tích bài toán khi mô phỏng cấu kiện từ 01 đến 04 phần tử Cột thép hai đầu khớp như Hình 4.7 đã được Ngo-Huu và Kim [4] phân tích và bài toán hội tụ khi chỉ sử dụng 02 phần tử. Tác giả cũng chia cấu kiện thành bằng phương pháp phần tử khớp thớ. Chiều dài L của cột được thay đổi để khảo 02 phần tử đề xuất. Quan hệ giữa hệ số tải với các chuyển vị tại đầu cột được trình bày ở Hình 4.6 rất khớp với kết quả của So và Chan [2]. Điều này cho thấy việc thiết lập hàm chuyển vị từ các phương trình vi phân cân bằng và có ràng buộc thêm các điều kiện cân bằng và tương thích tại các điểm dọc theo chiều dài phần tử đã giúp hạn chế được số lượng phần tử cần mô phỏng cho cấu kiện trong phân tích chuyển vị lớn cho hệ kết cấu kể cả khi phân tích mở rộng cho trường hợp có sát khả năng chịu lực của cột khi độ mảnh λ c = (1.0L 0 / ry ) σ y / ( π2 E ) thay đổi. Lực tập trung P được tăng dần cho đến khi cột phá hoại. Bài toán được phân tích trong trường hợp có và không có kể đến ứng suất dư (ƯSD) ban đầu trong cấu kiện để so sánh với các kết quả của lời giải Euler và của Hội đồng nghiên cứu về cột (CRC). Ứng suất dư ban đầu được lấy theo ESSC [26]. Ở ví dụ này, tác giả mô phỏng cột bằng 01 phần tử khớp dẻo sử dụng đường tương tác của tiết diện theo AISC-LRFD [12]. Kết quả đường cường độ cột được thể hiện ở Hình 4.8 trùng khớp với các kết liên kết nửa cứng. quả của Euler và CRC. Trong trường hợp không xét ƯSD ban đầu trong cấu kiện, khi λ c ≥ 1 cột bị phá hoại do mất ổn định đàn hồi nên kết quả phân tích trùng với kết quả lời giải giải tích của Euler, khi λ c < 1 cột bị phá hoại bền khi tải đạt đến tải giới hạn dẻo của tiết diện (P / Py ≈ 1). Trong trường hợp có xét 21 22 đến ƯSD, sự chảy dẻo xảy ra trong cấu kiện làm giảm diện tích chịu lực của tiết (Inelastic Buckling Analysis – IBA) để xác định tải giới hạn của khung. Lực diện và từ đó làm giảm rõ rệt giá trị tải giới hạn của cột khi cột có độ mảnh nhỏ; đứng P = 133.4 kN và lực ngang H = rP với r lần lượt bằng 0.10, 0.24 và 0.50. tuy nhiên, kết quả phân tích với cột có độ mảnh lớn trong trường hợp này trùng Tác giả chia mỗi dầm thành 02 phần tử tại vị trí đặt lực, và mô phỏng mỗi cột với kết quả lời giải giải tích Euler do sự mất ổn định xảy ra khi tiết diện chưa bị bằng 01 phần tử. Ứng xử phi tuyến vật liệu dùng phương pháp khớp thớ (FH). chảy dẻo. 0.5P Cột hai đầu khớp Hình 4.8. Đường cường độ cột theo λc W12×79 H P 0.5P W16×40 0.5P P W16×40 E = 201 GPa σy = 236 MPa 0.5P W10×60 3.66 m 3.66 m 0.5P 3.66 m W16×40 H ry = 51.2 mm 0.5P 3.66 m W10×60 σy = 250 MPa W10×60 W8×31 E = 200 GPa P W10×60 0.5P W10×60 W16×40 H L 0.5P W12×79 W10×60 P Hình 4.7 P 0.5H 9.15 m Bên cạnh đó, tác giả cũng phân tích lại bài toán khi mô phỏng 01 phần tử có ma trận độ cứng sử dụng hàm chuyển vị xấp xỉ đa thức bậc 3 được đề xuất bởi Balling và Lyon [19] trong trường hợp có xét đến ảnh hưởng của ƯSD. Kết quả của phân tích này có sai lệch khá lớn so với kết quả phân tích đề xuất với sai số lớn nhất đến 21.6% (Hình 4.8) chứng tỏ tầm quan trọng của việc mô phỏng tác động phi tuyến hình học trong bài toán ổn định kết cấu. Ví dụ này cho thấy độ chính xác của phương pháp đề xuất trong bài toán phân tích sự mất ổn định đàn hồi và phi đàn hồi của cấu kiện theo các tham số gồm ứng suất dư ban đầu, cường độ vật liệu và độ mảnh của cấu kiện. 4.2.2 Khung 4 tầng 1 nhịp Hình 4.9. Khung 4 tầng 1 nhịp Chuyển vị của đỉnh bên phải khung và hệ số tải giới hạn λu được trình bày như trong Hình 4.10 và Bảng 4.1. Kết quả đường tải trọng – chuyển vị của phương pháp đề xuất và kết quả của Yoo và Choi nằm khá sát nhau khi r = 0.24 và 0.5 và đều nằm thấp hơn kết quả của Kassimali chứng tỏ phương pháp khớp dẻo cứng của Kassimali cho ra kết quả ứng xử của hệ cứng hơn do chưa phản ánh đúng sự chảy dẻo dần dần. Thêm nữa, kết quả ứng xử tải trọng – chuyển vị của tác giả dùng phương pháp khớp thớ trong trường hợp r = 0.1 sai lệch khá nhiều so với hai tác giả còn lại do các phương pháp này dựa trên giả thuyết khớp dẻo với đường tương tác chưa phản ánh đúng sự chảy dẻo của tiết diện. Bên cạnh Khung trong Hình 4.9 đã được Kassimali [3] phân tích với phương pháp khớp đó, ta có thể nhận thấy khi lực ngang có giá trị lớn (r = 0.5), kết quả hệ số tải λu dẻo cứng (EPH), sau đó Yoo và Choi [10] phân tích lại bằng phương pháp khớp theo phương pháp IBA của Yoo và Choi có sai lệch khá lớn so với phương dẻo hiệu chỉnh (RPH) và phương pháp phân tích tải mất ổn định phi đàn hồi pháp phân tích từng bước cho thấy nhược điểm của phương pháp này. 23 24 tích ứng xử phi tuyến toàn phần cho hệ khung thép phẳng chịu tải tĩnh. Một lần nữa, phương pháp đề xuất cho thấy sự hiệu quả và độ tin cậy trong các bài toán phân tích nâng cao. P P E = 29000 ksi = 199.95 GPa σy = 36 ksi = 248.21 MPa H = rP r = 0.10 r = 0.24 r = 0.50 Kassimali (EPH) 1.687 1.502 1.075 Yoo & Choi (RPH) 1.660 1.479 1.062 Yoo & Choi (IBA) 1.642 1.469 0.941 Tác giả (FH) 1.672 1.475 1.061 12 ft (3.658 m) W14×48 Hình 4.10. Chuyển vị đỉnh khung 4 tầng 1 nhịp Bảng 4.1. Hệ số tải giới hạn λu của khung 4 tầng 1 nhịp 12 ft (3.658 m) P W12×96 W12×96 W12×96 0.02P P W12×96 W14×48 0.01P 20 ft (6.096 m) Sai số Hình 4.11. Khung hai tầng một nhịp có liên kết nửa cứng 0.89% 1.80% 1.30% 4.2.3 Khung 2 tầng 1 nhịp có liên kết nửa cứng Ứng xử của khung như Hình 4.11 đã được Lui và Chen [7], Chan và Chui [23] phân tích dưới các dạng khác nhau của liên kết nửa cứng (loại A, B, C và D) được lấy theo mô hình hàm mũ Chen-Lui. Tác giả sử dụng phương pháp khớp thớ và mô phỏng mỗi cấu kiện bằng 01 phần tử đề xuất. Chuyển vị ngang đỉnh khung dưới các dạng liên kết được thể hiện ở Hình 4.12. Dựa vào các kết quả phân tích ta thấy rằng ứng xử của hệ sẽ thay đổi theo cấu tạo của liên kết dầm – cột, tải trọng giới hạn và độ cứng ngang của hệ tăng khi độ cứng xoay của liên kết tăng. Do đó, việc kể đến độ mềm của liên kết là điều rất cần thiết để đánh giá đúng ứng xử của hệ. Ví dụ này là sự tổng hợp của phân Hình 4.12. Chuyển vị đỉnh khung 2 tầng 1 nhịp 25 26 4.3 Phân tích động nguyên cho đến hết thời gian khảo sát 20s. Ở ví dụ này, tác giả mô phỏng mỗi 4.3.1 Khung 11 tầng 2 nhịp chịu tải trọng động cấu kiện bằng 01 phần tử đề xuất. Hình 4.13 trình bày các thông số khung 11 tầng 2 nhịp có liên kết nửa cứng tuyến tính với tải trọng đứng q1 = 74.14 kN / m , q 2 = 59.45 kN / m . Ví dụ này đã được Rezaiee-Pajand và cộng sự [15] phân tích ảnh hưởng hiệu ứng P − ∆ dưới tác động của các lực động theo phương ngang. Hệ số độ cứng của liên kết ở hai đầu dầm r = 1/(1 + 3EI/LRki) được khảo sát với các giá trị bằng 1.0 (liên 43.2 kN q1 q1 43.2 kN q1 q1 43.2 kN q1 q1 40.5 kN q1 q1 40.5 kN q1 q1 38.7 kN q1 q1 36.9 kN q1 q1 33.3 kN q1 q1 44.1 kN q1 q1 E = 200 GPa 8.7 m 4.0 × 10 = 40.0 m q1 C1 C2 C3 C4 C5 B A (mm²) 52200 35000 34800 31000 22700 15700 I (mm4) 1.89×109 1.30×109 1.00×109 8.94×108 6.86×108 7.61×108 Hình 4.14. Chuyển vị đỉnh khung 11 tầng 2 nhịp Chuyển vị ∆ của đỉnh khung so với kết quả của Rezaiee-Pajand và cộng sự được thể hiện ở Hình 4.14. Ta thấy, hệ số độ cứng của liên kết ảnh hưởng lớn đến ứng xử của hệ khung. Trong trường hợp này, chuyển vị tăng khi hệ số độ λF(t) cứng của liên kết giảm. Bên cạnh đó, ví dụ này cũng minh họa rõ ảnh hưởng 1.0 của tải trọng tĩnh sẵn có trong hệ kết cấu đến kết quả phân tích ứng xử động của t(s) 6.4 m q1 B, C4 46.8 kN B, C3 q2 B, C2 q2 B, C1 23.4 kN B, C5 kết cứng), 0.8 và 0.5. 0 10 20 8.7 m Hình 4.13. Khung 11 tầng 2 nhịp chịu tải động hệ kết cấu. Hiệu ứng P − ∆ làm tăng chuyển vị ngang của đỉnh khung khi chịu tác động của lực động theo phương ngang. 4.3.2 Khung 6 tầng 2 nhịp chịu tải trọng động Khung thép phẳng 6 tầng 2 nhịp liên kết cứng trình bày bởi Vogel [26] đã được Tải trọng đứng phân bố lên dầm giả định tạo ra các khối lượng tập trung tại hai Chan & Chui [23] hiệu chỉnh thành liên kết nửa cứng như Hình 4.15 để phân đầu dầm. Hiệu ứng P − ∆ được khảo sát thông qua việc có hay không có xét tích ứng xử động phi tuyến của liên kết. Trong đó, các lực tĩnh theo phương đến ảnh hưởng của tải tĩnh theo phương đứng tác dụng đồng thời với tải động ngang F1 và F2 được thay thế bằng các lực động F1(t) và F2(t) có dạng hình sin theo phương ngang. Các tải động theo phương ngang có giá trị ban đầu bằng 0 và cùng biên độ với giá trị tải của bài toán tĩnh. Tần số ω của lực ngang lần lượt và tăng tuyến tính đến giá trị lớn nhất sau 10s, sau đó giá trị tải được giữ được lấy bằng 1.00, 1.66, 2.41 và 3.33 rad/s. Liên kết nửa cứng thuộc loại C theo mô hình hàm mũ Chen-Lui. Giả thiết tải trọng phân bố trên dầm chỉ tạo ra 27 28 các khối lượng tập trung mà không gây ra các chuyển vị ban đầu trong khung. hơn hay nhỏ hơn các hệ có liên kết cứng và liên kết nửa cứng tuyến tính (tùy Khung được phân tích trong trường hợp liên kết cứng (RC), liên kết nửa cứng thuộc vào tần số của lực kích động) nhưng trong trường hợp tần số lực kích tuyến tính (LC) và liên kết nửa cứng phi tuyến (NC). Tần số dao động riêng của động trùng với tần số dao động riêng, hệ vẫn không xảy ra cộng hưởng. Điều hệ với liên kết cứng và liên kết nửa cứng lần lượt là 2.41 và 1.66 rad/s. này cho thấy ứng xử vòng trễ của liên kết nửa cứng phi tuyến làm tăng độ dẻo 49.1 kN/m IPE400 6.0 m HEB220 IPE330 49.1 kN/m IPE360 HEB260 IPE360 49.1 kN/m ψ 6 × 3.75 m = 22.5 m 49.1 kN/m HEB220 49.1 kN/m HEB220 IPE300 HEB240 IPE330 HEB160 49.1 kN/m IPE400 "J" HEB220 HEB200 IPE300 HEB240 49.1 kN/m ψ 49.1 kN/m HEB200 HEB160 HEB220 F2(t) IPE300 HEB260 F2(t) 49.1 kN/m HEB220 F2(t) IPE240 IPE300 HEB220 F2(t) IPE240 49.1 kN/m HEB220 F2(t) HEB160 F1(t) 31.7 kN/m HEB160 dai và khả năng tiêu tán năng lượng của hệ kết cấu khi chịu tải trọng động. 31.7 kN/m Hình 4.16. Chuyền vị đỉnh khung 6 tầng 2 nhịp (ω = 1.00) ψ 6.0 m E = 205 × 10 kN/m² ψ = 1/450 F1(t) = 10.23sinωt kN F2(t) = 20.44sinωt kN 6 Hình 4.15. Khung Vogel 6 tầng chịu tải động Chuyển vị đỉnh khung ∆ trong các trường hợp khảo sát theo tần số lực kích thích ω được thể hiện từ Hình 4.16 đến Hình 4.18. Ứng xử vòng trễ của liên kết “J” trong trường hợp tần số ω = 1.66 được trình bày ở Hình 4.19. Các kết quả phân tích khá chính xác so với kết quả của Chan và Chui. Ví dụ này cho thấy, hệ có liên kết nửa cứng phi tuyến sẽ có chuyển vị lớn hơn khi lực kích động có tần số thấp và ngược lại sẽ làm giảm chuyển vị khi lực kích động có tần số cao. Mặc dù hệ có liên kết nửa cứng phi tuyến có thể có chuyển vị lớn 29 Hình 4.17. Chuyền vị đỉnh khung 6 tầng 2 nhịp (ω = 1.66) 30 ∆ M M 5.0 m M = 10 Ns²/mm E = 200000 MPa σy = 300 MPa W8×31 W8×31 W8×31 : ug(t) 5.0 m Hình 4.20. Khung đàn-dẻo 1 tầng 1 nhịp chịu động đất Hình 4.18. Chuyền vị đỉnh khung 6 tầng 2 nhịp (ω = 2.41) Hình 4.21. Gia tốc nền các trận động đất Hình 4.19. Ứng xử vòng trễ của liên kết “J” (trường hợp ω = 1.66) 4.3.3 Khung 1 tầng 1 nhịp chịu động đất Khung cổng như Hình 4.20 đã được Thai & Kim [9] phân tích dưới tác dụng của các trận động đất Northrigde, San Fernando (Hình 4.21) và so sánh với kết quả của ABAQUS khi mô phỏng mỗi cấu kiện thành 10 phần tử dầm B22. 31 Hình 4.22. Chuyển vị đỉnh ∆ (Northridge – Phân tích đàn hồi) 32 giả sử dụng 01 phần tử đề xuất cho mỗi cấu kiện và phân tích phi tuyến vật liệu theo phương pháp khớp thớ. Hình 4.23. Chuyển vị đỉnh ∆ (Northridge – Phân tích phi đàn hồi) Hình 4.25. Chuyển vị đỉnh ∆ (San Fernando – Phân tích phi đàn hồi) Bảng 4.2. Chuyển vị đỉnh khung 1 tầng 1 nhịp dưới các trận động đất Động đất Max Min Max Northridge Min San Fernando Hình 4.24. Chuyển vị đỉnh ∆ (San Fernando – Phân tích đàn hồi) Max Min Trường hợp phân tích Đàn hồi Phi đàn hồi Đàn hồi Phi đàn hồi Đàn hồi Phi đàn hồi Đàn hồi Phi đàn hồi Chuyển vị (mm) ABAQUS Tác giả Sai số (%) 123.636 126.865 -113.722 -80.012 118.745 121.073 -92.390 -78.846 124.651 129.004 -112.841 -79.500 116.085 119.922 -89.381 -79.158 0.82 1.69 0.77 0.64 2.24 0.95 3.26 0.40 Chuyển vị đỉnh ∆ dưới các trận động đất được thể hiện từ Hình 4.22 đến Hình 4.25 và Bảng 4.2. Ta thấy, kết quả phân tích của phương pháp đề xuất rất khớp Chu kỳ dao động của 2 dạng dao động đầu tiên là T1 = 0.8162 s, T2 = 0.0290 s. với phần mềm ABAQUS, kể cả biến dạng dư trong các phân tích phi tuyến vật Tỷ số cản ξ = 5%. Ma trận cản được xác định theo Chopra [1]. Ở ví dụ này, tác liệu. Ưu điểm của phương pháp đề xuất là chỉ cần mô phỏng mỗi cấu kiện trong hệ kết cấu bằng 01 phần tử đề xuất nhưng vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết. 33 34 CHƯƠNG 5 5.1 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận cơ sở lý thuyết đề xuất và các thuật toán giải lặp phi tuyến đã lựa chọn. Từ đây, một chương trình ứng dụng được phát triển và được sử dụng trong việc khảo sát những ví dụ số từ các nghiên cứu trước để chứng minh sự hiệu quả Từ các kết quả nghiên cứu đạt được, đối chiếu với mục tiêu nghiên cứu và và độ tin cậy của phương pháp đề xuất. phạm vi nghiên cứu đề ra, có thể rút ra các đóng góp chính của luận án như sau: 5. Chương trình đã phát triển có thể được ứng dụng trong công tác phân tích 1. Thiết lập được các quan hệ giữa nội lực nút phần tử dầm-cột đàn hồi với các phi tuyến cho thiết kế trực tiếp của hệ kết cấu khung thép như được đề xuất ẩn số chuyển vị theo các hàm ổn định và hiệu chỉnh lại các quan hệ này bằng gần đây trong các tiêu chuẩn Châu Âu và Mỹ, đặc biệt là theo phương pháp việc thêm vào các hệ số chảy dẻo và góc xoay của liên kết để kể đến tác phân tích đẩy dần và phân tích động phi tuyến theo lịch sử thời gian trong động phi tuyến vật liệu và độ mềm của liên kết. thiết kế kháng chấn. 2. Đề xuất một hàm chuyển vị xấp xỉ mới dạng đa thức bậc 7 cho lời giải của 5.2 Kiến nghị phương trình vi phân cân bằng của phần tử dầm-cột chịu lực dọc trục và mô- Trong giới hạn của phạm vi nghiên cứu, đề tài có thể phát triển mở rộng theo men uốn hai đầu để có thể kể đến chính xác tác động của lực dọc trục lên độ các hướng sau: cứng uốn. Từ đó, các hàm ổn định mới cho phần tử dầm-cột đã được thiết 1. Việc xây dựng phần tử dầm-cột với tải phân bố theo chiều dài cấu kiện được lập và đã được chứng minh có độ chính xác cao so với hàm ổn định truyền quy về các tải nút ở hai đầu phần tử như đã thực hiện trong đề tài này chưa thống có được từ lời giải giải tích. Một điểm quan trọng là hàm ổn định mới phản ánh chính xác hoàn toàn ứng xử của cấu kiện. Trong trường hợp nếu này có thể giúp việc khai triển và biến đổi công thức toán học đơn giản và khớp dẻo xuất hiện ở giữa cấu kiện, ta phải chia cấu kiện thành hai phần tử tiện lợi hơn nhiều so với các hàm truyền thống, đặc biệt là khi thiết lập công con. Do đó, để đảm bảo ưu điểm của phương pháp là sử dụng một phần tử thức theo phương pháp đồng xoay. trên một cấu kiện, ta có thể phát triển hướng nghiên cứu bằng việc xây dựng 3. Phát triển phương pháp đồng xoay trong việc thành lập ma trận độ cứng tiếp lại ma trận độ cứng phần tử có kể đến tải phân bố dọc theo chiều dài cấu tuyến cho phần tử dầm-cột phi đàn hồi có liên kết nửa cứng. Dựa vào các kiện và sử dụng khớp dẻo di động tại vị trí có nội lực lớn ở giữa phần tử. quan hệ đã được thiết lập giữa nội lực nút và các chuyển vị, một ma trận độ 2. Ảnh hưởng của sai lệch ban đầu (initial imperfection) trong cấu kiện cũng cứng mới cho phần tử dầm-cột đồng xoay đã được thiết lập dựa trên việc đạo cần được xem xét để phản ánh sát hơn cấu hình thực của cấu kiện trong thực hàm nội lực nút theo các ẩn số chuyển vị dựa vào lý thuyết dầm-cột phi tiễn. Thêm nữa, phần tử cong cũng có thể được phát triển dựa trên phương tuyến. Ma trận độ cứng này có thể phản ánh được tất cả các yếu tố ảnh pháp đã phát triển để mô phỏng các cấu kiện và các khung cong. hưởng đến ứng xử phi tuyến của phần tử như sự thay đổi hình học, kể cả chuyển vị lớn, sự chảy dẻo dần dần tại đầu mút phần tử, độ mềm và ứng xử vòng trễ của liên kết dầm − cột. 4. Thiết lập được thủ tục phân tích số tin cậy cho phân tích phi tuyến phi đàn hồi hệ khung thép phẳng nửa cứng chịu tải trọng tĩnh và động dựa trên các 35 3. Đề tài này chỉ xét đến bài toán khung thép phẳng, ta có thể phát triển hướng phân tích cho bài toán khung thép không gian chịu tải tĩnh và động. 4. Đề tài cũng có thể được phát triển theo hướng nghiên cứu khung thép chịu tải nhiệt, sự lan truyền nhiệt do cháy, tải trọng nổ … 36