Mô tả:
Sách Giải – Người Thầy của bạn
http://sachgiai.com/
Một số mẹo phân tích đồ thị hàm bậc 4 trong khảo sát
Để biết được một số mẹo phân tích đồ thị hàm bậc 4 trong quá trình làm các bài toán liên
quan khảo sát hàm số thì chúng ta chỉ cần nhớ được dạng đồ thị tổng quát của hàm bậc 4.
Nội dung trong bài giảng này thầy sẽ trình bày một số vấn đề liên quan tới tính biến thiên và
cực trị của hàm số.
Trước tiên các bạn cần quan sát và nhớ được dạng tổng quát của đồ thị hàm bậc 4
1) Dạng toán về tính đơn điệu của hàm số
* Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R
Theo các bạn thì đối với hàm bậc 4 cụ thể là hàm trùng phương mà chúng ta vẫn xét trong
chương trình học thì liệu có câu hỏi như trên không? Tức là có bài toán nào yêu cầu tìm m
để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R hay không?
Theo quan điểm của riêng thầy thì sẽ không ai hỏi như vậy. Tại vì sao ? Chúng ta để ý lên
đồ thị hàm trùng phương ở trên thì sẽ thấy ngay. Trong 4 cái đồ thị mà các bạn nhìn thấy thì
không có một cái đồ thị nào mà hàm số của chúng ta đồng biến hay nghịch biến trên R cả.
Do đó câu hỏi này có lẽ sẽ không ai cho vào bài toán.
1
Sách Giải – Người Thầy của bạn
http://sachgiai.com/
Vậy thì với hàm trùng phương hàm số của chúng ta chỉ có thể đồng biến, nghịch biến trên
từng khoảng hay đoạn bất kì khác R. Nếu gặp bài toán như vậy thì chúng ta sẽ làm như thế
nào?
* Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng (a; b) bất kì
Để giải được bài toán dạng này thì các bạn lại để ý lên đồ thị dạng tổng quát ở hình phía
trên. Trong 4 cái đồ thị của chúng ta thì đều có thể sảy ra trường hợp như này. Tuy nhiên
nếu nhìn vào dạng đồ thị tổng quát ta sẽ biện luận bài toán này theo 2 trường hợp.
Trường hợp 1: Phương trình y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt
Với dạng này phương trình y' = 0 bao giờ cũng phân tích được thành dạng: (x − m)(x2 + ax
+ b) = 0 với m là hằng số, tức là x = m là 1 nghiệm của phương trình này rồi. Công việc của
chúng ta là tìm điều kiện để phương trình bậc 2 còn lại có 2 nghiệm phân biệt khác m là
xong. Sau đó ta lập bảng biến thiên, xét xem khoảng đồng biến hay nghịch biến bài toán cho
phù hợp với khoảng nào của nghiệm.
Trường hợp 2: Phương trình y' = 0 có 1 nghiệm
Với dạng này phương trình y' = 0 cũng phân tích được thành dạng: (x − m)(x2 + ax + b) = 0
với m là hằng số, tức là x = m là 1 nghiệm của phương trình này rồi. Công việc của chúng ta
là tìm điều kiện để phương trình bậc 2 còn lại vô nghiệm là xong. Sau đó ta lập bảng biến
thiên, xét xem khoảng đồng biến hay nghịch biến bài toán cho phù hợp với khoảng nào của
nghiệm.
Tuy kiến thức rất đơn giản nhưng không phải bạn nào cũng để ý và suy luận được từ dạng
đồ thị tổng quát này. Do đó thầy cũng có thể gọi đây là mẹo phân tích đồ thị hàm bậc 4. Với
phân tích rất nhỏ như trên thôi nhưng sẽ giúp các bạn rất nhiều trong quá trình tư duy giải
toán.
2) Dạng toán về cực trị của hàm số
Nhìn vào dạng đồ thị của hàm số ta sẽ thấy hàm số này luôn luôn có 1 cực trị hoặc là 3 cực
trị. Do đó trong bài toán thông thường sẽ có câu hỏi:
Tìm m để hàm số có 1 cực trị
2
Sách Giải – Người Thầy của bạn
http://sachgiai.com/
Tìm m để hàm số có 3 cực trị
Và chắc chắc sẽ chẳng bao giờ ai lại đi hỏi:
Tìm m để hàm số không có cực trị
Tìm m để hàm số có 2 cực trị
Với bài toán hỏi về cực trị ta sẽ làm như sau (các bạn nhìn vào hình vẽ nhé):
Trường hợp 1: Tìm m để hàm số có 3 cực trị
Để hàm số có 3 cực trị ta cần biện luận phương trình y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Biện luận
cụ thể thế nào thì bên trên về tính biến thiên thầy nói rõ rồi.
Trường hợp 2: Tìm m để hàm số có 1 cực trị
Để hàm số có 1 cực trị ta cần biện luận phương trình y' = 0 có 1 nghiệm. Biện luận cụ thể
thế nào thì bên trên về tính biến thiên thầy cũng lại nói rõ rồi. Trong trường hợp này có thể
bài toán sẽ hỏi thành hai trường hợp như sau:
a. Tìm m để hàm số chỉ có cực tiểu hay có 1 cực tiểu và không có cực đại
Nhìn vào dạng đồ thị tổng quát thì đây là một Parabol quay bề lõm lên trên, do đó ta cần
biện luận phương trình y′ = 0 có 1 nghiệm kết hợp với hệ số a > 0.
b. Tìm m để hàm số chỉ có cực đại hay có 1 cực đại và không có cực tiểu
Nhìn vào dạng đồ thị tổng quát thì đây là một Parabol quay bề lõm xuống dưới, do đó ta cần
biện luận phương trình y′ = 0 có 1 nghiệm kết hợp với hệ số a < 0.
Trường hợp 3: Tìm m để hàm số có 2 cực tiểu và 1 cực đại
Với trường hợp này các bạn nhìn vào 1 trong 4 đồ thị phía trên sẽ thấy được câu trả lời
ngay. Nhìn qua ta có, để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì: phương trình y'= 0 có 3 nghiệm
phân biệt và hệ số a > 0
Trường hợp 4: Tìm m để hàm số có 1 cực tiểu và 2 cực đại
3
Sách Giải – Người Thầy của bạn
http://sachgiai.com/
Tương tự như trường hợp 3 các bạn nhìn vào 1 trong 4 đồ thị phía trên sẽ thấy được câu trả
lời ngay. Nhìn qua ta có, để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì: phương trình y' = 0 có 3
nghiệm phân biệt và hệ số a < 0
Trong 4 cái hình dạng đồ thị như trên thì các bạn để ý giúp thầy 2 dạng đồ thị bên trên (tức
là dạng đồ thị có 3 cực trị), các bạn có thấy 3 điểm cực trị này có gì đặc biệt không? Nếu
chưa để ý thấy thì hãy thử vẽ hình và nối 3 điểm cực trị này lại với nhau xem có được một
cái gì đó hay không?
Sau một thời gian chờ đợi các bạn vẽ hình thì chúng ta sẽ rút ra một nhận xét như sau:
Chú ý: Với hàm bậc 4 (hàm trùng phương) trong trường hợp mà đồ thị hàm số có 3 cực trị
thì 3 cực trị này luôn luôn tạo thành 1 tam giác cân với đỉnh là điểm cực trị thuộc trục tung.
Đó là một số mẹo phân tích đồ thị hàm bậc 4 (hàm trùng phương) mà thầy muốn chia sẻ với
các bạn. Đây là kiến thức rất cơ bản và dễ hiểu khi các bạn sử dụng đồ thị dạng tổng quát.
Qua bài viết này các bạn sẽ thấy việc sử dụng đồ thị hay là hình vẽ trực quan trong quá trình
giải toán sẽ giúp chúng ta rất nhiều trong việc tư duy tìm lời giải.
4
- Xem thêm -