Tài liệu Một số nghịch lý trong xác suất và ứng dụng

LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận này, tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Cô Th.S Hoàng Thị Duyên, người đã chỉ dạy cho tôi những kiến thức, kinh nghiệm trong suốt quá trình thực hiện khóa luận này. Nếu không có sự hướng dẫn, giúp đỡ, động viên tận tình của cô thì tôi nghĩ khóa luận này của tôi rất khó có thể hoàn thiện. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, cán bộ, giảng viên trường Đại Học Quảng Bình, giảng viên Khoa Khoa học Tự nhiên đã cùng với tri thức và tâm huyết của mình để truyền đạt kiến thức cho tôi trong 3 năm học tập. Với vốn kiến thức được tiếp thu trong quá trình học không chỉ là nền tảng cho quá trình thực hiện khóa luận mà còn là hành trang quí báu để tôi bước vào đời một cách vững chắc và tự tin. Xin cảm ơn những người bạn đã cùng tôi sát cánh trong suốt thời gian học tập vừa qua. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến công lao to lớn không gì có thể đền đáp của cha mẹ_những người đã sinh thành, nuôi dưỡng con nên người, luôn nhắc nhở, động viên con hoàn thành tốt nhiệm vụ. Xin chân thành cảm ơn! 1 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... 1 LỜI NÓI ĐẦU ...................................................................................................... 4 CHƯƠNG 1........................................................................................................... 6 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ..................................................................... 6 1.1. Không gian mẫu và biến cố............................................................................ 6 1.2 Mối quan hệ giữa các biến cố ......................................................................... 7 1.3 Các phép toán trên các biến cố........................................................................ 8 1.4 Định nghĩa xác suất ....................................................................................... 10 1.4.1 Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển ............................................. 10 1.4.2 Định nghĩa xác suất theo hệ tiên đề Kolmogorov...................................... 12 1.5 Công thức tính xác suất................................................................................. 12 1.5.1 Công thức cộng xác suất ............................................................................ 12 1.5.2 Công thức nhân xác suất ............................................................................ 13 1.6 Phân bố xác suất đều ..................................................................................... 16 CHƯƠNG 2......................................................................................................... 18 MỘT SỐ NGHỊCH LÝ TRONG XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG...................... 18 2.1 Bài toán Monty Hall..................................................................................... 18 2.1.1 Giới thiệu về bài toán ................................................................................ 18 2.1.2 Giải quyết bài toán ..................................................................................... 20 2.1.3 Nhận xét ..................................................................................................... 21 2.1.4 Mở rộng bài toán ........................................................................................ 21 2.1.4.1. Bài toán .................................................................................................. 21 2.1.4.2. Giải quyết bài toán ................................................................................. 22 2.2 Nghịch lý ngày sinh....................................................................................... 24 2.2.1 Giới thiệu về nghịch lý............................................................................... 24 2.2.2 Giải quyết nghịch lý ................................................................................... 24 2.3. Nghịch lý Simpson....................................................................................... 26 2.3.1. Bài toán 1 .................................................................................................. 26 2.3.2. Giải bài toán 1 ........................................................................................... 27 2 2.3.3. Bài toán 2 .................................................................................................. 27 2.3.4 Giải quyết bài toán 2 .................................................................................. 28 2.4 Bài toán: Hoàng tử có chị em gái không? ..................................................... 28 2.4.1 Giới thiệu bài toán...................................................................................... 28 2.4.2 Giải bài toán ............................................................................................... 29 2.5 Bài toán: Văn Phạm có là thủ phạm? ............................................................ 29 2.5.1 Bài toán ...................................................................................................... 29 2.5.2.Giải quyết bài toán .................................................................................... 31 2.6 Ứng dụng....................................................................................................... 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................... 34 KẾT LUẬN ......................................................................................................... 34 3 LỜI NÓI ĐẦU Thời đại ngày nay là thời đại công nghệ thông tin hiện đại cùng với sự phát triển như vũ bão của các ngành khoa học kỹ thuật ,vì vậy sự nghiệp giáo dục cần đáp ứng những đòi hỏi của cách mạng khoa học công nghệ. Đóng góp cho sự phát triển đó có một phần không nhỏ của Toán học. Toán học nảy sinh từ thực tiễn và ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn nhất là toán ứng dụng, trong các loại toán ứng dụng phải kể đến xác suất thống kê. Nó được bắt đầu từ những thư từ trao đổi giữa hai nhà toán học vĩ đại người Pháp là Pascal (1623- 1662) và Fermat (1601- 1665) xung quanh cách giải đáp một số vấn đề rắc rối nảy sinh trong các trò chơi cờ bạc mà nhà quý tộc Pháp Đờmê-rê đặt ra cho Pascal. Năm 1812 nhà toán học Pháp Laplace đã dự báo rằng: “Môn khoa học bắt đầu từ việc xem xét các trò chơi may rủi này sẽ hứa hẹn trở thành một đối tượng quan trọng nhất của tri thức loài người”. Đặc biệt là vào năm 1933 Kolmogrov đã đưa ra một hệ tiên đề để xây dựng Xác suất thống kê trở thành một khoa học chính xác và trừu tượng. Kể từ đó Xác suất thống kê trở thành ngành toán học đa diện gồm cả chiều sâu lý luận lẫn nội dung ứng dụng. Đối tượng nghiên cứu của Xác suất thống kê là các hiện tượng ngẫu nhiên, các quy luật ngẫu nhiên mà chúng ta thường gặp trong thực tế. Khác với một số môn toán trừu tượng, lý thuyết xác suất thống kê được xây dựng trên các công cụ toán học hiện đại như giải tích hàm, độ đo,… nhưng lại gắn liền với thực tế cuộc sống trong tự nhiên và xã hội. Ngày nay lý thuyết xác suất và thống kê toán được ứng dụng một cách rộng rãi trong hầu hết các lĩnh vực như kinh tế, tài chính, sinh học, y học,… Navigation đã nói : “Có bao giờ bạn thấy mình gặp may mắn hay rủi ro? Khi nào may mắn, khi nào rủi ro? Nếu nắm được quy luật này thì tuyệt vời phải không?” Lý thuyết xác suất đang hướng tới điều đó. Trong cuộc sống, có rất nhiều điều ta tưởng chừng đơn giản, nghĩ thoáng qua thôi ta có thể biết được kết quả, nhưng kết quả đó đúng hay sai? Nhìn vào có vẻ như kết quả là đúng hiển nhiên nhưng vì sao lại sai? Liệu những mâu thuẫn đó có được giải quyết không? Và đó chính là nghịch lý. Các nghịch lý 4 trong xác suất luôn là những đề tài thú vị đặt ra trong cuộc sống. Việc giải quyết các nghịch lý trong xác suất có ý nghĩa vô cùng quan trọng trong cuộc sống cũng như trong khoa học. Các nghịch lý trong xác suất là nguồn gốc của việc nảy sinh ra nhiều lý thuyết toán học quan trọng như lý thuyết trò chơi, lý thuyết may rủi,… và cũng là căn cứ quan trọng để đánh giá một số vấn đề trong thực tiễn. Hơn nữa, chúng cũng là một trong các chủ đề quan trọng và thường xuyên được sử dụng cho các trò chơi giải trí, cho các hoạt động ngoại khóa của người học, giúp người học hứng thú hơn trong học tập. Để giải quyết các nghịch lý trong xác suất ta phải nắm vững các kiến thức về xác suất và xác suất có điều kiện. Với những lý do trên, tôi đã quyết định chọn đề tài khóa luận là “Một số nghịch lý trong xác suất và ứng dụng”. Mục đích của khóa luận là đưa ra các nghịch lý, cách giải quyết các nghịch lý và một số ứng dụng của nó. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài được chia thành hai chương Chương 1. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về xác suất, xác suất có điều kiện và Định lý Bayes có liên quan trực tiếp đến việc nghiên cứu cho chương sau. Chương 2. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số nghịch lý trong xác suất bao gồm: Bài toán Monty Hall, nghịch lý ngày sinh, nghịch lý Simpson, nghịch lý Hoàng tử có chị em gái không?, nghịch lý Văn Phạm có là thủ phạm?. Sau đó, chúng tôi đưa ra một số ứng dụng của các nghịch lý đó. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng do thời gian, kiến thức và kinh nghiệm của bản thân còn khiêm tốn nên khóa luận này không thể tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong được sự thông cảm, góp ý chân thành của các thầy giáo, cô giáo và các bạn để khóa luận này được hoàn thiện và có hiệu quả cao hơn. Xin chân thành cảm ơn! 5 CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian mẫu và biến cố Khi nghiên cứu tự nhiên và xã hội, ta phải theo dõi các hiện tượng, phải làm một thí nghiệm, phải cân, đong, đo, đếm, …, trong điều kiện cho phép, có thể lặp lại nhiều. Ta gọi chung các công việc này là phép thử. Khi lặp lại các phép thử ta thấy có những phép thử cho cùng một kết quả, thí dụ đun nước ở điều kiện cao độ và áp suất bình thường thì đến 100°C nước sẽ sôi, trứng gà trong đàn gà nếu không có trống thì khi ấp sẽ không nở, …, ta gọi đó là các kết quả tất yếu. Ngoài ra, có những phép thử khi lặp lại sẽ cho những kết quả khác nhau, số kết quả đó có thể là hữu hạn, có thể là vô hạn, có thể lấy giá trị rời rạc hay liên tục mà khi thực hiện phép thử ta không thể đoán trước được kết quả nào xuất hiện, tuy nhiên ta có thể liệt kê tất cả các kết quả của nó. Ta gọi các phép thử như trên là phép thử ngẫu nhiên. Mỗi kết quả của một phép thử ngẫu nhiên được gọi là một sự kiện sơ cấp hay biến cố sơ cấp, ký hiệu là ω . Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp được gọi là không gian các sự kiện sơ cấp hay không gian mẫu, ký hiệu là Ω . Một tập con các biến cố sơ cấp của Ω là một sự kiện và được gọi là biến cố ngẫu nhiên. Ta có thể đặt tên cho các biến cố ngẫu nhiên nếu ta tìm được nét chung cho các sự kiện sơ cấp thuộc biến cố đó. Nói riêng, tập con rỗng φ của Ω được gọi là biến cố không thể, là sự kiện không bao giờ xảy ra khi phép thử được thực hiện, như vậy biến cố không bao gồm một biến cố sơ cấp nào. Tập Ω được gọi là biến cố chắc chắn, là sự kiện tất yếu sẽ xảy ra khi phép thử thực hiện, như vậy biến cố chắc chắn gồm tất cả các biến cố sơ cấp. 6 Ví dụ 1.1.1 Gieo một lần con xúc xắc và quan sát số chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc là một phép thử ngẫu nhiên. Gọi Ai là sự kiện “mặt trên của nó có i chấm”, i =1,..., 6. Các sự kiện A1, A2, …, A6 là những biến cố sơ cấp; Không gian các biến cố sơ cấp là Ω = { A1, A2, …, A6 }. Ví dụ 1.1.2 Gieo một đồng xu cân đối đồng chất. Đó là một phép thử ngẫu nhiên. Gọi S là sự kiện “mặt sấp xuất hiện”, N là sự kiện “mặt ngửa xuất hiện”. Các sự kiện S, N là những biến cố sơ cấp; Không gian các biến cố sơ cấp là Ω = {S , N } . 1.2 Mối quan hệ giữa các biến cố Định nghĩa 1.2.1 i) Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B nếu biến cố A xảy ra thì biến cố B xảy ra, kí hiệu A ⊂ B . ii) Hai biến cố A và B được gọi là bằng nhau nếu A kéo theo B và B kéo theo A . iii) Các biến cố không đồng thời xảy ra nếu sự xuất hiện của một trong chúng loại trừ sự xuất hiện của các biến cố khác trong cùng một phép thử. 4i) Các biến cố đồng thời xảy ra nếu chúng có thể cùng xuất hiện trong một phép thử (còn gọi là các biến cố tương thích). 5i) Các biến cố được gọi là đồng khả năng nếu sự xuất hiện của biến cố này hay biến cố khác với khả năng như nhau. Ví dụ 1.2.2 Trong phép thử gieo một lần con xúc xắc. Xét các biến cố A i: “Xuất hiện mặt i chấm”, i = 1,…,6; A c: “Xuất hiện mặt có số chấm chẵn”; A : “ Xuất hiện mặt có số chấm là 2 hoặc 4 hoặc 6”; A l: “Xuất hiện mặt có số chấm lẻ”; A nt: “Xuất hiện mặt có số chấm nguyên tố”; Ta có A c và A là hai biến cố bằng nhau. Các biến cố A 2, A 4, A 6 kéo theo biến cố A c, các biến cố A 1, A 3, A 5 kéo theo biến cố A l. 7 1.3 Các phép toán trên các biến cố Để giải các bài toán xác suất, ta thường biểu diễn biến cố phức tạp theo các biến cố đơn giản hơn. Phép hợp (tổng) Định nghĩa 1.3.1 Hợp của hai biến cố A và B là biến cố xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra, ký hiệu A ∪ B hoặc A + B . Tổng quát, biến cố A được gọi là hợp của n biến cố A 1, A 2, …, A n nếu A xảy ra khi có ít nhất một trong n biến cố đó xảy ra. Ký hiệu n A = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An hoặc A = ∑ Ai . i =1 Ví dụ 1.3.2 Trong phép thử gieo một con xúc xắc ta có Ac = A2 ∪ A4 ∪ A6 . Ví dụ 1.3.3 Hai xạ thủ cùng bắn đạn vào bia (mỗi xạ thủ bắn một viên đạn). Gọi A là biến cố ‘‘Xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia’’ B là biến cố ‘‘Xạ thủ thứ hai bắn trúng bia’’ C là biến cố ‘‘Bia trúng đạn’’. Ta có C = A ∪ B . Phép giao (tích) Định nghĩa 1.3.4 Tích của hai biến cố A và B là biến cố xảy ra nếu cả A và B xảy ra, ký hiệu là A ⋅ B hoặc A ∩ B . Tổng quát, biến cố A được gọi là tích của n biến cố A 1, A 2, …, A n nếu A xảy ra khi tất cả các biến cố A1, A2, …, An xảy ra. Ký hiệu A = A1 ⋅ A2 ... An . Ví dụ 1.3.5 Hai xạ thủ cùng bắn đạn vào bia (mỗi xạ thủ bắn một viên đạn). Gọi E là biến cố ‘‘xạ thủ thứ nhất bắn trật’’. Gọi D là biến cố ‘‘xạ thủ thứ hai bắn trật’’ và F là biến cố ‘‘bia không trúng đạn’’. Ta có F = D ∩ E = DE . Định nghĩa 1.3.6 Hai biến cố A , B được gọi là xung khắc với nhau nếu chúng không đồng thời xảy ra trong một phép thử, tức là A ∩ B = φ . Dãy biến cố A 1, A 2, …, A n được gọi là xung khắc từng đôi nếu hai biến cố bất kỳ trong chúng xung khắc với nhau. Ví dụ 1.3.7 Trong phép thử gieo một lần con xúc xắc, các biến cố ( i ≠ j; i, j = 1, 6 ) là xung khắc, A c và A l là xung khắc. 8 A i, A j Định nghĩa 1.3.8 Tập hợp các biến cố của một phép thử mà khi phép thử được thực hiện thì một biến cố trong chúng nhất thiết phải xảy ra và hai biến cố bất kỳ trong chúng là xung khắc được gọi là nhóm đầy đủ các biến cố của phép thử đó. Như vậy, nhóm A 1, A 2, …, A n được gọi là nhóm đầy đủ các biến cố của phép thử nếu khi phép thử đó được thực hiện thì có duy nhất một biến cố trong nhóm đó xảy ra. Ví dụ 1.3.9 Trong phép thử gieo một lần con xúc xắc thì dãy A 1, A 2, …, A 6 lập thành một hệ đầy đủ các biến cố. Ví dụ 1.3.10 Kiểm tra 3 sản phẩm, gọi A 0, A 1, A 2 , A 3 tương ứng là các biến cố có 0, 1, 2, 3 sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm kiểm tra. Các biến cố này lập thành một nhóm đầy đủ các biến cố. Phép hiệu Định nghĩa 1.3.11 Hiệu của hai biến cố A và B là biến cố xảy ra nếu A xảy ra và B không xảy ra. Ký hiệu là A \ B . Định nghĩa 1.3.12 Biến cố đối lập của biến cố A , ký hiệu là A là một biến cố mà biến cố này xảy ra khi A không xảy ra. Ta có A = Ω \ A . Ví dụ 1.3.13 Trong ví dụ 1.2.2 ta có Ac = Al và ngược lại Al = Ac . Nhận xét 1.3.15 i) Nếu A là biến cố chắc chắn thì biến cố đối lập với A là biến cố không thể và ngược lại ; ii) Hai biến cố đối lập thì xung khắc nhưng hai biến cố xung khắc chưa chắc đối lập. Ví dụ 1.3.16 Có 3 viên bi trắng, 4 viên bi vàng và 5 viên bi đỏ. X lấy ra 2 viên bi. A là biến cố “X lấy được 2 viên bi trắng”. B là biến cố “X lấy được 2 viên bi vàng”.Hai biến cố A và B này xung khắc nhưng không đối nhau. Ví dụ 1.3.17 Một nhà máy sản xuất 3 sản phẩm. Gọi Ai là biến cố ‘‘sản phẩm thứ i là sản phẩm tốt’’. Khi đó Ai là biến cố ‘‘sản phẩm thứ i là phế phẩm’’. Nếu gọi A là biến cố ‘‘có một sản phẩm tốt trong ba sản phẩm do nhà máy sản xuất’’ thì 9 A = A1 ⋅ A2 ⋅ A3 ∪ A1 ⋅ A2 ⋅ A3 ∪ A1 ⋅ A2 ⋅ A3 Nếu gọi B là biến cố ‘‘có 2 sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm do nhà máy sản xuất’’ thì B = A1 ⋅ A2 ⋅ A3 ∪ A1 ⋅ A2 ⋅ A3 ∪ A1 ⋅ A2 ⋅ A3 . Nếu gọi C là biến cố ‘‘có 3 sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm do nhà máy sản xuất’’ thì C = A1 ⋅ A2 ⋅ A3 . 1.4 Định nghĩa xác suất Theo dõi nhiều lần một phép thử và các sự kiện liên quan đến phép thử ta thấy có sự kiện hay xuất hiện, hay xảy ra, có sự kiện ít xuất hiện, ít xảy ra, sự kiện tất yếu luôn xảy ra còn sự kiện không thể không bao giờ xảy ra. Thí dụ, gieo một con xúc xắc, sự kiện xuất hiện mặt chẵn và sự kiện xuất hiện mặt lẻ có mức độ xuất hiện như nhau, sự kiện ra mặt có số nhỏ hơn 7 là sự kiện tất yếu, sự kiện ra mặt có số lớn hơn 7 là sự kiện không thể, sự kiện ra mặt chia được cho 2 ít xuất hiện, sự kiện ra mặt có số chấm 4 ít xuất hiện hơn. Như vậy trong một phép thử, một sự kiện có mức độ hay khả năng xuất hiện mà ta muốn đánh giá hay đo bằng một con số. Giả sử A là biến cố của một phép thử nào đó, ta tìm được một con số để đánh giá mức độ xuất hiện của nó thì ta sẽ gọi con số đó là xác suất của biến cố A , ký hiệu P( A) . Khi đó P( A) = 1 nếu A là biến cố chắc chắn và P( A) = 0 nếu A là biến cố không thể. Vậy xác suất của biến cố là một số biểu thị khả năng xảy ra của biến cố đó khi thực hiện phép thử. Có nhiều định nghĩa khác nhau về xác suất, tùy theo mức độ hiểu biết về kiến thức toán học ta có thể lần lượt đưa ra các định nghĩa sau. 1.4.1 Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển Để có được định nghĩa, người ta luôn giả thiết rằng phép thử T chỉ có một số m hữu hạn các kết quả và các kết quả này là đồng khả năng, nghĩa là khi tiến hành phép thử các biến cố có khả năng xuất hiện như nhau. 10 Định nghĩa 1.4.1.1 Xác suất của biến cố A là tỷ số giữa trường hợp thuận lợi cho A và số kết quả của phép thử, hay P ( A) = m n Trong đó, m là số trường hợp thuận lợi cho A n là số kết quả có thể xảy ra của phép thử. Tính chất 1.4.1.2 i) Nếu A là biến cố ngẫu nhiên thì 0 < P( A) < 1 ; ii) Nếu A là biến cố chắc chắn thì P( A) = 1 ; iii) Nếu A là biến cố không thể thì P( A) = 0 ; Như vậy nếu A là biến cố bất kỳ thì 0 ≤ P( A) ≤ 1 . Ví dụ 1.4.1.3 Gieo một lần con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tìm xác suất để a) Mặt trên của nó có một chấm. b) Mặt trên của nó có số chấm là số chẵn. Giải a) Gọi A là biến cố ‘‘Mặt trên của con xúc xắc có một chấm’’. Vì con xúc xắc cân đối, đồng chất nên khả năng xuất hiện các mặt là như nhau. Vì số kết quả có thể của phép thử n = 6 và số trường hợp thuận lợi cho A là m = 1 nên P ( A) = 1 . 6 b) Gọi B là biến cố ‘‘Mặt trên của con xúc xắc có số chấm là số chẵn’’. Số khả năng thuận lợi cho B là n = 3 . Vậy, P( B) = 3 1 = . 6 2 Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển chỉ áp dụng để tính xác suất khi phép thử có hữu hạn các kết quả và các kết quả là đồng khả năng. Tuy nhiên trên thực tế ta thường gặp những phép thử không có những tính chất đó. Chẳng hạn, bắn đạn vào bia là một phép thử không đồng khả năng (xạ thủ A bắn 10 11 phát đạn vào bia, đợt 1 bắn trúng 7 viên nhưng đợt 2 chưa chắc bắn trúng được 7 viên). 1.4.2 Định nghĩa xác suất theo hệ tiên đề Kolmogorov Tiên đề 1: P( A) ≥ 0 với mọi biến cố A. Tiên đề 2 : Nếu tập các biến cố A 1, A 2, …, A n.... xung khắc với nhau từng đôi một thì : ∞ ∞ n =1 n =1 P (U An ) = ∑ P ( An ) . Tiên đề 3: P ( Ω) = 1 . P(A) thỏa mãn hệ tiên đề trên được gọi là xác suất của biến cố A. 1.5 Công thức tính xác suất 1.5.1 Công thức cộng xác suất Định lý 1.5.1.1 Nếu A và B là hai biến cố bất kỳ thì P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( AB ) . Nhận xét i) Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì biến cố tích A B là biến cố không thể. Khi đó P ( A ∪ B ) = P (A) + P(B) ii) Với A là biến cố bất kỳ trong một phép thử. Khi đó xác suất của biến cố đối lập của A là P ( A) = 1 − P ( A) iii) Tổng quát, nếu A 1, A 2, …, A n là n biến cố xung khắc từng đôi thì P ( A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + ... + P ( An ); iv) Nếu A 1, A 2, …, A n là một nhóm đầy đủ các biến cố thì n ∑ P( A ) = 1 . i i =1 Ví dụ 1.5.1.2 Một nhóm sinh viên gồm 15 người, trong đó có 6 sinh viên ở Quảng Bình, 4 sinh viên ở Hà Tĩnh và 5 bạn còn lại ở Nghệ An. Cả 15 bạn đứng sau 15 cánh cửa giống nhau được đánh số từ 1 đến 15. Bạn hãy chọn ngẫu nhiên cùng lúc 3 cửa. Tìm xác suât để 12 a, Cả 3 sinh viên đứng sau cánh cửa đó đều cùng quê? b, Có đúng 2 sinh viên cùng quê? c, Có ít nhất 2 sinh viên cùng quê? d, Không có sinh viên nào cùng quê? Giải a, Gọi A : “3 sinh viên đứng sau ba cánh cửa đều cùng quê” AQ : “3 sinh viên được chọn cùng ở Quảng Bình” AT : “3 sinh viên được chọn cùng ở Hà Tĩnh” AN : “3 sinh viên được chọn cùng ở Nghệ An” Khi đó AQ , AT , AN đôi một xung khắc và A = AQ ∪ AT ∪ AN . Do đó P ( A) = P ( AQ ) + P ( AT ) + P ( AN ) = C63 + C52 + C53 34 = = 0, 075 . 455 C153 b, Gọi B : “Trong 3 sinh viên đứng sau ba cánh cửa đó có 2 sinh viên cùng quê” BQ : “Trong 3 sinh viên có 2 sinh viên cùng quê Quảng Bình” BT : “Trong 3 sinh viên có 2 sinh viên cùng quê Hà Tĩnh” BN : “Trong 3 sinh viên có 2 sinh viên cùng quê Nghệ An” Khi đó P ( B ) = P ( BQ ) + P ( BT ) + P ( BN ) = C62 .C19 + C42 .C111 + C52 .C101 301 = . C153 455 c, Gọi C: “Có ít nhất 2 sinh viên cùng quê”. Khi đó P (C ) = P ( A) + P ( B ) = 34 301 355 + = = 0, 7363 455 455 455 d, Gọi D : “Không có sinh viên nào cùng quê”. Khi đó D = C nên P(D) = 1 − P (C) = 0, 2637 Định lý 1.5.1.3 Nếu A , B và C là 3 biến cố bất kỳ thì P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A) + P ( B ) + P (C ) − P(AB) − P(AC) − P(BC) + P(ABC) . 1.5.2 Công thức nhân xác suất a, Xác suất có điều kiện 13 Định nghĩa 1.5.2.1 Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B . Ký hiệu P( A / B) . Ví dụ 1.5.2.2 Một túi đựng 5 quả cầu (trong đó có 2 quả màu trắng) hoàn toàn giống nhau. Lấy ngẫu nhiên (không hoàn lại) lần lượt từ túi ra 2 quả cầu. Tính xác suất để lần thứ hai được quả cầu trắng, biết rằng lần thứ nhất lấy được quả cầu trắng? Giải Gọi A là biến cố “lần thứ hai lấy được quả cầu trắng” và B là biến cố “lần thứ nhất lấy được quả cầu trắng”. Ta cần tìm P( A / B ) . Ta thấy lần thứ nhất đã lấy được quả cầu trắng ( B đã xảy ra) nên trong túi còn 4 1 4 quả cầu, trong đó có 1 quả trắng. Vậy P( A / B) = = 0, 25 . Định lý 1.5.2.3 Nếu A và B là hai biến cố bất kỳ trong một phép thử và P ( B ) > 0 , ta có công thức P( A / B) = P ( AB ) P( B) (*) Công thức (*) được gọi là công thức xác suất có điều kiện. b, Công thức nhân xác suất Nếu A , B là hai biến cố bất kỳ, từ công thức xác suất có điều kiện ta có P ( AB ) = P ( B ) ⋅ P ( A / B ) = P ( A) ⋅ P ( B / A) ; Tổng quát ta có P ( A1 ⋅ A2 ⋅⋅⋅ An ) = P (A1 ) ⋅ P ( A2 / A1 ) ⋅ P ( A3 / A1 A2 ) ⋅⋅⋅ P ( An / A1... An −1 ) . Định nghĩa 1.5.2.4 i) Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu P( A / B) = P( A) , điều đó có nghĩa là khả năng xảy ra của biến cố B không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố A . Khi đó P ( AB ) = P (A) ⋅ P(B) ii) Các biến cố A 1, A 2, …, A n được gọi là độc lập trong toàn bộ nếu mỗi biến cố bất kỳ trong chúng độc lập với giao của các biến cố còn lại, nghĩa là P ( Ak / Ai1 ...A ir ) = P ( Ak ) 14 với mọi i j ≠ k , j = 1, r và r = 1, n . Định lý 1.5.2.5 Nếu các biến cố A 1, A 2, …, A n độc lập trong toàn bộ thì P ( A1 ⋅ A2 ⋅⋅⋅ An ) = P (A1 ) ⋅ P ( A2 ) ⋅⋅⋅ P (A n ) . d, Công thức xác suất đầy đủ Giả sử A 1, A 2, …, A n lập thành một nhóm đầy đủ các biến cố. Khi đó với mỗi biến cố B ta có n P (B) = ∑ P ( Ai ) P(B/ A i ) . i =1 Ví dụ 1.5.2.6 Một nhà máy có 3 phân xưởng 1, 2, 3 với số sản phẩm tương ứng là 20%, 30% và 50%, trong đó tỉ lệ phế phẩm tương ứng là 5%, 2% và 1%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy. Tính xác suất để sản phẩm đó là phế phẩm? Giải Gọi Ai là biến cố: “sản phẩm lấy được thuộc phân xưởng thứ i”, i = 1, 2,3 ; B là biến cố: “sản phẩm lấy được là phế phẩm” Khi đó A 1, A 2, …, A n lập thành một nhóm đầy đủ các biến cố với P ( A1 ) = 0, 2; P(A 2 ) = 0, 3; P ( A3 ) = 0,5 . Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta được P( B ) = P ( A1 ) ⋅ P ( B / A1 ) + P ( A2 ) ⋅ P ( B / A2 ) + P ( A3 ) ⋅ P ( B / A3 ) = 20 50 30 2 50 1 ⋅ + ⋅ + ⋅ = 0, 21 100 100 100 100 100 100 d, Công thức Bayes Giả sử A 1, A 2, …, A n lập thành một nhóm đầy đủ các biến cố và B là biến cố nào đó của phép thử với P( B) > 0 . Khi đó với i = 1, 2,..., n ta có P ( Ai / B) = P ( Ai ) ⋅ P (B/ Ai ) , i = 1, 2,..., n P( B) Ví dụ Có 3 chuồng thỏ: chuồng thứ nhất có 3 con thỏ trắng và 2 con thỏ nâu, chuồng thứ 2 có 4 con thỏ trắng và 3 con thỏ nâu, chuồng thứ 3 có 3 con thỏ trắng và 3 con thỏ nâu. Chọn ngẫu nhiên một chuồng và từ đó bắt ngẫu nhiên một con thỏ. a. Tìm xác suất để bắt được con thỏ trắng. 15 b. Biết con thỏ bắt được là con thỏ trắng. Tìm xác suất để con thỏ đó thuộc chuồng thứ nhất. Giải Gọi A1 : “Con thỏ bắt được thuộc chuồng thứ nhất” A2 : “Con thỏ bắt được thuộc chuồng thứ 2” A3 : “Con thỏ bắt được thuộc chuồng thứ 3” B: “Con thỏ bắt được là con thỏ trắng”. Khi đó A 1, A 2, A 3 lập thành một nhóm đầy đủ các biến cố với 1 P ( A1 ) = P ( A2 ) = P ( A3 ) = . 3 a, Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta được P ( B ) = P ( A1 ) ⋅ P ( B / A1 ) + P ( A2 ) ⋅ P ( B / A2 ) + P ( A3 ) ⋅ P ( B / A3 ) 1 3 1 4 1 3 39 = ⋅ + ⋅ + ⋅ = . 3 5 3 7 3 6 70 b, Áp dụng công thức Bayes ta có 1 P ( A1 ) ⋅ P ( B / A1 ) 14 . P ( A1 / B ) = = 5 = 39 39 P( B) 70 1.6 Phân bố xác suất đều Định nghĩa: Phân bố xác suất P trên không gian xác suất hữu hạn với N phần tử Ω = { A1 ,..., AN } được gọi là phân bố xác suất đều nếu như P ( A1 ) = ... = P( AN ) = 1 . N Các phân bố xác suất đều là các phân bố quan trọng hay gặp trong thực tế. Lý do chính dẫn đến phân bố xác suất đều là tính đối xứng, cân bằng, hay hoán vị được của các sự kiện thành phần. Ví dụ 1.6.1 Lấy một bộ bài tú lơ khơ mới có 52 quân, đặt nằm sấp. Khi đó xác suất để rút một con bài trong đó ra một cách tùy ý được con “2 Cơ” (hay bất kỳ con nào khác) bằng 1 . 52 16 Ví dụ 1.6.2 Giả sử một gia đình có 3 con. Xác suất để gia đình đó có 2 con trai 1 con gái là bao nhiêu? Giải. Chúng ta có thể lập mô hình xác suât với 4 sự kiện thành phần: 3 trai, 2 gái 1 trai, 1 trai 2 gái, 3 gái. Thế nhưng 4 sự kiện thành phần đó không “cân bằng” với nhau, và bởi vậy không kết luận được rằng xác suất của “2 trai 1 gái” là 1 . 4 Để có không gian xác suất với phân bố đều, ta có thể lập mô hình xác suất với 8 sự kiện thành phần như sau Ω = {TTT , TTG, TGT , TGT , GTT , GTG, GGT, GGG} Trong đó, T là con trai, G là con gái. Sự kiện ‘‘2 trai 1 gái’’ là hợp của 3 sự kiện thành phần trong mô hình xác suất này : TTG, TGT, GTT. Như vậy, xác suất để gia đình đó có 2 trai, 1 gái là 3 . 8 17 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ NGHỊCH LÝ TRONG XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Bài toán Monty Hall 2.1.1 Giới thiệu về bài toán Bài toán xuất phát từ một trò chơi truyền hình nổi tiếng của Mỹ là Let’s make a deal (Nào cùng thỏa thuận) với người dẫn chương trình đồng thời cũng đồng sáng lập trò chơi tên là Monty Hall. Hình 1. Giả sử bạn là thí sinh tham dự chương trình. Bạn bước vào một vòng thi, trước mặt bạn là ba cánh cửa đánh số 1, 2, 3. Monty cho bạn biết bên trong ba cửa này có hai cửa là con dê, cửa còn lại là chiếc xe hơi. 18 Hình 1 Bạn có quyền được chọn một trong ba cánh cửa này, nếu sau cánh cửa đó là xe hơi thì bạn sẽ được thưởng xe hơi. Nhưng nếu sau cánh cửa đó là con dê, bạn phải mang nó về. Bạn muốn có một chiếc xe hơi hay mang con dê về nhà? Nếu bạn muốn xe hơi thì câu hỏi được đặt ra là: Làm thế nào để chọn được cửa có xe hơi, hay chọn cửa có xác suất trúng xe hơi cao nhất? Hiện ta chưa có dự kiện nào để dự đoán nên nếu ta chọn ngẫu nhiên một cửa bất kỳ, do trong ba cửa này chỉ có một cửa có xe hơi nên xác suất để ta trúng được xe hơi là 1/3 và xác suất trúng con dê là 2/3. Ta sẽ chọn ngẫu nhiên một cửa, chẳng hạn là cửa số 1. Monty Hall đương nhiên biết cửa nào có xe hơi, cửa nào có con dê. Sau khi bạn chọn cửa số 1. Monty sẽ mở cửa số 2, bên trong đó là một con dê xuất hiện. 19 Hình 2 Sau đó, Monty sẽ hỏi rằng bạn muốn giữ lại cửa số 1 hay thay đổi quyết định sang cửa số 3. Theo bạn, bạn sẽ làm gì? 2.1.2 Giải quyết bài toán Có lẽ nhiều bạn sẽ nhận định rằng giữ lại hay thay đổi thì cũng vậy, ta vẫn không biết cửa nào có xe hơi, cửa nào có con dê nên xác suất ta trúng xe là 1/2. Vì vậy việc giữ hay đổi đều mang tính may rủi là chính. Điều này, nghe vẫn có vẻ hợp lý. Để đơn giản hóa vấn đề, ta hãy thiết lập hết tất cả các trường hợp xảy ra. Cụ thể như sau: • Ta có các cách sắp xếp 1 chiếc xe hơi, 2 con dê vào 3 cửa được đánh số theo thứ tự 1,2,3 với X là xe hơi, D là con dê theo các trường hợp như sau: + Xét trường hợp: {X,D,D} Bạn chọn cửa số 1. Monty sẽ mở cửa số 2 hoặc 3. Nếu bạn đổi, bạn được dê. Nếu bạn không đổi, bạn nhận được xe hơi. + Xét trường hợp: {D,X,D} Bạn chọn cửa số 1, Monty sẽ mở cửa số 3. Nếu bạn đổi, bạn được xe. Nếu bạn không đổi, bạn nhận được dê. + Xét trường hợp: {D,D,X} Bạn chọn cửa số 1, Monty sẽ mở cửa số 2. Nếu bạn đổi, bạn được xe. Nếu bạn không đổi, bạn nhận được con dê. Đằng sau Đằng sau Đằng sau cánh cửa 1 cánh cửa 2 cánh cửa 3 tại cửa số 1 sang cửa cung cấp Xe hơi Con dê Con dê Thắng xe Thắng dê Con dê Xe hơi Con dê Thắng dê Thắng xe Con dê Con dê Xe hơi Thắng dê Thắng xe • Kết quả nếu ở Kết quả nếu chuyển Qua ba trường hợp, bạn thấy rằng nếu như bạn không đổi, xác suất bạn được xe là 1/3, còn nếu bạn đổi thì xác suất đã tăng đến 2/3. Vậy cách tốt nhất đó là bạn hãy đổi cửa sẽ cho bạn khả năng trúng được xe cao nhất. 20