Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo dục - Đào tạo Cao đẳng - Đại học Nghiệm tuần hoàn và dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương trình vi phâ...

Tài liệu Nghiệm tuần hoàn và dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương trình vi phân

.PDF
117
575
124

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI NGÔ QUÝ ĐĂNG NGHIỆM TUẦN HOÀN VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI NGÔ QUÝ ĐĂNG NGHIỆM TUẦN HOÀN VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 62460103 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TSKH. NGUYỄN THIỆU HUY Hà Nội - 2017 MỤC LỤC MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 MỞ ĐẦU Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 12 Nửa nhóm liên tục mạnh, tính ổn định và nhị phân mũ . . . . 12 1.1.1 1.1.2 1.2 Nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Tính ổn định và nhị phân mũ . . . . . . . . . . . . . . 14 Không gian hàm Banach chấp nhận được và không gian giảm nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.1 Không gian hàm Banach chấp nhận được . . . . . . . . 16 1.2.2 Không gian giảm nhớ (fading memory space) . . . . . . 19 1.2.3 Bất đẳng thức nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3 Nhị phân mũ của họ tiến hoá . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4 Đa tạp ổn định địa phương đối với phương trình tiến hóa nửa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Chương 2. SỰ TỒN TẠI DUY NHẤT VÀ ỔN ĐỊNH CÓ ĐIỀU KIỆN CỦA NGHIỆM TUẦN HOÀN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA 28 NỬA TUYẾN TÍNH 2.1 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính . . . 28 2.2 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính . 35 2.3 Sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn trong trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4 Ổn định có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 i Chương 3. NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH NỬA TUYẾN 51 TÍNH VỚI PHẦN PHI TUYẾN ϕ-LIPSCHITZ 3.1 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính . 51 3.2 Phương trình tiến hóa với họ tiến hóa có nhị phân mũ 3.3 Ổn định có điều kiện và đa tạp ổn định địa phương . . . . . . 58 . . . . 55 Chương 4. NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 69 CÓ TRỄ 4.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình có trễ hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.2 Ổn định có điều kiện và đa tạp ổn định địa phương . . . . . . 73 4.3 Trường hợp phương trình có trễ vô hạn: Sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Ổn định có điều kiện và đa tạp ổn định địa phương đối với phương trình có trễ vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN . . . . 113 ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy. Tất cả các kết quả được trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào. Hà Nội, ngày 06 tháng 9 năm 2017 Người hướng dẫn khoa học Tác giả PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy 1 Ngô Quý Đăng LỜI CẢM ƠN Luận án này được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy-người thầy vô cùng mẫu mực đã tận tình giúp đỡ tôi trên con đường khoa học. Thầy đã chỉ bảo tôi trong suốt quá trình nghiên cứu, giúp tôi tiếp cận một lĩnh vực toán học đầy thú vị và luôn tạo ra những thử thách giúp tôi tự học hỏi, tìm tòi, sáng tạo. Đó là những gì tôi may mắn được tiếp nhận từ người thầy đáng kính của mình. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy, cô và các bạn trong xemina Dáng điệu tiệm cận nghiệm thuộc Viện Toán ứng dụng và Tin học - Đại học Bách khoa Hà Nội do PGS. TSKH. Nguyễn Thiệu Huy chủ trì. Đây là môi trường học tập và nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận án này. Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Viện Đào tạo Sau đại học, Ban lãnh đạo Viện Toán ứng dụng và Tin học - Đại học Bách khoa Hà Nội, đặc biệt là các thầy, cô giáo trong Bộ môn Toán cơ bản, Viện Toán ứng dụng và Tin học - Đại học Bách khoa Hà Nội đã luôn giúp đỡ, động viện, tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi cho tác giả. Tác giả xin cũng bày tỏ lòng cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Lãnh đạo và các đồng nghiệp trong Khoa GD Tiểu học, Phòng Khảo thí và Đảm bảo chất lượng, Khoa Tự nhiên Trường CĐSP Thái Bình đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, những người luôn yêu thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án. Tác giả 2 MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN N : tập các số tự nhiên. R : tập các số thực. R+ : tập các số thực không âm. R− : tập các số thực không dương. C : tập các số phức. Lp (R) := u:R→R u p |u(x)|p dx)1/p < +∞ , 1 ≤ p < ∞. =( R L∞ (R) := u : R → R u ∞ = ess sup |u(x)| < +∞ . x∈R L1,loc (R) := u : R → R u ∈ L1 (ω) với mọi tập con đo được ω ⊂⊂ R , trong đó ω ⊂⊂ R nghĩa là bao đóng ω là tập compact trong R. X, Y : không gian Banach. L(X), L(C, X) : không gian các toán tử tuyến tính bị chặn.   t+1   M := ϕ ∈ L1, loc (R+ ) sup |ϕ(τ )|dτ < ∞ ,   t≥0 t t+1 với chuẩn ϕ M |ϕ(τ )|dτ. := sup t≥0 t P := ϕ ∈ M ϕ tuần hoàn với chu kì 1 . E : không gian hàm Banach chấp nhận được trên R+ . M := f : R+ → X f (·) ∈ M 3 với chuẩn f M := f (·) M. C := C([−r, 0], X) không gian các hàm liên tục trên [−r, 0], r > 0, nhận giá trị trong X với chuẩn u C = sup u(t) . t∈[−r,0] C R− := C(R− , X) không gian các hàm liên tục trên R− , nhận giá trị trong X với chuẩn u Cν Cb (R+ , X) CR− = sup u(t) . t∈R− φ(s) = 0, ν > 0 , s→−∞ e−νs φ(s) với chuẩn u ν = sup −νs . s∈R− e := φ ∈ CR− lim := v : R+ → X | v liên tục và sup v(t) < ∞ , t∈R+ với chuẩn v Cb (R, X) Cb (R+ ,X) := sup v(t) . t∈R+ := v : R → X | v liên tục và sup v(t) < ∞ t∈R với chuẩn v Cb (R,X) := sup v(t) . t∈R Cb ([−r, ∞), X) := v : [−r, ∞) → X | v liên tục và sup t∈[−r,∞) với chuẩn v Cb := sup t∈[−r,∞) 4 v(t) . v(t) < ∞, r > 0 MỞ ĐẦU 1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng liên quan đến dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình vi phân là tìm điều kiện tồn tại nghiệm tuần hoàn (trong trường hợp phần phi tuyến là hàm tuần hoàn theo thời gian). Bên cạnh một số phương pháp chứng minh tồn tại nghiệm tuần hoàn mà hầu như chỉ thích hợp cho các phương trình cụ thể như phương pháp điểm cố định của Tikhonov (xem [21]) hoặc phương pháp hàm Lyapunov (xem [57]), còn có các phương pháp phổ biến chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn là xét tính bị chặn của nghiệm và tính compact của ánh xạ Poincaré thông qua một số phép nhúng compact (xem [10, 20, 21, 22, 56, 57] và các tài liệu tham khảo trong đó). Mặc dù vậy, trong một số ứng dụng cụ thể, chẳng hạn như phương trình vi phân đạo hàm riêng trong các miền không bị chặn hoặc phương trình vi phân có nghiệm không bị chặn, việc sử dụng các phép nhúng compact hoặc các phương pháp trên tìm ra nghiệm bị chặn là khó khăn và không đúng nữa. Để khắc phục được khó khăn này, năm 2014, N.T.Huy (xem [42]) đã sử dụng phương pháp Ergodic được Zubelevich mở rộng (xem [51]) vào năm 2006 từ mối liên hệ giữa nghiệm bị chặn và nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân thường được Massera (xem [16]) nghiên cứu vào năm 1950 chỉ ra nghiệm tuần hoàn của phương trình Navier-Stokes. Tuy nhiên, sử dụng phương pháp Ergodic chỉ ra tính tồn tại và duy nhất nghiệm du = A(t)u + f (t), t ∈ R+ tuần hoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính dt với toán tử tuyến tính A(t) (có thể không bị chặn) sinh ra họ tiến hóa và trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ đến nay vẫn còn nhiều vấn đề cần được nghiên cứu. Một vấn đề quan trọng khác khi nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận nghiệm 5 cũng thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học đó là nghiên cứu về tồn tại đa tạp tích phân. Nghiên cứu này mang lại cho chúng ta bức tranh hình học về dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân với nhiễu phi tuyến xung quanh một điểm cân bằng hay xung quanh một quỹ đạo xác định. Mặt khác nó còn cho phép thu gọn việc nghiên cứu tính chất nghiệm của những phương trình đạo hàm riêng phức tạp về những phương trình đơn giản hơn trên các đa tạp đó do tính hút của các đa tạp này đối với các nghiệm của phương trình đang xét. Những kết quả đầu tiên nghiên cứu về sự tồn tại đa tạp tích phân đối với phương trình vi phân thường được Hadamard (xem [13]), Perron (xem [49, 50]) đưa ra. Sau đó, Daleckii và Krein (xem [27]) đã mở rộng các kết quả đó cho phương trình vi phân trong không gian Banach.... Năm 2009, N.T. Huy cùng một số cộng sự đã sử dụng không gian hàm chấp nhận được, định lý hàm ẩn,... xây dựng đa tạp ổn định địa phương, đa tạp ổn định bất biến mà không cần dùng điều kiện hằng số Lipschitz đủ nhỏ của toán tử phi tuyến theo nghĩa cổ điển (xem [40]). Cụ thể các tác giả đã xét điều kiện tổng quát hơn của phần phi tuyến khi xét sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến (xem [35]), ở đó hệ số Lipschitz của phần phi tuyến là hàm phụ thuộc thời gian và thuộc một không gian hàm Banach chấp nhận được. Việc sử dụng không gian hàm Banach chấp nhận được đã mang đến một số kết quả về lý thuyết dáng điệu tiệm cận nghiệm được công bố trong thời gian gần đây (xem [4, 28, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 45]). Tuy nhiên, các nghiên cứu này mới xét cho trường hợp xung quanh quỹ đạo cân bằng, một số dạng phương trình vi phân đạo hàm riêng không trễ hoặc có trễ hữu hạn. Từ những phân tích ở trên, trong luận án này, chúng tôi sử dụng phương pháp Ergodic để nghiên cứu và chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính; sau đó, áp dụng kết quả này kết hợp với nguyên lý ánh xạ co, bất đẳng thức Gronwall, bất đẳng thức nón chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuần hoàn, ổn định có điều kiện 6 của nghiệm tuần hoàn, đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính. Chúng tôi xin trình bày cụ thể như sau: Trước tiên, xét phương trình tuyến tính du = A(t)u + f (t), t ≥ 0, (1) dt trong đó với mỗi t ∈ R+ , A(t) là toán tử có thể không bị chặn trên không gian Banach X sao cho họ (A(t))t≥0 sinh ra họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 tuần hoàn trên X, f (t) là hàm tuần hoàn theo t lấy giá trị trong X. Chúng tôi sử dụng phương pháp Ergodic để chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn thông qua sự tồn tại nghiệm bị chặn mà chuẩn sup của nó có thể được đánh giá bởi chuẩn sup của các hàm đầu vào f . Lưu ý rằng [51] là công trình đầu tiên được O. Zubelevich sử dụng phương pháp này cho nghiên cứu nghiệm tuần hoàn. Tiếp theo, chúng tôi sử dụng nguyên lý điểm bất động kết hợp với kết quả tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình (1) để chứng minh tính tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính trừu tượng với các dạng sau: • du = A(t)u(t) + G(t, u(t)), t ≥ 0, (2) dt trong đó G(t, x) là hàm tuần hoàn theo t với mỗi x cố định và là toán tử Lipschitz hoặc ϕ-Lipschitz địa phương theo x, với ϕ thuộc lớp không gian hàm chấp nhận được. • du = A(t)u(t) + G(t, ut ), t ≥ 0, (3) dt trong đó G(t, ut ) là hàm phi tuyến tuần hoàn theo t xác định trên không gian Banach C hoặc Cν , thỏa mãn điêu kiện ϕ-Lipschitz địa phương, với ϕ thuộc lớp không gian hàm chấp nhận được. 7 Sau đó, trong trường hợp toán tử tuyến tính (A(t))t≥0 sinh ra họ tiến hóa U (t, s) có nhị phân mũ, chúng tôi sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron và đặc trưng của nhị phân mũ (xem [34]) đối với phương trình tiến hóa để xây dựng cấu trúc nghiệm theo nghĩa đủ tốt. Từ đó chỉ ra tính tồn tại duy nhất nghiệm đủ tốt tuần hoàn của các phương trình trên. Cũng trong trường hợp này, chúng tôi áp dụng một số nguyên lí cơ bản trong giải tích toán học như nguyên lí ánh xạ co, bất đẳng thức Gronwall, Bất đẳng thức nón,... để chứng minh sự ổn định có điều kiện của nghiệm tuần hoàn. Cuối cùng, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn đối với các phương trình (2) và (3). 2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu * Mục đích nghiên cứu của Luận án: Luận án nhằm: - Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm tuần hoàn của các phương trình vi phân. - Nghiên cứu một số tính chất định tính đối với các nghiệm khác xung quanh nghiệm tuần hoàn của các phương trình vi phân. - Xây dựng đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn của các phương trình vi phân. * Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của Luận án: Các phương trình vi phân đạo hàm riêng. Tính chất nghiệm tuần hoàn và dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình trên. 3. Phương pháp nghiên cứu Trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp sau: - Phương pháp lý thuyết đặt chỉnh của các phương trình không ô-tô-nôm và khái niệm nghiệm đủ tốt để xây dựng các họ tiến hóa biểu diễn nghiệm của phương trình vi phân... - Phương pháp trung bình ergodic, phương pháp sử dụng tôpô *-yếu và 8 Định lý Banach-Alaoglu, Nguyên lý điểm bất động. - Sử dụng lý thuyết các không gian hàm chấp nhận được để xây dựng đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn cho phương trình tiến hóa nửa tuyến tính, phương trình vi phân hàm có trễ hữu hạn hoặc vô hạn. 4. Ý nghĩa của các kết quả của luận án Đây là hướng nghiên cứu mới, nó đã góp phần làm phong phú thêm về lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng,... Các kết quả và ý tưởng của luận án có thể sử dụng trong nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm đối với phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng. 5. Cấu trúc và kết quả của luận án Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chia làm bốn chương: • Chương 1: Chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị. Trước tiên là khái niệm về nửa nhóm liên tục mạnh và một số tính chất của nửa nhóm. Tiếp theo là khái niệm về họ tiến hóa và một số tính chất của nó. Sau đó là không gian hàm Banach chấp nhận được (xem [35, 40]), không gian giảm nhớ (Fading memory spaces (xem [9, 10, 14, 58])). Cuối cùng là tính nhị phân mũ của họ tiến hoá và đa tạp ổn định của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính (xem [34, 35, 37]). • Chương 2: Chúng tôi nghiên cứu tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính không thuần nhất có dạng du = A(t)u(t) + f (t), t ∈ R+ dt (4) và tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có dạng du = A(t)u(t) + g(u)(t), t ∈ R+ dt 9 (5) Ở đây, toán tử tuyến tính A(t) có thể không bị chặn sinh ra họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 trên không gian Banach X; toán tử f lấy giá trị trong không gian Banach và toán tử Nemytskii g(u)(t) là hàm tuần hoàn với chu kì T thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương. Trong trường hợp A(t) sinh ra họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ, chúng tôi xây dựng công thức nghiệm bị chặn Lyapunov-Perron. Từ đó nghiên cứu tính tồn tại duy nhất và ổn định có điều kiện nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính (5). • Chương 3: Trong chương này, chúng tôi chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính dạng du = A(t)u(t) + g(t, u(t)), t ∈ R+ dt (6) trong đó, hàm g(t, u) tuần hoàn theo t với chu kì 11 , thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz địa phương, ϕ thuộc không gian hàm chấp nhận được. Chúng tôi chứng minh sự tồn tại duy nhất, ổn định có điều kiện của nghiệm tuần hoàn và tồn tại đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn của phương trình (6) trong trường hợp A(t) sinh ra họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ. • Chương 4: Đầu tiên chúng tôi xét phương trình vi phân hàm có trễ du = A(t)u + F (t)(ut ) + g(t, ut ), dt t ∈ R+ , (7) trong đó, F (t) ∈ L(C, X) với C := C([−r, 0], X); g : R+ × C → X liên tục ϕ-Lipschitz địa phương; ut là hàm lịch sử thỏa mãn ut (θ) = u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0]. Tiếp theo chúng tôi xét phương trình vi phân hàm có trễ với không gian pha là không gian giảm nhớ (fading memory space) du = A(t)u + g(t, ut ), dt 1 t ∈ R+ , Để tiện cho việc tính toán, trong chương 3 và 4 chúng tôi sử dụng chu kì 1 10 (8) trong đó, g : R+ × Cν → X liên tục ϕ-Lipschitz địa phương với Cν := {φ : φ ∈ CR− = C((−∞, 0], X) và lim eνs φ(s) = 0, ν > 0}; s→−∞ ut là hàm lịch sử thỏa mãn ut (θ) = u(t + θ) với θ ∈ (−∞, 0]. Với các phương trình trên chúng tôi chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn và trong trường hợp họ tiến hóa tuần hoàn có nhị phân mũ chúng tôi chứng minh tính ổn định có điều kiện, tồn tại đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn. Nội dung chính của luận án dựa vào bốn bài báo được liệt kê ở "Danh mục công trình đã công bố của luận án", trong đó các bài [1],[3] được đăng trên tạp chí thuộc nhóm (SCI), bài [2] đăng trên tạp chí thuộc nhóm (SCIE) (thuộc tạp chí Quốc tế chuyên nghành trong danh mục ISI) và bài báo [4] đã gửi. Các kết quả này đã được báo cáo tại: – Hội nghị Toán học Miền Trung - Tây Nguyên, tổ chức tại Quy Nhơn Bình Định, tháng 8 năm 2015. – Hội nghị Phương trình tiến hóa, tổ chức tại Viện Nghiên cứu Cao cấp về Toán (VIASM), tháng 10 năm 2015. – Hội nghị Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình tiến hóa và ứng dụng, tổ chức tại Trường Đại học Hải Phòng, tháng 11 năm 2016. – Hội nghị Toán ứng dụng và Tin học, tổ chức tại Viện Toán ứng dụng và Tin học – Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tháng 11 năm 2016. – Seminar "Phương pháp định tính và xấp xỉ đối với phương trình tiến hóa" ,Viện nghiên cứu cao cấp về Toán (VIASM). – Seminar "Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân và ứng dụng", Trường Đại học Bách khoa Hà Nội. 11 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất của nửa nhóm liên tục mạnh, họ tiến hóa, không gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa đường thẳng R+ , không gian giảm nhớ (fading memory space), tính nhị phân mũ của họ tiến hoá và đa tạp ổn định địa phương của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính. 1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh, tính ổn định và nhị phân mũ 1.1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh Định nghĩa 1.1.1. Cho không gian Banach X, họ (T (t))t≥0 ⊂ L(X) gọi là một nửa nhóm liên tục mạnh nếu: (i) T (t + s) = T (t)T (s), ∀t, s ≥ 0. (ii) T (0) = I toán tử đồng nhất. (iii) lim T (t)x = T (0)x, ∀x ∈ X. + t→0 Định nghĩa 1.1.2. Toán tử A : D(A) ⊆ X → X xác định bởi 1 Ax := lim+ (T (h)x − x) h→0 h trên miền xác định D(A) = 1 x ∈ X : lim+ h (T (h)x − x) tồn tại h→0 gọi là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 trên không gian Banach X. 12 Định lý 1.1.3. Đối với toán tử sinh A của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 ta có: (i) A : D(A) ⊂ X → X là toán tử tuyến tính; (ii) Nếu x ∈ D(A) thì T (t)x ∈ D(A) và d dt T (t)x = T (t)Ax = AT (t)x, ∀t ≥ 0; t T (s)xds ∈ D(A); (iii) ∀t ≥ 0, x ∈ X ta có 0 (iv) ∀t ≥ 0 ta có t T (t)x − x = A T (s)xds nếu x ∈ X 0 t T (s)Axds nếu x ∈ D(A). = 0 Định nghĩa 1.1.4. Cho (A, D(A)) là toán tử đóng trong không gian Banach X. Tập các giá trị chính quy (tập giải) của A là ρ(A) = λ ∈ C | (λI − A) là song ánh . Khi đó R(λ, A) := (λI − A)−1 , λ ∈ ρ(A) là giải thức của A, σ(A) := C \ ρ(A) gọi là tập phổ của A. Định lý 1.1.5. Cho (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên không gian Banach X, lấy hằng số ω ∈ R, M ≥ 1 sao cho T (t) ≤ M eωt , ∀t ≥ 0. Khi đó với toán tử sinh (A, D(A)) của nửa nhóm (T (t))t≥0 ta có các tính chất sau: ∞ (i) Nếu λ ∈ C sao cho R(λ)x := e−λs T (t)xds tồn tại, ∀x ∈ X thì 0 λ ∈ ρ(A) và R(λ, A) = R(λ). 13 (ii) Nếu Reλ > ω thì λ ∈ ρ(A) và R(λ, A) = R(λ). (iii) R(λ, A) ≤ M Reλ−ω , ∀Reλ > ω. +∞ Chú ý rằng, công thức R(λ, A)x = e−λs T (s)xds gọi là biểu diễn tích 0 phân của giải thức. Tích phân ở đây là tích phân Riemann suy rộng +∞ t e−λs T (s)xds = lim e−λs T (s)xds. t→+∞ 0 1.1.2 0 Tính ổn định và nhị phân mũ Trong phần này, chúng tôi điểm lại một số khái niệm về ổn định mũ, nhị phân mũ của nửa nhóm liên tục mạnh, đặc trưng phổ cho tính ổn định và nhị phân của nửa nhóm (xem[29, 30]). Trước hết là khái niệm ổn định mũ đều: Định nghĩa 1.1.6. Nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 với toán tử sinh (A, D(A)) được gọi là ổn định mũ đều nếu tồn tại > 0 sao cho lim e t T (t) = 0. t→∞ Tiếp theo là khái niệm nhị phân mũ của nửa nhóm. Định nghĩa 1.1.7. Nửa nhóm (T (t))t≥0 trên không gian Banach X được gọi là có nhị phân mũ (hoặc hyperbolic) nếu X có thể viết thành tổng trực tiếp X = Xs ⊕ Xu , các không gian con đóng Xs , Xu bất biến đối với (T (t))t≥0 sao cho hạn chế của (Ts (t))t≥0 trên Xs , và (Tu (t))t≥0 trên Xu thỏa mãn các điều kiện: (i) Nửa nhóm (Ts (t))t≥0 là ổn định mũ đều trên Xs ; (ii) Nửa nhóm (Tu (t))t≥0 có nghịch đảo trên Xu và (Tu (t)−1 )t≥0 ổn định mũ đều trên Xu . 14 Để xây dựng các đặc trưng phổ cho tính ổn định mũ đều và nhị phân mũ của nửa nhóm, ta cần đến khái niệm cận phổ của toán tử đóng và cận tăng của nửa nhóm được xác định trong các định nghĩa sau đây. Định nghĩa 1.1.8. Cho A : D(A) ⊂ X → X là toán tử đóng trên không gian Banach X. Khi đó s(A) := sup{Reλ : λ ∈ σ(A)} được gọi là cận phổ của A. Định nghĩa 1.1.9. Cho nửa nhóm liên tục mạnh T = (T (t))t≥0 với toán tử sinh (A, D(A)). Khi đó, số thực ω0 := ω0 (T ) := ω0 (A) := inf ω ∈ R : ∃M > 1 sao cho T (t) ≤ M eωt , ∀t ≥ 0 được gọi là cận tăng của T . Chú ý 1.1.10. Nửa nhóm (T (t))t≥0 ổn định mũ đều khi và chỉ khi ω0 (A) < 0. Tuy nhiên, ta muốn đặc trưng tính ổn định mũ theo phổ của toán tử sinh vì trong thực tế nửa nhóm rất khó xác định tường minh, còn toán tử sinh có thể xác định cụ thể. Để làm điều đó ta cần đến khái niệm "Định lý Ánh xạ phổ (Spectral Mapping Theorem - SMT)" sau đây. Định nghĩa 1.1.11. Nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 với toán tử sinh (A, D(A)) được gọi là thỏa mãn Định lý Ánh xạ phổ (SMT) nếu: σ(T (t))\{0} = etσ(A) với t ≥ 0. (SMT) Lưu ý: trong trường hợp tổng quát điều kiện s(A) < 0 không kéo theo tính ổn định mũ của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 sinh bởi A (chẳng 15 hạn xem [24, Ví dụ 1.2.4]). Tuy nhiên, nếu (T (t))t≥0 thỏa mãn Định lý Ánh xạ phổ thì ta có đặc trưng sau: (T (t))t≥0 ổn định mũ đều khi và chỉ khi s(A) < 0. Để đặc trưng cho tính nhị phân mũ ta có định lý sau đây (xem [30]). Định lý 1.1.12. Đối với nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 , các mệnh đề sau là tương đương: (i) (T (t))t≥0 có nhị phân mũ; (ii) σ(T (t)) ∩ D = ∅ với một/ mọi t > 0, trong đó D là đường tròn đơn vị. Trường hợp (T (t))t≥0 thỏa mãn Định lý Ánh xạ phổ (SMT) và A là toán tử sinh của nó, thì ta có các mệnh đề trên tương đương với (iii) σ(A) ∩ iR = ∅. Trong định lý trên, lưu ý rằng giả thiết (T (t))t≥0 thỏa mãn Định lý Ánh xạ phổ có thể thay bằng giả thiết nhẹ hơn, đó là: σ(A) và σ(T (t)) thỏa mãn σ(T (t)) ⊂ D.etσ(A) := {z.etλ : λ ∈ σ(A), |z| = 1}, ∀t ≥ 0. 1.2 Không gian hàm Banach chấp nhận được và không gian giảm nhớ 1.2.1 Không gian hàm Banach chấp nhận được Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về không gian hàm chấp nhận được (xem [34]). Định nghĩa 1.2.1. Một không gian vector E gồm các hàm thực đo được Borel trên R+ được gọi là không gian hàm Banach trên (R+ , B, λ), trong đó B là đại số Borel và λ là độ đo Lebesgue trên R+ , nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: 16
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan