Tài liệu Luận văn về iđêan nguyên tố liên kết của một lũy thừa iđêan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ ÁNH NGỌC VỀ IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA LŨY THỪA MỘT IĐÊAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 06-2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ ÁNH NGỌC VỀ IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA LŨY THỪA MỘT IĐÊAN Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Phạm Hùng Quý HÀ NỘI, 06-2017 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan bản luận án này là kết quả nghiên cứu của cá nhân tôi. Các số liệu và tài liệu được trích dẫn trong luận án là trung thực. Kết quả nghiên cứu này không trùng với bất cứ công trình nào đã được công bố trước đó. Tôi chịu trách nhiệm với lời cam đoan của mình. Hà Nội, tháng 06 năm 2017. Tác giả luận án Nguyễn Thị Ánh Ngọc Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội. Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới TS. Phạm Hùng Quý, thầy là người trực tiếp hướng dẫn, tận tình chỉ bảo, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo phản biện đã đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng Sau Đại Học, các quý thầy cô trong khoa Toán, các bạn học viên lớp cao học Toán K25, những người đã tận tình giảng dạy, tạo điều kiện và giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường. Qua đây, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thân trong gia đình, bạn bè đã luôn động viên khích lệ tôi trong suốt quá trình hoàn thành khóa học. Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng do kiến thức còn nhiều hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của thầy cô và bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 06 năm 2017. Tác giả luận án Nguyễn Thị Ánh Ngọc Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn MỞ ĐẦU 2 1 Phân tích nguyên sơ và tập iđêan nguyên tố liên kết 4 1.1 1.2 1.3 1.4 Vành và môđun Noether . . . Iđêan nguyên tố liên kết . . . Phân tích nguyên sơ . . . . . Phân tích nguyên sơ của iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . . đơn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7 10 12 1.5 1.4.1 Phân tích nguyên sơ của các iđêan đơn thức . 1.4.2 Đồ thị hữu hạn và iđêan cạnh . . . . . . . . . Vành phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 14 17 2 Tính ổn định của tập iđêan nguyên tố liên kết 2.1 2.2 Iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa một iđêan . . . Trường hợp iđêan cạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 23 27 KẾT LUẬN 30 Tài liệu tham khảo 31 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Iđêan nguyên tố liên kết và phân tích nguyên sơ là một trong những kỹ thuật cơ bản nhất của Đại số giao hoán. Định lý phân tích nguyên sơ của Emmy Noether khẳng định rằng mọi iđêan trong vành giao hoán Noether đều phân tích được thành giao của hữu hạn iđêan nguyên sơ và do đó nó có hữu hạn iđêan nguyên tố liên kết. Việc nghiên cứu tập iđêan nguyên tố liên kết của các iđêan và môđun vẫn đang là một vấn đề thời sự hiện nay. Năm 1979, Markus Brodmann đã chứng minh một kết quả kinh điển khẳng định rằng "tập iđêan nguyên tố liên kết của các lũy thừa của một iđêan là ổn định". Kết quả này dẫn tới cảm hứng cho rất nhiều nghiên cứu tiếp theo về tính chất của lũy thừa của một iđêan trong vành Noether như độ sâu của R/I n hay chỉ số chính quy của I n trong vành phân bậc. Định lý của Brodmann còn được phát triển tiếp trong nghiên cứu của Swanson về tính tuyến tính của phân tích nguyên sơ hay được làm rõ trong các trường hợp đặc biệt như iđêan đơn thức, iđêan cạnh của một đồ thị. Chính vì những ý nghĩa nói trên của Định lý Brodmann, tác giả bản luận văn này đặt mục tiêu trình bày lại chi tiết về kết quả này và một vài kết quả liên quan. Vì vậy, đề tài nghiên cứu của luận văn được chọn là "Về iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa một iđêan" 2. Định hướng nghiên cứu Trên cơ sở các tài liệu có sẵn trong phần tài liệu tham khảo, tác giả sẽ hệ thống lại lý thuyết cơ bản về phân tích nguyên sơ, iđêan 2 nguyên tố liên kết của một iđêan. Trên cơ sở đó tác giả trình bày lại Định lý Brodmann và làm rõ hơn về tập ổn định trong trường hợp iđêan cạnh. 3. Phương pháp nghiên cứu Đọc và dịch các tài liệu liên quan, phân tích, so sánh, tổng hợp và nghiên cứu lý thuyết. 4. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm các chương sau: Chương 1. Phân tích nguyên sơ và tập iđêan nguyên tố liên kết, trình bày về Định lý phân tích nguyên sơ và iđêan nguyên tố liên kết. Phân tích nguyên sơ và iđêan nguyên tố liên kết của một iđêan cũng được mô tả rõ ràng trong trường hợp iđêan cạnh. Chương 2. Tính ổn định của tập iđêan nguyên tố liên kết, chứng minh lại Định lý Brodmann và làm rõ hơn về tập ổn định trong trường hợp iđêan cạnh. 3 Chương 1 Phân tích nguyên sơ và tập iđêan nguyên tố liên kết Trong chương này ta luôn giả sử R là một vành giao hoán có đơn vị và M là một R-môđun. 1.1 Vành và môđun Noether Định lý 1.1.1. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị và M là một R-môđun. Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương: i. Mỗi tập khác rỗng các môđun con của M đều có phần tử cực đại. ii. Mỗi dãy tăng các môđun con của M : M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mn ⊂ · · · là dừng, nghĩa là Mk = Mk+1 với mọi k đủ lớn. iii. Mỗi môđun con của M đều hữu hạn sinh. Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Giả sử M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mn ⊂ · · · là một dãy tăng các môđun con của môđun M , theo điều kiện (i) thì tập {Mn }n≥0 có một phần tử cực đại chẳng hạn Mt , khi đó Mk = Mk+1 với mọi k ≥ t. (ii) ⇒ (iii). Giả sử ngược lại tồn tại trong M một môđun con N 4 không hữu hạn sinh. Khi đó trong N tồn tại một dãy vô hạn các phần m X tử x1 , x2 , ..., xn , ... sao cho nếu Mn = Rxi với mọi j. Ta sẽ nhận i=1 được một dãy tăng vô hạn, không dừng M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mn ⊂ · · · các môđun con của M , mâu thuẫn với (ii). (iii) ⇒ (i). Giả sử S là một tập khác rỗng các môđun của M mà không có phần tử cực đại trong S. Vì S là một tập khác rỗng, nên ta chọn được một môđun con M0 ∈ S. Khi đó nếu M0 không phải là một phần tử cực đại trong S, thì sẽ tồn tại M1 ∈ S thực sự chứa M0 . Như vậy nếu trong S không có phần tử cực đại, thì sẽ tồn tại một dãy tăng vô hạn M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mn ⊂ · · · , không dừng [ Mi là một môđun con của các môđun con của M . Ta có N = i≥0 M , nên N là một môđun con hữu hạn sinh. Giả sử x1 , x2 , ..., xm là một hệ sinh của N . Vì dãy các môđun là tăng, nên tồn tại k để m X x1 , x2 , ..., xm ∈ Mk . Khi đó Mk = Rxi = N , như vậy dãy trên bị i=1 dừng bắt đầu tại vị trí thứ k (mâu thuẫn). Định nghĩa 1.1.2. Cho R là vành giao hoán có đơn vị. Khi đó Rmôđun M được gọi là R-môđun Noether nếu nó thỏa mãn một trong ba điều kiện của Định lý 1.1.1. Vành R được gọi là vành Noether nếu nó là một R-môđun Noether. Ví dụ 1.1.3. i. Mỗi trường, vành chính đều là một vành Noether. ii. Một không gian vectơ là Noether khi và chỉ khi nó có chiều hữu hạn. Mệnh đề dưới đây cho ta thấy lớp các môđun Noether là đóng kín với phép lấy môđun con, môđun thương và mở rộng. Mệnh đề 1.1.4. Cho dãy khớp ngắn các R-môđun: 0 −→ N −→ M −→ P −→ 0 5 Khi đó M là môđun Noether nếu và chỉ nếu N và P đều là các môđun Noether. Chứng minh. Từ dãy khớp ngắn đã cho, ta luôn có thể coi N là một môđun con của M và P = M/N , theo nghĩa sai khác một đẳng cấu. Trước tiên, giả sử M là môđun Noether, khi đó mỗi dãy tăng trong N cũng là một dãy tăng trong M , do đó nó phải dừng, vậy N là Noether. Ta thấy rằng mỗi dãy tăng trong P đều là ảnh của một dãy tăng trong M qua toàn cấu chính tắc. Vì mọi dãy tăng trong M đều dừng, nên mọi dãy tăng trong P phải dừng. Vậy P cũng là Noether. Ngược lại, giả sử N và P là những môđun Noether. Cho M1 là một môđun con của M . Từ một kết quả đã biết: Nếu M1 và N là hai môđun con của cùng một môđun M thì ta có: (M1 + N )/N ∼ = M1 /(M1 ∩ N ) là một môđun con của P = M/N . Vì P là Noether, nên M1 /M1 ∩ N hữu hạn sinh. Mặt khác, M1 ∩ N cũng hữu hạn sinh do N là Noether. Từ đó suy ra M1 là một môđun hữu hạn sinh. Vậy M là môđun Noether. Hệ quả 1.1.5. Tổng trực tiếp của một họ hữu hạn các R-môđun Noether là một R-môđun Noether. Hệ quả 1.1.6. Mỗi R-môđun hữu hạn sinh trên vành Noether R là một R-môđun Noether. Ngược lại ta có kết quả sau. Mệnh đề 1.1.7. Cho M là một R-môđun Noether. Khi đó R/Ann(M ) cũng là một vành Noether. Chứng minh. Vì M là R-môđun Noether nên nó hữu hạn sinh. Giả sử M sinh bởi x1 , ..., xt . Xét ánh xạ đồng cấu t M ϕ : R −→ Mi i=1 a 7−→ (ax1 , ..., axt ) 6 Khi đó ta có: Ker(ϕ) = {a ∈ R | ϕ(a) = 0} = {a ∈ R|(ax1 , ..., axt ) = (0, ..., 0)} = {a ∈ R | axi = 0, i = 1, ..., t} = {a ∈ R|aM = 0} = {a ∈ R | a = 0} = Ann(M ). Do đó ϕ là một đơn cấu nên R/Ann(M ) là đẳng cấu với môđun con t t M M của M . Theo Hệ quả 1.1.5, M là Noether. Vậy R/Ann(M ) i=1 i=1 là vành Noether. Kết quả sau đây nói rằng địa phương hóa của một môđun Noether cũng là Noether. Mệnh đề 1.1.8. Cho M là R-môđun Noether và S là tập đóng nhân của R. Khi đó m S −1 M = { |m ∈ M, s ∈ S} s là một S −1 R-môđun Noether. Định lý dưới đây của Hilbert là một trong những kết quả nền tảng của đại số giao hoán. Định lý 1.1.9. (Định lý cơ sở của Hilbert). Cho R là một vành Noether. Khi đó vành đa thức nhiều biến R[x1 , x2 , ..., xn ] cũng là một vành Noether. Hệ quả 1.1.10. Vành đa thức nhiều biến K[x1 , x2 , ..., xn ] có hệ số trên một trường luôn là vành Noether. Chú ý 1.1.11. Ta cũng có thể chứng minh rằng R là vành Noether thì lũy thừa hình thức R[[x]] cũng là Noether. 1.2 Iđêan nguyên tố liên kết Ta luôn giả sử rằng R là vành Noether giao hoán có đơn vị. Định nghĩa 1.2.1. Phần tử r ∈ R được gọi là ước của 0M trong M nếu tồn tại 0 6= m ∈ M sao cho rm = 0. Ta kí hiệu zdR (M ) là tập hợp tất cả các ước của 0 trong M . 7 Định nghĩa 1.2.2. Một iđêan nguyên tố p ∈ Spec(R) được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại x thuộc M sao cho p = 0 :M x, tương đương với việc tồn tại một đồng cấu nhúng R/p −→ M . Ta kí hiệu AssR M là tập các iđêan nguyên tố liên kết của M . Một iđêan nguyên tố liên kết của M là nhỏ nhất theo nghĩa bao hàm được gọi là iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu của M . Tập các iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu của M được kí hiệu là minAssR M . Iđêan nguyên tố liên kết không phải là tối tiểu được gọi là iđêan nguyên tố liên kết nhúng. Ví dụ 1.2.3. i. AssZ Z = {(0)}. ii. AssZ Z/6Z = {2Z, 3Z}. Mệnh đề 1.2.4. Giả sử R là vành Noether và M là R-môđun khác không. i. Mọi phần tử cực đại của tập hợp: F = {Ann(x)|0 6= x ∈ M } đều là một iđêan nguyên tố liên kết của M , do đó AssR M 6= 0. [ ii. Ta có zdR M = p. p∈AssR M Kết quả dưới đây mô tả tập các iđêan nguyên tố liên kết của các môđun trong một dãy khớp ngắn. Mệnh đề 1.2.5. Giả sử R là một vành Noether và 0 −→ M 0 −→ M −→ M 00 −→ 0 là một dãy khớp nhắn các R-môđun. Khi đó: AssR (M 0 ) ⊆ AssR (M ) ⊆ AssR (M 0 ) ∪ AssR (M 00 ). 8 Mệnh đề 1.2.6. Cho R là vành Noether, M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó tồn tại một xích tăng các môđun con: 0 ⊆ M1 ⊆ M2 ⊆ · · · ⊆ Mt = M. sao cho Mi /Mi−1 ∼ = R/p với p ∈ Spec(R), với ∀i = 1, t. Hệ quả 1.2.7. Cho R là vành Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó, AssR M là hữu hạn. Mệnh đề 1.2.8. Cho R là vành Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó p AnnR M = \ p∈AssR M p= \ p. p∈minAssR M Định nghĩa 1.2.9. (Tập giá). Cho R là vành Noether và M là Rmôđun Noether. Khi đó ta định nghĩa tập giá của M , kí hiệu là Supp(M ) như sau: Supp(M ) = {p ∈ Spec(R)|Mp 6= 0}. Mệnh đề 1.2.10. Cho R là Noether và M là một R-môđun. Khi đó AssR M ⊆ SuppR M , và các phần tử tối tiểu của hai tập hợp là trùng nhau. Mệnh đề sau cho ta tập iđêan nguyên tố liên kết của một môđun sau khi địa phương hóa. Mệnh đề 1.2.11. Giả sử R là một vành Noether và M là một Rmôđun. Xét S là một tập đóng nhân. Khi đó AssRs Ms = {pRS |p ∈ AssR M ; p ∩ S = ∅}. Hệ quả 1.2.12. Cho M là một R-môđun và p là một iđêan nguyên tố của R. Ta có p ∈ AssR M khi và chỉ khi pRp ∈ AssRp Mp . 9 1.3 Phân tích nguyên sơ Định nghĩa 1.3.1. Giả sử R là một vành Noether, M là R-môđun hữu hạn sinh và N ⊂ M là một R-môđun con. Ta nói rằng N là môđun con nguyên sơ của M nếu thỏa mãn điều kiện: Với mọi a ∈ R và x ∈ M , nếu x 6= N và ax ∈ N thì an M ⊂ N với n nào đó. Định nghĩa có thể được phát biểu như sau: Nếu a ∈ R là ước của 0 p trên M/N thì a ∈ Ann(M/N ). Hay đồng cấu nhân a : M/N −→ M/N hoặc là đơn cấu hoặc là lũy linh. Định lý 1.3.2. Giả sử R là vành Noether và M là R-môđun hữu hạn. Khi đó môđun con N ⊂ M là nguyên sơ khi và chỉ khi AssR (M/N ) chỉ có một phần tử. Khi đó, nếu AssR (M/N ) = p và AnnR (M/N ) = √ I thì I là nguyên sơ và I = p. Định nghĩa 1.3.3. Nếu Ass(M/N ) = p ta nói rằng N ⊂ M là một môđun con p-nguyên sơ của M . Mệnh đề 1.3.4. Nếu N và N 0 là hai môđun con p-nguyên sơ của M thì khi đó N ∩ N 0 cũng là một môđun con p-nguyên sơ của M . Định nghĩa 1.3.5. Một môđun con N của M được gọi là môđun con bất khả quy nếu nó không là giao của hai môđun con chứa nó thực sự. Mệnh đề 1.3.6. Cho R là một vành Noether và M là một R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó mọi môđun con bất khả quy N của M đều là nguyên sơ. Định lý 1.3.7. Cho R là vành Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó mọi môđun con của M đều phân tích được thành giao hữu hạn của các môđun con bất khả quy. P Chứng minh. Xét tập hợp tất cả các môđun con N của M không P là giao hữu hạn của những môđun con bất khả quy và giả sử 6= ∅. 10 P Do M là một R-môđun Noether nên tồn tại trong một phần tử cực đại N . Khi đó N phải là môđun khả quy, tức là tồn tại hai P môđun con N1 ⊃ N, N2 ⊃ N sao cho N = N1 ∩ N2 . Vì N1 , N2 6∈ nên chúng là giao hữu hạn những môđun con bất khả quy, do đó N cũng được biểu diễn thành giao hữu hạn các môđun con bất khả P quy. Điều này mâu thuẫn với giả thiết N ∈ và định lý được chứng minh. Từ Định lý 1.3.7 và Mệnh đề 1.3.6, ta có mọi môđun con của một môđun Noether M đều có thể phân tích thành giao của các môđun nguyên sơ. Định nghĩa 1.3.8. Một môđun con N của M được gọi là có phân tích nguyên sơ nếu nó được viết thành giao của các môđun con nguyên sơ, tức là N = N1 ∩ N2 ∩ · · · ∩ Nr với Ni là các môđun con nguyên sơ. Một phân tích nguyên sơ được gọi là phân tích nguyên sơ rút gọn nếu ta không thể bỏ bất kì một môđun nguyên sơ nào trong phân tích đó, tức là N 6= N1 ∩ · · · ∩ Ni−1 ∩ Ni+1 ∩ · · · ∩ Nr với mọi i = 1, ..., r. Hơn nữa, các thành phần nguyên sơ đều ứng với các iđêan nguyên tố phân biệt. Định lý 1.3.9. Giả sử R là vành Noether và M là R-môđun hữu hạn. i. Mọi môđun con N của M đều có một phân tích nguyên sơ rút gọn. ii. Nếu N = N1 ∩ N2 ∩ · · · ∩ Nr với Ass(M/Ni ) = pi là một phân tích nguyên sơ rút gọn của N thì Ass(M/N ) = {p1 , ..., pr }. iii. Nếu p là một iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu của M/N thì thành phần p-nguyên sơ xuất hiện trong phân tích nguyên sơ rút gọn của N là hạt nhân của đồng cấu chính tắc ϕp : M −→ Mp . Do đó, thành phần nguyên sơ của N tương ứng với các iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu là xác định duy nhất. 11 Định nghĩa 1.3.10. Cho R là vành Noether, M là một R-môđun hữu hạn sinh và N là một môđun con của M . Các thành phần nguyên sơ xuất hiện trong phân tích nguyên sơ của N trong M tương ứng với các iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu và các iđêan nguyên tố liên kết nhúng được gọi là các thành phần nguyên sơ tối tiểu và thành phần nguyên sơ nhúng của N . Trong trường hợp N = 0 thì ta nói đó là các thành phần nguyên sơ tối tiểu, thành phần nguyên sơ nhúng của M . Theo Định lý phân tích nguyên sơ, ta thấy các thành phần nguyên sơ tối tiểu là duy nhất. Tuy nhiên, các thành phần nguyên sơ nhúng là không duy nhất. Ví dụ 1.3.11. Xét K là một trường và R = K[x, y] là một vành đa thức. Khi đó, iđêan I = (x2 , xy) có các phân tích nguyên sơ rút gọn sau: (x2 , xy) = (x) ∩ (x2 , y) = (x) ∩ (x2 , xy, y 2 ) Ta có Ass(R/I) = {(x), (x, y)} và (x) là thành phần tối tiểu còn (x2 , y) và (x2 , xy, y 2 ) là các thành phần nhúng của I. 1.4 Phân tích nguyên sơ của iđêan đơn thức Xác định phân tích nguyên sơ của một iđêan trong một vành đa thức là phức tạp và chúng ta cần sử dụng đến các chương trình máy tính. Tuy nhiên, trong trường hợp iđêan đơn thức, phân tích nguyên sơ là đơn giản hơn nhiều. 1.4.1 Phân tích nguyên sơ của các iđêan đơn thức Định nghĩa 1.4.1. Iđêan I trong vành đa thức R được gọi là iđêan đơn thức nếu I có một hệ sinh gồm toàn các đơn thức. Chúng ta biết rằng, R là vành Noether theo Định lý cơ sở của Hilbert 1.1.9, nên mỗi iđêan đơn thức I đều hữu hạn sinh. Hơn nữa, 12 I có một hệ sinh chỉ gồm các đơn thức. Nếu xuất phát từ một hệ sinh gồm các đơn thức bất kì của I và chỉ giữ lại các đơn thức không bị chia hết bởi các đơn thức khác trong hệ đó thì chúng ta có duy nhất một hệ sinh tối tiểu của I. Tức là, I chỉ có một hệ duy nhất gồm các đơn thức sao cho không có hai đơn thức nào chia hết cho nhau. Kí hiệu hệ sinh đó của I là G(I). Cấu trúc của các iđêan đơn thức và nguyên tố rất đơn giản, chúng chỉ sinh bởi tập các biến. Bổ đề 1.4.2. Cho I là một iđêan đơn thức khác không. Khi đó, I là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi I sinh bởi các biến. Bổ đề 1.4.3. Cho I là một iđêan đơn thức khác không. Khi đó, I là iđêan bất khả quy khi và chỉ khi nó sinh bởi lũy thừa của các biến. Mệnh đề 1.4.4. Cho m1 , ..., mr , u,v là các đơn thức của R. Giả sử u và v là hai đa thức không có chung biến. Khi đó (m1 , ..., mr , uv) = (m1 , ..., mr , u) ∩ (m1 , ..., mr , v) Thuật toán phân tích nguyên sơ của các iđêan đơn thức. Cho iđêan đơn thức I của vành đa thức R. Để tìm phân tích nguyên sơ của I, chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Phân tích I thành giao của các iđêan sinh bởi lũy thừa các biến bằng cách áp dụng liên tiếp Mệnh đề 1.4.4. Bước 2: Loại đi các iđêan chứa các iđêan khác trong giao. Bước 3: Nhóm các iđêan có cùng căn lại. Ví dụ 1.4.5. Cho ideal đơn thức I = (x3 y 5 , y 4 z, x2 z 2 ) của vành đa thức R = K[x, y, z]. Theo mệnh đề 1.4.4 ta có phân tích sau: I = (x3 , y 4 z, x2 z 2 ) ∩ (y 5 , y 4 z, x2 z 2 ) = (x3 , y 4 , x2 z 2 ) ∩ (x3 , z) ∩ (y 5 , z) ∩ (y 4 , x2 z 2 ) = (x3 , y 4 , z 2 )∩(y 4 , x2 )∩(x3 , z)∩(y 5 , z)∩(y 4 , x2 )∩(y 4 , z 2 ) = (y 4 , x2 ) ∩ (x3 , z) ∩ (y 4 , z 2 ) ∩ (y 5 , z). Như vậy, ta có phân tích nguyên sơ thu gọn của I là: I = (y 4 , x2 ) ∩ (x3 , z) ∩ (y 5 , y 4 z, z 2 ). Do đó AssR (R/I) = {(x, y), (x, z), (y, z)}. 13 Đối với iđêan đơn thức, chúng ta có đặc trưng của các iđêan nguyên tố liên kết như sau: Mệnh đề 1.4.6. Cho iđêan đơn thức I và iđêan nguyên tố p của R. Khi đó p ∈ AssR (R/I) khi và chỉ khi tồn tại một đơn thức m ∈ R sao cho p = I : m. 1.4.2 Đồ thị hữu hạn và iđêan cạnh Định nghĩa 1.4.7. Một đồ thị hữu hạn, đơn và vô hướng G là một cặp có thứ tự hai tập hợp G = (V, E), trong đó tập V hữu hạn còn tập E bao gồm một số tập có hai phần tử của V. Nhận xét 1.4.8. Các phần tử của V gọi là đỉnh, các phần tử của E gọi là cạnh. Nếu e = {a, b} là một cạnh của G thì a và b gọi là các đỉnh đầu mút của cạnh e hay các đỉnh liên thuộc với e. Người ta thường biểu diễn đồ thị của G trên mặt phẳng như sau: Các đỉnh của đồ thị được biểu diễn bởi các điểm trên mặt phẳng, còn các cạnh của đồ thị được biểu diễn bằng một đường cong nối hai điểm liên thuộc. Ví dụ 1.4.9. Cho đồ thị vòng C5 = (V, E) với V = {x1 , x2 , x3 , x4 , x5 } và E = {{x1 , x2 }, {x2 , x3 }, {x3 , x4 }, {x4 , x5 }, {x5 , x1 }} có chu trình của đồ thị C5 như sau: Tiếp theo, chúng ta định nghĩa iđêan cạnh liên kết với một đồ thị. 14 Định nghĩa 1.4.10. Cho G = (V, G) là một đồ thị với V = {x1 , ..., xn } với K là một trường. Khi đó iđêan cạnh của G là I(G) = (xi xj |{xi , xj } ∈ E(G) ⊂ R = K[x1 , ..., xn ]. Ví dụ 1.4.11. Cho G là đồ thị C5 . Khi đó iđêan cạnh của G là: I(G) = (x1 x2 , x2 x3 , x3 x4 , x4 x5 , x5 x1 ). Nhận xét 1.4.12. Đỉnh xi gọi là đỉnh cô lập của G nếu không có cạnh nào của G nối vào xi . Theo định nghĩa của iđêan cạnh, chúng ta có I(G) = I(G \ {xi }). Chúng ta sẽ chỉ xét các đồ thị không có điểm cô lập. Định nghĩa 1.4.13. Đặt R = K[x1 , ..., xd ]. Đơn thức xn1 1 ...xnd d ∈ [[R]] được gọi là không chứa bình phương nếu với i = 1, ..., d ta có ni ∈ {0, 1}. Iđêan đơn thức I ⊆ R được gọi là không chứa bình phương nếu nó sinh bởi các đơn thức không chứa bình phương. Ví dụ 1.4.14. Đặt R = K[x, y, z]. Các đơn thức không chứa bình phương trong R là 1, x, y, z, xy, xz, yz, xyz. Ta có (xy, yz) là iđêan không chứa bình phương. Iđêan (x2 y, yz 2 ) là iđêan chứa bình phương. Vì các iđêan không chứa bình phương là iđêan căn nên nó là giao của các iđêan nguyên tố. Định nghĩa 1.4.15. Cho V = {v1 , ..., vd } và đặt R = K[x1 , ..., xd ]. Với mỗi tập con V 0 ⊆ V, định nghĩa PV 0 ⊆ R là iđêan và PV 0 = ({xi |vi ∈ V 0 })R, rõ ràng PV 0 là một iđêan nguyên tố. Mệnh đề 1.4.16. Cho V = {v1 , ..., vd }, đặt R = K[x1 , ..., xd ]. Iđêan đơn thức I ⊆ R là không chứa bình phương nếu và chỉ nếu có tập n \ con V1 , ..., Vn ⊂ V sao cho I = PVi . i=1 15 Trong trường hợp I là iđêan cạnh, các iđêan nguyên tố liên kết của I được mô tả một cách trực giác bằng ngôn ngữ của lý thuyết đồ thị như sau. Định nghĩa 1.4.17. Cho G là đồ thị với tập đỉnh V = {v1 , ..., vd }. Một phủ đỉnh của G là tập con V 0 ⊆ V sao cho mỗi cạnh vi vj trong G hoặc vi ∈ V 0 hoặc vj ∈ V 0 . Phủ đỉnh V 0 là cực tiểu nếu nó không thực sự chứa một phủ đỉnh khác của G. Dưới đây là định lý quan trọng về phân tích nguyên sơ của iđêan cạnh. Định lý 1.4.18. Cho G là đồ thị với tập đỉnh V = {v1 , ..., vd } và R = K[x1 , ..., xd ]. Khi đó iđêan cạnh IG ⊆ R có sự phân tích nguyên sơ rút gọn như sau: \ IG = PV 0 V 0 min trong đó giao lấy trên phủ đỉnh cực tiểu của G. Ví dụ 1.4.19. Đặt R = K[x1 , x2 , x3 , x4 ]. Tìm phân tích nguyên sơ rút gọn của các iđêan I = (x1 x2 , x2 x3 , x2 x4 , x3 x4 ). Trước hết, ta tìm đồ thị G với tập đỉnh V = {v1 , v2 , v3 , v4 } thỏa mãn I = IG . Tiếp theo, ta tìm các phủ đỉnh cực tiểu của G : {v1 , v3 , v4 }, {v2 , v3 }, {v2 , v4 }. Cuối cùng theo định lý 1.4.18, ta có T T I = (x1 , x3 , x4 ) (x2 , x3 ) (x2 , x4 ) là phân tích nguyên sơ rút gọn của I. Ví dụ 1.4.20. Tìm phân tích nguyên sơ rút gọn của iđêan cạnh C5 . Trước hết, ta tìm đồ thị G với tập đỉnh V = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 } thỏa mãn I = IG . Khi đó, các tập phủ đỉnh cực tiểu của G: {v1 , v2 , v4 }, {v1 , v3 , v4 }, {v1 , v3 , v5 }, {v2 , v3 , v5 }, {v2 , v4 , v5 }. Áp dụng Định lý 1.4.18, ta có T T T T I = (x1 , x2 , x4 ) (x1 , x3 , x4 ) (x1 , x3 , x5 ) (x2 , x3 , x5 ) (x2 , x4 , x5 ) 16