Tài liệu Luyen thi dh toan cd so phuc ds th

Chuyên đề SỐ PHỨCĐẠI SỐ TỔ HỢP I. SỐ PHỨC A. LÝ THUYẾT I. Dạng đại số (vẫn còn nhớ) II. Dạng lượng giác của số phức z  r  cos   i sin   (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b  R, z  0) * r  a 2  b 2 là môđun của z. a   cos   r  *  là một acgumen của z thỏa   sin   b  r 1. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác. Nếu z  r  cos   i sin   , z '  r '  cos  ' i sin  '  thì: z r  cos     '   i sin     '   * z.z '  r.r ' cos     '   i sin     '   *    z' r'  n 2. Công thức Moivre: n  N * thì r  cos   i sin     r n  cos n  i sin n    3. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác       Căn bậc hai của số phức z  r  cos   i sin   (r > 0) là r  cos  i sin  và  r  cos  i sin  2 2 2 2   B. BÀI TẬP 1. (ĐH_Khối A 2009) 2 2 Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z2+2z+10=0. Tính giá trị biểu thức A  z1  z 2 . ĐS: A=20 2 2. Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 2 z  4 z  11  0 . Tính giá trị của biểu thức 2 A z1  z2  z1  z2  2 2 . ĐS: A=11/4 3. (CĐ_Khối A 2009) a. Số phức z thỏa mãn (1+i)2(2i)z=8+i+(1+2i)z. Tìm phần thực, phần ảo của z. b. Giải phương trình sau trên tập số phức: 4 z  3  7i  z  2i . z i ĐS: a. a=2, b=3 b. z=1+2i, z=3+i 4. Tìm số phức z thoả mãn: z  2  i  2 . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.     ĐS: z  2  2  1  2 i, z  2  2  1  2 i . 5. (ĐH_Khối B 2009) Tìm số phức z thỏa mãn z   2  i  10 và z.z  25 . ĐS: z=3+4i hoặc z=5  z 1  z i 1  6. Tìm số phức z thỏa mãn:   z  3i  1  z i  HD: Gọi z=x+yi; (1)x=y, (2)y=1.  1  2 . ĐS: z=1+i. Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC 1 4 z i 7. Giải phương trình:     1. z i  ĐS: z{0;1;1} 2 8. Giải phương trình: z  z  0 . HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z. ĐS: z{0;i;i} 9. Giải phương trình: z 2  z  0 . HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z. ĐS: z=0, z=1, z  1 3  i 2 2 z2 10. Giải phương trình: z 4  z 3   z  1  0. 2 HD: Chia hai vế phương trình cho z2. 1 1 ĐS: z=1±i, z    i . 2 2 11. Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0. HD: Đặt thừa số chung 1 3 1 3  i, z    i. 2 2 2 2 12. Cho phương trình: (z + i)(z22mz+m22m)=0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương trình: a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức. b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực. c. Có ba nghiệm phức. 13. Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận  làm nghiệm biết: a.  = 25i b.  = 2i 3 c.  = 3 - i 2 14. Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo: a. z3iz22iz2 = 0. b. z3+(i3)z2+(44i)z7+4i = 0. 15. (ĐH_Khối D 2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thõa mãn điều kiện z   3  4i   2 . ĐS: (x3)2+(y+4)2=4 ĐS: z  1, z  16. Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: 2 z  i  z  z  2i . ĐS: y  x2 . 4 3 . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. 2 3 9 2 2 HD: *Gọi z=x+yi. z  2  3i   …   x  2    y  3  . 2 4 * Vẽ hình |z|min z. 26  3 13 78  9 13 ĐS: z   i. 13 26 18. Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau: (1  i)10 7  5  9 . a. b.  cos  i sin  i 1  i 3 . 3 3 3 i  17. Trong các số phức thỏa mãn z  2  3i      HD: Sử dụng công thức Moivre. 1 ĐS: a. Phần thực  , phần ảo bằng 0, b. Phần thực 0, phần ảo bằng 128. 16 Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC 2 19. Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+ … + (1+i)20. HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN. ĐS: phần thực 210, phần ảo: 210+1. II. ĐẠI SỐ TỔ HỢP A. LÝ THUYẾT 1. Giai thừa: n!= n.(n1)!=n.(n1).(n2). … .3.2.1, n≥0. k 2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: An  k 3. Số tổ hợp chập k của n phần tử: C n  n!  n  k ! , n≥k>0. n! , n≥k≥0. k! n  k ! 4. Quy ước n!=0!=1. 5. Nhị thức Newton  a  b n  Cn0 a n  Cn1 a n1b  Cn2 a n2b 2    Cnn2 a 2b n2  Cnn1ab n1  Cnn b n . k Công thức số hạng tổng quát: Tk 1  C n a n  k b k , B. BÀI TẬP 1. (CĐ_Khối D 2008) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 0≤k≤n.  1   2x  5    x  18 , (x>0). ĐS: 6528 2. (ĐH_Khối D 2004) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 3 1   x4    x  7 với x>0. ĐS: 35 3. (ĐH_Khối A 2003) 1  Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của   x5  3 x  n , biết rằng n 1 n k C n  4  C n 3  7 n  3 , (n nguyên dương, x>0, ( C n là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 495 4. (ĐH_Khối D 2005) 4 3 An 1  3 An 2 2 2 2 , biết rằng C n 1  2C n  2  2C n 3  C n  4  149 (n là số  n  1! k là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và C n là số tổ hợp chập k của n phần tử) Tính giá trị biểu thức M  k nguyên dương, An ĐS: M  5. 3 4 (ĐH_Khối A 2006)  1  Tìm số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của   x7  4 x  n , biết rằng 1 2 n k C 2 n 1  C 2 n 1    C 2 n 1  2 20  1 , (n nguyên dương và C n là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 210 6. (ĐH_Khối D 2008) 1 3 2 n 1 k Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức C 2 n  C 2 n    C 2 n  2048 . ( C n là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: n=6 7. (ĐH_Khối D 2007) Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC 3 Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(12x)5+x2(1+3x)10. ĐS: 3320 8. (ĐH_Khối D 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a3n3 là hệ số của x3n3 trong khai triển thành đa thức của (x2+1)n(x+2)n. Tìm n để a3n3=26n. ĐS: n=5 9. (ĐH_Khối D 2002) 0 2 n Tìm số nguyên dương n sao cho Cn  2C1  4Cn  L  2n Cn  243 . n ĐS: n=5 10. (ĐH_Khối B 2008) Chứng minh rằng n 1  1 1  k  k 1 C n  2  n 1 C n 1  1 k   k (n, k là các số nguyên dương, k≤n, C n là số tổ hợp  C n  chập k của n phần tử). 11. (ĐH_Khối B 2007) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của (2+x)n, biết: k 3nCn03n1Cn1+3n2Cn23n3Cn3+ … +(1)nCnn=2048 (n là số nguyên dương, C n là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 22 12. (ĐH_Khối B 2006) Cho tập A gồm n phần tử (n≥4). Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k{1,2,…,n} sao cho số tập con gồm k phần tử cua A lớn nhất. ĐS: k=9 13. (ĐH_Khối B 2003) 0 Cho n là số nguyên dương. Tính tổng C n  chập k của n phần tử). 2 2  1 1 23  1 2 2 n 1  1 n k Cn  Cn    C n , ( C n là số tổ hợp 2 3 n 1 ĐS: 3 n 1  2 n 1 n 1 14. (ĐH_Khối B 2002) Cho đa giác đều A1A2…An (n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn tâm (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1A2…An nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1A2…An, tìm n. ĐS: n=8 15. (ĐH_Khối A 2008) Cho khai triển (1+2x)n=a0+a1x+ … +anxn, trong đó nN* và các hệ số a0, a1,…an thỏa mãn hệ thức a a a0  1    n  4096 . Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1,…an. 2 2n ĐS: a8=126720 16. (ĐH_Khối A 2007) 1 1 3 1 5 1 2 n 1 22n  1 C k Chứng minh rằng C1n  C2n  C2n  L  , ( n là số tổ hợp chập k của n phần C2n  2 2 4 6 2n 2n  1 tử). 17. (ĐH_Khối A 2005) Tìm số nguyên dương n sao cho 1 2 3 4 2 n 1 k C 2 n 1  2.2C 2 n 1  3.2 2 C 2 n 1  4.2 3 C 2 n 1     2n  1.2 2 n C 2 n 1  2005 , ( C n là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: n=1002 Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC 4 18. (ĐH_Khối A 2004) Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1x)]8. ĐS: 238 19. (ĐH_Khối A 2002) Cho khai triển nhị thức n n n 1 n 1  x  x2 1   x   x 1   x 1    x   x 1   x  0 1 n n 2  2 3   C n  2 2   C n  2 2   2 3     C n 1  2 2  2 3   C n  2 3                            3 1 (n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó C n  5C n và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x. ĐS: n=7, x=4 20. Cho số phức z=1+i. a. Viết khai triển nhị thức Newton của nhị thức (1+i)n. b. Tính các tổng S1=1Cn2+Cn4Cn6+… S2=Cn1Cn3+Cn5… 21. Chứng minh rằng C1000–C1002+C1004–C1006+ … –C10098+C100100=–250. o0o Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC n 5