Tài liệu Một số phương pháp tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

I. MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài Bài toán tính giới hạn của một dãy số cho bởi công thức truy hồi là một bài toán khó đối với học sinh trung học phổ thông nói chung và học sinh khối 11 nói riêng. Bài toán này thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, đề thi Olympic 30 tháng 4, đề thi quốc gia. Liên quan đến dạng toán này đã có nhiều cuốn sách giáo khoa, sách tham khảo đề cập đến, tuy nhiên những cuốn sách đề cập kỹ về cơ sở lý thuyết để dẫn đến phương pháp giải cụ thể phù hợp với kiến thức phổ thông là chưa nhiều. Đôi khi chỉ đưa ra một công thức, một quy trình giải một cách áp đặt, “thiếu tự nhiên”. Do không có đủ cơ sở lý thuyết nên khi áp dụng các kết quả đó học sinh thường thắc mắc “tại sao lại có được như vậy?” hay “Sao lại có kết quả đó?”...; Cũng chính vì không có đủ cơ sơ lý thuyết nên các em học sinh rất khó nhớ công thức, không tìm được mối liên hệ giữa các bài toán, không tự xây dựng được một lớp các bài toán cùng dạng và quy trình để giải các bài toán đó; Điều này làm ảnh hưởng đến khả năng tìm tòi sáng tạo toán của học sinh – một yếu tố rất quan trọng đối với người học toán. Trong quá trình giảng dạy chương trình toán lớp 11 và bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi đã tìm tòi đúc kết và rút ra được một số phương pháp cơ bản để tìm giới hạn của các bài toán dạng này. Vì vậy tôi chọn đề tài làm sáng kiến kinh nghiệm là : “Một số phương pháp tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi”. 1.2. Mục đích nghiên cứu. Trong phạm vi đề tài này tôi không có tham vọng đưa ra một hệ thống kiến thức hoàn toàn mới, một kết quả mới về mặt toán học; ở đây tôi chỉ trình bày những kết quả mà trong quá trình dạy học về dãy số và giới hạn tôi đã tích luỹ, tìm tòi; nhằm hướng tới mục đích giúp các em học sinh nắm được một số phương pháp cơ bản để tính được giới hạn của dãy số được cho bởi hệ thức truy hồi. Trên cơ sở từ một số bài toán điển hình tôi sẽ đưa ra phương pháp giải cho bài toán đó và một nhóm các bài toán tương tự; đồng thời giúp học sinh khái quát hóa để được các bài toán mới và đưa ra phương pháp giải cho các bài toán đó, qua đó giúp rèn luyện, phát triển tư duy giải toán cho học sinh. 1.3. Đối tượng nghiên cứu. Học sinh lớp 11A2 và 11A8 trường THPT Lê Hoàn - Thọ Xuân - Thanh Hoá. 1.4. Phương pháp nghiên cứu. + Nghiên cứu lý luận dạy học, tìm hiểu các tài liệu liên quan. + Thực hành qua các bài dạy + Tổng kết, đánh giá qua năm học 2016-2017 trên đối tượng là học sinh 2 lớp 11A2 và 11A8. 1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm Theo quan điểm của cá nhân thì đề tài này có một số điểm mới như sau: Trang 1 + Hệ thống lại cho học sinh ba phương pháp cơ bản để tìm giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi. + Xuất phát từ một số bài toán cơ bản được trình bày trong sách giáo khoa, tôi đã hướng dẫn học sinh giải. Trên cơ sở đó cho học sinh nhận dạng các loại bài tập và đưa ra phương pháp giải tương ứng; đồng thời gợi ý để học sinh tự tìm ra một số kết quả mới như giải quyết bài toán tổng quát hơn, phức tạp hơn. II. NỘI DUNG 2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm. 2.1.1. Một số định nghĩa liên quan đến dãy số Định nghĩa 1.1. Dãy số là một hàm số xác định trên tập các số nguyên dương. Ký hiệu u: *   n  u  n Định nghĩa 1.2. Cho dãy (un )  Dãy (un ) được gọi là dãy số tăng (đơn điệu tăng) nếu un  un1 n   * .  Dãy (un ) được gọi là dãy số giảm (đơn điệu giảm) nếu un  un1 n   * [4]. Định nghĩa 1.3. Cho dãy số (un )  Dãy (un ) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại hằng số M sao cho un  M n   * .  Dãy (un ) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại hằng số m sao cho un  m n   * .  Dãy (un ) vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới được gọi là bị chặn [4]. 2.1.2. Cấp số cộng 2.1. Định nghĩa Cấp số cộng là dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) thoả mãn: un+1=un+d ( * n  N ), d là số thực không đổi gọi là “công sai”. 2.2. Tính chất  Số hạng tổng quát của cấp số cộng: un =  u1   n  1 d   Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng: n n Sn=u1+ u2+ u3+...+ un =  2u1   n  1 d  =  u1  u n  [4]. 2 2 2.1.3. Cấp số nhân 3.1. Định nghĩa Cấp số nhân là dãy số (hữu hạn hay vô hạn) thoả mãn: un+1 = un .q ( n  N * ); q là số không đổi gọi là “công bội ”. 3.2. Tính chất  Số hạng tổng quát:un = u1 .qn-1  Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân qn 1 Sn=u1+ u2+ u3+...+ un = u1. , (q  1). q 1 (Nếu q = 1 thì hiển nhiên S = n.u1)[4]. 2.1.4.Giới hạn của dãy số Trang 2 Định nghĩa 4.1. Dãy số (un ) được gọi là có giới hạn 0 nếu với mọi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi đều có trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu lim un  0 hoặc un  0 . Định nghĩa 4.2. Dãy số (un ) được gọi là có giới hạn là số thực L nếu lim(un  L)  0 . Kí hiệu lim un  L hoặc un  L [5]. Một số giới hạn cơ bản cc 1. lim n  1 n 0 2. lim n  q n  0 với q  1 3. lim n  Định lí 4.1 (Định lý giới hạn kẹp giữa) Cho hai dãy số ( xn ), ( yn ) . Nếu xn  yn n và lim yn  0 thì lim xn  0 [5]. Định lý mở rộng:. Cho ba dãy số ( xn ), ( yn ), ( zn ) thỏa mãn  n0   : n  n0  zn  xn  yn  lim yn  lim zn  L Khi đó lim xn  L [5]. Định lý 4.2  Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn.  Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn”[1]. un  lim un1 . Nhận xét: Giả sử dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn thì nlim  n 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm. Khi dạy chủ đề dãy số và giới hạn về dãy số ta bắt gặp một số bài toán trong sách giáo khoa lớp 11 và một số đề thi học sinh giỏi như sau: u1  10  Bài tập 1. Cho dãy số (un) xác định như sau:  1 u  un  3, n  1 n  1  5 15 a) Chứng minh rằng dãy số (vn) xác định bởi vn  un  là một cấp số nhân. 4 b) Tính limun”[1]. u1  2 u Bài tập 2. Cho dãy số ( n ) xác định bởi  . Tính lim un [2]. un1  2  un , n  1 1  u  1  4 Bài tập 3. Cho dãy số (un) xác định bởi  u  u 2  un , n  1 n  n1 2 1 4 a) CMR: 0  un  , n u 3 n 1 b) CMR: u  4 , n . Tính limun [1]. n Trang 3 u1  30 Bài tập 4. Cho dãy số ( un ) xác định bởi  2 un1  30un  3un  2011, n  1 un1 Tính lim [8]. ( Đề thi HSG khối 11 tỉnh Quảng Bình năm 2010 – 2011). un Sau khi nghiên cứu Sách giáo khoa và giải bài toán này ta rút ra một số nhận xét sau đây:  Đây là bài toán tìm giới hạn của một dãy cho bởi hệ thức truy hồi, học sinh thường lúng túng trong việc tìm ra các giải cho bài toán.  Nếu như đề bài không cho câu a) mà chỉ yêu cầu giải câu b) thì bài toán trở nên rất khó đối với học sinh. Việc đề bài yêu cầu thêm câu a) là một gợi ý giúp học sinh có thể xác định hướng giải quyết cho bài toán. Cụ thể có thể xác định công thức tổng quát của dãy số (un) nhờ vào việc tìm công thức tổng quát của một cấp số cộng, cấp số nhân; hoặc sử dụng các định lý về giới hạn của dãy số như nguyên lý kẹp, định lý về sự tồn tại của dãy số để tìm giới hạn của dãy số.  Với các bài toán được đề cập trong các kỳ thi, đặc biệt là các kỳ thi chọn học sinh giỏi thì việc gợi mở bằng cách cho câu a) không được đưa ra. Vấn đề là học sinh biết cách nhận dạng, phân tích bài toán để có hướng giải quyết. Đây là một vấn đề không dễ đối với học sinh. Vì vậy giáo viên cần định hướng giúp học sinh giải quyết vấn đề này. 2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề. Trong quá trình tìm tòi, nghiên cứu, giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi đã tổng hợp và đưa ra một số phương pháp để tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi. Trong khuôn khổ của đề tài này, tôi xin đưa ra 3 phương pháp cơ bản để tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi sau đây. Phương pháp 1: Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách xác định số hạng tổng quát của dãy số. Phương pháp 2: Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử dụng tính đơn điệu và bị chặn của dãy số. Phương pháp 3: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử dụng nguyên lí kẹp. 2.3.1. Phương pháp tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách xác định số hạng tổng quát của dãy số. Phương pháp xác định số hạng tổng quátcủa một dãy số cho bởi hệ thức truy hồi khá phong phú và đa dạng, trong phạm vi đề tài này tôi chỉ trình bày phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy số dãy số bằng cách biến đổi công thức truy hồi, sau đó sử dụng đổi biến để đưa dãy số về cấp số cộng hoặc cấp số nhân.. Trên cơ sở tìm được số hạng tổng quát của dãy số ta tính giới hạn của dãy số đã cho. Trang 4 u1  1 n  N * . Hãy xác định số un1  un  2 Ví dụ 1.1. Cho dãy số (un) xác định như sau  hạng tổng quát của dãy số. Nhận xét: Để giải quyết bài toán này học sinh có thể giải theo 2 cách như sau : Cách 1: (Dùng phương pháp quy nạp) Từ giả thiết ta có: u1 = 1 = 1+ 0.2 = 1+(1-1).2 u2 = 3 = 1+2 =1+(2-1).2 u3 =5 = 1+2+2 =1+(3-1).2 ... Dự đoán un = 1+(n-1).2 Ta chứng minh kết qủa đó bằng phương pháp quy nạp toán học. Cách 2:(Sử dụng định nghĩa về cấp số cộng) Từ giả thiết ta có: un+1 – un = 2  n N* Nên theo định nghĩa cấp số cộng thì (un) lập thành cấp số cộng với u1=1, công sai d=2. Suy ra un=u1+(n-1).d = 1+(n-1).2 u1  10  Ví dụ 1.2. Cho dãy số (un) xác định  . 1 u  u  3,  n  1  n1 5 n 15 a) Chứng minh rằng dãy số (vn) xác định bởi vn  un  là một cấp số nhân. 4 b) Tính limun[1]. Giải a) Ta có vn1  un1  15 1 15 1 15 3 1  un  3   (vn  )   vn . 4 5 4 5 4 4 5 1 25 1 1 Nên (vn) là một CSN có công bội q  và v1  . Do đó vn  v1.q n1  .  5 4 4 5 15 1  1  b) Từ câu a) suy ra un  vn   .  4 4 5 n 3  n 3 15 15 . Do đó lim un  . 4 4 Nhận xét 1. Câu hỏi mà học sinh đặt ra là tại sao lại nghĩ ra được phép đổi biến 15 vn  un  để dãy (vn) là một CSN? Từ đó giáo viên gợi ý hướng giải là ta cần tìm 4 1 1 1 1 15 số b sao cho un 1  b  (un  b)  un1  b  b  un  un  3  b  5 5 5 5 4 1 15 Do vậy nếu đặt vn  un  thì vn1  vn , n  1 nên (vn) là một cấp số nhân. 5 4 n 2. Ngoài ra có thể đặt vn  5 .un , n  1 , khi đó ta có vn1  vn  3.5n1 , n  1 . 15 n vn 15 5n  1 35 1  1  Suy ra vn  (5  1)  35  un  n  . n  n    4 5 4 5 5 45 Trang 5 n 3  15 4 . 3. Từ bài toán trên giáo viên dẫn dắt, gợi ý cho học sinh đến một vấn đề mới : " đề xuất bài toán tổng quát hơn cùng với quy trình để giải bài toán đó" Bình luận: Thực chất các bài toán dạng này đều được giải quyết triệt để nhờ lý thuyết về phương trình sai phân tuyến tính, tuy nhiên đối với đại đa số học sinh trung học phổ thông thì các kiến thức đó là quá tầm. Trong phạm vi đề tài này tác giả chỉ đưa ra các hoạt động toán học nhằm phát triển tư duy cho học sinh bằng cách giúp học sinh xây dựng các bài toán và cách giải các bài toán đó bằng các kiến thức phổ thông. Từ cách đặt vấn đề của giáo viên học sinh có thể đưa ra bài toán tổng quát hơn như sau :  u1  a Bài toán 1.1. Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) xác định bởi u  u  b n  1 . n  n1 Từ đó tính giới hạn của dãy số đó. Bài toán này có khái quát hơn ví dụ 1.1, cách giải bài toán này tương tự . Trên cơ sở đó giáo viên có thể gợi ý để giúp học sinh phát triển bài toán theo hai hướng: Hướng 1: Ta thấy hệ số của un trong bài toán trên là 1. Nếu ta thay hệ số đó bởi một số thực k thì việc giải quyết nó có gì thay đổi.  u1  a Bài toán 1.2..Cho dãy số (un) xác định bởi  u  ku  b n  1, k  1 .Xác định số n  n 1 hạng tổng quát của dãy số. Từ đó tính giới hạn của dãy số đó. Hướng 2: Thay b bởi một biểu thức phụ thuộc n thì sao? u1  a n  N * , k  N * . Trong un 1  k .un  f (n) Bài toán 1.3. Cho dãy số (un) xác định bởi  đó f(n) là một biểu thức phụ thuộc n. Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy ? Từ đó tính giới hạn của dãy số đó. Rõ ràng đây là bài toán tổng quát hơn, cách giải bài toán này đòi hỏi sự tư duy và sáng tạo mới của học sinh. Qua thực tế giảng dạy tôi thấy : Đối với bài toán mới này một số học sinh thường giải được theo cách 1 (phương pháp quy nạp) nhưng các em gặp khó khăn khi đoán tìm số hạng tổng quát un . Liệu có thể giải quyết bài toán này theo cách 2 ? Với bài toán 1.2. Từ giả thiết bài toán ta tìm cách biến đổi về b dạng: un+1 - b = k(un – b ) với b  . 1 k Đến đây nhiều học sinh có thể chưa nhìn nhận ra vấn đề, giáo viên có thể gợi ý cho học sinh : "Nếu ta đặt vn+1 = un+1 - b thì (vn) lập thành một cấp số nhân với công bội k, từ đó ta có cách giải quyết như sau : Đặt vn = un - b  n N* lúc đó (vn) lập thành cấp số nhân với công bội là k, v1=a + b . k 1 Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân thì : vn = v1.kn-1= k n1  1 Khi đó: un =a.k +b k 1 Với bài toán 1.3 ta định hướng như sau: n-1 Trang 6 a(k  1)  b n1 .k k 1 u1  a n  N * . Trong đó un 1  un  f (n) Trường hợp 1. Với k =1 dãy số (un) xác định bởi  f(n) là một biểu thức phụ thuộc n. Khi đó ta biến đổi như sau: un =(un - un-1)+(un-1 – un-2)+(un-2 – un-3)+ …+(u2 – u1)+ u1 = f(n-1)+f(n-2)+ ... + f(1)+a. Trong đó f(n-1) + f(n-2) + ... + f(1) tính được. u1  1  Ví dụ minh hoạ 1: Cho dãy số (un) xác định như sau  1 n un 1  un  ( 2 ) xác định số hạng tổng quát của dãy ? Từ đó tính lim un . n   * . Hãy Giải Ta có: un=(un - un-1 )+(un-1 – un-2)+(un-2 – un-3)+ …+(u2 – u1)+ u1 n 1 n 2 1 1 1 =       ...     1 2 2 2 n  1  =  2 1     . Do đó limun = 2.  2  Trường hợp 2. Với k  1 . Giáo viên gợi ý: "Theo cách cho dãy số ta có: un+1 – kun = f(n), từ đó hãy biểu diễn un tương tự như cách làm ở trên" Ta có: un = (un - kun-1 ) +k (un-1 – kun-2) +k2 (un-2 – kun-3) + …+kn-2 (u2 – ku1) +kn-1 u1 = f(n-1) + k.f(n-2) + k2f(n-3) + ... +kn-2f(1) + kn-1u1. (Tổng này tính được tùy theo k và f(n) của bài toán cho) u1  2 n  N * . Hãy xác un 1  2un  n Ví dụ minh hoạ 2: Cho dãy số (un) xác định như sau  định số hạng tổng quát của dãy ? Hướng dẫn Áp dụng kết quả trên với f(n) = n, k = 2 ta được un= 2n+1 – n – 1. Đến đây giáo viên đặt vấn đề: ở bài toán trên nếu ta thay f(n) bởi một biểu u1  a , u2  b n  N * , n  1 un1  pun  qun1 thức chứa un-1 thì sao? Cụ thể hệ thức truy hồi cho bởi  Thì việc tìm số hạng tổng quát và tính giới hạn của dãy số này sẽ được giải quyết như thế nào? Giáo viên có thể định hướng cho học sinh giải quyết bài toán trên theo hướng giải Bài toán 1.2, muốn vậy ta cần tìm 2 số  và  sao cho: un+1 -  un =  (un -  un-1)     p  .  q Do un+1 = pun – qun-1 nên ta có :  (**) (ta giả thiết rằng   0, vì nếu  = 0 thì q = 0, bài toán trên giải quyết vì khi đó (u n ) là cấp số nhân). Đặt vn=un+1 -  un ta có vn=  .vn-1 do đó (vn) lập thành cấp số nhân với công bội là  , v1= u2 –  u1=b–  a và vn=  n-1v1 hay un+1 -  un =  n-1(u2 –  u1) (1) Ta lại có un+1 -  un=  (un -  un-1)  un+1 -  un =  (un -  un-1) Trang 7 Nên tương tự trên ta cũng có un+1 -  un =  n-1(u2 –  u1) (2) Trường hợp 1: Nếu    trừ vế theo vế của (2) cho (1) ta có u2   u1 n1  u1  u2 n1    (  -  )un =  n-1(u2 –  u1) -  n-1(u2 –  u1)  un      Trường hợp 2: Nếu  =  ta có: un = (un -  un-1)+  (un-1–  un-2)+  2(un-2 –  un-3) + …+  n-2 (u2 –  u1) +  n-1u1 = vn-1 +  vn-2 +  2vn-3 + …+  n-2v1 +  n-1u1 =  n-2v1 +   n-3v1 +  2  n-4v1 + …+  n-2v1 +  n-1u1 = (  n-2 +  n-2 + …+  n-2)v1 +  n-1u1 (n-1) số hạng = (n – 1)  n-2 (b –  a ) +  n-1u1 = (n – 1)  n-2 (b –  a ) +  n-1.a = (n – 1)b.  n-1 + (n – 2)a.  n-1. Vậy số hạng tổng quát của dãy số (un) là u   u1 n1  u1  u2 n1 un  2    (nếu    )     un = (n – 1)b.  n-1 + (n – 2)a.  n-1 (nếu  =  )     p với  ,  được xác định bởi   .  q Bài toán đã được giải quyết. u1  2 , u2  6, n  N , n  2 . un 1  6un  2un 1 Ví dụ minh hoạ 3: Cho dãy số (un) được xác định  Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số đó. suy ra limun [2]. Áp dụng kết quả trên ta có số hạng tổng quát u n   3  7  n 1   3 7  n 1 n   * Do đó lim un   . Ví dụ minh hoạ 4: Tìm số hạng tổng quát của dãy Fibonaci u1  u2  1 n  N , n  2 [3].  un 1  un  un 1 1 1 5  1 5    Ta có số hạng tổng quát của dãy Fibonaci là : un=     5   2   2   Nhận xét: Như vậy với cách làm trên ta đã hướng dẫn học sinh tự xây dựng các bài toán mới và quy trình giải các bài toán đó một cách tự nhiên, không phải sử dụng đến các kiến thức vượt chương trình như lý thuyết về phương trình sai phân tuyến tính, phương trình đặc trưng hay phương trình hàm sinh... Điều đó ngoài việc giúp học sinh nhớ và giải được toán mà điều quan trọng hơn là đã giúp học sinh phát hiện vấn đề, giải quyết vấn đề phát triển tư duy sáng tạo. Thực tế qua theo dõi các đề thi HSG các tỉnh nhiều năm qua cũng thấy có khá nhiều bài toán tương tự. Ta tiếp tục xét thêm một số ví dụ: Thực tế giải toán cho thấy, có nhiều bài toán phức tạp hơn, nếu linh hoạt biến đổi theo cách trên ta vẫn giải quyết được một cách dễ dàng. Ví dụ sau cho thấy rõ điều đó. n Trang 8 n u1  1; u2  1 Ví dụ 1.3. Cho dãy số (un) thỏa mãn:  với n  N , n  1 .Hãy tìm u  2 u  u  1  n1 n n 1 số hạng tổng quát của dãy số đó? Từ đó tìm lim un [6]. Hướng dẫn Theo giả thiết ta có: (un+1 – un)=(un – un-1) +1 Đặt vn=(un+1 –un) thì ta có vn+1 - vn =1 nên (vn) lập thành cấp số cộng với v1 = 0 và công sai d = 1, do đó: Sn-1 = v1+ v2 + ... + vn-1 = (n  1) v1  vn 1 (n  1)(2v1  n  2) (n  1)(n  2) = = 2 2 2 Mặt khác ta có: un = (un – un-1) + (un-1 – un-2) + ... + (u2 – u1) + u1 = vn-1+ vn-1 + ... + v1 + u1 = Sn-1 + u1 = Vậy un = n(n  3) . 2 n 2  3n 2 u1  1 Ví dụ 1.4.Cho dãy số (un) xác định như sau:  với n  N * 2 un1  3un  8un  1 Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số [7]. Hướng dẫn Từ giả thiết ta có: un+1 – 3un = 2 8un2  1  (un+1 – 3un)2 = 8un  1  un21  un2  6un .un 1  1 (1) Do đó ta cũng có un2  un21  6un 1 .un  1 (2) Trừ (1) cho (2) vế theo vế ta được: un21  un21  6un (un1  un1 )  un+1 + un-1 = 6un (vì un 1  3un  9un 1  3 8un 1  1  un 1 suy ra un+1 - un-1 >0) u1  1; u2  6 Do đó bài toán đã cho trở thành: Cho dãy số (un) xác định  với un1  6un  un1 n  N , n  1 .Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số đó? (3  8) n  (3  8) n Đs: un 2 8 Bài tập vận dụng u1  3 Bài 1.1.Cho dãy số (un) xác định  . Đặt Sn= u1+u2+… +un, 2un1  un  1, n  1 a) CMR dãy số (vn) với vn = un –1 , n  1 là một cấp số nhân lùi vô hạn. Trang 9 b) Tính limSn [1]. ĐS: limSn   u1  1  un  4 Bài 1.2. Cho dãy số (un) xác định bởi  u   n1 u  6 , n  1 n  a) CMR un  4, n  1 . un  1 b) CMR dãy (vn) với vn  là một cấp số nhân. Tính limun [1]. un  4 ĐS: lim un  1 . u1  3 u Bài 1.3. Cho dãy số (un) xác định bởi  .Tính lim 2nn [6]. 2 un1  4un  1, n  1 ĐS: lim un 2  22 n 3 u1  1  1 Bài 1.4. Cho dãy số (un) xác định bởi  .Tính limun [8]. un1  un  n(n  1) , n  1  ĐS: limun = 2. u1  1 , u2  2,  n  N , n  2 .Tính limun Bài 1.5.Cho dãy số (un) xác định như sau  1 un 1  3 (un  2un 1 ) [8](Đề thi HSG tỉnh Lạng sơn năm 1999). 14 ĐS: lim un  . 5 u1  1; u2  2  Bài 1.6.Cho dãy số (un) xác định như sau  n  N * . Tính limun [7]. 1 un1  2 (un  un1 ) ĐS limu n  5 2 1  a1  2   Bài 1.7. Cho dãy số  an  xác định a  1  a  a 2  1  , n  N * .Tính lim an . n  n 1 2  n 4 n  2 ĐS: lim an  .  Trang 10 un 2  2  ....  2 .Tính lim u1.u2 .... Bài 1.8. Cho dãy số (un) xác định bởi un   n   ndaucan 2 (Đề thi HSG Quảng Ngãi năm 2001 – 2002) HD: un  2 cos u .u ....u  2 , n và lim 1 2 n n  n 1 2 2  2.3.2. Phương pháp tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử dụng tính đơn điệu và bị chặn *Nhận xét: Phương pháp này tỏ ra rất hiệu quả với các bài toán mà việc tìm công thức tổng quát của dãy số gặp khó khăn. Sau đây ta xét một số ví dụ. u1  2 u Ví dụ 2.1. Cho dãy số ( n ) xác định bởi  . Tính lim un u  2  u ,  n  1  n1 n Giải * Chứng minh ( un ) là dãy số tăng bằng quy nạp, tức là un1 > un , n  1 Khi n = 1 ta có u2  2  u1  2  2  2  u1 Giả sử uk 1  uk , khi đó uk  2  2  uk 1  2  uk  uk 1 . Vậy un1 > un , n  1 * Ta chứng minh dãy ( un ) bị chặn trên bởi 2 bằng quy nạp, thật vậy Khi n = 1 ta có u1  2  2 Giả sử uk  2, k  1 , khi đó uk 1  2  uk  2  2  2 . Vậy dãy số (un) bị chặn trên bởi 2. Do đó dãy số (un) có giới hạn hữu hạn, giả sử limun = a, thì a  2 . * Từ hệ thức truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có lim un1  lim 2  un  a  1 2 Hay a  2  a  a  a  2   . Vì a  2 nên a = 2. Vậy lim un  2 a  2 Nhận xét: Với ví dụ này, ta có thể tìm được số hạng tổng quát của dãy (un) là  un  2cos n1 , n  1 , tuy nhiên việc xác định số hạng tổng quát của (un) không phải 2 là đơn giản và mất nhiều thời gian. Với phương pháp tính giới hạn như bài giải trên, bài toán được giải quyết tương đối gọn nhẹ. Ví dụ 2.2. Cho các dãy số ( xn ), ( yn ) được xác định như sau xn  yn , n   *. 2 ( x ), ( y ) Chứng minh rằng các dãy số n n có giới hạn và lim xn  lim yn [5]. x1  a  0, y1  b  0, xn1  xn yn , yn1  Nhận xét: Dựa vào dữ kiện đề bài tìm số hạng tổng quát của hai dãy số ( xn ), ( yn ) là rất khó khăn. Giải Trang 11 Ta xét hai trường hợp sau: (i) Nếu a  b thì bằng quy nạp ta chỉ ra được dãy ( xn ) là dãy giảm bị chặn dưới bởi a , còn dãy ( yn ) là dãy tăng bị chặn trên bởi a . Do đó theo định lý tồn tại lim xn , lim yn và từ giả thiết chuyển qua giới hạn ta được lim xn  lim yn . (ii) Nếu a  b tương tự như trường hợp (i). Ví dụ 2.3. Cho dãy số ( xn ) được xác định x1  1, x2  2, xn2  xn1  xn , n   * . Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn và tìm giới hạn đó [5]. Hướng dẫn Dễ thấy bằng quy nạp ta chỉ ra được ( xn ) là dãy số tăng và bị chặn trên bởi 4. Do đó theo định lý ta có tồn tại lim xn  a . Từ đẳng thức xn 2  xn1  xn chuyển qua giới hạn ta được a  2 a nhưng do a  0 nên chỉ lấy a  4 . Vậy lim an  4 . u1  2017 u Ví dụ 2.4. Cho dãy số ( n ) xác định bởi  2 .Chứng un  2un .un 1  2018  0 , n  1 minh rằng dãy (un) có giới hạn và tính giới hạn đó. (Sáng tác dựa trên Đề thi HSG Quảng Ngãi năm học 2010 – 2011) Giải Trước hết ta nhận xét rằng un > 0, với mọi n, Thật vậy, ta có u1 = 2017 >0. Giả sử uk  0, k  1 , ta chứng minh uk 1  0 uk 2  2018 2 0 Từ hệ thức truy hồi suy ra 2uk .uk 1  uk  2018  0  uk 1  2uk un 2  2018 1 2018 2018  (un  )  un .  2018, n  1 . Do đó ta có un1  2un 2 un un un1 un 2  2018 1 2018 1 1      1 Mặt khác ta có un 2un 2 2 2un 2 2 2 2018 2018 1   ) (vì un  2018, n  1  2un 2 2.2018 2 Nên (un) là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi hạn. Giả sử limun = a, khi đó 0  a  2017 2018 , do đó dãy (un) có giới hạn hữu un 2  2018 un 2  2018 a 2  2018  lim un1  lim a Và ta có un1  2un 2un 2a  a 2  2018  a  2018 . Vậy lim un  2018 . u1  30 un1 Ví dụ 2.5. Cho dãy số ( un )xác định  .Tính lim 2 un un1  30un  3un  2011, n  1 ( Đề thi HSG Quảng Bình năm 2010 – 2011)[8]. Hướng dẫn Trang 12 * Nhận xét rằng un  0, n ( kiểm tra bằng chứng minh quy nạp) * Dãy số ( un ) là dãy tăng. * Giả sử dãy ( un ) bị chặn trên, khi đó ( un ) có giới hạn hữu hạn và lim un = a (a > 0) Ta có lim un1  lim 30un 2  3un  2011  a  30a 2  3a  2011  a 2  30a 2  3a  2011  29a 2  3a  2011  0 . Phương trình vô nghiệm. Vậy dãy (un) không bị chặn hay lim un   . * Ta có un1 un 1 30un 2  3un  2011 3 2011  30 .   30   2 .Do đó lim 2 un un un un un u1  1  Ví dụ 2.6. Cho dãy số ( un ) xác định  . Tính lim un 2 u   un , n  1  n1 2017  u u u ( 1  1  .....  n ) (Sáng tác từ Đề thi HSG Quảng Bình năm 2010 – 2011). u2 u2 un1 Hướng dẫn un 2 * Ta có un 1  un   0, n  1(*)  un1  un , n  1 , do đó dãy (un) là dãy số 2017 tăng. * Giả sử (un) bị chặn trên, khi đó dãy (un) có giới hạn hữu hạn, giả sử limun = a ( a  1 ). u2 a2 Từ hệ thức truy hồi suy ra lim un1  lim( n  un ) . Hay a   a  a  0 (vô 2017 2017 lý). Vậy: lim un   . un 1 1 un1  un un 2  2017(  ) 2017.  * Từ (*) suy ra hay un1 un un1 un1.un un1.un u u u 1 1 1  1  1  .....  n  2017(  )  2017(1  ) u2 u2 un1 u1 un1 un1 u1 u1 un 1 )  lim 2017.(1  ). Do đó lim (   .....  u2 u2 un1 un1 Vậy: lim ( u1 u1 u   .....  n )  2017 . u2 u2 un1 Bài tập vận dụng 1 4 Bài 2.1. Cho dãy số  xn  thỏa mãn 0  xn  1, xn 1  1  xn   .Chứng minh dãy số trên có giới hạn và tìm giới hạn đó [6]. Trang 13 ĐS: lim un  1 . 2 u1  0  1 a Bài 2.2. Cho dãy ( un ) xác định  (với a >0). Tính lim un . u  (2 u  ),  n  1  n1 3 n u 2 n  ĐS: lim un  3 a . 1  u  1  2 Bài 2.3. Cho dãy ( un ) xác định  . Chứng minh rằng 2 u  4 u  u u  n n n , n  1  n1 2 n 1 dãy số yn  nlim  2 có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó[8].  k 1 uk ĐS: limyn= 6. u1  0  1 a Bài 2.4. Cho dãy số ( un ) xác định bởi  (a > 0).Tính limun u  ( u  ),  n  1 n  1 n  2 un  ĐS: limun = a [8]. n u1  1 1 Bài 2.5. Cho dãy số ( un ) xác định  .Đặt Sn   . Tính k 1 uk un1  1  u1.u2 ....un , n  1 limSn [6]. ĐS:limSn = 2. u1  a  1 n 1  2 un  un  1 Bài 2.6. Cho dãy ( un ) xác định bởi  .Tính nlim  2  , n  1 k 1 uk  1 un1  u n  (Tạp chí THTT tháng 10/2010) [5]. n u1  2016 1 Bài 2.7. Cho dãy ( un ) xác định  .Tính nlim [4].  2  u  1 u  u ( u  1) ,  n  1 k  1 k  n1 n n n ĐS: nlim   k 1 1 uk  1  1 . 2016 Bài 2.8. Cho dãy số thực ( xn ) được xác định bởi x1  a và xn1  3xn3  7 xn2  5 xn n   *  4 trong đó a là một số thực thuộc đoạn 0,  .Chứng minh rằng dãy số ( xn ) có giới  3 hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó[8]. Trang 14 Bài 2.9. Cho số thực a .Cho dãy số ( xn ), n   * được xác định bởi: x0  a và xn 1  xn  sin xn . Chứng minh rằng dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn khi n   và tính giới hạn đó [8]. 1 u1  1 ui2016 Bài 2.10. Cho dãy số ( un ) xác định bởi  . Tính lim  . 2017 1 ui 1 un1  un  un , n  1 ui2016 ĐS: lim  =1. 1 ui 1 1 2.3.3. Phương pháp tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử dụng định lý về nguyên lý kẹp Ta xét một số ví dụ 1  u  1  4 Ví dụ 3.1. Cho dãy số (un) xác định bởi  u  u 2  un , n  1 n  n1 2 1 4 a) Chứng minh rằng 0  un  , n . u 3 n 1 b) Chứng minh rằng u  4 , n . Tính limun [1] . n Giải 1 4 a) Bằng quy nạp ta chứng minh được 0  un , n . Ta chứng minh un  , n . Với n = 1 thì u1 = 1 đúng. 4 1 4 1 1 1 . Thật vậy, ta có uk   uk 2  uk 4 4 4 3 3 1 3 1 1 3 3 1 1 và uk  .  . Do đó uk 1  uk  uk  uk   . Vậy 0  un  , n 4 4 4 16 4 2 4 16 4 4 un 1 1 1 1 3 b) Từ câu a) suy ra u  un  2  4  2  4 , n n Giả sử uk  , k  1 , ta chứng minh uk 1  u u u 3 3 3 1 3 Do đó ta có 0  un  n . n1 ...... 2 .u1  . ..... .u1  .   un 1 un 2 u1 4 4 4 4 4 1 3 Mà lim .   4 4 n 1 , n . n 1 =0, nên theo nguyên lí kẹp thì limun = 0. Nhận xét: Với ví dụ này việc xác định số hạng tổng quát hoặc sử dụng tính đơn điệu của dãy số để tìm giới hạn gặp nhiều khó khăn. Bên cạnh đó đề bài cho câu a). Đây cũng là gợi ý để ta giải quyết bài toán này theo nguyên lý kẹp. Trang 15 1 2 Ví dụ 3.2. Dãy số ( xn ) thỏa mãn điều kiện 1  x1  2 và xn1  1  xn  xn2 , n   * . xn [8]. Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ. Tìm lim n  Giải 1 , n  3 . 2n Thật vậy: ta kiểm tra được ngay bất đẳng thức đúng với n  3 . 1 Giả sử bất đẳng thức đúng với n  3 , tức là xn  2  n . Khi đó ta có 2 1 1 1 1 1 1 xn1  2  xn  2 2  2  xn  xn  2 2  xn  2  2 2  xn  2   n1 . n 2 2 2 22 2 n  1 Do đó bất đẳng thức đúng đến . 1 Mặt khác do lim n  0 nên từ bất đẳng thức trên và nguyên lý kẹp ta có lim xn  0 . 2 Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp bất đẳng thức sau: xn  2    1  u1  2 Ví dụ 3.3. Cho dãy số (un) xác định bởi  . u  un , n  1  n1 n  1 u 1 n 1 a) Chứng minh rằng un  0 và u  2 , n . n b) Tính limun [1]. Hướng dẫn a) Dễ dàng chứng minh bằng quy nạp được un  0, n u 1 1 n 1 Từ hệ thức truy hồi ta có u  n  1  2 , n  1 . n n u u u 1 1 1 1 1 b) Từ câu a) ta có 0  un  n . n 1 ....... 2 .u1  . ..... .    , n  1 un 1 un  2 u1 2 2 2 2 2 n 1 Mà lim   = 0. Nên theo nguyên lí kẹp ta có limun = 0. 2 u1  a  Ví dụ 3.4. Cho dãy số (un) xác định bởi u  un  1  1, n  1 (– 1 < a < 0).  n1 un 2  1  1 (un  1), n  1 . a) Chứng minh 0  un1  1  2 a 1 b) Tính limun [1]. Hướng dẫn Nhận xét rằng – 1 < un < 0, với mọi n (kiểm tra bằng chứng minh quy nap). Từ đó suy ra 0 < un + 1 < 1 và un 2  1 > 1 un  1 u   1  (un  1)  1  un , n  1 , nên dãy (un ) là dãy giảm n  1 Suy ra 2 un  1 Do đó 1  un  un1  ....  u1  a  0, n  1 Trang 16  un 2  a 2  un 2  1  a 2  1  Nên 0  un1  1  un  1 un 2  1  1 a2  1 1 un 2  1  1 a2  1 (un  1), n  1 n1 n 1  1   1   0  un  1  ....   (u1  1), n  1 Hay 1  un     .(a  1)  1 2 2  a 1   a 1  n 1    1  1   1 . Suy ra limun = -1.  1  lim (a  1)   1 Vì 0   2   a2  1 a  1   Bài tập vận dụng un  0 Bài 3.1. Cho dãy số (un) xác định bởi  2 un  un  un1 , n  1 1 a) Chứng minh rằng un  , n  1 . n b) Tính lim un . (Đề thi HSG Quảng Ngãi năm học 2007 – 2008)[8]. ĐS: lim un =0. u1  1  Bài 3.2. Cho dãy số (un) xác định bởi  . 1 u  u  ,  n  1  n1 n 2n  1 a) Chứng minh rằng un 1  un  n1 , n  1 . 2 b) Tính lim un . (Đề thi HSG Hà Tĩnh năm học 2009 – 2010) [8]. ĐS: lim un =2. 1  u0  2 Bài 3.3. Cho dãy số (un) xác định bởi  . uk 1  uk  1 uk 2 , k  0, n  1  n 1 a) Chứng minh rằng 1   un  1 . n b) Tính lim un . ĐS: lim un =1. Bài 3.4. Cho dãy các hàm số  Pn ( x) xác định như sau x  Pn2 ( x) Pn ( x) . P0 ( x)  0, Pn 1 ( x)  Pn ( x)  , n  0; x   .Tìm lim n  2 Trang 17 ĐS: lim Pn ( x)  x , với mọi x  [0,1] [6]. 1  u  1  3 Bài 3.5. Cho dãy số (un) xác định bởi  . Tìm lim un [7]. 1 2 u  u  1, n  1  n1 2 n ĐS: lim un =1  3 . Bài 3.6. Chứng minh rằng lim n n  1 . 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường. Đề tài đã giải quyết được các vấn đề sau:  Đề tài đã chỉ ra được một số vướng mắc và cách khắc phục của một lớp đối tượng học sinh trong khi giải các bài toán về tìm số hạng tổng quát và tìm giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi.  Đề tài đã đưa ra được ba phương pháp cơ bản để tìm giới hạn của dãy số được cho bởi hệ thức truy hồi trên cở sở từ các bài toán cơ bản trong sách giáo khoa cũng như các bài toán khó trong các đề thi học sinh giỏi.  Đề tài được áp dụng trong những tiết luyện tập, các tiết tự chọn ở trên lớp cũng như các buổi dạy bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trường.  Thông qua việc xuất phát từ những bài toán cơ bản, giáo viên đã gợi ý, dẫn dắt học sinh tổng quát bài toán, tạo ra bài toán mới, dần dần hình thành cho các em khả năng làm việc độc lập, phát triển tư duy sáng tạo, phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề. Phát huy tối đa tính tích cực của học sinh theo đúng tinh thần đổi mới của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Từ đó tạo cho các em niềm tin, hứng thú khi học tập bộ môn Toán.  Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong năm học giảng dạy lớp 11 ,được học sinh nhiệt tình tham gia và đã nâng cao chất lượng dạy học chuyên đề dãy số và giới hạn dãy số. Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn các phương pháp này các em học sinh với mức học trung bình trở lên đã có căn cứ để giải các bài tập khó. Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt. Cụ thể ở các lớp sau khi áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy, đánh giá qua bài kiểm tra thu được kết quả như sau : Lớp Năm Tổng số HS Điểm 8 trở lên Điểm từ 5 đến 8 Số Tỷ lệ Số Tỷ lệ Trang 18 Điểm dưới 5 Số Tỷ lệ học 2016 2017 lượng 11A8 (Ban cơ bản) 11A2(Ban nâng cao) lượng lượng 41 7 17,1 % 22 53,6 % 12 29,3 % 44 31 70,4% 8 18,2% 5 11,4 % III. PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Sáng kiến kinh nghiệm này là kết quả của một quá trình tìm tòi, nghiên cứu và đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi. Qua một năm triển khai thực hiện đề tài này với cách xây dựng và phát triển các bài toán, xây dựng quy trình giải quyết các bài toán một cách "tự nhiên” như vậy, tôi nhận thấy các em đã nắm được vấn đề, biết vận dụng các kết quả trên vào giải quyết các bài toán một cách linh hoạt, sáng tạo. Từ đó giúp cho các em yêu thích môn toán hơn, chất lượng giờ học đã được nâng cao rõ rệt. Trong năm học tới, tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu và bổ sung để đề tài này được hoàn thiện hơn, đáp ứng được nhu cầu bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi để các em đạt kết quả cao trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi và kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông sau này. Trong quá trình biên soạn đề tài tôi đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên cũng không tránh khỏi những thiếu sót.Tôi rất mong được các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp góp ý, bổ sung để đề tài này hoàn thiện hơn. Hy vọng tài liệu này có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho học sinh và thầy cô giáo trong quá trình học tập, giảng dạy. Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 16 tháng 5 năm 2017 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác. Trịnh Công Hải Trang 19