Chuyên đề
LƯỢNG GIÁC
Phần 1: CÔNG THỨC
1. Hệ thức LG cơ bản
sin 2 cos2 1
tan .cot 1
cos
cot
k
sin
1
cot 2 1 k
2
sin
k
2
1
tan 2 1 k
2
2
cos
2. Công thức LG thường gặp
sin a b sinacosb sinbcosa
tan
sin
cos
Công thức cộng:
cos a b cos a cos b m
sinasinb
tan a b
tana tanb
1 mtanatanb
sin 2a 2sin a.cos a
cos 2a cos 2 a sin 2 a 2 cos 2 a 1 1 2sin 2 a
Công thức nhân:
cos 3a 4 cos 3 a 3cos a
sin 3a 3sin a 4sin 3 a
tan 3a =
3 tan a tan 3 a
1 3 tan 2 a
1
[cos(ab)+cos(a+b)]
2
1
sina.sinb = [cos(ab)cos(a+b)]
2
1
sina.cosb = [sin(ab)+sin(a+b)]
2
ab
ab
cos
Tổng thành tích: sin a sin b 2sin
2
2
ab
ab
sin a sin b 2 cos
sin
2
2
ab
ab
cos a cos b 2 cos
cos
2
2
ab
ab
cos a cos b 2sin
sin
2
2
sin(a b)
tan a tan b
cos a.cos b
1
Công thức hạ bậc: cos2a = (1+cos2a)
2
1
sin2a = (1cos2a)
2
a
Biểu diễn các hàm số LG theo t tan
2
Tích thành tổng:
Chuyên đề: LG
cosa.cosb =
1
sin a
2t
1- t 2
2t
; cos a
; tan a
.
2
2
1 t
1 t
1 t2
3. Phương trìng LG cơ bản
u v k 2
* sinu=sinv
u v k 2
* cosu=cosvu=v+k2
* tanu=tanv u=v+k
* cotu=cotv u=v+k k Z .
4. Một số phương trình LG thường gặp
1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các
công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản.
b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng
a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các
phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG..
2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là a 2 b 2 c 2 .
b
c
Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt tan , ta được: sinx+tancosx= cos
a
a
c
c
�t
a�
sinx cos + sin cosx= cos
sin(x+ )= cos sin .
a
a
Cách 2: Chia hai vế phương trình cho a 2 b 2 , ta được:
a
b
c
sin x
cos x
2
2
2
2
2
a b
a b
a b2
a
b
cos ;
sin . Khi đó phương trình tương đương:
Đặt:
a2 b2
a2 b2
�t
a�
c
c
cos sin x sin cos x
sin .
hay sin x
a 2 b2
a 2 b2
x
Cách 3: Đặt t tan .
2
3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:
Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*).
Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với x k .
2
+ Giả sử cosx0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0.
1
tan 2 x 1 x k
Chú ý:
2
2
cos x
Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc.
4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:
Dạng: a(sinx cosx)+ bsinxcosx=c.
Cách giải: Đặt t= sinx cosx. Điều kiện t 2 .
L� y�c co� th� : sin x cos x 2 sin x 2 cos x
u ca� ng
�
c
4
4
sin x cos x 2 sin x 2 cos x
4
4
Chuyên đề: LG
2
Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC
Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích.
Ví dụ 1. Giải phương tình: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1).
Giải
1 cos 2 x 1 cos 6 x 1 cos 4 x 1 cos8 x
Phương trình (1) tương đương với:
2
2
2
2
cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0
2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0
2cos5x(cos3x+cosx) = 0
4cos5x.cos2x.cosx = 0
π kπ
π
x 10 5
5 x 2 kπ
cos 5 x 0
cos 2 x 0 2 x π kπ x π lπ , ( k , l , n �
)
2
4 2
cos x 0
x π nπ
x π kπ
2
2
6
6
8
8
Ví dụ 2. Giải phương trình: cos x+sin x = 2 ( cos x+sin x) (2).
Giải
Ta có (2) cos6x(2cos2x1) = sin6x(12sin2x)
cos2x(sin6x–cos6x) = 0
cos2x(sin2x–cos2x)(1+sin2x.cos2x) = 0
cos2x = 0
2x
π
π kπ
kπ x
, (k �
)
2
4 2
Ví dụ 3: Giải phương trình: 8 2 cos 6 x 2 2 sin 3 x sin 3 x 6 2 cos 4 x 1 0 (3).
Giải
Ta có:
(3) 2 2 cos3 x(4 cos3 x 3cos x) 2 2 sin 3 x sin 3 x 1 0
2 cos 2 x.2 cos x cos 3 x 2sin 2 x.2sin x sin x3 x 2
(1 cos 2 x)(cos 2 x cos 4 x) (1 cos 2 x)(cos 2 x cos 4 x) 2
2(cos 2 x cos 2 x cos 4 x) 2
cos 2 x(1 cos 4 x)
cos 2 x.cos 2 2 x
2
2
2
4
2
π
x kπ , ( k �
)
2
8
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số:
cos 2 x
Ví dụ 4. Giải phương trình lượng giác: sin 8 x cos8 x
17
32
(4).
Giải
Ta có (4)
4
4
1
17
1 cos 2 x 1 cos 2 x 17
4
2
32 8 (cos 2 x 6 cos 2 x 1) 32
2
2
Chuyên đề: LG
3
1
t
17
13
2
t 2 6t 1
t 2 6t 0 2
Đặt cos 2x = t, với t[0; 1], ta có
4
4
t 13
2
1
1
cos 4 x 1 1
Vì t[0;1], nên t cos 2 2 x
2
2
2
2
π
π
π
)
cos4x = 0 4 x kπ x k , ( k �
2
8
4
Ví dụ 5. Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = 0 (5)
Giải
Ta có (5) 2(1 cos2x)sinx + 2 – 2 cos2x + cosx – 1 = 0
(1 cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx) 1] = 0
(1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0
2 (
)
cos x 1 x kπ ,k �
2sin x 2 cos x 2sin x cos x 1 0 (*)
Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | t | 2 , khi đó phương trình (*) trở thành:
t 0
π
sin x -cos x x nπ, ( n �
)
2t + t2 – 1 + 1 = 0 t2 + 2t = 0
t 2 (lo�
i)
4
π
2
( ,
)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x nπ ; x kπ , n k �
4
Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng cách
đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức.
Ví dụ 6. Giải phương trình: π |sin x | cos x (6).
Giải
Điều kiện: x ≥ 0
Do | sin x | 0, nên π |sin x | π 0 1 , mà |cosx| ≤ 1.
2
| sin x | 0
x kπ,( k � )
x kπ 2
π
k 2 n
k n 0
Do đó (6)
)
| cos x | 1
x nπ, ( n �
x 0
x nπ
x nπ
(Vì k, n Z). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.
Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số.
x2
Ví dụ 7: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình: 1 cos x .
2
Giải
x2
Đặt f ( x )= cos x . Dễ thấy f(x) = f(x), x �, do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy trước hết ta chỉ xét
2
với x ≥ 0.
Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = cosx+1, x≥0 f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x≥0 f(x)
đồng biến với x≥0 .
Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình.
π
Ví dụ 8: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng 0; thoả mãn
2
2 n
phương trình: sin n x cos n x 2 2 .
Giải
Đặt f(x) = sinnx + cosnx, ta có : f’(x) = ncosx.sinn-1x – nsinx.cosn-1x.
= nsinx.cosx(sinn-2x – cosn-2x)
Chuyên đề: LG
4
2n
Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng 0; , ta có minf(x) = f = 2 2
2
4
Vậy x =
là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
4
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau:
ĐS: x k 2 ; x
1. cos3x+cos2x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng)
2. tanx.sin2x2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất)
ĐS: x
HD: Chia hai vế cho sin2x
3. 2sin3x(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại)
n 2
2
k ; x n 2
4
3
7
k ; x n ; x
m .
4
4
12
12
ĐS: x k .
2
ĐS: x
4. |sinxcosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội)
5. 4(sin3xcos2x)=5(sinx1) (ĐH Luật Hà Nội)
1
ĐS: x k 2 ; x n 2 ; x l 2 ; với sin .
2
4
6. sinx4sin3x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội)
ĐS: x k .
4
7. sin 3 x sin 2 x.sin x ; (Học Viện BCVT)
ĐS: x k
4
4
4
2
3
3
3
8. sin x.cos3x+cos x.sin3x=sin 4x
HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x. cosx.sin3x=sin34x
ĐS: x k .
12
x 4 k
1
1
7
4 sin
x
k
3
9. sin x
ĐS: x
4
sin x
8
2
x 5 k
8
3
3
2
2
10. sin x 3 cos x sin x cos x 3 sin x cos x
HD: Chia hai vế cho cos3x
ĐS: x = k , x k
3
4
11. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx
2
k 2 (k �
)
HD: Đưa về cung x đặt thừa số
ĐS: x k x
4
3
12. sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1).
Giải
(1)
2sinxcosx+2cos2x–1=1+sinx–3cosx.
2cos2x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0.
2cos2x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0.
Đặt t=cosx, ĐK t 1 , ta được: 2t2+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0. =(2sinx+3)2+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)2.
1
t
1
cos x …(biết giải)
2
2
i
t sin x - 2 loa�
Chuyên đề: LG
5
13. 2sinx+cotx=2sin2x+1.
HD: Tương tự câu a ta có phương trình 2(1–2cosx)sin2x–sinx+cosx=0.
Đặt t=sinx, ĐK t 1 .
2(1–2cosx)t2–t+cosx=0 … =(4cosx–1)2.
14. 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0.
HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0.
(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(cos2x–sin2x)=0.
(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp …
2 cos x sin x
1
15. Giải phương trình lượng giác:
tan x cot 2 x
cot x 1
Giải
cos x.sin 2 x.sin x. tan x cot 2 x 0
Điều kiện:
cot x 1
1
2 cos x sin x
cos x.sin 2 x
2 sin x
cos x
cos x
1
sin x
Từ (1) ta có: sin x cos 2 x
cos x sin 2 x
2sin x.cos x 2 sin x
x k 2
2
4
cos x
k �
2
x k 2
4
So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là x
k 2 k �
4
sin 4 x cos 4 x 1
16. Giải phương trình:
tan x cot x
sin 2 x
2
Giải
sin 4 x cos 4 x 1
tan x cot x (1)
sin 2 x
2
Điều kiện: sin 2 x 0
1
1
1 sin 2 2 x
1 sin 2 2 x
1 sin x cos x
1
1
2
2
(1)
1 sin 2 2 x 1 sin 2 x 0
sin 2 x
2 cos x sin x
sin 2 x
sin 2 x
2
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
2
17. Giải phương trình: 2 sin x
2
2 sin x tan x .
4
Giải
2
2
2
Pt 2 sin x 2sin x tan x (cosx 0) 1 cos 2 x cos x 2 sin x.cos x sin x
4
2
(1–sin2x)(cosx–sinx) = 0 sin2x = 1 hoặc tanx = 1.
3
18. Giải phương trình: sin 2 x cos x 3 2 3cos x 3 3cos2 x 8 3 cos x s inx 3 3 0 .
Giải
sin 2 x(cos x 3) 2 3.cos3 x 3 3.cos 2 x 8( 3.cos x sin x) 3 3 0
2sin x.cos 2 x 6sin x.cos x 2 3.cos 3 x 6 3 cos 2 x 3 3 8( 3.cos x sin x) 3 3 0
2 cos 2 x ( 3 cos x sin x ) 6. cos x ( 3 cos x sin x ) 8( 3 cos x sin x ) 0
Chuyên đề: LG
6
( 3 cos x sin x )(2 cos 2 x 6 cos x 8) 0
tan x 3
3 cos x sin x 0
cos x 1
2
cos x 3cos x 4 0
cos x 4 (loai)
x 3 k , k Z
x k 2
19. Giải phương trình: cosx=8sin3 x
6
Giải
3
cosx=8sin3 x cosx = 3 sin x cos x
6
3
3 3 sin x 9sin 2 x cos x 3 3 sin x cos 2 x cos 3 x cos x 0 (3)
Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm
(3) 3 3 tan 3 x 8 tan 2 x 3 3 tan x 0
tan x 0 x k
2 cos x sin x
1
20. Giải phương trình lượng giác:
tan x cot 2 x
cot x 1
Giải
cos x.sin 2 x.sin x. tan x cot 2 x 0
Điều kiện:
cot x 1
1
2 cos x sin x
cos x.sin 2 x
2 sin x
cos x
cos x
1
sin x
Từ (1) ta có: sin x cos 2 x
cos x sin 2 x
2sin x.cos x 2 sin x
x 4 k 2
2
cos x
k �
2
x k 2
4
So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là x
k 2 k Z�
4
21. Giải phương trình: cos 2 x 5 2(2 cos x)(sin x cos x)
Giải
Phương trình (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0
cos x sin x 1
cos x sin x 5 (loai vi cos x sin x 2)
x k 2
2 sin x 1 sin x sin
2
(k Z )
4
4
4
x k 2
22. Giải phương trình: 2cos3x + 3 sinx + cosx = 0
Giải
sin sinx + cos cosx = – cos3x.
3 sin x cos x 2 cos 3x 0
3
3
Chuyên đề: LG
7
cos x cos 3x
3
k
x 3 2
(k Z)
x k
3
cos x cos( 3x )
3
x=
k
3
2
23. Giải phương trình cos3xcos3x – sin3xsin3x =
(kZ)
23 2
8
Giải
23 2
23 2
cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) =
8
8
23 2
2
cos 2 3 x sin 2 3x 3 cos 3 x cos x sin 3x sin x
cos 4 x
x k ,k Z .
2
2
16
2
24. Định m để phương trình sau có nghiệm
4sin 3 x sin x 4 cos 3x cos x cos 2 2 x m 0
4
4
4
Giải
Ta có:
* 4sin 3 x sin x 2 cos 2 x cos 4 x ;
Ta có: cos3xcos3x – sin3xsin3x =
* 4cos 3 x cos x 2 cos 2 x cos 4 x 2 sin 2 x cos 4 x
4
4
2
1
1
2
* cos 2 x
1 cos 4 x
1 sin 4 x
4 2
2 2
Do đó phương trình đã cho tương đương:
1
1
2 cos 2 x sin 2 x sin 4 x m 0 (1)
2
2
Đặt t cos 2 x sin 2 x 2 cos 2 x (điều kiện: 2 t 2 ).
4
2
Khi đó sin 4 x 2sin 2 x cos 2 x t 1 . Phương trình (1) trở thành:
t 2 4t 2m 2 0 (2) với 2 t 2
(2) t 2 4t 2 2 m
Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường ( D) : y 2 2m (là đường song song với Ox và cắt
trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 – 2m và (P): y t 2 4t với 2 t 2 .
x
2
2
y’
+
y
24 2
24 2
2
Trong đoạn 2; 2 , hàm số y t 4t đạt giá trị nhỏ nhất là 2 4 2 tại t 2 và đạt giá trị lớn
nhất là 2 4 2 tại t 2 .
Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 2 4 2 2 2m 2 4 2
2 2 m 2 2 .
o0o
Chuyên đề: LG
8
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009
KHỐI A
cos 3x sin 3 x
cos 2 x 3
1. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2) của phương trình: 5 sin x
1 2sin 2 x
Giải
ĐS: x
(Khối A_2002).
5
;x
.
3
3
2. Giải phương trình: cot x 1
Giải
cos 2 x
1
sin 2 x sin 2 x
1 tan x
2
k k Z
4
3. Giải phương trình: cos 2 3 x cos 2 x cos 2 x 0
Giải
(Khối A_2003)
ĐS: x
Chuyên đề: LG
(Khối A_2005)
9
ĐS: x
k
k Z
2
4. Giải phương trình:
2 cos6 x sin 6 x sin x cos x
2 2 sin x
0
(Khối A_2006)
Giải
5
k 2 k Z
4
2
2
5. Giải phương trình: 1 sin x cos x 1 cos x sin x 1 sin 2 x
ĐS: x
(Khối A_2007)
Giải
k , x k 2 , x k 2 k Z
4
2
1
1
7
4 sin
x
3
sin x
4
sin x
2
ĐS: x
6.
(Khối A_2008)
Giải
Chuyên đề: LG
10
5
k , x
k , x
k , k Z
4
8
8
1 2 sin x cos x
3.
7. Giải phương trình:
1 2 sin x 1 sin x
ĐS: x
(Khối A_2009)
Giải
ĐS: x
2
k
, k Z
18
3
KHỐI B
8. Giải phương trình sin 2 3x cos 2 4 x sin 2 5 x cos 2 6 x
Giải
ĐS: x k
(Khối B_2002)
; x k , k Z
9
2
9. Giải phương trình cot x tan x 4 sin 2 x
2
sin 2 x
(Khối B_2003)
Giải
Chuyên đề: LG
11
k , k Z
3
2
10. Giải phương trình 5sin x 2 3 1 sin x tan x
Giải
ĐS: x
(Khối B_2004)
5
k 2 ; x
k 2 , k Z
6
6
11. Giải phương trình 1 sin x cos x sin 2 x cos 2 x 0
Giải
ĐS: x
ĐS: x
(Khối B_2005)
2
k 2 k Z
3
x
12. Giải phương trình: cot x sin x 1 tan x tan 4
2
Giải
Chuyên đề: LG
(Khối B_2006)
12
5
k ; x
k , k Z
12
12
13. Giải phương trình: 2 sin 2 2 x sin 7 x 1 sin x
Giải
ĐS: x
(Khối B_2007)
2
5
2
k
;x
k
, k Z
18
3
18
3
14. Giải phương trình sin 3 x 3 cos3 x sin x cos 2 x 3 sin 2 x cos x
Giải
ĐS: x
k ; x k , k Z
4
2
3
3
15. Giải phương trình: sin x cos x sin 2 x 3 cos 3x 2 cos 4 x sin x .
Giải
(Khối B_2008)
ĐS: x
ĐS: x
2k
, x 2k , k Z
42
7
6
KHỐI D
Chuyên đề: LG
13
(Khối B_2009)
16. Tìm x[0;14] cos3x4cos2x+3cosx4=0
Giải
(Khối D_2002)
3
5
7
;x
;x
;x
2
2
2
2
2
2 x
2 x
0
17. sin tan x cos
2
2 4
Giải
ĐS: x
(Khối D_2003)
k , k Z
4
18. Giải phương trình 2 cos x 1 2 sin x cos x sin 2 x sin x
Giải
ĐS: x k 2 , x
ĐS: x
(Khối D_2004)
k 2 , x k , k Z
3
4
3
4
4
19. Giải phương trình: cos x sin x cos x sin 3x 0
4
4 2
Giải
Chuyên đề: LG
14
(Khối D_2005)
k , k Z
4
20. Giải phương trình: cos3x+cos2xcosx1=0
Giải
ĐS: x
(Khối D_2006)
2
k 2 , k Z
3
2
x
x
21. Giải phương trình sin cos 3 cos x 2
2
2
Giải
ĐS: x
(Khối D_2007)
k 2 , x k 2 , k Z
2
6
22. Giải phương trình sin 3 x 3 cos 3 x 2 sin 2 x
Giải
ĐS: x
ĐS: x
(CĐ_A_B_D_2008)
4
2
k 2 , x
k
, k Z
3
15
5
Chuyên đề: LG
15
23. Giải phương trình 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx
Giải
(Khối D_2008)
2
k 2 , x k , k Z
3
4
24. Giải phương trình (1+2sinx)2cosx=1+sinx+cosx
Giải
ĐS: x
(CĐ_A_B_D_2009)
5
k , x
k , k Z
12
12
25. Giải phương trình 3 cos 5 x 2 sin 3 x cos 2 x sin x 0
Giải
ĐS: x
ĐS: x
k , x k , k Z
18
3
6
2
Hết
Chuyên đề: LG
16
(Khối D_2009)
- Xem thêm -