Tài liệu Luyen thi dh toan chuyen de pt dai so

Chuyên đề: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ NHỮNG NỘI DUNG CƠ BẢN I. Hệ phương trình đối xứng loại 1: Phần 1- Định nghĩa chung: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng.  Phương trình n ẩn x1, x2, ..., xn gọi là đối xứng với n ẩn nếu thay xi bởi xj; xj bởi xi thì phương trình không thay đổi.  Khi đó phương trình luôn được biểu diễn dưới dạng: x1 + x2 + ... + xn x1x2 + x1x3 + ... + x1xn + x2x1 + x2x3 + ... + xn-1xn ............................... x1x2 ... xn  Hệ phương trình đối xứng loại một là hệ mà trong đó gồm các phương trình đối xứng.  Để giải được hệ phương trình đối xứng loại 1 ta phải dùng định lý Viét. * Nếu đa thức F(x) = a0xn + a1xn1 +... an, a0 ≠ 0, ai  P có nhgiệm trên P là c1, ..., cn thì: a1   c1  c2  ...  cn   a 0   a2  c1c2  c1c3  ...  c1cn  c2 c1  c2 c3  ...  cn-1cn  a0  ...............................   n an  c1c1 ... cn  ( 1) . a 0  (Định lý Viét tổng quát) Phần 2 – Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn: A. LÝ THUUYẾT 1. Định lý Viét cho phương trình bậc 2: Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì: b   S  x1  x2   a    P  x .x  c 1 2  a  x1  x2  S Ngược lại, nếu 2 số x1, x2 có  thì x1, x2 là nghệm của phương trình X2  SX + P = 0.  x1 .x2  P 2. Định nghĩa:  f ( x, y )  0  f ( x, y )  f ( y , x )  , trong đó  g ( x, y )  g ( y, x)  g ( x, y )  0  3.Cách giải: Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có). Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S 2  4 P . Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Viét đảo tìm x, y. Chú ý: + Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP. + Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv. + Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ. 4. Bài tập: Loại 1: Giải hệ phương trình  x 2 y  xy 2  30 Ví dụ 1. Giải hệ phương trình  3 . 3  x  y  35 Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số 1 GIẢI Đặt S  x  y, P  xy , điều kiện S 2  4 P . Hệ phương trình trở thành: � � = 30 P � � = 30 � =5 � +y=5 � =2 � =3 SP S x x x � � � �� S � �� �� �� �� � 2 � � � � � . � (S - 3P) = 35 � �2 90� � =6 � =6 � =3 � =2 S P xy y y � � S � � � � S = � 35 �� �� � S� ��  xy ( x  y )  2 Ví dụ 2. Giải hệ phương trình  3 . 3 x  y  2 GIẢI Đặt t   y , S  x  t , P  xt , điều kiện S 2  4 P Hệ phương trình trở thành: � � =2 � =2 � =1 � =1 xt(x + t) = 2 SP S x x � . � �3 �� �� �� �3 � � � � 3 � +t =2 � - 3SP = 2 � =1 �=1 � =-1 P t y x S � � � � � x y1 1 4  x y  Ví dụ 3. Giải hệ phương trình  .  x2  y 2  1  1  4  x2 y2 GIẢI Điều kiện x  0, y  0 . � � � � � � �x + 1 � � + 1� 4 + y = � � � � � � � � � � � � x� y� � Hệ phương trình tương đương với: � 2 2 � � � � � x + 1 � + � + 1� = 8 � � y � � � � � � � � � � � x� � y� � � � � 1� � 1� 1� 1� � x + y ,P x ,S � � � � � Đặt S = � + � � + � = � + �y + � 2 � 4P ta có: � � � � � � � � � � � � � � x� � y� x� y� � � � � � � � �x + 1 � � + 1 � 4 � + + y = � � � � x � � =4 � =4 � � � � S S � � � � x� � y� � � � �� �� �� �2 � � � � � - 2P = 8 � =4 � P S � � � � � x + 1 �y + 1 � 4 � + � y = � � � � � � � � � � � � � � x� y� � � 1 =2 x � 1 =2 y � x � = 1. � � =1 y �  x 2  y 2  2 xy  8 2 (1) Ví dụ 4. Giải hệ phương trình  . (2)  x y 4 GIẢI Điều kiện x, y  0 . Đặt t  xy  0 , ta có: xy = t2 và (2) � x + y = 16 - 2t . Thế vào (1), ta được: t2 - 32t + 128 = 8 - t � t = 4 Suy ra: � = 16 � =4 xy x � �� � � . � +y=8 � =4 x y � � Loại 2: Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) 1 có nghiệm Phương pháp giải chung: + Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có). + Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S 2  4 P (*). Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số 2 + Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m. Chú ý: Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện của u, v. Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004). Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:  x  y 1 .   x x  y y  1  3m GIẢI x, y  0 ta có: Điều kiện �x+ y=1 �x+ y=1 � �� � � � x + y y = 1 - 3m � x)3 + ( y)3 = 1 - 3m x ( � � � � Đặt S = x + y � 0 P = xy � 0 , S2 � 4P. Hệ phương trình trở thành: , � =1 S S � =1 � �� �3 � . � - 3SP = 1 - 3m � =m P S � � 1 Từ điều kiện S � 0 � 0 2 � 4P ta có 0 � m � . ,P ,S 4 x  y  xy  m  Ví dụ 2. Tìm điều kiện m để hệ phương trình  2 có nghiệm thực. 2  x y  xy  3m  9 GIẢI � + y + xy = m � + y) + xy = m x (x � �� �2 � . 2 � y + xy = 3m - 9 � xy(x + y) = 3m - 9 x � � � +P =m S � Đặt S = x + y, P = xy, S2 � 4P. Hệ phương trình trở thành: � . � = 3m - 9 SP � Suy ra S và P là nghiệm của phương trình t2 - mt + 3m - 9 = 0 � =3 � = m- 3 S S �� �� � � . � = m- 3 � = 3 P P � � � � 4(m - 3) 32 21 ��� 2 m m 3 2 3. Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm + � � - 3) � 12 (m 4 �  x  4  y 1  4 Ví dụ 3. Tìm điều kiện m để hệ phương trình  có nghiệm.  x  y  3m GIẢI Đặt u = x - 4 � 0 v = y - 1 � 0 hệ trở thành: , � +v=4 u � � . � � = 21 - 3m uv � � 2 21 - 3m Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của t2 - 4t + = 0 (*). 2 Hệ có nghiệm � (*) có 2 nghiệm không âm. � - 13 � / �0 3m D � � �0 � � 13 � 2 � �� ��� 0 S m 7. � � � - 3m 21 3 � �0 � �0 P � � � � 2 � � +v=4 u � � �2 � + v2 = 3m - 5 u � Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số 3  x 2  y 2  4 x  4 y  10 Ví dụ 4. Tìm điều kiện m để hệ phương trình  có nghiệm thực.  xy ( x  4)( y  4)  m GIẢI � 2 + y2 + 4x + 4y = 10 � 2 + 4x) + (y2 + 4y) = 10 (x x � �� 2 � � . � � + 4x)(y2 + 4y) = m xy(x + 4)(y + 4) = m (x � � Đặt u = (x + 2)2 � 0 v = (y + 2)2 � 0. Hệ phương trình trở thành: , u S � + v = 10 � = 10 � �� � � (S = u + v, P = uv). � - 4(u + v) = m - 16 � = m + 24 uv P � � � 2 � 4P S � � � � 0 � - 24 � m � 1. S Điều kiện � � � �0 P � � Loại 3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình. 3 Ví dụ. Giải phương trình: 3 x  3 1  x  . 2 GIẢI 3  3  3  uv  u+v = 2 3 x  u   u  v   2 2   Đặt:  3 . Vậy ta có hệ:    1 x  v  u 3  v3  1  u.v = 19  (u  v) (u  v) 2  3uv   1      36 3 19 =0 u, v là hai nghiệm của phương trình: X 2 - X + 2 36 3     9+ 5 x =  9 + 5   12  u =    12     3  9- 5  9 - 5  u = x =  12   12         9  5 3  Vậy phương trình có hai nghiệm: {x} =    ;     12   B. BÀI TẬP 3 9  5      12   .     I. Giải các hệ phương trình sau:  x4  y4  1  1)  6 6 x  y 1  x2  y 2  5  2)  4 2 2 4  x  x y  y  13  x  y 4  4)  2  x  y 2  2 xy  8 2   x 2  x  y 2  y  18 5)   xy ( x  1)( y  1)  72 1 1  x  y  x  y  4  7)   x2  y 2  1  1  4  x2 y 2   x y 7 1   y  x  x y 8)    x xy  y xy  78 Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số  x y  y x  30  3)   x x  y y  35   1    x  y  1    5 xy    6)   x 2  y 2 1  1   49    x2 y2      x  y  4  9)  2 2 3 3  x  y x  y  280    4  x6  y 6  2  10)  3 3  x  3x  y  3 y II. Gải hệ phương trình có tham số: 1. . Tìm giá trị của m:  5  x  y   4 xy  4  a)  có nghiệm.  x  y  xy  1  m  x  y  xy  m  2 b)  2 có nghiệm duy nhất. 2  x y  xy  m  1  x  y  2  4  c)  2 có đúng hai nghiệm. 2  x  y  2  m  1   x  xy  y  m 2.  2 (1II) 2 x  y  m a. Giải hệ phương trình khi m = 5. b. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm.  x  xy  y  m 3.  2 (7I) 2  x y  xy  3m  8 a Giải hệ phương trình khi m = 7/2. b. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm.  x  xy  y  m  1 4.  2 (40II) 2  x y  xy  m a. Giải hệ phương trình khi m=2. b. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x;y) với x >0, y >0. III. Giải phương trình bằng cách đưa về hệ phương trình: 1. Giải phương trình: 4 x  1  4 18  x  3 . 2. Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm: a. 1  x  1  x  m b. m  x  m  x  m c. 3 1  x  3 1  x  m Phần 3 – Hệ phương trình đối xứng loại 1 ba ẩn: (Đọc thêm) a. §Þnh nghÜa: Lµ hÖ ba Èn víi c¸c ph¬ng tr×nh trong hÖ lµ ®èi xøng. b. §Þnh lý Vi-et cho ph¬ng tr×nh bËc 3: x + y + z = α  Cho 3 sè x, y, z cã:  xy + yz + zx = β  xyz = γ  Th× x, y, z ;µ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh X3 - αX2 + βX - γ = 0. (*) ThËy vËy: (X - x)(X - y)(X - z) = 0  [ X2 - (x + y)X + xy ](X - z) = 0  X3 - X2z - X2(x + y) + (x + y)zX + xyX - xyz = 0  X3 - αX2 + βX - γ = 0. (*) cã nghiÖm lµ x, y, z  ph¬ng tr×nh X3 - αX2 + βX - γ = 0 cã 3 nghiÖm lµ x, y, z. c.C¸ch gi¶i: + Do c¸c ph¬ng tr×nh trong hÖ lµ ®èi xøng nªn ta lu«n viÕt ®îc díi d¹ng α, β, γ x + y + z = α  Khi ®ã ta ®Æt  xy + yz + zx = β  xyz = γ  Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số 5 Ta ®îc hÖ cña α, β, γ. + Gi¶i ph¬ng tr×nh X3 - αX2 + βX - γ = 0 (1) t×m ®îc nghiÖm (x, y, z) cña hÖ. Chó ý: (1) cã nghiÖm duy nhÊt  hÖ v« nghiÖm. (1) cã 1 nghiÖm kÐp duy nhÊt  hÖ cã nghiÖm. (1) cã 2 nghiÖm : 1 nghiÖm kÐp, 1 nghiÖm ®¬n  hÖ cã 3 nghiÖm. (1) cã 3 ngiÖm  hÖ cã 6 nghiÖm. d. Bµi tËp: x + y + z = 2  2 2 2 VD1: Gi¶i hÖ: x + y + z = 6  x 3 + y3 + z3 = 8  Gi¶i: ¸p dông h»ng ®¼ng thøc ta cã: x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 - 2(xy + yz + zx). x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 - 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz. VËy 6 = 22 - 2(xy + yz + zx)  xy + yz + zx = -1. 8 = 23 - 3.2.(-1) + 3xyz  xyz = -2. t = 1   x, y, z lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh:t3 - 2t2 - t + 2 = 0  t = - 1 t = 2  VËy hÖ cã 6 cÆp nghiÖm (1;-1;2); (-1;1;2); (1;2;-1); (-1;2;1); (2;1;-1); (2;-1;1).  x + y + z = 9 (1)   VD2: Gi¶i hÖ  xy + yz + zx = 27 (2) 1 1 1  + + =1 (3) y z x xy + yz + zx =1 Gi¶i: §K: x, y, z ≠ 0. Tõ (3)  xyz Do (2)  xyz = 27 x + y + z = 9  VËy hÖ   xy + yz + zx = 27  xyz = 27  Do ®ã (x; y; z) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: X3 - 9X2 + 27X - 27 = 0  (X - 3)3 = 0  X = 3. VËy hÖ cã nghiÖm lµ (3; 3; 3). x + y + z = a  VD3: Gi¶i hÖ  x 2 + y 2 + z 2 = a 2  x 3 + y3 + z 3 = a 3  Gi¶i: x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 - 2(xy + yz + zx)  xy + yz + zx = 0. x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 - 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz  xyz = 0. x + y + z = 0  VËy cã:  xy + yz + zx = 0  xyz  0  Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số 6 X = 0  (x; y; z) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: X3 - aX2 = 0   X = a VËy hÖ cã nghiÖm lµ {(a; 0; 0); (0; a; 0); (0; 0; a)} e.Chó ý: Cã nhiÒu vÊn ®Ò cÇn lu ý khi gi¶i hÖ lo¹i nµy + Víi c¸ch gi¶i theo ®Þnh lý Vi-et tõ hÖ ta ph¶i ®a ra ®îc x + y + z; xy + yz + zx; xyz cã thÓ nã lµ hÖ qu¶ cña hÖ nªn khi t×m ®îc nghiÖm nªn thö l¹i. + V× lµ hÖ ®èi xøng gi÷a c¸c Èn nªn trong nghiÖm cã Ýt nhÊt 2 cÆp nghiÖm cã cïng x, cïng y hoÆc cïng z nªn cã thÓ gi¶i hÖ theo ph¬ng tr×nh céng, thÕ.  x + y + z = 9 (1)   VD:  xy + yz + zx = 27 (2) 1 1 1  + + =1 (3) y z x Gi¶i: Râ rµng x = 0, y = 0, z = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña hÖ Víi x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0, nh©n hai vÕ cña (3) víi xyz ta cã xy + yz + zx = xyz (4). Tõ (2) vµ (4)  xyz = 27 (5) 2(y + z) + xyz = 27x Tõ (2)  x (6) Tõ (1), (5), (6) ta cã: x2(9 - x) + 27 - 27x = 0  x3 - 9x2 + 27x - 27 = 0  (x - 3)3 = 0  x = 3  y + z =6 Thay x = 3 vµo (1), (5) ta cã:   y = z = 3.  yz = 9 VËy hÖ cã nghiÖm lµ x = y = z = 3. II. Hệ phương trình đối xứng loại 2: 1. Hệ phương trình đối xứng loại 2 hai ẩn: A. Định ghĩa:  f ( x, y )  0  1    f ( y , x)  0  2  Cách giải: Lấy (1)  (2) hoặc (2)  (1) ta được: (xy)g(x,y)=0. Khi đó xy=0 hoặc g(x,y)=0. + Trường hợp 1: xy=0 kết hợp với phương trình (1) hoặc (2) suy ra được nghiệm. + Trường hợp 2: g(x,y)=0 kết hợp với phương trình (1) + (2) suy ra nghiệm (trong trường hợp này hệ phương trình mới trở về hệ đối xứng loại 1) và thông thường vô nghiệm. B. Các ví dụ:  x3  3x  8 y  1  Ví dụ 1: Giải hệ phương trình  3 (I)  y  3 y  8x  2  GIẢI 2 2 Lấy (1)  (2) ta được: (x - y)(x + xy + y + 5) = 0  x = 0  x 3 = 3x + 8y  x 3 - 11x = 0      x = ± 11 . Trường hợp 1: (I)   x = y x = y  x = y  x 2 +xy+y 2 +5=0  Trường hợp 2: (I)   3 3 (hệ này vô nghiệm)  x +y =11 x+y  Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm: Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số 7  (x, y) =  (0,0); (  11, 11); (- 11,- 11) x  4 y 1 1  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình   y  4 x 1 1 GIẢI Đặt: x - 1 = u  0; 4 4 y-1 =v 0  u4 + 1 + v = 1 u4 + v = 0 u = 0 x = 1     4   Hệ phương trình trở thành  4 (Do u, v ≥ 0)   . v + 1 + u = 1 v + u = 0 v = 0 y = 1 Vậy hệ có nghiệm (1,1)  x  y2  y  m  Ví dụ 2: Cho hệ phương trình  2 y  x  x m a. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm. b. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. (I)  x - y = y2 - y - x 2 + x x = ± y      2 2 x = y - y + m x = y - y + m Giải (I)  x = y  2  x = y - y + m    x = - y   x = y 2 - y + m   x = y  2  x - 2x + m = 0  x=-y    y 2 + m = 0  Δ x '  0 1 - m  0 m  1   m 0 a) Hệ phương trình có nghiệm   ' � m  0 Δ y  0 - m  0    Δ x ' = 0  1 - m = 0  '   Δ y < 0  - m < 0 b) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất      m = 1. 1 - m < 0  Δ x ' < 0    '  - m = 0   Δ y = 0  Vậy m = 1. Ví dụ 3: Giải phương trình: x3  1  2 3 2 x  1 . GIẢI Đặt 3 2x - 1 = t  2x - 1 = t .  x 3 + 1 = 2t  Ta có hệ  3   t + 1 = 2x 3  x 3 + 1 = 2t  x 3 - 2x + 1 = 0    2 2  (x - t)(x + xt + t + 1) = 0 x = t x = 1  (x - 1)(x 2 + x - 1) = 0     -1± 5 x= x = t  2 -1± 5 Vậy phương trình có 3 nghiệm: 1; . 2 C. Bài tập: 1.Giải các hệ phương trình sau: Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số 8 1 3   2x  y  x  a.  2 y  1  3  x y   x  y9 9  d.   y  x9 9 3   2 x  y  x2  b.  2 y  x  3  y2   x  2 y  2  e.   y  2x  2  x3  1  2 y  c.  3  y  1  2x  x5  y2 7  g.   y5  x2 7  x 2  ( x  y )  2m  2. Cho hệ phương trình  2 .  y  ( x  y )  2m a. Giải hệ với m = 0. b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. 2 2  3  x  y  7 x  mx 3. Tìm m để hệ:  3 có nghiệm duy nhất. 2 2  y  x  7 y  my 4. Giải các phương trình: a. x 2  x  5  5 . b. x 3  3 3 3 x  2  2 . 2. HÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i 2, 3 Èn: (§äc thªm) A. Dïng chñ yÕu lµ ph¬ng ph¸p biÕn ®æi t¬ng ®¬ng b»ng phÐp céng vµ thÕ. Ngoµi ra sö dông sù ®Æc biÖt trong hÖ b»ng c¸ch ®¸nh gi¸ nghiÖm, hµm sè ®Ó gi¶i. B. VÝ dô:  x 2 + 2yz = x (1)  2 Gi¶i hÖ  y + 2zx = y (2)  z 2 + 2xy = z (3)  Gi¶ b»ng c¸ch céng (1), (2), (3) vµ lÊy (1) trõ ®i (2) ta cã hÖ ®· cho t¬ng ®¬ng víi hÖ  x 2 + 2yz = x  2  (x + y + z) = x + y + z  (x - y)(x + y - 2z - 1) = 0  HÖ nµy ®¬ng t¬ng víi 4 hÖ sau:  x 2 + 2yz = x  x 2 + 2yz = x   (I) (II) x + y + z = 0 x + y + z = 0  x =y  x + y - 2z - 1 = 0   2  x + 2yz = x  x 2 + 2yz = x   (III) (IV) x + y + z = 1 x + y + z = 1  x =y  x + y - 2z - 1 = 0   Gi¶i (I): -1  x = 0  x = 3  x 2 + 2yz = x  x 2 + 2yz = x  x 2 - 4x 2 = x     (I)   2y + z = 0   z = - 2x   z = - 2x   z = - 2x x = y x = y x = y x = y      -1 -1 2 VËy (I) cã 2 nghiÖm (0;0;0); ( ; ; ) 3 3 3 Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số 9 2 -1 -1 -1 2 -1 Lµm t¬ng tù (II) cã nghiÖm ( ; ; );( ; ; ) 3 3 3 3 3 3 1 1 1 HÖ (III) cã nghiÖm (0;0;1); ( ; ; ) 3 3 3 HÖ (IV) cã nghiÖm (0;1;0); (1;0;0). VËy hÖ ®· cho cã 8 nghiÖm kÓ trªn.  x 2 + y2 + z = 1  2 2 VD2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: x + y + z = 1  x 2 + y + z2 = 1  Gi¶i: HÖ    x2 + y2 + z = 1   (y - z)(y + z - 1) = 0  (x - z)(x + z - 1) = 0   x 2 + y2 + z = 1  (I)  y=z  x=z   x 2 + y2 + z = 1  (III) z + y - 1 = 0 x = z   x 2 + y2 + z = 1  y = z x + z - 1 = 0   x 2 + y2 + z = 1  z + y - 1 = 0 x + z - 1 = 0  (II) (IV) 1 1 1 Gi¶i c¸c hÖ b»ng ph¬ng ph¸p thÕ ®îc 5 nghiÖm (-1;-1;-1); (0;0;1); (0;1;0); (0;0;1);  ; ;  .   2 2 2 VD4:  x2  y  1  2  y  z 1  z2  x 1  Gi¶i hÖ: Gi¶i: XÐt hai trêng hîp sau: TH1: Trong 3 sè Ýt nhÊt cã 2 nghiÖm sè b»ng nhau:  x2  x  1  2 Gi¶ sö x=y cã hÖ  y  z 1  z2  x 1  1  5 1  5 1  5  1  5 1  5 1  5  Tõ ®ã cã nghiÖm cña hÖ (x;y;z) lµ :   2 ; 2 ; 2 ;  2 ; 2 ; 2       T¬ng tù y=z, z=x ta còng ®îc nghiÖm nh trªn. TH2 : 3 sè x, y, z ®«i mét kh¸c nhau . Gi¶ sö x>y>z ,xÐt hµm sè f(t) = t2 trªn D =  1;   a) z  0 , x>y>z  0 f(x)>f(y)>f(z)y+1>z+1>x+1y>x>z(v« lý). b) z0>z>-1 f(-1)>f(z) 1>x+1x<0 (v« lý) VËy ®iÒu gi¶ sö lµ sai. TH2 v« nghiÖm. Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số 10 VD5:  2x  x2 y  y  2 2 y  y z  z  2z  z2 x  x  (V« ®Þch §øc) Gi¶i: TH1: Trong x, y, z Ýt nhÊt cã 2 nghiÖm sè b»ng nhau Gi¶ sö x = y ta cã hÖ  x 3  2 x  x  0 (1)  2  x z  2 x  z  0 (2)  z 2 x  2 z  x  0 (3)  Tõ (1)  x = 0, x = -1. x = 0. Thay vµo (2), (3)  z=0. x = -1. Thay vµo (2), (3)  v« lý VËy hÖ cã nghiÖm (0,0,0) NÕu y = z hay x = z còng chØ cã nghiÖm (0,0,0). TH2: 3 sè ®«i 1 kh¸c nhau. Tõ 2x + x2y = y thÊy nÕu x2 = 1  ± 2 = 0 (v« lý) 2x VËy x2 ≠ 1  2x + x2y = y  y  1  x2  2x  y  1  x2  2y  Hai ph¬ng tr×nh cßn l¹i t¬ng tù ta cã hÖ ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi:  z  1 y2   2z x  1 z2  Gi¶ sö x > y > z (*). XÐt hµm sè: 2t f(t) = x¸c ®Þnh trªn D = R\ {1} 1 t2 2(t 2  1) f’(t) =  0 víi mäi tD (1  t 2 ) 2  hµm sè ®ång biÕn trªn D f(x) > f(y) > f(z)  y > z > x m©u thuÉn víi (*). VËy ®iÒu gi¶ sö sai. Do vai trß x, y, z nh nhau. VËy TH2 - hÖ v« nghiÖm VËy hÖ ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt lµ (0; 0; 0) C. Bµi tËp  x  y3  y 2  y  2  1.  y  z 3  z 2  z  2  z  x3  x 2  x  2  2 2. 3 3(3x 2  4) 2  4   4  x   Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số 11  y  3x 2  4  Híng dÉn: §Æt  2  z  3y  4  x  3z 2  4 .  y  3x 2  4  §a vÒ gi¶i hÖ  z  3 y 2  4  x  3z 2  4   xyz  x  y  z  yzt  y  z  t  3.   ztx  z  t  x  txy  t  x  y   2 x2 y  1  x2   2 y2  z 5.  2 1  y  2z2  x 1  z2  y 3  9 x 2  27 x  27  0   4.  z 3  9 y 2  27 y  27  0  3 2  x  9 z  27 z  27  0 III. Hệ phương trình đẳng cấp:  F  x, y   A  1. Dạng:  , trong đó F  kx, ky   k n F  x, y  ; G  kx, ky   k m G  x, y  .  G  x, y   B 2. Cách giải: Đặt y = tx (x ≠ 0) hoặc x = ty (y ≠ 0). 3. Ví dụ: 2  2  x  2 xy  3 y  9  * Giả hệ phương trình:  2 2  x  4 xy  5 y  5 GIẢI + Với x = 0: Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.      x 2 1  2t  3t 2  9  1  + Với x ≠ 0: Đặt y = tx. Hệ phương trình tương đương với  2 . Lấy (1)(2) ta được: 2  x 1  4t  5t  5  2   2 1 15t213t+2=0 t  ; t  . 3 5 2 3  Với t  : ta có y  x , thay vào (*) ta được nghiệm (3;2), (3;2). 3 2 5 2 2   5 2 2  1 1  Với t  : ta có y  x , thay vào (*) ta được nghiệm   2 ; 2 ,  2 ; 2  .    5 5     4. Bài tập: Giải các hệ phương trình sau:  3x 2  2 xy  y 2  11  6 x 2  xy  2 y 2  56  2 x3  3x 2 y  5    1)  2 2)  2 3)  3 2 2 2  x  2 xy  5 y  25  5 x  xy  y  49  y  6 xy  7 IV. Một số hệ phương trình khác: Tổng hợp các kiến thức kết hợp với việc suy luận hợp lý để giải.  xy  x  y  x 2  2 y 2  ( x, y  � . ) 1.   x 2 y  y x  1  2x  2 y HD: Biến đổi phương trình xy  x  y  x 2  2 y 2  (x + y)(x 2y 1) = 0. Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số ĐS: x = 5; y = 2. 12 2.  x 4  2 x3 y  x 2 y 2  2 x  9  ( x, y  � . )  2  x  2 xy  6 x  6  ( x 2  xy ) 2  2 x  9 17  HD: Biến đổi hệ phương trình thành:  . ĐS: x = 4; y = . 6 x  6  x2 4  xy   2 5  2 3 2  x  y  x y  xy  xy   4  3.  .  x 4  y 2  xy  1  2 x    5  4 5  2 2  x  y  xy x  y  xy  4 u  x2  y  HD: Biến đổi hệ phương trình thành:  . Đặt:  .  v  xy  x 2  y 2  xy  5  4  5 x 1 x  3 4     ĐS:  3 .  y   3 25  y  2   16  1 1   x  x  y  y  1 4.  .  2 y  x3  1   1  5 1  5   1  5 1  5   1  ; ; HD: (1)   x  y  1    0 . ĐS:  1;1 ,  ,    2   2  2 2 xy       1   log 1  y  x   log 4 y  1 5.  4 .  x 2  y 2  25  3y HD: Tìm cách khử logarit để được: x  . ĐS:  3; 4  4 3 y  x  y  x  6.  . x  y  x  y  2   HD: 3 yx yx 3     y  x 1 6 y  x  0 . 3 1 ĐS:  1;1 ,  ;  2 2  y2  2 3y   x2  7.  . 2  3x  x  2  y2  HD: Đối xứng loại 2. ĐS:  1;1  x 1  2  y 1  .  2 3  3log 9  9 x   log 3 y  3  HD: Tìm cách khử logarit để được: x  y . ĐS:  1;1 ,  2; 2  . 8. Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số 13 9.  x  y  xy  3    x 1  y 1  4 HD: Đặt t  xy , bình phương hai vế phương trình thứ hai tìm được t=3. ĐS:  3; 3 . 1 1  x  x  y  y  5  10.  . Tìm m để hệ phương trình này có nghiệm thực.  x3  1  y 3  1  15m  10  x3 y3  HD: Đặt u  x  1 1 , v  y  , điều kiện u  2, v  2 . x y ĐS: 7  m  2, m  22 . 4  Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số 14