Tài liệu Mô hình số hai chiều ngang mô phỏng lan truyền vật chất thụ động trong nước

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC Phạm Thành Nam MÔ HÌNH SỐ HAI CHIỀU NGANG MÔ PHỎNG LAN TRUYỀN VẬT CHẤT THỤ ĐỘNG TRONG NƢỚC Chuyên ngành: Cơ học chất lỏng Mã số: 60.44.22 LUẬN VĂN THẠC SĨ CƠ HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Trần Gia Lịch HÀ NỘI 2007 1 MỤC LỤC Trang Lời cam đoan.................................................................................................................. 2 Lời cảm ơn...................................................................................................................... 3 Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt........................................................................... 6 Danh mục các hình vẽ, bảng, đồ thị................................................................................ 9 Mở đầu.......................................................................................................................... 10 Chƣơng 1: TỔNG QUAN.............................................................................................. 12 Chƣơng 2: CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN………………………………………………………………………………….. 14 2.1. Một ví dụ về nghiệm phƣơng trình sai phân hội tụ đến nghiệm của phƣơng trình vi phân…………………………………………………………………… 14 2.2. Phƣơng pháp xây dựng các phƣơng trình sai phân……………………...... 15 2.3. Bậc xấp xỉ của phƣơng trình sai phân…………………………………….. 17 5 2.4. ổn Sự định của lƣợc đồ sai phân…………………………………………...18 2.5. Định lý hội tụ………………………………………………………….......20 Chƣơng 3: SƠ ĐỒ SAI PHÂN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN TẢI – KHUẾCH TÁN VẬT CHẤT……………………………………………………………………...22 3.1. Phƣơng trình truyền – tải khuếch tán vật chất……………………………..22 3.2. Phƣơng pháp giải…………………………………………………………..23 Chƣơng 4: MỘT SỐ KẾT QUẢ TÍNH TOÁN VÀ ỨNG DỤNG ................................27 4.1. So sánh kết quả tính toán với nghiệm giải tích.............................................27 4.2. Áp dụng cho việc mô phỏng sự vận chuyển bùn cát lơ lửng cho vùng cửa sông Ba Lạt, Hải Hậu, Nam Định………………………………………………36 Chƣơng 5: KẾT LUẬN ………………………………………………………………..44 Phụ Lục 1 ……………………………………………………………………………..45 Phụ Lục 2 ……………………………………………………………………………..47 6 Danh mục công trình công bố của tác giả…………………………………………….50 Tài liệu tham khảo ........................................................................................................51 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT a, c0 : độ cao lớp sát đáy (m) BTCS : sơ đồ sai phân lùi theo thời gian, trung tâm theo không gian C : nồng độ khối lƣợng (kg m-3) C : vận tốc sóng (m s-1) Cg : vận tốc nhóm sóng (m s-1) d : độ sâu mực nƣớc tổng cộng = h+ η (m) D : thông lƣợng hạt bùn cát lắng đọng (kg m-2 s-1) Dx, Dy : hệ số nhớt rối (m2 s-1) d50 : kích cỡ hạt bùn cát trung bình (m) 7 f : hàm nguồn (kg m-3 s-1) f : tham số lực Coriolis (s-1) g : gia tốc trọng trƣờng (m s-2) h : độ sâu mực nƣớc tính từ đáy lên mặt nƣớc tĩnh (m) Hrms : độ cao sóng quân phƣơng trung bình (m) Hs : độ cao sóng hữu hiệu (m) P : thông lƣợng hạt bùn cát đi lên (kg m-2 s-1) qx , q y : thông lƣợng dòng chảy (m2 s-1) S : mật độ phổ sóng (m2 s) t : thời gian (s) Ts : chu kỳ sóng hữu hiệu (s) u, v : thành phần vận tốc dòng chảy theo phƣơng x, y (m s-1) um : vận tốc quỹ đạo sóng (m s-1) x, y : tọa độ điểm trên mặt phẳng nằm ngang σ : hệ số phân hủy, lắng đọng (s-1)  : toán tử Laplace x, y : bƣớc lƣới không gian (m) εb : hệ số tiêu tán năng lƣợng do sóng vỡ (s-1) εc, εw : hệ số trao đổi rối ngang do dòng chảy và sóng (m2 s-1) εL : hệ số trao đổi rối ngang trong vùng sóng đổ (m2 s-1) κ : hệ số xác định bậc nhiễu xạ 8 η : dao động mực nƣớc so với mặt nƣớc tĩnh (m) θ : hƣớng sóng (rad) θ,  : trọng số γ : hệ số khuếch tán (m2 s-1) ν : hệ số nhớt động học của nƣớc (m2 s-1) ρs : khối lƣợng riêng hạt bùn cát (kg m-3) ρw : khối lƣợng riêng của nƣớc (kg m-3) ω : tần số sóng (rad s-1) τ : bƣớc lƣới thời gian (s) τbx , τby : ứng suất ma sát đáy (N m-2) τcr : ứng suất đáy tới hạn (N m-2) τsmax : ứng suất tiếp bề mặt đáy lớn nhất (N m-2) τwx , τwy : ứng suất gió bề mặt (N m-2) τSx , τSy : ứng suất sóng (N m-2) 9 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, BẢNG, ĐỒ THỊ Hình 4.1 : So sánh kết quả tính toán nồng độ vật chất C của 3 sơ đồ sai phân khác nhau với nghiệm giải tích tại thời điểm t=1s Hình 4.2 : Sai số tƣơng đối của nghiệm tính toán và nghiệm giải tích Hình 4.3 : So sánh kết quả tính toán nồng độ vật chất C của 3 sơ đồ sai phân khác nhau với nghiệm giải tích tại thời điểm t=5s Hình 4.4 : Sai số tƣơng đối của nghiệm tính toán và nghiệm giải tích Hình 4.5 : Phân bố nồng độ vật chất tại thời điểm t=1.25 s của nghiệm giải tích và nghiệm nhận đƣợc từ 3 sơ đồ khác nhau Hình 4.6 : So sánh sai số tƣơng đối giữa các nghiệm tính toán và nghiệm giải tích Hình 4.7 : Phân bố nồng độ vật chất tại thời điểm t=100 s nhận đƣợc từ nghiệm giải tích và các sơ đồ sai phân khác nhau Hình 4.8 : So sánh sai số tƣơng đối giữa các nghiệm tính toán và nghiệm giải tích Hình 4.9 : Độ sâu miền tính Hình 4.10 : Sơ đồ tính toán mô phỏng lan truyền bùn cát lơ lửng 10 Hình 4.11 : Phân bố độ cao sóng Hs và hƣớng sóng θ, thử nghiệm HH1 Hình 4.12 : Phân bố dòng chảy ven bờ do sóng ở trạng thái dừng, thử nghiệm HH1 Hình 4.13 : Phân bố nồng độ bùn cát lơ lửng vùng cửa sông Ba Lạt, thử nghiệm HH1 Hình 4.14 : Phân bố độ cao sóng Hs và hƣớng sóng θ, thử nghiệm HH2 Hình 4.15 : Phân bố dòng chảy ven bờ do sóng ở trạng thái dừng, thử nghiệm HH2 Hình 4.16 : Phân bố nồng độ bùn cát lơ lửng vùng cửa sông Ba Lạt, thử nghiệm HH2 Bảng 4.1 : So sánh sự khác nhau của nghiệm nhận đƣợc từ các sơ đồ Upwind, BTCS và Crank – Nicolson tại x=5 m, t=5 s ứng với các số Courant khác nhau MỞ ĐẦU Sự phát triển công nông nghiệp đã và đang mang lại nhiều lợi ích kinh tế cho đất nƣớc. Tuy vậy, một trong những mặt tiêu cực của nó là sự ô nhiễm môi trƣờng. Các nguồn chất thải, khí thải từ các nhà máy, khu công nghiệp, khu nuôi trồng thủy sản, ... đã và đang làm suy giảm chất lƣợng môi trƣờng và có thể gây ra những hậu quả nghiêm trọng. Do đó, việc nghiên cứu các bài toán môi trƣờng trong đó có bài toán truyền tảikhuếch tán vật chất là rất cần thiết không chỉ cho giai đoạn hiện nay mà còn cả cho tƣơng lai. Việc nghiên cứu phƣơng trình truyền tải - khuếch tán vật chất có ý nghĩa khoa học quan trọng trong các ngành hải dƣơng học, khí tƣợng học cũng nhƣ các nghành khoa học vật lý khác. Những nghiên cứu này đã và đang đƣợc ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn nhƣ tính toán chất lƣợng nƣớc và ô nhiễm không khí. 11 Trong thực tế, khi trƣờng vận tốc là phức tạp, biến đổi theo thời gian và không gian thì việc giải phƣơng trình truyền tải khuếch tán không cho nghiệm giải tích đƣợc. Do đó, việc ứng dụng phƣơng pháp số là cần thiết để tìm đƣợc nghiệm xấp xỉ của phƣơng trình truyền tải - khuếch tán. Một trong những phƣơng pháp số đã và đang đƣợc sử dụng rộng rãi là phƣơng pháp sai phân hữu hạn. Trong khuôn khổ luận văn này, tôi tập trung tìm hiểu để nắm đƣợc cơ sở của phƣơng pháp sai phân hữu hạn giải phƣơng trình đạo hàm riêng trong đó có phƣơng trình truyền tải - khuếch tán vật chất. Sau đó, lựa chọn sơ đồ sai phân phù hợp để giải bài toán truyền tải - khuếch tán vật chất. Sự lựa chọn này đƣợc thông qua việc áp dụng các sơ đồ sai phân khác nhau khi giải các bài toán có nghiệm giải tích để đạt đƣợc nghiệm tính toán có sai số nhỏ nhất so với nghiệm chính xác. Do sự khó khăn về số liệu thực đo nên việc áp dụng tính toán cho một vùng cụ thể chỉ mang tính định tính khi mô phỏng sự truyền tải và khuếch tán bùn cát lơ lửng vùng cửa sông Ba Lạt, vùng biển Hải Hậu, Nam Định. Luận văn đƣợc chia thành các chƣơng và phụ lục sau đây: - Chƣơng 1 giới thiệu tóm tắt các công trình nghiên cứu của một số tác giả trong và ngoài nƣớc trong khoảng 3 thập kỷ gần đây. - Chƣơng 2 tóm tắt sơ lƣợc về phƣơng pháp sai phân hữu hạn giải các phƣơng trình đạo hàm riêng. - Chƣơng 3 trình bày về phƣơng trình truyền tải – khuếch tán 2 chiều ngang và phƣơng pháp giải nó. - Chƣơng 4 trình bày, đánh giá các kết quả khi giải các bài toán đơn giản có nghiệm giải tích và áp dụng sơ đồ sai phân phù hợp nhất để giải bài toán truyền 12 tải khuếch tán bùn cát lơ lửng tại cửa sông Ba Lạt, huyện Hải Hậu, tỉnh Nam Định. - Chƣơng 5 trình bày kết luận của luận văn, kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo. - Phụ lục 1 giới thiệu về mô hình tính toán lan truyền sóng ngẫu nhiên EBED. - Phụ lục 2 giới thiệu về mô hình tính toàn dòng chảy ven bờ do sóng WW2DM. CHƢƠNG 1 TỔNG QUAN Trong những năm gần đây có rất nhiều tác giả đề xuất các phƣơng pháp, kỹ thuật khác nhau để giải phƣơng trình truyền tải khuếch tán. Marchuk (1986) đã sử dụng phƣơng pháp phân rã theo các quá trình vật lý để giải phƣơng trình truyền tải khuếch tán và phƣơng trình liên hợp với nó. Noye và Tan (1988) đã sử dụng kỹ thuật trọng số để rời rạc hóa phƣơng trình truyền tải khuếch tán 1 chiều. Sau đó, các tác giả trên đã mở rộng cho trƣờng hợp phƣơng trình truyền tải - khuếch tán 2 chiều. Lam (1986) đã chỉ ra rằng khi xấp xỉ thành phần tải bằng sơ đồ sai phân trung tâm thì sẽ làm trội thông lƣợng tải và do đó gây ra kết quả nồng độ âm ở các ô lƣới liền kề. Một số sơ đồ sai phân bậc cao 13 cũng đã đƣợc áp dụng cho phƣơng trình truyền tải - khuếch tán. Leonard (1979) đã đƣa ra sơ đồ sai phân QUICK (Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics) cho phƣơng trình 1 chiều với dòng chảy dừng. Sau đó phƣơng pháp này đƣợc mở rộng thành QUICKEST (QUICK with estimated streaming term) và đƣợc áp dụng giải phƣơng trình truyền tải khuếch tán khi dòng chảy là không dừng. Sankaranarayana (1998) đã áp dụng sơ đồ sai phân Upwind bậc cao khi sai phân thành phần tải của phƣơng trình truyền tải khuếch tán 3 chiều và đã so sánh với nghiệm giải tích. Các sơ đồ sai phân bậc cao cho độ chính xác nghiệm với bậc cao hơn nhƣng lại gặp khó khăn khi tính giá trị tại biên và có thể gây ra nhiễu xạ số. Trần Gia Lịch (2001) đã sử dụng phƣơng pháp phân rã theo toán tử và trọng số để giải bài toán truyền tải khuếch tán 2 chiều ngang và bài toán liên hợp với nó. Sơ đồ Upwind đƣợc áp dụng cho thành phần tải và bài toán cho nghiệm luôn dƣơng và ổn định vô điều kiện. Tuy nhiên, do sơ đồ Upwind gây ra khuếch tán số nên nồng độ vật chất bị khuếch tán rất nhanh và gây ra sai số lớn. Dehghan (2004) đã sử dụng kỹ thuật trọng số và đƣa ra một loạt sơ đồ sai phân khác nhau để giải phƣơng trình truyền tải khuếch tán 1 chiều. Trong một nghiên cứu gần đây, Karahan (2006) đã áp dụng kỹ thuật trọng số này để giải bài toán truyền tải khuếch tán 1 chiều trên phần mềm bảng tính EXCEL. Trong luận văn này, tác giả đã phát triển tiếp nghiên cứu của Karahan, trong đó, kỹ thuật trọng số cùng phƣơng pháp phân rã theo toán tử đƣợc mở rộng đối với phƣơng trình truyền tải - khuếch tán 2 chiều ngang. Trong số các sơ đồ Upwind, BTCS dạng ẩn và Crank-Nicolson đƣợc áp dụng thì sơ đồ cuối cùng cho kết quả tốt hơn cả khi giải các bài toán có nghiệm giải tích. Sau đó, sơ đồ này đƣợc áp dụng để mô phỏng sự truyền tải khuếch tán bùn cát lơ lửng cho cửa sông Ba Lạt vùng biển Hải Hậu, Nam Định. 14 CHƢƠNG 2 CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN [9] 2.1. Một ví dụ về nghiệm phƣơng trình sai phân hội tụ đến nghiệm của phƣơng trình vi phân Xét bài toán d    0 , dt (2.1)  t 0   0 , (2.2) trong đó   const  0 Nghiệm giải tích của (2.1) đƣợc xác định nhƣ sau: 15 d     dt (2.3)  ln   t  const (2.4)    C e t . (2.5) Từ điều kiện ban đầu ta suy ra C   0 Do đó nghiệm giải tích của phƣơng trình vi phân (2.1) là:    0 e t (2.6) Nghiệm số của phƣơng trình (2.1) đƣợc tìm dƣới dạng sau:  k   k 1   k  0 ,  với  (2.7)   (2.7) t , K là một số nguyên K  k (1   )   k 1 (2.8)  k  (1   ) 1 k 1  (1   ) 2  k 2 ...  (1   )  K  0  0 1  t  1   K  K t t   0 e t , khi K   (2.9) (2.10) Nhƣ vậy khi   0 hay K   thì nghiệm của phƣơng trình sai phân (2.7) hội tụ đến nghiệm giải tích của phƣơng trình vi phân (2.1). 2.2. Phƣơng pháp xây dựng các phƣơng trình sai phân Hiện nay có rất nhiều cách phƣơng pháp xây dựng các phƣơng trình sai phân giải các bài toán vật lý – toán. Trong mục này, tôi trình bày tóm tắt phƣơng pháp xây dựng phƣơng trình sai phân cho các phƣơng trình vi phân có hệ số đủ trơn. Đối với các 16 phƣơng trình vi phân loại này, ngƣời ta xây dựng đƣợc các phƣơng trình sai phân với bậc xấp xỉ khá cao. Giả sử phƣơng trình vi phân A  f (2.11) có các hệ số và nghiệm đủ trơn. Từ công thức Taylor tại lân cận điểm x ta có: f ( x  1 )  f ( x)  f ' ( x) 1  1 '' 1 f ( x)21  f ''' ( x)31  O(41 ) 2! 3! (2.12) f ( x   2 )  f ( x)  f ' ( x)  2  1 '' 1 f ( x)22  f ''' ( x)32  O(42 ) 2! 3! (2.13) Từ đó, ta có thể rút ra các biểu thức sai phân xấp xỉ các đạo hàm nhƣ sau: - Nếu 1   2   : f ( x  )  f ( x)  f ' ( x )  O(  )  (2.14) f ( x  )  f ( x  )  f ' ( x)  O(2 ) 2 (2.15) f ( x  )  2 f ( x)  f ( x  )  f '' ( x)  O(2 ) 2  (2.16) - Nếu 1  a 2 , a  1 : f ( x   2 )  f ( x)  f ' ( x)  O(  2 ) 2 (2.17) f ( x)  f ( x  1 )  f ' ( x)  O(  1 ) 1 (2.18) f ( x   2 )  f ( x  1 )  f ' ( x)  O(), với   max1 ,  2  1   2 (2.19) 17 a 2 f ( x   2 )  (a 2  1) f ( x)  f ( x  1 )  f ' ( x)  O(2 ) a(a  1) af ( x   2 )  (a  1) f ( x)  f ( x  1 )  f ' ' ( x)  O(2 ) a(a  1) 2 2 2 (2.20) (2.21) Thay các đạo hàm trong bài toán (2.11) bằng các biểu thức sai phân ta sẽ thu đƣợc phƣơng trình sai phân có dạng sau: Ah  h  f h (2.22) Ví dụ: Xét bài toán (2.11) trong đó A   2  u  2 t x x (2.23) với các điều kiện đầu và và điều kiện biên nhƣ sau:  ( x,0)  g ( x),  (0, t )  0,  (1, t )  0 . (2.24) Thay các biểu thức đạo hàm bằng các biểu thức sai phân trên, phƣơng trình (2.11) có dạng sau: Ah  h  với nk  nk 1  k  nk1  k  2nk  nk1  unk n 1  n 1  f nk  f h 2  2  nk   (n, k ), f nk  f (n, k ), n  0,1, 2,..., N ; k  0,1, 2,..., K (2.25) (2.26) Phƣơng trình này có thể dẫn về hệ phƣơng trình đại số 3 đƣờng chéo: annk1  bnnk  cnnk1  dn , trong đó: an   (2.27) unk  1 2 uk  k  2 , bn   2 , cn  n  2 , d n f nk  n 2    2   (2.28) với các điều kiện: n0  gn , 1k   Nk  0 (2.29) 18 2.3. Bậc xấp xỉ của phƣơng trình sai phân Xét bài toán dừng của phƣơng trình vật lý - toán dƣới dạng toán tử: A  f trong D, (2.30) a  g trên D . (2.31) A, a là các toán tử tuyến tính, D là biên của D, Trong đó:   , f  F , g  G , với Φ, F và G là các không gian Hilbert của các hàm với các miền xác định tƣơng ứng D+ D , D và D . Cùng với bài toán (2.30), (2.31) xét phƣơng trình sai phân trong không gian hữu hạn chiều của các hàm lƣới: Ah h  f h trong Dh, (2.32) a h h  g h trên Dh . (2.33) trong đó Ah, ah là các toán tử tuyến tính phụ thuộc vào bƣớc lƣới h,  h  h , f h  Fh , g h  Gh , Dh là tập hợp các nút lƣới nằm trong D, Dh là tập hợp các nút lƣới trên biên D . Trong không gian các hàm lƣới  h , Fh và Gh ta trang bị các chuẩn tƣơng ứng . h , . Fh và . Gh . Định nghĩa: Bài toán (2.32), (2.33) xấp xỉ bài toán (2.30), (2.31) với bậc n trên nghiệm  nếu tồn tại các hằng số dƣơng h, M1 , M 2 sao cho  h  h thỏa mãn bất đẳng thức sau: Ah ( )h  f h a h ( )h  g h Fh Fh  M1 hn1 , (2.34)  M 2 h n2 , (2.35) với n = min(n1, n2), và ( ) h là nghiệm của bài toán (2.30) và (2.31) trên miền lƣới. 19 Trong trƣờng hợp khi nghiệm bài toán (2.30), (2.31) là đủ trơn thì bậc xấp xỉ đƣợc tìm nhờ chuẩn của không gian các hàm liên tục và các hàm khả vi. Khi đó ta thƣờng dùng khai triển Taylor của nghiệm và các hàm khác để tìm bậc xấp xỉ. 2.4. Sự ổn định của lƣợc đồ sai phân 2.4.1. Sự ổn định đếm được theo phổ Giả sử toán tử  là dƣơng và bài toán phổ u   u có hệ đủ các hàm riêng u n  cùng tập các giá trị riêng n  0 . Xét bài toán sai phân sau:  k 1   k   k  f k  (2.36) 0  g (2.37) Từ đây suy ra:  k 1  E   k  f k ,  0  g , (2.38) trong đó E là toán tử đơn vị. Các hàm  k , f k và g đƣợc biểu diễn bằng các chuỗi Fourier dƣới dạng sau:  k   nk u n , f k   f nk u n , g   g n u n n n (2.39) n trong đó:  nk   k , u n* , f nk   f k , u n* , g n   , u n*  (2.40) với u n* là các hàm riêng của bài toán phổ liên hợp:   *u *   * u * (2.41) Đặt (2.39) vào (2.38) sau đó nhân vô hƣớng với u n* sẽ đƣợc phƣơng trình của các hệ số Fourier:  nk 1  1  n  nk  f nk (2.42) 20  n0  g n (2.43) Loại trừ liên tiếp các ẩn số sẽ thu đƣợc: k  nk  rnk g n    rnk i f ni 1 (2.44) i 1 trong đó rn  1  n . Khi   0 ta có:   r gn  k n với k n 1  rn 1  rn k  fn (2.45) f n  max f nk . k Định nghĩa Neumann về tiêu chuẩn ổn định phổ: Nếu mọi hệ số  nk của chuỗi Fourier (2.39) thỏa mãn bất đẳng thức:  nk  c1n g n  c2 n f n , n  1, 2,... , (2.46) trong đó c1n và c 2 n là các hằng số dƣơng giới nội đều khi 0  k  T thì sơ đồ sai phân (2.38) đƣợc gọi là ổn định đếm đƣợc. 2.4.2. Sự ổn định theo chuẩn Xét bài toán tiến hóa dạng:   A  f t trong D  Dt , (2.47) g khi t=0, (2.48) trong đó toán tử A không phụ thuộc vào thời gian t. Bài toán (2.47), (2.48) đƣợc xấp xỉ bằng bài toán sai phân sau:  k 1   k   S f k , (2.49) 0  g . (2.50) 21 với  là toán tử bƣớc, S là toán tử nguồn. Định nghĩa: Sơ đồ sai phân (2.49) là ổn định đếm đƣợc nếu với bất kỳ tham số h nào đó đặc trƣng cho việc xấp xỉ sai phân theo các biến không gian, và k  T  thì bất đẳng thức sau đây sẽ thỏa mãn: k h  c1 g Gh  c2 f h Fh , (2.51) trong đó: c1 , c2 là các hằng số bị chặn đều trên 0  t  T và không phụ thuộc vào  , h, g và f . Sơ đồ sai phân ổn định với mọi giá trị   0 và h  0 thì đƣợc gọi là sơ đồ ổn định vô điều kiện. Trong trƣờng hợp sơ đồ sai phân chỉ ổn định với một quan hệ nhất định nào đó giữa  và h thì đƣợc gọi là sơ đồ ổn định có điều kiện. 2.5. Định lý hội tụ Tính chất hội tụ của bài toán dừng và bài toán tiến hóa của vật lý - toán đều thực hiện trên cơ sở các nguyên lý nhƣ nhau. Do đó, ta sẽ xét ý tƣởng cơ bản về tính hội tụ trên bài toán dừng. Xét bài toán: A  f trong D , (2.52) a  g trên D . (2.53) Bài toán trên đƣợc xấp xỉ bằng phƣơng pháp sai phân: A h h  f h trong Dh , (2.54) a h h  g h trên Dh . (2.55) Định lý hội tụ: Giả sử: - Sơ đồ sai phân (2.54), (2.55) xấp xỉ bài toán xuất phát trên nghiệm  với bậc n, 22 - A h và a h là các toán tử tuyến tính, - Sơ đồ sai phân (2.55) ổn định theo nghĩa (2.51), nghĩa là tồn tại các hằng số dƣơng h, c1 , c2 sao cho với mọi h  h , f h  Fh , g  Gh sẽ tồn tại duy nhất nghiệm  h của bài toán (2.54) thoả mãn bất đẳng thức: k h  c1 f h Fh  c2 g h Gh , thì khi đó nghiệm của bài toán sai phân  h hội tụ đến nghiệm  của bài toán vi phân xuất phát, nghĩa là: lim  h   h h0 h 0 (2.56) Hơn nữa có đánh giá về tốc độ hội tụ:  h   h h  c1 M 1  c2 M 2 h n (2.57) trong đó: M 1 , M 2 là các hằng số trong (2.34) và (2.35). CHƢƠNG 3 SƠ ĐỒ SAI PHÂN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN TẢI – KHUẾCH TÁN VẬT CHẤT 3.1. Phƣơng trình truyền tải – khuếch tán vật chất [8], [10] Phƣơng trình mô tả quá trình tải và khuếch tán vật chất hai chiều ngang có dạng sau: C C C u v  C  f   C t x y ( x, y )  G, 0  t  T , trong đó: C là nồng độ vật chất, 23 (3.1)