Tài liệu MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN CHO TOÁN TỬ ĐẠO HÀM TRÊN THANG THỜI GIAN VÀ ÁP DỤNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN ĐÌNH PHỤNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN CHO TOÁN TỬ ĐẠO HÀM TRÊN THANG THỜI GIAN VÀ ÁP DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN ĐÌNH PHỤNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN CHO TOÁN TỬ ĐẠO HÀM TRÊN THANG THỜI GIAN VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 62.46.01.02 Phản biện 1:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phản biện 2:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phản biện 3:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TẬP THỂ HƯỚNG DẪN: PGS. TS. Đinh Thanh Đức GS. TSKH. Vũ Kim Tuấn BÌNH ĐỊNH - NĂM 2017 Lời cam đoan Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Đinh Thanh Đức và GS. TSKH. Vũ Kim Tuấn. Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu khoa học của tôi. Các kết quả trong Luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được ai công bố trước đó. Tác giả Trần Đình Phụng Lời cảm ơn Luận án được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và đầy tận tâm của PGS. TS. Đinh Thanh Đức và GS. TSKH. Vũ Kim Tuấn. Trước tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Đinh Thanh Đức, người đã hướng dẫn tác giả từ những bước đi đầu tiên trong nghiên cứu khoa học, Thầy không chỉ hướng dẫn một cách tận tình, định hướng, giúp đỡ tác giả vượt qua khó khăn trong quá trình nghiên cứu khoa học mà còn sự quan tâm giúp đỡ về mặt vật chất lẫn tinh thần cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu của mình. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Thầy Vũ Kim Tuấn, người đã nhiệt tâm giúp đỡ tác giả trong quá trình nghiên cứu khoa học và giúp tác giả học hỏi thêm được nhiều điều về nghiên cứu khoa học và cuộc sống mặc dù thời gian làm việc chung với tác giả không nhiều. Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Toán cùng Quý thầy cô giáo giảng dạy lớp nghiên cứu sinh Toán giải tích khóa 1 đã tận tình giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu. Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy Nguyễn Dư Vi Nhân. Thầy đã giúp đỡ tác giả tận tình trong quá trình nghiên cứu khoa học cũng như trong việc hoàn thành Luận án. Cuối cùng, tác giả xin được tỏ lòng biết ơn chân thành đến gia đình, bạn bè, những người luôn sát cánh động viên, chia sẻ giúp đỡ tác giả hoàn thành Luận án. Mục lục Danh mục các ký hiệu iii Mở đầu 1 Chương 1. Một số kiến thức cơ bản về giải tích trên thang thời gian 9 1.1. Các định nghĩa cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2. Phép tính vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3. Phép tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Chương 2. Bất đẳng thức loại Opial trên thang thời gian và áp dụng 22 2.1. Bất đẳng thức loại Opial cho hàm một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2. Bất đẳng thức loại Opial cho hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3. Một số áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Chương 3. Tính dao động của một số phương trình động lực trên thang thời gian 77 3.1. Bất đẳng thức loại Lyapunov trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.2. Tính dao động của phương trình thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.3. Tính dao động của phương trình không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Chương 4. Đồng nhất thức loại Picone trên thang thời gian và áp dụng 110 i 4.1. Một số đồng nhất thức và bất đẳng thức loại Picone . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.2. Bất đẳng thức loại Wirtinger và loại Hardy trên thang thời gian . . . . . 118 4.3. Định lý Ried cho một lớp hệ động lực cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Kết luận 130 Danh mục các công trình của tác giả 133 Tài liệu tham khảo 134 Chỉ mục 144 ii Danh mục các kí hiệu T : Thang thời gian R : Tập các số thực Z : Tập các số nguyên N : Tập  các số tự nhiên T \ (ρ(sup T), sup T] nếu sup T < ∞ : T nếu sup T = ∞ Tκ [a, b]T : [a, b] ∩ T σ : Toán tử nhảy tiến ρ : Toán tử nhảy lùi µ : Hàm hạt ∆ : Toán tử đạo hàm trên thang thời gian fσ : f ◦σ   [a, b] ∩ T     [a, b) ∩ T :   (a, b] ∩ T     (a, b) ∩ T I nếu a < σ(a) và ρ(b) < b, nếu a < σ(a) và ρ̄(b) = b, nếu a = σ̄(a) và ρ(b) < b, nếu a = σ̄(a) và ρ̄(b) = b I0 : (a, b) ∩ T Ia : [a, ∞) ∩ T Λn : Thang thời gian n chiều x : (x1 , ..., xn ) ∈ Λn x≤y : xj ≤ yj với mọi j ∈ [1, n]N λ : Đa chỉ số λ = (λ1 , ..., λn ) 1 : (1, ..., 1) ρλ−1 (b) : (ρλ1 1 −1 (b1 ), ..., ρnλn −1 (bn )) Ω (hay [a, b]) : {x ∈ Λn : a ≤ x ≤ b} Ωκ λ−1 Ωx : {x ∈ Λn : a ≤ x ≤ ρλ−1 (b)} : {t ∈ Λn : a ≤ t ≤ x} iii Ω̄x : {t ∈ Λn : x ≤ t ≤ ρλ−1 (b)} Ω0 : [a2 , b2 ]T2 × · · · × [an , bn ]Tn Rb Rb : a11 · · · ann f (x1 , ..., xn )∆x1 · · · ∆xn R f (x)∆x Ω ∂ λ f (x) ∆xλ : AC(I) ∂ |λ| f (x) λ ∆1 x1 1 ···∆n xλnn : Tập tất cả các hàm số nhận giá trị thực và liên tục tuyệt đối trên mọi đoạn con đóng của I Crd (I) : Tập tất cả các hàm số nhận giá trị thực và rd-liên tục trên I C1rd (I) : Tập tất cả các hàm số nhận giá trị thực, xác định trên I sao cho các ∆−đạo hàm của chúng thuộc lớp Crd (I) Lp∆ (I), p ≥ 1 : Tập tất cả các hàm số ∆−đo được f xác định trên I R sao cho I |f (x)|p ∆x < ∞ Lp∆ ([a, b]T , τ ), p ≥ 1 : Tập tất cả các hàm số f ∆−đo được, xác định trên [a, b]T sao cho Rb a |f (x)|p τ (x)∆x < ∞, trong đó τ ∈ W([a, b]T ) Lpa ([a, b]T , τ ), p ≥1 : Tập tất cả các hàm số f ∈ AC([a, b]T ) sao cho f ∆ ∈ Lp∆ ([a, b]T , τ ) và f có một không điểm tổng quát là a f −g 1+µg −g 1+µg f g : g : ef (·, x0 ) : Nghiệm duy nhất của bài toán y ∆ = f (x)y, Gp (t), p > 1 : |t|p−1 sign(t) P(I0 ) : Tập tất cả các nghiệm (u, v) của hệ động lực phi tuyến  u∆ = Auσ + BG 1 α f (x0 ) = 1 +1 (v) v ∆ = −CGα+1 (uσ ) − Dv trong đó A, B, C và D thuộc lớp hàm Crd (I0 ) với B > 0 và −A, −D ∈ R+ , sao cho u không có không điểm tổng quát trong I0 iv R : Tập tất cả các hàm hồi quy R+ : Tập tất cả các hàm hồi quy f thỏa mãn 1 + µ(x)f (x) > 0 với mọi x ∈ T U(a, b) : Tập tất cả các hàm thử Cnλ rd (Ω) : Tập tất cả các hàm số f : Ω → R có các ∆−đạo hàm riêng ∂ k1 +···+kj f (x) k k ∆1 x1 1 ···∆j xj j với kj ∈ [1, λj ]N , j ∈ [1, n]N là các hàm rd-liên tục W(Ω) Lpa (Ω, τ, λ), p : Tập tất cả các hàm trọng trên Ω ≥1 nλ (Ω) : Tập tất cả các hàm số f : Ω → R thuộc lớp Crd  kj  = 0 với kj ∈ [0, λj − 1]N , j ∈ [1, n]N , sao cho ∂ f (x) k ∆j xj j  xj =aj R λ f (x) p và Ω | ∂∆x λ | τ (x)∆x < ∞, trong đó τ ∈ W(Ω) Lpa ([a, b], τ ), p ≥ 1 : Tập tất cả các hàm số f : [a, b] → R thuộc lớp Cnrd1 ([a, b]) sao cho f có không điểm tổng quát là a và Rb a | ∂ 1 f (x) p ∆x1 | τ (x)∆x v < ∞, trong đó τ ∈ W([a, b]) Mở đầu Bất đẳng thức không chỉ xuất hiện và đóng một vai trò quan trọng trong hầu hết các lĩnh vực của toán học thuần túy, toán ứng dụng mà còn có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của cuộc sống, chẳng hạn như khoa học tự nhiên, khoa học kĩ thuật và kinh tế. Các bất đẳng thức hàm là một trong những cơ sở quan trọng để xây dựng giải tích nói chung và lĩnh vực phương trình vi phân, đạo hàm riêng và tích phân nói riêng. Trong lĩnh vực phương trình vi phân, tích phân và đạo hàm riêng, các bất đẳng thức tích phân cho toán tử đạo hàm là những công cụ vô cùng hữu hiệu trong việc nghiên cứu các tính chất định tính và định lượng cho nghiệm của các lớp phương trình này. Một số đại diện quan trọng của lớp các bất đẳng thức tích phân cho toán tử đạo hàm là các bất đẳng thức Opial, Wirtinger và Hardy. Dưới góc độ giải tích thuần túy, có thể thấy rằng bất đẳng thức Opial là dạng nội suy của bất đẳng thức Poincaré một chiều với một số điều kiện biên nào đó, trong khi bất đẳng thức Wirtinger là dạng của bất đẳng thức Poincaré một chiều đối với các hàm tuần hoàn. Năm 1960, Opial [63] nhà toán học người Ba Lan đã đưa ra bất đẳng thức Z b b |f (x)f (x)|dx ≤ 4 0 0 Z b |f 0 (x)|2 dx, (0.1) 0 trong đó f là hàm liên tục tuyệt đối và xác định trên [0, b], nhận giá trị phức sao cho f (0) = f (b) = 0. Trong Bất đẳng thức (0.1), 4b là hằng số tốt nhất có thể. Năm 1962, Beesack [17] đã chứng minh rằng: Nếu f là hàm liên tục tuyệt đối và xác định trên [0, b], nhận giá trị phức sao cho f (0) = 0, thì Z 0 b b |f (x)f (x)|dx ≤ 2 0 Z b |f 0 (x)|2 dx, (0.2) 0 trong đó 2b là hằng số tốt nhất có thể, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f (x) = cx, với c là hằng số. Ngay sau đó, nhiều nhà toán học trên thế giới đã quan tâm nghiên cứu, phát triển, mở rộng và tổng quát hóa các bất đẳng thức Opial (0.1) và (0.2) theo nhiều hướng khác nhau đồng thời cũng đã đưa ra các dạng rời rạc tương ứng. Năm 1968, Willett [98] lần đầu tiên đưa ra một mở rộng cho Bất đẳng thức 1 (0.2) theo hướng nâng bậc đạo hàm. Sau đó, Boyd [24], Das [30], Pachpatte [64] đã tiếp tục phát triển kết quả theo hướng mở rộng này. Để nghiên cứu các tính chất định tính và định lượng cho nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng, Agarwal [1], Cheung [29], Yang [103], Pachpatte [66] đã mở rộng (0.1) và (0.2) cho hàm số nhiều biến. Một hướng mở rộng không tầm thường khác đó là xét các trường hợp khác nhau đối với các số mũ của hàm số và đạo hàm của nó. Theo hướng này, có các công trình tiên phong của Hua [39] và Yang [102]. Năm 1972, Godunova và Levin [35] đã đưa ra các dạng mở rộng cho các Bất đẳng thức (0.1) và (0.2) liên quan đến hàm lồi. Các kết quả này đã được Pečarić [68], Pachpatte [66], và Andrić cùng các cộng sự [14] mở rộng cho hàm số nhiều biến. Bất đẳng thức Opial dạng rời rạc đã được Lasota [49] đề xuất vào năm 1968. Cụ thể, Lasota [49] đã đưa ra các dạng rời rạc tương ứng với các Bất đẳng thức (0.1) và (0.2) như sau: Cho {xi }N i=0 là một dãy số thực. Nếu x0 = xN = 0, thì N −1 X i=0   N −1 1 N +1 X |xi ∆xi | ≤ |∆xi |2 , 2 2 (0.3) i=0 trong đó ∆ là toán tử sai phân tiến và [·] là hàm phần nguyên. Nếu x0 = 0 thì N −1 X i=0 N −1 N −1 X |xi ∆xi | ≤ |∆xi |2 . 2 (0.4) i=0 Sau đó, các Bất đẳng thức (0.3) và (0.4) đã được mở rộng bởi Lee [50] và Pachpatte [65]. Các bất đẳng thức Opial cùng với các dạng mở rộng của chúng đã được chứng minh là mang tính ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học do không chỉ kế thừa ý tưởng từ bất đẳng thức Poincaré mà còn do chính bản thân các biến thể. Cụ thể, các bất đẳng thức loại Opial đã trở thành một công cụ hữu ích trong việc chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm, xét tính bị chặn, tính ổn định và tính dao động của nghiệm, nghiên cứu các bài toán về giá trị riêng và nhiều vấn 2 đề khác. Trong [11], Agarwal và Pang đã tổng hợp rất nhiều dạng mở rộng khác nhau của bất đẳng thức Opial và các áp dụng của chúng. Gần đây, vào năm 2013, Nhân, Đức, và Tuấn [59] đã đưa ra một bất đẳng thức loại Opial tổng quát như sau: Cho m, n là các số nguyên dương, p > 1, r, s > 0 sao cho p1 + 1r = 1s , fj : [a, b] → R, j = 1, ..., m là các hàm số thỏa mãn fj(n−1) tồn tại, liên Rb n−1 tục tuyệt đối trên [a, b] và a |fj(n) (x)|p τn (x)δj (x)dx < ∞, trong đó τn (x) = (b−x) và (n−1)! δj là các hàm dương và liên tục trên [a, b]. Khi đó Z b a ≤N  Y  1s (n) s   m  ϕ(x)dx τn (x) Gj ◦ fj  j=1 Y m j=1 b Z Gj (n) |fj (x)|p τn (x)δj (x)dx (0.5)  p1 , a trong đó các hàm Gj , j = 1, ..., m, thuộc vào một lớp các hàm số thích hợp, ϕ là hàm dương và liên tục trên [a, b] và N là hằng số. Năm 2014, Nhân, Đức, Tuấn, và Vũ [61] đã đưa ra dạng rời rạc của Bất đẳng thức (0.5) và áp dụng vào một số lớp phương trình sai phân và hàm zeta của Riemann. Một mở rộng của Bất đẳng thức (0.5) cho trường hợp hàm nhiều biến cũng đã được Đức, Nhân, và Xuân [34] đưa ra vào năm 2015. Năm 1988, Hilger nhà toán học người Đức trong luận án tiến sĩ của mình đã đưa ra lý thuyết giải tích trên thang thời gian nhằm mục đích thống nhất giải tích liên tục và giải tích rời rạc. Sự ra đời của giải tích trên thang thời gian là một đòi hỏi mang tính tất yếu bởi rất nhiều mô hình toán học trong thực tế luôn đòi hỏi dữ liệu vừa có tính liên tục vừa có thể rời rạc. Giải tích trên thang thời gian cho phép chúng ta có thể nghiên cứu các phương trình trên một tập con đóng tùy ý của R, mà ta gọi là thang thời gian, thường được kí hiệu là T. Các ví dụ điển hình nhất của thang thời gian T đó là R, Z và q¯Z = {q t , t ∈ Z} ∪ {0} trong đó q > 1. Từ đó, chúng ta có thể nhận được các kết quả cho các phương trình vi phân, phương trình sai phân hay phương trình q−giải tích bằng cách chọn các thang thời gian thích hợp. Các bất đẳng thức dạng tích phân và sai phân đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất định tính và định lượng cho nghiệm của các phương trình vi phân và phương trình sai phân. Do đó việc thống nhất các dạng 3 bất đẳng thức này, tức là thiết lập các bất đẳng thức trên thang thời gian, là cần thiết cho việc nghiên cứu các tính chất định tính và định lượng cho nghiệm của phương trình động lực trên thang thời gian. Từ đó nhiều nhà toán học đã quan tâm đến lý thuyết bất đẳng thức trên thang thời gian. Việc nghiên cứu các bất đẳng thức loại Opial trên thang thời gian được Bohner và Kaymakçalan [20], Agarwal, Bohner và Peterson [3] khởi xướng vào năm 2001: Nếu hàm số f : [0, b]T → R là hàm ∆−khả vi sao cho f (0) = 0, thì Z b Z b σ ∆ |[f (x) + f (x)]f (x)|∆x ≤ b |f ∆ (x)|2 ∆x. (0.6) 0 0 Ngay sau đó, Bất đẳng thức (0.6) đã thu hút được sự nghiên cứu mở rộng của nhiều nhóm nghiên cứu khác nhau. Có hai dạng mở rộng tự nhiên nhất cho Bất đẳng thức (0.6) đó là các bất đẳng thức loại Opial Z b |f (x)|γ |f ∆ (x)|β ϕ(x)∆x ≤ S1 b Z a |f ∆ (x)|p τ (x)∆x  γ+β p và b Z (0.7) a |f (x) + f σ (x)|γ |f ∆ (x)|β ϕ(x)∆x ≤ S2 a Z b |f ∆ (x)|p τ (x)∆x  γ+β p , (0.8) a khi f (a) = 0 hoặc/và f (b) = 0, trong đó p > 1, β > 0, γ > 0, S1 , S2 là các hằng số. Hai dạng bất đẳng thức này được nghiên cứu trong các công trình [21, 43, 44, 52, 78, 80, 81, 82, 88, 91, 92, 105, 108]. Các Bất đẳng thức (0.7) và (0.8) cũng được mở n rộng bằng cách thay f ∆ bởi f ∆ , các kết quả như vậy đã được đưa ra bởi Wong và các cộng sự [99], Sirvastava và các cộng sự [91], Saker, Agarwal, và O’regan [86], Saker [82]. Một số bất đẳng thức loại Opial khác cũng được thiết lập trên thang thời gian, chẳng hạn như: Karpuz và Özkan [44] đưa ra bất đẳng thức loại Opial cho nhiều hàm số, Agarwal, O’regan và Saker [10] thiết lập một vài kết quả cho hàm nhiều biến trên thang thời gian. Từ những kết quả gần đây của Nhân, Đức, và Tuấn [59, 61] và nhiều nhà toán học khác trên thế giới cho trường hợp liên tục, rời rạc cùng với những ứng dụng khác nhau của chúng trong lĩnh vực phương trình vi phân, sai phân, ta có thể thấy rằng sự ra đời của chúng có nhất định trong việc phát triển lý thuyết phương trình vi phân và sai phân. Sự phát triển mạnh mẽ của nhiều bất đẳng thức trên thang 4 thời gian trong thời gian gần đây đã góp phần vào việc phát triển lý thuyết phương trình động lực trên thang thời gian. Hai dạng Bất đẳng thức (0.7) và (0.8) đã được ứng dụng trong việc nghiên cứu định tính và định lượng cho nghiệm của một số lớp phương trình động lực trên thang thời gian. Tuy nhiên, cần phải có những bất đẳng thức tổng quát hơn để phục vụ cho việc nghiên cứu các lớp phương trình tổng quát hơn. Vì lẽ đó, việc nghiên cứu nhằm cải tiến và đề xuất các bất đẳng thức mới trên thang thời gian luôn là vấn đề quan trọng và có tính cấp thiết trong lĩnh vực giải tích nói chung mà đặc biệt là trong việc nghiên cứu lý thuyết phương trình động lực nói riêng. Tiếp nối những kết quả gần đây, chúng tôi tiếp tục phát triển và mở rộng các Bất đẳng thức loại Opial (0.7) và (0.8) cho hàm một biến và hàm nhiều biến trên cơ sở sử dụng phương pháp và ý tưởng được đề xuất bởi Nhân, Đức và Tuấn trong [59, 61] cùng với lý thuyết giải tích trên thang thời gian. Hơn nữa, chúng tôi còn áp dụng các kết quả mới để thiết lập một số bất đẳng thức loại Lyapunov mới, hữu ích trong việc nghiên cứu sự phân bố các không điểm tổng quát của nghiệm của một số lớp phương trình động lực. Tuy nhiên, việc xây dựng những kết quả mới này là không hề dễ dàng mà chúng đòi hỏi những kĩ thuật cao, tính toán phức tạp nhằm khắc phục những điểm khác biệt giữa liên tục và rời rạc cũng như thống nhất chúng. Cùng với bất đẳng thức Opial, một công cụ quan trọng khác trong nghiên cứu lý thuyết phương trình vi phân, tích phân, và đạo hàm riêng đó là đồng nhất thức Picone, được chính nhà toán học Picone người Ý đề xuất năm 1910 trong [69] như sau:   d u dt v (P0 (t)u0 v − P1 (t)uv 0 ) = (P0 (t) − P1 (t))(u0 )2 + (Q1 (t) − Q0 (t))u2    2 u 0 + P1 (t) v v u + (v`2 [u] − uL2 [v]). v (0.9) Từ đó, Picone đã sử dụng nó để chứng minh các Định lý so sánh Sturm cho các toán tử vi phân `2 [u] = (P0 (t)u0 )0 + Q0 (t)u, L2 [v] = (P1 (t)v 0 )0 + Q1 (t)v. Đồng nhất thức Picone không chỉ là một công cụ rất mạnh khi nghiên cứu tính dao động nghiệm của các phương trình vi phân, nghiên cứu các bài toán giá trị riêng 5 trong phương trình vi phân mà còn được dùng để thiết lập các bất đẳng thức tích phân liên quan tới các hàm số và đạo hàm của nó chẳng hạn như các bất đẳng thức loại Wirtinger và loại Hardy. Kể từ khi ra đời, đồng nhất thức Picone đã nhận được nhiều sự quan tâm nghiên cứu, mở rộng theo nhiều hướng khác nhau chẳng hạn như: Ahmad [12] mở rộng cho các hệ tuyến tính, Müller-Pfeiffer [58] mở rộng cho các phương trình vi phân không tự liên hợp, Tyagi và Raghavenda [97] mở rộng cho các phương trình vi phân ẩn, Allegretto [13] mở rộng cho các phương trình elliptic suy biến, Zhang và Sun [106] mở rộng cho các phương trình tuyến tính trên thang thời gian, Jaroš và Kusano [42] mở rộng cho các phương trình nửa tuyến tính, Tiryaki [96] mở rộng cho các phương trình elliptic phi tuyến. Năm 1999, Jaroš và Kusano [42] đã mở rộng đồng nhất thức Picone (0.9) cho các toán tử vi phân nửa tuyến tính cấp hai `α [u] = (P0 Gα+1 (u0 ))0 + Q0 Gα+1 (u) Lα [v] = (P1 Gα+1 (u0 ))0 + Q1 Gα+1 (u) trong đó α > 0 và Gp (t) = |t|p−1 sign(t) với p > 1 và áp dụng nó để nghiên cứu lý thuyết Sturm cho các phương trình thuần nhất `α [u] = 0 và không thuần nhất `α [u] = f . Các phiên bản rời rạc và thang thời gian của đồng nhất thức Picone lần lượt được Řehák [74], Agarwal, Bohner và Řehák [4] đưa ra sau đó. Năm 2011, Jaroš [40] đã đưa ra đồng nhất thức loại Picone cho toán tử Lα [v] từ đó thiết lập một bất đẳng thức loại Wirtinger mở rộng các kết quả của Diaz và Metcalf [31], Lee và các cộng sự [51] cũng như của Swanson [94]. Gần đây, Jaroš [41] (2013) và Tiryaki [95] (2015) đã thu được các đồng nhất thức và bất đẳng thức loại Picone cho hệ phương trình vi phân phi tuyến  u0 = A(t)u + B(t)G 1 (v) +1 α (0.10) v 0 = −C(t)Gα+1 (u) − D(t)v. Từ đó, áp dụng chúng để nhận được một số bất đẳng thức loại Wirtinger. Tuy nhiên các kết quả này vẫn còn một số hạn chế cần phải khắc phục. Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: Chúng ta có thể xây dựng được các đồng nhất thức loại Picone cho các hàm số xác định trên thang thời gian để từ đó thiết lập các bất đẳng thức loại Wirtinger, mà các kết quả này thống nhất các kết quả 6 dạng liên tục và dạng rời rạc đã được đề cập ở trên hay không? Nỗ lực đầu tiên để trả lời câu hỏi này thuộc về Agarwal cùng các cộng sự [7]. Họ đã thiết lập bất đẳng thức loại Wirtinger bằng cách xét bất phương trình ∆−vi phân (P u∆ )∆ + Quσ + λRuσ ≤ 0 trên I ∩ [a, ρ̄(b)), trong đó λ là một tham số thực, P, Q và R là các hàm số rd-liên tục trên I với P > 0, và I là một tập con thích hợp của T. Gần đây nhất, vào năm 2015, Saker, Mahmoud và Peterson [87] đã cố gắng mở rộng đồng nhất thức loại Picone và bất đẳng thức loại Wirtinger được thiết lập bởi Jaroš [40] cho các hàm số xác định trên thang thời gian. Tuy nhiên, Công trình [87] của họ có một vài thiếu sót, các kết quả trong [87, Theorem 2.1] không chính xác. Do đó, chúng tôi nhận thấy rằng việc xây dựng các đồng nhất thức và bất đẳng thức loại Picone mới trên thang thời gian là thực sự cần thiết, có tính thời sự và có ý nghĩa khoa học. Trong luận án này, chúng tôi vừa hiệu chỉnh các kết quả trong Công trình [87] vừa mở rộng chúng bằng cách thiết lập một số đồng nhất thức và bất đẳng thức loại Picone mới cho hệ động lực phi tuyến  u∆ = Auσ + BG 1 (v) α +1 v ∆ = −CGα+1 (uσ ) − Dv. Từ đó, chúng tôi sử dụng chúng để thu được các ước lượng tiên nghiệm cho một số phương trình và hệ phương trình động lực trên thang thời gian. Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi thiết lập một số bất đẳng thức loại Wirtinger và loại Hardy mới trên thang thời gian, hữu ích trong việc nghiên cứu các tính chất định tính cho nghiệm của hệ động lực mà chúng tôi đang xét. Cụ thể, chúng tôi thu được các kết quả như Định lý hoán vị vòng quanh Reid, Định lý so sánh Sturm, Định lý tách Sturm và một nguyên lý biến phân trong lý thuyết dao động. Mục đích chính của Luận án là xây dựng một số bất đẳng thức tích phân cho toán tử đạo hàm trên thang thời gian như bất đẳng thức loại Opial, bất đẳng thức loại Wirtinger, bất đẳng thức loại Hardy và các áp dụng của chúng trong lĩnh vực phương trình và hệ phương trình động lực trên thang thời gian. Luận án, ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, gồm có 4 chương: 7 • Chương 1: Một số kiến thức cơ bản về giải tích trên thang thời gian • Chương 2: Bất đẳng thức Opial trên thang thời gian và áp dụng • Chương 3: Tính dao động của một số phương trình động lực trên thang thời gian • Chương 4: Đồng nhất thức Picone trên thang thời gian và áp dụng Luận án được viết dựa trên các công trình [60, 62, 71, 72, 73]. Các kết quả của Luận án đã được báo cáo tại: • Seminar Khoa Toán, Trường Đại học Quy Nhơn, Bình Định; • Hội nghị “Toán học Miền Trung-Tây Nguyên lần I”, Trường Đại học Quy Nhơn, Bình Định, 12-14/08/2015; • Seminar Trung tâm Toán ứng dụng và Khoa học, Trường Đại học West Geor- gia, Carrollton, GA 30118, USA, 3/2016; • Hội nghị “Toán ứng dụng và Tin học”, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, Hà Nội, 12-13/11/2016; • Hội nghị quốc tế “New Trends in Optimization and Variational Analysis for Applications”, Trường Đại học Quy Nhơn, Bình Định, 7-10/12/2016; • Hội thảo quốc tế “Analysis, Probability, and their Applications”, Trung tâm khoa học quốc tế và giáo dục liên ngành (ICISE), Quy Nhơn, Bình Định, 11-16/12/2016. Bình Định, tháng 05 năm 2017 Tác giả Trần Đình Phụng 8 Chương 1 Một số kiến thức cơ bản về giải tích trên thang thời gian Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về trên thang thời gian, phép tích vi phân và tích phân trên thang thời gian. Hầu hết các kết quả trong chương này được chúng tôi trích dẫn từ các công trình [22, 23] của Bohner và Peterson, [27, 28] của Cabada và Vivero. 1.1. Các định nghĩa cơ bản Định nghĩa 1.1 ([22]). Thang thời gian (time scale) T là một tập con không rỗng, đóng của R. Như vậy, các tập R, Z, N, q¯Z := {q k : k ∈ Z} ∪ {0} với q > 1, hZ := {hk : k ∈ Z} với h > 0, tập Cantor là các thang thời gian. Các tập Q, R \ Q, C, (0, 1) không phải là các thang thời gian. Tôpô trên thang thời gian T là tôpô cảm sinh từ tôpô chuẩn trên tập các số thực R. Định nghĩa 1.2 ([22, Definition 1.1]). Cho T là một thang thời gian tùy ý. Toán tử nhảy tiến (forward jump operator) σ : T → T được định nghĩa như sau: σ(t) := inf{s ∈ T : s > t} với mọi t ∈ T. Toán tử nhảy lùi (backward jump operator) ρ : T → T được định nghĩa như sau: ρ(t) := sup{s ∈ T : s < t} với mọi t ∈ T. 9 Hàm hạt (graininess function) µ : T → R+ 0 được định nghĩa như sau: µ(t) := σ(t) − t với mọi t ∈ T. Trong định nghĩa này ta đặt inf ∅ := sup T (tức là σ(t) = t nếu t là điểm lớn nhất của T) và sup ∅ := inf T (tức là ρ(t) = t nếu t là điểm nhỏ nhất của T), trong đó ∅ là tập rỗng. Định nghĩa 1.3 ([22, Definition 1.1]). Cho T là một thang thời gian và t ∈ T. • Nếu σ(t) > t thì t được gọi là điểm cô lập phải (right-scattered). • Nếu ρ(t) < t thì t được gọi là điểm cô lập trái (left-scattered). • Nếu t vừa là điểm cô lập phải vừa là điểm cô lập trái thì t được gọi là điểm cô lập (isolated). • Nếu t < sup T và σ(t) = t thì t được gọi là điểm trù mật phải (right-dense). • Nếu t > inf T và ρ(t) = t thì t được gọi là điểm trù mật trái (left-dense). • Nếu t vừa là điểm trù mật phải vừa là điểm trù mật trái thì t được gọi là điểm trù mật (dense). Sau đây là ví dụ minh họa một số định nghĩa cơ bản trên thang thời gian. Ví dụ 1.1 ([22]). Xét các thang thời gian T = R, T = Z và T = q¯Z . (i) Khi T = R, với mọi t ∈ R ta có σ(t) = inf{s ∈ R : s > t} = t. Tương tự, ρ(t) = t. Vì thế mọi điểm trong R đều là điểm trù mật. Khi đó, hàm hạt µ(t) = 0, ∀t ∈ T. (ii) Khi T = Z, với mọi t ∈ Z ta có σ(t) = inf{s ∈ Z : s > t} = t + 1. Tương tự, ρ(t) = t − 1. Vì thế mọi điểm trong R đều là điểm cô lập. Khi đó, hàm hạt µ(t) = 1, ∀t ∈ T. 10 (iii) Khi T = q¯Z = {q k : k ∈ Z} ∪ {0}, trong đó q > 1, với mọi t = q m ∈ T ta có σ(t) = inf{q n : n ∈ [m + 1, ∞)} = q m+1 = qt và rõ ràng σ(0) = 0. Hơn nữa ρ(t) = qt . Do đó µ(t) = σ(t) − t = (q − 1)t với mọi t ∈ T. Vì thế 0 là điểm trù mật phải nhỏ nhất và mọi điểm khác trong T đều là điểm cô lập. Định nghĩa 1.4 ([22]). Cho T là một thang thời gian tùy ý. Ta định nghĩa tập Tκ như sau:  T \ (ρ(sup T), sup T] nếu sup T < ∞ κ T := T nếu sup T = ∞. Định nghĩa 1.5 ([22]). Cho T là một thang thời gian tùy ý, a, b ∈ T sao cho a < b. Ta định nghĩa đoạn [a, b]T trong T như sau: [a, b]T := [a, b] ∩ T. Các tập (a, b]T , [a, b)T và (a, b)T được định nghĩa theo cách tương tự. Chú ý rằng [a, b]κT = [a, b]T nếu b là điểm trù mật trái và [a, b]κT = [a, b)T nếu b là điểm cô lập trái. 1.2. Phép tính vi phân Định nghĩa 1.6 ([22, Definition 1.10]). Cho hàm số f : T → R và t ∈ Tκ . Nếu tồn tại số a sao cho với mọi  > 0, tồn tại một lân cận U của t (tức là U = (t − δ, t + δ) ∩ T với một δ > 0 nào đó) sao cho |f (σ(t)) − f (s) − a[σ(t) − s]| ≤ [σ(t) − s] ∀s ∈ U, thì a được gọi là ∆−đạo hàm (đạo hàm Hilger hay delta đạo hàm) của f tại t. Kí hiệu a := f ∆ (t). 11