Tài liệu Môđun cohen macaulay dãy

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ---------------- NGUYỄN THỊ NHUNG MÔĐUN COHEN - MACAULAY DÃY Chuyên ngành : Đại số và Lý thguyết số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TSKH. NGUYỄN TỰ CƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ---------------- NGUYỄN THỊ NHUNG MÔĐUN COHEN - MACAULAY DÃY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Môc lôc Lêi nãi ®Çu 1 2 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ 5 1.1 Lý thuyÕt béi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 §èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 M«®un Cohen - Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 dd- D·y, läc chiÒu vµ hÖ tham sè tèt 10 2.1 C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña dd - d·y . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Läc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu vµ hÖ tham sè tèt . . . . . . . . 12 M«®un Cohen - Macaulay d·y 20 3.1 M«®un Cohen - Macaulay d·y . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.2 §Æc tr­ng cña m«®un Cohen - Macaulay d·y . . . . . . . . . . 26 KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Lêi nãi ®Çu Nghiªn cøu cÊu tróc cña m«®un th«ng qua nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt cña hµm ®é dµi x¸c ®Þnh bëi ®é dµi m«®un th­¬ng qua mét hÖ tham sè nµo ®ã lµ ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu quan träng trong §¹i sè giao ho¸n. Tõ nh÷ng n¨m 50 cña thÕ kû tr­íc, Serre ®· chØ ra cã thÓ dïng phøc Koszul ®Ó tÝnh béi cña mét m«®un ®èi víi mét hÖ tham sè, tõ ®ã ®­a ra mèi liªn hÖ gi÷a hµm ®é dµi, sè béi víi ®é dµi cña c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu Koszul. C¸c mèi liªn hÖ ®ã ®­îc tiÕp tôc nghiªn cøu trong c¸c c«ng tr×nh cña Auslander-Buchsbaum vµ c¸c t¸c gi¶ kh¸c, dÉn ®Õn nh÷ng kÕt qu¶ mµ ngµy nay trë thµnh c¬ b¶n trong §¹i sè giao ho¸n. Ta lu«n xÐt Noether víi i®ªan cùc ®¹i m, M (R, m) lµ mét R- lµ vµnh giao ho¸n, ®Þa ph­¬ng, m«®un h÷u h¹n sinh cã chiÒu dim M = d. Ký hiÖu x = x1 , x2 , . . . , xd ∈ m lµ mét hÖ tham sè cña M . Khi ®ã ta lu«n cã sè béi cña M l(M/xM ) ≥ e(x, M ), trong ®ã l(∗) lµ hµm ®é dµi, e(x, M ) lµ ®èi víi hÖ tham sè x. Khi dÊu b»ng x¶y ra th× M ®­îc gäi lµ m«®un Cohen-Macaulay. Cã thÓ nãi m«®un Cohen-Macaulay lµ mét trong nh÷ng cÊu tróc ®­îc nghiªn cøu kü vµ cã nhiÒu øng dông nhÊt trong §¹i sè giao ho¸n. Mét më réng tù nhiªn cña m«®un Cohen - Macaulay lµ m«®un CohenMacaulay d·y. TÝnh Cohen-Macaulay d·y lÇn ®Çu tiªn ®­îc giíi thiÖu bëi Stanley cho c¸c m«®un ph©n bËc h÷u h¹n sinh. Sau ®ã N.T. C­êng, L.T. Nhµn [6] vµ P. Schenzel [9] ®· nghiªn cøu líp m«®un nµy trªn vµnh ®Þa ph­¬ng. Ta gäi M lµ m«®un Cohen-Macaulay d·y nÕu tån t¹i mét läc . . . ⊂ Dt = M Di /Di−1 c¸c m«®un con cña M sao cho D : D0 ⊂ D1 ⊂ l(D0 ) < ∞, mçi th­¬ng lµ Cohen-Macaulay vµ 0 < dim(D1 /D0 ) < dim(D2 /D1 ) < . . . < dim(Dt /Dt−1 ) = d. NÕu M lµ m«®un Cohen-Macaulay th× d·y víi läc 0 = D0 ⊂ D1 = M . M Mét läc Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên còng lµ m«®un Cohen-Macaulay D cña M ®­îc gäi lµ läc chiÒu http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 cña M nÕu Di−1 Di lµ m«®un con lín nhÊt cña víi dim Di−1 < dim Di , i = 1, 2, . . . , t, D0 = Hm0 (M ) lµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng thø kh«ng cña M ®èi víi m. NÕu t = 1 trong läc chiÒu D ë trªn, khi ®ã <∞ vµ vµ tõ ®Þnh lý vÒ sè béi trong tr­êng hîp nµy M Macaulay d·y nÕu vµ chØ nÕu lR (D0 ) vµ chØ nÕu tån t¹i hÖ tham sè lR (D0 ) + e(x, D1 ). x1 , . . . , xd Cho D x = x1 , . . . , x d lµ läc chiÒu cña lµ hÖ tham sè cña M sao cho D1 /D0 M lµ Cohen- lµ Cohen-Macaulay lµ Cohen-Macaulay d·y nÕu cña M M víi sao cho l(M/xM ) = dim Di = di vµ x = Di ∩ (xdi +1 , . . . , xd )M = 0, i = 0, 1, . . . , t − 1 ( hÖ tham sè nh­ vËy ®­îc gäi lµ hÖ tham sè tèt cña M ). Mét c©u hái tù nhiªn ®Æt ra liÖu c¸c mÖnh ®Ò sau ®©y cßn ®óng kh«ng: 1. M lµ m«®un Cohen-Macaulay d·y nÕu vµ chØ nÕu víi mäi hÖ tham sè tèt t P e(x1 , . . . , xdi , Di )? x = x1 , . . . , xd cña M , l(M/xM ) = i=0 2. M lµ m«®un Cohen-Macaulay d·y nÕu vµ chØ nÕu tån t¹i mét hÖ tham t P sè tèt x = x1 , . . . , xd cña M sao cho l(M/xM ) = e(x1 , . . . , xdi , Di )? i=0 Môc ®Ých chÝnh cña luËn v¨n nµy lµ tr×nh bµy l¹i nh÷ng kÕt qña chÝnh cña N. T. C­êng vµ §. T. C­êng [5] vÒ ®Æc tr­ng, tÝnh chÊt cña m«®un CohenMacaulay d·y th«ng qua hÖ tham sè tèt, qua ®ã tr¶ lêi trän vÑn cho hai c©u hái trªn. LuËn v¨n bao gåm 3 ch­¬ng. Trong Ch­¬ng 1, tr­íc hÕt chóng t«i tr×nh bµy mét sè kiÕn thøc c¬ së nh­ lý thuyÕt béi, tÝnh triÖt tiªu cña ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng, m«®un Cohen- Macaulay. Chóng lµ nh÷ng c«ng cô c¬ b¶n cho c¸c kÕt qu¶ nghiªn cøu ®­îc tr×nh bµy trong luËn v¨n. Ch­¬ng 2 giíi thiÖu kh¸i niÖm d-d·y, dd-d·y, läc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu vµ hÖ tham sè tèt trong [4], [6]. C¸c kh¸i niÖm nµy ®ãng vai trß quan träng trong c¸c nghiªn cøu ch­¬ng nµy vµ ch­¬ng sau. TiÕp theo chóng t«i tr×nh bµy sù tån t¹i hÖ tham sè tèt cña M vµ hiÖu ID,M (x) = t P l(M/xM ) − e(x1 , . . . , xdi , Mi ) lu«n lµ mét hµm ®ång biÕn kh«ng ©m, khi i=0 xÐt ID,M (x(n)) nh­ mét hµm theo n1 , . . . , nd th× hµm nµy lµ ®ång biÕn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Ch­¬ng 3 lµ ch­¬ng quan träng nhÊt cña luËn v¨n. Trong ch­¬ng nµy chóng t«i nghiªn cøu m«®un Cohen-Macaulay d·y trªn vµnh ®Þa ph­¬ng. PhÇn ®Çu ch­¬ng tr×nh bµy tÝnh chÊt m«®un Cohen-Macaulay d·y qua hÖ tham sè tèt vµ dd-d·y. PhÇn tiÕp theo ®­a ra c¸c ®Æc tr­ng m«®un CohenMacaulay d·y vµ lµ kh¼ng ®Þnh ®óng cho c©u hái thø nhÊt. Víi c©u hái thø hai chóng t«i chØ ra M lµ m«®un Cohen-Macaulay d·y nÕu vµ chØ nÕu 2 2 tån t¹i hÖ tham sè tèt x = x1 , . . . , xd cña M sao cho l(M/(x1 , . . . , xd )M ) = t P 2di e(x1 , . . . , xdi , Di ). Chóng t«i chØ ra ®©y lµ kÕt qu¶ tèt nhÊt cã thÓ. §ång i=0 thêi øng dông ®Ó ®Æc tr­ng ®­îc líp m«®un Cohen-Macaulay xÊp xØ. LuËn v¨n ®­îc hoµn thµnh d­íi sù h­íng dÉn tËn t×nh vµ nghiªm kh¾c cña GS. TSKH. NguyÔn Tù C­êng. Nh©n dÞp nµy, t«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c tíi thÇy. T«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n GS. TSKH. Lª TuÊn Hoa, PGS. TS. NguyÔn Quèc Th¾ng, PGS. TS. Lª ThÞ Thanh Nhµn, PGS. TS. N«ng Quèc Chinh, TS. NguyÔn ThÞ Dung ®· tËn t×nh gi¶ng d¹y gióp t«i n¾m ®ù¬c nh÷ng kiÕn thøc c¬ së. T«i xin c¶m ¬n c¸c b¹n vµ anh chÞ líp Cao häc K16 ®· cæ vò ®éng viªn t«i trong qu¸ tr×nh lµm luËn v¨n. Cuèi cïng t«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n tíi nh÷ng ng­êi th©n trong gia ®×nh t«i. Sù ®éng viªn vÒ mÆt tinh thÇn vµ vËt chÊt ®Ó t«i hoµn thµnh b¶n luËn v¨n nµy. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ch­¬ng 1 Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ Trong ch­¬ng nµy chóng ta nh¾c l¹i mét sè ®Þnh nghÜa vµ kÕt qu¶ cÇn thiÕt sÏ ®­îc sö dông trong luËn v¨n: lý thuyÕt béi [3], ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng [2]; [3], m«®un Cohen-Macaulay [3]. 1.1 Lý thuyÕt béi Tr­íc khi nh¾c l¹i mét sè tÝnh chÊt hÖ béi, ta cã ®Þnh nghÜa sau. §Þnh nghÜa 1.1.1. Cho m«®un h÷u h¹n sinh, sao cho lR (M/xM ) e(x, M ) nÕu cña r =0 M (R, m) dim M = d. < +∞ < +∞, x M. e(∅, M ) = lR (M ) DÔ thÊy lµ mét x2 , . . . , x r cña RR Khi ®ã kÝ hiÖu béi ®­îc ®Þnh nghÜa quy n¹p theo ®Æt 0 :M x1 = {m ∈ M | mx1 = 0}. M x = x1 , . . . , xr Mét hÖ phÇn tö ®­îc gäi lµ hÖ béi cña ®èi víi hÖ béi th× lR (M ) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng, Noether, vµ nÕu r nh­ sau: r ≥1 lµ hÖ béi cña th× ®Æt 0 :M x1 . ¸p dông gi¶ thiÕt quy n¹p cho c¸c m«®un M/x1M vµ 0 :M x1, ta cã e(x, M ) = e(x2 , . . . , xr , M/x1 M ) − e(x2 , . . . , xr ; 0 :M x1 ). Béi e(x, M ) cã c¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n sau ®©y: Chó ý 1.1.2. i) Cho 0 −→ M 0 −→ M −→ M ” −→ 0 m«®un h÷u h¹n sinh vµ lµ d·y khíp c¸c x lµ hÖ béi cña M . Khi ®ã e(x, M ) = e(x, M 0 ) + e(x, M ”). 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn R- 6 ii) Víi mäi sè nguyªn d­¬ng n1 , . . . , nr . Khi ®ã e(xn1 1 , . . . , xnr r ; M ) = n1 . . . nr e(x, M ). Bæ ®Ò sau ®­îc sö dông nhiÒu cho viÖc chøng minh c¸c kÕt qña cña ch­¬ng tiÕp theo. Bæ ®Ò 1.1.3. cã chiÒu [8, Bæ ®Ò Lªch 14.12] Cho d, M (R, m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng, Noether lµ m«®un h÷u h¹n sinh, vµ x1 , . . . , xd lµ hÖ tham sè cña R, q = (x1 , . . . , xd ) lµ i®ªan sinh bëi hÖ nµy. Khi ®ã l(M/(xv11 , . . . , xvdd )M . e(q, M ) = lim v1 . . . vd min(vi )→∞ 1.2 §èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Tr­íc hÕt chóng t«i nh¾c l¹i kh¸i niÖm d·y chÝnh quy cña m«®un (R, m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng, M phÇn tö cña vµ xi x = x1 , . . . , x r lµ d·y R. §Þnh nghÜa 1.2.1. M lµ m«®un h÷u h¹n sinh, M . Cho x ®­îc gäi lµ d·y chÝnh quy cña M kh«ng lµ ­íc cña kh«ng cña m«®un nÕu (x1 , . . . , xr )M 6= M/(x1 , . . . , xi−1 )M, i = 1, . . . , r §Þnh lý sau ®©y nãi vÒ tÝnh triÖt tiªu vÒ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng rÊt h÷u Ých cho viÖc chøng minh c¸c kÕt qu¶ cña luËn v¨n. §Þnh lý 1.2.2. [3, §Þnh lÝ 3.5.7 ( Grothendieck)] Cho ph­¬ng Noether, M lµ (R, m) lµ vµnh ®Þa R - m«®un h÷u h¹n sinh, depth M = t, dim M = d. Khi ®ã i) Hmi (M ) = 0 víi i < t, i > d. ii) Hmt (M ) 6= 0 vµ Hmd (M ) 6= 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 1.3 M«®un Cohen - Macaulay Trong môc nµy tr×nh bµy hÖ tham sè vµ mét sè tÝnh chÊt cña nã, m«®un Cohen-Macaulay. Tr­íc tiªn ta cã ®Þnh nghÜa sau. §Þnh nghÜa 1.3.1. h÷u h¹n sinh, (R, m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng Noether, M dim M = d. hÖ tham sè nÕu Cho Cho x = x1 , . . . , xd ∈ m lµ x = x1 , . . . , xd ∈ m lµ tö lµ mét hÖ tham sè vµ q = (x1 , . . . , xd ) lµ i®ªan q gäi lµ i®ªan tham sè cña M . x lµ hÖ tham sè ta cã mÖnh ®Ò sau. MÖnh ®Ò 1.3.2. M R - m«®un l(M/xM ) < ∞. sinh bëi hÖ nµy. Khi ®ã Khi d phÇn Khi ®ã hÖ gåm lµ [3, §Þnh lý A.4] Cho (R, m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng Noether, R- m«®un h÷u h¹n sinh vµ x1 , . . . , xr ∈ m. Khi ®ã dim M/(x1 , . . . , xi )M ≥ dim M − i. DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi Bæ ®Ò 1.3.3. Cho M phÇn tö tham sè cña x1 , . . . , xr lµ hÖ tham sè cña M. lµ m«®un h÷u h¹n sinh. Khi ®ã phÇn tö M nÕu vµ chØ nÕu x∈ /P víi mäi x∈m lµ mét P ∈ Ass(M ) sao cho dim R/P = d. Chøng minh. Gi¶ sö d­¬ng xn x lµ phÇn tö tham sè cña còng lµ phÇn tö tham sè cña dim(xn M ) = d v× M. M Khi ®ã th× víi mäi n nguyªn dim(M/xn M ) = d − 1, dim M = max{dim(M/xn M ); dim(xn M )}. Gäi N lµ d. Khi ®ã xn M * N víi mäi n p nguyªn d­¬ng. Ta cã Supp(M/N ) = Var(Ann(M/N ) nªn Ann(M/N ) = T P ∈Supp(M/N ) P . MÆt kh¸c ta cã Ass(M/N ) ⊆ Supp(M/N ) vµ m«®un con lín nhÊt cña M cã chiÒu nhá h¬n M in(Ass(M/N )) = M in(Supp(M/N )). Suy ra \ p x∈ / Ann(M/N ) = P. P ∈Ass(M/N ) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 Theo [2, Bæ ®Ò 7.3.1], N cã tÝnh chÊt Ass(M/N ) = {P ∈ Ass(M )| dim R/P = d}. Suy ra x ∈ / P víi mäi P ∈ Ass(M ) chøng minh b»ng ph¶n chøng. Gi¶ sö tho¶ m·n x∈ /P dim R/P = d. víi mäi §¶o l¹i ta P ∈ Ass(M ) tho¶ m·n dim R/P = d vµ dim M/xM = d. Suy ra tån t¹i P ∈ Ass(M/xM ) sao cho dim R/P = d. V× P = 0 :M η + xM víi phÇn tö ®iÒu nµy m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt. Do ®ã η nµo ®ã cña M nªn x∈P dim M/xM < d nªn theo MÖnh ®Ò dim M/xM = d − 1 vµ x lµ phÇn tö tham sè cña M . 1.3.2 ta cã M . Khi ®ã nÕu dim(M/N ) < d p th× tån t¹i x lµ phÇn tö tham sè cña M sao cho x ∈ Ann(M/N ). H¬n n÷a Bæ ®Ò 1.3.4. nÕu Cho N lµ mét m«®un con cña dim(M/N ) = d − t < d th× tån t¹i t phÇn tö tham sè x1 , . . . , xt cña M x1 , . . . , xt ∈ Ann(M/N ). p T Ann(M/N ) = P ∈Ass(M/N ) P vµ Bæ ®Ò 1.3.3 tån t¹i Chøng minh. Tõ T S phÇn tö x ∈ P mµ x ∈ / P ∈Ass(M/N ) Q∈Ass(M ),dim R/Q=d Q. Gi¶ sö ng­îc T S l¹i P ∈Ass(M/N ) P ⊆ Q∈Ass(M ),dim R/Q=d Q. Theo §Þnh lý tr¸nh nguyªn tè sao cho tån t¹i P ∈ Ass(M/N ) vµ Q ∈ Ass(M ) víi dim R/Q = d sao cho P ⊆ Q. Suy ra dim R/P = d. §iÒu nµy m©u thuÉn víi dim M/N < d, suy ra kh¼ng ®Þnh thø nhÊt ®óng. Gi¶ sö trªn tån t¹i x1 x1 M ⊆ N . Víi vµ dim(M/N ) = d − t < d, lµ phÇn tö tham sè cña t = 1 ®· M sao cho chøng minh ë trªn. Víi theo chøng minh x1 ∈ Ann(M/N ). t > 1, ®Æt Suy ra M1 = M/x1 M N1 = N/x1 M . Ta cã dim M1 /N1 = dim M/N = d − t < d − 1 = dim M1 . Suy ra tån t¹i x2 lµ phÇn tö tham sè cña M1 sao cho x2 ∈ Ann(M1 /N1 ) = Ann(M/N ). Ta cã dim M/(x1 , x2 )M = dim M1 /x2 M1 = dim M1 − 1 = d − 2. Do ®ã ra x1 , x2 lµ mét phÇn hÖ tham sè cña (x1 , x2 )M ⊆ N . NÕu d−t < d−2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên M vµ th× ®Æt x1 , x2 ∈ Ann(M/N ), suy M2 = M/(x1 , x2 )M , N2 = http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 N/(x1 , x2 )M vµ lý luËn t­¬ng tù nh­ k, 1 ≤ k ≤ t − 1 tham sè cña M tån t¹i vµ xk+1 sao cho M1 , N1 . B»ng quy n¹p t¹i b­íc thø x1 , . . . , xk , xk+1 x1 , . . . , xk+1 ∈ Ann(M/N ). lµ mét phÇn cña hÖ VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. §Þnh nghÜa 1.3.5. sinh. Khi ®ã M Cho (R, m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng, M lµ m«®un Cohen - Macaulay nÕu lµ R- m«®un h÷u h¹n dim M = depth M . TiÕp theo lµ mét sè tÝnh chÊt t­¬ng ®­¬ng cña m«®un Cohen-Macaulay. MÖnh ®Ò 1.3.6. [3, §Þnh lý 4.4.6, §Þnh lý 4.6.10] C¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t­¬ng ®­¬ng: i) M lµ m«®un Cohen-Macaulay. ii) Tån t¹i i®ªan tham sè iii) q sao cho e(q, M ) = l(M/qM ). e(q, M ) = l(M/qM ) víi mäi i®ªan tham sè q cña M . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ch­¬ng 2 dd- D·y, läc chiÒu vµ hÖ tham sè tèt Môc ®Ých cña ch­¬ng nµy giíi thiÖu kh¸i niÖm dd-d·y, läc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu, hÖ tham sè tèt vµ mét sè kÕt qu¶ liªn quan ®Õn kh¸i niÖm nµy. Trong luËn v¨n, chóng t«i lu«n gi¶ thiÕt M lµ 2.1 (R, m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng, Noether, R- m«®un h÷u h¹n sinh cã chiÒu d. C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña dd - d·y §Çu tiªn ta nh¾c l¹i ®Þnh nghÜa d-d·y, d-d·y m¹nh. §Þnh nghÜa 2.1.1. Cho mét d·y c¸c phÇn tö x nÕu lµ d- d·y cña mäi M i = 1, . . . , r Ta gäi (x1 , . . . , xi−1 )M : xj = (x1 , . . . , xi−1 )M : xi xj j ≥ i. Khi ®ã x1 , . . . , xr vµ x = x1 , . . . , xr ∈ m. lµ mét d-d·y m¹nh cña M víi nÕu (xn1 1 , . . . , xnr r ) lµ d- d·y víi mäi sè nguyªn d­¬ng n1 , . . . , nr . §Þnh nghÜa 2.1.2. M nÕu Mét d·y nh÷ng phÇn tö x1 , . . . , x r ∈ m lµ dd-d·y cña n i+1 (x1 , . . . , xi ) lµ mét d-d·y m¹nh cña m«®un M/(xi+1 , . . . , xnr r )M mäi sè nguyªn d­¬ng víi n1 , . . . , nr ; i = 1, . . . , r. Tõ ®Þnh nghÜa dd-d·y ta cã bæ ®Ò sau. Bæ ®Ò 2.1.3. NÕu x1 , . . . , xr còng lµ dd- d·y cña M víi lµ mét dd- d·y cña M th× mäi d·y xn1 1 , . . . , xnr r n1 , . . . , nr > 0. 10 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 Chøng minh. V× x1 , . . . , x r d·y cña m«®un i+1 r M/(xi+1 , . . . , xm r )M 1 n1 xm , . . . , ximi ni 1 lµ d-d·y cña m«®un lµ mét dd- d·y cña m víi mäi m i+1 M/(xi+1 M nªn mi 1 xm 1 , . . . , xi m 1 , . . . , m r > 0. ni+1 , . . . , xrmr nr )M lµ d- Do ®ã víi mäi ni+1 mi+1 n1 , . . . , nr > 0. Suy ra xn1 1 , . . . , xnr r lµ d-d·y m¹nh cña M/(xi+1 , . . . , xnr r mr )M . n1 n VËy x1 , . . . , xr r lµ dd-d·y cña M . Bæ ®Ò 2.1.4. x = x1 , . . . , xr Cho c¸c phÇn tö trong m. C¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t­¬ng ®­¬ng: i) x lµ dd- d·y cña M . 1≤i≤k≤j≤r ii) Víi mäi vµ n1 , . . . , nr > 0, ta cã n n j+1 i−1 (xn1 1 , . . . , xi−1 , xj+1 , . . . , xnr r )M : xni i xnk k n n j+1 i−1 = (xn1 1 , . . . , xi−1 , xj+1 , . . . , xnr r )M : xnk k . iii) Víi mäi 1≤i≤j≤r vµ n1 , . . . , nr > 0, ta cã n n n j+1 i−1 (xn1 1 , . . . , xi−1 , xj+1 , . . . , xnr r )M : xni i xj j n n n j+1 i−1 = (xn1 1 , . . . , xi−1 , xj+1 , . . . , xnr r )M : xj j . Chøng minh. (i) ⇔ (ii): ®­îc suy ra tõ ®Þnh nghÜa dd- d·y. (ii) ⇒ (iii): hiÓn nhiªn khi lÊy k = j . (iii) ⇒ (ii): XÐt 1 ≤ i ≤ j ≤ r, n1 , . . . , nr > 0. Dïng ®Þnh lý Giao Krull vµ tõ gi¶ thiÕt ta cã n n j+1 i−1 (xn1 1 , . . . , xi−1 , xj+1 , . . . , xnr r )M : xni i xnk k \ ni−1 nk+1 = (xn1 1 , . . . , xi−1 , xk+1 , . . . , xnr r )M : xni i xnk k nk+1 ,...,nj = \ n n i−1 k+1 (xn1 1 , . . . , xi−1 , xk+1 , . . . , xnr r )M : xnk k nk+1 ,...,nj n n j+1 i−1 = (xn1 1 , . . . , xi−1 , xj+1 , . . . , xnr r )M : xnk k . Khi x lµ hÖ tham sè th× dd-d·y x cña M Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên cã ®Æc tr­ng sau. http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 Bæ ®Ò 2.1.5. Khi ®ã [4, HÖ qu¶ 3.6] Cho x lµ dd- d·y trªn M víi mäi x = x1 , . . . , xd lµ mét hÖ tham sè cña nÕu vµ chØ nÕu tån t¹i c¸c sè a0 , . . . , a d M. sao cho n1 , . . . , nd > 0, ta cã l(M/x(n)M ) = d X ai n1 . . . ni i=0 trong ®ã 2.2 ai = e(x1 , . . . , xi ; (xi+2 , . . . , xd )M : xi+1 /(xi+2 , . . . , xd )M ). Läc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu vµ hÖ tham sè tèt Trong môc nµy chóng t«i nghiªn cøu sù tån t¹i cña läc chiÒu, hÖ tham sè tèt vµ mét sè tÝnh chÊt cña nã. Ta cã ®Þnh nghÜa sau. §Þnh nghÜa 2.2.1. i) Ta nãi mét läc h÷u h¹n c¸c m«®un con cña M F : M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mt = M, t < ∞ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu nÕu dim M0 < dim M1 < . . . < dim Mt = d. ii) Mét läc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu, gäi lµ läc chiÒu cña a) víi M D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M ®­îc nÕu D0 = Hm0 (M ) m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng bËc kh«ng cña M ®èi m. b) Di−1 lµ m«®un con lín nhÊt cña Di cã chiÒu nhá h¬n dim Di , i = 1, . . . , t − 1, t. §Þnh nghÜa 2.2.2. Cho F : M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mt = M m·n ®iÒu kiÖn chiÒu vµ x = x1 , . . . , x d di = dim Mi , i = 0, 1, . . . , t. víi läc F nÕu HÖ tham sè lµ mét hÖ tham sè cña x Mi ∩ (xdi +1 , . . . , xd )M = 0. N Cho I lµ i®ªan cña lµ mét m«®un con cña R, M M. §Æt ®­îc gäi lµ hÖ tham sè tèt ®èi Mét hÖ tham sè tèt ®èi víi läc chiÒu ®­îc gäi ®¬n gi¶n lµ mét hÖ tham sè tèt cña Bæ ®Ò 2.2.3. lµ mét läc tho¶ lµ mét M. R- lµ m«®un h÷u h¹n sinh vµ M . Gi¶ sö l(M/IM ) < ∞. Khi ®ã l(N/IN ) < ∞. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 p Ann(M/IM ) = m. √ Suy ra Ann M + I = m. l(M/IM ) < ∞ p √ Ann(M/IM ) = Ann M + I . Chøng minh. V× k t¹i sè nguyªn d­¬ng nªn MÆt kh¸c Do ®ã tån Ann M + I ⊇ mk . V× Ann N ⊇ Ann M sao cho nªn Ann N + I ⊇ mk . Suy ra l(N/IN ) < ∞. Bæ ®Ò sau ®©y cho ta c¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña läc chiÒu vµ hÖ tham sè tèt. i) Läc chiÒu Bæ ®Ò 2.2.4. D cña M lu«n tån t¹i vµ duy nhÊt. H¬n n÷a, gäi T N (p) = 0 lµ ph©n tÝch nguyªn s¬ tèi thiÓu cña m«®un 0 cña M . Khi T ®ã Di = N (p). p∈Ass M dim(R/p)≥di+1 ii) Víi mçi m«®un con Di trong D sao cho N ⊂ M, N ⊆ Di M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mt0 = M i0 < i1 < . . . < it0 iii) NÕu F Khi ®ã mçi läc F : tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu, tån t¹i c¸c chØ sè vµ dim Mj = dim Dij . lµ mét hÖ tham sè tèt ®èi víi läc lµ hÖ tham sè tèt ®èi víi vi) NÕu dim N = dim Di . Mj ⊆ Dij sao cho x1 , . . . , xd vµ tõ ®Þnh nghÜa läc chiÒu suy ra tån t¹i víi F th× xn1 1 , . . . , xnd d còng n1 , . . . , nd > 0. x1 , . . . , xd lµ mét hÖ tham sè tèt cña M th× x1 , . . . , xd lµ mét hÖ tham sè tèt ®èi víi läc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu. i) Gäi Γ lµ tËp tÊt c¶ c¸c m«®un con cña M Chøng minh. d th× cña Γ 6= ∅. Γ. chøa V× Gi¶ sö M1 vµ Γ M2 . M lµ m«®un Noether nªn lu«n tån t¹i phÇn tö cùc ®¹i cã mét phÇn tö cùc ®¹i kh¸c lµ Ta cã ¸nh x¹ (n1 , n2 ) 7−→ n1 + n2 th× M0 + M” M0 thùc sù x¸c ®Þnh bëi dim(M 0 ⊕ M 00 ) ≥ dim(M 0 + M 00 ). 0 −→ M 0 −→ M 0 ⊕ M 00 −→ M 00 −→ 0. Do dim(M 0 + M 00 ) ≤ dim(M 0 ⊕ M 00 ) = max{dim M 0 , dim M 00 } < dim M . Suy ra ®iÒu nµy m©u thuÉn víi tÝnh cùc ®¹i cña ®¹i M” f : M 0 ⊕ M 00 −→ M 0 + M 00 lµ toµn cÊu nªn MÆt kh¸c ta cã d·y khíp ®ã cã chiÒu nhá h¬n M0 cña Γ lµ duy nhÊt. LÊy bÊt kú c¸c m«®un con cña M chøa N N ∈Γ M0 vµ M 00 . VËy phÇn tö cùc vµ gäi vµ cã chiÒu nhá h¬n d. ΓN lµ tËp hîp tÊt c¶ Khi ®ã lu«n cã phÇn tö cùc ®¹i. H¬n n÷a mäi phÇn tö cùc ®¹i cña tö cùc ®¹i cña M . Suy ra ΓN cã duy nhÊt phÇn tö cùc ®¹i lµ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên ΓN ΓN 6= ∅ nªn ®Òu lµ phÇn M 0 . V× vËy M 0 http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 N ∈Γ chøa mäi t­¬ng tù ®èi víi vµ nã lµ m«®un con lín nhÊt cã chiÒu nhá h¬n M0 c¸c m«®un con cña d. Lý luËn vµ sau h÷u h¹n b­íc quy n¹p lïi ta ®ù¬c d·y t¨ng chÆt M D0 ⊂ D1 ⊂ . . . Dt−1 = M 0 ⊂ Dt = M tho¶ m·n c¸c tÝnh chÊt sau: a) Di−1 lµ m«®un con lín nhÊt cña i = 1, . . . , t. B»ng quy n¹p lïi ta chØ ra dim Di−1 < dim Di , tho¶ m·n chiÒu nhá h¬n hoÆc b»ng b) Di sao cho Di−1 dim Di−1 < dim Di , víi lµ m«®un con lín nhÊt cña M M cã dim N < dim D0 th× vµ do ®ã nã chøa mäi m«®un con cña dim Di−1 . dim D0 > 0 vµ nÕu m«®un con N cña M tho¶ m·n dim N = 0. B©y giê ta chøng minh 0. V× M Hm0 (M ) lµ m«®un con lín nhÊt cña M lµ m«®un h÷u h¹n sinh nªn cã chiÒu b»ng Γm (M ) = Hm0 (M ) = (0 :M mn ) víi n lµ mn ⊆ Ann(Hm0 M ), do ®ã dim(Hm0 M ) = 0. √ Ann N = m nªn tån t¹i chiÒu 0. Khi ®ã sè nguyªn d­¬ng nµo ®ã. Suy ra Gi¶ sö N lµ m«®un con cã sè nguyªn d­¬ng Hm0 (M ). t¹i VËy k sao cho Hm0 (M ) mk ⊆ Ann N . Suy ra lµ m«®un con lín nhÊt cña Hm0 (M ) = D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt−1 ⊂ Dt = M chiÒu nµy duy nhÊt. BiÓu diÔn cña Di M N ⊆ (0 :M mk ) ⊆ cã chiÒu 0. Do ®ã tån lµ läc chiÒu cña M vµ läc ®­îc suy ra [9, MÖnh ®Ò 2.2] ii) DÔ dµng suy ra b»ng quy n¹p lïi. iii) §Çu tiªn ta chøng minh xn1 1 , . . . , xnd d vµ (xn1 1 , . . . , xnd d ) = J l(M/IM ) < ∞ nªn lµ hÖ tham sè. §Æt th× tån t¹i sè nguyªn d­¬ng mk ⊆ Ann(M ) + I víi k n (x1 , . . . , xd ) = I sao cho In ⊆ J. Do lµ sè nguyªn d­¬ng nµo ®ã. Suy ra mnk ⊆ (Ann(M ) + I)n ⊆ Ann(M ) + I n ⊆ Ann(M ) + J. n1 nd vµ do ®ã x1 , . . . , xd lµ hÖ tham sè cña M . V× n i +1 Mi ∩ (xdi +1 , . . . , xd )M = 0 vµ (xdid+1 , . . . , xnd d ) ⊆ (xdi +1 , . . . , xd ) víi i = n i +1 0, 1, . . . , t − 1 nªn Mi ∩ (xdid+1 , . . . , xnd d )M = 0. Suy ra (xn1 1 , . . . , xnd d ) lµ hÖ Suy ra l(M/JM ) < ∞ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 tham sè tèt øng víi läc F víi mäi sè nguyªn d­¬ng n1 , . . . , n d . iv) Gi¶ sö (x1 , . . . , xd ) lµ hÖ tham sè tèt, vµ läc chiÒu D D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M, víi dim Di = di , i = 0, 1, . . . , t vµ F lµ läc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu F : M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mt0 = M, víi dim Mj = dj , j = 0, 1, . . . , t0 . sao cho Mj ⊆ Di vµ dj = di . (xdj +1 , . . . , xd )M = 0. Suy ra V× Theo (ii) víi mçi Mj tån t¹i mét Di ∩ (xdi +1 , . . . , xd )M = 0 (x1 , . . . , xd ) nªn Di Mj ∩ lµ hÖ tham sè tèt øng víi läc F. Bæ ®Ò sau nãi r»ng ta cã thÓ tÝnh läc chiÒu th«ng qua hÖ tham sè tèt. Bæ ®Ò 2.2.5. x1 , . . . , xd Cho D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M lµ hÖ tham sè tèt cña lµ hÖ tham sè tèt cña Di vµ M. §Æt lµ läc chiÒu vµ di = dim Mi . Di = 0 : xj víi mäi Khi ®ã x = x1 , . . . , xdi di < j < di+1 , i = 0, 1, . . . , t − 1. Chøng minh. V× Di ∩ (xdi +1 , . . . , xd )M = 0 nªn (xdi +1 , . . . , xd )Di = 0. Suy ra l(Di /(x1 , . . . , xi )Di ) = l(Di /(x1 , . . . , xd )Di ) < ∞ theo Bæ ®Ò 2.2.3. Do ®ã (x1 , . . . , xdi ) Di lµ läc chiÒu cña lµ hÖ tham sè cña Di nªn (x1 , . . . , xdi ) xj Di ⊆ Di ∩ (xdi +1 , . . . , xd )M = 0 Di ⊆ 0 :M xj di < j ≤ di+1 . nhÊt sao cho víi j > di . H¬n n÷a D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ lµ hÖ tham sè tèt cña víi mäi Gi¶ sö tr¸i l¹i 0 :M xj * Di . Di . j > di , i = 0, . . . , t. Do ®ã ta chØ cÇn chøng minh Gäi s Ta cã Suy ra 0 :M xj ⊆ Di víi lµ sè nguyªn d­¬ng lín 0 :M xj * Ds−1 . Khi ®ã i + 1 ≤ s ≤ t vµ 0 :M xj ⊆ Ds . Suy ra 0 :M xj = 0 :Ds xj . V× ds ≥ di+1 ≥ j vµ Di . nªn xj lµ mét phÇn tö tham sè cña Ds dim(0 :M xj ) < ds . Do tÝnh cùc ®¹i cña Ds−1 ta cã 0 :M xj ⊆ Ds−1 . §iÒu nµy m©u thuÉn víi c¸ch chän s. V× vËy 0 :M xj ⊆ Di víi di < j ≤ di+1 bæ ®Ò ®­îc chøng minh. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn vµ 16 Sù tån t¹i cña hÖ tham sè tèt ®­îc chØ ra trong bæ ®Ò sau. Bæ ®Ò 2.2.6. Lu«n tån t¹i hÖ tham sè tèt cña Chøng minh. Cho M. D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M lµ läc chiÒu cña M dim Di = di . XÐt mét ph©n tÝch nguyªn s¬ tèi thiÓu trong M , 0 = T T N (p). Theo Bæ ®Ò 2.2.4(i), Di = N (p). §Æt Ni = dim(R/p)≥d p∈Ass(M ) i+1 T N (p). Khi ®ã Di ∩ Ni = 0, nªn ta cã víi dim(R/p)≤di Di = Di /Di ∩ Ni ' (Di + Ni )/Ni ⊆ M/Ni , dim M/Ni ≥ dim Di = di . MÆt kh¸c tõ biÓu diÔn Ni suy ra ta cã Ass(M/Ni ) = {P ∈ Ass(M )| dim R/P ≤ di }, do ®ã dim M/Ni = di . tån t¹i hÖ tham sè Sö dông Bæ ®Ò 1.3.4 vµ quy n¹p lïi ®Ó chøng minh x = x1 , . . . , x d tho¶ m·n xdi +1 , . . . , xd ∈ Ann(M/Ni ), i = 0, 1, . . . , t − 1. T¹i i = t − 1, ta cã (xdt−1 +1 , . . . , xd ) dim M/Nt−1 = dt−1 < d lµ mét phÇn hÖ tham sè cña nªn theo Bæ ®Ò 1.3.4 tån t¹i M sao cho xdt−1 +1 , . . . , xd ∈ Ann(M/Nt−1 ). T¹i i = t − 2, ta cã (xdt−1 +1 , . . . , xd )M ⊆ Nt−1 ⊆ Nt−2 nªn ta ®Æt M1 = M/(xdt−1 +1 , . . . , xd )M vµ N1 = Nt−2 /(xdt−1 +1 , . . . , xd )M . Khi ®ã dim M1 /N1 = dim M/Nt−2 = dt−2 < dt−1 = dim M1 . Theo Bæ ®Ò 1.3.4 tån t¹i xdt−2 +1 , . . . , xdt−1 lµ mét phÇn hÖ tham sè cña M1 sao cho xdt−2 +1 , . . . , xdt−1 ∈ Ann(M1 /N1 ) = Ann(M/Nt−2 ). Suy ra xdt−2 +1 , . . . , xd sè cña M víi xdt−2 +1 , . . . , xd ∈ Ann(M/Nt−2 ). n¹p lïi tån t¹i hÖ tham sè 0, . . . , t − 1. Suy ra tham sè tèt cña x tho¶ m·n lµ mét phÇn hÖ tham TiÕp tôc sau t b­íc quy xdi +1 , . . . , xd ∈ Ann(M/Ni ), i = (xdi +1 , . . . , xd )M ∩ Di ⊆ Ni ∩ Di = 0. Do ®ã x M. KÕt qu¶ sau lµ hÖ qu¶ trùc tiÕp cña Bæ ®Ò 2.2.6 vµ Bæ ®Ò 2.2.4 (ii). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn lµ hÖ 17 HÖ qu¶ 2.2.7. Cho F : M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mt = M lµ mét läc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu. Khi ®ã tån t¹i hÖ tham sè tèt ®èi víi läc Cho F : M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mt = M dim Mi = di , x = x1 , . . . , xd víi x1 , . . . , xdi lµ hÖ tham sè tèt cña F. lµ mét läc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu lµ hÖ tham sè tèt øng víi läc F. Khi ®ã Mi . XÐt hiÖu IF,M (x) = l(M/xM ) − t X e(x1 , . . . , xdi , Mi ), i=0 trong ®ã nÕu M0 e(x1 , . . . , xdi , Mi ) lµ sè béi Serre vµ e(x1 , . . . , xd0 , M0 ) = l(M0 ) h÷u h¹n. Bæ ®Ò 2.2.8. x1 , . . . , xd Cho F lµ mét läc cña M lµ hÖ tham sè tèt øng víi läc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu vµ x = F. Khi ®ã IF,M (x) ≥ 0. Chøng minh. XÐt läc F/xd F : (M0 + xd M )/xd M ⊂ . . . ⊂ (Ms + xd M )/xd M ⊂ M/xd M, trong ®ã s = t−1 nÕu dt−1 < d − 1 Theo ®Þnh lý ®¼ng cÊu, ta cã Mi ∩ xd M = 0. Suy ra (Mi + xd M )/xd M ' Mi Mi ∩ (xdi +1 , . . . , xd )M/xd M = 0. chiÒu vµ x0 s = t−2 nÕu dt−1 = d − 1. (Mi + xd M )/xd M ' Mi /(Mi ∩ xd M ) x1 , . . . , xd−1 ; M = M/(x1 , . . . , xd−1 )M . vµ vµ lµ mét hÖ tham sè tèt cña 0 Khi ®ã V× thÕ läc M/xd M 0 víi i ≤ s. §Æt mµ x0 = l(M/xM ) = l(M /xd M ) F/xd F ®èi víi IF/xd F,M/xd M (x ) = l(M/xM ) − e(x , M/xd M ) − tho¶ m·n ®iÒu kiÖn F/xd F. Ta cã s X e(x1 , ..., xdi , Mi ) i=0 = l(M/xM ) − e(x, M ) − e(x0 , 0 :M xd ) − NÕu s P e(x1 , ..., xdi , Mi ). i=0 0 dt−1 < d − 1 th× IF,M (x) − IF/xd F,M/xd M (x0 ) = e(x , 0 :M xd ) ≥ 0. NÕu dt−1 = d − 1, v× Mt−1 ∩ xd M nªn Mt−1 ⊆ 0 :M xd , do ®ã e(x0 , Mt−1 ) ≤ e(x0 , 0 :M xd ), IF,M (x) − IF/xd F,M/xd M (x0 ) = e(x0 , 0 :M xd ) − e(x0 , Mt−1 ) ≥ 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 18 VËy b»ng c¸ch quy n¹p theo d ta thu ®­îc IF,M (x) ≥ 0. Tõ chøng minh cña Bæ ®Ò 2.2.8 ta cã hÖ qu¶ sau. HÖ qu¶ 2.2.9. Cho x = x1 , . . . , xd lµ hÖ tham sè øng läc F. Khi ®ã IF,M (x) ≥ IF/xd F,M/xd M (x1 , . . . , xd−1 ). Ta xÐt hÖ tham sè víi mét luü thõa nµo ®ã xem x(n) = xn1 1 , . . . , xnd d . Ta cã thÓ IF,M (x(n)) nh­ mét hµm sè theo n1 , . . . , nd . MÖnh ®Ò 2.2.10. . . . ⊂ Mt = M Cho mét läc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu vµ x = x1 , . . . , x d F : M0 ⊂ M1 ⊂ lµ mét hÖ tham sè tèt ®èi víi F. Hµm IF,M (x(n)) lµ mét hµm kh«ng gi¶m, nghÜa lµ IF,M (x(n)) ≤ IF,M (x(m)) víi mäi n1 ≤ m1 , . . . , nd ≤ md . Chøng minh. V× hÖ tham sè víi IF,M (x(n)) kh«ng phô thuéc vµo thø tù c¸c phÇn tö trong ni ≤ mi , i = 1, . . . , d nªn ta cã n2 nd 1 IF,M (xn1 1 , xn2 2 , . . . , xnd d ) ≤ IF,M (xm 1 , x2 , . . . , xd ) ≤ m2 nd m1 m2 md 1 IF,M (xm 1 , x2 , . . . , xd ) ≤ . . . ≤ IF,M (x1 , x2 , . . . , xd ). n Do ®ã ta chØ cÇn chøng minh hµm IF,M (x1 , . . . , xr , . . . , xd ) lµ mét hµm kh«ng gi¶m theo n víi r ∈ {1, 2, . . . , d}. §Æt x(n) = x1 , . . . , xnr , . . . , xd . Ta cã IF,M (x(n + 1)) − IF,M (x(n)) = l(M/x(n + 1)M ) − l(M/x(n)M ) X − e(x1 , . . . , xdi , Mi ). di ≥r Theo [4, Bæ ®Ò 2.2 (ii)], suy ra 0 n 0 0 l(M/x(n + 1)M ) − l(M/x(n)M ) = χ1 (xn+1 r , M ) − χ1 (xr , M ) + e(xr , M ) ≥ e(xr , M 0 ), M 0 = M/(x1 , . . . , xr−1 , xr+1 , . . . , xd )M . Suy ra X IF,M (x(n + 1)) − IF,M (x(n)) ≥ e(xr , M 0 ) − e(x1 , . . . , xdi , Mi ). trong ®ã di ≥r Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn