MỤC LỤC
I. MỞ ĐẦU............................................................................................................2
1.1. Lí do chọn đề tài.........................................................................................2
1.2. Mục đích nghiên cứu..................................................................................2
1.3. Đối tượng nghiên cứu.................................................................................2
1.4. Phương pháp nghiên cứu............................................................................2
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM..................................................3
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm....................................................3
2.1.1. Những kiến thức cơ bản:.........................................................................3
2.1.2. Các dạng quỹ tích thường gặp đối với điểm biểu diễn của một số phức4
2.1.2.1. Quỹ tích điểm biểu diễn là đường thẳng:.........................................4
2.1.2.2. Quỹ tích điểm biểu diễn là đường tròn:...........................................5
2.1.2.3. Quỹ tích điểm biểu diễn là elip:.......................................................6
2.1.3. Tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất trong đó điểm biểu diễn của
số phức đó là đường tròn, đường thẳng hoặc elip.............................................6
2.1.3.1. Dạng 1: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng (5
cách giải )......................................................................................................7
2.1.3.2. Dạng 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn ( 5
cách giải).......................................................................................................9
2.1.3.3.
Dạng 3: Cho số phức z thỏa mãn
Tìm z sao cho
.
đạt min, max......................................................10
2.1.3.4. Dạng 4: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường elíp (4
cách giải).....................................................................................................12
2.1.4. Sử dụng mối quan hệ của số phức và số phức liên hợp của nó.........12
2.1.5. Một số bài toán trắc nghiệm về modul của số phức..............................14
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi thực hiện SKKN...................................19
2.3. Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề:.....................................20
2.4. Hiệu quả sau khi áp dụng SKKN vào giảng dạy......................................20
III. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ...............................................................20
1. Kết luận.......................................................................................................20
2. Kiến nghị.....................................................................................................21
1
I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
Với việc đổi mới hình thức thi tốt nghiệp THPT và xét tuyển Đại học như
hiện nay, môn Toán được kiểm tra đánh giá bằng hình thức thi trắc nghiệm.
Mảng kiến thức về số phức trước đây vốn được học và thi khá nhẹ nhàng, nhưng
hiện nay đã được khai thác khá sâu trong hệ thống các câu hỏi trắc nghiệm. Một
trong những dạng toán được hỏi khá nhiều đó là các bài toán về modul của số
phức. Để giải các bài toán này nhanh chóng, chính xác nhằm lựa chọn được
phương án trả lời đúng trong đề bài, chúng ta cần hướng dẫn cho học sinh có
một tư duy linh hoạt và nhạy bén. Ngoài yêu cầu đòi hỏi học sinh cần hiểu sâu
và rộng kiến thức, người thầy còn phải biết cách dạy học sinh các kĩ năng như
loại trừ, thử đáp án, chọn lựa...và đặc biệt là kĩ năng sử dụng máy tính cầm tay
để giải quyết. Đó là lí do tôi chọn đề tài này.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu của SKKN này là nghiên cứu các phương pháp để
hướng dẫn học sinh nhanh chóng giải quyết được bài toán về modul của số
phức, đặc biệt là các bài toán về “tìm modul của số phức ’’, “tìm modul lớn
nhất, nhỏ nhất của số phức ’’, “tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu
diễn số phức z’’... Để giải quyết tốt các loại toán này, ta cần vận dụng thành
thạo các kiến thức về bất đẳng thức, hình học, lượng giác, hàm số, đánh
giá...Tuy nhiên phần lớn học sinh lại gặp rất nhiều khó khăn khi vận dụng. Với
thực trạng như vậy, tôi viết sáng kiến kinh nghiệm “Một số phương pháp giải
các bài toán về modul của số phức”. Sáng kiến kinh nghiệm này chứa đựng
những kĩ năng cơ bản quan trọng mà học sinh cần phải nắm được nếu muốn tiến
đến trình độ giải quyết tốt các bài toán số phức, đồng thời chứa đựng những kĩ
thuật, kĩ xảo, ý tưởng vận dụng các năng lực toán học tương đối cao, phức tạp
trong tư duy.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đối tượng nghiên cứu là:
* Các quỹ tích quen thuộc của điểm biểu diễn của số phức như đường thẳng,
đường tròn, đường elíp.
* Cách vận dụng các phương pháp như bất đẳng thức, phương pháp hình học,
phương pháp hàm số. lượng giác hóa, đánh giá, mối quan hệ giữa số phức và số
phức liên hợp của nó để giải quyết các bài toán về modul của số phức.
* Một số phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo dùng để giải quyết một bài toán trắc
nghiệm.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Tự giải các bài toán về số phức bằng nhiều cách, kết hợp với thực tế giảng dạy
để đúc rút nên cách thức giảng dạy phù hợp nhất.
2
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Những kiến thức cơ bản:
2.2.1.1. Một số phức là một biểu thức có dạng x yi , trong đó
số thoả mãn i 2 1 . Ký hiệu số phức đó là z và viết z x yi .
, và i là
* i được gọi là đơn vị ảo
* x được gọi là phần thực, kí hiệu là Re(z).
* y được gọi là phần ảo, kí hiệu là Im(z).
* Tập hợp các số phức ký hiệu là
.
2.2.1.2. Hai số phức bằng nhau.
Cho 2 số phức z = x + yi và z’ = x’ + y’i khi đó z = z’
'
x x
'
y y
2.2.1.3. Biểu diễn hình học của số phức.
Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(x; y) trên mặt phẳng toạ độ Oxy.
Ngược lại, mỗi điểm M(x;y) biểu diễn một số phức là z = x +ybi .
2.2.1.4. Modul của số phức: Cho số phức z = x + yi có điểm biểu diễn là M(x;
y), khi đó ta định nghĩa modul của số phức z là khoảng cách OM.
2.2.1.5. Phép cộng và phép trừ các số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:
z z ' (a a ') (b b ')i
z z ' (a a ') (b b ')i
2.2.1.6. Phép nhân số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:
zz ' aa ' bb ' (ab ' a ' b)i
2.2.1.7. Số phức liên hợp.
Cho số phức z = a + bi. Số phức z = a – bi gọi là số phức liên hợp với số phức
trên.
Tính chất của số phức liên hợp:
* zz
* z z' z z'
* z. z ' z . z '
3
*
2.2.1.8. Phép chia số phức khác 0.
Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a2+b2 > 0 )
Ta định nghĩa số nghịch đảo của số phức z ≠ 0 là số z-1 được xác định bởi
z-1=
1
1
.z 2 .z
2
a b
z
2
Thương z ' của phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được xác định như
z
z'
z '.z
1
sau: z z '.z 2
z
Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói trên nó cũng có đầy đủ
tính chất giao hoán, phân phối, kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia số
thực thông thường.
2.2.1.9. Các đẳng thức và bất đẳng thức về modul của số phức:
*
. Đặc biệt: Khi
.
*
là khoảng cách từ điểm M biểu diễn của số phức z đến gốc tọa độ O của
mặt phẳng phức.
*
là khoảng cách từ điểm M biểu diễn của số phức z đến điểm M’ biểu
diễn của số phức z’.
*
,
.
*
.
2.1.2. Các dạng quỹ tích thường gặp đối với điểm biểu diễn của một số
phức
2.1.2.1. Quỹ tích điểm biểu diễn là đường thẳng:
Ta xét một ví dụ mẫu như sau:
Ví dụ 1 : Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn
Giải:
4
Cách 1: (Tự luận) Đặt z = x + yi (x, y
, ta có
(3x + 1)2 + (3y – 1)2 = (-3x + 2)2 + (3y + 3)2 18x – 24y – 11 = 0
Vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng: 18x – 24y – 11 = 0
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.
Dự đoán: Quỹ tích điểm M là đường thẳng có dạng ax + by + c = 0. Ta tìm a,
b, c như sau:
Vào môi trường tính toán của số phức bằng cách bấm tổ hợp phím
CALC X = 0
CALC X = 1
CALC X = i
Vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng: 18x – 24y – 11 = 0
Nhận xét: Đây là một bài toán không khó đối với học sinh khá giỏi, nhưng với
học sinh trung bình và yếu thì nếu biến đổi theo kiểu tự luận một cách nhanh và
chính xác cũng mất vài ba phút, chưa kể nhầm lẫn. Bằng cách sử dụng máy tính
cầm tay, thì kể cả các học sinh yếu kém cũng có thể giải quyết bài toán trong
vòng trên dưới 20 giây.
Chú ý: Để có dự đoán trên ta cần chứng minh cho học sinh hiểu rằng nếu số
phức z thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
|m'. + a' + b'i|
|m'. + a' + b'i|
Mà m = m’ hoặc m = - m’ thì quỹ tích các điểm biểu diễn của z là một đường
thẳng.
2.1.2.2. Quỹ tích điểm biểu diễn là đường tròn:
Ta xét 2 ví dụ mẫu như sau:
Ví dụ 2: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn
Giải: Dễ thấy quỹ tích điểm M là đường tròn tâm I(a; b), bán kính R
Ví dụ 3: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn
Giải:
5
Cách 1: (Tự luận) Đặt z = x + yi (x, y
, ta có
(x + 1)2 + (y – 1)2 = (-3x + 2)2 + (3y + 3)2 -8x2 – 8y2 +14x – 20y – 11 = 0
Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn:
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.
Dự đoán: Quỹ tích điểm M là đường tròn có dạng x2 + y2+ ax + by + c = 0. Ta
tìm a, b, c như sau:
Vào môi trường tính toán của số phức bằng cách bấm tổ hợp phím
CALC X = 0
CALC X = 1
CALC X = i
Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn:
Nhận xét: Cũng như dạng toán có quỹ tích điểm biểu diễn là đường thẳng, đây
cũng là một bài toán không khó đối với học sinh khá giỏi, nhưng với học sinh
trung bình và yếu thì nếu biến đổi theo kiểu tự luận một cách nhanh và chính
xác cũng mất vài ba phút, chưa kể nhầm lẫn. Bằng cách sử dụng máy tính cầm
tay, thì kể cả các học sinh yếu kém cũng có thể giải quyết bài toán trong vòng
trên dưới 20 giây.
Chú ý: Để có dự đoán trên ta cần chứng minh cho học sinh hiểu rằng với số
phức z thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
|m'. + a' + b'i|
|m'. + a' + b'i|
Mà m
m’ và m
-m’ thì quỹ tích các điểm biểu diễn của z là một đường tròn
6
2.1.2.3. Quỹ tích điểm biểu diễn là elip:
b
Ta thường gặp bài toán:
Tìm quỹ tích điểm M biểu diễn cho số phức z
thỏa mãn
với a > c > 0.
F2
F1
-a
-c
c
a
-b
Giải: Gọi F1(-c; 0), F2(c; 0). Từ điều kiện bài
toán, ta có MF1 + MF2 = 2a. Dựa vào định nghĩa
của elip, ta dễ dàng nhận thấy quỹ tích của M là elip có phương trình :
2.1.3. Tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất trong đó điểm biểu diễn
của số phức đó là đường tròn, đường thẳng hoặc elip.
Phương pháp chung:
Bước 1. Tìm tập hợp (G) các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện, đây
cũng là quá trình tìm biểu thức liên hệ giữa phần thực và phần ảo của số phức z.
Bước 2.
Sử dụng bất đẳng thức để đánh giá.
Phân tích biểu thức thành tổng bình phương để đánh giá.
Khảo sát hàm số để đánh giá.
Sử dụng phương pháp lượng giác hóa.
Dùng tính chất hình học để đánh giá bằng cách: Tìm số phức z tương ứng
với điểm biểu diễn M (G) sao cho khoảng cách tương ứng với điều kiện
bài toán có giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất).
2.1.3.1. Dạng 1: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng (5
cách giải )
Ví dụ 4: Tìm z sao cho z đạt giá trị nhỏ nhất. Biết số phức z thỏa mãn điều
kiện w z 3 i z 1 3i là số thực.
Giải: Giả sử z = x + yi (x, y
), khi đó
w x 3 y 1 i . x 1 3 y i x 2 y 2 4 x 4 y 6 2 x y 4 i
Ta có
w R x y 4 0 .
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng (d):
x y 4 0.
7
Cách 1: (Hình học) Giả sử M(x; y) là điểm biểu diễn z thì
z min OM min OM (d ) , ta được M(-2; 2) z 2 2i .
Cách 2. (Phân tích thành tổng bình phương). Ta có
z x y x 4 x 2 x 2 8 2 2 .
2
Vậy
z
2
min
2
2
2
2 2 x 2 y 2 z 2 2i
Cách 3. (Phương pháp hàm số)
z
x2 y2
x 2 4 x
2
2 x 2 8 x 16
Xét hàm số f(x) = 2 x 2 8 x 16 là hàm bậc 2 có a > 0 nên hàm số đạt min tại
min z 2 2 z 2 2i
Cách 4: (Dùng BĐT Bunhiacopxki)
x y 4 0 x y 4 16 x y 2 x 2 y 2
2
x2 y2 8 z
x 2 y 2 2 2 z min 2 2 x y 2 z 2 2i .
Cách 5:( Dùng máy tính cầm tay CASIO Fx 570 VN Plus)
Vào môi trường khảo sát hàm số bằng cách bấm tổ hợp phím
Nhận thấy
nhỏ nhất là
=
tại x = -2, nên y = 2
hay z = -2 + 2i
Ví dụ 5: Tìm modul nhỏ nhất của số phức z – 3 + 2i . Biết số phức z thỏa mãn
điều kiện
Giải:
Tập hợp các điểm M(x; y) biểu diễn của z là đường thẳng:
Cách 1: (Hình học) Ta thấy
x-y+2=0
nhỏ nhất có giá trị là khoảng cách từ
điểm I(3; -2) đến đường thẳng x – y + 2 = 0 và bằng
Cách 2. (Phân tích thành tổng bình phương). Ta có
=
8
Cách 3. (Phương pháp hàm số)
Xét hàm số
=
là hàm bậc 2 có a > 0 nên hàm số đạt min
tại
min z
7 2
2
Cách 4: (Dùng BĐT Bunhiacopxki)
x y 2 0 ( x 3) ( y 2) 7 49 ( x 3 ( y 2)) 2 2 ( x 3) 2 ( y 2) 2
z 3 2i
7 2
2
.
Cách 5: (Dùng máy tính cầm tay CASIO Fx 570 VN Plus)
Vào môi trường khảo sát hàm số bằng cách bấm tổ hợp phím
Nhận thấy
nhỏ nhất là
nên
nhỏ nhất là
=
tại x = -2
2.1.3.2. Dạng 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn ( 5
cách giải)
Ví dụ 6: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z 2 4i 5 .Tìm số phức z
có môđun lớn nhất, nhỏ nhất.
Giải: Giả sử điểm M(x; y) biểu diễn số phức z=x+yi. Khi đó tập hợp điểm M là
đường tròn I(2;4), bán kính R 5 , có phương trình: ( x 2)2 ( y 4)2 5
Cách 1: (Sử dụng BĐT Bunhiacopxki) Ta có
z OM 2 x 2 y 2 ( x 2)2 ( y 4)2 4 x 8 y 20 4 x 8 y 15 4 ( x 2) 2( y 4) 25 (2)
2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
( x 2) 2( y 4) (12 2 2 ) ( x 2) 2 ( y 4) 2 5 5 ( x 2) 4( y 4) 5 (3)
Từ (2), (3) ta suy ra:
5 z 3 5
x 1
z min 5
z 1 2i
y 2
.Vậy:
x 3
z max 3 5
z 3 6i
y 6
Cách 2: (Định lý về dấu của tam thức bậc 2)
9
Đặt
t
x2 y2
Ta có
x 2y
. Do x 2 2 y 4 2
5.t ,
5 x2 y2
5 x 2 y 2 15 4( x 2 y )
Suy ra
t 2 15 4 5t
x 1
z 1 2i
y 2
5 t 3 5
x 3
z max 3 5
z 3 6i
y 6
Vậy z min 5
Cách 3: ( Phương pháp lượng giác hóa)
Đặt
x2
Ta có :
Do
y4
5 sin t ,
x2 y2 2
5. sin t
5 sin t 2. cos t
5 cos t
4
2
5. cos t
2
25 4 5 sin t 2 cos t
5 5 x 2 y 2 45
x 1
z 1 2i
y 2
Vậy z min 5
5 z 3 5
x 3
z max 3 5
z 3 6i
y 6
Cách 4. (Phương pháp hình học)
Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z, khi đó
z
min
OM min , z
max
OM max
Ta có phương trình đường thẳng OI là: 2 x y 0 .
Đường thẳng OI cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B có toạ độ là nghiệm của hệ
A(1;2), B (3;6)
phương trình:
x2 2 y4
2 x y 0
2
5
x 3, x 1
y 6, y 2
Với mọi điểm M thuộc đường tròn (C) thì OA OM OB . Hay
x 1
z 1 2i
y 2
Vậy: z min 5
5 z 3 5
x 3
z max 3 5
z 3 6i
y 6
Cách 5. (Phương pháp hình học)
Đường thẳng OI cắt đường tròn (C) tại 2 điểm A, B như
hình vẽ.
Ta có
nhất
Ta có
z
min
OM min
B
M trùng với điểm A trên (C) gần O
4
A
OI
4 16 2 5
Kẻ AH Ox theo định lý Ta lét ta có:
O
H 2
K
AH OA 2 5 5 1
AH 2 OH 1 z 1 2i
4
OI
2
2 5
M trùng với điểm B trên (C) xa O nhất. Kẻ BK Ox , theo định lý Ta lét ta có:
4
OI
2 5
2
BK 6 OK 3 z 3 6i
BK OB 2 5 5 3
Ví dụ 7: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 5 5, z2 1 3i z2 3 6i . Tìm
giá trị nhỏ nhất của z1 z2 .
10
Giải: Chúng ta có thể giải bằng 5 phương pháp đã nêu trên, ở đây tôi chọn
phương pháp hình học để trình bày lời giải
Ta có
d
Quỹ tích điểm biểu diễn của số phức z 1 là
A
R
I
-5
đường tròn tâm I(-5; 0), bán kính R = 5
Quỹ tích điểm biểu diễn của số phức z 1 là
đường thẳng : 8 x 6 y 35 0 .
Dễ thấy đường thẳng không cắt (C ) do d(I; ) =
thấy Min z1 z2 d R
2.1.3.3.
. Theo hình vẽ ta
5
2
Dạng 3: Cho số phức z thỏa mãn
.
Tìm z sao cho
đạt min, max.
Hướng giải: Ngoài 5 phương pháp trên, ta còn có thể áp dụng tính chất sau:
Đặt T =
, khi đó ta có
M
k
Chứng minh: Gọi M là điểm biểu diễn của z, -A là
điểm biểu diễn của số phức –A, -B là điểm biểu diễn M
-A
M1
2
của số phức –B. Khi đó M thuộc đường tròn tâm là –
A, bán kính k.
Ta
thấy
M1B
M2B
-B
Áp dụng tính chất trên ta dễ dàng giải được các bài toán sau:
Ví dụ 8: Cho
Đáp số:
Ví dụ 9:
Đáp số:
Ví dụ 10: Cho
Giải: Dễ thấy GTNN của
đạt GTNN
là
, để tìm z, ta xét hệ
11
Nhận xét: Từ dạng toán trên ta có ngay cách giải dạng toán sau: Cho số phức z
thỏa mãn
. Tìm z sao cho
đạt
min, max.
Giải:
, ta xem
, ta xem
,
= k’
,
Đặt T =
, ta quay về dạng toán trên
Ví dụ 11: Cho số phức z thỏa mãn
Giải:
Áp dụng ta có
,T=
Từ đó
2.1.3.4. Dạng 4: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường elíp (4
cách giải)
Ví dụ 12: Tìm số phức z sao cho môđun của z đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.
Biết số phức z thoả mãn điều kiện: z 1 z 1 4
Giải: Ta thấy tập hợp các điểm M là elip có phương trình là:
Cách 1: (Phân tích thành bình phương) Ta có
x2 y 2
1
4
3
z OM x 2 y 2 3
x2
4
x2 y 2
x2
0
1 3 z 2
1
Do
4
4
3
Vậy :
z
min
3 z 3i
z
max
2 z 2
Cách 2:(Đánh giá) Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn z
x2 y2
1
4
3
12
Khi đó:
x2 y2
x2 y2
4
4 OM 2
OM 2 x 2 y 2 4
4
3
4
4
x2 y 2 x2 y2
3
3 OM 3
OM 2 x 2 y 2 3
3 4
3
3
Từ đó, ta được
3 z 2
.
Vậy:
Cách 3: (Lượng giác hóa) Đặt
Ta có:
Do
z
3 z 3i
x 2. sin t , y
3 cos t
z
,
max
2 z 2
t 0;2
OM 2 x 2 y 2 4 sin 2 t 3 cos 2 t 3 sin 2 t
0 sin 2 t 1, t 3 OM 2 4
Vậy:
min
z
min
3 z 3i
z
3 z 2.
Cách 4: (Hình học)
3
M
A'
Theo hình vẽ ta thấy
B
2 z 2
max
. Vậy :
M B
hoặc
O
-2
B’
B'
A
2
- 3
z 3i
M A
hoặc A’ z 2
2.1.4.
Sử dụng mối quan hệ của số phức và số phức liên hợp của nó
Với mỗi số phức z, ngoài một số mối quan hệ quen thuộc ta nêu thêm một số
quan hệ sau với số phức liên hợp của nó:
z là số thực
z là số thuần ảo
Ví dụ 13: Cho số phức z
Giải:
thỏa mãn
là số thuần ảo. Tìm
là số thuần ảo
Ví dụ 14: Cho số phức z thỏa mãn
và i.z + 4 là số thuần ảo, tìm z?
Giải: Do i.z + 4 là số thuần ảo nên
13
. Vậy z =
Ví dụ 15: Cho số phức z
thỏa mãn
tìm phần thực của
Giải: Ta có: 2.Re(
. Vậy Re(
Ví dụ 16: Cho số phức thỏa mãn
có phần thực bằng 4. Tính
Giải: Từ giả thiết, ta có
Ví dụ 17: Cho 2 số phức z1, z2 thỏa mãn
Tìm phần
ảo của
Giải: Vì
. Ta có
. Vậy w là số thực
Ví dụ 18: Cho 3 số phức a, b, c thỏa mãn
Tính w = a2 + b2 + c2
Giải: Ta có w = a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 – 2(ab + bc + ca) = -2abc(
= -2abc(
) = -2abc.
=0
Ví dụ 19: Cho số phức z thỏa mãn: z6 – z5 + z4 – z3 + z2 – z + 1 = 0. Tìm phần
thực của w = z3 – z2 + z
Giải: Ta có
14
Mặt khác: z6 – z5 + z4 – z3 + z2 – z + 1 = 0 nên (z3 - 1)(z3 – z + 1) + 1 = 0
. Dễ thấy
Ví dụ 19: Cho số phức z thỏa mãn:
nhất của
. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ
.
Giải: Ta có
Từ đó
Vậy:
Giá trị lớn nhất của
là
, đạt được tại z = (
Giá trị nhỏ nhất của
là
, đạt được tại z = (
2.1.5. Một số bài toán trắc nghiệm về modul của số phức
Trong phần này tôi đưa ra một số bài toán trắc nghiệm để minh họa cho tính
linh hoạt và đa dạng của tư duy nhằm chọn được đáp án đúng.
Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn
GTNN của
A. 10
. Tổng các GTLN và
là
B. 6
C. 9
D. 13
Hướng dẫn: Dựa vào định nghĩa về elip thì tập hợp điểm biểu diễn của z là
elip có bán trục lớn bằng 5, bán trục bé bằng 4 nên
. Đáp án C
Bài 2: Cho 3 số phức a, b, c thỏa mãn
Khi đó w = a2 + b2 + c2 có giá trị là
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
Hướng dẫn: Theo ví dụ 18 phía trên thì ta có đáp án D
Cách khác: Ta chọn 3 số a, b, c thỏa mãn 2 điều kiện trên, có thể nhận thấy các
nghiệm phức của phương trình z3 – 1 = 0 ( hoặc z3 + 1 = 0) sẽ thỏa mãn đủ 2
điều kiện đó. Thay các nghiệm vào biểu thức a 2 + b2 + c2 và bấm máy tính , ta sẽ
có kết quả bằng 0.
15
Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn
giá trị nhỏ nhất của
=
. Tìm
với w = z – 2 + 2i
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn:
=
Với (1), ta có
Với (2), ta có đường thẳng chứa các điểm biểu diễn của z có phương trình
là
. Do đó
có giá trị nhỏ nhất bằng với khoảng cách từ điểm
(2; -2) đến đường thẳng nên
Kết luận
Đáp án C
Bài 4: Nếu số phức z
A.
và
B.
thì phần thực của
C. 6
bằng
D. 3
Hướng dẫn:
Cách 1: Tự luận
Re
đáp án B
Cách 2: Chọn z = -3 thay vào ta có ngay kết quả
Bài 5: Cho 2 số phức a và b thỏa mãn a + b = 8 + 6i và
1. Tính
A. 52
B. 56
2. Tìm GTLN của M =
A.
B.
C. 28
.
.
D. 48
C.
D.
16
Hướng dẫn:
1.
Cộng các vế ta có:
Đáp án A
2. Theo câu 1, ta có
Cách khác: chọn a = 5 + 3i, b = 3 + 3i, thì a, b thỏa mãn 2 điều kiện trên
và
lớn hơn
Bài 6: Cho số phức z thỏa mãn
.
. Gọi M và m lần lượt là GTLN và
GTNN của biểu thức
A.
Đáp án A
. Tính giá trị của M.m
B.
C.
D.
Hướng dẫn: Đặt z = x + yi, ta có x2 + y2 = 1 hay y2 = 1 – x2 và
=
Sử dụng máy tính cầm tay: chức năng
Ta thấy:
f(x) lớn nhất có giá trị xấp xỉ như hình bên
f(x) nhỏ nhất có giá trị xấp xỉ như hình bên
Nhân 2 giá trị này ta được đáp án A
Bài 7: Cho số phức z thỏa mãn
Gọi M và m lần lượt là
GTLN và GTNN của biểu thức
.
Tính modul của w = M + m.i
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn: Dễ thấy tập hợp điểm biểu diễn của z là đường tròn
17
(x – 3)2 + (y – 4)2 = 5
Ta có: P = 4x + 2y + 3 = 4(x – 3) + 2(y – 4) + 23
P - 23 = 4(x – 3) + 2(y – 4)
. Đáp án B.
Bài 8: Cho số phức z thỏa mãn
Gọi M và m lần lượt là GTLN và
GTNN của biểu thức
A.
. Tính M + m
B.
C.
D.
Hướng dẫn: Ở bài này do bậc của z khá cao nên ta khéo léo giảm bậc của z
bằng biến đổi sau:
.
Ta
có
=
= 4x2 - 2
Dùng máy tính cầm tay
+1
, ta thấy
Vậy: Min P = 0.75
Vậy: Max P = 3
Vậy M + m =
Đáp án D
Bài 9: Cho các số phức a, b, c thỏa mãn a.b.c =
. Tính GTNN của biểu
thức
A. Pmin = 1 ` B. Pmin = 2
C. Pmin = 3
D. Pmin = 4
Hướng dẫn:
Đáp án C
18
Bài 10: Cho số phức z thỏa mãn
A. Pmin = 1 ` B. Pmin = 2
. Tìm GTNN của biểu thức
C. Pmin = 3
D. Pmin = 4
Hướng dẫn:
=
Dùng máy tính cầm tay
ta thấy
Min P = 2 khi z = -1. Đáp án B
Bài 11: Cho số phức z thỏa mãn
A.
B.
. Tìm giá trị lớn nhất của
C.
D.
Hướng dẫn:
Tập hợp các điểm biểu diễn của z là hình tròn:
nhất của
là .
. Dễ thấy giá trị lớn
Đáp án C.
Bài 12: Gọi z là số phức có phần thực lớn hơn 1 và thỏa mãn
sao cho biểu thức P =
đạt GTNN.
Tìm phần thực của z.
A. Re(z) =
B. Re(z) =
C. Re(z) =
D. Re(z) =
Hướng dẫn: Tập hợp các điểm biểu diễn của z là parabol: y = (x – 2)2, khi đó
P=
f(t) = t2 – 3t + 4 đạt GTNN
. Để P đạt GTNN thì
. Đáp án C
19
Bài 13: Giả sử z1 , z2 là các số phức khác không, thỏa mãn z12 z1 z2 z22 0. gọi
A, B là các điểm biểu diễn tương ứng của z1 , z2 . Khẳng định nào sau đây đúng
A.
C.
B.
D.
Hướng dẫn:
Ta có z13 z23 ( z1 z2 )( z12 z1 z2 z22 ) 0 , suy ra:
3
3
z13 z23 z1 z2 z1 z2 OA OB .
Lại có
2
( z1 z2 ) 2 ( z12 z1 z2 z22 ) z1 z2 z1 z2 nên z1 z2 z1 z2 AB 2 OA.OB OA2
Suy ra AB=OA=OB OAB đều. Đáp án C
Cách khác: Chọn
. Khi đó dễ thấy
z12 z1 z2 z22 0. OA = OB = AB = 1 nên
3
Bài 14: Cho số phức z 0 thỏa mãn z
A. z
2
3
z
B. z
Hướng dẫn: Đặt a z
2
3
z
. Đáp án C
8
9. Khẳng định nào sau đây đúng.
z3
C. z
2
9
z
D. z
2
3
z
2
2
8
2
(a 0) . Ta có: ( z )3 z 3 3 6( z ) .
z
z
z
z
3
2
8
2
Suy ra: a z z 3 3 6 z 9 6a
z
z
z
3
Do đó a 3 6a 9 0 (a 3)(a 2 3a 3) 0
Vì a 2 3a 3 0 , nên a z
2
3 . Đáp án A
z
Bài 15: Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn
và
. Kí hiệu z1, z2 là hai số phức thuộc S và là những số phức có
modul lần lượt nhỏ nhất và lớn nhất. Tính giá trị của biểu thức P =
.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn:
20
- Xem thêm -
.PDF 
23 
56 
77 
