Tài liệu Một số ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA TOÁN - TIN ----------------------- NGUYỄN THỊ ĐỨC MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Sư phạm Toán học Phú Thọ, 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA TOÁN - TIN ----------------------- NGUYỄN THỊ ĐỨC MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Sư phạm Toán học NGƯỜI HƯỚNG DẪN: ThS. TRẦN ANH TUẤN Phú Thọ, 2018 1 MỞ ĐẦU 1. Tính cấp thiết của đề tài khoá luận Trong những năm gần đây, nhờ sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết kỹ thuật số và ứng dụng của nó trong khoa học cũng như trong cuộc sống hàng ngày mà lý thuyết về phương trình sai phân tuyến tính và ứng dụng của nó đã thu hút được rất nhiều sự quan tâm nghiên cứu của các nhà khoa học trong và ngoài nước, cũng như các thầy, cô giáo và các bạn sinh viên của các trường Đại học, Cao đẳng trên cả nước. Phương trình sai phân tuyến tính không chỉ có ứng dụng trong Toán học thuần tuý mà còn có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học như: Sinh học, Kinh tế, Hóa học,… Phương trình sai phân tuyến tính không phải ở bậc Đại học hay cao hơn Đại học mới xuất hiện mà phương trình sai phân đã xuất hiện ở bậc Trung học phổ thông cũng như trong các kì thi học sinh giỏi Toán thông qua những bài toán hay và khó về dãy số, giới hạn, tích phân,… được cho dưới dạng một phương trình sai phân tuyến tính hay sử dụng phương trình sai phân tuyến tính để giải. Qua đó ta thấy phương trình sai phân tuyến tính còn có cả ứng dụng trong giải các bài toán sơ cấp để phục vụ cho việc giảng dạy Toán học phổ thông. Phương trình sai phân và ứng dụng của nó rất quan trọng, nó không những góp phần giải quyết các bài toán dãy số mà còn giúp giải một số bài toán khác như: phương trình hàm, đa thức, tích phân,… Chính vì vậy mà nhiệm vụ nghiên cứu những ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính đã được rất nhiều các thầy, cô giáo và các nhà khoa học trên thế giới quan tâm nghiên cứu. Tuy nhiên đây vẫn là một nhiệm vụ cấp thiết và quan trọng cần được nghiên cứu, tìm tòi hơn nữa. Việc tổng hợp có hệ thống các kiến thức cơ bản về phương trình sai phân tuyến tính và tổng hợp một số ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính sẽ giúp mọi người có thêm tài liệu để nghiên cứu về phương trình sai phân tuyến tính, để từ đó 2 mở rộng các ứng dụng đó trong thực tiễn giảng dạy, đưa những ứng dụng của khoa học vào đời sống. Đó chính là những lí do em chọn nghiên cứu đề tài khoá luận “ Một số ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính ”. 2. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn 2.1. Ý nghĩa khoa học Khoá luận nêu được một số ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính trong Toán học minh họa qua các ví dụ cụ thể và nêu một số ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính trong Sinh học và Kinh tế. 2.2. Ý nghĩa thực tiễn Khoá luận tạo điều kiện cho việc dạy và học Toán tốt hơn, đạt kết quả cao hơn và là tài liệu tham khảo cho thầy cô và các bạn sinh viên ngành Sinh học, Kinh tế. 3. Mục tiêu khoá luận Minh họa một số ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính trong Toán học thông qua các ví dụ cụ thể và nêu một số ứng dụng của phương trình sai phân trong Sinh học và Kinh tế. 3 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐẠT ĐƯỢC CHƯƠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH 1.1. Dãy số, hàm lưới và sai phân 1.1.1. Dãy số Định nghĩa 1.1 *  Mỗi hàm số u xác định trên tập (hay tập * Cho hàm số u :  (hay u : ) xác định bởi un  u  n  . ) được gọi là một dãy số vô hạn, gọi tắt là dãy số. Kí hiệu là un  hay  un  . Như vậy ta có thể xem dãy số là một hàm đối số tự nhiên n . Dãy  un  xác định trên tập có dạng khai triển là: u1 , u2 ,..., un ,... Ví dụ 1.1: Dãy số tự nhiên xác định bởi un  n, n  . Dạng khai triển là  un  : 0,1,2,3,..., n . Ví dụ 1.2: Dãy số điều hoà xác định bởi un  Dạng khai triển là  un  : 1 , n  2n * . 1 1 1 1 , , ,..., ,... 2 4 6 2n 1.1.2. Hàm lưới Định nghĩa 1.2 Gọi các đường lưới là các đường thẳng song song với các trục toạ độ bị hạn chế bởi miền D  0  x  1, 0  t  T  trên hệ trục Oxt . Khi ấy: Các đường thẳng song song với trục Ot có phương trình: x  xm  mh . Trong đó: m  0,1, 2,..., M ; Mh  1 . Các đường thẳng song song với trục Ox có phương trình: t  tn  n . Trong đó: n  0,1,..., N ; N  T . Ta gọi: h là bước lưới theo không gian,  là bước lưới theo thời gian. Giao điểm của các đường lưới x  xm và t  tn được gọi là điểm lưới  m, n  . 4 Tập hợp các điểm lưới  m, n  được gọi là lưới, kí hiệu là h . Hàm u  x, t  tại điểm lưới  m, n  có giá trị u  mh, n  được kí hiệu là umn   Tập hợp umn được gọi là hàm lưới. 1.1.3. Sai phân Định nghĩa 1.3 Sai phân hữu hạn cấp một của hàm số x  n  là hiệu xn1  xn , kí hiệu là xn . Vậy: xn  xn1  xn . Định nghĩa 1.4 Sai phân hữu hạn cấp k của hàm số  xn  là sai phân của sai phân cấp  k  1 của hàm số  xn  (với k  2 ), kí hiệu là  k xn . Vậy:  k xn  ( k 1 xn )   k 1 (xn )   k 1 xn1   k 1 xn . * Các tính chất: Tính chất 1.1 Mọi sai phân đều có thể biểu diễn qua các giá trị của hàm số. k Công thức:  ( k ) xn   (1)i cki xn k i , (với cki  i 0 k! ). i !(k  i )! Tính chất 1.2 Sai phân mọi cấp của hàm số là một toán tử tuyến tính Công thức:  k  (axn  byn )  a  k  xn  b k  yn , (với a, b  , k  1,2,... ) Tính chất 1.3 Sai phân cấp k của đa thức bậc m là: i) Đa thức bậc m  k nếu k  m ii) Hằng số nếu k  m iii) Bằng 0 nếu k  m Tính chất 1.4 N   k  xn   k 1 xN 1   k 1 xi (với k  1,2,... ) n i 5 N Đặc biệt khi k  1 , ta có:  xn  xN 1  xi . n i Tính chất 1.5 ( xn yn )  xn yn  yn1xn . 1.2. Phương trình sai phân tuyến tính 1.2.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.5 Phương trình sai phân tuyến tính là một hệ thức tuyến tính của sai phân các cấp. Dạng: F ( xn , xn ,  2  xn ,...,  k  xn )  0. (1) Trong đó:   k  xn là sai phân cấp k của xn , k là bậc của phương trình sai phân. Định nghĩa 1.6 Phương trình sai phân tuyến tính của hàm xn là một hệ thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm xn tại các điểm khác nhau. Dạng: Lh ( xn )  a0 xn k  a1xn k 1  ...  ak xn  f n. (2) Trong đó: a0 , a1 ,..., ak (với a0  0, ak  0 ) là các hệ số biểu thị bởi hằng số cho trước hay các hàm số của n ; h : khoảng cách giữa các mối, còn gọi là bước lưới, h  xn1  xn ; Lh xn là toán tử tuyến tính tác dụng lên hàm số xn xác định trên lưới có bước lưới h ; f n là một hàm số của biến n ; xn là ẩn số cần tìm. Định nghĩa 1.7 - Nếu f n  0 thì (2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất. - Nếu f n  0 thì (2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất. - Nếu f n  0 : i) a0 , a1,...,a k là các hằng số, a0  0, ak  0 thì (2) trở thành 6 Lh ( xn )  a0 xnk  a1 xnk 1  ...  ak xn  0 (3) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc k với hệ số hằng. ii) a0 , a1 ,..., ak là các hàm của n thì (2) là phương trình sai phân tuyến tính với hệ số biến thiên. 1.2.2. Nghiệm Định nghĩa 1.8 Hàm số xn thoả mãn (2) được gọi là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính (2). Định nghĩa 1.9 Hàm số xn thoả mãn (3) được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất (3) nếu với mọi tập giá trị ban đầu x0 , x1 ,..., xk 1 ta đều xác định được duy nhất các tham số C1 , C2 ,..., Ck để nghiệm xn trở thành nghiệm riêng của (3), tức là đồng thời thoả mãn (3) và xi  xi , i  0, k  1 . * Các tính chất: Định lí 1.1 Nghiệm tổng quát của (2) là: xn  xn  xn* . Trong đó: xn là nghiệm tổng quát của (3), xn* là nghiệm riêng của (2). Định lí 1. 2 Nghiệm tổng quát của (3) có dạng: xn  C1xn1  C2 xn 2  ...  Ck xnk . Trong đó: xn1, xn 2 ,..., xnk là k nghiệm độc lập tuyến tính của (3) và C1 , C2 ,..., Ck là các hằng số tuỳ ý. Định lí 1.3 Xét phương trình đặc trưng: Lh  a0 k  a1 k 1  ...  ak  0 (4) Trường hợp 1: Nếu (4) có k nghiệm thực khác nhau là 1 , 2 ,..., k thì hệ  n n n 1 , 2 ,..., k    là hệ k nghiệm độc lập tuyến tính của (3). Khi đó nghiệm tổng quát của (3) là xn  C11n  C22n  ...  Ck kn . 7 Trong đó Ci là các hằng số tuỳ ý ( với i  1, k ). Trường hợp 2: Nếu (4) có nghiệm thực  j bội s thì ngoài nghiệm  nj ta bổ sung thêm  s  1 nghiệm n nj , n 2 jn ,..., n s 1 nj cũng là các nghiệm độc lập tuyến tính của (4). k Khi đó xn   Ci in j i 1 s 1    C ij ni  nj . i 0 Trong đó: C ij và Ci là các hằng số tuỳ ý. b Trường hợp 3: Nếu (4) có nghiệm phức  j  r  cos   i sin   , tan   , a r   j  a 2  b 2 thì ta lấy thêm các nghiệm r n cos n , r n sin n . k Khi đó: xn   Ciin  r n (C1j cosn  C 2j sin n ) . j i 1 Trong đó: Ci , C1j , C 2j là các hằng số tuỳ ý ( với i  1, k ). 1.2.3. Phương pháp tìm nghiệm riêng xn* * Phương pháp chọn (hệ số bất định) Trong một số trường hợp đặc biệt hàm f n có thể tìm xn* đơn giản hơn. Để xác định các tham số trong các dạng nghiệm ta dùng phương pháp hệ số bất định. Trường hợp 1: Khi f n  Pm ( n) là đa thức bậc m của n, m  . - Nếu (4) không có nghiệm   1 ; ta chọn xn*  Qm (n) . - Nếu (4) có nghiệm   1 bội s ; ta chọn xn*  n sQm (n) . Trường hợp 2: Khi f n   n Pm (n),   0, m  , Pm ( n) là đa thức bậc m của n. - Nếu (4) đều có các nghiệm thực khác  ; ta chọn xn*   nQm (n) . - Nếu (4) có nghiệm    bội s ; ta chọn xn*  n s nQm ( n) . Trường hợp 3: Khi f n   cosnx+  sinnx , (với  ,  là các hằng số). 8 Ta chọn: xn*  a cos nx  n sin nx . Trường hợp 4: Khi f n  f n1  f n 2  ...  f ns . * Ta chọn: xn*  xn*1  xn* 2  ...  xns . Trong đó: xni* ứng với hàm f ni , i  1, s . * Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange Nghiệm tổng quát là: xn  C1 (n) xn1  C2 (n) xn 2  ...  Ck (n) xnk . * Phương pháp đưa về dạng chính tắc của phương trình sai phân tuyến tính Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp k, k  3: xn k  a1 xn k 1  a2 xn k 2  ...  ak xn  f n Trong đó: a1 , a2 ,..., ak là các hệ số; xn ,..., xn k là ẩn; các giá trị ban đầu x0 , x1 ,..., xk 1 .    Phương trình đã cho luôn đưa về dạng chính tắc: y n1  Ay n  f n . Trong đó:  xnk  x   nk 1    .  y n1   , .    .     xn1       f n      fn  0  .  , .  .   0  a1 a2 1 0  0 1 A .  .  . .  0 0  xk 1  x   k 2    .  y0     .   .     x0   ak 1 ak   0 0   0 0 . . . .  . . .    1 0 Với mọi ma trận A đều tìm được ma trận Q không suy biến sao cho QAQ-1 =  . Trong đó  là ma trận đường chéo Gioocđan.     Thực hiện phép đổi biến un  Qyn , Fn  Qf n ta được: 9 n      un   nu0    nk Fk 1 , yn  Q 1un . k 1 Từ đó xác định được xn . 1.3. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một với hệ số hằng 1.3.1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một thuần nhất với hệ số hằng Định nghĩa 1.10 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một thuần nhất với hệ số hằng có dạng: axn1  bxn  0 hoặc xn1  qxn , trong đó a, b hay q là các hằng số khác 0. * Nghiệm tổng quát xn của phương trình sai phân tuyến tính cấp một thuần nhất với hệ số hằng Ta có: xn  C n , với    b hay   q . a 1.3.2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một không thuần nhất với hệ số hằng Định nghĩa 1.11 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một không thuần nhất với hệ số hằng có dạng: axn1  bxn  f n hoặc xn1  qxn  f n , trong đó f n  0 và a, b hay q là các hằng số khác 0. * Nghiệm tổng quát xn của phương trình sai phân tuyến tính cấp một không thuần nhất với hệ số hằng Ta có: xn  xn  xn* . Trong đó: xn là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp một thuần nhất với hệ số hằng, xn* là nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính cấp một không thuần nhất với hệ số hằng. * Nghiệm riêng xn* của phương trình sai phân tuyến tính cấp một không thuần nhất Trường hợp 1: f n  Pm ( n) là đa thức bậc m của n, m . - Nếu   1 thì xn*  Qm ( n) . 10 - Nếu   1 thì xn*  nQm ( n) . Trường hợp 2: f n   n Pm (n),   0, m  , Pm ( n) là đa thức bậc m của n . - Nếu    thì xn*   nQm (n) . - Nếu    thì xn*  n nQm (n) . Trường hợp 3: f n   cos nx   sin nx,  2   2  0, x  k , k  . Ta có: xn*  a cos nx  b sin nx . 1.3.3. Các ví dụ Ví dụ 1.3: Giải phương trình un1  un  4n (1) với u1  2, n  * . Giải Phương trình đặc trưng:   1  0 có nghiệm   1 . Ta có un  un  un* . Trong đó: un  c.1n  c, un*  n( an  b) . Thay un* vào phương trình (1), ta được: (n  1)  a(n  1)  b   n(an  b)  4n . Với n = 1, ta được: 3a  b  4 . Với n = 2, ta được: 5a  b  8 . Suy ra : a  2, b  2 . Do đó: un*  n(2n  2) . Như vậy: un  un  un*  c  n(2n  2) . Vì u1  2 nên 2  c  1(2.1  2)  c  2  un  2  n(2n  2)  2n 2  2n  2 . Ví dụ 1.4: Giải phương trình un1  3un  4n với u0  6, n  . Giải Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất: un1  3un  un  c.3n .   3  4    un*  4n.d  4n1.d  3.d.4n  4n  4d  3d  1  d  1  un*  4n  un  un  un*  c.3n  4n. Với n  0  6  u0  c  1  c  5  un  5.3n  4n . Ví dụ 1.5: Giải phương trình un1  2un  3n 2  4.2n , với u1  2, n  * . 11 Giải Phương trình đặc trưng:   2  0    2 . Ta có: un  un  un*  un** . Trong đó: un  c.2n , un*  an 2  bn  c, un**  An.2n . Thay un* vào phương trình un1  2un  3n 2 , ta được: a( n  1) 2  b(n  1)  c  2an 2  2bn  2c  3n 2 . Cho n  1  2a  c  3 . Cho n  2  a  b  c  12 . Cho n  3  2a  2b  c  27 . Suy ra : a  3, b  6, c  9  un*  3n 2  6n  9 . Thay un** vào phương trình un1  2un  4.2n , ta được: A( n  1).2n1  2 An.2n  4.2n  2 A( n  1)  2 An  4  A  2 . Do vậy: un**  2n.2n . Do đó: un  c.2n  (3n 2  6n  9)  2n.2n . Ta có: u1  2 nên 2  2c  18  4  c  7 . Vậy un  7.2n  (3n 2  6n  9)  2n.2n  3n 2  6n  9  (7  2n).2n . 1.4. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng 1.4.1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất với hệ số hằng Định nghĩa 1.12 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất với hệ số hằng có dạng: axn2  bxn1  cxn  0 hoặc xn2  pxn1  qxn , trong đó a, b, c hay p, q là các hằng số và a  0, b  0 hay q  0. * Nghiệm tổng quát xn của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất với hệ số hằng Giải phương trình đặc trưng: a 2  b  c  0 có hai nghiệm 1, 2 . 12 - Nếu 1 , 2  và 1  2 thì xn  C11n  C22n . - Nếu 1 , 2  và 1  2   thì xn  (C1  nC2 ) n . - Nếu 1 , 2  và 1,2  r (cosn   i sin  ) thì xn  r n (c1 cos n  c2 sin n ) 1.4.2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất với hệ số hằng Định nghĩa 1.13 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất với hệ số hằng có dạng: axn 2  bxn1  cxn  f n hoặc xn 2  pxn1  qxn  f n , trong đó f n  0 và a, b, c hay p, q là các hằng số khác 0. * Nghiệm tổng quát xn của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất với hệ số hằng Ta có: xn  xn  xn* . Trong đó: xn là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất với hệ số hằng, xn* là nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất với hệ số hằng. * Nghiệm riêng xn* của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất Trường hợp 1: f n  Pm ( n) là đa thức bậc m của n, m . - Nếu   1 thì xn*  Qm ( n) , Qm (n) là đa thức bậc m của n . - Nếu   1 là nghiệm đơn thì xn*  nQm ( n) . - Nếu   1 là nghiệm kép thì xn*  n 2Qm ( n) . Trường hợp 2: f n   n Pm (n),  0, m  , Pm (n) là đa thức bậc m của n . - Nếu    thì xn*   nQm (n) , Qm (n) là đa thức bậc m của n . - Nếu có một nghiệm đơn    thì xn*  n nQm (n) . - Nếu có nghiệm kép    thì xn*  n2 nQm (n) . 13 Trường hợp 3: f n  Pm (n)cos  n  Ql (n)sin  n, ( với Pm (n), Ql (n) tương ứng là các đa thức bậc m, l của n). Ký hiệu k  max m, l . - Nếu   cos  i sin  , i 2  1 không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì xn*  Tk (n)cos  n  nR k (n)sin  n . - Nếu   cos  i sin  , i 2  1 là nghiệm của phương trình đặc trưng thì xn*  nTk (n)cos  n  R k ( n)sin  n . 14 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 Chương một của khóa luận đã trình bày tóm lược những kiến thức cơ bản, trọng tâm về phương trình sai phân tuyến tính để sử dụng ở chương hai. Ba nội dung chủ yếu, cốt lõi của chương là:  Các kiến thức cơ bản về phương trình sai phân tuyến tính.  Phương pháp giải dẫn đến nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính cấp một với hệ số hằng và có ví dụ minh hoạ cụ thể.  Phương pháp giải dẫn đến nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng. 15 CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH TRONG GIẢI TOÁN 2.1. Tìm giới hạn của dãy số Bài toán: Cho  xn  thoả mãn f ( xn , xn1 , xn2 )  0 . Tìm lim xn . x Phương pháp giải: Bước 1: Giải phương trình f ( xn , xn1, xn 2 )  0  xn . Bước 2: Tìm lim xn . x Bài tập 2.1.1 Cho dãy số  xn  thoả mãn: xn1   1 , x1  0,  0 . Tìm lim xn . x xn   Giải Trường hợp 1: Nếu   1  xn  0, n  lim xn  0 . x Trường hợp 2: Nếu   1 un1  (  1)vn , u1  0 u Xét hệ:   xn  n . vn vn1  un   vn , v1  1  0   1 A   VetA   ,det A  (  1) 1    un2   un1  (  1)un , u1  0 . Phương trình đặc trưng:  2    (  1)  0  1  1, 2    1. - Nếu   1  1    2  un  (c1  nc2 ).(1) n . n  1  0  u1  c1  c2 . n  2    1  u2  c1  2c2  c1  (  1),c 2    1  un  (1) n .(  1).(n  1)  (1) n1.(n  1)  vn  1 n 1 un1  un1  (1) n3.n  xn   lim xn  1. x   1 n - Nếu   1  1    2  un  c1 (1) n  c2 (  1) n . 16 n  1  0  u1  c1  c2 (1   ). n  2    1  u 2  c1  c2 (  1)2 .  1 1 ( 1) n (  1)  (  1) n  c1  ,c   un   2 2  2  2 n 1 n n (1)  (  1) (1) (  1)  (  1) n  vn   xn   2 (1) n1  (  1) n 0, khi   1   lim xn  1, khi   2 hay   1  1. x   (1   ), khi   1  1 Bài 2.1.3 Cho hai dãy số un  ,vn  thoả mãn hệ phương trình: un  aun1  bvn1, n  1  . vn  bun1  avn1  2 2 u0  a0 , v0  b0 , a  b  1 Chứng minh: lim un  lim vn  0 . Giải Ta có:  a b  M   VetM  2a,detM  a 2  b 2  b a   un2  2aun1  ( a 2  b 2 )un . Phương trình đặc trưng:  2  2a  a 2  b 2  0  1  a  bi  1  a 2  b 2 . cos   i sin   ,cos   un   2 a b 2 a a 2  b2 n  c .cos n  c .sin n  1 2 n  0  u0  a0  c1. n  1  u1  a0  b.b0  a 2  b 2  c1.cos   c2 .sin    c2  b0 .  un   a 2  b2 n  a .cosn  b .sin n , v   au  u 0  lim un  0,lim vn  0. 0 n n n 1 . 1 b 17 ( Do lim  a2  b2  n  0, a0 cos n  b0 sin n bị chặn). Vậy lim un  lim vn  0. Bài tập 2.1.4 Tìm giới hạn của dãy số un  xác định bởi: un  2 2 2 . ... , u1  2 . 2 2 2 2  2  ...  2 Giải Ta có:     2  2cos , 2  2  2 1  cos   2cos . 4 4 8  Bằng chứng minh quy nạp ta có : 2  2  ...  2  2cos  2n1 ( n dấu căn) un1 1  ,u  2 .  1 un cos n1 2 Suy ra: Thực hiện nhân vế với vế ta được: un  1 cos  4 1 . cos 1 ...  8 cos  2n.sin   2 n 1  lim un  x   2 . 2n1 Bài tập 2.1.8 Cho dãy số un  , Sn  xác định bởi: n u1  2, u2  8, un1  4un1  un  2, Sn   arccot uk2 , n  3 . Tìm lim Sn . k 1 Giải Từ công thức nghiệm ta có:  un  c1 2  3 Suy ra: un   n   n  c2 2  3 , c1  1 2 3 3   n  1 1 . , c2  3 3 n 1 2 3 . 3   18 un1 un . 1 un un1 2 Ta có: un  un1.un1  4  . un un1  un1 un Mặt khác: arc cot xy  1  arc cot x  arc cot y . x y n  u u  u Do vậy: Sn    arc cot k  arc cot k 1   arc cot 4  arc cot n1 . uk 1 uk  un k 2  Ta thấy: lim  2 3  un1 1  lim . un 2 3 2 3   2 n2  1  2  3. 2n 1  Vậy lim Sn  arc cot 4  arc cot 2  3 . Bài tập 2.1.9 Cho dãy số un  1 b  xác định bởi u1  a  0, un   un1   , b  1. Tìm 2 un1  lim un . Giải 1 b  un21  b Từ giả thiết: un   un1   u  .  n 2 un1  2un1 2 2  x  x  byn1 . Ta tìm xn , yn thoả mãn:  n1 n1 y  2 x . y  n1 n n  Ta có: xn1  b yn1  xn  b yn  xn1  b yn1  xn  b yn Suy ra: un  xn  yn   a  b  a b Vì b  1 nên a  b  1. Vậy lim un  b . 2n 1 2   2 2   ...  x0  b y0   a  b   a b n 1    ...  x0  b y0 2n 1 2n 1 b. 2n 2n    2n 2n  a b   a  b  .