Tài liệu Một số tính toán về hiệu ứng điện từ trong hệ vật liệu tổ hợp chứa sắt điện cấu trúc micro nano

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ QUÁCH DUY TRƢỜNG MỘT SỐ TÍNH TOÁN VỀ HIỆU ỨNG ĐIỆN - TỪ TRONG HỆ VẬT LIỆU TỔ HỢP CHỨA SẮT ĐIỆN CẤU TRÚC MICRO-NANO LUẬN VĂN THẠC SĨ HÀ NỘI - 2010 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ QUÁCH DUY TRƢỜNG MỘT SỐ TÍNH TOÁN VỀ HIỆU ỨNG ĐIỆN - TỪ TRONG HỆ VẬT LIỆU TỔ HỢP CHỨA SẮT ĐIỆN CẤU TRÚC MICRO-NANO Chuyên ngành: Vật liệu và linh kiện nano (Chuyên ngành đào tạo thí điểm) LUẬN VĂN THẠC SĨ NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Phạm Đức Thắng HÀ NỘI - 2010 MỤC LỤC MỞ ĐẦU .................................................................................................................1 CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN ....................................................................................3 1.1. Vật liệu tổ hợp điện - từ multiferroics. ........................................................ 3 1.1.1. Vật liệu từ giảo ........................................................................................ 4 1.1.2. Vật liệu áp điện. ...................................................................................... 5 1.2. Phƣơng trình kết cấu của vật liệu áp điện, vật liệu từ giảo. ......................... 7 1.2.1. Ứng suất và độ biến dạng của vật liệu...................................................... 7 1.2.2. Phƣơng trình kết cấu. ............................................................................... 8 1.3. Hiệu ứng điện - từ. ................................................................................... 15 1.3.1. Vật liệu tổ hợp điện - từ (multiferoics). .................................................. 15 1.3.2. Hiệu ứng điện - từ ................................................................................. 15 1.3.3. Một số ứng dụng của hiệu ứng điện - từ ................................................ 17 CHƢƠNG 2. MÔ HÌNH TÍNH TOÁN ..................................................................19 2.1. Cơ sở của mô hình.................................................................................... 19 2.2. Xây dựng mô hình tính toán ..................................................................... 19 2.3. Lời giải cho mô hình ................................................................................ 23 CHƢƠNG 3. KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN ..........................................................31 3.1. Các kết quả tính toán hệ số điện - từ. ........................................................ 31 3.2. Sự phụ thuộc của hệ số điện - từ vào tỉ phần thể tích pha áp điện.............. 32 3.2.1. Hệ vật liệu PZT/NFO. ........................................................................... 32 3.2.2. Hệ vật liệu PZT/Terfenol-D. .................................................................. 33 3.2.3. Hệ vật liệu PZT/CFO. ............................................................................ 34 3.2.4. Hệ vật liệu PZT/Permendur. .................................................................. 35 3.3. Sự phụ thuộc của hệ số điện - từ vào tần số từ trƣờng xoay chiều. ............ 36 3.3.1. Hệ vật liệu PZT/NFO. ........................................................................... 36 3.3.2. Hệ vật liệu PZT/Terfenol-D. .................................................................. 38 3.3.3. Hệ vật liệu PZT/CFO. ............................................................................ 39 3.3.4. Hệ vật liệu PZT/Permendur. .................................................................. 40 3.4. Sự phụ thuộc của hệ số điện - từ vào từ trƣờng một chiều. ....................... 41 3.4.1. Hệ vật liệu PZT/NFO. ........................................................................... 41 3.4.2. Hệ vật liệu PZT/Terfenol-D. .................................................................. 42 3.4.3. Hệ vật liệu PZT/CFO............................................................................. 44 3.5. Sự phụ thuộc của hệ số điện - từ vào các thông số của các vật liệu .......... 45 3.6. Áp dụng kết quả tính toán cho các hệ vật liệu tổ hợp khác. ....................... 47 KẾT LUẬN ...........................................................................................................49 TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................................50 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ Chƣơng 1. Tổng quan Trang Hình 1.1. Hiệu ứng từ giảo tuyến tính âm và từ giảo tuyến tính dương. 4 Hình 1.2. Cấu trúc tinh thể gốm Perovskite. 6 Hình 1.3. Ô cơ sở của tinh thể BaTiO3 trong thực tế. 6 Hình 1.4. Các thành phần của tensor ứng suất tác dụng lên vật liệu. 7 Hình 1.5. Các cấu hình vật liệu multiferroics tổ hợp. 15 Hình 1.6. Hiệu ứng điện - từ thông qua liên kết cơ học giữa pha từ giảo và áp điện. 16 Hình 1.7. Ảnh chụp sensơ từ trường sử dụng vật liệu tổ hợp FeBSiNbCu/PZT. 17 Chƣơng 2. Mô hình tính toán Hình 2.1. Các chế độ hoạt động dựa trên hiệu ứng điện - từ của mẫu multiferroics 20 tổ hợp. Chƣơng 3. Kết quả và thảo luận Hình 3.1. Sự phụ thuộc của hệ số điện - từ vào tỉ phần thể tích pha áp điện của hệ 32 vật liệu PZT/NFO. Hình 3.2. Kết quả thực nghiệm hệ số điện - từ phụ thuộc vào tỉ phần thể tích pha áp 33 điện của hệ vật liệu PZT/NFO. Hình 3.3. Sự phụ thuộc của hệ số điện - từ vào tỉ phần thể tích pha áp điện của hệ 33 vật liệu PZT/Terfenol-D. Hình 3.4. Kết quả thực nghiệm hệ số điện - từ phụ thuộc vào tỉ phần thể tích pha áp 34 điện của hệ vật liệu PZT/Terfenol-D. Hình 3.5. Sự phụ thuộc của hệ số điện - từ vào tỉ phần thể tích pha áp điện của hệ 34 vật liệu PZT/CFO. Hình 3.6. Kết quả thực nghiệm hệ số điện - từ phụ thuộc vào tỉ phần thể tích pha áp 35 điện của hệ vật liệu PZT/CFO. Hình 3.7. Sự phụ thuộc của hệ số điện - từ vào tỉ phần thể tích pha áp điện của hệ 35 vật liệu PZT/Permendur. Hình 3.8. Kết quả thực nghiệm hệ số điện - từ phụ thuộc vào tỉ phần thể tích pha áp 36 điện của hệ vật liệu PZT/Permendur. Hình 3.9. Sự phụ thuộc của hệ số điện - từ vào tần số từ trường xoay chiều. 37 Hình 3.10. Thực nghiệm sự phụ thuộc của hệ số điện - từ vào tần số từ trường xoay 37 chiều. Hình 3.11. Sự phụ thuộc của hệ số điện - từ vào tần số từ trường xoay chiều 38 Hình 3.12. Kết quả thực nghiệm hệ số điện - từ phụ thuộc vào tần số từ trường xoay 38 chiều. Hình 3.13. Sự phụ thuộc của hệ số điện - từ vào tần số từ trường xoay chiều. 39 Hình 3.14. Thực nghiệm Sự phụ thuộc của hệ số điện - từ vào tần số từ trường xoay 39 chiều. Hình 3.15. Sự phụ thuộc của hệ số điện - từ vào tần số từ trường xoay chiều. 40 Hình 3.16. Thực nghiệm sự phụ thuộc của hệ số điện - từ vào tần số từ trường xoay 40 chiều. Hình 3.17. Sự phụ thuộc của hệ số điện - từ vào cường độ từ trường một chiều. 41 Hình 3.18. Sự phụ thuộc của hệ số từ giảo vào cường độ từ trường ngoài. 42 Hình 3.19. Kết quả thực nghiệm hệ số từ giảo phụ thuộc vào cường độ từ trường 42 ngoài. Hình 3.20. Sự phụ thuộc của hệ số điện - từ vào cường độ từ trường một chiều. 43 Hình 3.21. Sự phụ thuộc của hệ số từ giảo của vật liệu Terfenol-D vào cường độ từ 43 trường một chiều. Hình 3.22. Kết quả thực nghiệm hệ số từ giảo phụ thuộc vào cường độ từ trường 43 một chiều. Hình 3.23. Sự phụ thuộc của hệ số điện - từ vào cường độ từ trường một chiều. 44 Hình 3.24. Sự phụ thuộc của hệ số từ giảo của vật liệu CFO vào cường độ từ trường 45 một chiều. Hình 3.25. Thực nghiệm hệ số điện – từ phụ thuộc vào cường độ từ trường một 45 chiều. Hình 3.26. Sự phụ thuộc của hệ số điện - từ vào tỉ phần thể tích pha áp điện của hệ 47 vật liệu BTO/NFO. Hình 3.27. Sự phụ thuộc của hệ số điện - từ vào tỉ phần thể tích pha áp điện của hệ 47 vật liệu BTO/Terfenol-D. Hình 3.28. Sự phụ thuộc của hệ số điện - từ vào tỉ phần thể tích pha áp điện của hệ 48 vật liệu BTO/CFO. Hình 3.29. Sự phụ thuộc của hệ số điện - từ vào tỉ phần thể tích pha áp điện của hệ vật liệu BTO/Permendur. 48 BẢNG KÝ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT PZT Lead Zirconate Titanate (Pb(ZrxTi1-x)O3) NFO Niken ferrite (NiFe2O4) CFO Cobalt ferrite (CoFe2O4) Ter-D Terfenol-D (Tb0.27D0.73Fe2) Per Permendur (49% Fe, 49%Co, 2% V) BTO Bari Titanate (BaTiO3) ME Hiệu ứng điện - từ MEH Hiệu ứng điện - từ thuận MEE Hiệu ứng điện - từ ngƣợc DANH MỤC CÁC BẢNG Trang Bảng 1. Các thông số của các vật liệu sử dụng trong tính toán. 31 MỞ ĐẦU Tính chất điện - từ là một hiệu ứng nội tại trong một số hệ vật liệu multiferoics đơn pha tự nhiên, quan sát thấy ở nhiệt độ thấp. Tính chất này đã đƣợc chú ý nghiên cứu trong thời gian gần đây do các ứng dụng tiềm năng trong lƣu trữ thông tin, điện tử học spin, và các bộ nhớ đa trạng thái. Mặc dù có nhiều hợp chất khác nhau đã đƣợc nghiên cứu rộng rãi tính chất điện - từ, tuy nhiên phẩm chất của chúng đều không cao, điều đó làm cản trở các ứng dụng của chúng. Thực tế nghiên cứu cho thấy, vật liệu multiferoics dạng tổ hợp có phẩm chất tốt hơn nhiều so với các vật liệu multiferoics đơn pha. Ngoài ra với thiết kế linh hoạt hơn, vật liệu multiferroic tổ hợp đƣợc thực hiện bằng cách kết hợp các chất áp điện và từ trƣờng với nhau đã thu hút đƣợc sự quan tâm đáng kể trong những năm gần đây do tính đa chức năng của chúng, trong đó tƣơng tác liên kết giữa chất áp điện và từ tính có thể tạo ra hiệu ứng điện - từ lớn (hơn vài bậc so với hiệu ứng trong vật liệu đơn pha) ở nhiệt độ phòng. Các vật liệu tổ hợp này có tiềm năng ứng dụng trong các thiết bị đa chức năng nhƣ đầu dò điện - từ, các thiết bị truyền động và cảm biến. Hiệu ứng điện - từ là hiện tƣợng xuất hiện phân cực điện khi đặt trong từ trƣờng hay sự từ hóa khi đặt trong điện trƣờng. Hiệu ứng điện - từ ME là kết quả của hiệu ứng từ giảo trong pha từ giảo và hiệu ứng áp điện trong pha áp điện trong cùng một vật liệu tổ hợp. Đây là hiện tƣợng điện và từ kết hợp thông qua sự tƣơng tác đàn hồi. Nghĩa là, khi một vật liệu tổ hợp đặt trong từ trƣờng, hình dạng của pha từ giảo thay đổi, sự biến dạng đó đƣợc chuyển sang pha áp điện, dẫn đến một sự phân cực điện. Vì vậy, hiệu ứng điện – từ trong vật liệu tổ hợp là hiệu ứng ngoài, phụ thuộc vào vi cấu trúc và tƣơng tác bề mặt giữa các pha từ giảo - áp điện. Tính chất của từng pha riêng rẽ cũng nhƣ tỉ phần các pha trong hỗn hợp đều quyết định đến tính chất chung của vật liệu tổ hợp. Ngoài ra những yếu tố khác nữa cũng ảnh hƣởng đến tính chất của vật liệu tổ hợp đó là qui trình, phƣơng pháp chế tạo vật liệu. Mỗi vật liệu thành phần khác nhau có tính chất đặc trƣng khác nhau. Quá trình tổng hợp các vật liệu thành phần cũng có nhiều thông số đặc trƣng khác nhau. 1 Do vậy tính chất của vật liệu multiferroics tổ hợp chế tạo đƣợc sẽ phụ thuộc vào rất nhiều tham số. Do vậy, ta phải mất khá nhiều thời gian nếu muốn tìm ra cấu hình, phƣơng pháp chế tạo tối ƣu bằng thực nghiệm. Với mục đích hỗ trợ cho quá trình nghiên cứu thực nghiệm, rút ngắn thời gian và khối lƣợng công việc, chúng tôi đang phát triển hƣớng nghiên cứu lý thuyết, mục đích là xây dựng mô hình tính toán các tính chất của vật liệu multiferroics tổ hợp, tìm ra sự phụ thuộc của các tính chất này vào các thông số nhƣ: tính chất của từng pha riêng rẽ, tỉ phần của từng pha trong vật liệu tổ hợp, tác động của trƣờng ngoài nhƣ tần số từ trƣờng, cƣờng độ từ trƣờng..v.v. Với định hƣớng nghiên cứu nhƣ vậy, khóa luận này gồm có ba chƣơng nhƣ sau:  Chƣơng I: tổng quan về vật liệu multiferroics tổ hợp.  Chƣơng II: các tính toán lý thuyết.  Chƣơng III: áp dụng các kết quả tính toán cho một số hệ vật liệu và so sánh với các kết quả thực nghiệm. Cuối cùng là phần kết luận, tổng hợp các kết quả và định hƣớng nghiên cứu tiếp theo. 2 CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN 1.1. Vật liệu tổ hợp điện - từ multiferroics. Vật liệu tổ hợp multiferroics là loại vật liệu có đồng thời hai hoặc ba tính chất của vật liệu sắt điện (ferroelectric), sắt từ (ferromagnetic) và sắt đàn hồi (ferroelastic). Vật liệu sắt điện có độ phân cực điện tự phát ngay khi không đặt trong điện trƣờng ngoài. Độ phân cực của vật liệu sắt điện có thể bị thay đổi khi đặt vật liệu trong điện trƣờng ngoài. Tƣơng tự nhƣ vậy, vật liệu sắt từ có từ độ tự phát ngay khi không đặt trong từ trƣờng ngoài, và từ độ của vật liệu sắt từ có thể bị thay đổi khi đặt vật liệu trong từ trƣờng ngoài. Vật liệu sắt đàn hồi là vật liệu bị biến dạng cơ học dƣới tác dụng của điện trƣờng ngoài hoặc từ trƣờng ngoài. Ngoài tính sắt từ, sắt điện, sắt đàn hồi, vật liệu có tính phản sắt điện, phản sắt từ cũng có thể coi là vật liệu multiferroics. Một số nhà khoa học còn định nghĩa khắt khe hơn về vật liệu multiferroics, với yêu cầu không chỉ có đồng thời nhiều tính chất, mà còn phải có sự liên kết giữa các tính chất đó, ví dụ nhƣ tính sắt điện thể hiện dƣới tác dụng của từ trƣờng [3]. Vật liệu multiferroics đƣợc chia ra làm hai loại là: vật liệu đơn pha (homogeneous hoặc single phase multiferroics) và vật liệu tổ hợp (heterogeneous hoặc composite multiferroics). Vật liệu đơn pha thƣờng là các oxit có cấu trúc perovskite của các kim loại chuyển tiếp, kim loại đất hiếm nhƣ TbMnO 3, HoMn2O5, BiFeO3, BiMnO3, … Tính chất từ của loại vật liệu này xuất hiện do cấu trúc điện tử của ion kim loại chuyển tiếp hoặc kim loại đất hiếm, còn tính chất điện xuất hiện do cấu trúc tinh thể bất đối xứng của oxit perovskite. Các tính chất của loại vật liệu này là đồng nhất trong toàn bộ thể tích, do vậy đƣợc gọi là multiferroics đơn pha. Do số lƣợng ít, có các hằng số đặc trƣng nhỏ, tính chất điện, từ, điện - từ thể hiện không rõ rệt hoặc xảy ra ở nhiệt độ rất thấp nên vật liệu multiferroics đơn pha khó có khả năng ứng dụng. Vì vậy hiện nay loại vật liệu multiferroics tổ hợp đang đƣợc nghiên cứu rộng rãi. Vật liệu tổ hợp đƣợc chế tạo từ hai hay nhiều vật liệu có tính chất khác nhau. Do tính chất của vật liệu tổ hợp thƣờng không đồng nhất trong toàn bộ thể tích vật liệu nên đôi khi nó còn đƣợc gọi là vật liệu đa pha. Vật liệu tổ hợp thông dụng và đƣợc nghiên cứu nhiều nhất hiện nay là hệ vật liệu từ giảo – áp điện, thể hiện các tính chất điện, từ, cơ và điện - từ khá rõ rệt, có khả năng ứng dụng trong việc chế tạo các cảm biến. 3 Một số vật liệu tổ hợp dạng khối điển hình đã và đang đƣợc nghiên cứu là: tổ hợp các gốm áp điện (ví dụ lead zirconate titanate), và kim loại/ hợp kim từ tính (ví dụ Terfenol-D, Metglas, v.v…) và các gốm áp điện và các oxít từ tính (ví dụ ferit,…) [4]. 1.1.1. Vật liệu từ giảo Vật liệu từ giảo là vật liệu có hình dạng, kích thƣớc thay đổi khi đƣợc đặt trong từ trƣờng ngoài hoặc dƣới tác dụng của nhiệt độ (hình 1.1). Sự thay đổi này xuất hiện khi trật tự từ của vật liệu thay đổi, và đƣợc gọi là là từ giảo tự phát nếu do yếu tố nhiệt độ hoặc từ giảo cƣỡng bức nếu gây bởi từ trƣờng ngoài. Đại lƣợng đặt trƣng cho vật liệu từ giảo là hệ số từ giảo λ đƣợc xác định theo công thức :  H   l H   l 0 l0 hoặc  H   V H   V0 V0 (1.1) l Từ giảo tuyến tính dƣơng l Từ giảo tuyến tính âm Hình 1.1. Hiệu ứng từ giảo tuyến tính âm và từ giảo tuyến tính dương. Trong đó: λ(H) là hệ số từ giảo, không thứ nguyên, l(H) (m) là chiều dài vật liệu khi có từ trƣờng cƣờng độ H. l0 (m) là chiều dài vật liệu khi không có từ trƣờng. V(H) (m3) là thể tích vật liệu khi có từ trƣờng cƣờng độ H. V0 (m3) là thể tích vật liệu khi không có từ trƣờng. λ > 0 đặc trƣng cho vật liệu từ giảo dƣơng, λ < 0 đặc trƣng cho vật liệu từ giảo âm. 4 Độ cảm từ giảo là vi phân của hệ số từ giảo theo từ trƣờng. Độ cảm từ giảo là đại lƣợng đặc trƣng cho khả năng thể hiện hiệu ứng từ giảo của vật liệu ngay tại từ trƣờng thấp:  d dH (m/A hoặc Oe-1) (1.2) Một vật liệu từ giảo tốt có hệ số từ giảo λ lớn và độ cảm từ giảo dλ/dH lớn. Ngoài ra, nếu định hƣớng ứng dụng vật liệu từ giảo thƣờng phải có nhiệt độ Curie cao, ít nhất là cao hơn nhiệt độ phòng. Các kim loại chuyển tiếp nhóm 3d nhƣ Fe, Ni, Co có nhiệt độ Curie cao, lên đến 1050K, 630K, 1400K, tuy nhiên hệ số từ giảo λ lại rất nhỏ, chỉ cỡ 10-5. Ngƣợc lại, các nguyên tố kim loại đất hiếm nhóm 4f có hệ số từ giảo λ lớn, cỡ 10-2, nhƣng lại có nhiệt độ Curie thấp, ví dụ Tc của Tb và Dy chỉ là 220K và 90K. Để có đƣợc loại vật liệu từ giảo thỏa mãn cả hai yêu cầu trên, có thể tổ hợp cả kim loại chuyển tiếp và kim loại đất hiếm lại. Một hợp chất điển hình cho vật liệu từ giảo phẩm chất cao là hợp kim TbFe 2, vật liệu có giá trị từ giảo bão hòa lớn, tuy nhiên chỉ đạt đƣợc tại giá trị từ trƣờng đặt vào lớn. Nhƣợc điểm này đƣợc khắc phục bằng cách pha vào hợp kim trên một lƣợng nhỏ Dy thay cho Tb. Thành phần tối ƣu của hợp kim là Tb0.27D0.73Fe2, có tên gọi Terfenol-D, [3]. 1.1.2. Vật liệu áp điện. Vật liệu áp điện là vật liệu có độ phân cực thay đổi dƣới tác dụng của ứng suất cơ học (hiệu ứng áp điện thuận) hoặc thay đổi hình dạng khi đặt dƣới tác dụng của điện trƣờng ngoài (hiệu ứng áp điện nghịch). Loại vật liệu áp điện đang đƣợc nghiên cứu tập trung hiện nay là gốm áp điện có cấu trúc perovskite nhƣ BaTiO3 hoặc Pb(ZrxTi1-x)O3, do có hệ số áp điện cũng nhƣ hằng số điện môi lớn. Công thức hóa học chung của vật liệu Perovskite là ABX3, trong đó A và B là hai cation có hóa trị lần lƣợt là +2 và +4, X là anion liên kết với cả hai cation A và B. Trong tự nhiên, thƣờng gặp nhất các vật liệu Perovskite có anion là O2–, tuy nhiên, anion X cũng có thể là các nguyên tố halogen (nhƣ F, Cl, ví dụ trong NaMgF3) hoặc các nguyên tố kim loại nhẹ (nhƣ Ni, Co, ví dụ trong MgCNi3) (xem hình 1.2) [5]. 5 Hình 1.2. Cấu trúc tinh thể gốm Perovskite. Cấu trúc tinh thể lý tƣởng của vật liệu gốm Perovskite ABO3 nhƣ hình trên. Trong thực tế do một số xê dịch tƣơng đối của các ion so với nhau mà cấu trúc tinh thể của gốm Perovskite thƣờng không có dạng lập phƣơng lý tƣởng nhƣ trên. Sự xê dịch này xảy ra để thỏa mãn điều kiện về xếp chặt các ion trong ô cơ sở, và tạo ra độ phân cực điện tự phát cho vật liệu [6, 7]. PZT (Lead Zirconate Titanate), với công thức hóa học Pb(ZrxTi1–x)O3 là loại gốm sắt điện đƣợc nghiên cứu phổ biến nhất hiện nay (hình 1.3). Về mặt thành phần, PZT đƣợc tạo thành từ PbZrO3 và PbTiO3 theo một tỉ lệ nhất định. Tính chất và các thông số của PZT sẽ thay đổi rất lớn theo tỉ lệ nói trên. So với các vật liệu sắt điện khác, ví dụ BaTiO3, PZT thể hiện tính áp điện, sắt điện mạnh hơn (hằng số điện môi, hằng số áp điện thuận – nghịch, độ phân cực dƣ... rất lớn). Nhờ vậy, PZT có khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực nhƣ chế tạo các cảm biến, các bộ điều khiển hoặc các hệ thống biến đổi năng lƣợng điện – cơ,.. Pb Zr, Ti O Hình 1.3. Ô cơ sở của tinh thể PZT trong thực tế. Trong hai thành phần cấu tạo nên PZT, PbTiO3 là một chất sắt điện có cấu trúc perovskite tứ giác, còn PbZrO3 lại là chất phản sắt điện có cấu trúc perovskite thoi [8]. Các tính chất của gốm PZT nhƣ hằng số điện môi, tính áp điện, hỏa điện, sắt điện đƣợc thể hiện rõ ràng nhất tại tỉ lệ Zr/Ti bằng 53/47 [9]. 6 1.2. Phƣơng trình kết cấu của vật liệu áp điện, vật liệu từ giảo. 1.2.1. Ứng suất và độ biến dạng của vật liệu. Xét một vật liệu chịu tác dụng của ứng suất bên ngoài nhƣ trên hình 1.4. Ứng suất này gây bởi một lực tác dụng lên mẫu. Lực tác dụng có thể đƣợc xem nhƣ bao gồm hai thành phần là lực tác dụng vuông góc với bề mặt mẫu và lực tác dụng song song với bề mặt mẫu. Hai ứng suất tƣơng ứng do hai loại lực này gây ra là ứng suất thẳng và ứng suất trƣợt. Hình 1.4. Các thành phần của tensor ứng suất tác dụng lên vật liệu. Trong hệ trục toạ độ không gian, ứng suất tác dụng lên mẫu là một ma trận 3×3 với 9 thành phần [7]: T  i, j T  11   T21  T31  T12 T22 T32 T13    T23   T33   (1.3) Trong số 9 thành phần này của ứng suất, có một số thành phần đối xứng với nhau qua đƣờng chéo của ma trận, có giá trị bằng nhau. Để thuận tiện trong việc xây dựng phƣơng trình kết cấu, có thể kí hiệu lại các thành phần của ứng suất để xây dựng một vector ứng suất tác dụng lên vật liệu gồm 6 thành phần, ba thành phần đầu là ứng suất thẳng, ba thành phần sau là ứng suất trƣợt. 7 Kí hiệu tensor: Kí hiệu vector: 1 11 22 33 23, 32 2 3 4 5 31, 13 12, 21 6 Ứng suất tác dụng lên vật liệu, theo định luật Hooke sẽ sinh ra biến dạng vật liệu. Độ biến dạng vật liệu là một đại lƣợng không thứ nguyên, đƣợc đo bởi tỉ số giữa độ dịch (sự thay đổi kích thƣớc) của vật liệu chia cho kích thƣớc ban đầu của vật liệu. S11  u1 u u u ; S12  1 ; S21  2 ; S22  2 x1 x2 x1 x2 Tổng quát, chúng ta có: Sij  S  11  Sij   S21   S31    ui x j S12 S22 S32 i, j  1,2,3 S13    S23   S33   (1.5) Tensor độ biến dạng [Sij] là tensor đối xứng nên có 6 thành phần độc lập. Ta cũng có thể kí hiệu các thành phần của tensor độ biến dạng thành kí hiệu 6 thành phần của vector độ biến dạng nhƣ đã làm với tensor ứng suất nhƣ sau: (S1, S2, S3, S4, S5, S6) = (S11, S22, S33, 2S23, 2S31, 2S12) với S23 = S32, S13 = S31, S12 = S21. 1.2.2. Phƣơng trình kết cấu. 1.2.2.1. Vật liệu từ giảo Về mặt hiện tƣợng, hiệu ứng từ giảo và áp điện có thể coi gần tƣơng đƣơng nhau. Vì vậy, phƣơng trình kết cấu cho hai loại vật liệu này có dạng giống nhau, chỉ khác ở các đại lƣợng đặc trƣng cho trƣờng tác dụng lên vật liệu nhƣ điện trƣờng hay từ trƣờng. Phƣơng trình kết cấu tổng quát cho vật liệu từ giảo ( S , T )  f ( S , T , H , B)  ( B, H )  f ( S , T , H , B) 8 (1.6) Trong đó S là độ biến dạng, T là ứng suất, H là cƣờng độ từ trƣờng, B là cảm ứng từ. Các dạng khác nhau của hệ phƣơng trình kết cấu cho vật liệu từ giảo là: H Tij  cijkl Skl  ekij H k  S Bi  eikl Skl  ij H k H Sij  sijkl Tkl  qkij H k  T Bi  qiklTkl  ij H k (1.7) H Sij  sijkl Tkl  g kij Bk  T  H i  giklTkl  ij Bk D Tij  cijkl Tkl  rkij Bk  S H i  riklTkl  d ij Bk Trong đó T, S, H, B là các đại lƣợng vào và ra, c, e, µ, s, d, g, r, q là các ma trận hệ số tƣơng ứng trong từng trƣờng hợp. Từ phƣơng trình (1.7) có thể viết một cách đơn giản: S  S T , H  (1.8) B  BT , H  Lấy vi phân toàn phần phƣơng trình (1.8) và sử dụng các kí hiệu đã qui ƣớc ở trên, chúng ta có: dSi  dBi  Si T j Bm T j dT j  H dT j  H Si H k Bm H k dH k , i  1,...6 T (1.9) dH k , m  1,2,3 T Các kí hiệu vi phân có thể đƣợc viết gọn lại thành các hệ số cho phƣơng trình kết cấu nhƣ sau: 9 S i T j  sijH H Bm H k Si H k là hệ số đàn hồi tại cƣờng độ từ trƣờng cố định T   mk là hằng số điện môi tại ứng suất cố định (1.10) T  qki ; dBi  T Bm T j  qmj là hệ số từ giảo H Trong trƣờng hợp dT và dH biến thiên nhỏ, sử dụng phép tính gần đúng chúng chúng ta có thể thu đƣợc phƣơng trình kết cấu thành dạng phụ thuộc tuyến tính nhƣ sau: Si  sijH T j  qki H k , i  1,...6 (1.11) Bm  qmiT j   H k , m  1,2,3 T mk Trong đó: S là vector độ biến dạng (đại lƣợng tỉ lệ không thứ nguyên), T là vector ứng suất (N/m2), q là hệ số từ giảo (m/A), s là hệ số đàn hồi (m2/N), H là vector cƣờng độ từ trƣờng (A/m), B là vector cảm ứng từ (T), µ là độ từ thẩm (H/m). Nếu triển khai cụ thể phƣơng trình kết cấu của vật liệu từ giảo đƣợc viết nhƣ sau:  s11H   H  S1   s12 S   H  2   s13  S3      S 4  0 S    5  0  S6    0  s12H s13H 0 0 s11H s13H 0 0 H s13H s33 0 0 0 0 H s44 0 0 0 0 H s44 0 0 0 0 0  0   0  T   0 1     0  T2  0  T3     0  T4  0  T5    0  T  q15   6  0  H  s66   10 0 0 0 q15 0 0 q31   q32    q33   H1    H 2  0      H 3  0   0   (1.12a )  0 0 0 0 q15 0  B1    B   0 0 0 q 0 0 15  2    B3  q q q 0 0 0  31 31 33 T1      T 0 0   H  T2   11   1  T3   T 0    H 2       0 22   T4      T  0 0  T   H 3  33    5    (1.12b T6  ) 1.2.2.2. Vật liệu áp điện Hiện tƣợng từ “đàn hồi” và điện “đàn hồi” trong các vật liệu từ giảo và áp điện đƣợc thể hiện qua các phƣơng trình kết cấu liên hệ giữa các đại lƣợng cơ nhƣ ứng suất, độ biến dạng với các đại lƣợng điện, từ nhƣ vector cƣờng độ điện trƣờng, vector cảm ứng điện, vector cƣờng độ từ trƣờng, vector cảm ứng từ. Các đại lƣợng trên liên hệ với nhau qua các hằng số đặc trƣng cho từng loại vật liệu nhƣ hệ số áp điện, độ cảm từ giảo, hằng số điện môi, độ từ thẩm. Do hiện tƣợng từ “đàn hồi” và điện “đàn hồi” là hiện tƣợng hai chiều, tức các tác nhân từ, điện sinh ra các biến thiên cơ, và ngƣợc lại tác nhân cơ sinh ra các biến thiên từ, điện, nên phƣơng trình kết cấu cho vật liệu từ giảo cũng có dạng tổng quát nhƣ phƣơng trình 1.6. ( S , T )  f ( S , T , E , D)  ( D, E )  f ( S , T , E , D) (1.13) Trong đó S là độ biến dạng, T là ứng suất, E là cƣờng độ điện trƣờng, D là cảm ứng điện. Các đại lƣợng ở vế phải của phƣơng trình sẽ đƣợc chọn tƣơng ứng với đại lƣợng ta chọn làm ẩn ở vế trái. Nhƣ vậy, với cách chọn cặp ẩn vế phải là 2 trong số 4 đại lƣợng S, T, D, E, chúng ta có thể đƣa ra đƣợc 4 hệ phƣơng trình đặc trƣng cho vật liệu từ giảo hoặc áp điện. Tƣơng ứng với mỗi hệ phƣơng trình lại có một bộ thông số đặc trƣng khác nhau cho từng loại vật liệu. Các dạng khác nhau của hệ phƣơng trình kết cấu cho vật liệu áp điện là: E Tij  cijkl S kl  ekij Ek  S  Di  eikl S kl   ij Ek (1.14a) Sij  s T  d kij Ek  T Di  diklTkl   ij Ek E ijkl kl 11 E Sij  sijkl Tkl  g kij Dk  T  Ei  giklTkl   ij Dk (1.14b) Tij  c T  rkij Dk  S  Ei  riklTkl  qij Dk D ijkl kl Trong đó T, S, E, D là các đại lƣợng vào và ra, c, e, ε, s, d, g, r, q là các ma trận hệ số tƣơng ứng trong từng trƣờng hợp [10]. Nhƣ đã nói ở trên, phƣơng trình kết cấu là một hệ phƣơng trình, trong đó các biến đầu ra có thể chọn 2 trong 4 biến là S, T, E, D. Trong đa số trƣờng hợp, chúng ta quan tâm tới độ biến dạng của vật liệu dƣới tác dụng của điện trƣờng, và cảm ứng điện sinh ra dƣới tác dụng của ứng suất tác dụng lên vật liệu, do đó hai biến thƣờng đƣợc chọn là độ biến dạng S và cảm ứng điện D. Hai biến này phụ thuộc vào ứng suất tác dụng lên vật liệu và cƣờng độ điện trƣờng ngoài tác dụng lên vật liệu. Phƣơng trình 1.14 có thể đƣợc viết đơn giản thành: S  S T , E  (1.15) D  DT , E  Lấy vi phân toàn phần và sử dụng các kí hiệu đã qui ƣớc ở trên, chúng ta có: dSi  dDi  Si T j dT j  E Dm T j Si Ek dT j  E dEk , i  1,...6 T Dm Ek (1.16) dEk , m  1,2,3 T Các kí hiệu vi phân đƣợc viết gọn lại thành các hệ số cho phƣơng trình kết cấu: Si T j  sijE là hệ số đàn hồi tại cƣờng độ điện trƣờng cố định E 12 (1.17a) Dm Ek Si Ek T là hằng số điện môi tại ứng suất cố định   mk (1.17b) T  d ki ; dDi  T Dm T j  d mj là hệ số áp điện (1.17c) E Trong trƣờng hợp dT và dE biến thiên nhỏ, chúng ta có thể biến đổi gần đúng phƣơng trình kết cấu thành dạng phụ thuộc tuyến tính nhƣ sau: Si  sijET j  d ki Ek , i  1,...6 T Dm  d miT j   mk Ek , m  1,2,3 (1.18) Trong đó: S là vector độ biến dạng (đại lƣợng tỉ lệ không thứ nguyên), T là vector ứng suất (N/m2), d là hằng số áp điện (m/V hoặc C/N), s là hệ số đàn hồi (m2/N), E là vector cƣờng độ điện trƣờng (V/m), D là vector cảm ứng điện (C/m2),  là hằng số điện môi (C2/N.m2). Dƣới dạng ma trận, phƣơng trình trên có thể viết thành:  s11   S1   s21 S    2  s  S3   31    S 4   s41  S5      s51  S6     s61  s12 s13 s14 s15 s16  d11    s22 s23 s24 s25 s26 T1  d12      T2  s32 s33 s34 s35 s36    d13 T     3   s42 s43 s44 s45 s46  T4  d14     T5 s52 s53 s54 s55 s56    d15  T6     s62 s63 s64 s65 s66  d16   d 21 d 31   d 22 d 32    d 23 d 33   E1     E2  d 24 d 34      E3  d 25 d 35    d 26 d 36   (1.19) T1        d11 d12 d13 d14 d15 d16  T2 11 12 13       D1    T     E1  3  D   d d       21  22  23    E2  d d d d 2 21 22 23 24 25 26     T4       D3    E3  d 31 d 32 d 33 d 34 d 35 d 36  T5   31  32  33        T6  13