Tài liệu Lý thuyết nhiễu loạn và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 PHẠM THỊ THANH HUYỀN LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ Xuân Hòa, năm 2016 LỜI CẢM ƠN Trước tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn và lòng biết ơn sâu sắc của mình tới TS - Trần Thái Hoa – Người thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn, giúp đỡ tôi, cung cấp cho tôi những kiến thức nền tảng và là người trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo ở phòng sau đại học, các thầy cô giáo trong khoa Vật lí Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, các giáo sư tiến sĩ đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong hai năm học tạo tiền đề cho tôi hoàn thành bản luận văn này. Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đã động viên và giúp đỡ tôi trong thời gian vừa qua. Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng để hoàn thành, nhưng thời gian nghiên cứu có hạn nên luận văn của tôi khó tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được ý kiến chỉ bảo, ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo, các bạn học viên và những người quan tâm đến đề tài này. Hà Nội, tháng 6 năm 2016 Học viên Phạm Thị Thanh Huyền LỜI CAM ĐOAN Tên tôi là: Phạm Thị Thanh Huyền học viên lớp cao học K18-chuyên ngành Vật lí lý thuyết và vật lí toán, khoa Vật lí Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2. Tôi xin cam đoan đề tài: “ Lý thuyết nhiễu loạn và một số ứng dụng”, là kết quả nghiên cứu của riêng tôi, đề tài không trùng với kết quả của các tác giả khác. Nếu có gì không trung thực tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học. Hà Nội, tháng 6 năm 2016 Học viên Phạm Thị Thanh Huyền MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục Mở đầu 1 Chương 1. Lý thuyết nhiễu loạn dừng. 3 1.1. Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Nhiễu loạn dừng khi không có suy biến. . . . . . . . . . 4 1.2.1. Khi λ = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2. Khi λ nhỏ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3. Nhiễu loạn khi có suy biến. . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1. Sự giảm suy biến khi có nhiễu loạn. . . . . . . . . 7 1.3.2. Việc khử suy biến. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4. Các bổ chính cho năng lượng và hàm sóng. . . . . . . . . 9 1.4.1 Bổ chính bậc 1 cho năng lượng và hàm sóng . . . 9 1.4.2. Bổ chính bậc 2 cho năng lượng và hàm sóng. . . . 11 1.4.3. Bổ chính bậc 3 cho năng lượng. . . . . . . . . . . 14 Chương 2. Một số bài toán ứng dụng lý thuyết nhiễu loạn. 15 2.1. Hiệu chỉnh cho năng lượng ở trạng thái cơ bản của dao động tử điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2. Năng lượng và hàm sóng của hạt trong phép gần đúng bậc nhất của hạt chuyển động trong trường xuyên tâm. . 22 2.3. Năng lượng được hiệu chỉnh đến bậc 2 của hạt có khối lượng ở trong giếng thế vuông góc một chiều. . . . . . . 24 Chương 3. Một số ứng dụng của lý thuyết nhiễu loạn trong lý thuyết chất rắn. 28 3.1. Gần đúng liên kết yếu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 28 Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.1.2. Trường hợp không suy biến. . . . . . . . . . . . . 30 3.1.3. Trường hợp có suy biến. . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2. Lý thuyết BCS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2.1 Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2.2. Khe năng lượng ở T = 00 K. . . . . . . . . . . . . 45 3.3.3. Tính năng lượng bậc 2. . . . . . . . . . . . . . . . 47 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong cơ học lượng việc giải phương trình Schodinger để tìm năng lượng và hàm sóng về nguyên tắc thì ta hoàn toàn tìm được. Tuy nhiên trong thực tế với nhiều trường hợp thì việc giải phương trình này gặp rất nhiều khó khăn và giải nó rất phức tạp. Vì vậy người ta đi tìm nghiệm của phương trình Schodinger bằng các phương pháp gần đúng. Ta đã biết trạng thái dừng của một hệ được mô tả bằng nghiệm của phương trình Schodinger dừng: ∧ H Ψ = EΨ (1) Đối với một số trường hợp đơn giản ( trường colomb, trường đàn hồi, trường điện từ đều,. . . .) tương ứng với các hệ lý tưởng hóa phương trình (1) có thể cho nghiệm chính xác. Nhưng khi nghiên cứu các hệ thực nói chung thì phương trình (1) không cho nghiệm chính xác. Bởi vậy phải đưa vào các phương pháp tính gần đúng các hàm riêng và các trị riêng ∧ của toán tử H trong phương trình (1). Một trong các phương pháp tính gần đúng là dựa vào các nghiệm chính xác của hệ đã lý tưởng hóa, hiệu chỉnh các nghiệm đó để được nghiệm gần đúng của hệ thực, trong các điều kiện mà hệ thực có thể coi là không khác nhiều so với hệ lý tưởng. Phương pháp tính các hiệu chỉnh như thế, dưới các điều kiện đặt ra được gọi là lý thuyết nhiễu loạn. Lý thuyết nhiễu loạn có rất nhiều ứng dụng trong việc giải một số các bài toán trong cơ học lượng tử, bên cạnh đó thì lý thuyết nhiễu loạn cũng được sử dụng trong một số vấn đề của chất rắn và siêu dẫn. Vậy cụ thể lý thuyết nhiễu loạn là gì? Và những ứng dụng cụ thể của nó trong các vấn đề đã nêu ra như thế nào? 2 Từ những câu hỏi trên mà tôi chọn đề tài: “ Lý thuyết nhiễu loạn và một số ứng dụng” làm luận văn tốt nghiệp của mình. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu. - Xây dựng lại lý thuyết nhiễu loạn. - Tìm hiểu một số ứng dụng của lý thuyết nhiễu loạn trong cơ học lượng tử và trong lý thuyết chất rắn. 3. Đối tượng nghiên cứu. Đề tài tập trung nghiên cứu lý thuyết nhiễu loạn và một số ứng dụng của lý thuyết nhiễu loạn trong cơ học lượng tử và trong lý thuyết chất rắn. 4. Phương pháp nghiên cứu. - Đọc tài liệu liên quan. - Sử dụng phương pháp toán lý trong vật lý lý thuyết . - Sử dụng giải tích toán học. 5. Kết cấu đề tài. - Đề tài: “ Lý thuyết nhiễu loạn và một số ứng dụng” có kết cấu gồm 3 phần: Mở đầu, nội dung và kết luận. - Phần nội dung được chia làm 3 chương: + Chương 1: Lý thuyết nhiễu loạn dừng. + Chương 2: Một số bài toán ứng dụng về lý thuyết nhiễu loạn. + Chương 3: Một số ứng dụng của lý thuyết nhiễu loạn trong lý thuyết chất rắn. 6. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài. - Xây dựng được bổ chính cấp 3 một cách ngắn gọn và dễ dàng. - Ứng dụng được vào thực tiễn trong việc giải các bài toán trong cơ học lượng tử. 3 Chương 1: Lý thuyết nhiễu loạn dừng. 1.1. Mở đầu Ta đặt điều kiện hạn chế cho bài toán nhiễu loạn. Trước hết ta xét lý thuyết nhiễu loạn cho các bài toán có phổ gián đoạn. b l = EΨl HΨ (1.1) với l = 1, 2, 3. . . b có thể tách làm 2 thành phần: Giả sử toán tử H b =H c0 + Vb H (1.2) c0 là toán tử Hamilton của bài toán đã lý tưởng hóa Trong đó H Và Vb được gọi là toán tử nhiễu loạn. Gọi Vb là nhỏ, để biểu diễn điều đó ta đặt: c Vb = λW (1.3) Với λ là một thông số nhỏ, không thứ nguyên. Mặt khác, giả sử biết các nghiệm El0 và ϕl (l=1,2,3. . . ) của phương trình cho hàm riêng và trị c0 riêng của toán tử H c0 ϕl = El ϕl H (1.4) với l = 1, 2, 3, ... 4 Và giả thuyết các ϕl này đã được trực chuẩn: Z ϕl ∗ ϕl dq = δll0 (1.5) với l, l0 = 1, 2, 3. . . b = Eϕ sẽ Với các điều kiện hạn chế đó, việc giải phương trình: Hϕ quy về việc giải phương trình sau để tìm El và Ψl   c c H0 + λW Ψl = El Ψl (1.6) Nói khác đi chúng ta sẽ hiệu chỉnh cho El và ϕl (l=1,2,3,. . . ) để sau khi hiệu chỉnh El và ϕl sẽ cho (1.1), (1.4) hay (1.6) Khi ta xét bài toán nhiễu loạn dừng sẽ có 2 trường hợp xảy ra: + Trường hợp bài toán lí tưởng không có suy biến + Trường hợp bài toán lí tưởng có suy biến Để hiểu rõ hơn ta đi vào từng trường hợp cụ thể: 1.2. Nhiễu loạn dừng khi không có suy biến. Trường hợp mức năng lượng lí tưởng của hệ không bị suy biến. Chúng ta nghiên cứu trường hợp mức năng lượng E0l (l=1,2,3,. . . ) của hệ lý tưởng không bị suy biến, nghĩa là với một giá trị năng lượng E0l (l=1,2,3,. . . ) chỉ có một hàm riêng ϕl và sẽ xem xét mức E0 l sẽ thay đổi như thế nào khi có nhiễu loạn. Giả sử sau khi hiệu chỉnh cho E0 l và ϕl ta được năng lượng El và hàm sóng Ψl nghiệm đúng (1.6). ∧ Lấy hệ hàm riêng {ϕ1 , ϕ2 , ...} của H0 làm cơ sở và khai triển: X Ψl = C n ϕn (1.7) n Như vậy việc tìm Ψl đưa về việc tìm các Cn (n=1,2,3,. . . ) tức là hàm sóng trong E0 - biểu diễn. Thay (1.7) vào (1.6) ta được:  X X c c H0 + λW Cn ϕn = El C n ϕl n n 5 ⇔ X Cn   X c c H0 + λW ϕl = El C n ϕn n n với n=1,2,3,. . . Nhân ϕ∗ m vào bên trái 2 vế rồi lấy tích phân theo các biến số không gian ta có :   R R ∗ P ∧ ∧ P ϕm Cn H 0 + λ W ϕn dq = ϕ∗m El Cn ϕn n n ∧ R R P R P ⇔ Cn E0n ϕ∗m ϕn dq + Cn λϕ∗m Wϕn dq = El Cn ϕ∗m ϕn dq n n n R ∧ P P P ⇔ Cn E0n δmn + λ Cn ϕ∗m Wϕm dq = El Cn δmn P n Mà P n n Cn δmn = Cm n P R c ϕn dq = El Cm ⇒ Cm E0m + λ Cn ϕ∗m W n
P ⇒ El − E0m Cm = λ Cn Wmn (1.8) n Với Z Wmn = c ϕn dq ϕ∗m W (1.9) Wmn là phần tử ma trận (m, n) của ma trận (W) của toán tử nhiễu loạn c trong E0 -biểu diễn. W 1.2.1. Khi λ = 0 Ta có λW = 0 khi đó phương trình (1.6) trở về phương trình (1.4) b =H c0 , Ψl = Ψ0 = ϕl và khi đó H l Từ (1.8)
El − E0m Cm = 0 (1.10) với m, l = 1, 2, 3, ... Nghiệm của (1.10) là:   Cm = δml  E = E0 l l (1.11) 6 Cm = δml suy ra từ (2.4) trong 2 trường hợp:    m 6= l → Cm = 0 Nếu P   m = l → Ψl = Cn ϕn ≡ ϕl n 1.2.2. Khi λ nhỏ. Các giá trị El xê dịch khỏi giá trị E0l và các Cm sẽ lệch ra khỏi các 0 giá trị Cm . Ta hi vọng độ lệch này sẽ nhỏ. Muốn vậy ta khai triển Cm và El (m,l=1, 2,3,. . . ) theo chuỗi lũy thừa của λ :  (1) (2)  Cm = C 0 + λCm + λ2 Cm + ... m (1.12)  E = E0 + λE(1) + λ2 E(2) + ... l l l l Trong đó các giá trị tỉ lệ với λk là hiệu chỉnh bậc k tương ứng của Cm và El . Thay (1.12) vào (1.8) ta có:    (1) (1) 2 (2) 0 2 (2) 0 0 El − Em + λEl + λ El + ... Cm + λCm + λ Cm + ...   P (1) 0 2 (2) = λ Wmn Cn + λCn + λ Cn + ... n (1.13) với m, l = 1, 2, 3, . . . Bây giờ ta so sánh các hệ số của lũy thừa λ với 2 vế của (1.13). Trước hết với hệ số của λ0 :
0 E0l − E0m Cm =0 (1.14) với m, l = 1, 2, 3, . . .   m 6= l ⇔ C 0 = 0 m 0 ⇒ Cm = δml  m = l ⇔ C0 = C0 m l 0 Thay Cm = δml và Cn0 = δnl vào (1.13) ta có:    (1) (1) 0 0 2 (2) 2 (2) El − Em + λEl + λ El + ... δml + λCm + λ Cm + ...   P (1) 2 (2) = λ Wmn δnl + λC1 + λ C1 + ... n (1.15) 7 với m, l = 1, 2, 3, . . . Giả sử m = l  (1)  El = Wll     P  (1) (1) (1) (2)    El + El Cl = Wln Cl n P (2) (3) (1) (2) (2) (1)  Wln Cl E + E C + E C =  l l l ll l   n   P  (4) (3) (1) (2) (2) (3) (3)   El + El Cl + El Cl + E(1) C = Wln Cl l l (a) (b) (c) (1.16) (d) n Giả sử m 6= l 
(1) 0 0  E − E  m Cm = Wml l   
(2) P  (1) (1) (1) 0 0    El − Em Cm + El Cl = Wmn Cn n
(3) P (2) (2) (2) (1) (1) 0 0  C = Wmn Cn C + E E − E C + E  m m m m l l l   n  
(4) P  (1) (3) (2) (2) (1)  0 0  E − E Cm + E Cm + E Cm + E(3) Cm = W l m l l l (3) mn Cn (a’) (b’) (c’) (d) n (1.17) Như vậy với cách biểu diễn thành các chuỗi như ở (1.12) ta thu được hệ phương trình (1.16) và (1.17), về nguyên tắc thì 2 hệ phương trình này sẽ cho ta các bổ chính ở các bậc khác nhau của năng lượng và hàm sóng. 1.3. Nhiễu loạn khi có suy biến. 1.3.1. Sự giảm độ suy biến khi có nhiễu loạn. Ta đi xét trường hợp có suy biến tức là với một giá trị của năng lượng thì có nhiều hàm riêng khác nhau. Ta giả sử mức năng lượng E0l bị suy biến S lần ( tức là có S hàm sóng (ϕ11 , ϕ12 , ϕ13 , ......ϕ1S )). Khi đó để làm gần đúng cấp không của hàm sóng ta lấy tổ hợp tuyến tính của các hàm ϕlk (k=1,2,3. . . .S) tương ứng với các mức năng lượng E0l ϕl = s X ak ϕlk k=l ϕlk thỏa mãn phương trình Schodinger: c0 ϕlk = El0 ϕlk H (1.18) 8 (l=1,2,. . . ,k=1,2,3. . . S) b l = Eϕl ta được: Thay (1.18) vào phương trình Hϕ  c0 + λW c H s X ak ϕlk = El s X ak ϕlk k=l k=l Nhân vào hai vế của phương trình trên với ϕ∗lm (m=1,2,3. . . .s) sau đó tích phân theo các biến không gian ta được: R ϕ∗lm P b = ak ϕlk Hdq R ϕ∗lm ak El k → P → P → k s P R ϕlk dq k ak R b lk dq = P ak El δmk ϕ∗lk Hϕ k Ta đặt Hmk = P k b lk dq ϕ∗lm Hϕ ak Hmk = P ak El δmk k với m = 1, 2.3. . . s ak (Hmk − El δmk ) = 0 k=l Phương trình (1.19) là phương trình đại số bậc 1 tuyến tính thuần nhất hạng nhất với ẩn a1 , a2 , ........as . Hệ phương trình có ẩn s. Để phương trình có nghiệm không tầm thường thì các định thức của hệ phương trình phải bằng 0:     H12 H13 H1s  (H11 − El )        H21 (H12 − El ) H23 H2s  =0 (1.19)     ... ... ... ...      Hs1 Hs2 Hs3 (Hss − El )  Khai triển định thức trên ta thu được phương trình bậc S đối với giá trị chưa biết El . Phương trình này được gọi là phương trình thế kỷ, nó có s nghiệm. Nếu s nghiệm thực của (1.20) khác nhau thì mức E0l suy biến bội s của bài toán không nhiễu sẽ tách ra làm s mức Ekl khác nhau. Phương trình này có p«s nghiệm thực. Từ phương trình (1.20) sẽ cho ta nghiệm El . Giả sử tìm được các nghiệm E11 , E12 , E13 , E1p 9 Thay Eli (i=1,2,3,. . . ,p) vào (1.19) ta được:   ∧ R ∗ R ∗ ∧ ∧ Hmk = ϕlm H ϕlk dq = ϕlm H0 + V ϕlk dq R R ∧ ∧ ⇒ Hmk = ϕ∗lm H ϕlk dq + ϕ∗lm V ϕlk dq ⇒ Hmk = E0 δmk + Vmk Trong các ai tìm được ta thay vào phương trình (1.18) ta tìm được gần đúng cấp không của hàm sóng Ψl . Như vậy trong phép gần đúng cấp không ta tìm được: Eli , Ψl (i=1,2,3,. . . ,p,p«s ). 1.3.2. Việc khử suy biến. Chúng ta biết rằng với bài toán không nhiễu, mức năng lượng E0l suy biến tách ra thành p ≤ s mức E11 , E12 , E13 , ...E1p với p là hằng số, ϕ11 , ϕ12 , ...ϕ1p độc lập tuyến tính với nhau. Thành thử nhiễu loạn khi đã khử bớt độ suy biến, từ độ suy biến bội s bây giờ chỉ còn bội suy biến (s-p). Độ suy biến này ta phải hiểu là trong p mức năng lượng E11 , E12 , E13 , ...E1p sẽ có một vài mức suy biến với bội nhỏ hơn hoặc bằng (s - p) sao cho tổng số bội của các mức bị suy biến bội (s - p) đến các mức còn lại. Điều này cho phép chúng ta lặp lại phương pháp cho các mức suy biến để tiếp tục khử suy biến. Quá trình đó có thể tiến hành đến khi khử hết suy biến thì dừng lại, lúc này bài toán trở về bài toán không suy biến. 1.4. Các bổ chính của năng lượng và hàm sóng. 1.4.1. Bổ chính bậc 1 cho năng lượng và hàm sóng. Từ (1.16) theo phương trình (a) (1) El = Wll (1) ⇒ λEl = λWll = Vll Bổ chính bậc 1 cho năng lượng: (1) λEl Z = λWll = Vll = ϕ∗l (q) Vb ϕl(q) dq (1.20) 10 Năng lượng gần đúng cấp 1: (1) El = E0l + λEl = E0l + Vll (1.21) Từ (1.17) theo phương trình (a’) suy ra: (1) Wml E0l − E0m Wml Vml =λ 0 = El − E0m E0l − E0m Cm = (1) ⇒ λCm Do đó phép gần đúng cấp 1 của hàm sóng có thể viết:    P 0 P (1) (1) (1) 0 Cm + λCm ϕm ϕl + Ψl = Cm ϕm = Cl + λCl m m6=1 = ϕl + (1) λCl ϕl Vml + 0 − E0 ϕ m E m6=l l m P 0 Vì Cl0 = 1 và Cm =0 (1) (1) Ở đây còn Cl là chưa biết, ta sẽ xác định Cl từ điều kiện chuẩn hóa của Ψl có xét đến điều kiện (1.12) và bỏ qua các đại lượng tỉ lệ với λ2 2   Z Z  X Vml   (1) 2  dq = 1 ϕ |Ψl | dq = ϕl + λCl ϕl + m 0 − E0  E m   m6=l l    ∗ X Vml ∗  1 + λC (1) ϕ∗l + ϕ∗m  × l 0 0 Z E − Em m6=l l   =1   X Vml (1) ϕl + ϕm  dq ×  1 + λCl E0l − E0m m6=l  ∗  R (1) (1) ⇔ 1 + λCl 1 + λCl ϕ∗l ϕl dq+ Z  ∗ X V ml (1) + 1 + λCl ϕ∗l ϕm dq+ 0 0 E − Em m6=l l Z  X ∗ Vml (1) ϕ∗l ϕl dq+ + 1 + λCl 0 0 E − Em m6=l l Z X Vml X V ∗ ml + ϕ∗m ϕm dq = 1 0 0 0 0 El − Em El − Em m6=l m6=l 11 ∗ P Vml Vml loại bỏ vì có bậc 2 0 0 0 0 m6=l El − Em m6=l El − Em R R ∗ ϕl ϕm dq = 0 và ϕ∗m ϕl dq = 0  ∗   (1) (1) Vậy ta có: 1 + λCl 1 + λCl =1 Z  2  (1) (1) (1)  2 |ϕl | dq ≈ 1 + λCl  =1 + λCl + λC l ∗ = 1 Trong đó: P (1) (1) Có thể coi Cl là thực vì vậy Cl cấp 1 của hàm sóng được viết: Ψl = ϕl + (1.22) = 0. Thành thử trong phép gần đúng X m6=l Vml ϕm E0l − E0m (1.23) Trên đây ta đã tìm được bổ chính cấp 1 cho năng lượng và hàm sóng do đó trong phép gần đúng cấp 1 năng lượng và hàm sóng được biểu diễn như ở phương trình (2.2) và (2.6). 1.4.2. Bổ chính bậc 2 cho năng lượng và hàm sóng. Để tìm bổ chính bậc 2 cho năng lượng và hàm sóng, xuất phát từ hệ phương trình (1.16) theo phương trình (b) (2) (1) (1) El + E l Cl ⇔ (1) Từ trên ta đã biết Cl 2 λ (2) El = P n6=l (2) El = P = n (2) (1) Wln Cn n (1) Wln Cn = 0 nên El = (1) λCl λWln P (1) (1) − El Cl P (1) Wln Cn n P |Vln |2 P Vln Vnl = = 0 0 0 0 n6=l El − En n6=l El − En ∧ (Vln = Vln∗ do tính hecmit của toán tử V ) Vậy bổ chính bậc 2 cho năng lượng: 2 λ (2) El X |Vln |2 = E0l − E0n n6=l (1.24) 12 Khi đó trong phép gần đúng cấp 2 của năng lượng được viết: El = E0l X |Vln |2 + Vll + E0l − E0n (1.25) n6=l Trong phép gần đúng cấp 2 hàm sóng đươc viết:    P 0 (1) (1) (2) 2 (2) 2 (2) 0 Cm + λCm + λ Cm ϕm ϕl + Ψl = Cl + λCl + λ Cl m6=l     P (1) (2) (2) 2 (2) 2 λCm + λ Cm ϕm ⇒ Ψl = 1 + λ Cl ϕl + m6=l (1) (2) Trong phương trình này ta thấy ϕl , λCm đã biết, λ2 Cm được xác định từ hệ phương trình (1.17) theo phương trình (b’) P (1) (1) (1) Cn Wmn − El Cm (2) Cm = m6=l P (2) ⇒ λ2 Cm = λ2 (2) ⇒ λ2 Cm = m6=l E0l − E0m (1) (1) (1) Cn Wmn − El Cm 0 0 P El − Em Vnl Vmn m6=l 0 (El − E0n ) (E0l − E0m ) − Vll Vml 2 (E0l − E0m ) (2) Ta cần xác định Cl , tương tự như phép gần đúng cấp 1, ta dùng phương pháp chuẩn hóa hàm Ψ ta có: Z |Ψl |2 dq =1 Ω  2 Z      X  (2) (1) (2) ⇔  1 + λ2 Cl ϕl + λCm + λ2 Cm ϕm  dq = 1   m6=l Ω   Z  ∗ ∗  X  (2) 2 ∗ (1) 2 (2) ⇔  1 + λ Cl ϕl + λCm + λ Cm ϕ∗m  ×   m6=l Ω # "      P   (1) 2 (2) 2 (2) ×  1 + λ Cl ϕl + λCm + λ Cm ϕm  dq = 1   m6=l 13  2 (2) Cl ∗  2 (2) Cl  ⇔ 1+λ 1+λ +    R ∗ P (1) (1) 2 (2) 2 (2) λCm + λ Cm λCm + λ Cm ϕ∗m ϕm dq = + m6=l ∗   P  (1) (1) 2 (2) 2 (2) 2 (2) 2 (2) ∗ λCm + λ Cm λCm + λ Cm = 1 + λ Cl + λ C l + m6=l P 2  (1) 2 2 (2) ∗ 2 (2) λ C m  = 1 ⇔ 1 + λ Cl + λ C l + m6=l P 2  (1) 2 (2) 2 (2) 2 λ Cm  ⇒ 2λ Rl Cl = 2λ Cl = − m6=l 1 X  (1) 2 (2) ⇒ Cl = − Cm  2 m6=l Bổ chính cấp 2 của hàm sóng là: X (2) (2) (2) Ψl = λ2 Cm ϕm + λ2 C l ϕl m6=l ⇒ (2) Ψl = XX m6=l m6=l X Vll Vml ϕm Vnl Vmn ϕ − − m 0 − E0 )2 (E0l − E0n ) (E0l − E0m ) (E m l m6=l  2 1 X  Vml  −  E 0 − E 0  ϕl 2 m6=l l m Mà ta đã biết E0l − E0n ~ Vậy bổ chính cấp 2 của hàm sóng được viết là: Wln = (2) Ψl = XX m6=l m6=l X Vml Vll ϕm 1 X |Vml |2 Vmn Vnl − ϕl ϕm − 2 ~2 Wln Wlm 2 ~2 Wml ~2 Wln 2 m6=l m6=l Như vậy trong phép gần đúng cấp 2 hàm sóng có dạng: (1) (2) Ψl = Ψ0l + Ψl + Ψl X X Vnl Vmn X Vml ϕm + ϕm ⇔ Ψl = Ψ0l + ~Wlm ~2 Wln Wlm m6=l m6=l m6=l X Vll Vml ϕm 1 X |Vml |2 − − ϕl 2 2 ~2 Wml ~2 Wln 2 m6=l m6=l 14 1.4.3. Bổ chính bậc 3 cho năng lượng. Từ hệ phương trình (1.16) theo phương trình (c) X (2) (3) (2) (1) (1) (2) El = Cl Wln − El Cl − El Cl n (3) ⇒ El = ⇒ (3) λ3 El ⇒ (3) λ3 El P n (1) (2) (2) Cl Wln − El Cl = P = P n n (2) (1) (2) λ2 Cl λWln − λEl λ2 Cl (2) (2) λ2 Cl Vln − λ2 Cl Vll (3) Vậy bổ chính cấp 3 của năng lượng là: λ3 El = P (2) λ2 Cn Vln n6=l Mặt khác ta có: λ2 Cn(2) = X (E0l m,n6=l Vnm Vml Vll Vln − 0 − E0m ) (El − E0n ) (E0l − E0n )2 Khi đó bổ chính của năng lượng bậc 3 được viết dưới dạng: 3 λ (3) El X X Vnm Vml Vln X |Vln |2 = − Vll 2 ~2 Wln Wlm ~2 Wln m6=l n6=l (1.26) n6=l Vậy trong phép gần đúng cấp 3 cho năng lượng được viết như sau: El = E0l + Vll + X |Vnl |2 n6=l X X Vnm Vml Vln X |Vln |2 + − Vll 2 ~Wln ~2 Wln Wlm ~2 Wln m6=l n6=l n6=l Vừa rồi với phép gần đúng ta đã tìm được các bổ chính từ thấp tới cao, thực chất là ta thu được các chuỗi. 15 Chương 2: Một số bài toán ứng dụng lý thuyết nhiễu loạn. 2.1. Hiệu chỉnh cho năng lượng ở trạng thái cơ bản của dao động tử điều hòa. Tìm hiệu chỉnh cho năng lượng ở trạng thái cơ bản của dao động tử điều hòa phi tuyến một chiều có thế năng: 1 U (x) = mω 2 x2 + αx3 + βx4 2 trong đó α và β là những hằng số và x là độ lệch nhỏ khỏi vị trí cân bằng. Giải: Toán tử Hamilton của dao động tử điều hòa phi tuyến tính một chiều: ~2 d2 1 b c0 + αx3 + βx4 H=− + mω 2 x2 + αx3 + βx4 = H 2 2m dx 2 ~2 d2 1 c Trong đó H0 = − + mω 2 x2 là toán tử Haminlton của dao động 2m dx2 2 tử điều hòa tuyến tính và Vb (x) = αx3 + βx4 coi là toán tử nhiễu loạn. Do số hạng phi điều hòa là rất nhỏ nên có thể áp dụng lý thuyết nhiễu loạn để tìm các hiệu chỉnh. Dao động tử ở trạng thái cơ bản được