Tài liệu Một số vấn đề về hạng trong đại số tuyến tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------------------------------- PHAN THỊ HƯỜNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HẠNG TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Sư phạm Toán học Phú Thọ, 2019 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------------------------------- PHAN THỊ HƯỜNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HẠNG TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Sư phạm Toán học NGƯỜI HƯỚNG DẪN: ThS. Nguyễn Thị Thanh Tâm Phú Thọ, 2019 i LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực hiện nghiên cứu khóa luận tốt nghiệp, ngoài sự cố gắng của bản thân, em được nhận rất nhiều sự giúp đỡ của thầy cô và các bạn. Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới cô giáo Nguyễn Thị Thanh Tâm, là người trực tiếp hướng dẫn, tận tình giúp đỡ và chỉ bảo em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận này. Cô là người giúp đỡ em lĩnh hội và nắm vững các kiến thức chuyên môn cũng như rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học. Bên cạnh đó, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô là giảng viên của khoa Khoa học tự nhiên trường Đại học Hùng Vương, cùng gia đình, bạn bè là những người luôn ủng hộ, động viên và tạo điều kiện cho em trong suốt quá trình học tập cũng như trong quá trình thực hiện và hoàn chỉnh khóa luận. Mặc dù đã rất cố gắng nhưng khóa luận không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Vì vậy em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn! Việt Trì, tháng 05 năm 2019 Sinh viên Phan Thị Hường ii MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ................................................................................................... i MỤC LỤC ........................................................................................................ ii MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1 1.Tính cấp thiết của đề tài .............................................................................. 1 2. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn.................................................................... 2 3. Mục tiêu nghiên cứu.................................................................................... 2 Chương 1. HẠNG CỦA HỆ VECTƠ ............................................................ 3 1.1. Một số khái niệm liên quan ..................................................................... 3 1.1.1. Không gian vectơ .................................................................................... 3 1.1.2. Hệ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính ....................................... 3 1.1.3. Cơ sở của một không gian vectơ ............................................................ 5 1.1.4. Số chiều của không gian vectơ hữu hạn sinh .......................................... 6 1.2. Hệ con độc lập tuyến tính tối đại ............................................................ 8 1.4. Hạng của một hệ hữu hạn vectơ ........................................................... 10 1.5. Tìm cơ sở, số chiều của không gian sinh bởi một hệ vectơ bằng máy tính điện tử ..................................................................................................... 11 1.6. Một số bài toán về hạng của hệ vectơ ................................................... 14 CHƯƠNG 2. HẠNG CỦA ĐỒNG CẤU VÀ MA TRẬN ......................... 21 2.1. Định nghĩa đồng cấu .............................................................................. 21 2.2. Định nghĩa ma trận ................................................................................ 22 2.3. Hạng của ma trận ................................................................................... 22 2.4. Cách tìm hạng của ma trận ................................................................... 27 2.4.1 Tìm hạng của một ma trận bằng phương pháp định thức ...................... 27 2.4.2. Tìm hạng của một ma trận bằng phương pháp sử dụng các phép biến đổi sơ cấp......................................................................................................... 29 2.5. Một số bài toán về hạng của đồng cấu và ma trận.............................. 31 CHƯƠNG 3. NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN HẠNG .................... 38 3.1. Hạng và hệ phương trình tuyến tính .................................................... 38 3.2. Hạng của dạng toàn phương ................................................................. 47 iii 3.2.1.Các định nghĩa........................................................................................ 47 3.2.2. Hạng và hạch của dạng toàn phương................................................. ... 50 KẾT LUẬN....................................................................................................58 TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................59 iv CÁC KÍ HIỆU M mn   Tập hợp các ma trận cấp m  n trên rank  A  Hạng của ma trận A dimV Số chiều của không gian V t Ma trận chuyển vị của ma trận A A A  (a ij ) Ma trận A với i dòng và j cột AB Tổng của hai ma trận A và B AB Tích của hai ma trận A và B f g tổng của hai hàm f và g f .g Tích của hai hàm f và g Imf Ảnh của không gian V hay ảnh của ánh xạ tuyến tính f Kerf Hạt nhân của ánh xạ tuyến tính f  Vectơ, một phần tử của không gian vectơ A Định thức của ma trận A min  m, n  Giá trị nhỏ nhất của m và n E Ma trận đơn vị Dk Định thức con cấp k khác không Aij Phần phụ đại số của phần tử a ij Abs Ma trận bổ sung của ma trận A Mat(n,  ) Tập hợp các ma trận vuông cấp n với các thành phần thuộc trường  f :V  W Ánh xạ tuyến tính đi từ không gian V đến không gian W WZ tổng trực tiếp của W, Z W Z tổng trực tiếp trực giao của W, Z v C1 Ma trận nghịch đảo của ma trận C char  K  Đặc số của trường K 1 MỞ ĐẦU 1.Tính cấp thiết của đề tài Đại số tuyến tính là một nội dung nghiên cứu về không gian vectơ, hệ phương trình tuyến tính và các phép biến đổi tuyến tính giữa chúng. Nó được đưa vào giảng dạy ở hầu hết các trường đại học và cao đẳng như môn học cơ sở cần thiết để tiếp thu những môn học khác. Ở hầu hết các trường đại học ở Việt Nam và trên thế giới, Đại số tuyến tính là một trong những môn nền tảng bắt buộc học ở giai đoạn đại cương. Đại số tuyến tính được sử dụng nhiều trong Toán học như Đại số đại cương, Giải tích hàm, Hình học giải tích,… Nó là môn cơ bản, môn thi bắt buộc đối với mọi sinh viên trong đại học ngành Toán. Nhắc tới Đại số tuyến tính, chúng ta không thể không nhắc tới khái niệm hạng và bài tập liên quan đến hạng. Hạng là một trong những nội dung quan trọng của Đại số tuyến tính. Hạng trong Đại số tuyến tính là công cụ cơ bản để giải quyết các bài toán về Đại số tuyến tính nói chung và các bài toán về hệ vectơ, ma trận, hệ phương trình tuyến tính nói riêng. Ngoài ra, nó là một trong các nội dung không thể thiếu trong các kỳ thi sinh viên giỏi, đặc biệt là kỳ thi Olympic Toán. Tuy nhiên, đa số sinh viên năm đầu ở Việt Nam cảm thấy khá bỡ ngỡ khi lần đầu tiếp xúc với hạng, vì nhiều lý do khác nhau nhưng chủ yếu là do lý thuyết của nó khá mới lạ, tương đối dài và mang tính trừu tượng cao. Với mong muốn chia sẻ những trở ngại với các sinh viên năm thứ nhất khi học Đại số tuyến tính, hiểu được trở ngại các bạn đang gặp phải, thêm vào đó là niềm yêu thích đối với Đại số tuyến tính, để giúp đỡ các bạn đến gần và yêu thích môn học này hơn, tôi chọn viết khóa luận tốt nghiệp: “Một số vấn đề về hạng trong Đại số tuyến tính” với mong muốn tìm hiểu về hạng trong Đại số tuyến tính, các kiến thức liên quan và vận dụng để giải một số bài toán Đại số. 2 2. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn - Ý nghĩa khoa học: Khóa luận đã phân tích và làm rõ khái niệm của hạng trong Đại số tuyến tính, khai thác một số bài toán về hạng của hệ vectơ, của ma trận và các vấn đề liên quan đến hạng trong Đại số tuyến tính. - Ý nghĩa thực tiễn: Khóa luận có thể là tài liệu tham khảo cho những sinh viên chuyên ngành Toán trường Đại học Hùng Vương, đặc biệt là những bạn đam mê thi Olympic Toán và học Toán Cao cấp. Với bản thân, qua việc nghiên cứu khóa luận tôi đã hệ thống cũng như ôn tập lại những kiến thức đã học về định nghĩa và một số tính chất về hạng, các phương pháp tính hạng, đặc biệt có được cái nhìn tổng quan về hạng, về những ứng dụng của nó. 3. Mục tiêu nghiên cứu  Phân tích và làm rõ khái niệm hạng trong Đại số tuyến tính.  Khai thác một số bài toán về hạng của hệ vectơ, của ma trận và các vấn đề liên quan đến hạng trong Đại số tuyến tính. 3 Chương 1. HẠNG CỦA HỆ VECTƠ 1.1. Một số khái niệm liên quan 1.1.1. Không gian vectơ Cho V là một tập hợp mà các phần tử được ký hiệu là: , , ,..., K là một trường mà các phần tử được ký hiệu là a, b, c, x, y, z,... Trên V ta có hai phép toán: • Phép cộng hai phần tử của V : :VV  V (, )     • Phép nhân một phần tử của V với một phần tử của K : .: K  V  V  x, a   x.a Giả sử đối với mọi , ,   V, mọi x, y  K các điều kiện sau được thỏa mãn: 1.               , 2. Tồn tại vectơ  sao cho         , 3. Với mỗi  có một phần tử  ' sao cho         , 4.       , 5. x.       x.  x., 6.  x  y  .  x.  y., 7.  xy  .  x.  y.  , 8. 1.  , trong đó 1 là phần tử đơn vị của trường K. Khi đó ta nói rằng V là một không gian vectơ trên trường K (hoặc V là K −không gian vectơ). Ta cũng nói V là không gian tuyến tính trên trường K. 1.1.2. Hệ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Định nghĩa 1.1. Cho m vectơ 1 ,  2 ,...,  m của không gian vectơ V trên trường K, m  1. 4 1. Hệ vectơ 1 ,  2 ,...,  m được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại m phần tử x1 , x 2 , ..., x m  K không đồng thời bằng 0 sao cho: x11  x2 2  ...  xm m   . 2. Hệ vectơ 1 ,  2 ,...,  m được gọi là độc lập tuyến tính nếu nó không phụ thuộc tuyến tính, hay một cách tương đương x11  x 2  2  ...  x m  m   kéo theo x1  x 2  ...  x m  0. 3. Tập S  V được gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi hệ con hữu hạn của S đều độc lập tuyến tính. Ví dụ 1.1. 1. Trong không gian hình học 3 • Hệ hai vectơ cùng phương là phụ thuộc tuyến tính. • Hệ hai vectơ không cùng phương là độc lập tuyến tính. • Hệ ba vectơ đồng phẳng là phụ thuộc tuyến tính. • Hệ ba vectơ không đồng phẳng là độc lập tuyến tính. • Hệ bốn vectơ bất kỳ là phụ thuộc tuyến tính. 2. Trong không gian vectơ 3 , hệ vectơ: 1  1;  2; 0  ,  2   0; 1; 2  , 3   1; 4; 4  là phụ thuộc tuyến tính vì: 1.1;  2; 0   2. 0; 1; 2   1.  1; 4; 4   1;  2; 0    0;  2;  4    1; 4; 4   1  0  1;  2  2  4; 0  4  4    0; 0; 0 . + Hệ vectơ: 1  1; 0; 0  , 2  1; 1; 0  , 3  1; 1; 1 là độc lập tuyến tính. Thật vậy, nếu: x11  x 22  x 33   thì: x1 1; 0; 0   x 2 1;1; 0   x 3 1; 1; 1  . hay  x1  x 2  x 3 ; x 2  x 3 ; x 3    0; 0; 0 . 5  x1  x 2  x 3  0  Từ đó suy ra:  x 2  x 3  0 x  0  3 Dođó: x1  x 2  x 3  0. 3. Trong  không gian vectơ Pn  x  các đa thức hệ số thực một biến gồm đa thức không và các đa thức có bậc không vượt quá n, hệ các đa thức 1; x; x 2 ;...; x n là độc lập tuyến tính. Thật vậy, giả sử có: a 0  a1x  a 2 x 2  ...  a n x n  , trong đó  là đa thức không của Pn  x . Bằng cách đồng nhất hệ số ở hai vế ta được a1  a 2  ...  a n  0. 1.1.3. Cơ sở của một không gian vectơ Định nghĩa 1.2. Giả sử V là K  không gian vectơ. Một hệ vectơ trong V được gọi là một hệ sinh của V nếu mọi vectơ của V đều biểu thị tuyến tính qua hệ đó. Nếu V có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì V được gọi là K −không gian vectơ hữu hạn sinh. Định nghĩa 1.3. Một hệ sinh độc lập tuyến tính trong không gian vectơ V được gọi là một cơ sở của V. Ví dụ 1.2. 1. Trong không gian vectơ hình học 3 tập ba vectơ không đồng phẳng tùy ý lập thành một cơ sở. 2. Trong −không gian vectơ n , hệ gồm các vectơ: 1  1; 0;...; 0  , 2   0; 1;...; 0  ,..., n   0; 0;...; 1 là một cơ sở. Thật vậy, mỗi vectơ    a1 ; a 2 ;...; a n   n đều viết được dưới dạng: 6    a1 ; 0;...; 0    0; a 2 ;...; 0   ...  0; 0;...; a n   a11  a 2  2  ...  a n  n . Hơn nữa, hệ vectơ 1 ,  2 ,...,  n độc lập tuyến tính vì: Nếu: x11  x 2  2  ...  x n  n   thì:  x1 ; x 2 ; ... ; x n    0; 0; ... ; 0  hay x1  x 2  ...  x n  0. Cơ sở 1 ;  2 ;...;  n được gọi là cơ sở chính tắc của n . 1.1.4. Số chiều của không gian vectơ hữu hạn sinh Bổ đề 1.1. Trong không gian vectơ V cho hai hệ vectơ: 1 ;  2 ;...;  r , 1.1 1 ; 2 ;...; s . 1.2  Nếu hệ (1.1) độc lập tuyến tính và mỗi vectơ của hệ (1.1) là tổ hợp tuyến tính của hệ (1.2) thì r  s. Chứng minh. Theo giả thiết ta có: 1  x11  x 22  ...  x ss . Do hệ (1.1) độc lập tuyến tính nên 1   từ đó suy ra các vô hướng x i không đồng thời bằng 0. Giả sử x1  0, khi đó: 1  x x 1 1  2 2  ...  s s x1 x1 x1 (1.3) Thay 1 trong (1.2) bởi 1 , ta được hệ: 1 ; 2 ;...; s . (1.4) Theo giả thiết mọi vectơ của hệ (1.1) đều biểu thị tuyến tính qua các vectơ của hệ (1.2), theo công thức (1.3) mỗi vectơ của hệ (1.2) đều biểu thị tuyến tính qua các vectơ của hệ (1.4). Từ đó mỗi vectơ của hệ (1.1) đều biểu thị tuyến tính qua các vectơ của hệ (1.4). Do đó:  2  y11  y 22  ...  yss . 7 Hệ (1.1) độc lập tuyến tính nên trong số các hệ số y 2 ;...; ys phải có một số khác 0, giả sử y 2  0. Khi đó: 2   y y y1 1 1  2  3 3  ...  s s y2 y2 y2 y2 (1.5) Ta lại thay  2 trong hệ (1.4) bởi  2 và được hệ: 1 ;  2 ; 3 ;...; s . (1.6) Từ (1.3) và (1.5) suy ra mọi vectơ của hệ (1.1) đều biểu thị tuyến tính qua hệ (1.6). Nếu r  s thì tiếp tục quá trình trên sau một số hữu hạn bước, hệ (1.2) sẽ được thay thế bởi hệ: 1 ;  2 ;...; s , (1.7) trong đó mọi vectơ của hệ (1.1) đều biểu thị tuyến tính qua hệ (1.7). Điều này trái với giả thiết hệ (1.1) độc lập tuyến tính. Do đó: r  s. Định nghĩa 1.4. Số các vectơ của một cơ sở của không gian vectơ hữu hạn sinh V được gọi là số chiều của V, ký hiệu là: dimV. Nếu dimV  n thì V được gọi là không gian vectơ n chiều. Không gian chỉ gồm có một vectơ  không có cơ sở, quy ước: dim    0. Ví dụ 1.3. 1. dimK n  n vì Kn có một cơ sở là: 1  1; 0;...;0  , 2   0; 1;...;0  , ..., n  (0; 0;...; 1). 2. dim Pn  x   n  1 vì Pn  x  có một cơ sở là 1; x; x 2 ;...; x n . 3. dim E 2  2 vì E 2 có một vectơ cơ sở là hai vectơ đơn vị: i  1; 0  và j   0; 1. dim E3  3 vì E 3 có một vectơ cơ sở là ba vectơ đơn vị: i  1; 0; 0  , j   0; 1; 0  , k   0; 0; 1. 8 1.2. Hệ con độc lập tuyến tính tối đại − Cho hệ  gồm m vectơ (m  1) của không gian vectơ V trên trường K. Hệ  gồm r vectơ của hệ  được gọi là hệ con độc lập tuyến tính tối đại nếu  độc lập tuyến tính và mọi vectơ của hệ  đều biểu thị tuyến tính được qua hệ . Hệ quả 1.1. + Hệ quả 1: Nếu thêm vào một hệ hữu hạn vectơ đã cho một tổ hợp tuyến tính của hệ thì hạng của hệ mới bằng hạng của hệ đã cho. + Hệ quả 2: Hai hệ hữu hạn vectơ tương đương có cùng hạng. Định nghĩa 1.5. Hai hệ hữu hạn vectơ của một không gian vectơ V được gọi là tương đương nếu mỗi vectơ của hệ này biểu thị tuyến tính được qua hệ kia. 1.3.Hạng của hệ vectơ Định nghĩa 1.6. Hạng của một hệ vectơ 1 ;  2 ;...;  m trong không gian vectơ V là số chiều của không gian vectơ con sinh bởi 1 ;  2 ;...;  m . Nhận xét 1.1. Ký hiệu W là không gian con sinh bởi hệ vectơ: 1 ;  2 ;...;  m . (1.8) Ta có thể tìm được một hệ con của hệ (1.8) mà là cơ sở của W. Đó là một hệ con độc lập tuyến tính có tính chất mọi vectơ của hệ (1.8) đều biểu thị tuyến tính qua nó. Một hệ con như thế được gọi là một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ (1.8). Như vậy, để tìm hạng của một hệ vectơ, ta tìm số vectơ độc lập tuyến tính tối đại của hệ đó. Ví dụ 1.4. Tìm hạng của hệ vectơ: 1  (1; 3; 4),  2  (0; 2; 5), 3  (2; 4; 3),  4  (1;  1; 1) 9 trong không vectơ 3 . Lời giải. Nhận thấy hệ 1 ,  2 độc lập tuyến tính. Thật vậy, từ x11  x 2  2  , tacó:   x1  0  3x1  2x 2  0 4x  5x  0 2  1 Suy ra x1  x 2  0 . Mặt khác  3  21   2 và  4  1   2 nên 1 ,  2 là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ 1 ,  2 , 3 ,  4 . Do đó hạng của hệ này bằng 2. Mệnh đề 1.1. Nếu thêm vào một hệ vectơ một tổ hợp tuyến tính của hệ thì hạng của hệ mới bằng hạng của hệ đã cho. Chứng minh.   Giả sử A  1 ;  m ;...;  m , rank  A   n. Thêm vào A vectơ   b1 1  b 2  2  ...  b m  m , ta được hệ:   B  1 ;  2 ;...;  m ;  Gọi W, W' lần lượt là những không gian sinh bởi hệ A và hệ B. Vì A  B nên W  W'. Ngược lại, giả sử   W'. Khi đó  là một tổ hợp tuyến tính của hệ B, chẳng hạn:   r1 1  ...  rm  m  r  r1 1  ...  rm  m  r(b1 1  ...  b m  m )   r1  rb1  1  ...   rm  rbm  m  W'. Do đó: W'  W. Vậy: W  W'. Suy ra: rank  B  dim(W')  dim(W)  rank  A . 10 Ta có điều phải chứng minh. 1.4. Hạng của một hệ hữu hạn vectơ Định nghĩa 1.7. Cho một hệ gồm m vectơ của không gian vectơ V, m  1. Số vectơ của hệ con độc lập tuyến tính tối đại được gọi là hạng của hệ vectơ đã cho. Ví dụ 1.5. Tìm hạng của hệ vectơ sau: 1  1; 1; 1; 1 , 2  1;  1; 1;  1 , 3  1; 3; 1; 3 , 4  1; 2; 0; 2 , 5  1; 2; 1; 2 . Lời giải. Cách 1: Dùng định nghĩa: Ta có 1 , 2 không tỉ lệ nên độc lập tuyến tính. Nếu 3  x 1  y2 thì: x  y  1 x  y  3   x  y  1  x  y  3 Vậy 3  21  2 , nghĩa là 1 , 2 , 3 phụ thuộc tuyến tính. Nếu 4  x1  y2 thì: x  y  1 x  y  2   x  y  0  x  y  2 Khi đó không tồn tại giá trị của x và y thỏa mãn hệ trên. Từ đó: 1 , 2 , 4  độc lập tuyến tính. Nếu 5  x 1  y2  z3 thì: x  y  z  1  x  y  2z  2    x  y  0z  1  x  y  2z  2 11 3 1 3 1  x  , y   5  1  2  1 , 2 , 4 , 5  phụ thuộc tuyến tính. 2 2 2 2 Vậy hạng của hệ đã cho bằng 3. Cách 2: 1 1 1 1  1 1  1 1 1 3 1 3 1 2 0 2 1 1 0 d1  d 2 2  dd32  d1  d3   d 4 d 2  d 4 0 1   2 0 1 1 1 1 2 2 1 1 0 0 1 0  0 0 0 0 Vậy hạng của hệ đã cho bằng 3. Tính chất 1.1. Cho hệ vectơ S  1 ; 2 ; ; m  trong n + Nếu rank S  r thì mọi vectơ của S đều biểu thị tuyến tính qua hệ con bất kì (của S ) có r vectơ độc lập tuyến tính. m + Nếu u    i i thì rank S  rank (S'), trong đó S'  S  u. i 1 + Nếu mọi vectơ của hệ 1 ; 2 ; ; m  đều biểu thị tuyến tính qua các vectơ   của hệ W1 ; W2 ; ; Wp  thì rank 1 ; 2 ; ; m   rank W1 ; W2 ; ; Wp  . 1.5. Tìm cơ sở, số chiều của không gian sinh bởi một hệ vectơ bằng máy tính điện tử Muốn tìm cơ sở và số chiều của không gian W sinh bởi một hệ vectơ H ta chỉ cần tìm một định thức con cấp cao nhất khác 0 của ma trận A thiết lập bởi hệ vectơ đã cho. Nếu dimW  rank  A  và định thức con cấp cao nhất khác 0 nằm ở những dòng nào thì những vectơ dòng ấy lập thành một cơ sở. Nhờ các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận, máy tính điện tử có thể thực hiện các phép biến đổi ấy để biến một ma trận đã cho thành một ma trận cùng hạng mà ta có thể nhận ra ngay định thức cấp cao nhất khác 0. Từ đó suy ra hạng của ma trận, cũng là hạng của hệ vectơ và số chiều cần tìm. 12 Ví dụ 1.6. Tìm số chiều của không gian W sinh bởi hệ vectơ: H 1   1;  1; 2; 0;  1 ,  2   2; 2; 0; 0;  2  , 3   2;  1;  1; 0; 1 ,  4   1;  1; 1; 2; 2  , 5  1;  2; 2;  2; 0  Lời giải. Để tạo ma trận đánh lệnh: A  1;  1; 2; 0;  1 ,2; 2; 0; 0;  2, 2;  1;  1; 0; 1, 1;  1; 1; 2; 2 ,1;  1;  1; 0; 1 . Trên màn hình xuất hiện: Out[1]: 1;  1; 2; 0;  1 ,2; 2; 0; 0;  2 ,2;  1;  1; 0; 1 , 1;  1; 1; 2; 2 ,1;  1;  1; 0; 1 Để lập ma trận thu gọn đánh tiếp lệnh: RowReduce  A  / /MatrixForm Màn hình xuất hiện: Out  2 : MatrixForm 1 0  0  0 0  0 1 0 0 0 0 2 0  0 2 0  1 2 0   0 0 1 0 0 0  Trong ma trận này ta thấy ngay định thức con cấp cao nhất khác 0 là: 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 Vậy hạng của ma trận bằng 4. Nhưng các phép biến đổi mà máy thực hiện cho ta một ma trận cùng hạng với ma trận A nên rank  H   rank  A   4  dimW. Để tìm cơ sở của không gian ta cần chú ý rằng khi biến đổi ma trận, theo chương trình Mathematica 4.0, máy tính có thể đổi chỗ các dòng do đó 13 thứ tự các dòng bị thay đổi. Vì thế nhìn vào ma trận thu được trên màn hình ta không biết được cơ sở gồm những vectơ nào trong các vectơ đã cho. Tuy nhiên máy tính không thay đổi cột. Để tránh phải lập một ma trận cột ở giấy nháp, ta vẫn lập ma trận dòng rồi lấy ma trận chuyển vị. Ví dụ 1.7. Tìm cơ sở của không gian W sinh bởi hệ vectơ: H  1   2; 4; 2; 5  ,  2   3; 1; 0; 7  , 3   1; 9; 4; 17  ,  4  1; 0; 2; 1 Lời giải. Đánh lệnh tạo ma trận: A  2; 4; 2; 5,3; 1; 0; 7,1; 9; 4; 17,1; 0; 2; 1  Màn hình xuất hiện: Mat  n, K  , A   a ij  , B   bij . Để lập ma trận chuyển vị, đánh lệnh: Out  2  2; 3;  1; 1,4; 1; 9; 0,2; 0; 4; 2,5; 7; 17; 1 Để tìm ma trận thu gọn, đánh lệnh: RowReduce  tA / /MatrixForm Màn hình xuất hiện: Out 3  MatrixForm 1 0  0  0 0 1 0 0 2 1 0 0 0 0  1  0 Ma trận này cho ta định thức con cấp cao nhất khác 0 là: 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Vậy hạng của ma trận bằng 3: rank  t A   rank  A   rank  H  . Định thức con cấp cao nhất khác 0 nằm ở các cột thứ nhất, thứ hai, thứ tư, do đó các vectơ cột 1 ;  2 ;  4 lập thành một cơ sở.