Chuyên đề
TÍCH PHÂN
CÔNG THỨC
Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của những
hàm số sơ cấp thường gặp
dx x C
x dx
Nguyên hàm của những hàm số
thường gặp
du u C
1
x 1
C
1
dx
ln x C
x
d ax b a ax b C
1
1
1 ax b
ax b dx
a
1
u du
C 1
u 1
C 1
1
du
ln u C
u
u 0
dx
1
ln ax b C x 0 e u du e u C
x
x
ax b
a
e dx e C
x
1 ax b
ax b
a
au
dx e
C
a x dx
C 0 a 1 e
a u dx
C 0 a 1
a
ln a
ln a
1
cos ax b dx sin ax b C cos udu sin u C
cos xdx sin x C
a
sin xdx cos x C
sin udu cos u C
1
sin ax b dx cos ax b C
1
1
a
dx tan x C
du tan u C
2
1
1
cos x
cos 2 u
dx tan ax b C
a
1
1
cos 2 ax b
dx cot x C
du cot u C
2
1
1
sin x
sin 2 u
dx cot ax b C
a
sin 2 ax b
x 0
Nguyên hàm của những
hàm số hợp
I. ĐỔI BIẾN SỐ
TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1. Đổi biến số dạng 2
b
Để tính tích phân
f[u(x)]
� u (x)dx ta thực hiện các bước sau:
/
a
Bước 1. Đặt t = u(x) và tính dt = u/ (x)dx .
Bước 2. Đổi cận: x = a � t = u(a) = a, x = b � t = u(b) = b .
b
Bước 3.
b
f[u(x)]
f(t)dt
� u (x)dx = � .
/
a
a
e2
Ví dụ 7. Tính tích phân I =
dx
� ln x .
x
e
Giải
dx
x
2
x = e� t =1 x = e � t = 2
,
Đặt t = ln x � dt =
2
�I=
dt
�t
= ln t
2
1
1
Ví dụ 8. Tính tích phân I =
p
4
Vậy I = ln2 .
cosx
� x + cosx)
(sin
3
dx .
0
1
= ln2 .
Hướng dẫn:
p
4
I=
p
4
cosx
� x + cosx)
(sin
3
0
ĐS: I =
1
� x + 1)
(tan
dx =
3
.
0
3
.
8
3
Ví dụ 9. Tính tích phân I =
dx . Đặt t = tan x + 1
cos2 x
dx
2x + 3 .
� + x)
(1
1
2
Hướng dẫn:
Đặt t = 2x + 3
3
ĐS: I = ln .
2
1
Ví dụ 10. Tính tích phân I =
3- x
� 1 + xdx .
0
Hướng dẫn:
3
3- x
t2dt
Đặt t =
; đặt t = tan u L
� L 8� 2
1+ x
(t + 1 2
)
1
p
ĐS: I = - 3 + 2.
3
Chú ý:
1
3- x
dx , rồi đặt t =
Phân tích I = �
1+ x
0
1 + x sẽ tính nhanh hơn.
2. Đổi biến số dạng 1
b
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính
f ( x)dx
ta thực hiện các bước sau:
a
Bước 1. Đặt x = u(t) và tính dx u / (t )dt .
Bước 2. Đổi cận: x a t , x b t .
b
Bước 3.
f ( x)dx f [u (t )]u (t )dt g (t )dt .
/
a
Ví dụ 1. Tính tích phân I =
1
2
1
� 10
x2
dx .
Giải
� p p�
�
Đặt x = sin t, t �� ; � dx = costdt
� 2 2�
1
p
x = 0� t = 0 x = � t =
,
2
6
p
6
�I=
cost
� 1 - sin2 t dt =
0
p
6
cost
�cost dt =
0
p
Vậy I = .
6
2
Ví dụ 2. Tính tích phân I =
� 4-
x2 dx .
0
2
p
6
p
6
dt
� =t0 =
0
p
p
- 0= .
6
6
Hướng dẫn:
Đặt x = 2sin t
ĐS: I = p .
1
Ví dụ 3. Tính tích phân I =
dx
�+x
1
2
.
0
Giải
� p p�
2
�
)dt
�
Đặt x = tan t, t �� ; � dx = (tan x + 1
�
�
� 2 2�
�
p
x = 0� t = 0 x = 1� t =
,
4
p
4
�I=
tan t + 1
dt =
2
t
p
Vậy I = .
4
2
� + tan
1
0
3- 1
Ví dụ 4. Tính tích phân I =
�x
2
0
p
4
0
dx
.
+ 2x + 2
Hướng dẫn:
3- 1
dx
I= � 2
=
x + 2x + 2
0
3- 1
dx
�1 + (x + 1)
2
.
0
Đặt x + 1 = tan t
p
ĐS: I =
.
12
2
Ví dụ 5. Tính tích phân I =
ĐS: I =
p
.
2
dx
� 40
3- 1
Ví dụ 6. Tính tích phân I =
p
ĐS: I =
.
12
3. Các dạng đặc biệt
3.1. Dạng lượng giác
�x
2
0
x2
.
dx
.
+ 2x + 2
Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân I =
p
2
cos
�
2
x sin3 xdx .
0
Hướng dẫn:
Đặt t = cosx
2
ĐS: I =
.
15
Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân I =
p
2
cos
�
5
0
Hướng dẫn:
Đặt t = sin x
8
ĐS: I =
.
15
3
xdx .
p
dt
� = 4.
Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân I =
p
2
cos
�
4
x sin2 xdx .
0
Giải
p
2
I=
cos
�
4
p
2
x sin2 xdx =
0
p
2
p
2
1
1
1
cos
(1
cos2x sin2 2xdx
� 2 x sin2 2xdx = 16 � - cos4x)dx + 4 �
4 0
0
0
p
2
p
2
0
0
p
2
�
x
1
sin3 2x �
1
1
� = p .
sin 4x +
=
(1 - cos4x)dx + � 2 2xd(sin2x) = � sin
�
�
�
�
16 64
24 �
32
16 �
8
0
Vậy I =
Ví dụ 14. Tính tích phân I =
p
2
p
.
32
dx
� + sin x + 1 .
cosx
0
Hướng dẫn:
x
.
2
ĐS: I = ln2 .
Đặt t = tan
Biểu diễn các hàm số LG theo t tan
3.2. Dạng liên kết
p
Ví dụ 15. Tính tích phân I =
a
2t
1 t2
2t
; cos a
; tan a
.
: sin a
2
2
2
1 t
1 t
1 t2
xdx
� x + 1.
sin
0
Giải
Đặt x = p - t � dx = - dt
x = 0 � t = p, x = p � t = 0
0
(p - t)dt
� I=-�
=
sin(p - t) + 1
p
p
(
�sin t + 1 p
0
p
)
t
dt
sin t + 1
p
dt
p
dt
= p�
- I� I= �
sin t + 1
2 0 sin t + 1
0
p
=
p
2�
0
(
dt
t
t
sin + cos
2
2
� p�
t
d� - �
�
p
�
p
dt
�
� 4� p
� p�
�
p
2
t
= �
� - � = p.
= tan �
�
4 0 cos2 t - p = � �
�
� 4�
�
2 0
t p� 2
2
2�
0
�
2 4
cos � - �
�
� 4�
�
2
Vậy I = p .
p
)
2
p
(
Tổng quát:
)
p
p
p
xf(sin
f(sin
� x)dx = 2 � x)dx .
0
0
Ví dụ 16. Tính tích phân I =
p
2
sin2007 x
� 2007 x + cos2007 x dx .
sin
0
Giải
p
Đặt x = - t � dx = - dt
2
4
x = 0� t =
sin2007
0
� I=-
�
sin
2007
p
2
Mặt khác I + J =
p
2
dx =
( p - t ) + cos ( p - t )
2
2
dx
� =
0
Tổng quát:
( p - t)
2
p
p
, x= �t=0
2
2
2007
p
2
cos2007 t
� 2007 t + cos2007 t dx = J (1).
sin
0
p (2). Từ (1) và (2) suy ra I = p .
4
2
p
2
sinn x
� n x + cosn x dx =
sin
0
Ví dụ 17. Tính tích phân I =
p
6
p
2
cosn x
p
� n x + cosn x dx = 4 ,n �Z+ .
sin
0
sin x
� x + 3cosx dx và J =
sin
0
2
p
6
cos2 x
� x + 3cosx dx .
sin
0
Giải
I - 3J = 1 p
6
3 (1).
p
6
1
dx
� x+p
2 0 sin
3cosx
0
3
p
1
Đặt t = x + � dt = dx I + J = ln 3 (2).
3
4
3
1- 3
1
1- 3
Từ (1) và (2) I =
.
ln 3 +
, J = ln 3 16
4
16
4
1
ln(1 + x)
dx .
Ví dụ 18. Tính tích phân I = �
1 + x2
0
I+J =
dx
� x+
sin
dx =
(
)
Giải
Đặt x = tan t � dx = (1 + tan2 t)dt
p
x = 0� t = 0 x = 1� t =
,
4
p
4
�I=
p
4
ln(1 + tan t)
ln(1
� 1 + tan2 t ( 1 + tan2 t ) dt = � + tan t)dt .
0
0
p
Đặt t = - u � dt = - du
4
p
p
t = 0� u = , t = � u = 0
4
4
p
4
� I=
0
ln(1
� + tan t)dt = 0
�
�
�
�
p
�
ln �+ tan � - u �du
1
�
�
��
�
�
�
�
�
4
�
�
p
4
p
4
=
�
1 - tan u �
p
4
�
2
�
�
ln �
1
du
ln �
du
�
�
�
� � + 1 + tan u � = � � + tan u �
�
�
�
�
�
�
1
0
0
5
p
4
p
4
0
0
p
ln2du - � ( 1 + tan u ) du = ln2 ln
�
4
=
Vậy I =
p
4
Ví dụ 19. Tính tích phân I =
I.
p
ln2 .
8
cosx
dx .
x
+1
�
2007
-
p
4
Hướng dẫn:
Đặt x = - t
ĐS: I =
2
.
2
Tổng quát:
Với a > 0 , a > 0, hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [ - a; a ] thì
a
a
f(x)
f(x)dx .
� x + 1dx = �
a
-a
0
Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục trên � và thỏa f(- x) + 2f(x) = cosx .
p
2
Tính tích phân I =
f(x)dx .
�
-
Giải
p
2
f(
� - x)dx , x = - t � dx = - dt
Đặt J =
-
p
2
p
p
p
p
� t= , x= � t=2
2
2
2
x=p
2
�I=
p
2
p
2
f(
[
� - t)dt = J � 3I = J + 2I = �f(- x) + 2f(x)] dx
-
p
2
p
2
=
p
2
p
2
cosxdx = 2�
cosxdx = 2 .
�
-
p
2
0
Vậy I =
2
.
3
3.3. Các kết quả cần nhớ
a
i/ Với a > 0 , hàm số f(x) lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì
f(x)dx = 0 .
�
-a
a
ii/ Với a > 0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì
f(x)dx = 2�
f(x)dx .
�
-a
iii/ Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm)
6
a
0
� - 1
(n
)!!
�
, ne�n le�
u
�
� n!!
cosn xdx = � n xdx = �
sin
.
�
� - 1 p
(n
)!!
�
0
0
. , ne�n cha�
u
n
�
� n!!
�
2
p
2
p
2
Trong đó
n!! đọc là n walliss và được định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn. Chẳng hạn:
0!! = 1 1!! = 1 2!! = 2 3!! = 1.3 4!! = 2.4; 5!! = 1.3.5
;
;
;
;
;
6!! = 2.4.6 7!! = 1.3.5.7; 8!! = 2.4.6.8; 9!! = 1.3.5.7.9 10!! = 2.4.6.8.10 .
;
;
Ví dụ 21.
Ví dụ 22.
p
2
cos
�
11
xdx =
10!!
2.4.6.8.10
256 .
=
=
11!! 1.3.5.7.9.11 693
sin
�
10
xdx =
9!! p
1.3.5.7.9 p
63p .
. =
. =
10!! 2 2.4.6.8.10 2 512
0
p
2
0
II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1. Công thức
Cho hai hàm số u(x), v(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có
/
/
/
/
( uv ) / = u v + uv � ( uv ) / dx = u vdx + uv dx
b
� d ( uv ) = vdu + udv �
b
d(uv)
vdu
udv
� =� +�
a
b
� uv
b
a
=
a
b
a
b
b
vdu
udv
udv
� + � � � = uv
a
b
a
a
b
a
-
vdu
� .
a
Công thức:
b
b
udv
� = uv
b
a
vdu
� (1).
-
a
a
Công thức (1) còn được viết dưới dạng:
b
b
f(x)g
� (x)dx = f(x)g(x)
/
b
a
-
a
f
� (x)g(x)dx (2).
/
a
2. Phương pháp giải toán
b
Giả sử cần tính tích phân
f(x)g(x)dx ta thực hiện
�
a
Cách 1.
Bước 1. Đặt u = f(x), dv = g(x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân
b
du = u (x)dx không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân
/
vdu
� phải tính được.
a
Bước 2. Thay vào công thức (1) để tính kết quả.
Đặc biệt:
b
i/ Nếu gặp
b
P(x)sinaxdx, �
P(x)cosaxdx, �
e
�
ax
a
b
ii/ Nếu gặp
b
a
a
P(x)ln xdx thì đặt u = ln x .
�
a
Cách 2.
7
.P(x)dx với P(x) là đa thức thì đặt u = P(x).
b
Viết lại tích phân
b
f(x)g(x)dx = �
f(x)G (x)dx và sử dụng trực tiếp công thức (2).
�
/
a
a
1
Ví dụ 1. Tính tích phân I =
xe
� dx .
x
0
Giải
u=x
du
� = dx
�
Đặt � = ex dx � �
(chọn C = 0)
�
�
dv
�
� = ex
v
�
�
1
1
xe
� dx = xe
�
x 1
0
x
0
e
Ví dụ 2. Tính tích phân I =
-
e
� dx = (x x
1 x
)e
1
0
= 1.
0
x
� ln xdx .
1
Giải
dx
�
du
� =
u
� = ln x
�
x
��
Đặt �
�
�
2
� = xdx
�
dv
�
� =x
v
�
�
2
e
e
e
2
x
1
e2 + 1
� � ln xdx =
x
ln x - �
xdx =
.
2
21
4
1
1
Ví dụ 3. Tính tích phân I =
p
2
e
�
x
sin xdx .
0
Giải
u
du
� = cosxdx
� = sin x
��
Đặt �
�
�
� = ex dx
� = ex
dv
v
�
�
p
2
� I=
e
�x sin xdx = ex sin x
0
p
2
-
p
e
�x cosxdx = e2 - J .
0
u
du
� = - sin xdx
� = cosx
Đặt � = ex dx � �
�
�
dv
�
� = ex
v
�
�
p
2
�J=
p
2
0
e
�
x
cosxdx = ex cosx
0
p
2
0
p
2
+ �x sin xdx = - 1 + I
e
0
p
e2 + 1.
� I = e - (- 1 + I) � I =
2
p
2
Chú ý:
Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần.
Ví dụ 7. Tính tích phân I =
p2
4
cos
�
xdx .
0
Hướng dẫn:
Đặt t =
p
2
x L � I = 2� costdt = L = p - 2.
t
0
8
e
Ví dụ 8. Tính tích phân I =
sin(ln
� x)dx .
1
(sin1 - cos1 + 1
)e
ĐS: I =
.
2
III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phương pháp giải toán
1. Dạng 1
b
�f(x) dx , ta thực hiện các bước sau
Giả sử cần tính tích phân I =
a
Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:
a
x
f(x)
b
Bước 2. Tính I =
+
x1
0
x2
0
-
+
x1
x2
b
a
x1
b
x2
f(x)dx - �
f(x)dx + �
f(x)dx .
�f(x) dx = �
a
2
Ví dụ 9. Tính tích phân I =
�x
2
- 3x + 2 dx .
-3
Giải
Bảng xét dấu
x
x - 3x + 2
2
-3
+
1
0
1
I=
(
�x
- 3x + 2) dx -
-3
(
�x
2
1
Vậy I =
p
ĐS: I = 2 3 - 2 - .
6
2. Dạng 2
2
0
2
2
Ví dụ 10. Tính tích phân I =
-
p
2
� 5-
- 3x + 2) dx =
59
.
2
59
.
2
4cos2 x - 4sin xdx .
0
b
Giả sử cần tính tích phân I =
[
� f(x) � g(x) ] dx , ta thực hiện
a
Cách 1.
b
Tách I =
b
b
[
� f(x) � g(x) ] dx = �f(x) dx � �g(x) dx rồi sử dụng dạng 1 ở trên.
a
a
a
Cách 2.
Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).
2
Ví dụ 11. Tính tích phân I =
(
�x
- x - 1 ) dx .
-1
Giải
Cách 1.
9
2
I=
2
(
�x
- x - 1 ) dx =
-1
0
=-
2
�x dx - �x -1
2
1
xdx
xdx
(x
� +� +� -1
0
x2
=2
0
-1
1
)dx -
-1
2
x2
+
2
0
1 dx
-1
2
(x
� -
1
)dx
1
1
2
�2
�
x
+ � - x� �
�
�
�
�1
2
-
�2
�
x
� - x� = 0.
�
�
�
�
�
2
1
Cách 2.
Bảng xét dấu
x
x
x–1
–1
0
0
–
–
0
I=
1
+
–
0
2
+
+
1
(
�- x + x -1
2
(
(
1) dx + �x + x - 1) dx + �x - x + 1) dx
0
1
1
0
2
= - x - 1 + ( x - x ) 0 + x 1 = 0.
Vậy I = 0 .
2
3. Dạng 3
b
Để tính các tích phân I =
b
max
min
� { f(x), g(x)} dx và J = � { f(x), g(x)} dx , ta thực hiện các
a
a
bước sau:
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số h(x) = f(x) - g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2.
+ Nếu h(x) > 0 thì max { f(x), g(x)} = f(x) và min { f(x), g(x)} = g(x) .
+ Nếu h(x) < 0 thì max { f(x), g(x)} = g(x) và min { f(x), g(x)} = f(x) .
4
Ví dụ 12. Tính tích phân I =
max
� {x
2
+ 1 4x - 2} dx .
,
0
Giải
2
Đặt h(x) = ( x + 1) - ( 4x - 2) = x - 4x + 3 .
2
Bảng xét dấu
x
h(x)
0
1
0
+
1
I=
3
0
–
4
+
3
(
�x
2
0
4
+ 1) dx + �
( 4x - 2) dx +
1
80
Vậy I =
.
3
(
�x
2
+ 1) dx =
3
80
.
3
2
Ví dụ 13. Tính tích phân I =
min
� {3 ,
x
4 - x } dx .
0
Giải
x
Đặt h(x) = 3 - ( 4 - x ) = 3 + x - 4.
x
Bảng xét dấu
x
h(x)
1
I=
0
–
1
0
2
(
3
� x dx + �4 - x ) dx =
0
1
2
+
2
�
3
x2 �
� = 2 + 5.
+� 4x
�
�
�
ln 3 0 �
2�
ln 3 2
1
x
10
1
Vậy I =
2
5
+ .
ln 3 2
IV. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN
Phương pháp giải toán
1. Dạng 1
b
Để chứng minh
b
f(x)dx � 0 (hoặc �
f(x)dx � 0) ta chứng minh
�
a
f(x) � 0 (hoặc f(x) � 0 ) với
a
" x �[ a; b ] .
1
Ví dụ 14. Chứng minh
� 13
x6 dx � 0 .
0
Giải
1
x [ 0; 1] : x
Với "Σ�-��-�
6
3
1
1
x
6
0
�1
3
x6dx
0.
0
2. Dạng 2
b
Để chứng minh
b
f(x)dx � �
g(x)dx ta chứng minh f(x) � g(x) với " x �[ a; b ] .
�
a
a
p
2
p
2
dx
dx
Ví dụ 15. Chứng minh
� + sin10 x � � + sin11 x .
1
1
0
0
Giải
p
x �
0; �
:
Với "Σ��� � 0
� 2�
�
�<+�+�
1 sin10 x
1
Vậy
sin x
sin11 x
p
2
sin11 x
sin10 x
1
.
1 + sin11 x
p
2
10
0
0
1
1 + sin10 x
0
dx
� + sin
1
1
dx
.
��
x
1 + sin11 x
0
3. Dạng 3
b
f(x)dx � B ta thực hiện các bước sau
Để chứng minh A � �
a
Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được m � f(x) � M .
b
f(x)dx � M(b - a) = B .
Bước 2. Lấy tích phân A = m(b - a) � �
a
1
Ví dụ 16. Chứng minh 2 � � 4 + x2 dx � 5 .
0
Với "Σ+��+�4
x [ 0; 1] :
4
Giải
x2 5
2
4
1
Vậy 2 � � 4 + x2 dx � 5 .
0
3p
4
Ví dụ 17. Chứng minh
p
dx
p
��
� .
2
4
2
p 3 - 2sin x
4
Giải
11
x2
5.
p
� 3p � 2
x �;
:
Với "Σ���
�
4
� 4� 2
���-� 2sin2 x
1 3
�
(
)
sin x
1
2
2
3p
4
1
sin2 x 1
2
1
1
3 - 2sin2 x
1
(
)
1 3p p
dx
3p p
��
�1
.
2
2 4
4
4
4
p 3 - 2sin x
4
3p
4
Vậy
p
dx
p
��
� .
2
4
2
p 3 - 2sin x
4
p
3
Ví dụ 18. Chứng minh
3
cotx
1
��
dx � .
12
x
3
p
4
Giải
� p�
cotx
p
, x �� ; � có
Xét hàm số f(x) =
ta
� 3�
x
4
�
�
-x
- cotx
2
� p�
p
f / (x) = sin x 2
< 0 " x �� ; �
� 3�
4
x
�
�
p
p
p p�
�"�� f(x) f
f
x �; �
� 3�
3
4
�
4
� p�
3 cotx
4
p
�"��
x �; �
� 3�
p
x
p
4
�
�
( )
( )
p
� 3 cotx
3� p �
p
4� p �
p
� - �
�
��
dx � � - �
�
.
�
�
�
�
�
�
p �
3 4� p x
p�
3 4�
4
p
3
Vậy
3
cotx
1
��
dx � .
12
x
3
p
4
4. Dạng 4 (tham khảo)
b
f(x)dx � B (mà dạng 3 không làm được) ta thực hiện
Để chứng minh A � �
a
� �g(x) " x �[a; b]
f(x)
�
b
�
�
b
� f(x)dx B .
Bước 1. Tìm hàm số g(x) sao cho �
�
� g(x)dx = B
�
a
�
�
�
a
�
h(x) � f(x) " x �[a; b]
�
b
�
�
b
�A �
f(x)dx .
Bước 2. Tìm hàm số h(x) sao cho �
� h(x)dx = A
�
a
�
�
�
a
Ví dụ 19. Chứng minh
2
2
2
dx
p
��
� .
2007
2
4
1- x
0
12
Giải
�
�
2
x �
0;
:
�0
Với "Σ��
�
� 2 �
�
1
���-�-�
1 x2
2
1
x2007
2
2
1
x2007
1
1 - x2007
1
2
2
1
2
x2
1
1 - x2
2
2
dx
dx
� 1 - x2 .
2007
x
0
0
0
Đặt x = sin t � dx = costdt
2
p
x = 0� t = 0 x =
,
�t=
2
4
�� dx
�
� 1-
2
2
�
dx
� 10
Vậy
p
4
=
x
2
costdt
� cost
=
0
p.
4
2
2
2
dx
p
��
� .
2
4
1 - x2007
0
1
3+1
xdx
2+1
�� 2
�
Ví dụ 20. Chứng minh
.
4
2
x + 2- 1
0
Giải
Với " x �[ 0; 1] : 2 - 1 � x2 + 2 - 1 � 3 - 1
x
x
x
��
3- 1
2- 1
x2 + 2 - 1
1
xdx
��
� 3- 1
0
Vậy
1
�
0
1
xdx
2
x + 2- 1
1
xdx
� 20
.
1
3+1
xdx
2+1
�� 2
�
.
4
2
x + 2- 1
0
V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Diện tích hình thang cong
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường
b
y = f(x), x = a, x = b và trục hoành là S =
�f(x) dx .
a
Phương pháp giải toán
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b].
b
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
�f(x) dx .
a
,
Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = ln x, x = 1 x = e và Ox.
Giải
;
Do ln x � 0 " x �[ 1 e] nên
e
S=
e
ln
�ln x dx = � xdx = x ( ln x 1
1
Vậy S = 1 (đvdt).
13
e
1) 1 = 1.
,
,
Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = - x2 + 4x - 3 x = 0 x = 3 và Ox.
Giải
Bảng xét dấu
x 0
1
3
y
–
0
+
0
1
3
(
(
�- x2 + 4x - 3) dx + �- x2 + 4x - 3) dx
S= -
0
1
1
3
� x
� � x3
�
8
2
�
=- �
+ 2x2 + 3x � + �
� �
�
� 3
� � 3 + 2x + 3x � = 3 .
�
�
�
0
1
8
Vậy S = (đvdt).
3
2. Diện tích hình phẳng
2.1. Trường hợp 1.
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
3
b
y = f(x), y = g(x), x = a, x = b là S =
�f(x) -
g(x) dx .
a
Phương pháp giải toán
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) - g(x) trên đoạn [a; b].
b
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
�f(x) -
g(x) dx .
a
2.2. Trường hợp 2.
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
b
�f(x) -
y = f(x), y = g(x) là S =
g(x) dx . Trong đó a, b là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của
a
phương trình f(x) = g(x) ( a �a < b � b ) .
Phương pháp giải toán
Bước 1. Giải phương trình f(x) = g(x) .
Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) - g(x) trên đoạn [ a; b] .
b
Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
�f(x) -
g(x) dx .
a
,
Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3 + 11x - 6 y = 6x2 ,
x = 0 x = 2.
,
Giải
3
Đặt h(x) = (x + 11x - 6) - 6x2 = x3 - 6x2 + 11x - 6
h(x) = 0 � x = 1 �x = 2 �x = 3 (loại).
Bảng xét dấu
x 0
1
2
h(x)
–
0
+ 0
1
S= -
2
(
�x
3
0
- 6x + 11x - 6) dx + �x3 - 6x2 + 11x - 6) dx
(
2
1
1
2
�
� �
�
x
11x
x
11x2
5
= - � - 2x3 +
- 6x � + � - 2x3 +
- 6x � = .
� �
�
�4
� �4
� 2
�
�
�
2
2
0
1
4
2
4
14
5
(đvdt).
2
,
Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3 + 11x - 6 y = 6x2 .
Giải
3
Đặt h(x) = (x + 11x - 6) - 6x2 = x3 - 6x2 + 11x - 6
h(x) = 0 � x = 1 �x = 2 �x = 3 .
Bảng xét dấu
x 1
2
3
h(x) 0
+
0
–
0
Vậy S =
2
S=
3
(
�x
3
(
�x
- 6x + 11x - 6) dx 2
3
1
- 6x2 + 11x - 6) dx
2
2
�
�
x
11x
= � - 2x3 +
- 6x � �
�
�
�
�
4
2
1
4
3
�
�
x
11x2
1
� - 2x3 +
- 6x � = .
�
�
�
�
�
4
2
2
2
1
Vậy S = (đvdt).
2
2
4
Chú ý:
Nếu trong đoạn [ a; b] phương trình f(x) = g(x) không còn nghiệm nào nữa thì ta có thể dùng công
b
thức
�f(x) a
b
g(x) dx =
[
�f(x) -
g(x) ] dx .
a
Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x3, y = 4x .
Giải
3
Ta có x = 4x � x = - 2 �x = 0 �x = 2
0
� S=
2
(
�x
3
- 4x ) dx +
-2
(
�x
3
- 4x ) dx
0
0
2
�4
�
�4
�
x
x
= � - 2x2 � + � - 2x2 � = 8 .
�
�
�4
�4
�
�
�
�2
�
�
0
Vậy S = 8 (đvdt).
Ví dụ 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x2 - 4 x + 3 và trục hoành.
Giải
2
,
Ta có x - 4 x + 3 = 0 � t2 - 4t + 3 = 0 t = x � 0
t
x
x
1
�= 1
� =1
�=�
� �
� �
� �
�= 3
� =3
�=�
t
x
x
3
�
�
�
3
� S=
3
�x
2
-3
- 4 x + 3 dx = 2�x2 - 4x + 3 dx
0
3
�1
�
2
= 2 � ( x - 4x + 3) dx + �x2 - 4x + 3) dx �
(
�
�
�
�0
�
1
1
3
� x3
�
�
�3
� � 16
x
�
= 2 � - 2x2 + 3x � + � - 2x2 + 3x � �
.
�
� =
�
�3
�
�
�3
�
�
�
� � 3
0
1 �
�
16
Vậy S =
(đvdt).
3
2
Ví dụ 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x - 4x + 3 và y = x + 3 .
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm
x2 - 4x + 3 = x + 3
15
x
� + 3 �0
�
� 2
�
� �x - 4x + 3 = x + 3 �
�
�
�
� 2
�
�x - 4x + 3 = - x - 3
�
�
�
�
x
�= 0
�
� = 5.
x
�
Bảng xét dấu
x
x - 4x + 3
0
2
1
� S=
1
0
+
3
0
–
5
+
3
(
�x
2
0
5
- 5x ) dx + �- x + 3x - 6) dx + �x2 - 5x ) dx
(
(
2
1
3
1
3
5
� 3 5x2 � � x3
� � 3 5x2 �
x
3x2
x
� +�
� = 109 .
= � +
- 6x � + � � �
� �
�
�3
� �3
� �3
�
�
�
2 �
2
2 �
6
0
1
3
109
Vậy S =
(đvdt).
6
2
Ví dụ 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x - 1 , y = x + 5 .
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm
x2 - 1 = x + 5 � t2 - 1 = t + 5 t = x � 0
,
t
� = x �0
�
t
� = x �0
�2
�
�
� �t - 1 = t + 5 � �
� x=�
3
�
�
�
�=3
t
�2
�
�
�t - 1 = - t - 5
�
�
�
3
� S=
3
�x
2
- 1-
x + 5) dx = 2� x2 - 1 -
(
-3
(x
+ 5) dx
0
Bảng xét dấu
x
x - 1
2
0
1
0
–
3
+
1
� S= 2
(
�- x
2
0
3
- x - 4) dx + �x2 - x - 6) dx
(
1
1
3
2
�x
� �
x
x
� + � - x - 6x � = 73 .
�
�
=2�
- 4x � �
�
�
�
�3
� �3
�
2
2
3
0
1
73
Vậy S =
(đvdt).
3
3
2
3
Chú ý:
Nếu hình phẳng được giới hạn từ 3 đường trở lên thì vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH thì không có).
B. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
1. Trường hợp 1.
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x) � 0" x �[ a;b ] , y = 0 ,
b
x = a và x = b (a < b) quay quanh trục Ox là V = p�2(x)dx .
f
a
Ví dụ 9. Tính thể tích hình cầu do hình tròn (C) : x + y = R 2 quay quanh Ox.
Giải
Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là x2 = R 2 � x = � .
R
(C) : x2 + y2 = R 2 � y2 = R 2 - x2
Phương trình
2
16
2
R
R
� V = p�R - x ) dx = 2p�R 2 - x2 ) dx
(
(
2
2
-R
0
R
3
�
x �
� = 4pR .
= 2p � 2x R
�
�
�
�
3�
3
0
3
4pR
Vậy V =
(đvtt).
3
3
2. Trường hợp 2.
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y) � 0" y �[ c;d ] , x = 0 ,
d
y = c và y = d (c < d) quay quanh trục Oy là V = p g2(y)dy .
�
c
x2
y2
Ví dụ 10. Tính thể tích hình khối do ellipse (E) : 2 + 2 = 1 quay quanh Oy.
a
b
Giải
y2
b
Tung độ giao điểm của (E) và Oy là 2 = 1 � y = � .
b
x2
y2
a2y2
2
2
Phương trình (E) : 2 + 2 = 1 � x = a a
b
b2
b
b
2 2
�2 a2y2 �
� = 2p �2 - a y �
�
�
�
� V = p�a dy
a
dy
�
�
�
�
�
�
�
�
�
b2 �
b2 �
-b
0
R
2
�
a2y3 �
� = 4pa b .
= 2p �2y a
�
�
�
�
3
3b2 �
0
2
4pa b
Vậy V =
(đvtt).
3
3. Trường hợp 3.
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x) , x = a và
x = b (a < b, f(x) � 0
,g(x) � 0 " x �[ a; b ]) quay quanh trục Ox là
b
V = p� 2(x) - g2(x) dx .
f
a
Ví dụ 11. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 , y2 = x quay quanh
Ox.
Giải
x
x
� �0
�= 0
�
��
Hoành độ giao điểm � 4
� = 1.
� =x
x
x
�
�
1
1
� V = p�x - x dx = p
4
0
( 1x
5
)
(
�x
4
- x ) dx
0
1
1 2
3p
x
=
.
2
10
0
3p
Vậy V =
(đvtt).
10
=p
5
-
4. Trường hợp 4.
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x = f(y), x = g(y) , y = c và
y = d (c < d, f(y) � 0
,g(y) � 0 " y �[ c; d ]) quay quanh trục Oy là
d
V = p� 2(y) - g2(y) dy .
f
c
17
Ví dụ 12. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường x = - y2 + 5 , x = 3 - y
quay quanh Oy.
Giải
y
�= - 1
2
Tung độ giao điểm - y + 5 = 3 - y � �
�= 2 .
y
�
2
� V = p� - y2 + 5) - ( 3 - y ) 2 dy
(
2
-1
2
=p
(
�y
4
- 11y2 + 6y + 16) dy
-1
2
� 5 11y3
�
y
153p
=p� + 3y2 + 16y � =
�
.
�
�
�
�
�1
5
3
5
153p
(đvtt).
5
Vậy V =
VI. TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP
1
10
1 1 1 2
1 10
1. Tính I= 1 x dx Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau: S 1 C10 C10 ... C10
2
3
11
0
1
2. Tính: I x 1 x
19
dx . Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau:
0
S
1
2
1 0 1 1 1 2
1 18 1 19
C19 C19 C19 ...
C19 C19 .
2
3
4
20
21
1
3
1
2
3. Chứng minh rằng: 1 Cn Cn ...
1
2 n 1 1
n
Cn
n 1
n 1
BÀI TẬP TỰ GIẢI
1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=
sin x cos x
, biết rằng F 4 ln 2
sin x cos x
2. Tính các tích phân sau:
e2
A=
1
2
2 x 5 - 7x
dx
x
2
B= x 2 -1 dx
x
C= 2 ln 2 dx
0
-2
3. Tính các tích phân sau:
3
A= e
e
3 cos x
sin xdx
0
2 3
ln 4 x
dx
B=
x
1
*
C=
x
5
dx
x 4
2
2
x
dx
D =
x -1
1 1
*
4. Tính các tích phân sau:
e
sin(ln x)
dx
I=
x
1
ln 5
dx
L= x
x
3
ln 3 e 2e
C=
2
4
dx
2
sin x cot x
J=
6
2
M=
0
sin 2 xdx
cos 2 x 4 sin 2 x
10
K= lg xdx
1
2
N=
1
dx
x -9
2
sin 2 x
dx
2
x)2
(1 cos
0
5. Tính các tích phân sau:
1
dx
A=
4 - x2
0
3
dx
B= x 2 3
3
18
4
2
C= 16 - x dx
0
3
ln 2
1- e x
1 e x dx
0
D=
E=
2
6. Tính các tích phân sau:
e
ln x
dx
A=
x
1
2
dx
x 1
2
2
2
ln x
C = 2 dx
1 x
x sin x
dx
B =
1 cos 2 x
0
*
e
*
1
2
3x 4 2 x
dx
E=
x3
1
D = cos(ln x) dx
*
1
F*
x2 1
1 x 4 dx
1
7. Tính:
4
A= cos xdx
2
0
e
ln x 1
dx
x
F=
1
1
2
x
C= xe dx
B= cos3 xdx
0
0
2
4
2
G= x 1 2 x dx
H= x 1 2 xdx
0
0
4
e
D=
1
2
I=
1
2
x
x
dx
x
dx
x 1
E= x ln xdx
1
1
x
dx
2
0 1 x
J=
8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a. x=1; x=e; y=0 và y=
1 ln x
x
b. y=2x; y=3x và x=0
3
c. y=sin2xcos3x, trục Ox và x=0, x= .
9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=0, y=x32x2+4x3 (C) và tiếp tuyến với
đường cong (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.
10. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=tanx, x=0, x=/3, y=0.
a. Tính diện tích hình phẳng D.
b. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh trục Ox.
11. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong y2=x3 và y=0, x=1
khi nó quay quanh:
A) Trục Ox.
B) Trục Oy.
Hết
19
- Xem thêm -
.DOC 
19 
227 
143 
