TRẮC NGHIỆM TOÁN
PHẦN 8. BÀI TOÁN VẬN DỤNG
ÔN THI THPT QUỐC GIA 2017
8A. Bài toán vận dụng về ứng dụng đạo hàm
Dạng 118. Bài toán vận dụng về diện tích _317
Dạng 119. Bài toán vận dụng về chuyển động của chất điểm _318
Dạng 120. Bài toán vận dụng liên quan đến thể tích _320
Dạng 121. Bài toán vận dụng về tính khoảng cách _323
Dạng 122. Bài toán vận dụng tổng hợp về ứng dụng đạo hàm _328
8B. Bài toán vận dụng về hàm số lũy thừa – mũ – lôgarit
Dạng 123. Bài toán vận dụng về tốc độ tăng trưởng _332
Dạng 124. Bài toán vận dụng về lãi suất ngân hàng _336
Dạng 125. Bài toán vận dụng tổng hợp về hàm số lũy thừa – mũ – lôgarit _346
8C. Bài toán vận dụng về nguyên hàm – tích phân
Dạng 126. Bài toán vận dụng về vận động của chất điểm _349
Dạng 127. Bài toán vận dụng về diện tích hình học _351
Dạng 128. Bài toán vận dụng tổng hợp về tích phân _352
8D. Bài toán vận dụng về khối nón – trụ – cầu
Dạng 129. Bài toán vận dụng về khối nón _356
Dạng 130. Bài toán vận dụng về khối trụ _360
Dạng 131. Bài toán vận dụng về khối cầu _365
8E. Bài toán vận dụng về tọa độ không gian Oxyz
Dạng 132. Bài toán vận dụng viết phương trình mặt phẳng _367
Dạng 133. Bài toán vận dụng tổng hợp về tọa độ không gian Oxyz _369
Nguyễn Văn Lực – Cần Thơ
FB: www.facebook.com/VanLuc168
8A. Bài toán vận dụng về ứng dụng đạo hàm
8A. BÀI TOÁN VẬN DỤNG VỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
(CĐ 32)
Dạng 118. Bài toán vận dụng về diện tích
Câu 01. Trong tất cả các hình chữ nhật có chu vi 40cm . Hình chữ nhật có diện tích lớn
nhất có diện tích S là
A. S 100cm 2
B. S 400cm 2
C. S 49cm 2
D. S 40cm 2
Hướng dẫn giải
2
2
a b 20
S ab
100 .
2 2
Câu 02. Ông A muốn mua một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 384m 2 để xây nhà.
Nhưng vợ ông muốn có khuôn viên sân vườn đẹp nên ông mua thêm về hai phía chiều
dài mỗi chiều 3m và về hai phía chiều rộng mỗi chiều 2m . Vậy, để ông A mua được
mảnh đất có diện tích nhỏ nhất (tiết kiệm chi phí) thì mảnh đất đó chu vi là bao nhiêu?
A. 100m
B. 140m
C. 98m
D. 110m
Hướng dẫn giải
Gọi x,y là chiều dài, chiều rộng phần đất xây nhà
384
S ( x 6)(
4)
S ( x 6)( y 4)
x
Ta có
x. y 384
y 384
x
2304
Áp dụng BĐT AM-GM : S 4 x
408 192 408 S 600
x
2304
Dấu ‘‘=” xảy ra khi 4 x
x 24 y 16
x
Vậy mảnh đất cần mua có chiều dài là: 24 6 30 m
Chiều rộng là: 16 4 20 m
Khi đó chu vi mảnh đất là 100m.
Câu 03. Từ một bờ tường có sẵn, người ta muốn rào quanh một khu đất với một số vật
liệu cho trước là 100 m thẳng hàng rào . Vậy làm thế nào để rào khu đất ấy theo hình
chữ nhật sao cho có diện tích lớn nhất. Khi đó: chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật là
A. 50 và 25
B. 35 và 35
C. 75 và 25
D. 50 và 50
Hướng dẫn giải
Gọi x m 0 x 50 là chiều rộng của hình chữ nhật
Khi đó, chiều dài của hình chữ nhật là 100 2x
www.facebook.com/VanLuc168
VanLucNN
317
www.TOANTUYENSINH.com
8A. Bài toán vận dụng về ứng dụng đạo hàm
Nên diện tích của hình chữ nhật là x 100 2 x 2 x 2 100 x
Gọi f x 2 x 2 100 x với điều kiện 0 x 100
f x 4 x 100 . Cho f x 0 4 x 100 0 x 25
Bảng biến thiên:
x
f x
0
25
0
f x
50
1250
0
Dựa vào bảng biến thiên ta có max f x f 25 1250
0
0;50
Vậy: Để rào khu đất ấy có diện tích lớn nhất theo hình chữ nhật có chiều rộng bằng
25 và chiều dài bằng 50
Hướng dẫn giải và Trắc nghiệm Online xem trên:
www.facebook.com/VanLuc168
VanLucNN
www.TOANTUYENSINH.com
Câu 04. Một sợi dây có chiều dài 28 m là được cắt thành hai đoạn để làm thành một
hình vuông và một hình tròn. Tính chiều dài của đoạn dây làm thành hình vuông
được cắt ra sao cho tổng diện của hình vuông và hình tròn là tối thiểu?
196
112
28
A. 14
B.
C.
D.
4
4
4
Câu 05. Một sợi dây có chiều dài là 6 m, được chia thành 2 phần. Phần thứ nhất được
uốn thành hình tam giác đều, phần thứ hai uốn thành hình vuông. Hỏi độ dài của
cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để tổng diện tích 2 hình thu được là nhỏ
nhất?
A.
18
94 3
(m)
B.
36 3
4 3
(m)
C.
12
4 3
(m)
D.
18 3
4 3
(m)
Dạng 119. Bài toán vận dụng về chuyển động của
chất điểm
Câu 06. Một chất điểm chuyển động thẳng theo phương trình S t t 3 3t 2 24t , trong
đó t tính bằng giây (s) và S tính bằng mét (m). Gia tốc của chuyển động tại thời điểm
vận tốc triệt tiêu là:
A. 18m / s 2
B. 18m / s 2
C. 6m / s 2
D. 6m / s 2
Hướng dẫn giải
www.facebook.com/VanLuc168
VanLucNN
318
www.TOANTUYENSINH.com
8A. Bài toán vận dụng về ứng dụng đạo hàm
t 4
Ta có vận tốc v t S t 3t 2 6t 24 . Vận tốc triệt tiêu khi v t 0
t 2 L
Gia tốc a t v t 6t 6 . Vậy gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu là
a 4 6.4 6 18m / s 2
Câu 07. Một viên đá được bắn thẳng đứng lên trên với vận tốc ban đầu là 40 m/s từ một
điểm cao 5 m cách mặt đất. Vận tốc của viên đá sau t giây được cho bởi công thức
v t 40 10t m/s. Tính độ cao lớn nhất viên đá có thể lên tới so với mặt đất.
A. 85 m
B. 80 m .
C. 90 m .
Hướng dẫn giải
Gọi h là quãng đường lên cao của viên đá.
v t h ' t h t v t dt 40 10t dt 40t 5t 2 c
D. 75 m .
Tại thời điểm t 0 thì h 5 . Suy ra c 5 .
Vậy h t 40t 5t 2 5
h t lớn nhất khi v t 0 40 10t 0 t 4 . Khi đó h 4 85 m
Câu 08. Một đoàn tàu đang chuyển động với vận tốc v0 = 72km/h thì hãm phanh
chuyển động chậm dần đều, sau 10 giây đạt vận tốc v1 = 54km/h. Tàu đạt vận tốc v =
36km/h sau thời gian kể từ lúc hãm phanh là
A. 30s
B. 20s
C. 40s
D. 50s
Hướng dẫn giải
Đổi đơn vị: 72km/h = 20m/s ; 54km/h = 15m/s ; 36 km/h = 10m/s
Hướng dẫn giải và Trắc nghiệm Online xem trên:
www.facebook.com/VanLuc168
VanLucNN
www.TOANTUYENSINH.com
Câu 09. Một chất điểm chuyển động theo qui luật s 6t 2 t 3 (trong đó t là khoảng
thời gian tính bằng giây mà chất điểm bắt đầu chuyển động ). Tính thời điểm t (giây)
mà tại đó vận tốc m / s của chuyển động đạt giá trị lớn nhất.
A. t 2 .
B. t 4 .
C. t 1 .
D. t 3 .
1
Câu 10. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S t t 4 3t 2 2t 4 ,
4
trong đó t tính bằng giây (s) và S tính bằng mét (m). Tại thời điểm nào, vận tốc của
chuyển động đạt giá trị lớn nhất?
A. t 2
B. t 1
C. t 3
D. t 2
Câu 11. Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300km. Vận tốc
của dòng nước là 6km / h . Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v (km/h) thì
năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức: E v cv 3t
www.facebook.com/VanLuc168
VanLucNN
319
www.TOANTUYENSINH.com
8A. Bài toán vận dụng về ứng dụng đạo hàm
Trong đó c là một hằng số, E được tính bằng jun. Tìm vận tốc bơi của cá khi nước
đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất.
A. 6 km/h
B. 9 km/h
C. 12 km/h
D. 15 km/h
Câu 12. Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường đi được quãng đường
s t (km) là hàm phụ thuộc theo biến
(giây) theo quy tắc sau:
s t et
2
3
2t.e3t 1 km . Hỏi vận tốc của tên lửa sau 1 giây là bao nhiêu (biết hàm
biểu thị vận tốc là đạo hàm của hàm biểu thị quãng đường theo thời gian).
A. 5e 4 (km/s)
B. 3e 4 (km/s)
C. 9e4 (km/s)
D. 10e 4 (km/s)
Dạng 120. Bài toán vận dụng liên quan đến thể tích
Câu 13. Ta có một miếng tôn phẳng hình vuông với kích thước a(cm) , ta muốn cắt đi ở
4 góc 4 hình vuông cạnh bằng x(cm) để uốn thành một hình hộp chữ nhật không có
nắp. Phải cắt như thế nào để hình hộp có thể tích lớn nhất?
a
a
a
A. x .
B. x .
C. x .
4
5
6
Hướng dẫn giải
D. x
a
.
7
Gọi cạnh của hình vuông bị cắt là x, (0 x a).
1
4x(a 2x) 2 .
4
Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho 3 số: 4x,a 2x,a 2x 0
2
Ta có thể tích hình hộp là: V x(a 2x)
x
3
1 4x a 2x a 2x
1 8a 3
2a 3
Ta có : V
.
4
3
4 27
27
V lớn nhất khi và chỉ khi : 4x a 2x x
a
6
a - 2x
Vậy để thể tích hộp lớn nhất, cần cắt bốn góc bốn hình vuông có cạnh
a
.
6
Câu 14. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm
nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm
nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận
được có thể tích lớn nhất.
A. x 6.
B. x 3.
www.facebook.com/VanLuc168
C. x 2.
Hướng dẫn giải
VanLucNN
D. x 4.
320
www.TOANTUYENSINH.com
8A. Bài toán vận dụng về ứng dụng đạo hàm
1
1 (4 x 12 2 x 12 2 x)3
Thể tích của hộp là (12 2 x) 2 .x .4 x(12 2 x)2 .
128
4
4
27
Dấu bằng xảy ra khi 4 x 12 2 x x 2
Vậy x = 2 thì thể tích hộp lớn nhất.
Câu 15. Một tấm thiếc hình chữ nhật dài 45 cm, rộng 24 cm được làm thành một cái
hộp không nắp bằng cách cắt bốn hình vuông bằng nhau từ mỗi góc và gấp mép lên.
Hỏi các hình vuông được cắt ra có cạnh là bao nhiêu để hộp nhận được có thể tích lớn
nhất?
A. x 18
B. x 5
C. x 12
D. Đáp án khác.
Hướng dẫn giải
Gọi x cm 0 x 12 là cạnh của các hình vuông bị cắt rời ra. Khi đó, chiều cao của
hộp là x , chiều dài là 45 2x , và chiều rộng là 24 2x .
Thể tích V x x 45 2 x 24 2 x 4 x3 138 x 2 1080 x .
Suy ra V ' x 12 x 2 276 x 1080 .
Cho V ' x 0 , suy ra được giá trị x cần tìm là x 5 .
V '' x 24 x 276 V '' 5 156 0 . Do đó x 5 là điểm cực đại.
Câu 16. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 18 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm
nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm
nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận
được có thể tích lớn nhất.
A. 3
B. 5
C. 4
D. 2
Hướng dẫn giải
Điều kiện: 0 x 9
V h.B x.(18 2x) 2 f (x)
Bấm mod 7 và tìm được x=3
Cách khác: Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số không âm 4x; 18-2x; 18-2x
3
1
1 4x (18 2x) (18 2x)
V x.(18 2x)2 .4x(12 2x).(12 2x) .
4
4
3
Dấu “=” xảy ra khi 4x 18 2x x 3
Vậy: x=3 thì thể tích lớn nhất
Câu 17. Một trang trại chăn nuôi dự định xây dựng một hầm biogas với thể tích 12 m3
để chứa chất thải chăn nuôi và tạo khí sinh học. Dự kiến hầm chứa có dạng hình hộp
chữ nhật có chiều sâu gấp rưỡi chiều rộng. Hãy xác định các kích thước đáy (dài, rộng)
của hầm biogas để thi công tiết kiệm nguyên vật liệu nhất (không tính đến bề dày của
thành bể). Ta có kích thước (dài; rộng – tính theo đơn vị m, làm tròn đến 1 chữ số thập
phân sau dấu phẩy) phù hợp yêu cầu là:
www.facebook.com/VanLuc168
VanLucNN
321
www.TOANTUYENSINH.com
8A. Bài toán vận dụng về ứng dụng đạo hàm
A. Dài 2,42m và rộng 1,82m
C. Dài 2,26m và rộng 1,88m
B. Dài 2,74m và rộng 1,71m
D. Dài 2,19m và rộng 1,91m
Hướng dẫn giải
Gọi chiều sâu và chiều rộng của bể lần lượt là 3x và 2x (m)
12
2
2 m
Chiều dài của bể là
2 x.3 x x
Để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của bể phải nhỏ nhất. Ta có
2 2
10
Stp 2 2 x.3 x 2 x. 2 . 2 2 6 x 2
x x
x
5 5
6 x 2 3 3 150 S xq 6 3 150 m 2
x x
5
5
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 6 x 2 x 3
x
6
2
Khi đó chiều rộng và chiều dài của bể lần lượt là 2 x 1,88m; 2 2, 26m
x
Hướng dẫn giải và Trắc nghiệm Online xem trên:
www.facebook.com/VanLuc168
VanLucNN
www.TOANTUYENSINH.com
Câu 18. Cho một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước 80cm x 50cm. Người ta cắt ở
bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng
x(cm) để khi gập lại được một chiếc hộp không nắp. Để chiếc hộp có thể tích lớn nhất
thì x bằng:
A. 12
B. 11
C. 10
D. 9
Câu 19. Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông như hình bên dưới. Hộp
có đáy là một hình vuông cạnh x ( cm ), đường cao là h ( cm ) và có thể tích là 500 cm3 .
Tìm giá trị của x sao diện tích của mảnh các tông là nhỏ nhất.
A. x 5
B. x 10
C. x 15
D. x 20
Câu 20. Từ một tấm tôn hình tròn có đường kính bằng 60 cm. Người ta cắt bỏ đi một
hình quạt S của tấm tôn đó, rồi gắn các mép vừa cắt lại với nhau để được một cái nón
không có nắp (như hình vẽ). Hỏi bằng cách làm đó người ta có thể tạo ra cái nón có
thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu?
A. 1800 3. (cm3 )
B. 2480 3. (cm3 ).
C. 2000 3. (cm3 ).
D. 1125 3. (cm 3 ).
Câu 21. Người ta muốn làm một cái bình thủy tinh hình lăng trụ đứng có nắp đậy,
đáy là tam giác đều để đựng 16 lít nước. Để tiết kiệm chi phí nhất (xem tấm thủy tinh
làm vỏ bình là rất mỏng) thì cạnh đáy của bình là
A. 4m
B. 4dm
C. 2 3 2 dm
D. 2 3 4 m
Câu 22. Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD 60cm . Ta gập tấm nhôm
theo 2 cạnh MN và PQ vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ
dưới đây để được một hình lăng trụ khuyết 2 đáy.
www.facebook.com/VanLuc168
VanLucNN
322
www.TOANTUYENSINH.com
8A. Bài toán vận dụng về ứng dụng đạo hàm
Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất?
A. x 20
B. x 18
C. x 25
D. x 4
Câu 23. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 1 m như hình vẽ dưới đây. Người ta cắt
phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy
bằng x (m), sao cho bốn đỉnh của hình vuông gập lại thành đỉnh của hình chóp. Giá
trị của x để khối chóp nhận được có thể tích lớn nhất là
A. x
2 2
5
B. x
1
2
C. x
2
4
D. x
2
3
Câu 24. Để làm một chiếc cốc bằng thủy tinh hình trụ với đáy cốc dày 1,5cm, thành
xung quanh cốc dày 0,2 cm và có thể tích thật (thể tích nó đựng được) là 480πcm3 thì
người ta cần ít nhất bao nhiêu cm3 thủy tinh?
A. 75, 66 cm 3
B. 71,16 cm 3
C. 85, 41 cm 3
D. 84, 64 cm 3
Dạng 121. Bài toán vận dụng về tính khoảng cách
Câu 25. Một màn ảnh hình chử nhật cao 1,4m được đặt ở độ cao 1,8m so với tầm mắt
(tính đầu mép dưới của màn ảnh). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho góc
nhìn lớn nhất. Vị trí đứng cách màn ảnh là:
A. x 2,4m.
B. x - 2,4m.
C. x 2, 4 m.
D. x 1,8m.
Hướng dẫn giải
Với bài toán này ta cần xác định OA
để góc BOC lớn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi
tan BOC lớn nhất.
Đặt OA x m với x 0 , ta có
www.facebook.com/VanLuc168
C
1,
4B
1,
8
VanLucNN
A
O
323
www.TOANTUYENSINH.com
8A. Bài toán vận dụng về ứng dụng đạo hàm
AC AB
1, 4 x
tan BOC tan AOC AOB
OA OA 2
1 tan AOC tan AOB 1 AC. AB x 5, 76
OA2
1, 4 x
Xét hàm số f ( x) 2
. Bài toán trở thành tìm x 0 để f(x) đạt giá trị lớn nhất.
x 5, 76
Ta có f '( x)
tan AOC tan AOB
1, 4 x 2 1, 4.5, 76
x 5, 76
2
; f '( x) 0 x 2, 4
Ta có bảng biến thiên
x
f'(x)
0
2,4
0
+
+
_
84
193
f(x)
0
0
Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn nhất là cách màn ảnh 2,4m
Câu 26. Có hai chiếc cọc cao 12m và 28m, đặt cách nhau 30m (xem hình minh họa
dưới đây). Chúng được buộc bởi hai sợi dây từ một cái chốt trên mặt đất nằm giữa
hai chân cột tới đỉnh của mỗi cột. Gọi x (m) là khoảng cách từ chốt đến chân cọc
ngắn. Tìm x để tổng độ dài hai dây ngắn nhất.
A. x 9.
B. x 10.
C. x 11.
D. x 12.
Hướng dẫn giải
Kí hiệu x là khoảng cách từ chân cột thấp tới chốt buộc; y,z là độ dài hai sợi dây như
hình vẽ.
Khi đó khoảng cách từ chốt buộc tối chân cột thứ hai là 30 x .
Điều kiện 0 x 30; y , z 0 . Gọi d là tổng độ dài hai sợi dây. Khi đó d y z
Theo Pitago, ta có
2
x 2 122 y 2 y x 2 144; 30 x 282 z 2
y x 2 144 x 2 60 x 1684 0 x 30
x
x 30
Ta có d '
x 2 144
x 2 30 x 1684
www.facebook.com/VanLuc168
VanLucNN
324
www.TOANTUYENSINH.com
8A. Bài toán vận dụng về ứng dụng đạo hàm
d ' 0 x x 2 60 x 1684 30 x x 2 144
2
x 2 x 2 60 x 1684 30 x x 2 144
x 0
640 x 2 8640 x 129600 0
x 22,5 0;30
Lập BBT ta có min d d 9 50
0;30
Câu 27. Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB 5km. Trên bờ biển
có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7km. Người canh hải đăng có thể chèo đò
từ A đến điểm M trên bờ biển với vận tốc 4km/h rồi đi bộ đến C với vận tốc 6km/h (xem
hình vẽ dưới đây). Tính độ dài đoạn BM để người đó đến kho nhanh nhất.
A.
74
4
B.
29
12
29
C.
D. 2 5
Hướng dẫn giải
A
5k
m
C
M
7k
Trước tiên, ta xây dựng hàm số f x là hàm số tính thời gian người
m canh hải đăng
B
phải đi.
Đặt BM x thì ta được: MC 7 x, AM
x 2 25 . Theo đề bài, Người canh hải
đăng có thể chèo đò từ A đến điểm M trên bờ biển với vận tốc 4km/h rồi đi bộ đến C
với vận tốc 6km/h , như vậy ta có hàm số f x được xác định như sau:
f x
x 2 25 7 x 3 x 2 25 2 x 14
với x 0;7
4
6
12
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của f x để có được thời gian ngắn nhất và từ đó xác
định được vị trí điểm M.
f ' x
1
3x
2 .
2
12 x 25
f ' x 0
3x
2
2 0 3 x 2 x 2 25 0
x 25
2 x 2 25 3x
x 2 5
5 x 2 100
x 2 5.
x 0
x 0
www.facebook.com/VanLuc168
VanLucNN
325
www.TOANTUYENSINH.com
8A. Bài toán vận dụng về ứng dụng đạo hàm
Hàm số f x liên tục trên đoạn 0; 7 và ta có:
f 0
29
14 5 5
74
, f 2 5
, f 7
.
12
12
4
14 5 5
tại x 2 5. Khi đó thời gian đi là ít nhất
12
và điểm M nằm cách B một đoạn BM x 2 5.
Vậy giá trị nhỏ nhất của f x là
Câu 28. Cho hai vị trí A, B cách nhau 615m, cùng nằm về một phía bờ sông như hình vẽ.
Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt là 118m và 487m. Một người đi từ A đến
bờ sông để lấy nước và mang về B. Đoạn đường ngắn nhất mà người đó phải đi là:
A. 569,5m
B. 671,4m
C. 779,8m
D. 741,2m
Hướng dẫn giải
B
615m
A
118
m
487m
Sông
Ta giả sử người đó đi từ A đến M để lấy nước và đi từ M về B.
Ta dễ dàng tính được BD 369, EF 492. Ta đặt EM x, khi đó ta được:
MF 492 x, AM x 2 1182 , BM
492 x
2
487 2 .
Như vậy ta có hàm số f x được xác định bằng tổng quãng đường AM và MB:
f x x 2 1182
492 x
2
487 2 với x 0; 492
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của f x để có được quãng đường ngắn nhất và từ đó
xác định được vị trí điểm M.
f ' x
x
2
x 118
2
492 x
492 x
www.facebook.com/VanLuc168
2
.
487 2
VanLucNN
326
www.TOANTUYENSINH.com
8A. Bài toán vận dụng về ứng dụng đạo hàm
f ' x 0
x
x
2
x 118
2
x
x 2 1182
492 x
492 x
492 x
2
0
487 2
492 x
492 x
2
2
487 2
487 2 492 x x 2 1182
x 2 492 x 2 487 2 492 x 2 x 2 1182
0 x 492
487 x 2 58056 118 x 2
0 x 492
58056
58056
hay x
58056
x
605
369 x
605
0 x 492
58056
,
605
Hàm số f x liên tục trên đoạn 0; 492 . So sánh các giá trị của f (0) , f
58056
f 492 ta có giá trị nhỏ nhất là f
779,8m
605
Khi đó quãng đường đi ngắn nhất là xấp xỉ 779,8m.
Hướng dẫn giải và Trắc nghiệm Online xem trên:
www.facebook.com/VanLuc168
VanLucNN
www.TOANTUYENSINH.com
Câu 29. Hai con tàu đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 5 hải lí. Tàu thứ nhất
chạy theo hướng nam với vận tốc 6 hải lí/giờ, còn tàu thứ 2 chạy theo hướng về tàu
thứ nhất với vận tốc 7 hải lí/giờ. Hỏi sau bao lâu khoảng cách giữa hai con tàu là lớn
nhất?
7
17
A.
giờ.
B.
giờ.
C. 2 giờ.
D. 3 giờ.
17
7
Câu 30. Có hai cây cột dựng trên mặt đất lần lượt cao 1m và 4m, đỉnh của hai cây cột
cách nhau 5m .Người ta cần chọn một vị trí trên mặt đất (nằm giữa hai chân cột)
giăng dây nối đến hai đỉnh cột để trang trí mô hình bên dưới .
Độ dài dây ngắn nhất là:
A. 41m
B. 37m
C. 29m
D. 3 5m
Câu 31. Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở
C. Khoảng các ngắn nhất từ C đến B là 1km. Khoảng các từ B đến A là 4km. Mỗi km
dây điện đặt dưới nước mất 5000USD, còn đặt dưới đất mất 3000USD. Hỏi điểm S
trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất
A.
15
4
www.facebook.com/VanLuc168
B.
13
4
C.
VanLucNN
5
2
D.
19
4
327
www.TOANTUYENSINH.com
8A. Bài toán vận dụng về ứng dụng đạo hàm
Câu 32. Một người cần đi từ khách sạn A bên bờ biển đến hòn đảo C. Biết rằng
khoảng cách từ đảo C đến bờ biển là 10km, khoảng cách từ khách sạn A đến điểm
ngắn nhất tính từ đảo C vào bờ là 40km. Người đó có thể đi đường thủy hoặc đi
đường bộ rồi đi đường thủy (như hình vẽ dưới đây). Biết kinh phí đi đường thủy là 5
USD/km, đường bộ là 3 USD/km. Hỏi người đó phải đi đường bộ một khoảng bao
nhiêu để kinh phí nhỏ nhất? (AB = 40km, BC = 10km)
15
65
km
km
A.
B.
C. 10km
D. 40km
2
2
Dạng 122. Bài toán vận dụng tổng hợp về ứng dụng
đạo hàm
Câu 33. Một người cần làm một thùng bằng nhôm, có dạng là một hình lăng trụ đứng
có đáy là hình vuông. Biết thể tích của thùng cần đóng bằng 4m3, thùng chỉ có một nắp
đáy dưới ( không có nắp đậy ở phía trên). Biết giá của nhôm là 550.000 đồng/ m2 . Để
đóng được cái thùng như trên người đó cần mua ít nhất số tiền mua nhôm là:
A. 5.500.000 (đồng)
B. 6000.000 (đồng)
C. 6.600.000 (đồng)
D. 7.200.000 (đồng)
Hướng dẫn giải
+) Đặt x là kích thước cạnh đáy, y là chiều cao. Sxq= 4xy, Sd = x2 (m) (một đáy)
Diện tích toàn bộ của thùng là:Stp= 4xy+ x2
4
16
8 8
V= x2y=4, suy ra: xy , Stp= 4xy+ x2 + x2 + +x2≥ 12
x
x
x x
Vậy giá trị nhỏ nhấtt của diện tích toàn phần: 12(m2).
Số tiền ít nhất để mua số nhôm đó là: 12.550000=6600000(đồng)
+ t=2(s) ta có s=300(m)
1 2
m 1 x 3 m 1 x 2 3x 1 đồng biến trên R là:
3
B. m 2
C. m 1 m 2
D. m 1
Câu 34. Giá trị m để hàm số y
A. 1 m 2
Hướng dẫn giải
Trường hợp 1. Xét m 1, m 1 ; Suy ra m=-1 thoả mãn.
Trường hợp 2. m 1
f ' x m 2 1 x 2 2 m 1 x 3
m 2 1 0
f ' x là tam thức bậc hai, f ' x 0 với mọi x thuộc R khi và chỉ khi
.
Δ' 0
Câu 35. Giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y
cos x 2
nghịch
cos x m
biến trên
khoảng 0; .
2
A. m 0 hoặc 1 m 2
www.facebook.com/VanLuc168
B. m 0
C. 2 m
VanLucNN
D. m > 2
328
www.TOANTUYENSINH.com
8A. Bài toán vận dụng về ứng dụng đạo hàm
Hướng dẫn giải
Do x thuộc 0; suy ra 0 cosx 1 , cosx m với x 0;
2
2
Suy ra m 0 hoặc m 1 (1)
y 'x
sin x cosx m sin x cosx 2
cos x m
2
m 2 sinx
2
cosx m
y' x 0 , suy ra m 2
Kết hợp (1) suy ra đáp án A.
Câu 36. Cho hàm số y
x3
(C). Giá trị nào của m sau đây thì đường thẳng
x 1
d : y 2 x m cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho độ dài MN nhỏ nhất?
A. m = 1.
B. m = 2.
C. m = 3.
Hướng dẫn giải
D. m = -1.
Điều kiện để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt là phương trình:
x3
2 x m có 2
x 1
nghiệm phân biệt
Phương trình: g(x) = 2x2 + (m+1)x + m – 3 = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác -1
0
(*)
g (1) 0
Ta thấy (*) đúng với mọi m .
Vậy (d) luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N
Ta có: MN2 = (xM – xN)2 + (yM – yN)2 = 5.(xM – xN)2 = 5.[(xM + xN)2 - 4xMxN]
m 1 2
m 3 5 2
5
2
= 5.
4.
m 6m 25 m 3 14
2 4
4
2
Ta thấy MN nhỏ nhất m = 3.
Câu 37. Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) y = x+ m cắt đồ thị hàm số y =
2x 5
x 1
(C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm của AB có tung độ bằng (1+m)
A. m = -1
B. m = -2
C. m = -3
D. Không tồn tại m.
Hướng dẫn giải
Gọi M là là trung điểm của AB, ta có M thuộc (d).
Do đó tọa độ M có dạng : M(xM; xM+m).
Theo giả thiết ta có: xM+m = 1+m , suy ra: xM=1
Ta có: xA+ xB= 2 xM, suy ra xA+ xB=2. (1)
2x 5
Lại có xA, xB là 2 nghiệm của phương trình
xm
x 1
xA, xB là 2 nghiệm của phương trình: x2 + (m-1)x + m +5 = 0 (*)
Suy ra: xA+ xB = 1-m
(2).
Từ (1) và (2) suy ra m= -1. Tuy nhiên với m= -1 ta thấy phương trình (*) vô nghiệm .
Vậy không tồn tại m thỏa mãn. Ta chọ đáp án D
www.facebook.com/VanLuc168
VanLucNN
329
www.TOANTUYENSINH.com
8A. Bài toán vận dụng về ứng dụng đạo hàm
Câu 38. Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn
hộ với giá 2.000.000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ tăng thêm
giá cho thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng một tháng thì sẽ có 2 căn hộ bị bỏ trống. Hỏi
muốn có thu nhập cao nhất thì công ty đó phải cho thuê mỗi căn hộ với giá bao nhiêu
một tháng.
A. 2.225.000.
B. 2.100.000
C. 2.200.000
D. 2.250.000
Hướng dẫn giải
Nếu tăng giá thuê mỗi căn hộ là x (đồng/tháng) thì sẽ có
2x
căn hộ bỏ trống.
100.000
Khi đó số tiền công ty thu được là:
2x
S 2.000.000 x 50
100.000
2x
Xét hàm số f (x) 2.000.000 x 50
, x 0
100.000
4x
f '(x) 10
0 x 250.000
100.000
Hàm số f (x) đặt max x 250.000
Giá tiền thuê mỗi căn hộ là: 2.250.000 đ.
Câu 39. Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức
G (x ) 0, 025x 2 (30 x ) , trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân
( x được tính bằng miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết
áp giảm nhiều nhất.
A. 15mg.
B. 20mg.
C. 25mg.
Hướng dẫn giải
D. 30mg.
G (x ) 0, 025x 2 (30 x ) với x 0 G '(x ) 1, 5x 0, 075x 2
Lập BBT max G (x ) G (20) 100.
(0; )
Câu 40. Chi phí về nhiên liệu của một tàu được chia làm hai phần. Trong đó phần thứ
nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng 480 ngàn đồng/giờ. Phần thứ hai tỷ lệ thuận
với lập phương của vận tốc, khi v = 10km/h thì phần thứ hai bằng 30 ngàn đồng/giờ.
Hãy xác định vận tốc của tàu để tổng chi phí nguyên liệu trên 1 km đường là nhỏ nhất?
A. 15(km / h ).
B. 8(km / h ).
C. 20(km / h ).
D. 6.3(km / h ).
Hướng dẫn giải
Gọi x (km / h ) là vận tốc của tàu thời gian tàu đi 1km là
Phần chi phí thứ nhất là: 480.
1 480
(ngàn).
x
x
Giả sử, phần chi phí thứ 2 kí hiệu là y thì y kx 3 k
Với x 10 y
1
giờ.
x
y
.
x3
1
3
.30 3 (ngàn) k
0, 003 y 0, 003x 3 .
10
1000
www.facebook.com/VanLuc168
VanLucNN
330
www.TOANTUYENSINH.com
8A. Bài toán vận dụng về ứng dụng đạo hàm
Do đó, tổng chi phí là: T
480
0, 003x 3 . Khảo sát T ta tìm được T đạt GTNN khi
x
x 15(km / h ) .
Câu 41. Số giờ có ánh sáng mặt trời của TPHCM năm không nhuận được cho bởi
y 4 sin
( x 60) 10 với 1 x 365 là số ngày trong năm. Ngày 25 / 5 của năm thì số
178
giờ có ánh sáng mặt trời của TPHCM gần với con số nào nhất ?
A. 14h
B. 16h
C. 12h
Hướng dẫn giải
D. 13h30
(145 60) 10 14
178
Ngày 25 / 5 là ngày 25 30,5.5 32,5 145 trong năm nên y 4 sin
Tổng quát ( cái khó của bài toán là tìm ra công thức tính ngày 25/5 là ngày thứ mấy
của năm)
Gọi a, b, c lần lượt là ngày, tháng, năm và a, b, c , a 31, b 12 và y là số lượng ngày
tính từ ngày 1/1 cho tới này a tháng b ( không tính năm nhuận ).
Nếu b lẻ và b 7 thì y a 30,5b 32,5
Nếu b chẵn và b 2 thì y a 30,5b 32
Nếu b lẻ và b 7 thì y a 30,5b 31,5
Nếu b 2 thì y 31 a
Thảo luận bài tập và tham khảo tài liệu trên:
www.facebook.com/VanLuc168
Facebook
www.TOANTUYENSINH.com
Website
www.facebook.com/toantuyensinh
FB-Page
www.facebook.com/groups/toantuyensinh
FB-Groups
www.facebook.com/VanLuc168
VanLucNN
331
www.TOANTUYENSINH.com
8B. Bài toán vận dụng về hàm số lũy thừa – mũ – lôgarit
8B. BÀI TOÁN VẬN DỤNG VỀ HÀM SỐ LŨY THỪA–MŨ–LÔGARIT
(CĐ 33)
Dạng 123. Bài toán vận dụng về tốc độ tăng trưởng
n .i
Câu 01. Dân số thế giới được ước tính theo công thức S A.e , trong đó A là dân số của
năm lấy làm mốc, S là số dân sau n năm, i là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Biết năm 2016
dân số Việt Nam là 94000000 người, tỉ lệ tăng dân số là i 1,06% . Hỏi sau ít nhất bao
nhiêu năm nữa thì dân số Việt Nam vượt quá 100 triệu người với giả sử tỉ lệ tăng dân số
hàng năm không đổi.
A. 6
B. 5
C. 8
D. 7
Hướng dẫn giải
Giả sử sau ít nhất n năm nữa thì dân số Việt Nam vượt quá 100 triệu người, áp dụng
n .0,0106
100000000 . Giải bất phương trình ẩn n suy
công thức trên ta có: 94000000.e
ra n 6
Câu 02. Tỉ lệ tăng dân số hàng năm của nước Nhật là 0,2% . Năm 1998, dân số của Nhật
là 125 932 000. Vào năm nào dân số của Nhật là 140 000 000?
A. Năm 2049
B. Năm 2050
C. Năm 2051
D. Năm 2052
Hướng dẫn giải
n
0,2
n 53. Đáp án C. Năm 2051
14000000 125932000.1
100
Câu 03. Kết quả thống kê cho biết ở thời điểm 2013 dân số Việt Nam là 90 triệu người,
tốc độ tăng dân số là 1,1%/năm. Nếu mức tăng dân số ổn định ở mức như vậy thì dân số
Việt Nam sẽ gấp đôi (đạt ngưỡng 180 triệu) vào năm nào
A. Năm 2050
B. Năm 2077
C. Năm 2093
D. Năm 2070
Hướng dẫn giải
- Phương pháp: Dân số một quốc gia ban đầu là N 0 , tốc độ tăng dân số là r%/năm thì
n
r
sau n năm, dân số của quốc gia đó được tính theo công thức N n N 0 1
100
- Cách giải: Gọi n là số năm kể từ năm 2013 để dân số Việt Nam tăng gấp dôi, có có
n
1,1
1,011n 2 n log1,011 2 63, 4 . Ta chọn n = 64 (số
phương trình: 180 90 1
100
nguyên nhỏ nhất lớn hơn 63,4)
Vậy đến năm 2013 + 64 = 2077 thì dân số Việt Nam sẽ tăng gấp đôi
www.facebook.com/VanLuc168
VanLucNN
332
www.TOANTUYENSINH.com
8B. Bài toán vận dụng về hàm số lũy thừa – mũ – lôgarit
Câu 04. Theo số liệu từ Tổng cục thống kê, dân số Việt Nam năm 2015 là 91,7 triệu người.
Giả sử tỉ lệ gia tăng dân số hàng năm của Việt Nam trong giai đoạn 2015 – 2030 ở mức
không đổi là 1,1% , hỏi đếm năm nào dân số Việt Nam đạt mức 113 triệu người.
A. Năm 2033
B. Năm 2032
C. Năm 2013
D. Năm 2030
Hướng dẫn giải
Gọi M là dân số của năm lấy làm mốc tính, r là tỉ lệ tăng dân số hẳng năm. Khi đó
dân số sau N năm là Me Nr . Từ đó theo giả thuyết đầu bài ta có 113 91, 7 0,011N
Câu 05. Năm 2001, dân số Việt Nam là 78685800 người. Tỷ lệ tăng dân số năm đó là
1,7%. Biết rằng sự sự tăng dân số ước tính theo thức S Ae Nr , trong đó A là dân số của
năm lấy làm mốc tính, S: dân số sau N năm, r: tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Tăng dân số
với tỉ lệ tăng như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 120 triệu người.
A. 2025.
B. 2030
C. 2026
D. 2035
Hướng dẫn giải
Lấy năm 2001 làm mốc tính, ta có: A 78685800, r 0, 017, S 120.106
Từ bài toán: 120.106 78685800.e N .0,017 N 24, 825 25
Tương ứng với năm: 2001+25=2026.
Câu 06. Một khu rừng có trữ lượng gỗ 7.105 mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các
cây ở khu rừng đó là 5% mỗi năm. Sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có số mét khối gỗ là
A. 7.105 (1 0,05)5
B. 7.105.0,055
C. 7.105 (1 0,05)5 D. 7.105 (2 0,05)5
Hướng dẫn giải
Sau n năm, khu rừng có số mét khối gỗ là: a 1+i%
n
Câu 07. Một khu rừng có trữ lượng gỗ 4.105 mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các
cây ở khu rừng đó là 4% mỗi năm. Số mét khối gỗ của khu rừng đó sau 5 năm là:
A. 4.105.(1 0, 04)15 B. 4.105.(1 0, 4)5
C. 4.105.(1 0, 04)5 D. 4.105.(1 0, 04)5
Hướng dẫn giải
Gọi trữ lượng gỗ ban đầu là V0, tốc độ sinh trưởng hằng năm của rừng là i phần trăm.
Ta có:
-
Sau 1 năm, trữ lượng gỗ là: V1 V0 iV0 (1 i )V0
-
Sau 2 năm, trữ lượng gỗ là: V2 V1 iV1 (1 i )V1 (1 i ) 2V0
………
-
Sau 5 năm, trữ lượng gỗ là: V5 (1 i )5V0
-
Thay V0 4.105 (m3 ), i 4% 0, 04 V5 4.105 (1 0, 04)5 .
www.facebook.com/VanLuc168
VanLucNN
333
www.TOANTUYENSINH.com
- Xem thêm -