Tài liệu Một số định lý liên quan đến tứ giác và các bài toán áp dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA TOÁN - TIN ----------------------- VŨ THỊ NGỌC ÁNH MỘT SỐ ĐỊNH LÝ LIÊN QUAN ĐẾN TỨ GIÁC VÀ CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Sư phạm Toán học Phú Thọ, 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA TOÁN - TIN ----------------------- VŨ THỊ NGỌC ÁNH MỘT SỐ ĐỊNH LÝ LIÊN QUAN ĐẾN TỨ GIÁC VÀ CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Sư phạm Toán học NGƯỜI HƯỚNG DẪN: ThS. LƯU THỊ THU HUYỀN Phú Thọ, 2018 i LỜI CẢM ƠN Khóa luận này được hoàn thành tại trường Đại học Hùng Vương dưới sự  hướng dẫn khoa học của ThS.Lưu Thị Thu Huyền. Để hoàn thành khóa luận tốt  nghiệp, ngoài sự nỗ lực của bản thân, em xin gửi lời cảm ơn đến ban giám hiệu,  các thầy cô trong khoa Toán – Tin trường  Đại học Hùng Vương đã tận tình giúp  đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình nghiên cứu và thực hiện đề  tài khóa luận.  Đặc  biệt,  emxin  bày  tỏ  lòng  biết  ơn  sâu  sắc  tới  côgiáo  hướng  dẫn  của  mình là ThSLưu Thị Thu Huyền đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt  quá trình nghiên cứu và hoàn thiện khóa luận.  Mặc dù bản thân đã cố gắng hết sức xong do thời gian có hạn cùng với  khối lượng kiến thức lớn và khó nên khóa luận khó tránh khỏi những thiếu sót.  Em  rất  mong  nhận  được  sự  góp  ýcác  thầy  giáo,  cô  giáo  cùng  các  bạn  đọc  để  khoá luận được hoàn thiện hơn.  Em xin chân thành cảm ơn!  Việt Trì, ngày    tháng     năm 2018                                                                  Sinh viên  Vũ Thị Ngọc Ánh      ii MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .......................................................................................................................... i  MỞ ĐẦU ................................................................................................................................... 1  1. Lý do chọn đề tài khóa luận. ......................................................................................... 1  2. Mục tiêu khóa luận. .......................................................................................................... 2  3. Nhiệm vụ nghiên cứu. ..................................................................................................... 2  4. Phương pháp nghiên cứu. .............................................................................................. 2  5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu .............................................................................. 2  6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn ..................................................................................... 2  CHƯƠNG 1. TỨ GIÁC VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ LIÊN QUAN ....................... 4  1.1.Định nghĩa về tứ giác. Phân loại tứ giác ............................................................... 4  1.1.1.Định nghĩa về tứ giác ................................................................................................ 4  1.1.2. Phân loại tứ giác ......................................................................................................... 4  1.1.3.Ký hiệu và các hệ thức cơ bản ............................................................................... 4  1.2.Định lý Ptoleme và một số mở rộng ....................................................................... 6  1.1.2.  Định lý Ptoleme ...................................................................................................... 6  1.2.2. Bất đẳng thức Ptoleme ............................................................................................. 8  1.2.3. Định lý Bretschneider .............................................................................................. 9  1.2.4.Định lý Casey ............................................................................................................. 10  1.2.5.Định lý Carnot ............................................................................................................ 12  1.3.Định lý Bramagupta..................................................................................................... 14  1.4 Định lý Brokard ............................................................................................................. 15  1.5. Tứ giác đặc biệt ............................................................................................................ 16  1.5.1. Tứ giác nội tiếp đường tròn ................................................................................. 16  1.5.2. Tứ giác ngoại tiếp đường tròn............................................................................ 22  1.5.3. Tứ giác đồng thời nội tiếp và ngoại tiếp ........................................................ 31  1.5.4. Tứ giác với những đường chéo vuông . .......................................................... 32  CHƯƠNG 2: .......................................................................................................................... 36  CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ................................................ 36  LIÊN QUAN ĐẾN TỨ GIÁC ........................................................................................ 36  iii 2.1 Bài tập áp dụng định lý Ptoleme và một số mở rộng ..................................... 36  2.2.  Bài tập áp dụng định lý Brocard .......................................................................... 57  2.3. Bài tập áp dụng định lý Bramagupta ................................................................... 62  KẾT LUẬN ............................................................................................................................ 70  TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................ 71  1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài khóa luận. Toán học là một bộ môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không  gian và các phép biến đổi. Là môn học cơ bản có vai trò quan trọng trong đời  sống và được ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn. Đây là một môn học tương đối  khó, mang tính tư duy cao, đòi hỏi người học phải chịu khó tìm tòi khám phá và  say mê nghiên cứu. Chính vì thế toán học được khai thác để góp phần phát triển  năng lực trí tuệ chung và hình thành các phẩm chất trí tuệ cho học sinh như tính  linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo.  Hình học là một ngành khoa học của Toán học. Hình học được đưa vào  chương trình toán từ rất sớm. Với mỗi học sinh hình học luôn là một môn học  khó, bởi để học  môn  này học sinh cần tích cực, biết hệ thống kiến thức và có  khả năng tư duy sáng tạo.   Trong hình học phẳng, Tứ giác là một trong những hình cơ bản mà chúng  ta cần phải nắm được khi học về hình học. Là nền tảng cho học sinh tiếp cận với  những kiến thức về hình sơ cấp. Chính vì thế các khái niệm cơ bản về tứ giác đã  được đưa vào chương trình ngay từ cấp 1 học sinh đã được nhận diện tứ giác và  lên các  cấp cao hơn  thì được học  kĩ  hơn. Cụ thể là ngay  chương đầu  tiên  của  toán lớp 8 đã giành 1 chương về tứ giác. Muốn giải các bài toán sau này về hình  học  thì trước hết  chúng ta phải nắm  vững  được những kiến thức  cơ bản về tứ  giác. Khi học về tứ giác ta có một số định lý quan trọng có nhiều ứng dụng để  giải các bài tập.   Các định lý trong tứ giác được áp dụng rất nhiều và rất quan trọng. Tuy  nhiên, thực tế cho thấy rằng học sinh của chúng ta đôi khi còn chủ quan và chưa  nắm hết được tầm quan trọng của các định lý này chính vì thế dẫn đến sự bối dối  trong việc giải các bài tập áp dụng.   Các định lý được trình bày trong khóa luận chủ yếu là những định lý chưa  được đề cập đến trong sách giáo khoa. Những định lý này chủ yếu áp dụng giải  2 những bài toán nâng cao và bài toán thi học sinh giỏi. Do đó việc tìm hiểu sâu  những định lý này rất cần thiết.  Nhận thấy được tầm quan trọng của các định lý trong tứ giác và các bài  tập áp dụng tôi quyết định chọn: “Một số định lý liên quan đến tứ giác và các bài toán áp dụng ” làm đề tài nghiên cứu khóa luận tốt nghiệp của mình.    2. Mục tiêu khóa luận. Tuyển chọn và giới thiệu được những bài toán từ đơn giản đến phức tạp  có  sử  dụng  những  định  lý:  Định  lý  Ptoleme  và  một  số  mở  rộng,  định  lý  Bramagupta, định lý Brocard, để giải các bài tập liên quan.  3. Nhiệm vụ nghiên cứu.   Tìm hiểu về tứ giác và các định lý trong tứ giác     Nghiên cứu tổng hợp các bài tập áp dụng định lý trong tứ giác, các bài tập  đưa ra phù hợp với năng lực học sinh.  4. Phương pháp nghiên cứu.   Phương  pháp  nghiên cứu lý luận:  Đọc  và  nghiên  cứu  tài  liệu,  giáo trình có  liên quan đến các định lý trong tứ giác.    Phương  pháp  lấy  ý  kiến  chuyên  gia:  Lấy  ý  kiến  của  giảng  viên  trực  tiếp  hướng dẫn, các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung và hình thức của  khóa luận.    Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên cứu, tham khảo tài liệu,  giáo trình từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu.  5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu a) Đối tượng: Một số định lý liên quan đến tứ giác và bài tập áp dụng.  b) Phạm vi: Tập trung nghiên cứu định lý: Định lý Ptoleme và một số mở rộng,  định lý Bramagupta, định lý Brocard.  6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Khóa luận trình bày khá chi tiết về các định lý trong tứ giác. Những định  lý được đề cập trong khóa luận là những định lý không có trong sách giáo khoa  tuy nhiên lại hay gặp trong đề thi học sinh giỏi, chính vì vậy khi khóa luận hoàn  3 thành sẽ là một tài liệu tham khảo tốt cho việc dậy và học. khóa luân xây dựng  được hệ thống bài tập phong phú, đa dạng, phù hợp với năng lực học sinh nhằm  giúp học sinh áp dụng tốt các định lý trong tứ giác đồng thời phát triển tư duy  toán học.  4 CHƯƠNG 1. TỨ GIÁC VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ LIÊN QUAN 1.1Định nghĩa về tứ giác. Phân loại tứ giác 1.1.1. Định nghĩa về tứ giác Định nghĩa 1.1   Tứ giác  ABCD  là hình gồm bốn đoạn thẳng  AB, BC, CD, DA  trong đó bất  kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.  Định nghĩa 1.2     Hình  tứ  giác là  một  đa  giác  có  4  cạnh  và  4  đỉnh. Tứ  giác có  thể  là tứ  giácđơn (không có cặp cạnh đối nào cắt nhau), hoặc tứ giác kép (có hai cặp cạnh  đối cắt nhau). Tứ giác đơn có thể lồi hay lõm. Tổng các góc của tứ giác là 360  độ.  1.1.2. Phân loại tứ giác i ) Tứ giác đơn: Tứ giác đơn là bất kỳ tứ giác nào không có cạnh nào cắt nhau.  ii) Tứ  giác  lồi: Tứ  giác  lồi là  tứ  giác  mà  tất  cả  các  góc  trong  nó  đều  nhỏ  hơn  180° và hai đường chéo đều nằm bên trong tứ giác. Hay dễ hiểu hơn thì tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm gọn trong một nửa mặt phẳng có chứa bất kỳ cạnh nào.  iii ) Tứ  giác  lõm: Tứ giác  lõm là  tứ giác  chứa  một góc trong có số đo lớn hơn  180° và một trong hai đường chéo nằm bên ngoài tứ giác.  iv ) Tứ giác không đều: Là tứ giác mà nó không có cặp cạnh nào song song với  nhau. Tứ  giác  không  đều thường  được  dùng  để  đại  diện  cho tứ  giác  lồi nói  chung (không phải là tứ giác đặc biệt).  1.1.3. Ký hiệu và các hệ thức cơ bản 5   Ta ký hiệu  ABCD  là tứ giác lồi với các đỉnh là  A, B, C , D được vẽ theo một  chiều nhất định nào đó (cùng chiều kim đồng hồ hay ngược chiều kim đồng hồ).  Để đơn giản, độ lớn của góc tương ứng với các đỉnh  A, B, C , D cũng được kí  hiệu tương ứng là A, B, C , D .   Độ dài các cạnh của tứ giác:  AB  a, BC  b, CD  c, DA  d .   Nửa chu vi của tứ giác:  p  abcd   2 Độ dài các đường chéo  AC  m, BD  n.   Diện tích của tứ giác: S  SABCD   ABCD .  Hệ thức về góc:  A  B  C  D  3600  2  .   Hệ thức về cạnh: a < b + c + d,  b < c + d + a,  c < d + a + b,  d < a + b + c.   Hệ thức giữa các cạnh và đường chéo: Trong một tứ giác, tổng các độ dài hai  cạnh đối diện nhỏ hơn tổng hai đường chéo:  a + c < m + n, b + d < m + n   Định nghĩa 1.3. Tứ giác có hai cạnh song song được gọi là hình thang. Hai cạnh  song song được gọi là hai cạnh đáy, hai cạnh còn lại được gọi là hai cạnh bên.  Đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh bên được gọi là đường trung bình của  hình  thang.  Hình  thang  được  gọi  là  hình  thang  cân,  nếu  các  góc  kề  cạnh  đáy  bằng nhau.  Mệnh đề 1.1. Độ dài đường trung bình của hình thang bằng một nửa tổng độ dài  hai cạnh đáy  MN  AB  DC   2 Định nghĩa 1.4. Tứ giác có các cạnh đối song song được gọi là hình bình hành.  Mệnh đề 1.2. Đối với tứ giác lồi  ABCD  các phát biểu sau đây là tương đương.  6 a)  ABCD là hình bình hành.   b) AB  DC  và  AD  BC.   c)  AB / / DC  và  AB  DC.   d)  A  C  và  B  D .  e) Các đường chéo  AC và  BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.  Định nghĩa 1.5. Tứ giác có bốn góc vuông là hình chữ nhật, có bốn cạnh bằng  nhau là hình thoi, có bốn cạnh bằng nhau và có bốn góc vuông là hình vuông.  Mệnh đề 1.3.  Đối  với  hình  bình hành  ABCD ,  các  phát biểu  sau  đây  là  tương  đương.  a)  ABCD  là hình chữ nhật.   b)  A  900.   c)  AC  BD.   Mệnh đề 1.4.  Đối  với  hình  bình hành  ABCD ,  các  phát biểu  sau  đây  là  tương  đương  a)  ABCD  là hình thoi.  b)  AB  BC.   c)  AC  BD.   d)  AC  là phân giác của  A .  1.2.Định lý Ptoleme và một số mở rộng 1.1.2. Định lý Ptoleme Định lý 1.1 7 Hay  còn  gọi  là   Đẳng  thức  Ptoleme là  đẳng  thức  trong hình  học  Euclid miêu tả quan hệ giữa độ dài bốn cạnh và hai đường chéo của một tứ giác  nội  tiếp  đường  tròn. Định  lý  này  mang  tên nhà  toán  học và thiên  văn  học người Hy Lạp cổ đại Ptoleme (Claudius Ptolemaeus).  Nếu A, B, C, và D là 4 đỉnh của tứ giác nội tiếp đường tròn thì:  AC . BD  AB . CD  BC . AD   với dấu gạch ngang kí hiệu độ dài của các cạnh.  Định lý này cũng có thể phát biểu thành định lý thuận và đảo:  Thuận:Nếu  một  tứ  giác  nội  tiếp  trong  một  đường  tròn  thì  tích  của  hai  đường chéo bằng tổng các tích của các cặp cạnh đối diện.  Đảo:Nếu một tứ giác thỏa mãn điều kiện tổng các tích của các cặp cạnh  đối diện bằng tích của hai đường chéo thì tứ giác đó nội tiếp một đường tròn.  B A C D Chứng minh: Gọi  ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn.  Trên cung nhỏ BC, ta có các góc nội tiếp  BAC  BDC và trên cung AB,  ADB  ACB   Lấy 1 điểm  K  trên  AC  sao cho  ABK  CBD ;  8 Từ  ABK  CBK  ABC  CBD  ABD  CBK  ABD   Do vậy  ABK Suy ra:  DBC , và tương tự có  ABD KBC   CK DA AK CD    và   ;  BC BD AB BD  AK .BD  AB.CD  và  CK .BD  BC.DA     Cộn g các vế của 2 đẳng thức trên:   AK .BD  CK .BD  AB.CD  BC.DA   AK  CK  .BD  AB.CD  BC.DA;   Mà  AK  CK  AC , nên AC.BD  AB.CD  BC.DA;   (điều phải chứng minh)  1.2.2.Bất đẳng thức Ptoleme Bất đẳng thức Ptolemelà  trường  hợp  tổng  quát  của  định  lý  Ptoleme  đối  với một tứ giác bất kỳ. Nếu ABCD là tứ giác bất kỳ thì: AB.CD  BC.DA  AC.BD   Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tứ giác nội tiếp trong một đường tròn và  trở thành định lý Ptoleme. Chứng minh: 9   Dựng thêm điểm  E  sao cho 2 tam giác  sao cho 2 tam giác  BCD  và  BEA  đồng dạng. ồng dạng.  Đối với một tứ giác không nội tiếp trong đ ối với một tứ giác không nội tiếp trong đường tròn khi đó ta có b đó ta có bất đẳng thức  Ptoleme.  Sử dụng tính chất tam giác đồng dạng v ử dụng tính chất tam giác đồng dạng và bất đẳng thức tam giác. ất đẳng thức tam giác.  Dựng điểm  E  sao cho   BCD  đồng dạng với   BEA . Khi đó, theo tính chất của  . Khi đó, theo tính ch tam giác đồng dạng, ta có ồng dạng, ta có:  BA.CD  EA.BD Suy ra:  BACD BA BD    EA CD 1   Mặt khác,  EBC và  ABD  cũng đồng dạng do có:  BA BE   và  EBC  ABD   BD BC Từ đó: EC AD   AD.BC  EC.BD  2    BC BD Cộng (1) và (2) ta suy ra à (2) ta suy ra: AB.CD  AD.BC  BD. EA  EC    Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta suy ra ụng bất đẳng thức tam giác ta suy ra:  AB.CD  BC.DA  AC.BD   1.2.3. Định nh lý Bretschneider Định lý 1.2 10 Cho  tứ  giác  ABCD có  độ  dài  các  cạnh  AB, BC , CD, DA của  tứ  giác  lần  lượt là  a, b, c, d và độ dài các đường chéo  AC , BD là  m, n. Khi đó ta có:  m 2 n 2  a 2c 2  b 2 d 2  2abcd .cos  A  C  .   Chứng minh: N A M B D C Trên cạnh  AB  ra phía ngoài dựng tam giác  ABN đồng dạng với tam giác  CAD, và  dựng  ra  phía ngoài  cạnh  AD tam  giác  ADM đồng  dạng với  tam  giác  CAB.   Khi đó dễ thấy  AN  ac bd ad ; AM  ; NB  DM   và  BDMN  là hình  m m m bình hành.  Đồng thời ta có  NAM  A  C.  Áp dụng định lý hàm số cos cho tam giác  NAM  ta có:  2 2  ac   bd   ac   bd  n        2   .  .cos  A  C  m m mm  m 2 n 2  a 2c 2  b 2 d 2  2abcd .cos  A  C  . 2   1.2.4. Định lý Casey Định lý 1.3 Cho  O   là  một đường tròn bán kính  R .  Cho  O1 , O2 , O3 , O4   là  bốn đường  tròn  theo  thứ tự  không  cắt  nhau  cùng  ở  trong  (  hoặc  ở  ngoài)  và  tiếp  xúc  với  11 đường  tròn  O .  Định  nghĩa  tij   là  độ  dài  tiếp  tuyến  ngoài  của  cách  đường  tròn  Oi , O j .   Khi đó:    t12 .t34  t41.t23  t13 .t24   Trong trường hợp các đường tròn  O1 , O2 , O3 , O4  suy biến thành một điểm  định lý Casey suy biến thành định lý Ptoleme.  t14 t O4 24 O1 t 34 t 12 t 13 O2 O3 t 23 Chứng minh: Gọi  bán  kính  của  đường  tròn  Oi  là  Ri và  các  đường  tròn  này  tiếp  xúc  với  O  tại  K i . Gọi  là tâm của các đường tròn này.  2 2 Theo định lý Pytago: tij 2  OiO j   Ri  R j    Trong tam giác  OOO i j  áp dụng định lý cos chúng ta có độ dài của  Ki , K j :  2 2 2 OiO j  OOi  OO j  2OOi .OO j cos OiOO j   Vì các đường tròn  O , Oi  tiếp xúc nhau:   OOi  R  Ri , OiOO j  KiOK j   12 Gọi  C  là một điểm trên đường tròn  O . Theo định lý sin trong tam giác  KiCK j  ta có: K i K j  2 R.sin K iCK j  2 R.sin K iOK j 2  .   Do đó:  cos KiOK j  1  2sin 2 KiOK j 2 KK  1  2. i j  2R  2 2  Ki K j     1  2 2 R  Từ các đẳng thức trên ta có:  2 2 2 2 2 2 Oi O j   R  Ri    R  R j   KK 2 i j  2  R  Ri   R  R j  1  2 2R       Oi O j   R  Ri    R  R j   2  R  Ri   R  R j    R  Ri   R  R j  2 Oi O j   R  R    R  R  i j 2   R  Ri   R  R j  Ki K j Ki K j R2 2   2 R2 Cuối cùng ta có độ dài các đoạn tiếp tuyến là:  2 2 tij  OiO j   Ri  R j   R  Ri . R  R j .K i K j R     Áp  dụng định lý Ptoleme cho tứ giác nội tiếp  K1 K 2 K 3 K 4  vế trái đẳng thức trên ta  có:  1 . R  R1 . R  R2 . R  R3 . R  R4 K1 K 2 .K3 K 4  K1 K 4 .K 2 K3 R2 1  2 R  R1 . R  R2 . R  R3 . R  R4 K1 K3 .K 2 K 4   R  t13t24 t12 t34  t14t23    Định lý được chứng minh  1.2.5. Định lý Carnot Định lý 1.4.   13 Cho tam giác nhọn  ABC  nội tiếp trong đường tròn   O, R   và ngoại tiếp  đường tròn   I , r   Gọi  x, y , z  lần lượt là khoảng cách từ O  tới các cạnh tam giác.  Chứng minh rằng  x  y  z  R  r.   Chứng minh A P B N O M C Gọi  M , N , P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB .   Giả  sử x  OM , y  ON , z  OP, BC  a, CA  b, AB  c .  Tứ  giác  OMBP nội tiếp, theo đẳng thức Ptoleme ta có  OB.PM  OP.MB  OM .PB . Do  đó:  b a c R.  z.  x. 2 2 2 c a b c a b Tương tự ta cũng có  R.  y.  x. ; R.  y.  z. ; 2 2 2 2 2 2 Mặt khác:   *   **   14 a b c r.       ABC   OBC   OCA  OAB   2 2 2 a b c  x.  y.  z. 2 2 2 ***   Từ  * , ** , ***  ta có:  abc abc    x  y  z  .  2 2      Rr  x yz  R  r  . 1.3.Định lý Bramagupta Định lý 1.5 Cho  có  hai  đường  chéo  vuông  góc  với  nhau  tại  I .Chứng  minh  rằng  đường  thẳng  đi  qua  I và  trung  điểm  của  một  cạnh  của  tứ  giác  vuông  góc  với  cạnh đối diện.   Chứng minh:       Không mất tính tổng quát, giả sử tứ giác  ABCD   nội tiếp có  AC  BD  ; lấy  E là trung điểm của  BC , ta chứng minh rằng  IE  AD .    Thật vậy, gọi  F  là giao điểm của  IE   với  AD .    Tam giác  BIC vuông tại  I có  E là trung điểm của  BC  nên  EIC  ECI   15 BCA  BDA  (cùng chắn cung  AB )  Mặt khác  EIC  AIF (đối đỉnh)  BCA  AIF ;  vì  AIF  DIF  900    DIF  BDA  900 nghĩa là  IE  AD. 1.4Định lý Brokard Định lý 1.6 Cho tứ giác lồi  ABCD nội tiếp đường tròn tâm  O . AD  giao  BC  tại  M , AB   giao CD  tại  N , AC giao  BD  tại  I . Chứng  minh rằng  O  là trực tâm của  tam giác  MIN .     Chứng minh: Gọi H là giao thứ 2 của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác  AID  và  BIC   Xét tứ giác  DOHC  ,ta có:  DHC  3600  DHI  CHI  DAC  DBC  DOC     tứ giác  DOHC  nội tiếp.  Tương tự ta cũng suy ra: tứ giác  AOHB  nội tiếp.  Dễ thấy: NA.NB  NC .ND